Física e Tecnologia dos Plasmas Ondas nos plasmas #2

Transcrição

1 Física e Tecnologia dos Plasmas Ondas nos plasmas #2 Mestrado em Engenharia Física Tecnológica Instituto Superior Técnico Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear! Vasco Guerra 1

2 As perguntas fundamentais Ondas electromagnéticas Começámos com: Meio não magnetizado, frio, homogéneo, infinito e linear B=0; M [ni(r)=n0]; kte = 0; Electrões movem-se segundo xx (oscilações longitudinais)! Já eliminámos as restrições M e kte = 0 Vamos agora considerar ondas transversais 2

3 As perguntas fundamentais Ondas electromagnéticas Outra forma de apresentar o problema é dizer que consideramos um plasma não magnetizado, B0=0, mas podemos ter B=B0+B1 com B1 0 Veremos que são ondas de alta frequência negligenciamos o movimento dos iões Desprezamos também a agitação térmica dos electrões (kte 0, P 0) Negligenciamos o termo vxb 3

4 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Sistema de equações r E B = t r B = µ 0J 1 + c 2 E t J = en e v e n e t + (n e v e )=0 m e n e apple ve t +( v e ) v e = en e E 4

5 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Relação de dispersão Linearizando (ne=n0+n1; ve=v1; B=B1, E=E1) e considerando ondas planas: (...) 2 = 2 pe + k 2 c 2 5

6 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Relação de dispersão Ondas num plasma isotrópico (não-magnetizado) 6

7 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Velocidades de fase, de grupo e índice de refracção Velocidade de fase:! Velocidade de grupo:! Índice de refracção: v 2 = 2 k 2 = c2 + v g = dw dk = c2 v n = c v = ck = 2 pe k 2 >c2 <c r 1 2 pe 2 7

8 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Skin depth Se for enviada uma onda de frequência ω para o plasma, ela vai propagar-se com comprimento de onda dado pela relação de dispersão. Mas se ω<ωpe, k é imaginário (ou o índice de refracção é imaginário) Temos uma onda evanescente com skin depth δ=1/ k x exp(ikx) =exp( k x) exp 8

9 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Densidade crítica Num plasma não-homogéneo, uma onda de frequência ω é reflectida no ponto em que ω=ωpe, correspondente à densidade crítica n c = m e 0 2 e 2 Este facto pode usar-se como técnica de diagnóstico! 9

10 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Transmissão de ondas de rádio ωpe MHz 10

11 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Reentry blackout Naves na reentrada ionizam o ar à sua volta -Em Marte: Mars pathfinder -Em Titã: Huygens -Na Terra: space shuttle 11

12 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais O space shuttle 12

13 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais O space shuttle 13

14 As perguntas fundamentais Ondas em meios magnetizados Estudamos agora o caso B0 0. Teremos que determinar E1 e B1 uk=k/k; ub=b/b; ue=e/e Onda paralela: uk.ub=1 Onda perpendicular: uk.ub=0 Onda longitudinal: uk.ue=1 Onda transversal: uk.ue=0 Onda electrostática: B1=0 Onda electromagnética: B1 0 14

15 As perguntas fundamentais Ondas em meios magnetizados De! E = B t kxe1=ωb1 Uma onda longitudinal é sempre electrostática Uma onda transversal é sempre electromagnética 15

16 As perguntas fundamentais Ondas híbridas superiores Oscilações electrónicas longitudinais perpendiculares a B0 São ondas de alta frequência Consideramos M e kte = 0 n0 e B0 uniformes v0=e0=0 16

17 As perguntas fundamentais Ondas híbridas superiores Sistema de equações a resolver: m e n e n e t + (n e v e )=0 v e t +( v e ) v e = en e ( E + v e B) E = e(n 0 n e ) 0 17

18 As perguntas fundamentais Ondas híbridas superiores Sem perda de generalidade, -B=B0uz -E=E1ux -k=kux (...) 2 = 2 pe + 2 ce 2 h 18

19 As perguntas fundamentais Ondas híbridas superiores vx é infinita para ω=ωce São oscilações (vg=0) Os limites B0 0 e ne 0 correspondem às oscilações de plasma e ao movimento ciclotrónico, respectivamente Electrões descrevem trajectórias elípticas, alongadas na direcção de k 19

20 As perguntas fundamentais Ondas electrostáticas iónicas Oscilações iónicas longitudinais (k E) São ondas de baixa frequência Podemos usar a aproximação de plasma e dispensar a equação de Poisson Bastam-nos 4 equações de fluidos Linearizamos: n0 e B0=B0uz constantes e uniformes; ve0=vi0=e0=0 20

21 Ondas As electrostáticas perguntas fundamentais iónicas Sistema de equações n e1 t + n 0 ve1 =0 m e n 0 v e1 t = en 0 ( E 1 + v e1 B 0 ) ek B T e rne1 n i1 t + n 0 vi1 =0 m i n 0 v i1 t = en 0 ( E 1 + v i1 B 0 ) ik B T i rni1 21

