Matemática. Resoluções. Aula 01. Extensivo Terceirão Matemática 1A E = =

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1 ula Resoluções Matemática.. E ( + ) + ( ) E ( + + ) + ( + ) E +.. a b a b ( a b).. M a + a M ( a) + ( a) M ( a) + ( a) M ( a)( + ).. ( cos α ) ( cos α) ( cos α) ( cos α ) cos α cosα ( a+ b) a + ab+ b a + b ( a+ b) ab a + b ( a+ b) ab a+ b a + b a + b ab.7. ( + y) ( + y ) + y + y 7 ( + y) 7+ ( + y) 9 y.. ( y) ( + y) [( y) + ( + y) ] [( y) ( + y) ] ( y) y y ( ) ( 97 97) Ezequiel deve marcar, como correta, a resposta que contém o número N 7 7 N ( 7+ 7) ( 7 7) N 79 N ab ab ab( a b).... ab( a b) ab 7 ab a b 7 ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + N 99 N ( 99 ) N ( + 99) ( 99) N N ( ) ( ) N.. Sendo a epressão igual a E, temos: E + + ( ) E + + ( ) (+ )( ) E + + ( + )( ) ( ) ( + ) + E ( + )( ) + E ( + )( ) ( ) E ( + )( ) E + Etensivo Terceirão Matemática

2 .. m + m mm mm m m + m+ ( + ) m + m+ ( + ) ( m+ ) ( m+ ).. Sendo E o valor da epressão, temos: E E E E E + + E + E + E E E.7. c a b c b a ab y ( + ) c + b a b a ab a b c ab y ( a b + c) a ab+ b c ab a b c y ( + ) ab a b c ab a ab+ b c ab y ( a b c) ( a b+ c) ( a b) c ab y ( a b c) ( a b+ c) ( a b+ c) ( a b c).. a+ b a + b y (a + b ) y (a+ b) ab ab (I) y (a+ b) (a + b ) y a + ab + a b+ b y a + b + ab(a+ b) y a + b + ab a + b y ab (II) Substituindo (I) em (II): y a + b y y a + b y ( ) y a + b y a) 9; Nab (, ) ( a b) + ab N( 9, ) ( 9) + 9 N( 9, ) + N( 9, ) 9 b) zero Nab (, ) ( a b) + ab Na (, a) ( a a) + a a Na (, a) a + a Na (, a) a Para qualquer número a inteiro, o algarismo final de N( a, a) a é zero. y ab Etensivo Terceirão Matemática

3 ula ( ) ± ± ou S, 7+ ( 7) 7 7 ± ± ou Portanto, a maior raiz da equação 7+ é. 7 ( 7) ± ± ou. maior das raízes da equação 7 é igual a... Sendo o número, temos: k, ; > > k> > k k <.., k +,, ; ( k),, k, k, k, k, ou k, Portanto, os valores de k pra que a equação tenha duas raízes reais e iguais são, e,..7. Se é uma das raízes da equação + p q, então: + p q + p q p q.. I. Incorreto Quando o discriminante de uma equação do segundo grau é negativo, suas raízes não são reais. II. Incorreto + as raízes dessa equação não são reais. III. Incorreto + ( + ) ou.9. ( ) ( + ) ou + a) Incorreto b) orreto + ( ) < c) Incorreto + ( ) < d) Incorreto e) Incorreto e são números irracionais... + ± ± > ou a e b a e b a+ b + a+ b.. m +, ; ( m) m m m m± m oum Os valores de m são e... + Etensivo Terceirão Matemática

4 .. + k+ ( k ) k ( k ) k k+ ( k ) k k ( k ) ± ( ) ou k a) Incorreto < b) Incorreto k < se k >. c) orreto s raízes e k serão números consecutivos se k ou k. d) Incorreto é ímpar... Se e indicarem os comprimentos das duas partes do arame, então e indicarão as medidas dos lados dos quadrados. ssim: Área() Área() Sendo < <, temos que: Então, deve-se cortar o arame em duas partes cujos comprimentos, em metros, são e... onsiderando que os números são e, temos: + ( ) + ( + ) ou e os números são e..7. ( + ) ( ) (( ) + ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + >.. onsidere que a medida do lado menor é igual a m e a do lado maior, ( + ) m. Se o retângulo tem 7 m de perímetro, então: + + ( + ) + ( + ) 7, m ssim, o menor lado mede, m e o maior,, m, donde segue que: Área,, m Valor,, 7 reais Ou seja, o valor do terreno do Sr. Joaquim é R$7, e + e + ( + ) ( + ) + + ( + ) a) trabalhadores; + n n n (n ) + n (n ) n (n ) + n (n ) n n n (não convém) ou n 9 n 9 n trabalhadores realizaram o serviço. b) R$, cada um dos trabalhadores recebeu R$,. Fazendo ( ) k, temos: k k k ± k ± Etensivo Terceirão Matemática

5 ula.. ( ) ou ( ).. ( )( ) ( )( ) + é uma equação do ọ grau que admite como raízes os números e. Outra forma: a + b + c ( a ) a a b c + + a a a b a c + + a ( + ) + ( + ) ou a forma fatorada da equação é ( )( )... ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( + ) ( ) + Outra forma: a + b + c ( a ) a a b c + + a a a b a c + + a ( + ) ( ) ( ) 7 ( ) ou soma das raízes + a, b ec c a.7. + a b ec b + a c a.. ( )( ) ( ) ( + ) + + Outra forma: b b a a c a a + b + c b c + + a a b b b b + (+ ) + ( ) a a a a c c c c. (+ )( ) 9 a a a a a + b + c b c + + a a ( k ) b c + b c a a b c ( ) ( k ) k Etensivo Terceirão Matemática

6 .. ( m+ ) + c a c a a c m+ m.. Se a e b são raízes da equação k+ k, então: a+ b k a b k ( a+ b) a + ab+ b ( a+ b) ( a + b ) + ab ( k) 7, + k 9k 7+, k 7k 7, k,.. ( k ) k + b c + b c a a b c ( k) k.. 9+ ou a hipotenusa do triângulo retângulo mede unidades de comprimento e um dos catetos, mede. ssim, o outro cateto mede, pois, pelo teorema de Pitágoras, +. onhecendo-se as medidas dos catetos de um triângulo retângulo pode-se determinar a sua área: Área Área u.a... m e n m+ n e m n n m + + m n m n α+ β 9 e α β 79 ( α+ ) ( β+ ) α β+ ( α + β)+ ( α+ ) ( β+ ) ( α+ ) ( β+ ) Na equação m + temos e. Portanto: + m + m Na equação p+ q temos + e +. Então, nessa equação: q + q q Mas, da primeira equação, + m e. Então: q q.. Receita p ( ) + + ou p p p+ p R$, p p.9. m p (com p ) (m + p) m + (m p) b m + m p a m+ p c c a a m p m + p m p Portanto, para que as raízes da equação ( m+ p) m+ ( m p) somem e uma seja o inverso da outra, é necessário que se tenha m p, com p... m 9 m + + m + e m ( ) m m 9 Etensivo Terceirão Matemática

