Modelação Numérica 2017 Aula 5, 1/Mar
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- Walter Leal Castilhos
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1 Modelação Numérica 2017 Aula 5, 1/Mar Projecto 1 Preparação dos dados. Tendências. Espectro h7p://modnum.ucs.ciencias.ulisboa.pt
2 Modelação Numérica 2017 Aula 6, 7/Mar FFT Convolução Correlação h7p://modnum.ucs.ciencias.ulisboa.pt
3 Projecto 1. Análise de séries temporais. Análise espectral. Filtragem. 1. Dados de pressão no fundo do oceano na região do Alasca. 2. Sismo em Samatra ( ) observado no Alasca. 3. Ruído oceânico observado por um sismómetro em Portugal num dia de ondulação intensa. 4. Radiação solar medida no campus da FCUL. 5. Evolução da temperatura e da concentração atmosférica de CO 2 em bolhas de gelo em Vostok. 6. Clima simulado em Lisboa ( ). 7. Evolução do clima num cenário de aquecimento global. 8. Vento e potência num parque eólico.
4 Projecto 1. Método Inspecionar os dados; representá-los graficamente. Se necessários, fazer zoom dos dados em várias janelas. Verificar se os dados foram amostrados regularmente e a que passo. Idencficar eventuais erros ou falhas na amostragem. Verificar e, se necessário, corrigir as unidades uclizadas. Corrigir erros, eliminando-os. Se necessário interpolar os dados para recuperar ou construir uma base regular de amostragem. Tendo em conta a amostragem e comprimento da série, calcular a frequência mínima e máxima dos processos que podemos estudar com as séries em questão. Calcular o espetro de amplitude dos dados. Se for conveniente, pode-se truncar a dimensão da série a um número favorável para a FFT (e.g. na forma 2 n, ). Idencficar tendências nos dados, i.e. variações cujo período aparente é superior à duração do sinal. Se exiscr uma tendência eliminá-la por regressão linear ou por média móvel de longo período.
5 Projecto 1. Método Idencficar ciclos dominantes nos dados (anual, diurno, etc) e desenhar filtros capazes de os remover. Analisar os dados filtrados: inspeção da série no domínio do tempo e cálculo do novo espetro. Se for apropriado, calcular o espectro em janelas parcelares, no sencdo de idencficar oscilações transientes, ex: um tsunami ou um sismo. No caso de séries temporais relacionadas, calcular a correlação entre os sinais. Calcular as diferenças de fase. Interpretar. Discu/r. Inovar
6 Input de dados em Python.
7 Input de dados em Python. import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import datetime #%% Importar dados fin='0_co2_mlo_surface-insitu_1_ccgg_monthlydata-susana.txt' data = np.loadtxt(fin, usecols=range(1,8), skiprows=145) datet=[datetime.datetime(int(data[i,0]), int(data[i,1]), int(data[i,2]), int(data[i,3]), int(data[i,4]), int(data[i,5])) for i in range(len(data))] juld=[dt.timetuple().tm_yday for dt in datet] date = [data[i,0] + float(juld[i])/365. for i in range(len(datet))] date = np.array(date) co2=data[:,6] #%% Plot plt.plot(datet, co2) plt.xlabel('time (years)') plt.ylabel('co2') plt.title('co2 mensal em Mauna Loa (Hawaii)')
8 Input de dados em Python. import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import datetime #%% Importar dados fin='0_co2_mlo_surface-insitu_1_ccgg_monthlydata-susana.txt' data = np.loadtxt(fin, usecols=range(1,8), skiprows=145) datet=[datetime.datetime(int(data[i,0]), int(data[i,1]), int(data[i,2]), int(data[i,3]), int(data[i,4]), int(data[i,5])) for i in range(len(data))] juld=[dt.timetuple().tm_yday for dt in datet] date = [data[i,0] + float(juld[i])/365. for i in range(len(datet))] date = np.array(date) co2=data[:,6] #%% Plot plt.plot(datet, co2) plt.xlabel('time (years)') plt.ylabel('co2') plt.title('co2 mensal em Mauna Loa (Hawaii)')
9 Input de dados em Python. import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import datetime #%% Importar dados fin='0_co2_mlo_surface-insitu_1_ccgg_monthlydata-susana.txt' data = np.loadtxt(fin, usecols=range(1,8), skiprows=145) datet=[datetime.datetime(int(data[i,0]), int(data[i,1]), int(data[i,2]), int(data[i,3]), int(data[i,4]), int(data[i,5])) for i in range(len(data))] Falhas nos dados juld=[dt.timetuple().tm_yday for dt in datet] date = [data[i,0] + float(juld[i])/365. for i in range(len(datet))] date = np.array(date) co2=data[:,6] #%% Plot plt.plot(datet, co2) plt.xlabel('time (years)') plt.ylabel('co2') plt.title('co2 mensal em Mauna Loa (Hawaii)')
10 Input de dados em Python. import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import datetime #%% Importar dados fin='0_co2_mlo_surface-insitu_1_ccgg_monthlydata-susana.txt' data = np.loadtxt(fin, usecols=range(1,8), skiprows=145) datet=[datetime.datetime(int(data[i,0]), int(data[i,1]), int(data[i,2]), int(data[i,3]), int(data[i,4]), int(data[i,5])) for i in range(len(data))] Falhas nos dados juld=[dt.timetuple().tm_yday for dt in datet] date = [data[i,0] + float(juld[i])/365. for i in range(len(datet))] date = np.array(date) co2=data[:,6] #%% Plot plt.plot(datet, co2) plt.xlabel('time (years)') plt.ylabel('co2') plt.title('co2 mensal em Mauna Loa (Hawaii)') Dados regulares (1/mês)
