Resoluções das Atividades

Transcrição

1 VOLUME MTEMÁTI 1 Resoluções das tividades Sumário ula 1 Operações e problemas envolvendo conjuntos...1 ula 1 onjuntos numéricos... ula 1 Operações e problemas envolvendo conjuntos tividades para Sala 0 Pessoas que gostam apenas de azul: X Y X Y 01 0 asta fazer o diagrama de Venn e somar todos os valores = Sejam M, T e N os conjuntos dos alunos que frequentaram as piscinas pela manhã, pela tarde e pela noite, respectivamente. Note que sendo 0 pela manhã e pela tarde faz referência ao conjunto M T. O número de alunos que frequentaram as piscinas somente pela manhã e pela tarde é igual ao número de alunos que o fizeram pela manhã e pela tarde menos o número de alunos que o fizeram pela manhã, pela tarde e pela noite, ou seja, 0 8 = 1. Observe o diagrama de Venn a seguir: M T Pessoas que gostam apenas de branco: Y X X Y Pessoas que gostam apenas de 1 cor: (X Y) (Y X) Sabemos que o número total de alunos que frequentaram as piscinas é 8, ou seja, = 8. Logo, = 1. Note que a soma anterior epressa o número de alunos que frequentaram a piscina à noite. N Pré-Universitário 1

2 VOLUME MTEMÁTI 1 0 onsidere o conjunto dos alunos entrevistados como o conjunto universo e F, P e como os conjuntos dos alunos que optaram por frango, peie e carne bovina, respectivamente. Note que, por eemplo, 7 por carne bovina e frango faz-se referência ao conjunto F. Observe o diagrama de Venn a seguir: 0 situação-problema pode ser demonstrada no diagrama a seguir: Professores ientistas F 9 P 0 U Dado que pessoas não optaram por carne bovina ( tem elementos), equacionamos = =, e dado que pessoas não optaram por peie (P tem elementos), equacionamos = =. ssim, foram entrevistadas = = = 8 pessoas tividades Propostas 01 E Representemos por meio de um diagrama de Venn a situação descrita no problema. Nele, os conjuntos, e representam, respectivamente, as pessoas que gostam dos refrigerantes, e ; U é o conjunto de todas as pessoas pesquisadas. Indicaremos no próprio diagrama os percentuais de pessoas em cada um dos conjuntos e em suas interseções U Professores, Matemáticos, ientistas Matemáticos I. Eistem somente professores. II. Eistem professores e cientistas. III. Eistem professores, cientistas e matemáticos. 0 Sejam os conjuntos: = tem antígeno = tem antígeno = não tem nenhum dos dois = n( ) = n() + n() + n() n( ) = n( ) n( ) = =. 0 omo 0% dos candidatos à dministração Pública eram homens 0% eram mulheres. Mas 0% dos candidatos = candidatos a dministração Pública = % dos candidatos =.000, 70% de.000 =.000 = mulheres candidatas para dministração Pública = homens candidatos para dminstração Pública. 0 Usando o diagrama de Venn e sendo T o total de entrevistados: Líquido Drágeas 1 ssim, a probabilidade de que uma pessoa entrevistada goste de uma única marca ou de nenhuma é 9% + % + 0% + 8% = 7%. T + z = T T T + z = + + z+ z = T T T T z = T 1 + = + 7 T + T T T = 1 7 1T = 1 T = z Pré-Universitário

3 VOLUME MTEMÁTI 1 0 E Sejam: : quem acertou a primeira. : quem acertou a segunda. : quem acertou a terceira. Fazendo o diagrama de Venn: = = 8 = 1 = 07 E Sejam: : hemofílicos : homosseuais : toicômanos O diagrama fica: Temos que = = e n o de pacientes = 7 7 = = 7 + = 1 omo eistem mulçumanos que não são árabes T ( M) = conjunto de pessoas que não são árabes nem mulçumanos. 09 I. hamaremos o total de pessoas de. II. Leem notícia =. III. Leem O informativo =. IV. Leem os dois =. V. Temos o diagrama: N = = I a = a + = + a = + a a= = = a = D Pelo diagrama de Venn: ula 1 I. asta somar os valores: 00 II = 7 III = 8 IV. 0 = % de 00 V. 98 = 19,% de E Se a família obteve quilogramas de latas de alumínio e quilogramas de garrafas de plástico, resulta, de acordo com o enunciado, que: = =, 90+ 0, 17 = 1, 0 90, + 0, 17 =, = =, = 1, 0 = Portanto, foram quilogramas de plástico. 0 Temos os conjuntos: I. = [ 1; ) = II. = [1; ] = III. = [; ) = IV. D = (1; ] = V. E = (0; ] = VI. = VII. D = VIII. ( ) ( D) = onjuntos numéricos IX. [( ) ( D)] E = tividades para Sala Sendo a, b, c e d, respectivamente, as quantidades de conceitos,, e D que alvin tirou, temos: d= b d= b c = a+ c = a+ 0a+ b+ c+ d= a b = Pré-Universitário