7 ula Resoluções.. Sabe-se que n( ) n() e n( ) n(), ou seja: n( ) 7 (I) e n( ) (II) Se as condições (I) e (II) devem ocorrer simultaneamente, conclui- -se que: n( ).. partir das ilustrações, as seguintes afirmações são verdadeiras: I.,, φ, φ II.,,, φ, φ, φ III.,,,, φ IV.,, ( ), e Logo, a alternativa correta deve conter a seguinte correspondência: (, II) e (, IV)... [( ) ] ( ) [{,,,, } {, }] {} {,, } {} {,,, }.. O conjunto formado por todos os elementos comuns ao conjunto e ao conjunto é definido como sendo o conjunto denotado e definido por { e }... O mínimo múltiplo comum entre, e é igual a. Logo, os múltiplos comuns de, e constituem o conjunto dos múltiplos de... ) Verdadeira. ( ) ( ) { } { }. ) Verdadeira. Se {,, } e { }, então, e. Se {, } e { }, então e. Se {,,,, }, então {, } e ( ). onclusão: o conjunto não possui elementos eclusivos, compartilhando o elemento com o conjunto e o elemento com o conjunto. ) Falsa. {, } {,, } {}. ) Falsa. Se {, }, então. ) Falsa. Se {,, }, {, } e {, }, então: ( ) [{,, } {, }] {, } ( ) { } {, } ( ) {,, }.7. Se X Y {,, 7}, então X, Y, X, Y, 7 X e 7 Y. Logo, uma vez que estes são os únicos elementos comuns, necessariamente, e y 7. Portanto, 7 y Pelo gráfico a região correspondente ao conjunto ( ) ( ) deve ser constituída pelos elementos que são de ou, mas não são de e. Em outras palavras a região é constituída pelos elementos eclusivos de ou eclusivos de. Desta forma, a alternativa D é a única necessariamente correta. Matemática.9. questão pode ser resolvida por diagramas. Por outro lado, pode-se também resolvê-la considerando que U representa o conjunto universo e que são válidas as relações: c, em que c é o conjunto complementar de ( ) c c c (relação de De Morgan) ( ) ( ) ( ) (propriedade distributiva) U, qualquer que seja Logo, tem-se: ( ) ( ) ( c ) ( c ) ( ) ( ) [( c ) ] [( c ) c ] ( ) ( ) [( ) ( c )] [( c ) ( c c )] ( ) ( ) [( ) U] [U ( c c )] ( ) ( ) [ ] [ c c ] ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ).. De acordo com a definição de conjunto complementar, tem-se: U U ( ) U {,,,, } [{, } {, }] U {,,,, } {,, } U {, }.. Países vizinhos devem ter cores diferentes. Logo, não eiste país que tenha a cor azul e que também seja vizinho de um país com a cor azul. Desta forma,... I. Verdadeira. Se X Y, então X Y X, mas X X, então (X Y) X. II. Falsa. Sabe-se que X X, qualquer que seja X. Logo, X apenas se X. III. Verdadeira. Sabe-se que, se X e X Y c, então Y c. ssim, se Y c, então qualquer elemento deve satisfazer Y c. Em outras palavras, se um elemento pertence ao conjunto, então não pertence ao conjunto Y, pois pertence ao conjunto Y c. Portanto, necessariamente Y... Quantidade de alunos que usavam sandália:, Quantidade de alunos que usavam tênis:, 99 Quantidade de alunos que usavam sandália ou tênis: Se {, {},, a} e {,, { }, a, b}, então: {,, {},, { }, a, b} e {, a} Logo: ( ) ( ) {,, {},, { }, a, b} {, a} {{},, { },,b}.. a) Falsa. Para {,,,,,, 7}, a soma dos elementos de é igual a, que é par. b) Verdadeira. Vamos supor que seja possível escolher 7 quaisquer elementos de, para formar o subconjunto, de modo que não eistam Etensivo Terceirão Matemática

8 dois elementos que sejam primos entre si. Nesse sentido, caso ocorra, por eemplo, não é possível escolher outros elementos de, para formar o conjunto, além do elemento, de modo que cada um dos outros elementos não seja primo em relação a. Senão, vejamos: os números não primos em relação a devem ser pares e eistem apenas outros números pares (,,, e ), de modo que não é possível formar um subconjunto formado por 7 elementos, em que seja um dos elementos e todos os demais não sejam primos em relação a. Este raciocínio pode ser utilizado analogamente em relação aos números,,,, 7,, 9, ou. Portanto, é verdadeiro que se é um subconjunto de que possui eatamente 7 elementos, então eistem dois elementos em que são primos entre si. c) Falsa. Para {,,,,,, 9}, a soma dos elementos de é igual a 9, que é ímpar. d) Falsa. Não eiste um subconjunto de com eatamente 7 elementos tais que todos sejam primos entre si, pois, com eceção do número, eistem apenas números primos pertencentes a :,,, 7 e, em um total eato de números mutuamente primos... Da relação entre as quantidades de elementos dos conjuntos, tem-se: n( ) n() + n() + n() n( ) n( ) n( ) + + n( ) n( ) n() + n() + n() n( ) n( ) n( ) + + n( ) 7 9 n( ) n( ) n( ) + n( ) n( ) + n( ) + n( ) n( ) (I) Por outro lado, tem-se: D ( ) ( ) Então: n(d) n( ) + n( ) n( ) (II) Substituindo (II) em (I), tem-se: n(d) n( ) Para que n(d) seja máimo, deve-se ter n( ), ou seja: n(d) n(d).7. É importante observar, inicialmente, que o conjunto complementar de, representado por, corresponde à região colorida da seguinte ilustração: U partir dessa ilustração e das definições das operações de união e intersecção entre conjuntos, vamos analisar as alternativas apresentadas do problema: I. Falsa. O conjunto ( ) corresponde à região colorida da seguinte ilustração: U II. Falsa. O conjunto ( ) corresponde à região colorida da próima ilustração: U III. Falsa. O conjunto ( ) corresponde à região colorida da ilustração: U IV. Verdadeira. O conjunto ( ) corresponde à região colorida da seguinte ilustração: U.. Sejam S: conjunto dos atletas que praticam o esporte como meio de manter a boa saúde, : conjunto dos atletas que acreditam que o esporte serve para formação do caráter, D: conjunto dos atletas que usam substâncias dopantes, T: conjunto dos atletas que eageram na utilização da tecnologia e I: conjunto dos atletas que afirmam que há interesses escusos de marcas de equipamentos esportivos. s informações do problema permitam construir várias possibilidades quanto aos diagramas lógicos que ilustram o problema. Dentre estas múltiplas possibilidades pode-se apresentar a seguinte: S T D I Etensivo Terceirão Matemática