22 Ondas As electrostáticas perguntas fundamentais iónicas Solução geral :) And after a little algebra... 22

23 Ondas electrostáticas iónicas As perguntas fundamentais Casos limite. I. k B kx=0 os denominadores são infinitos (desde que ω ωce e ω ωci) ω 2 =k 2 cs 2, ondas acústicas iónicas! 23

24 Ondas electrostáticas iónicas As perguntas fundamentais Casos limite. II. k B kz=0 Negligenciando ωci 2 ωceωci 2 = k 2 c 2 s + 2 LH! 2 LH =! ce! ci 24

25 Ondas electrostáticas iónicas As perguntas fundamentais Casos limite. II. k B ωlh 2 é a frequência híbrida inferior As ondas correspondentes são as ondas híbridas inferiores Para k pequeno, temos oscilações ω ωlh O raio de Larmor dos electrões é pequeno. Os electrões não se conseguem mover segundo xx e E apenas os faz derivar (ExB0) segundo yy 25

26 Ondas electrostáticas iónicas As perguntas fundamentais Casos limite. II. k B Os electrões não conseguem fazer a blindagem de Debye excepto para um único valor de ω, associado à deriva de polarização 26

27 Ondas electrostáticas iónicas As perguntas fundamentais Casos limite. III. k quase B θ é o ângulo entre B0 e k π/2-θ é muito pequeno Para os iões não faz muita diferença Para os electrões é diferente ser π/2-θ=0 ou 0 Se θ não for exactamente π/2, E tem componentes E e E! A segunda facilita a blindagem de Debye. 27

28 Ondas electrostáticas iónicas As perguntas fundamentais Casos limite. III. k quase B Procuramos ondas de baixa frequência, ω~ ωci ωce kz kx Supomos ainda kx/kz (mi/me) 1/2 2 = k 2 c 2 s + 2 ci 2 = k 2 c 2 s + 2 ci 28

29 Ondas As electrostáticas perguntas fundamentais iónicas Sumário θ=0, kx=0 -ω 2 =k 2 cs 2 -ω 2 =ωce 2 -ω 2 =ωci 2 θ=π/2, kz=0 -ω 2 =k 2 cs 2 +ωlh 2 -ω 2 =0 θ<π/2, (me/mi) 1/2 kz/kx 1 -ω 2 =k 2 cs 2 +ωci 2 29

30 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Em plasmas magnetizados Já estudámos o caso B0=0 Consideramos agora B0 0 (B0=B0uz) Ondas de alta frequência negligenciamos o movimento dos iões (M ) Ondas frias (kte = 0) Precisamos do mesmo sistema de equações que no caso B0=0, incluindo o termo vxb Linearizamos como habitualmente 30

31 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Em plasmas magnetizados r E B = t r B = µ 0J 1 + c 2 E t J = en e v e n e t + (n e v e )=0 m e n e apple ve t +( v e ) v e = en e E ene v e B 31

32 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Em plasmas magnetizados r E 1 = B 1 t r B 1 = µ 0 J + 1 c 2 E1 t J = en 0 v 1 n 1 t + n 0 v 1 =0 m e n 0 v 1 t = en 0 E 1 en 0 v 1 B 0 32

33 Ondas electromagnéticas As perguntas fundamentais I. Propagação B0 e E B0 E1=E1uz v1 segundo uz v1xb0=0 É o mesmo sistema de equações já estudado! 2 = 2 pe + k 2 c 2 Onda ordinária, propaga-se tal como na ausência de campo magnético 33

34 Ondas electromagnéticas As perguntas fundamentais II. Propagação B0 e E B0 E1 está no plano x-y v1 no plano x-y v1xb0 está no plano x-y 1 E1=Exux+Eyuy And after a little algebra we obtain the rather imposing dispersion relation for the extraordinary wave 2 2 pe 1+ k2 c 2 2 pe 2 2 pe + 2 cek 2 c 2 4 pe 2 ce 2 4 pe =0 34

35 Ondas electromagnéticas As perguntas fundamentais II. Propagação B0 e E B0 Da relação anterior podemos obter o índice de refracção n 2 = c2 k 2 2 =1 2 pe pe 2 2 h Das equações de fluido podemos verificar que Ex e Ey não estão em fase, i.e., E descreve uma elipse no plano xy 35

36 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Cortes e ressonâncias Corte: ω para o qual k 0 (λ, n 0) Ressonância: ω para o qual k (λ 0, n ) Uma onda é geralmente reflectida num corte e absorvida numa ressonância Ressonâncias: ω=0 ou ω=ωh -quando a onda se aproxima da ressonância as velocidades de fase e de grupo vão para zero e a energia da onda é convertida em oscilações h. superiores 36

