Aproximações quase-estáticas

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1 0.27. ASEQUAÇÕESDEMAXWELL Aproximações quase-estáticas As equações de Maxwell constituem um sistema de equações diferenciais acopladas cuja resolução pode não ser simples. Entre as aproximações mais úteis para a resolução deste conjunto de equações conta-se o chamado regime quase-estático, em que a variação dos campos eléctrico e magnético é suficientemente lenta, de tal forma que o comprimento de onda das ondas electromagnéticas associadas a esta variação temporal(conforme veremos mais adiante, as equações de Maxwell prevêm a existência de ondas electromagnéticas) é muito grande em comparação com as dimensões típicas do sistema. As aproximações quase-estáticaspodemserdivididasemtrêsmodelosprincipais 30 : a aproximação quase-estática eléctrica, que inclui apenas efeitos capacitivos e em quesepartedasequaçõesdemaxwell,desprezandootermo B/ tnaleidefaraday; a aproximação quase-estática magnética, que inclui apenas efeitos indutivos e em que se despreza o termo E/ t na lei de Ampère-Maxwell, o que conduz à lei de Ampère; os modelos de Darwin, em que se toma apenas a parte electrostática do campo eléctrico na lei de Ampère-Maxwell, isto é, em que se escreve B=µ 0 J+µ 0 ɛ 0 E C t (391) emque E C =0; E C = ρ ɛ 0 ;E C = V (392) 30 Para mais detalhes sobre as aproximações quase-estáticas, consultar J. Larsson, Am. J. Phys 75 (2006) 230.

2 Correntes induzidas e correntes de Foucault Quando abordámos os supercondutores verificámos já o efeito, decorrente da lei de Faraday, da manutenção do fluxo magnético no interior do supercondutor. Esta propriedade, conforme vimos então, conduz à geração de correntes induzidas no supercondutor quando este é submetido a um campo externo (por exemplo por aproximação de um magnete). Um dos efeitos mais espectaculares desta explusão das linhas de campo magnético é a levitação magnética, em que o magnete fica suspenso sobre o supercondutor devido à força magnética repulsiva gerada pelas correntes induzidas no supercondutor. Num condutor normal, resistivo, a aproximação de um campo magnético também gera, de forma idêntica, correntes induzidas que se opõem à variação do fluxo magnético. No entanto, dada a resistência do condutor, estas correntes induzidas conduzem à dissipação deenergiasobaformadecalor,atravésdoefeitodejoule. Estascorrentesinduzidasnum condutor por um fluxo magnético variável, com os efeitos dissipativos que conduzem ao aquecimento,designam-secorrentesdefoucault Travagem magnética A descrição quantitativa rigorosa das correntes de Foucault não é simples, apesar do seu interesse tecnológico. Um exemplo particularmente elucidativo, e que ilustra também os efeitos de travagem magnética, consiste num pêndulo constituído por uma placa condutora, que se deixa oscilar de forma a passar por uma região onde existe um campo magnético, criado por exemplo pelos pólos de um electroíman. Quando a placa condutora entranazonaondeestápresenteocampomagnético(istoé,quandoatravessaospólosdo electroíman), geram-se correntes induzidas de Foucault que tendem a contrariar o fluxo magnético que se estabelece então no condutor. Parte da energia cinética do pẽndulo em queda é assim convertida em energia cinética dos electrões das correntes de Foucault, queporsuavezédissipadasobaformadecalor,atravésdascolisõesdesteselectrõesno interior do material. Ocorre assim uma perda gradual da energia cinética do pêndulo à medida que atravessa os pólos do electroíman: este sistema constitui assim um dispositivo de travagem magnética. Apesar da sua utilidade prática por exemplo nos travões magnéticos, frequentemente as correntes de Foucault constituem um empecilho a evitar (por exemplo nos núcleos ferromagnéticos dos transformadores). Uma das formas de as reduzir, consiste em reduzir o percurso permitido aos electrões das correntes de Foucault, através da laminagem do condutor, isto é da sua separação em lâminas finas. Tal reduz a resistência associada e logo a potência dissipada por efeito de Joule. 31 Tambémdesignadaseddycurrents naliteraturaanglo-saxónica,dadesignaçãoparacontra-correntes.