9 nalisando as afirmações, tem-se: a) Falsa. Não é necessariamente verdadeiro que pelo menos um atleta que usa substâncias dopantes afirma que há interesses escusos de marcas e equipamentos esportivos. b) Falsa. É falsa a afirmação de que pelo menos um atleta que pratica o esporte como meio de saúde usa substâncias dopantes. c) Falsa. Não é necessariamente verdadeiro que todos os atletas que eageram na utilização de tecnologia usam substâncias dopantes. d) Verdadeira. Sabe-se que: I. Todos que praticam esporte como um meio de manter a boa saúde acreditam também que ele serve para formação do caráter; V. dos que acreditam que o esporte serve para a formação de caráter, nenhum afirma que há interesses escusos de marcas de equipamentos esportivos. Logo, é necessariamente verdadeiro que: Nenhum atleta que pratica esporte como meio de manter a boa saúde afirma que há interesses escusos de marcas de equipamentos esportivos. e) Falsa. Não é necessariamente verdadeiro que algum atleta que acredita que o esporte serve para a formação do caráter eagera na utilização da tecnologia..9. onjunto dos números naturais com dois algarismos: U {,,,,..., 99} O MD entre dois números naturais e y é o máimo divisor comum entre esses números. Se o MD entre dois números naturais, cada um com dois algarismos, é igual a, necessariamente, ambos os números devem ter dois algarismos e ser múltiplos de. Logo, o conjunto é formado apenas por três elementos: {,, 99} {,,,,,,,,,, } ula.. n(eplorer Firefo) n(eplorer) + n(firefo) n(eplorer Firefo) + n(eplorer Firefo) n(eplorer Firefo) 7 n(eplorer Firefo) 7.. quantidade de alunos reprovados em pelo menos uma das disciplinas é dada por: n(teórica ou prática) n(teórica) + n(prática) n(teória e prática) n(teórica ou prática) + 9 n(teórica ou prática) quantidade de alunos não reprovados em qualquer uma das provas é dada por: n(não teórica e não prática) n(total) n(teórica ou prática) n(não teórica e não prática) n(não teórica e não prática) 9.. O número de alunos que gostam de pelos uma das duas disciplinas (Geografia ou Matemática) é dado por: n(g ou M) n(g) + n(m) n(g e M) n(g ou M) + a) {, } b) Observe que: U {,,,,..., 99} O número de elementos do conjunto U é dado por n(u) 9. {,,,,,,,,,,, 99} O número de elementos do conjunto é dado por n( ). omo ( ) U, o número de elementos do conjunto U ( ) é dado por: n[u ( )] n(u) n( ) n[u ( )] 9 n[u ( )] 7 O conjunto U possui 9 elementos, sendo pares e ímpares. O conjunto possui elementos, sendo 7 pares e ímpares. Desta forma, se dos 9 elementos de U, ecluirmos os elementos de, o conjunto U ( ) possuirá 7 elementos, dos quais eatamente são ímpares. Portanto, os ímpares no universo de 7 números correspondem a uma porcentagem dada por:,, % onjunto dos múltiplos naturais de : {,,,,...} onjunto dos múltiplos naturais de : {,,, 9,...} onjunto dos múltiplos naturais de : {,,,,...} onjunto dos múltiplos naturais de ou : {,,,,,,,,...} onjunto dos múltiplos naturais de que não são múltiplos de ou : ( ) {, 9,, 7,, 9,, 7,, 9,...} Soma dos menores números que pertencem ao conjunto ( ): Soma dos algarismos do número resultante: n(g ou M) O número de alunos que preferem outras disciplinas é dado por: n(outras) n(total) n(g ou M) n(outras) n(outras) 7.. nalisando as afirmações, tem-se: Os conjuntos e são distintos, pois. (; ), pois. {; ; }; {}, pois ( ); n( ) n(). n().. n(). n() n( ) {(, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, );...; (, )}; {,,,,,, }, ou seja, n( ) 7. Logo, eistem eatamente afirmações verdadeiras... Se n é quantidade de lápis e eistem subconjuntos, então: n n n Etensivo Terceirão Matemática

10 .. O número de alunos que acertou pelo menos uma questão é dado por: n( ạ ou ạ ) n( ạ ) + n( ạ ) n( ạ e ạ ) n( ạ ou ạ ) + n( ạ ou ạ ) 7 O número de alunos que errou ambas as questões é dado por: n(não ạ e não ạ ) n(total) n( ạ ou ạ ) n(não ạ e não ạ ) 7 n(não ạ e não ạ ).7. ) Falsa. n[( ) ] + + ) Falsa. n[( ) ] s informações do enunciado podem ser organizadas nos seguintes diagramas: Álgebra nalítica álculo Se ao todo são alunos, então: O conjunto universo é constituído por 7 elementos e o conjunto, subconjunto do universo, também é constituído por 7 elementos. Isto significa que é o próprio conjunto universo e, portanto, e são subconjuntos de. Observa-se que n() + n() + > 7 n(), ou seja, e tem no mínimo um elemento em comum e, no máimo, elementos, que é a quantidade de elementos do conjunto que possui menos elementos (). Este raciocínio sugere três possibilidades quanto à quantidade de elementos comuns entre e : ạ possibilidade: n( ) ) Verdadeira. n[( ) ] ạ possibilidade: n( ) ) Verdadeira. n[( ) ( )] + + ạ possibilidade: n( ) ) Verdadeira. Os conjuntos ( ) e ( ) são disjuntos, ou seja, não apresentam elementos comuns. Logo, ( ) ( ) e, portanto, n[( ) ( )] n[ ]. a) Falsa. O conjunto ( ) pode ter elementos ( ạ possibilidade). b) Verdadeira. O conjunto ( ) tem no mínimo elemento ( ạ, ạ e ạ possibilidades). c) Falsa. O conjunto sempre tem elementos, pois ( ạ, ạ e ạ possibilidades). Etensivo Terceirão Matemática

