Universidade de São Paulo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação

Transcrição

1 Universidade de São Paulo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Francisco A. Rodrigues Departamento de Matemática Aplicada e Estatística - SME 1

2 Objetivo Parametrização de curvas Extração de contornos Suavização Medidas: area, perimetro, descritores de Fourier, dimensao fractal, simetria Curvatura Medidas de curvatura: bending energy, etc. Filtragem multi-escala 2

3 Objetivo Caracterização de formas 3

4 Objetivo Caracterização de formas 4

5 Objetivo Classificação 5

6 Parametrização de curvas 6

7 Parametrização de curvas A posição de uma partícula no plano pode ser expressada em termos de um vetor posição Parâmetro da curva 7

8 Parametrização de curvas Exemplo: 8

9 Parametrização de curvas Se a curva for diferenciável, a velocidade paramétrica de uma partícula: Exemplo: 9

10 Parametrização de curvas A velocidade paramétrica corresponde ao vetor tangente a cada ponto da curva. O conjunto de todos os vetores tangentes à curva é chamado de campo tangente. 10

11 Parametrização de curvas Os vetores de velocidade unitários podem ser usados para a parametrização por comprimento de arco: Comprimento de arco 11

12 Parametrização de curvas Comprimento de arco: 12

13 Representação paramétrica 13

14 Representação paramétrica 14

15 Representação paramétrica Exemplos 15

16 Representação paramétrica Exemplos 16

17 Curvatura A segunda derivada da curva parametrizada resulta na aceleração: 17

18 Curvatura No caso do campo unitário tangente a aceleração tangente é zero e a aceleração radial expressa a mudança de orientação do campo tangente: 18

19 Curvatura A magnitude da segunda derivada da curva parametrizada é a curvatura da curva em t: 19

20 Curvatura Exemplo: O sinal da curvatura depende do sentido: 20

21 Aplicação em imagens 21

22 Extração do contorno Algoritmo 22

23 Extração do contorno Algoritmo 23

24 Extração do contorno Algoritmo 24

25 Extração do contorno Matlab: clear; close all; figura = 'boy.bmp'; I = imread(figura); imshow(i); %threshold: binariza a imagem T = mean(mean(i)); a=find(i < T); b=find(i >= T); I(a) = 0; I(b) = 255; figure; imshow(i); [x,y] = ceguinho(i); figure; plot(x,y); 25

26 Medidas morfológicas Perímetro Área Diâmetro Centro de massa distância média até a borda comprimento de arco máximo Maior e menor eixos Momentos estatísticos Simetria Assinaturas Dimensão fractal 26

27 Medidas morfológicas Perímetro 27

28 Medidas morfológicas Área 28

29 Medidas morfológicas Centro de massa 29

30 Medidas morfológicas Centro de massa 30

31 Medidas morfológicas Centro de massa 31

32 Medidas morfológicas Diâmetro 32

33 Medidas morfológicas Diâmetro 33

34 Medidas morfológicas Maior e menor eixos 34

35 Medidas morfológicas Maior e menor eixos OBS: PCA no Matlab: princomp 35

36 Medidas morfológicas Enlogation: x e y são os vetores paramétricos Matriz de covariância: λ1 e λ2 são o maior e menor autovalor da matriz de covariância 36

37 Medidas morfológicas Momentos estatísticos: Seja g o vetor que armazena a forma de um objeto. Então, os momentos centrais em 2D São invariantes à translação. 37

38 Medidas morfológicas Simetria Buracos na imagem devem ser preenchidos e então a imagem é refletida e somada com a original. Logo, a imagem terá pixels com valores 0, 1 e 2. A simetria é calculada pela razão entre o número pixels com valor 2 e os pixels com valor 1. 38

39 Medidas morfológicas Simetria 39

40 Medidas morfológicas Simetria 40

41 Medidas morfológicas Assinaturas Centro De massa 41

42 Medidas morfológicas Descritores de Fourier: O contorno pode ser escrito na forma: k=0,1,2,...,k-1 A transformada discreta de Fourier de s(k): u=0,1,2,...,k-1 Os coeficientes complexos a(u) são os descritores de Fourier do contorno. A transformada inversa: 42

43 Medidas morfológicas Descritores de Fourier: 43

44 Medidas morfológicas Descritores de Fourier: Vantagens: Pré-processamento apropriado faz com que os descritores sejam: não sensível a rotação, translação e mudanças de escala. não depende da ordem em que os pontos são processados. não depende da posição inicial em que o contorno é processado. 44

45 Medidas morfológicas Descritores de Fourier: Propriedades: 45

46 Medidas morfológicas Descritores de Fourier: Vantagens: Podem ser usados para classificação: 46

47 Medidas morfológicas Dimensão fractal 47

48 Medidas morfológicas Dimensão fractal 48

49 Medidas morfológicas Dimensão fractal Número de caixas contendo o objeto Tamanho das caixas 49

50 Suavização de contorno 50

51 Transformada de Fourier Transformada de Fourier em 1D: 51

52 Transformada de Fourier Propriedades da transformada de Fourier: Delta de Dirac: Gaussiana: Simetria: 52

53 Transformada de Fourier Propriedades da transformada de Fourier: Deslocamento no tempo: Escala no tempo: Deslocamento na frequência: Escala na frequência: 53