3 Ondas electromagnéticas 0.29 Equação de onda Antes de iniciarmos o estudo específico das ondas electromagnéticas, convém recordar os aspectos gerais da descrição do movimento ondulatório. Recorde-se que uma onda corresponde a um processo físico em que há transmissão de um sinal através de um determinado processo (de natureza mecânica, acústica, electromagnética). O exemplo paradigmaático(embora não constitua o exemplo mais simples) é o das ondas superficiais em alto mar, em que a elevação momentânea da superfície da água(tipicamente suscitada pelo vento) é transmitida a toda a superfície: cada elemento da superfície realiza apenas um movimento vertical, mas as interacções existentes entre as moléculas de água implicam a propagação deste movimento aos elementos de superfície contíguos com uma certa velocidade caracteística ao longo da superfície. A um elemento de superfície numa dada posição x podemos associar então um dado deslocamento vertical num instante t, caracterizadoporumafunçãodexedet,f(x,t). Seconsiderarmosumobservadoramover-se solidariamente com a onda, do ponto de vista deste o deslocamento de cada elemento de superfícieseráapenasfunçãodaposiçãox doelementoemrelaçãoaoobservador,sendo caracterizadoporumafunçãof (x ),emque: x=x +vt x =x vt (393) onde estamos a assumir que o observador estava em x = 0 no instante t = 0, deslocando-se posteriormente na direcção positiva do eixo dos XX, solidariamente com a onda,comvelocidadev(sesedeslocassenosentidonegativo,teríamosx=x vt). Obviamente, o deslocamento de cada elemento de superfície é o mesmo independentemente do observador, pelo que: f(x,t)=f (x )=f (x vt) (394) Esta relação constitui a assinatura característica de uma onda (não é específica das ondas de su+perfície do mar, embora tenhamos começado por esse exemplo) e daí decor- 123

4 124 rem imediatamente algumas relações bastante gerais. De facto, temos, usando a regra de derivação da função composta: f t = df dx x t = vdf dx (395) t = v d 2 dx ( ) df x dx e,emrelaçãoàderivadaemordemax,temos: t =v2 d2 f d(x ) 2 (396) f x = df dx x x = df dx (397) x = d 2 dx ( df dx ) x x = d2 f d(x ) 2 (398) Obtemos assim uma relação bastante geral entre as segundas derivadas em ordem aotempoeaoespaço, aque tem de obedecertodaafunçãoquedescrevaomovimento ondulatório: x 2 = 1 v 2 t 2 (399) Esta relação é justamente conhecida por equação de onda. No caso de uma onda a propagar-se nas três dimensões espaciais, facilmente se obtém a generalização: x f y f z 2 = 1 v 2 t 2 2 f(r,t)= 1 v 2 t 2 (400)

5 0.29. EQUAÇÃODEONDA Ondas transversais e ondas longitudinais. Polarização Nocasoquetomámoscomoexemplodapropagaçãodeumaondanasuperfíciedomar, seaondasepropagarporexemplonadirecçãopositivadoeixodosxx,omovimentode cada elemento de superfície será sempre perpendicular à direcção de propagação. Caso os elementos se desloquem, por exemplo, na direcção dos yy, poderemos escrever a função que descreve a onda como: r(x,t)=f(x,t)ê y (401) Uma ondadeste tipo, em que a perturbação associada àonda é perpendicular àdirecção de propagação, diz-se uma onda transversal. Pode no entanto acontecer que a perturbação associada à onda é seja paralela à direcção de propagação. Tal acontece por exemplo nas ondas sonoras no ar, em que a direcção de propagação da onda ocorre na mesmadirecçãodomovimentodasmoléculasdear. Porexemplo,nocasodeumaondaa propagar-senadirecccãodoeixodosxx,omovimentodeumelementodearserádescrito por: r(x,t)=f(x,t)ê x (402) Uma onda deste tipo diz-se uma onda longitudinal. No caso das ondas longitudinais, a perturbação associada à onda ocorre assim sempre numa direcção bem definida, coincidente com a direcção de propagação. Tal não acontece necessariamente com as ondas transversais, em que a perturbação pode tomar uma direcção qualquer perpendicular à direcção de propagação, podendo a direcção da perturbação ir-se alterarando no decurso do tempo. A situação expressa pela equação (401) corresponde assim a uma importante situação particular, em que a direcção da perturbação se mantém fixa. Uma onda transversa deste tipo diz-se polarizada Ondas sinusoidais, planas e monocromáticas A equação de onda admite um amplíssimo conjunto de soluções. Sendo uma equacção linear, a sobreposição de duas soluções é ainda uma solução da equação de onda. Este facto, juntamente com um resultado matemático conhecida por teorema de Fourier, que garante que um larguíssimo conjunto de funções pode ser representada em série de Fourier, como uma soma de funções sinusoidais, conduz-nos ao estudo das soluções sinusoidais da equação de onda. Consideramos assim soluções da forma: f(x,t)=acos(kx±ωt+φ 0 ) (403)