11 d) Falsa. O conjunto sempre tem elementos, pois ( ạ, ạ e ạ possibilidades). e) Falsa. O conjunto não pode ser vazio ( ạ, ạ e ạ possibilidades)... s informações do problema podem ser organizadas na seguinte ilustração: ) Verdadeira. n( ) n() n( ) n( ) n( ) ) Verdadeira. n() n( ) + n( ) n() + n() ) Verdadeira. n( ) n() + n() n( ) n( ) + n( ) ) Verdadeira. n( ) n( ) n( ) n( ) 7 ) Falsa. n() n() n( ).. O conjunto possui elementos: ; {} ; ; {} ; {, }. O conjunto possui subconjuntos, sendo que {, }... n( ) n(). n() ( ). ( + ). ( ) ( ). ( + ) ( ). [ ( + )] ( ). ( ) ou Observa-se que, pois, do contrário, seria vazio. Logo, e, portanto, possui elementos, possui elementos e possui elementos... Informações do enunciado: penas telefonia: %; penas televisão a cabo: % Internet: % Deduções a partir das informações do enunciado: penas internet: % penas internet e televisão: % Telefonia, televisão a cabo e internet (combo): %. %,% penas internet e telefonia: %,% 9,% s informações obtidas podem ser organizadas na seguinte ilustração: Telefonia % % 9,%,% % Internet % Televisão Se representa o percentual de pessoas que contratam apenas telefonia fia e televisão, então: % + +,% + 9,% + % + % + % % 9% + % % O percentual de assinantes de eatamente dois serviços é dado por: + 9,% + % % + 9,% + % 7,%.. Se M possui m elementos, então o número de subconjuntos de M é igual a m. Se N possui n elementos, então o número de subconjuntos de N é igual a n. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, então: m. n m + n Da igualdade de potências de mesma base, positiva e diferente de um, pode-se concluir corretamente: m + n (I) Observando que M e N possuem apenas um elemento comum, da quantidade de elementos da união dos conjuntos e, tem-se: n(m N) n(m) + n(n) n(m N) n(m N) m + n (II) Substituindo (I) em (II), tem-se : n(m N) ( + n) + n (II) n(m N) n Logo, o número de elementos do conjunto M N é igual ao dobro do número de elementos de N... De acordo com o teto, pode-se organizar as informações na seguinte tabela: RELMÇÃO 9 Phishing 9 9., Trojan., Phishing e Trojan 9 Total de ataques.,77 Organizando em diagramas as informações de, tem-se: P Se representa o número de usuários que relataram ter sido vítimas de outros ataques, distintos de phishing ou trojans, tem-se: Inicialmente, observa-se que a sentença quando chove de manhã, não chove à tarde, quer dizer que a chuva, quando cai, ocorre em apenas um único período do dia, ou manhã ou tarde. Desta forma, o número de vezes que choveu deve ser igual ao número de períodos de chuva, ou seja, se choveu 7 vezes, necessariamente há 7 períodos com chuva. Sabe-se também que em períodos não choveu, sendo tardes e manhãs. Portanto, tem-se 7 + períodos no total, com ou sem chuva. Se em cada dia há apenas dois períodos, manhã e tarde, então a quantidade de dias deve ser igual à metade da quantidade de períodos. Logo, foram 9 dias observados. T Etensivo Terceirão Matemática

12 .7. Em partidas ocorreram, no mínimo:, gols no ọ tempo;, gols no ọ tempo; Desta forma, se G representa a média de gols nas partidas, então, necessariamente deve ocorrer:, +, G onclusão: a média de gols foi de, no mínimo, gol por partida... Sejam T, E e R os conjuntos das pessoas que gostam de assistir televisão, praticar esportes e ler romances, respectivamente, tem-se: T (T E) (T E R) n(t) n(t E) n(t E R) 7 n(t) + n(e) n(t E) Portanto, é um número de a..9. s informações do problema podem ser organizadas no seguinte diagrama: ( )% ( )% % ( )% Nenhuma delas O percentual de entrevistados que consomem apenas o produto é dado por: % [( )% + ( )% + %] ( + )% O percentual de entrevistados que consomem apenas o produto é dado por: % [( )% + ( )% + %] ( + )% O percentual de entrevistados que consomem apenas o produto é dado por: % [( )% + ( )% + %] ( + )% ula.. a) Falsa: a pode ser ímpar. b) Falsa: a e b, por eemplo. c) Falsa: a, por eemplo. d) Verdadeira: produto de naturais é natural. e) Falsa: a e b, por eemplo... I. Falsa: π é um número irracional. II. Falsa: não eiste um número racional cujo quadrado é. Os únicos números irracionais cujos quadrados são iguais a são e. III. Verdadeira: se a >, então a <. Todo número positivo possui oposto negativo. IV. Falsa: O número é primo, mas não é ímpar... Seja [, ], então < < < <. Portanto, { ; ; ; ; ; ; }. % a) omo todos os alunos foram contemplados, tem-se: ( + )% + ( + )% + ( + )% + ( )% + ( )% + ( )% + % + % % 9% + % % % % b) O percentual de entrevistados que consomem apenas uma das marcas é dado por: ( + )% + ( + )% + ( + )% % + % + % 7%.. Se 7% declararam-se favoráveis a pelo menos uma das propostas, então % 7% % não se declararam a favor de qualquer uma das propostas. Observe a seguinte ilustração na qual a região em destaque contém a quantidade total de elementos que se deseja calcular: % a y % c z b % % Nenhuma delas % Sabe-se que 7% das pessoas declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas, então: a + b + c + + y + z + % 7% a + b + c + + y + z 7% (I) Se % declararam-se favoráveis à proposta, então: a + + y + % % a + + y % (II) Se % declararam-se favoráveis à proposta, então: b + + z + % % b + + z % (III) Se % declararam-se favoráveis à proposta, então: c + y + z + % % c + y + z % (IV) Efetuando (II) + (III) + (IV), tem-se: (a + b + c + + y + z) + ( + y + z) % Substituindo (I) na equação anterior, tem-se: 7% + ( + y + z) % + y + z % dicionando % a ambos os membros, tem-se: + y + z + % % + % + y + z + % 7% Portanto, eatamente 7% das pessoas declararam-se favoráveis a mais de uma proposta... s seguintes afirmações são verdadeiras: 7 R (reais não positivos) Q (racionais) N * (naturais não nulos), I (irracionais) 999 Z (inteiros).. ) Falsa. Se IN, então ( ). ) Verdadeira. Se IN, então ( ). Etensivo Terceirão Matemática

