Bernoulli Resolve Matemática

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1 ernoulli Resolve Matemática V Volume

2 Sumário - Matemática Módulo 0 Raciocínio Lógico 0 Potenciação e radiciação Módulo 0 7 Produtos notáveis e fatoração 0 8 Divisibilidade, MD e MM Módulo 0 Teoria dos conjuntos 0 onjuntos numéricos Módulo D 0 Noções primitivas de geometria plana 0 8 Triângulos e pontos notáveis Módulo E 0 0 Trigonometria no triângulo retângulo 0 rcos e ciclo trigonométrico 0 Funções seno e cosseno 0 Funções tangente, cotangente, secante e cossecante

3 OMENTÁRIO E RESOLUÇÃO DE QUESTÕES MÓDULO 0 Raciocínio lógico Eercícios de Fiação Questão 0 Letra ) Falsa. onsidere, como contraeemplo, que todas as pessoas tenham altura,0 m. Essa é uma configuração possível, na qual ninguém tem mais que,90 m. ) Falsa. Poderíamos supor, por eemplo, que essa família seja composta de um casal e seus filhos homens. Essa é uma configuração possível, na qual há menos de duas mulheres. ) Verdadeira. ssociando um mês a cada pessoa, o máimo de pessoas que podemos ter para que a cada mês corresponda a uma única pessoa é, pois só eistem meses. Havendo pessoas, à ª pessoa teríamos de associar um mês que já estava associado a outra pessoa. D) Falsa. omo contraeemplo, poderiam todas ter nascido no dia º. Essa é uma configuração possível, na qual ninguém nasceu em um dia par. E) Falsa. omo contraeemplo, poderiam todas ter nascido no mês de março. Essa é uma configuração possível, na qual ninguém nasceu nos meses de janeiro ou fevereiro. O segundo cartão possui uma consoante de um lado, portanto, do outro, pode haver uma vogal ou consoante. Então, não é necessário virá-lo. O terceiro cartão possui um número par de um lado, portanto, do outro, pode haver uma vogal ou uma consoante. Logo, também não é preciso virá-lo. Por fim, o quarto cartão possui um número ímpar de um lado, portanto, é necessário virá-lo para garantir que haja, de seu outro lado, uma consoante. ssim, para verificar a afirmação feita, temos de virar o primeiro e o último cartão. Questão 0 Letra afirmação diz que nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta a escola. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que alguma pessoa lenta em aprender frequente a escola, o que nos leva à alternativa. Questão 0 Letra Utilizando diagrama para representar a afirmação, temos que os jovens que adoram esportes e festas podem ser representados pela interseção desses dois conjuntos. Portanto, como todos os jovens que gostam de matemática adoram esportes e festas, temos que esse conjunto está contido na interseção do conjunto de esportes e festas. Logo: E M F Questão 0 Letra De acordo com o raciocínio da questão, temos: E Questão 0 Letra E onsiderando que todos os cartões que têm uma vogal em uma face têm um número par na outra, temos as seguintes opções: º Vogal de um lado, par de outro. º onsoante de um lado, par de outro. º onsoante de um lado, ímpar de outro. Já que o primeiro cartão possui uma vogal de um lado, é preciso confimar se do outro há um número par. Eercícios Propostos Questão 0 Letra De acordo com a regra do jogo, para o quadrado central, faltam os números,,. Para facilitar o raciocínio, numeramos as linhas e colunas conforme a figura a seguir: O número pedido se encontra na ª linha e ª coluna. Ele não pode ser o, pois essa linha já apresenta o número na ª linha e ª coluna. Também não pode ser o número, pois ele já aparece na 9ª linha e ª coluna. Portanto, o único número que poderá ser é o Editora ernoulli

4 Questão 0 Letra Escolhendo uma face para o, temos: ª restrição: maior que {, 8}; ª restrição: soma entre [,;,] é o único número possível. Escolhendo uma face para o, temos: Restrição: Soma entre [,;,] {8} (os números e já foram escolhidos). Escolhendo uma face para o, temos: ª restrição: Maior que {} (os outros números já foram escolhidos); ª restrição: Soma entre [,;,] {}. Portanto, os pares (número escolhido e seu respectivo na face oposta) formados no dado são: {(, ); (, 8); (, )}. Logo, a multiplicação entre pares que possui maior valor será. 0. Questão 0 Letra Em um grupo de pessoas, é possível que cada duas façam aniversário em um dos meses do ano. dicionando mais uma pessoa a esse grupo, ela com certeza fará aniversário em um mês no qual duas já fazem, e, então, três pessoas farão aniversário nesse mês. Logo, é o menor valor de n que obriga que três pessoas façam aniversário em um mesmo mês. Questão 07 Letra E onsiderando a pior das hióteses, retiramos 0 bolas entre brancas e pretas. pós isso, retiramos mais 9 bolas de cada cor: 9 vermelhas, 9 verdes e 9 azuis. Por fim, a próima bola completará a dezena com alguma das outras que foram retiradas. Logo, o total de bolas será: Questão Letra D ompetência de área: Habilidade: Para ir da ª etapa para a ª etapa, é necessário retirar da lata 800 ml (o volume da garrafa maior), colocar na menor garrafa 00 ml (o volume que, na ª etapa, encontra-se na garrafa maior) e encher a garrafa maior. Logo, o correto a se fazer é passar para a garrafa menor o conteúdo da garrafa maior (gerando a configuração ilustrada na alternativa D), para, então, encher a garrafa maior com o azeite da lata, levando à configuração ilustrada na ª etapa. Questão 0 Letra E Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: Para que a montagem de novos pacotes seja feita com uma única pesagem, precisamos dividir o peso de cada saco de açúcar nos dois pratos da balança de forma a mantê-la em equilíbrio. Dessa forma, os kg poderão ser divididos em dois pacotes de kg. Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: Fazendo a primeira pesagem, poderemos dividir o pacote inicial de kg em duas partes iguais, colocando cada metade em um lado da balança. Dessa forma, mantendo os pratos em equilíbrio, teremos dois pacotes de kg. Para a segunda pesagem, poderemos dividir um dos pacotes de kg feitos na primeira pesagem em duas partes iguais, colocando cada metade em um lado da balança, mantendo-a em equilíbrio. Dessa forma, teremos dois pacotes de kg. om as duas pesagens concluídas, é possível unir os pacotes de kg da primeira pesagem com os pacotes de kg da segunda pesagem, formando pacotes de 8 kg. Somando-se o número de turnos em que o funcionário trabalhou com o número de turnos em que ele não trabalhou, obtém-se o total de turnos eistentes em D dias, ou seja, D. Equacionando, temos: D 9 7 D Questão Letra contrapositiva da afirmativa I é Se rtur é professor, então Paulo não é médico. omo a afirmativa I é verdadeira, sua contrapositiva também o é, e, então, pelas afirmativas I e II e pelo fato de que rtur é professor, temos: rtur é professor Paulo não é médico runo é engenheiro. Questão Se as alternativas,, ou E estivessem corretas, a D também estaria, e haveria mais de uma alternativa correta. Logo, a única alternativa cuja veracidade não implica a veracidade de nenhuma outra é a D, sendo somente essa a possibilidade de resposta única para o problema. Seção Enem Questão 0 Letra D Eio cognitivo: V Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: 7 Habilidade: Pela tabela no enunciado, vemos que o único colega que possui o telefone de arlos é o Ênio. E, da mesma forma, o único colega que possui o telefone de Ênio é o Dino. omo ldo possui o telefone de Dino, temos: ª ligação: ldo para Dino este fornecerá o número de Ênio; ª ligação: ldo para Ênio este fornecerá o número de arlos; ª ligação: ldo para arlos. Questão 0 Letra Eio cognitivo: V ompetência de área: Habilidade: o posicionar a peça tanto na primeira linha da primeira coluna quanto na terceira linha da primeira coluna, o jogador que utiliza os círculos terá vitória garantida na oleção Estudo