54 Transformada de Fourier Propriedades da transformada de Fourier: Teorema da Convolução: 54

55 Transformada de Fourier Propriedades da transformada de Fourier: Derivada: 55

56 Filtragem Filtragem na frequência: 56

57 Filtragem Filtro passa altas: σ=0,25 57

58 Filtragem Filtro passa altas: 58

59 Filtragem Filtro passa altas: 59

60 Filtragem Filtro passa baixas: 60

61 Filtragem Filtro passa baixas: function a = filtro(sigma,z,x) % Transformada de fourier de z y = fftshift(z); Y = fft(y); M = size(x); N = M(1,2); ts = ( x(1,n) - x(1,1) )/N; df = 1.0/(ts*N); N2 = floor(n/2); N1 = N - 1; s = -N2:(N1-N2); X = s*df; % Funcao filtro GAU = exp(-( (X.^2)/(sigma^2) )/2 ); GAU = fftshift(gau); % Transformada inversa do sinal transformado filtrado A = ( GAU.*Y ); a = ifft(a); a = real(fftunshift(a)); 61

62 Filtragem multi-escala σ=5 σ=2 σ=1 62

63 Filtragem multi-escala σ=0,5 σ=0,2 σ=0,05 63

64 Filtragem multi-escala σ 64

65 Filtragem multi-escala clear; sigma = 0.1; %desvio padrao da gaussiana que filtrara a funcao m=10; dt = 0.001; %define o intervalo de tempo da funcao t = 0:dt:m; %define o limite de tempo f = (sin(1.45*t).*cos(0.3*t+ 10).*sin(0.1*t + 5)+0.1*sin(23.2*t).*sin(2.3*t).*cos(12.1*t + 10)).*sin(t); figure(1) plot(t,f); %funcao com ruido % Funcao filtro F = filtro(sigma,f,t); %faz a filtragem da funcao figure(2) %funcao filtrada plot(t,f);... 65

66 Filtragem multi-escala %analise multi-escala %faz a filtragem de uma funcao mostrando a funcao obtida em %funcao da variacao do desvio padrao sigma clear; [sigma,t] = meshgrid(1:-0.01:0,10:-0.1:0); %define a superficie onde a funcao sera plotada f = (sin(1.45*t).*cos(0.3*t+ 10).*sin(0.1*t + 5) +0.1*sin(23.2*t).*sin(2.3*t).*cos(12.1*t + 10)).*sin(t); n = size(sigma);%tamanho do vetor sigma n = n(1,2); for i=1:n Z(:,i) = (filtro(sigma(1,i),f(:,1)',t(:,1)'))'; %aplica a filtragem para cada sigma end figure(3); surf(sigma,t,real(z)); %plota a funcao em 3 dimensoes colormap hsv; camlight left; lighting phong; view(80,30); tilte('filtragem da funcao f'); 66

67 Filtragem multi-escala Suavização do contorno: 67

68 Filtragem multi-escala Suavização do contorno: 68

69 Cálculo Numérico da curvatura 69

70 Curvatura Cálculo numérico da curvatura: % Primeira derivada sigma = 10; dx = derivada(sigma,x,t); dy = derivada(sigma,y,t); % Segunda derivada d2x = derivada(sigma,dx,t); d2y = derivada(sigma,dy,t); % Calculo da curvatura k k = ( dx.*d2y - dy.*d2x )./( dx.^2 + dy.^2 ).^(3/2) 70

71 Curvatura Cálculo numérico da curvatura: function dy = derivada(sigma,z,x) % Transformada de fourier de z y = fftshift(z); Y = fft(y); M = size(x); N = M(1,2); ts = ( x(1,n) - x(1,1) )/N; df = 1.0/(ts*N); N2 = floor(n/2); N1 = N - 1; s = -N2:(N1-N2); X = s*df; % Funcao filtro GAU = exp(-( (X.^2)/(sigma^2) )/2 ); GAU = fftshift(gau); % Transformada inversa do sinal transformado filtrado A = ( GAU.*Y ); % Funcao derivada DER = 2*pi*j*X; DER = fftshift(der); % Calculo da derivada DY = A.*DER; dy = ifft(dy); dy = fftunshift(real(dy)); 71

72 Curvatura Exemplo: 72

73 Curvatura Exemplo: 73

74 Medidas relacionadas à curvatura Histograma Nessa caso, foram consideradas 10 caixas no histograma Número de picos de curvatura 74

75 Medidas relacionadas à curvatura Bending energy Quantifica o nível de energia armazenada no contorno. Quanto maior o valor de B, mais complexa é o contorno de um objeto. 75

76 Curvatura Exemplo: 76

77 Curvatura Exemplo 77

78 Curvatura Exemplo 78

79 Curvatura Outras técnicas de análise morfolófica: Transformada distância Esqueletização multi-escala 79

80 Bibliografia Shape analysis and Classification, L. da F. Costa e R. M. Cesar Jr. CRC Press, Gonzalez e Woods, Processamento digital de imagens, 3ª edição. 80

81 Projeto Implemente um programa que realize as seguintes tarefas: Extraia o contorno de uma imagem. Suavize o contorno de acordo com um parâmetro σ. Calcule o perímetro, área, diâmetro, centro de massa da imagem e os descritores de Fourier. Calcule a curvatura da imagem, o número de picos de curvatura, e a medida bending energy. 81