13 ) Verdadeira. Se IR, então ( ). ) Falsa. Se Q, então ( ). ) Verdadeira. O conjunto representa o conjunto dos números racionais não naturais. O número é racional não natural. Logo, ( )... E + 9 +,..., E + 9 E + E.7. Se do + conjunto 9 dos múltiplos de, ecluirmos o conjunto dos múltiplos de, então estaremos, efetivamente do conjunto dos múltiplos de, ecluindo o conjunto dos múltiplos de : {,,,,,...} {,,,,,...} Se do conjunto dos múltiplos de, ecluirmos o conjunto dos múltiplos de, então, teremos: {,,,,,...} {,,,,,...} Logo, e, portanto, e. Se do conjunto dos múltiplos de, ecluirmos o conjunto dos múltiplos de, então, do conjunto dos múltiplos de, estaremos ecluindo o conjunto dos múltiplos de : {,,, 9,,,...} {,,,,,...} Se do conjunto dos múltiplos de, ecluirmos o conjunto dos múltiplos de, então, do conjunto dos múltiplos de, estaremos ecluindo o conjunto dos múltiplos de : D {,,, 9,,,...} {,,,,,...} Portanto, é subconjunto de D, ou seja, D. Porém, D não é sunconjunto de... s informações do problema podem ser organizadas nos seguintes diagramas: M F 9 7 Q quantidade total de alunos do curso é igual a: Inicialmente, tem-se: M N n M { ; ; ; ; ; ; ; ; ; } P { n} P { ; ; ; ;...; } Q { n } Q { ; ; ; ;...; } Logo: M P {; ; ; ; ; ; ; } (M P) Q {; ; ; ; ; ; ; } {; ; ; ;...; } (M P) Q {; ; ; }.. Sendo IR o conjunto universo, observe na ilustração a região colorida correspondente ao conjunto Q IN: IR Q I Z IN Na seguinte, observe que (Q IN) IN I: IR Q I Z IN Na próima, tem-se (Q N) Z (IN I) Z (IN Z) I Z I: IR Q I Z IN Desta forma, são elementos do conjunto (Q N) Z quaisquer números reais que são inteiros ou irracionais. Observando as alternativas, tem-se: a) [(Q N) Z], pois I. b) [(Q N) Z], pois Z. c) [(Q N) Z], pois Z. d) π [(Q N) Z], pois π I e), [(Q N) Z], pois, (Z I). Logo, dentre os números apresentados, apenas, não pertence ao conjunto (Q N) Z... Inicialmente, pode-se observar que: Se [, ] { IR / }, então: P N* P { IR / } {,,,,,, 7,...} P {,,,,, } nalisando as afirmações, tem-se: ) Falsa. {,, } P, pois P ) Falsa. P ) Falsa. P {,,,,, } [, ] ) Verdadeira. P ) Verdadeira. n(p), pois P possui elementos. Etensivo Terceirão Matemática 7

14 .. Observa-se que: N / <,,,7, { }{ } { } ] ] R / <, ) Verdadeira., pois. ) Falsa., pois, por eemplo,,, mas,. ) Verdadeira., pois se, então. )Verdadeira., pois. ) Verdadeira., pois... única afirmação falsa é a alternativa (a). Observe que (N Q) (R N) Q N. Entretanto, Z, logo, Z (N Q) (R N)... { R / 7 < } 7 < ( + 7). ( ) < 7 < < { R / 7 < < } ] 7; [ { Z / é divisor de } {±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±} { N / + é um quadrado perfeito} {,,,,,,,, 99,...} ] 7; [ {±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±} {,,,,,,,,,, } {±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±} {,,,,,,,...} {,,, } ( ) ( ) {,,,,,,,,,, } {,,, } ( ) ( ) {,,,,,,,,,,,, } Logo, n[( ) ( )]... Inicialmente, tem-se: { N * / < } {,,,,..., 99} n() 99 { / é múltiplo de } {,,,..., 9} n() { / é múltiplo de } {,, 9,..., 9} n() { / é múltiplo de } {,, 7, 9,,,, 9} n( ) nalisando as afirmações, tem-se: I. Falsa. n( ) n() + n() n( ) n( ) + n( ) Logo, o conjunto possui elementos. II. Falsa. O conjunto possui elementos. II. Verdadeira. O conjunto dos múltiplos naturais de e menores que possui 9 elementos: {,,, 7, 9,,,, 9} IV. Falsa. Se, pois, então a soma dos elementos de é igual à soma dos elementos de, ou seja: S (I) Invertendo a ordem das parcelas, tem-se: S (II) Fazendo (I) + (II), tem-se: S S. 9 S 9 Portanto, a soma dos elementos pertencentes ao conjunto é igual a G { n Z N} n G {,,,,, 9,,,,,, 9} F {q Q q Z} D { IR Q} nalisando as alternativas, tem-se: a) Falsa. Observe que, por eemplo, (F D), mas IN. b) Falsa. F Z Z, pois Z F. c) Falsa. Observe que D Q, pois D Q. Logo, (D Q). d) Falsa. Por eemplo, (G D), mas F. Logo, (G D) F. e) Verdadeira. Tem-se que G F D {, 9}, ou seja, n(g F D)..7. ) Verdadeira. ( ),, Q ) Falsa. Por eemplo, se y, então + y >. ) Falsa. Observe, por eemplo que, se e y, tem-se < y e > y. ) Verdadeira. Se > y, então > y e, portanto, y >. ) Verdadeira (, ) ) Falsa. Para m e n, por eemplo, tem-se m + n, e não é divisível por. ) Verdadeira. Se 7k, em que k é inteiro, então (7k) 9k 7. 7k. Logo, se é divisível por 7, então também é divisível por 7. ) Falsa. Para n, por eemplo, o resto da divisão de n por é igual a (ímpar). Entretanto n é par. ) Verdadeira. Se y, basta tomar n >. Se y >, basta tomar n > y. ) Falsa. Para,, por eemplo, tem-se,, de modo que <. Etensivo Terceirão Matemática

15 ) Falsa. Por eemplo, Q..9. Representando os subconjuntos de números reais e operando, tem-se: [, ] [, [ [, [, ] ], ] ( ) [, [ [, ]] Os números inteiros do conjunto ( ) são,,, e. O produto dos números inteiros do conjunto ( ) é dado por:. ( )... ].. Raio da circunferência maior: R (racional) Raio da circunferência menor: r (irracional) Vamos considerar que a circunferência maior dará voltas e a menor y voltas, sendo, y IN* e < y. aso ocorra um encontro futuro, temos:. pr y. pr ou r. R y omo, R e y são racionais, r seria também racional, o que seria contradição pois, por hipótese, r é irracional. Portanto, os dois pontos que coincidem no início da rotação nunca mais voltarão a se encontrar. Etensivo Terceirão Matemática 9