5 próima rodada, pois poderá alinhar suas peças ou na vertical (preenchendo a primeira coluna) ou na diagonal do tabuleiro. Portanto, 00 < l < 700. Questão 0 Letra Racionalizando cada um dos termos da equação temos:. Questão 0 Letra Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: 7 Por verificação direta, é fácil ver que para, ou movimentos é impossível conduzir a torre da casa H8 para a casa. Para movimentos, eistem várias possibilidades, uma das quais a seguir: º) Desloca-se a torre da posição H8 até H; º) Desloca-se a torre da posição H até D; º) Desloca-se a torre da posição D até D; º) Desloca-se a torre da posição D até. Todos esses movimentos foram feitos de forma a respeitar o movimento da torre, que só pode se descolar ou na mesma linha ou na mesma coluna, além de não poder passar por cima dos pontos pretos. MÓDULO 0 Potenciação e radiciação Eercícios de Fiação Substituindo esses valores na equação dada: ( ) ( ) ( ) 0 Questão ,... 7,... 9 ( ). Questão 0 Letra D m (¹8 ¹ 7¹)(¹7 ¹0 ¹) m (¹ ¹ 7¹)(¹ ¹ ¹) m (¹ ¹)(¹ ¹) m (¹ ¹)(¹ ¹). m ( ) m 8 Eercícios Propostos Questão 0 Letra 9 Questão 0 Letra E n 0 0 m 0.0 m m 0 (0 0 ) 0 n ( ) ( ) n n n m m n m m n 0 m 0. 0 ( 00) n m m m. 0 m m. Questão 0 Letra D Q 0, km Q 0,.0 m Q.0 m l.0 m l.0.¹0 m l 00.¹0 m Note que < ¹0 <,. Daí, 00. < l < 00.,. y.... y y..... y. y. y 0. y. y. y Questão 0 Letra (.) , que tem dezessete algarismos 0 e um algarismo, com um total de dezoito algarismos. Questão 08 Letra. 9. n n n 9. n n ( ) n.... n. n n n Editora ernoulli

6 Questão 09 Letra 8 8 ( ) , 0 Questão Letra 8 8 y Questão Letra E ( ) ( ) Questão Letra estrutura lógica do triângulo numérico é: ; ª linha 8; 8 ; ª linha ; 7 ;ª linha ; ; ª linha Logo, para uma linha que possui como soma 8 000, temos: ;0ª linha valor de Questão 7 Letra onsiderando as aproimações, e,7, temos a,8; b, e c,, em que se conclui que a < c < b. Questão 9 Letra Procuramos o menor quadrado perfeito maior que 987. Lembrando que 0 0 ( ), esperamos que a raiz desse número esteja próima de. Testando o, temos 9 < 987. Logo, o menor quadrado perfeito maior que 987 é 0, e Seção Enem Questão 0 Letra E Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: 0 litros de óleo são suficientes para contaminar 0 7 litros de água potável; isto é, litro de óleo para cada 0 litros de água. Então, o total de água contaminada por 000 L de óleo será L. Questão 0 Letra Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: , Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: 7 Se cada folha possui 0, mm de espessura e há uma pilha de m de altura, temos então folhas, m 000 mm pois omo, em cada folha, 0, mm 0, mm há 0 títulos, concluímos que temos, no total, títulos, que corresponde a 0. Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: 7 omo no período da infância até a maioridade o indivíduo teve sua massa multiplicada por 8, podemos associar os valores da seguinte maneira: k.(8m) k.(8) (m) ( 8) k.(m) dulto.k.(m). dulto Infância dulto Infância Portanto, a área corporal do indivíduo foi multiplicada por. Questão 0 Letra Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: 7 De acordo com a tabela, a classe espectral 0 tem uma temperatura em torno de vezes maior que a do Sol. Sendo assim, a luminosidade é 0, ou seja, vezes a luminosidade do Sol. oleção Estudo

7 MÓDULO 0 Produtos notáveis e fatoração Eercícios de Fiação Questão 0 Letra E Temos que y y. y Portanto, sabendo que a b (a b) ab, encontramos y ( y ) y (7).(). Questão 08 Letra y ( ) ( ) ( )( ) ( ) y ( )( ) ( ) ( )( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) Questão 0 Letra Questão 0 Letra Para fatorar o denominador, substituiremos 009 por, a fim de facilitar os cálculos. Logo: Para fatorar essa equação, precisamos encontrar suas raízes. ssim, temos: 0..( ) 9 ± ou ( )( ) ( )( ) Voltando à equação inicial, temos: ( 009 )( 009 ) ( 009 )( 009 ) ab b bc b c ab bb c a b c ( ) a (b c)(b c) a, pois a, b, c > 0 Logo, b c a b a c. Questão Letra E N ( ) N 000.( )( ) N Questão Letra E a b a a ab (I) Questão 0 Letra Para determinarmos o que foi pedido, devemos elevar ao quadrado os dois lados da equação dada. ssim: a 0 a a ( 0 ) a a. a. a a a a 9 9 a a 00 9 a a 8 9 Questão 0 Letra grupar e fatorar: a bc b c 0 a (b bc c ) 0 a (b c) 0 (a b c)(a b c) 0 Por hipótese, a b c 0. Daí, 0(a b c) 0 a b c. Questão 0 Letra ( )( ) Eercícios Propostos Questão 07 Letra z y a ay a y a a a a a ( )( ) ( a )( a ).( a ) y ( a) a (a b) (a b) a a b ab b a a b ab b a ab (a ab ) omo a ab (I), temos: (a b) (a b). Questão [ ] [ ] (0 9)(0 9) (0 9)(0 9) (0 9)(0 9)... (00 99)(00 99) Questão 7 Letra D b a (a b ab ) a b (a b ab ). ab b a a b ab (a b ab ). b a. a b ab b a ab( a b). ( b a)( b ab a ) b ab a ab( b a)( b a) Editora ernoulli 7