4 VOLUME MTEMÁTI 1 01 I. = { Q / = } = II. = { Z / < < } = { ; 1; 0; 1; } III. = { N / 1 < < } = {1; ; } 0 Sejam V, E e D, respectivamente, as quantidades de vitórias, empates e derrotas dessa equipe no campeonato. Do enunciado, temos: 0 D 70 omo b a 0 a a. Sendo a um número par, temos: a= 0 b= N a = b = 1 a= b= N a= b= N Logo b = 1, que é um quadrado perfeito. 0 ada galão tem capacidade de,8l, como foram 0 galões: 0,8 = 190L Sabemos que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,0 real e que o turista teve um custo total de 1 dólares, então: 1 1, =, reais Dividindo o gasto total em R$ pela quantidade total de litros, temos o valor em R$/L:, = 18, R$/L 190 () 1 E= D V+ E= J ( ) V+ E+ D= J ( ) V+ 1 E= P E= P V Da duas igualdades anteriores, segue que: V + (P V) = J V + P V = J V = P + J V P J = Sejam e as quantidades iniciais de mulheres e homens, respectivamente, presentes na festa. pós a retirada de 1 mulheres, sobram 1 mulheres e homens e, depois, com a saída de homens, sobram 1 mulheres e homens. Temos: ( 1) = 1= ( ) = tividades Propostas Logo, incialmente havia pessoas na festa. 0 0 Sejam: o número de candidatos que se declaram na primeira situação; o número de candidatos que se declaram na segunda situação; z o número de candidatos que se declaram na terceira situação. Temos: + z = z = 0 + = 0 Somando membro a membro, temos: + + z = 00 e, portanto, + + z = 170. Das informações do enunciado, o volume de água necessário para abastecer toda a população do planeta por um ano, em litros, é: = 7 9 1,, = 8, 1,8 1 Ou seja, está entre 1 e 1. 0 D Em 1 hora = 00 segundos, a quantidade máima de voos que irão decolar, respeitando a norma, é de = 81. ssim, para a regra não ser respeitada, é suficiente que: Q = D omo houve provas, foram distribuídas medalhas de ouro, medalhas de prata e medalhas de bronze. Da tabela, concluímos que: + + = + = (1) + + z = () omo a equipe III obteve 18 pontos, temos, da tabela, que + + z = 18 () Das igualdades em (1), () e (), resulta o sistema: + = + + z = + + z = 18 Resolvendo esse sistema, obtemos =, = e z =. Número de pontos da equipe I: + z + 1 = Número de pontos da equipe II: () = 0 Número de pontos da equipe III: 18 equipe I foi a vencedora, por ter o maior número de pontos. Pré-Universitário

5 VOLUME MTEMÁTI 1 08 D I. Temos o número. II. Se invertermos a ordem para, temos que >, com isso temos >. III. + = soma dos algarismos é um quadrado perfeito. IV. = + = + = = = 7 9( ) = 7 =, confirma que >. V. omo + = quadrado perfeito e = 9, então temos = e =. 09 D Em reais, cada broa custou a Luiz a importância de, =,. Pelas duas broas cedidas, José, que recebeu R$,, deveria ter recebido R$,. Pelas três broas, Geraldo recebeu R$, R$, = R$,80, mas deveria ter recebido R$,1. Portanto, Geraldo deveria ter recebido R$0, a mais, pois R$,80 + R$0, = R$,1. D Para n = 11, temos as seguintes passagens: São necessárias 1 passagens. Pré-Universitário