11 Input de dados em Python.
12 Eliminar erros, interpolar #%% Verifica número de valores inválidos ### Constrói vector de valores válidos datev=np.array([]); co2v=np.array([]) inval=0 # matrizes de valores válidos for i in range(len(co2)): if co2[i] < 0.: inval = inval+1 else: datev=np.append(datev,date[i]) co2v=np.append(co2v,co2[i]) print(inval) #%% Interpola datei=date co2i=np.interp(datei, datev, co2v, left=none, right=none, period=none)
13 Eliminar erros, interpolar #%% Interpola datei=date co2i=np.interp(datei, datev, co2v, left=none, right=none, period=none) #%% Plot plt.close() plt.subplot(2,1,1) plt.plot(date, co2, 'r') plt.plot(datei, co2i, '--b') plt.title('mole fraction of CO2 in dry air') plt.subplot(2,1,2) plt.plot(datei, co2i, 'b') plt.xlabel('year') plt.tight_layout()
14 Eliminar erros, interpolar #%% Interpola datei=date co2i=np.interp(datei, datev, co2v, left=none, right=none, period=none) #%% Plot plt.close() plt.subplot(2,1,1) plt.plot(date, co2, 'r') plt.plot(datei, co2i, '--b') plt.title('mole fraction of CO2 in dry air') plt.subplot(2,1,2) plt.plot(datei, co2i, 'b') plt.xlabel('year') Série original plt.tight_layout() Série interpolada
15 Espectro sem processamento #%% Calcular espectro import numpy.fft as fft dt=1. # espaçamento (em meses) N=len(co2i) # comprimento do vector de dados N2=N/2 # metade do comprimento do vector de dados fnyq=1./(2.*dt); # frequência de Nyquist df=1./(dt*n); # espaçamento do espectro freq=np.arange(0,fnyq,df); # vector de frequências Fout=fft.fft(co2i); # calcular o espectro com FFT FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # amplitudes do espectro plt.close() plt.loglog(freq,fouta); plt.axis('tight') plt.xlabel('frequency (1/month)') plt.ylabel('amplitude')
16 Espectro sem processamento #%% Calcular espectro import numpy.fft as fft dt=1. # espaçamento (em meses) N=len(co2i) # comprimento do vector de dados N2=N/2 # metade do comprimento do vector de dados fnyq=1./(2.*dt); # frequência de Nyquist df=1./(dt*n); # espaçamento do espectro freq=np.arange(0,fnyq,df); # vector de frequências Fout=fft.fft(co2i); # calcular o espectro com FFT FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # amplitudes do espectro plt.close() plt.loglog(freq,fouta); plt.axis('tight') plt.xlabel('frequency (1/month)') plt.ylabel('amplitude')
17 Espectro sem processamento #%% Calcular espectro import numpy.fft as fft dt=1. # espaçamento (em meses) N=len(co2i) # comprimento do vector de dados N2=N/2 # metade do comprimento do vector de dados fnyq=1./(2.*dt); # frequência de Nyquist df=1./(dt*n); # espaçamento do espectro freq=np.arange(0,fnyq,df); # vector de frequências Fout=fft.fft(co2i); # calcular o espectro com FFT FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # amplitudes do espectro plt.close() plt.loglog(freq,fouta); plt.axis('tight') plt.xlabel('frequency (1/month)') plt.ylabel('amplitude') Muita energia nas baixas frequências. Espectro vermelho.