8 Questão 8 Letra ( y z) ( y) (z ) 0 Para que a soma de três quadrados seja nula, cada um desses quadrados deve ser nulo, ou seja: (z ) 0 z 0 z ( y) 0 y 0 y y z 0 0 y Logo, y z. Questão 9 Letra 9 ( 8 ) [( ) ] ( )( ) ( )[( ) ] ( )( )( ) ( )( )( )( ) Portanto, fatores. Questão Letra D ( ) ( ) ( ) Questão Letra ( ) a ay a ( y ) a ( y)( y) y y y y y ( y) y( y) a ( y)( y) a ( y) ( y)( y) y Questão Letra Vamos escrever cada trinômio do º grau da epressão anterior na forma fatorada: lém disso, a soma das áreas dessas figuras é igual à área do quadrado maior, de lado a b. Temos, então: ( a b) a ab b Área do quadrado maior Soma das áreas dos quadrados menores e dos dois retângulos Logo, a figura é a representação geométrica do produto notável (a b). Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: Fatorando a epressão, obtemos: 000(0 0 ) 000(0 0)(0 0) MÓDULO 0 Divisibilidade, MD e MM Eercícios de Fiação Questão 0 Letra E N ( ) ( ) ( ) ( ).(7) Portanto, como N apresenta o número 7 na sua decomposição em fatores primos, dizemos que N é divisível por 7. Questão 0 Letra Inicialmente, calculamos a quantidade de horas que eistem em 0 dias. Para isso, basta fazer horas. Para saber quantas vezes que os remédios foram tomados simultaneamente, basta contarmos quantos múltiplos comuns de, e eistem entre e 70 e somarmos com a primeira vez em que o remédio foi tomado. Logo: Raízes: e Forma fatorada: ( ) ( )( ) Raízes: e Forma fatorada: ( ) ( )( ) Substituindo na epressão, temos: ( )( ) ( )( ) Seção Enem Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: 8 figura é formada por um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e dois retângulos de dimensões a e b. MM (,,). MM.. 0 Múltiplos(,, ) 0, 0, 80,..., quantidade de múltiplos 0 Portanto, o número de vezes em que os três remédios foram ingeridos simultaneamente foram: Questão 0 Letra E asta decompor o número natural 0 0 em fatores primos e determinar o epoente do número. ssim: (0 ) (.) (99) Portanto, o epoente do número é. Questão 0 Letra D Seja l a quantidade de laranjas, em que 00 < l < 00. o dividir as l laranjas em sacos com 0 e unidades, sobrariam laranjas. Logo: l 0 q l 0q l 0q, ou seja, l é um múltiplo de 0, e 8 oleção Estudo

9 l q l q l q, ou seja, l é um múltiplo de. omo 0. e., temos que MM (0, )... ssim, MM (0, ) 900, e os outros múltiplos comuns de 0 e são: ( 800, 700, 00,...) Entretanto, temos que 00 < l < 00, e, logo: 88 < l < 88 Então, l 900, e, portanto, l 9. 9 Enfim,. Portanto, se as laranjas fossem colocadas em sacos com unidades cada um, sobrariam laranjas. Questão 0 Letra D Seja r o número de páginas restantes após o dia. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 7 r () I r ( II) Fazendo() ( I II), temos : 7 ( ) r r Eercícios Propostos Questão 0 Letra Tempo total até a colheita: V 8 semanas V semanas V semanas O tempo necessário para que a colheita seja simultânea é igual ao MM de 8, e. MM (8,, ) Logo, são necessárias semanas. Questão 0 Letra Sejam a e b números naturais. De acordo com o enunciado, temos: 8 n a quociente 7 n b quociente 8 an an 07 an. (I) 7 bn bn bn 7. (II) omparando as epressões I e II, percebemos que n, pois é o fator que repete nas equações. Logo, dividindo esse número por, obtemos resto. Questão 0 Letra D Sejam a, b e c números naturais. De acordo com o enunciado, temos: a y b z 8c omo, y, e z são consecutivos, podemos escrever: y z Substituindo y e z nas equações iniciais, temos: a y b z 8c a b 8c a b c 8 omo a b c, podemos escrever: Logo, y z y z Portanto, a média aritmética entre esses números será: Questão 07 Letra 00.. Total de divisores (p) p ( ).( ).( ).. Para termos divisores pares, basta que o epoente do fator não seja nulo, havendo então, e não, possibilidades de escolha desse epoente. Logo: q ( )( ) Questão 0 ) Sabemos que MD (a, b).mm (a, b) a.b. Logo, podemos escrever: MD (a, b).mm (a,b) a.b.0.b b Questão 0 Letra O acidente ocorreu km à frente do último telefone. Logo, o próimo telefone encontra-se km à frente. ) O número é fator de a e b pois é o MD entre esses números. Temos ainda que: MD (a, b).mm (a,b) a.b.0 a.b.(.7.) a.b..7 Portanto, os possíveis valores de a e b serão: Editora ernoulli 9

10 a. b.7 a.7 b. a b.7. a..7 b. (a,b) (,) (a,b) (,) (a, b) (, 0) (a,b) (0,) Questão Letra Na epressão m p, o menor valor de p que mantém m 7 inteiro é 7. m p m.7 m 7 7 Logo, p 7 n 8 p n 8.7 n 7 Portanto, m n 7 0. Questão 8 Letra Os números que possuem eatamente três divisores positivos são os quadrados dos números primos. Portanto, esses números são, 9,, 9,, cuja soma é igual a Questão Letra Seja o número de ações. Temos: q é múltiplo de é múltiplo de m Sabe-se que 0 < < 0; então, 9 < < 9. omo é múltiplo de, temos as seguintes possibilidades: 0 7 lém disso, temos < <, com mútiplo de. Temos: 0 9 O único valor que satisfaz as duas condições é. Portanto, temos, ou seja, cada neto receberá 7 ações. 7 Questão Letra Temos que n9 é divisível por 9, ou, pelo critério de divisibilidade por 9, que n 9 é divisível por 9, ou seja, n é divisível por 9. omo n é um algarismo de um número, 0 n 9, e, então, n. O único múltiplo de 9 nesse intervalo é o próprio 9; assim: n 9 n Foi dado ainda que: m n9 Reescrevendo a epressão anterior, utilizando a notação de valor relativo dos algarismos, temos:.00 m n.0 9 m n m Logo, m n. Questão Letra D omo a diferença p q é um número ímpar, um desses números precisa ser par, pois a diferença entre dois números pares ou ímpares é sempre par. omo o único número primo par eistente é o, então q. Portanto, p q p. q Logo, p q Questão 7 Letra De acordo com o enunciado e com a Divisão Euclidiana, podemos escrever: 7 y y 0 y < 7 y 0(não convém,pois épositivo) y y y omo queremos a soma dos dividendos, basta substituir o valor de y na divisão inicial. Portanto, como 7y y, temos: y y y Questão 8 Letra D Os números da forma n são os divisores pares de 0. Temos 0... Para termos divisores pares, basta que o epoente do fator não seja nulo. Há, então, duas possibilidades para o epoente do fator e três para o do fator, havendo, então,. divisores pares de 0, ou seja, valores possíveis para n. Questão 0 Letra D O primeiro sinal tem um ciclo de 0 segundos, e o segundo sinal tem um ciclo de 0 segundos. O tempo necessário para que os sinais voltem a fechar juntos é dado por MM (0, 0) 00 segundos. Questão Seja N o número de peças analisadas por funcionário. Para que seja necessário o menor número de funcionários, N deve ser máimo. Portanto: N MD (9 000, 700, 00) 0 Temos: funcionários funcionários funcionários total funcionários 0 oleção Estudo