16 ula , V (,,),9, V,,9 V, [, ] ( ) + + ( + ) Resoluções O maior dos três é: ( + ) 9 Média ritmética: + ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) Hoje: Se hoje João tem anos, então o pai tem ( + ) anos. onsiderando as idades de hoje, do enunciado segue que: Matemática + ssim sendo, João tem anos e o pai, anos. Daqui a anos: João terá anos; o pai terá anos. a) Incorreto idade de João será anos. b) Incorreto c) Incorreto < d) Incorreto > e) orreto Daqui a anos o pai terá anos. Quando João nasceu, ele tinha anos. anos anos anos idade de João daqui a anos. Obs.: Para determinar a resposta correta (que é única), bastava ter analisado a alternativa e, pois a idade de João será, em qualquer época, igual à diferença entre a idade que o pai terá, nessa época, e a idade que o pai tinha quando João nasceu (a diferença das idades é constante)... Mais Novo Mais Velho y y y + + ( + ) y + y + + y 7.. Pedro ; Pai y 9 y y y +.7. MX + ML LX MX LX ML X (M L) ML X ML M L ML X L M q + p pq.. pq pq (q + p) pq pq p + q.9. s equações apresentadas terão infinitas soluções se, e somente se, forem do tipo, pois nestes casos a igualdade se verifica para qualquer valor de. a) Incorreto ( m ) se, e somente se, m. b) Incorreto ( m ) n se, e somente se, m e n. Etensivo Terceirão Matemática

17 c) Incorreto d) Incorreto e) orreto m ( m ) m+ m m+ Portanto, a equação ( m ) m+ apresentará infinitas soluções se, e somente se, m... Sendo N o número de casas, temos que: N N N. N N Portanto, a cidade tem residências... e k + pode ser qualquer número real. não eiste que verifique a igualdade. ula Resolução: ( k 9). k ( k+ ).( k ). k Se k e k, então ( k+ ).( k ). k k ( k+ ).( k ) k + Se k, então ( k+ ).( k ). k ( + ).( )... pode assumir qualquer valor real Se k, então ( k+ ).( k ). k ( + ).( ).. ( ). não eiste que verifique a igualdade.. + y + y y y ( ).. y ( ) + y + y + 9y y y + y + + y p + q.. y ( ) y.. + y y 9 + y y e y a e b a + b + ( ).. + y + y ( ) + y 9y y y e y + y y y y Etensivo Terceirão Matemática.. Sendo T o tempo que a luz vermelha fica acesa a cada ciclo: T X ou T X Então: Y + X + T Y + X+ X Y + X+ X Y + X X Y +.7. Lados: e Área Perímetro e " (não convém) Maior lado: m.. pontuação recebida pelo jogador é da forma + y+ z, onde, y e z são números naturais. ) Incorreto É possível fazer pontos com, no mínimo, 7 dardos:, y ez pontos, y ez + y+ z dardos ) orreto, y ez pontos, y ez + y+ z + + dardos ) orreto, y ez pontos, y ez + y+ z + + dardos ) orreto, y ez pontos, y ez + y+ z + + dardos.9. Sendo: notas de e y notas de + y 9 + y y 9 + y 7 e y Total de 9 notas.

18 .. Filhos e Filhas y I) y II) (y ) Substituindo I em II: (( ) ) ( ) y Total: 7.. usto: + y + 7 Quantidades: + y y + y lotes de maçãs Total de maçãs.. Se indica o número de calças de tamanho pequeno e y, o de tamanho médio, então: + y y + + y + y y y Ele comprou calças de tamanho pequeno e de tamanho médio. Resposta: e.. Sendo: G ganhou E empatou P perdeu G P + P G (I) E G (II) G + E + P (III) Substituindo I e II em III G + (G ) + (G ) G G.. 9 ( ) y + y + + y y y y + y.. J F J F J F J F 7 dólares... N abc abc 9 cba a+ b+ c 9 c+ b+ a a+ c 9 c+ a 99a 99c 9 a c () I ( 99) Do enunciado: a + c (II) De (I) e (II): a c a+ c a ( algarismo d ascentenas).7. onsiderando que, y e z são os preços de kg das misturas, e, respectivamente, podemos montar o seguinte sistema:, +, y+, z () I Sendo:, +, z () II, y+, z ( III) () I () II, y, z ( IV) De (IV) e (III):, y, z, y, z +, y+, z, y+, z y y z a) Incorreto ada quilograma da mistura custa R$, b) orreto R$, + R$, R$, c) Incorreto ada quilograma da mistura custa R$, d) Incorreto R$, + R$, + R$, R$, e) Incorreto ada quilograma da mistura custa R$,.. a) reais; b) No mínimo, partidas onsiderando que V é o valor que recebe de e V é o valor que recebe de, temos; a) V reais reais V 9. reais 7 reais V V 7 Prejuízo de reais Se vencer partidas, vencerá partidas (desconsiderando a possibilidade de empates). Mas terá lucro se, e somente se, V > V. Então: b) V > V. >.( ) > > > Portanto, para ter lucro, deverá vencer um número mínimo de partidas..9. Supondo que serão produzidos a quilogramas de bolo tipo e b quilogramas de bolo tipo, temos: a) Quantidade de açúcar:, 7 +,, kg Quantidade de farinha:, 7 +,, kg Não é possível produzir, pois a quantidade de farinha não é suficiente., a+, b b), a+, b, a, b +, a+, b, b b a, Portanto, serão produzidos, kg do bolo tipo e kg do bolo tipo... a) z 7 (7 + ) 7 é múltiplo de 9; z ( + ) 7 é múltiplo de 9. b) z ( + y) ( + y) z + y y z 9 omo é um número natural, conclui-se que z é múltiplo de 9. Etensivo Terceirão Matemática

19 ula m.m.c. (9, ) 7 m.d.c. (9, ) Epoente + : ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Portanto, o número tem divisores positivos e divisores negativos. Ou seja, a quantidade total de divisores do número é mmc...(, y).. y m.m.c (7,, ): 7 7 m.d.c (7,, ): Divisores positivos e ímpares de : {,,, } Soma: ; ; + (I) ( ) ( + ) (II) + 9 (I),, +,, Soma: + + é múltiplo de.7. m.d.c (,, ) pedaços pedaços pedaços Total pedaços.. m.d.c (, ) equipes m.m.c (,, ) dias... Idades: a e b a + b b a a b m.m.c (a, b) m.d.c (a, b) a ( a) 7 a a a a + Raízes: a ; b 7 a 7; b.. a y I. orreto.. 7 "Epoente + ": Logo: a y a + + y ( + ).( + ).( + ).. Portanto, tem divisores positivos II. orreto Etensivo Terceirão Matemática