18 Espectro sem processamento #%% Calcular espectro import numpy.fft as fft dt=1. # espaçamento (em meses) N=len(co2i) # comprimento do vector de dados N2=N/2 # metade do comprimento do vector de dados fnyq=1./(2.*dt); # frequência de Nyquist df=1./(dt*n); # espaçamento do espectro freq=np.arange(0,fnyq,df); # vector de frequências Fout=fft.fft(co2i); # calcular o espectro com FFT FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # amplitudes do espectro plt.close() plt.loglog(freq,fouta); plt.axis('tight') plt.xlabel('frequency (1/month)') plt.ylabel('amplitude') Muita energia nas baixas frequências. Espectro vermelho.
19 Remover a tendência #%% Remover a tendência: ajuste a uma recta P = np.polyfit(datei, co2i, 1) co2trend=p[0] co20=p[1] co2fit=co2trend*datei + co20 #co2fit=p[0]*datei + P[1] # ajusta os dados a uma recta # declive da recta # ordenada na origem da recta # recta que ajusta os dados # recta que ajusta os dados plt.close() plt.plot(datei, co2i, 'b') plt.plot(datei, co2fit, 'red') plt.xlabel('year')
20 Remover a tendência #%% Remover a tendência: ajuste a uma recta P = np.polyfit(datei, co2i, 1) co2trend=p[0] co20=p[1] co2fit=co2trend*datei + co20 #co2fit=p[0]*datei + P[1] # ajusta os dados a uma recta # declive da recta # ordenada na origem da recta # recta que ajusta os dados # recta que ajusta os dados plt.close() plt.plot(datei, co2i, 'b') plt.plot(datei, co2fit, 'red') plt.xlabel('year')
21 Remover a tendência #%% Remover a tendência: subtracção da tendência co2_detrend = co2i - co2fit plt.close() plt.subplot(3,1,1) plt.plot(datei, co2_detrend, 'b') plt.xlabel('year') Fout=fft.fft(co2_detrend); FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # calcular o espectro com FFT # amplitudes do espectro plt.subplot(3,1,2) plt.loglog(freq,fouta); plt.xlabel('frequency (1/month)') ; plt.axis('tight') plt.ylim([1e-3,10]) plt.subplot(3,1,3) plt.loglog(1./freq,fouta); plt.xlabel('period (months)') ; plt.axis('tight') plt.tight_layout()
22 Remover a tendência #%% Remover a tendência: subtracção da tendência co2_detrend = co2i - co2fit plt.close() plt.subplot(3,1,1) plt.plot(datei, co2_detrend, 'b') plt.xlabel('year') Fout=fft.fft(co2_detrend); FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # calcular o espectro com FFT # amplitudes do espectro plt.subplot(3,1,2) plt.loglog(freq,fouta); plt.xlabel('frequency (1/month)') ; plt.axis('tight') plt.ylim([1e-3,10]) plt.subplot(3,1,3) plt.loglog(1./freq,fouta); plt.xlabel('period (months)') ; plt.axis('tight') plt.tight_layout()
23 Remover a tendência #%% Remover a tendência: subtracção da tendência co2_detrend = co2i - co2fit plt.close() plt.subplot(3,1,1) plt.plot(datei, co2_detrend, 'b') plt.xlabel('year') Fout=fft.fft(co2_detrend); FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # calcular o espectro com FFT # amplitudes do espectro f = 1/12 = mês -1 f = 1/6 = mês -1 plt.subplot(3,1,2) plt.loglog(freq,fouta); plt.xlabel('frequency (1/month)') ; plt.axis('tight') plt.ylim([1e-3,10]) plt.subplot(3,1,3) plt.loglog(1./freq,fouta); plt.xlabel('period (months)') ; plt.axis('tight') plt.tight_layout()
24 Remover a tendência #%% Remover a tendência: subtracção da tendência co2_detrend = co2i - co2fit plt.close() plt.subplot(3,1,1) plt.plot(datei, co2_detrend, 'b') plt.xlabel('year') Fout=fft.fft(co2_detrend); FoutA=np.abs(Fout[:N2])/N2; # calcular o espectro com FFT # amplitudes do espectro f = 1/12 = mês -1 f = 1/6 = mês -1 plt.subplot(3,1,2) plt.loglog(freq,fouta); plt.xlabel('frequency (1/month)') ; plt.axis('tight') plt.ylim([1e-3,10]) plt.subplot(3,1,3) plt.loglog(1./freq,fouta); plt.xlabel('period (months)') ; plt.axis('tight') plt.tight_layout()
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