11 Questão Letra D Seja N o maior número de alunos contemplados. Sabe-se que MD ( 0, 9 07). Então, temos N amarelas verdes Questão Letra D Em 007 dias total bolas por aluno partir do dia 0/0/07 (segunda-feira), temos dias 7 Logo, o º dia de 008 será segunda terça. Em 008 dias (bisseto) partir do dia 0/0/08 (terça-feira), temos dias 7. Logo, º dia de 009 será terça quinta. Observamos, pelos eemplos apresentados, que, a cada passagem de um ano comum, avançamos um dia na semana, em relação ao primeiro dia do ano anterior. Se o ano for bisseto, avançamos dois dias na semana. Em 008 terça Em 009 quinta (008 foi bisseto) Em 00 seta Em 0 sábado Em 0 domingo Em 0 terça (0 foi bisseto) Em 0 quarta Em 0 quinta Em 0 seta Em 07 domingo (0 foi bisseto) Em 08 segunda Resposta: 08 Seção Enem Questão 0 Letra E Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: 8 álculo de d : Logo, d 0. álculo de d : Logo, d 9. MÓDULO 0 Teoria dos conjuntos Eercícios de Fiação Questão 0 Observação: Sempre começar atribuindo o valor da intersecção dos três conjuntos. Em seguida, atribuir o valor das outras três interseções, sem se esquecer de subtrair do valor da intersecão dos três conjuntos. Por fim, completar o número de elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos. 8 ) 8 70 ) 7 ) 8 70 D) 8 70 Questão 0 omo são morenas, logo, 0 9 Total Morenas são louras. omo são louras com olhos azuis, logo, 9 Louras Louras com são louras com olhos castanhos. olhos azuis omo 8 pessoas tem os olhos castanhos, e, dessas, são louras, logo, 8 são morenas de olhos castanhos. S <0 <0 <0 0 <0 Questão 0 Letra Usar o Diagrama de Venn omo 8.0 8, 8 é o resto da divisão de 8 por 0, sendo, então, o referido dígito verificador. Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: Editora ernoulli

12 L no eercício, podemos escrever: 0 00 a Febre 0 Dor no corpo 0 0 b M Náuseas Observação: Sempre começar atribuindo o valor da interseção dos três conjuntos. Em seguida, atribuir o valor das outras três interseções, sem se esquecer de subtrair do valor da interseção dos três conjuntos. Do fato de que o número de consumidores de banana é igual ao de consumidores de maçã, temos: a 00 0 b a b ssim: a 0 b 00 a a 00 a 80 a 90 Logo, b 9. Daí, o número de pessoas que consomem maçã e não consomem laranja é igual a b Questão 0 Letra Observação: Sempre começar atribuindo o valor da interseção dos três conjuntos. Em seguida, atribuir o valor das outras três interseções, sem se esquecer de subtrair do valor da interseção dos três conjuntos. Por fim, completar o número de elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos Logo, o número de pacientes atendidos no posto será dado por: 0 0 Questão 0 Letra De acordo com os dados do enunciado, temos: F Q Portanto, o valor de N será: N Questão Letra Observe a tabela a seguir, em que as variáveis epressam a quantidade de candidatos em cada situação. Seo / Modalidade dministração de empresas dministração pública Masculino y Feminino z w 00 Seja o número de telespectadores que não acha agradável nenhuma das três novelas. omo o total de pessoas entrevistadas foi 000, podemos dizer, de acordo com o diagrama, que o valor de será: Questão 0 Letra D Note que a região amarela é a região comum a e a, mas não a. Logo, um elemento dessa região é um elemento que pertence a, pertence a, mas não pertence a, ou seja, pertence a. Logo, a região representa. Eercícios Propostos Questão 0 Letra De acordo com os dados da tabela apresentada ssim, em linguagem matemática, as conclusões dadas no enunciado são: i) z (y w) ii) ( y) 7(z w) iii) y w iv) w 00 Substituindo-se as condições iii e iv nas condição i e ii, temos: z 000 7z 000 Somando à segunda equação sete vezes a primeira, obtemos 000. Questão Letra Sejam M, T e N os conjuntos dos alunos que frequentaram as piscinas pela manhã, pela tarde e pela noite, respectivamente. Note que sendo 0 pela manhã e à tarde faz referência ao conjunto M T. O número de alunos que frequentaram as piscinas somente pela manhã e à tarde é igual ao número de alunos que o fizeram pela manhã e à tarde menos o número de alunos que o fizeram pela manhã, tarde e noite, ou seja, 0 8. Observe o Diagrama de Venn a seguir: oleção Estudo

13 M T F P y Sabemos que o número total de alunos que frequentaram as piscinas é 8, ou seja, 0 8 y 8. Logo, 8 y. Note que a soma anterior epressa o número de alunos que frequentaram a piscina à noite. Questão Letra D O total de espécies em etinção é: omo 7 das espécies ameaçadas viviam somente na Mata tlântica e 7 somente fora dela, podemos dizer que 7 7 espécies vivem nos dois lugares. Questão Letra D Primeiramente, ecluem-se as alternativas e, pois, pelas Leis de Morgan, apenas as alternativas e D apresentam epressões equivalentes. Todo indivíduo ou é homem ou é mulher, de forma que buscar por indivíduos mulheres equivale a buscar elementos em. Todo indivíduo ou nasceu em Uberlândia ou nasceu em outra cidade, de forma que buscar por indivíduos nascidos em outra cidade equivale a buscar elementos em. uscamos indivíduos que sejam mulheres e tenham nascido em outra cidade, ou seja, elementos que estejam em e em, estando, assim, em. Questão 7 Letra Inicialmente, podemos definir: I) a total de pessoas que leem somente a revista. II) b total de pessoas que leem somente a revista. III) c total de pessoas que leem somente a revista. IV) total de pessoas que leem a revista e. V) y total de pessoas que leem a revista e. VI) z total de pessoas que leem as revistas e. VII) m total de pessoas que leem as revistas (pessoas mais bem informadas). Sabemos que: 7 leem duas das três revistas, logo, y z 7. leem apenas uma delas, logo, a b c. 8 leem pelo menos uma delas, logo: y z a b c m 8 m 7 Portanto, eistem pessoas mais bem informadas entre as 8 entrevistadas. Questão 8 Letra onsidere o conjunto dos alunos entrevistados como o conjunto universo, e F, P e como os conjuntos dos alunos que optaram por frango, peie e carne bovina, respectivamente. Note que, por eemplo, em 7 por carne bovina e frango, faz-se referência ao conjunto F. Observe o Diagrama de Venn a seguir: N y 0 U Do dado que pessoas não optaram por carne bovina ( tem elementos), equacionamos 9 0, e do dado que pessoas não optaram por peie (P tem elementos), equacionamos 9 y 0 y 0. ssim, foram entrevistadas 9 y pessoas. Questão 9 omo de todos os alunos foram aprovados em todas as universidades, então, a intersecção dos três conjuntos será Dos alunos aprovados em, 0 também foram aprovados em, logo, para completar a intersecção entre e faltam alunos. partir desses valores, considere o diagrama a seguir: y 9 c O total de alunos aprovados em é, logo: y 9 y Sabemos, também, que o total de alunos é 87. Portanto, como todos os 87 alunos foram aprovados em pelo menos uma das universidades, temos: y b c 9 87 b c 87 9 b c Os alunos aprovados em apenas um dos três vestibulares é dado pela soma b c, logo, o valor procurado é. Seção Enem Questão 0 Letra Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: quantidade de mulheres que tem certeza que os homens odeiam ir ao shopping e pensa que eles preferem que elas façam todas as tarefas da casa, será dada por: (7% % 00%).00 Questão 0 Letra Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: i) Inicialmente, temos a b c d e f 0. ii) Se % dos alunos são homens, temos que d e f %.0 d e f 80. iii) Se 0% dos homens estão na primeira série, temos que b Editora ernoulli