37 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Cortes e ressonâncias Cortes:! L,R =! ce 2 + r! 2 pe +!2 ce 4 ωl,r: frequências esquerda e direita Frequentemente representamos os diagrama de dispersão num gráfico n 2 vs ω 37

38 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Diagrama de dispersão O: onda ordinária; X: onda extraordinária 38

39 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Diagrama de dispersão O: onda ordinária; X: onda extraordinária 39

40 Ondas electromagnéticas As perguntas fundamentais III. Propagação B0 Como já vimos, precisamos apenas de 3 equações (le de Ampère, lei de Faraday e equação da força para os electrões) i k E1 = i B1 i k B 1 = µ 0 en 0 v 1 i c 2 E 1 i m e v 1 = ee 1 ev 1 B 0 40

41 Ondas electromagnéticas As perguntas fundamentais III. Propagação B0 k=kuz, E1, B1 e v1 no plano x-y (...) n 2 R,L = c2 k 2 2 =1 2 pe/ 2 1 ce / R,L: ondas direita e esquerda, respectivamente 41

42 Ondas electromagnéticas As perguntas fundamentais III. Propagação B0 Polarização das ondas R e L 42

43 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Cortes e ressonâncias Ressonâncias (n ): -onda direita: ω=ωce (!) -onde esquerda: não tem. Cortes (n 0): -onda direita: ω=ωr -onde esquerda: ω=ωl Temos sempre ωr>ωce e ωr>ωl ωce pode ser maior ou menor que ωl 43

44 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Diagrama de dispersão Caso ωl>ωce 44

45 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Diagrama de dispersão Caso ωl>ωce 45

46 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Diagrama de dispersão Caso ωl<ωce 46

47 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Diagrama de dispersão Caso ωl<ωce 47

48 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais O modo whistler Para as ondas direitas, há uma zona em que a velocidade de fase aumenta com a frequência (máximo é em ωce/2) Na região ω<ωce as velocidades de fase e de grupo aumentam com a frequência Por exemplo num relâmpago são geradas ondas de várias frequências, que viajam ao longo de B guiadas pelas linhas do campo magnético 48

49 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais O modo whistler As ondas de maior frequência chegam primeiro, ouvindo-se um assobio de frequência decrescente! Um único relâmpago pode dar origem a vários assobios, pois as ondas podem viajar por diferentes tubos de força Ouvir um whistler 49

50 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais O modo whistler 50

51 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Rotação de Faraday Uma onda plana pode ser vista como a sobreposição de uma onda direita e uma onda esquerda de frequências iguais 51

52 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Rotação de Faraday Para altas frequências (ω>ωr), a onda direita tem uma velocidade de fase superior à da onda esquerda Ao atravessar um plasma, a onda roda o seu plano de polarização - rotação de Faraday 52

53 Ondas As electromagnéticas perguntas fundamentais Rotação de Faraday v 'L <v 'R ) k L >k R ' = Z L 0 (k L k R )dx X X X F = 1 2 ' \ \ \ 53

54 As perguntas fundamentais Continuando a complicar... Até aqui vimos ondas electromagnéticas ignorando o movimento dos iões e ondas iónicas electrostáticas, i.e., ignorando efeitos electromagnéticos Combinando os dois efeitos temos: -ondas de baixa frequência, paralelas (k B) - ondas de Alfvén -ondas de baixa frequência, perpendiculares (k B) - ondas magnetosónicas 54

55 As perguntas fundamentais Ondas: sumário Ondas electrónicas electrostáticas -B0=0 ou k B0: ω 2 =ωpe 2 +3k 2 vt 2 (oscilações de plasma / ondas de Langmuir) -k B0: ω 2 =ωpe 2 +ωce 2 =ωh 2 (ondas híbridas superiores) Ondas iónicas electrostáticas -B0=0 ou k B0: ω 2 =k 2 vs 2 (ondas acústicas iónicas) 55

56 As perguntas fundamentais Ondas: sumário Ondas iónicas electrostáticas (cont.) -k B0: ω 2 =k 2 cs 2 +ωlh 2 ωlh 2 (oscilações híbridas inferiores) ou ω 2 =ωci 2 +k 2 cs 2 (ondas ciclotrónicas iónicas) Ondas electrónicas electromagnéticas -B0=0: ω 2 =ωpe 2 +k 2 c 2 (ondas electromagnéticas) -k B0, E1 B0: n 2 =1-ωpe 2 /ω 2 (ondas ordinária - O) 56

57 As perguntas fundamentais Ondas: sumário Ondas electrónicas electromagnéticas (cont) -k B0, E B0: extraordinária - X) n 2 =1 2 pe/ 2 1 ce/ -k B0: n 2 =1 modo de whistler); esquerda - L) n 2 =1 2 pe 2 Ondas iónicas electromagnéticas -k B0: (...) onda de Alfén 2 2 pe 2 2 h 2 pe/ 2 1+ ce / -k B0: (...) onda magnetosónica (onda (onda direita -R; (onda 57