20 III. Incorreto.. 7 (.. 7 ). (.. 7 ). Portanto, não é um quadrado perfeito... m.m.c (,, ) dias de dezembro + dias de dezembro.. m.d.c (,, 7) capacidade de cada barril é de L... m.d.c (, 7) ada quadrado deverá ter cm de lado. Logo seu perímetro será: cm Número de divisores positivos: ( + ) ( + ) ( + ) possíveis tipos de caias m.d.c (9; ) cm, m Total de divisores positivos: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 7 Não divisíveis por : Divisíveis por : 7.9. a) área da parede 7, área do azulejo Portanto, é o número de azulejos de cm de lado necessários para revestir a parede. b) cm 7 7 m.d.c. (, ) Para que não haja necessidade de cortar nenhum dos azulejos, a maior dimensão de cada peça é cm... a) b a. b mdc...( a, b). mmc...( a, b). b.. b b b) (, ), (, ), (, ) e (, ) Se é o máimo divisor comum entre a e b, então é, necessariamente, o único fator primo comum desses números. E ainda: a. b mdc...( a, b). mmc...( a, b) a. b. a. b. (.. 7) a. b.. (. 7) Logo, mdc...( a, b) a. b.. (. 7) a. (. 7) e b ou a e b. (. 7) ou a. e b. 7 ou a. 7 e b. Portanto, as possibilidades para o par (a, b) são: (, ), (, ), (, ) e (, ) Etensivo Terceirão Matemática

21 ula.. F V V V V V F V... m + m m.. m + dm +, dam +, km 7 m m m m Resoluções São três fios de arame em cada dimensão. Então, serão utilizados 7 m m de arame... São utilizados litros de água para cada quilogramas de papel, ou seja: L m m, kg kg kg Portanto, para produzir kg de papel são utilizados, m de água... S campo 7 m S ecedente m.. b.7. ada gota contém, ml de água e são gotas por minuto. Então, em minuto:, ml ml; em hora ( min): ml ml; em horas: ml 7 ml 7, L... m ha ha Quantidade de adubo: kg kg.9. 9 km 9 dm,9 litros ( L dm ).. dm cm cm.. m cm cm cm np pessoas ( ) cm.., km m S total 7 m N ọ pessoas 7,.. São 7 galões de litros. Então: Volume 7 litros litros m.. km / L estrada etanol km / L cidade T km/ L onsumo T km/ L + onsumo medio 9 km / L.. km km cm cm km/s, cm/s.. Quantidade necessária de vacina: cm cm ml ml litros Quantidade faltando (em litros): 7 litros Quantidade de caias faltando: 7 litros litros n n caias ncaias 7 prefeitura deverá receber caias a mais G K,,.., h, 97 h, h, h, min, 9 min, 9 min min +, 9 min, 9 min min +, 9 s min, 9 s min, 9 s min s Matemática D.9. pessoas dmitindo que a avenida tenha formato retangular, sua área é igual a m m m. ssim, o número de pessoas que foram ao evento é igual a... a) pessoas área da praça é igual a m m 7 m. ssim, sendo N o número de pessoas que poderão se reunir na praça, temos: 7 m 7 cm N cm cm b) pessoas Sendo P a população da cidade, temos: P P pessoas. Etensivo Terceirão Matemática D

22 ula.. V V F V.. K + K + K 7 K 7 K 7 K K cm cm km cm 9.. b a a Perímetro: a + b a+ b Proporção: b a b a 7 7 a a+ 7a+ a 7 7 a 7 b a 7 b m.. a.. Dr, 7 Dr cm, km.7. Pedro: anos Pai: y anos y y 9 9 y + y + y 9 y+ 9 y 9 y 9 y anos.. ndré: K ernardo: K láudia: K K + K + K K K ndré: $ ndré recebeu R$,.9. múltiplo de abelhas mmc +.. Sócio Investimentos Total investido : 9 Lucro : 9 L L 9 L R$ L R$ aplicou odobro de L R $7 ( aplicou otriplo de).. Pretos a Pretos ak e Prateados b k Prateados b Pretos+ Prateados V a k+ b k V ) orreto a b V k+ k k Pretos. e Prateados. Prateados Pretos 9 ) orreto V a k+ b k V ( a+ b) k V k a + b V V a V k a k a a k a + b a+ b a+ b a k a V av a+ b Pretos a b + Pretos a k ) Incorreto Prateados b k k a Pretos k Por tan to, V + ( ) Etensivo Terceirão Matemática D

23 ) orreto Pretos a k k b Pr ateados k Portan tov, g de suco puro de limão contêm: g calorias calorias g g de açúcar contêm: g calorias 9 calorias g g de água não contêm calorias Portanto, uma jarra com g dessa limonada contém: calorias + 9 calorias 9 calorias Se um copo de g dessa limonada contém calorias, então: 9 calorias calorias g g.. Jasmim, que tinha reais, recebeu k dólares e Flora, que tinha reais, recebeu k dólares. K+ K k Jasmim recebeu k k k dólares a mais do que flora. k Portanto, Jasmim recebeu dólares a mais do que Flora... 9 m litros t 9 litros / seg litros / seg (m litros) t seg 7, min,, h.. ọ mês:, ações 9 R$9, 9 ọ mês: 7 Total: R$9,, ações 7 R$9, ọ mês: arrecadação de ( + ) R$, Lucro: 9 R$,.. Supondo as quantidades iguais a V: Em R, K + K V K V Álcool: V Água: V Em R, K + K V K V Água: V V V V + No terceiro recipiente, R+R V V 9V Uma porção com. g do alimento tem:. kcal e. g de proteínas Uma porção com y. g do alimento tem: y. kcal e y. g de proteínas onsiderando que essas porções são isocalóricas, então kcal y kcal y y Proporção das proteínas: Proteina em g Proteina em y g y.. láudia perdeu cestos e recebeu K Roseli perdeu cestos e recebeu R K Emanuele perdeu cestos e recebeu E K Tereza perdeu cestos e recebeu T K K + K + K + K mmc K+ K+ K+ K K K 7 Parte da Roseli: R K 7 7 Roseli recebeu R$ 7,.9. O volume deslocado por cada um dos anéis é igual a ml ml. O volume ocupado por anéis iguais aos primeiros é igual a ml 9, 7 ml. ssim, como a capacidade da garrafa é igual a, litros ml, ainda é possível colocar ml 9,7 ml, ml, ou seja, ainda é possível pôr, litros... distância de frenagem d (em m) velocidade v (em km/h) distância de frenagem é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade: d k v v km /h frenagem em m : k k v km /h: d k d ( ) d m Álcool: V Etensivo Terceirão Matemática D

24 ula.. Distância no mapa DIRET Distância real cm km km cm R$,.. R$, /kg, kg O quilograma desse produto custa reais... cm cm Escala:, m cm.. paginas INVERS linhaspor pagina.. a.7... DIRET DIRET Pacientes Médicos horas / dia 7 7 pacientes INVERS DIRET Tempo (min) Homens Distância (m).9. p cimento K p cal K 9 p areia 9K K + K + 9K K minutos K b Proporção: b a a b m a a a a a b a m.. esvazia t Supondoh esvazia t Total: t+ t t ( em h) h t t, h (direta) (direta) lata de L areia 9 7 litros latas 7 litros, m (m L).. milhas pontos milhas milhas pontos milhas pontos. milhar milhas pontos.. pontos Total: + pontos 9 o ( + ) o 9 ( + ) +.. torneiras iguais h torneira enche em horas após h tanque cheio falta tanque torneira + horas h + h + h h Etensivo Terceirão Matemática D