14 d 0%.80 d. iv) Logo, já podemos assumir que e f 8. v) Se 0% dos alunos estão na terceira série, temos que c f 0%.0 c f 0. vi) Se 0 alunos da terceira série são homens, c 0 e f 0. vii) De ii, temos e 8. viii) Entre os alunos da segunda série, o número de mulheres é igual ao número de homens; assim, temos, de vii, que b 8. oncluindo, de i, temos que a 9. Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: No gráfico Por que vive na rua?, somando o percentual indicado em cada barra, temos: % 0% 0% 0% % %. Logo, algumas pessoas declaram vários motivos para viverem na rua. MÓDULO 0 onjuntos numéricos Eercícios de Fiação Questão 0 Letra Para facilitar a análise das alternativas, considere o seguinte diagrama: i R π i πi Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: Sejam o percentual de pessoas que vivem na rua por alcoolismo / drogas, mas não por decepção amorosa; o percentual de pessoas que vivem na rua por decepção amorosa, mas não por alcoolismo / drogas; e X o percentual de pessoas que vivem na rua devido a alcoolismo / drogas e decepção amorosa, simultaneamente. Desejamos calcular X. Pelos dados apresentados no gráfico, temos: X % X % X 0% X % X 0% Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: X % asta analisar os três casos possíveis: º) O posto X encerra suas atividades. Nesse caso, o posto Y ganha mais fregueses, totalizando 70. Já o posto Z continua com os fregueses iniciais. º) O posto Y encerra as suas atividades. Nesse caso, o posto Z ganha mais pessoas, chegando a. Já o posto X continua com os fregueses iniciais. º) O posto Z encerra as suas atividades. Nesse caso, o posto Y ganha mais 0 pessoas, ficando com. Já o posto X mantém os fregueses. ssim, a preferência nunca pertencerá a X. Questão 0 Letra D Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: Vamos analisar as possibilidades para cada candidato. ª) O candidato X terá entre % e 9% dos votos. ª) O candidato Y terá entre 0% e % dos votos. ª) O candidato Z terá entre 8% e % dos votos. Logo, os três candidatos podem vencer. Note que o candidato Z só vencerá se obtiver % dos votos e se X e Y conseguirem %. Portanto, temos que π e i. Logo, a alternativa é a correta. Questão 0 Letra D y 0, , Questão 0 Letra D ) Verdadeiro, pois, quando a representação decimal infinita de um número é periódica, trata-se de uma dízima periódica. Logo, esse número decimal pode ser transformado em uma fração, ou seja, ele é um número racional. ) Verdadeiro, pois, quando a representação decimal de um número é finita, ele pode ser transformado em uma fração. ) Verdadeiro, pois números com representação decimal finita são racionais. D) Falso. ontraeemplo: 0,..., ou seja, é um número racional, e sua representação decimal é infinita. Questão 0 Letra Temos que: y 7,... y 7, 7 7 y y 99 y y 8..., pois são frações equivalentes. y Da divisão de Euclides, temos. 8 z 8 Tome 8 e y 7 Opção inválida, pois dá resto. Tome e y 8 7 Opção válida, pois dá resto 8. Logo, y z 7 9. oleção Estudo

15 Questão 0 Letra D ) Falso. ontra-eemplo:. ) Falso. ontra eemplo: ) Falso. Eistem infinitos números irracionais. D) Verdadeiro. Sendo e y dois números racionais (eceto o zero), o número y está entre esses números, e é racional. E) Falso. ontra eemplo: ( ) 0 Eercícios Propostos Questão 0 Letra D ) π π, que é irracional. ) 0,, que é irracional. 0 ) 07, 7, que é irracional D) 0 0, 0,, que é racional E) 0, 0, que é irracional Questão 07 Letra D omo p 0, e se trata de uma fração q 99 irredutível, então podemos concluir que p e q 99. Logo, temos que: y y y 0 ( ) Questão 09 Letra y ) Falso. omo M é o ponto médio de, então: Questão Letra I) { < < 0} II) {0,,,, 8...} III) {0, 0, 0, 8,,,, } Portanto, ( ) {, 8, 0}, ou seja, três elementos. Questão Letra D Se dois conjuntos são iguais, todo elemento de um pertence também ao outro. alternativa é falsa, pois, por eemplo, pertence a, mas não a, de forma que ( ), mas. alternativa é falsa, pois 0,, por eemplo, pertence a, mas não a, de forma que 0, ( ), mas 0,. alternativa é falsa, pois, por eemplo, pertence a, mas não a, de forma que, mas. alternativa E é falsa, pois pertence a, mas não a, de forma que, mas. alternativa D é verdadeira, pois é um subconjunto de, e é um subconjunto de, de forma que é um subconjunto de. Questão Letra I) Falso. ontraeemplo: a < b: a e b > > a b II) Verdadeiro III) Falso. Se b 0 e c 0, então (a b) c a (b c). Se a, b e c ( ) ( ) Portanto, a única afirmação correta é a II. Questão 7 Letra Foi dado que 0 < y <. Multiplicando as desigualdades por (sem invertê-las, pois > 0), temos 0 < y <. Logo, y está entre zero e. Seção Enem Questão 0 Letra D Eio cognitivo: I ompetência de área: Habilidade: 8. alculando as somas sugeridas em cada alternativa, temos: ). ). M 0 0, 7 ) Falso. omo N é o ponto médio de Y, então: N 7 8 ) Verdadeiro. De acordo com as alternativas anteriores, 7 M e N 0 8 D) Falso. M 0 E) Falso. Pois M0,7 e N0,87. Questão 0 Letra E Os números 0, e são racionais, o que contradiz, respectivamente, as alternativas e D, e e. ) 8. D). 8. E) Dessa forma, vemos que a única alternativa correta é a letra D. Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: Sabemos que o ano 0, para os astrônomos, refere-se ao ano a.. ssim, o ano a.. corresponde ao ano, e o ano a.., ao ano. Já o ano d.. será o na nomenclatura dos astrônomos (pois é o ano posterior a..), e o ano d.. será o ano. Editora ernoulli

16 MÓDULO D 0 Noções primitivas de geometria plana Eercícios de Fiação Questão 0 ) asta calcular 90º 8º º. ) ( 90 ) ( 80 ) 70º 0º 70º 9º 70º º 0 0º Questão 0 Letra E omo e são complementares, temos que 90. lém disso,, em que <. 7 om os dados disponíveis, temos o seguinte sistema: Questão 0 Letra onsidere a figura a seguir com seus dados. r 0º º 0º s No triângulo formado, temos que º é ângulo eterno. Logo, 0º º º 0º 7º. Eercícios Propostos Questão 0 Seja o referido ângulo. Temos: omplemento da metade do ângulo: 90º Triplo do complemento da metade do ângulo: º Substituindo o valor de na equação a seguir, temos: Suplemento do triplo do complemento da metade do ângulo: 80º 90º (I) Os suplementos dos ângulos e são, respectivamente, e 9, portanto, a razão entre os dois suplementos é 7 9. Questão 0 Letra E onsidere a figura a seguir com seus dados. omo e são ângulos consecutivos, então 90º. Ora, o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos é: 90 Questão 0 Letra onsidere a figura a seguir e seus dados. t 0º y 0º Pela figura, temos que r // u. ssim 0 y 0, pois são ângulos alternos internos. Logo, y 00. Os ângulos e y são opostos pelo vértice, logo, y 00. Portanto, y S r u omplemento do ângulo: 90º Triplo do complemento do ângulo: (90º ) (II) Do enunciado, temos que I e II são iguais. Logo: 80º 90º 90 ( º ) 0 º 90 º 90º 80º Questão 0 onsidere a figura a seguir com seus dados. O 0º 0º Para ângulo consecutivo a O (ou seja, que tem um lado em comum com O), temos duas opções: Ângulo O Ângulo O onsiderando a primeira opção, temos: O º 0º O º onsiderando a segunda opção, temos: O º 0º O º Portanto, os valores possíveis para o ângulo pedido são º ou º. oleção Estudo

17 Questão Letra omo as medidas, y e z são proporcionais a, 0 e, temos: k (i) y 0k, k z k * Da figura proposta no enunciado, concluímos que: (ii) y z 0º De (i) e (ii): k 7, Portanto,.7, º, e o suplemento de vale 80º º º. Questão Letra E onsidere figura a seguir com seus dados. t s 0 90º 0 O ângulo obtuso de medida 0º 90º, formado entre a reta s e a base do triângulo, mede 0º, pois é alterno interno ao ângulo de 0º já assinalado. Equacionando, temos: 0º 90º 0º 70º Questão Letra Observe a figura a seguir: Seção Enem Questão 0 Letra Eio cognitivo: I ompetência de área: Habilidade: omo informado no enunciado, II partiu de rasília, formando um ângulo de º, no sentido horário, com a rota rasília-elém, que é aproimadamente vertical. penas com a noção de que o ângulo de º é maior que o de 90º e menor que o de 80º, vemos que II pode ter ido para elo Horizonte ou para o Rio de Janeiro. omo nenhuma das alternativas da questão cita o Rio de Janeiro como opção de destino para II, concluímos que II foi para elo Horizonte. Partindo de elo Horizonte, III seguiu uma direção que forma, com a direção rasília-elo Horizonte, 90º no sentido antihorário, ou ainda, º 90º º, no sentido horário, com a rota rasília-elém. ssim, apenas tendo a noção de que o ângulo de º é maior que o de 0º e menor que o de 90º, vemos que III se dirigiu a alguma das capitais de estados nordestinos. única alternativa em que isso ocorre é a alternativa. Questão 0 Letra Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: 7 asta notar que as figuras são simétricas verticalmente. Para perceber isso, basta colocá-las uma em cima da outra, em qualquer ordem. Fazendo o mesmo com a figura III, encontraremos a sua correspondente: I III y Note que todos os ângulos agudos têm a mesma medida, e que qualquer ângulo obtuso tem medida y. ssim, do enunciado, tiramos: 7º º omo e y são suplementares, temos: y 80º º º Questão Letra II Questão 0 Letras e D Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: 7 Para que a figura possa pavimentar o plano, devemos ter, para cada saída, uma entrada correspondente, formando um encaie. Isso ocorre nas alternativas e D. omo os ângulos de medidas e b são colaterais internos, temos que b 80º. Da relação de ângulos correspondentes, temos 0º 0º. Substituindo esse resultado na primeira equação, temos: b 80º 80º 00º. Questão Letra D Triplo do complemento de um ângulo : π Terça parte do suplemento de um ângulo : ( π ) π 7π Do enunciado: ( π ) ) D) Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: 8 Para preenchermos corretamente o espaço indicado no tabuleiro da figura, devemos utilizar uma peça que complete o desenho que está na peça à direita. ssim, somente a peça pode ser utilizada. omo na peça a parte inferior deve ficar voltada para a direita, devemos girá-la 70º no sentido horário, ou 90º no sentido anti-horário. Editora ernoulli 7

18 MÓDULO D 0 Triângulos e pontos notáveis Eercícios de Fiação Questão 0 Letra Questão 0 Letra D Observe a figura a seguir: F E D Observe a figura a seguir: P 0º E D 77º Y º Q R º O ângulo PRQ é oposto ao ângulo de, logo, PRQ. lém disso, o ângulo QPR é o suplemento do ângulo de 0, portanto, QPR O ângulo a é um ângulo eterno do triângulo PQR, logo: a 77 a 0. Questão 0 Letra D onsidere a figura a seguir com seus dados. a F y b D b b a O ângulo é ângulo eterno ao triângulo D. Logo, b a (a b). (I) O ângulo y é ângulo eterno ao triângulo E. Logo, y a b. (II) De I e II, temos y. ssim, y y 80º y 0º. Daí,.0º 0º. Questão 0 Letra onsidere a figura a seguir com seus dados. 00 omo um dos ângulos internos do triângulo vale 00º, então, 80º, pois se houvesse dois ângulos medindo 00º, a soma dos ângulos internos seria maior que 80º. Seja o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos e. Daí: 80º 80º 80 80º 0º Mas, como 0º é obtuso, então, o ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos ângulos e é 80º 0º 0º. E X 0 mm 0 mm F o realizar a dobra, o ponto F deve coincidir com o ponto, desse modo, o triângulo retângulo E é congruente ao triângulo EF, logo: EF E 0 mm E é isósceles ssim temos que 90. Por paralelismo podemos observar que e y são suplementares, logo, y. Questão 0 Letra ompletando os triângulos e E com os ângulos que faltam, temos: 0º 0º E 70º 70º º º D Para descobrir qual é o maior lado na figura, analisaremos os três triângulos partindo do DE. Nesse triângulo, o maior lado é o segmento E, pois esse é a hipotenusa. onsiderando o triângulo E, temos os lados E > E, pois ao maior ângulo se opõe o maior lado. Por fim, analisando os ângulos do triângulo, concluímos que > >. Eercícios Propostos Questão 0 Letra D omo D e E são suplementares e E 80º, então, D 00º. omo E 80º é eterno ao triângulo (e, então, E),.E E e D é bissetriz de, D 0º. Pela soma dos ângulos internos ao triângulo D, temos, então, D D D 80º D 0º. 8 oleção Estudo