25 .. Gasolina: onsumo km km/litro litros Álcool: onsumo km 9, km/litro litros onsidere Pa o preço do litro do álcool e Pg o preço do litro da gasolina: O custo será igual quando Pa 9, Pg Pa 9,, 9,, Pa R$,9.. Descontando, dos custos das duas corridas, o valor da bandeirada, pode-se descobrir a quantia cobrada por quilômetro rodado, que deve ser a mesma nas duas corridas. Então:, 9, (, ) ( 9, ),,, O vada bandeirada é R$, cm.. y K + y 7 K y K y K + y 7K K K y K y K K K K K K K y.. K ha K ultura da cana: 7 K 7 ha Total: milho + cana + ha ha m, 7 m.7. ) Incorreto INVERS horas Páginas /hora 7 7 7,h h min ) orreto h min, h INVERS Páginas /hora horas,,, páginas por hora ) Incorreto INVERS horas Páginas /hora, horas ) orreto velocidade de impressão (páginas/hora) e o tempo de impressão são grandezas inversamente proporcionais. Se a velocidade dobrar, então o tempo, que era de horas, cairá pela metade. Ou seja, o serviço será feito em horas... ) orreto produção semanal de cada funcionário é de peças peças ) Incorreto DIRET INVERS Funcionarios Pecas Dias funcionarios Será necessário contratar mais funcionários. ) Incorreto Se cada funcionário produz peças por semana, então funcionários produzem, em semanas, ( peças) peças ) orreto ada funcionário produz peças por dia. Em dias, cada funcionário produz. peças. O bônus é, então, de, reais ) Incorreto Para produzir peças a mais, é preciso trabalhar, por dia, horas a mais: DIRET horas / dia Peças h / dia É necessário que cada um trabalhe mais h por dia ( minutos). Etensivo Terceirão Matemática D

26 .9. Sendo t o tempo que levará, em dias, para que ele durma horas seguidas, temos: número de dias minutos dormidos a mais t ( ) t t ssim, após dias ele não irá mais acordar. (direta).. h min Em hora, as duas bombas juntas encherão da caia d água., Em, horas, a bomba enche, da caia. Sendo t o tempo necessário para que as duas bombas juntas terminassem de encher a caia, temos: Fração do volume da caia tempo (horas) t (direta) 7 t t, horas ssim, as bombas terminaram de encher totalmente a caia às 7 +, +,, h, ou seja, às h min. Etensivo Terceirão Matemática D

27 ula.. Devemos ter α k, com α < e k :,,.. ( ) ( ).. O número tem eatamente algarismos. zeros....,.. Distância ( Terra Lua) 77 km 7 km Distância km, m ( Terra Lua) Distância ( Terra Lua), m, ( ) e ( ) são números negativos. ( ).7. ( ) > Portanto, o maior desses números é ( ).. + ( ) , +,,.. Em relação à água do mar, o café apresenta uma concentração vezes maior. 7.. ( ) O maior produto possível será obtido quando os dois números forem iguais ao maior número da lista: ( ) ( ) 9 9 tem eatamente + algarismos. Mesmo considerando números distintos, serão algarismos: ( ) ( ) 9 tem algarismos. O visor deverá ter uma capacidade mínima de dígitos igual a algarismos..... mm mm m s s s m m km s s s partícula percorrerá km em segundos. Resoluções.. n+ n n n 7 7 anos n n anos n+ n 7 anos n n n 7 anos anos.. onsiderando o ano com dias, o volume de água necessário será, aproimadamente, igual a 9 7 litros, litros. Ou seja, um volume, em litros, entre e..7. I. Incorreto ( ) 9 9 > II. orreto < 9 III. Incorreto e 9 9 > Então, Soma dos algarismos E n n n + 9 E n 9 n n n + E n 9 E 9 n n.. y y y Matemática E Etensivo Terceirão Matemática E

28 ula ( ) + ( ).... ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) é o valor que devemos adicionar a...,,,,,,,,.... onsiderando E como sendo o valor da epressão: ( ) E + + E + E ( + )+ ( + ) ( ) + ( ) E + 9 E.. a b ( ) a b a b ( ) ( ) a b ( ) ( ) a b + a b 7 a 7 a b 7 a b b.. b b + b b ( b b) ( + b b) ( b b) ( + b b) b b b b > > > >.. a+ b + a+ b ( + )+ a+ b + + a+ b + +( ) a+ b + a+ b + ( a+ b) +.7. i + y ( + y) + y + y y + y e y supondo > y y Ou: + y + y + ( e y ) ou e y + y y + 7 (*) Por inspeção teríamos concluído facilmente que +, + e, consequentemente, que + y y 7. Etensivo Terceirão Matemática E

29 Sendo um número inteiro, os valores de formam o conjunto {, 7,,, 9}.O número de elementos desse conjunto é igual a k + k k + k k + k k + k 7 k + k+ + 7 k k k + k+ 7 k k + k + k k + k.. (I) Devemos provar que + é negativo: < + < + < + + < Logo, é um número negativo. (II) Devemos provar que + é inteiro: + + ( + ) + ( ) ( ) ( + )+ ( + ) 9 ( pois < ) Logo, é um número inteiro. Portanto, de (I) e (II), é um número inteiro e negativo. ula , ,, 9.7. E E E 9 E ( ) ( ) ( + ) + +. ( ) + + ( ) ( + ) ( )+ + + ( + ) h h h h ( ) ( ) ( ) h ± ( + )± + h ± Etensivo Terceirão Matemática E

30 .. k ( + ).. k ( + ) + + ( + ) k ( + ) k ( + ) + k ( ) + a a+ b c + b a+ b+ c 9 c n n n n n n n n n n 9 9 n 7 n 9 n n ( + ) ( + + ) + ( 9+ ) 9 ( + ) ( 9+ ) ( ) Método :,,, Erro ( ),,, 79 Método : + + +, +, Erro ( ),,, Erro ( ),79 Erro ( ),.9. < < ; O primeiro estudante obteve a melhor aproimação. Justificativa: + +,, ( ),,9 + <,9 < + > +, < < + +, Dessa forma, temos então que < < e que o primeiro estudante obteve a melhor aproimação, pois está mais próimo de do que de... onsidere que aproima-se de. Se, então pois > Da mesma forma, conclui-se que aproima-se de. Portanto, se n, então k n aproima-se de. Ou seja, aproima-se de ( + ) ( 9 + 9) 9 9 Etensivo Terceirão Matemática E