19 Questão 0 Letra Observe a ilustração a seguir: R h No triângulo equilátero, todos os pontos notáveis são coincidentes, de forma que o segmento (de comprimento R) que liga o centro do círculo circunscrito a um vértice do triângulo coincide com o segmento (de comprimento h, já que o baricentro divide as medianas na razão para ) que liga o baricentro a esse mesmo vértice. Determinando, pelo Teorema de Pitágoras, a altura do triângulo, temos h ¹. Logo, R h. Questão 0 Letra NP PQ, pois MNPQ é um quadrado. NP PR, pois o triângulo NPR é equilátero. Logo, PQ PR, e, então, o triângulo PQR é isósceles, e PQR PRQ. omo RPN 0º, por ser ângulo interno de um triângulo equilátero, e como RP N e RP Q são complementares, temos RPQ 0º. Pela soma dos ângulos internos do triângulo isósceles PQR, PQR PRQ ( 80 0 ) 7º e, como a e PQR são complementares, a º. Questão 08 Letra D Pela geometria da situação, podemos etrair a seguinte figura: M θ Q Das relações anteriores, temos: 00º 00º Questão Letra onsidere a figura a seguir com seus dados. omo D D, temos: D D D D D é ângulo eterno do triângulo D; portanto: b a O triângulo é isósceles, então, pela soma de seus ângulos internos, temos: b a 80º Das relações anteriores, temos: 80º D. 80º º Questão 8 Letra D Observe a figura a seguir: M Q 7 y P y 9 ( y) y R N y y N 70º No MNP temos que: a b a b 0 a b No MQN temos que: θ 80 θ 80 θ Portanto, MQN. Questão onsidere a figura a seguir e os ângulos assinalados por a e b. D 0 omo b é ângulo eterno do triângulo, temos: a b No triângulo D, b é ângulo eterno. ssim: 0º a b P P é bissetriz de e P é bissetriz, portanto: MP PQ NP PR omo MN //, temos que: MP PQ NP PR lém disso: M / / PQ MP PQ N / / PR NP PR Podemos observar que os quadriláteros MPQ e NPR são losângos, cujos lados medem respectivamente e y. Seja p o perímetro do MN, temos: p y 7 y p Seja p o perímetro do PQR, temos: p y 9 y p 9 razão entre os perímetros dos triângulos MN e PQR respectivamente, será p p' 9. Editora ernoulli 9

20 Questão 0 Letra Observe a figura a seguir: y Questão 0 Letra E Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: 8 onsidere a figura a seguir com seus dados. h y P M N O triângulo é equilátero e possui lados com medidas iguais a cm, logo, sua altura é igual a 9 cm. onsiderando a distância do baricentro até o lado do, temos que: omo N é ponto médio de, N. omo M é ponto médio de, MN é base média do triângulo e mede y. Então, sejam S MN a área do quadrilátero MN, S MN a área do triângulo MN e S a área do triângulo. Logo: 9. cm Os triângulos possuem o mesmo baricentro e os lados paralelos, logo, a distância y do baricentro até o lado do é igual a: y y y cm 7 S S S S S MN MN MN. y y y S. S. S MN MN y y S y MN S y S MN y onsiderando h a altura do, temos que: y h h y h. 7 h cm Portanto, a medida das alturas do é igual 0, cm. Seção Enem Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: MÓDULO E 0 Trigonometria no triângulo retângulo Eercícios de Fiação Questão 0 Letra D Habilidade: 8 Seja P o ponto onde se localizará a estação. omo P deve ser equidistante de e, P deve pertencer à mediatriz m do segmento, representado na figura a 7 0 seguir. Seja a distância de P à reta que liga e D. Teremos, pois, a seguinte situação. 0 km sen0º 7 Þ 7 Þ, 0 0 M P m Questão 0 Letra 0 km D omo o triângulo MP é retângulo, temos: (0 ) Portanto, o ponto P deve estar na perpendicular à estrada que liga e D passando por seu ponto médio, a km dessa estrada. cos h L Þ L hl.cos L h 0 oleção Estudo

21 Questão 0 Letra Observe a figura a seguir, com seus dados. D 0 0 H km omo as retas r e s são paralelas cortadas por uma transversal, então D, ou seja, º. Sabemos que 0º º º. Logo, o triângulo é isósceles de base, ou seja,. Sabemos também que H 90º 0º 0º. nalisando o triângulo H, temos: cos 0º H omo, então: H cos 0 H cos 0 Questão 0 Letra tg 0º 0 km 0 0 Questão 0 Letra P Þ Þ 0. 0 Observe a figura a seguir: r s ( G ) Eercícios Propostos Questão 0 Letra D Observe a figura a seguir, com seus dados. 0 Seja a medida da altura da montanha. Então, temos: tg 0º Questão 0 Letra 7, Observe a figura a seguir, com seus dados D 0 cos 0º D 0 Questão 07 Letra D tg 0º ( ) Questão 08 Letra E h d Temos que: h h tg tg h tg h dtg. tg. d h d.tg h tg. tg h.tg d.tg.tg h.tg dtg tg h(tg tg ) d.tg.tg h.. tg tg Seja o ponto E o escritório. De acordo com a Figura a seguir, temos: sen 0º Questão 09 Letra E O valor de y será dado por: 0º 0º 0º 0 E 0º 0 0º sen 0º sen 0º sen 0º sen 0º cos 0º cos 0º cos 0º cos 0º y Editora ernoulli

22 Questão 0 Letra Observe a figura a seguir, com seus dados. 0º h 0 0º 0º 0º 0 MÓDULO E 0 rcos e ciclo trigonométrico Eercícios de Fiação Questão 0 Letra 0 h sen0º Þ Þ h 0 Þ h 80 0 Sabemos que a altura do teodolito é de, metros, logo, a altura do morro é igual a 80, metros. Seção Enem Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: 8 Mantendo a mesma trajetória, a menor distância, em m, do barco até o ponto P é 000 0º 0º 0º 000 P d 0.0º 0º 0.0º 0º 0º Questão 0 Letra De acordo com o enunciado, temos: 0º ) E (Sentido anti-horário) 70º ) E H (Sentido horário) º ) H (Sentido anti-horário) Logo, 0º 70º º º. Portanto, o cofre será aberto quando a seta estiver no ponto médio entre L e. Questão 0 Letra Observe a figura a seguir, com seus dados. d sen 0º 000 d. 000 d 000 m 0 l Questão 0 Letra Eio cognitivo: III ompetência de área: Habilidade: 8 Seja a localização do balão e h H sua altura, conforme a figura a seguir: 0 0 minutos 0 minutos ou π Daí, o seu comprimento l é: l a.r l π. l 8π l, Portanto, a distância percorrida pelo ponteiro do relógio é de, cm. h H 0 O 0 O,8 Km,7 Km omo o ângulo  mede 0 (pois é suplementar ao ângulo ÂH), temos no triângulo : Logo, o triângulo é isósceles e,7 Km. Então, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo H, chegamos a: H H,8 h,7 h 0, h, Questão 0 Letra Observe a figura a seguir, com seus dados. R R 00 π O comprimento do arco da circunferência é: l a.r π.r 000 m π 000.R R π R 8,97 R 8 m Portanto, o raio da circunferência mede, aproimadamente, 8 m. oleção Estudo

23 Questão 0 Letra E y Questão 0 Letra D Observe a figura a seguir, que representa o arco descrito pelo ponto mais alto Q P O 0 7 R 00 π rad 0 π 0π R 00. m 0 9 OQ.OP.sen a S Þ..sen0º Þ Þ Questão 07 Letra Observe a figura a seguir, com seus dados. J Eercícios Propostos Questão 0 Letra onsidere a figura a seguir, que representa a geometria da situação. 0 P O comprimento do arco PJ em metros é: l PJ.. m 0 π π M 0º π rad Questão 0 Letra Observe a figura a seguir, com seus dados. 0 0 Seja o ângulo formado pelo relógio às h 0min. omo o relógio é dividido em partes, o ângulo central entre dois números consecutivos será dado por 0 0. Logo, o ângulo pedido será: 0.0º 0º 0 0º 0º 0º0º Questão 0 Letra De acordo com os dados do gráfico, temos: (7,%). π (,%). π ângulo central em rad 7,, π. π. π rad Questão 0 Letra ângulo central em rad,98. a,.(.,) a,.(p) ( voltas e meia) Portanto, a figura correspondente nesse momento é a seguinte: D 9 0 Note que o ponteiro menor demora 0 minutos para descrever um arco de 0º. ssim, em minutos:. 0 0' 0 Menor ângulo.0º º0' º0' Questão Letra D Sendo a o comprimento do arco de 8 cm em radianos, temos: a(rad) R Seção Enem 8 Questão 0 Letra D Eio cognitivo: II ompetência de área: Habilidade: 900º.0º 80º voltas e meia Questão 0 Letra Eio cognitivo: I ompetência de área: Habilidade: onsidere a figura a seguir, com seus dados. y P r d r P d O Q Q Editora ernoulli

24 Temos que: d r.a a d r Logo: cos a r r.cos a r.cos d r omo Q e Q' pertencem ao eio, temos que: d' r d' r r.cos d r d' r cos d r MÓDULO E 0 Funções seno e cosseno Eercícios de Fiação Questão 0 Letra D Pelo gráfico, temos que o período p. Logo: π π m m curva representada se aproima da função seno, assim temos: π V(t) 0,.sen t Eercícios Propostos Questão 0 Letra Observe a figura. y Questão 0 Letra P() P() ( ) 00 O,70 período p.,70,0 0p p π m m f sen ( ) % 00 % 0, % Portanto, em Julho, haverá uma queda na quantidade vendida em aproimadamente 9,%. Questão 0 Letra Sabemos, da relação fundamental, que: sen cos sen sen sen sen ± Por hipótese, o ângulo está no terceiro quadrante, ou seja, sen < 0. Logo, sen. Questão 0 Letra Para encontrar o período da função, devemos avaliar qual deve ser a variação de para que o argumento do cosseno varie de π. Sendo a um valor qualquer e p o período procurado, matematicamente, temos: ( a p) () a π π p a p a p p π π π π π π imagem da função cosseno é o intervalo [, ]. Logo: cos π.cos π Questão 0 Letra Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos: (sen cos ) sen.sen.cos cos Sabemos, da relação fundamental, que sen cos, logo: sen.cos sen.cos sen cos 8 Questão 0 Letra D Sabemos que: 9π π π π π π.( π) omo a função do gráfico possui período π, podemos 9π representar f como: Reta paralela ao eio y.cos 8 π Por isso, a imagem de f() é [, 8]. Questão 0 Letra D Seja f() 8.cos, essa função assume valor máimo quando cos. Logo: f má () 8.(-). Logo, f 9π f π π π π 9π Portanto, para y f, temos < y <. oleção Estudo

25 Questão 0 Letra π p 7π p 7 Im [ 7, 7] k 7 kp MÓDULO E 0 Funções tangente, cotangente, secante e cossecante Questão 08 Letra mín má( cos ) ( ) cos mín cos Questão Letra D ( ) sen cos a a a a a a 8a 0 a não convém, pois R a 0 a < Questão Letra tg θ O D tg θ O D Seção Enem O D ( ) Questão 0 Letra Eio cognitivo: IV ompetência de área: Habilidade: 7 Sabemos que o apogeu e o perigeu ocorrem quando r assume seus valores máimo e mínimo, respectivamente. Logo: r má. r mín Km 0,.( ) ,.( ) Km ssim, S Km. Questão 0 Letra Eio cognitivo: I ompetência de área: Habilidade: Sabemos que os valores máimos e mínimos das vendas serão dados quando: Máimo: sen Mínimo: sen πt πt t,7 e t, e 9 ssim, concluímos que as vendas são maiores nos meses de março, julho e novembro. Eercícios de Fiação Questão 0 Letra D asta resolver a equação trigonométrica: cos sen sen ( cos ) sen cos Pela relação fundamental cos sen, temos: sen cos sen ( cos )( cos ) sen ( cos ).sen cos, pois sen 0 não é solução da equação inicial. Logo:.cos sen. sen cos Portanto, tg <. cos sen Questão 0 Letra tg a sen cos tg a sen a.cos Da relação fundamental, vem: (a.cos ) cos cos (a ) cos cos a cos ± a, pois π a < < p omo vimos, sen a.cos ssim: sen cos Questão 0 Letra T ( 0º),. tg 0º a a T ( 0º),., 9 h T(0º),. tg 0º h a. a a a a Portanto, a diferença entre o total de horas de sol na cidade do Porto legre será: T,9 h h T,9 h h min. Editora ernoulli

26 Questão 0 Letra E tg tg Podemos determinar a área do (S ) subtraindo, da área do trapézio, a área dos outros dois triângulos, logo: S ()... S. cotg tg Questão 0 Letra omo sen para º quadrante, temos : sen cos cos sen sen sen Logo, tg cos Questão Letra.sen θ.tg θ.sen. sen θ θ cos θ.sen θ.sen θ.cos θ.sen θ.( sen θ).sen q.sen q 0 sen θ cos θ, pois 0 < θ < π sen θ ( não convém, pois sen θ ) Questão Letra E Sabemos que cot g. Logo, tg (cotg ) cossec sen sen Questão Letra D tg (90º ) tg (90º ) Seção Enem sen sen(90º ) cos cos(90º ) sen cotg Eercícios Propostos Questão 0 Letra omo º quadrante, temos: ON cos OM sen P tg Questão 07 Letra E omo sen, então: Questão 0 Letra D Eio cognitivo: I ompetência de área: Habilidade: L() π. π sec sec L() cos π sen cos cos 9 Logo : cos 9 cotg tg cos sen Questão 09 Letra cos cos º quadrante cotg cos (tg )(sen ) sec.( cos ) cos.( cos ) Questão 0 Letra π sen π cos PQ tg cotg π sen cos L() Questão 0 Letra Eio cognitivo: I ompetência de área: Habilidade: 0 00 omo o mês de abril corresponde a t, temos que: L () 00 0.cos π. L () L () 00 0.cossec π cos π 00 0.cossec π L () sen π Logo, concluímos que, no mês de abril, a empresa lucrou R$ 000,00 a mais que a empresa. oleção Estudo

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28 Rua Juiz de Fora, 99 - arro Preto elo Horizonte - MG Tel.: ()