6 126 Note-se que esta função corresponde ou a uma onda unidimensional que se desloca na direcçãodosxx,ouaumaondatridimensionalemquetodosospontosdoplanox=x se deslocam em fase. Uma tal onda tridimensional designa-se uma onda plana, pois as frentesdeonda(oconjuntodospontosqueemcadainstanteseencontraemfase)formam planos perpendiculares à direcção de propagação. Esta onda é descrita por um conjunto de parâmetros característicos: a amplitude A, que caracteriza o valor máximo da perturbação; sendo as funções sinusoidais periódicas, temos um período temporal T após o qual a perturbação volta a repetir-se numa dada posição x: f(x,t+t)=f(x,t) T = 2π ω (404) em que ω se designa frequência angular; a frequência f, correspondente ao número deciclosporunidadedetempo,é: f = 1 T = ω 2π (405) analogamente, temos também um período espacial λ após o qual a perturbação volta a repetir-se num dado instante t: f(x+λ,t)=f(x,t) λ= 2π k (406) em que k se designanúmero de onda. O número de ciclos contido na unidade de comprimento é pois 1/λ. afasenaorigem φ 0,queindicaopontodocicloemqueseencontraaperturbação emx=0et=0. Notes-sequeafunção(403)obedeceàequaçãodeonda. Defacto,temos t 2 = ω2 Acos(kx±ωt+φ)= ω 2 f (407) x 2 = k2 Acos(kx±ωt+φ)= k 2 f (408) Eafunção(403)obedecepoisàequaçãodeonda,comacondição: ω 2 =v 2 k 2 v=± ω k =±λ T (409) Esta onda, sendo caracterizada por uma única frequência e, por via da equação(409), por um único comprimento de onda, diz-se ainda uma onda monocromática.

7 0.29. EQUAÇÃODEONDA 127 Representações alternativas de ondas sinusoidais As ondas sinusoidais representam, conforme indicámos, uma forma particularmente importante e útil. No entanto, a álgebra das funções trigonométricas, em particular a sua soma e produto, torna-se frequentemente pesada e difícil de manobrar, o que justifica que se procurem e usem formas alternativas mais expeditas. Vectores girantes Uma forma geométrica consiste em identificar a função(403) com a projecção no eixo dos xxdeumvectordecomprimentoaquefazumânguloφ(x,t)=kx±ωt+φ 0 comosemieixo positivo dos x. A soma de ondas reduz-se assim à soma de vectores, interessando no final apenas o resultado da projecção do vector soma no semi-eixo positivo dos x. Esta representação traz assim algumas vantagens para o cálculo da soma de ondas, mas também rapidamente se torna impraticável. Representação complexa Um outra representação possível consiste em identificar a função(403) com a parte real deumnúmerocomplexodenormaaeargumentoφ(x,t)=kx±ωt+φ 0,istoé: f(x,t)=acos(kx±ωt+φ 0 )=Re [ Ae j(kx±ωt+φ 0) ] (410) em que j = 1ese fezusodoteoremadeeulere jθ =cosθ+jsinθ. Estarepresentação, ao contrário das anteriores, é extremamente poderosa, devido à possibilidade de utilizar todo o arsenal da análise complexa(a começar pelo próprio teorema de Euler, que permite transformar funções trigonométricas computacionalmente complicadas em exponenciais de álgebra bem mais simples).

8 Ondas electromagnéticas no vazio Equações de onda para os campos eléctrico e magnético no vazio Estamos agora em condições de analisar o comportamento dos campos eléctrico e magnéticonovazio,istoénaausênciadefontesdecampoρ=0,j=0. Começamospor escrever as equações de Maxwell no vazio: E=0 (411) E= B t (412) B=0 (413) B=µ 0 ɛ 0 E t Partindo da lei de Faraday, podemos calcular o seu rotacional: (414) E= B (415) t Atendendoàconhecidarelaçãodocálculovectorial E= 2 E+ ( E) e também à lei de Ampère-Maxwell, obtemos: 2 E+ ( E)= ( ) E µ 0 ɛ 0 t t (416) E,atendendoaquenovaziotemos E=0: 2 E=µ 0 ɛ 0 2 E t 2 (417) Atravé de um procedimento semelhante (calculando agora o rotacional da lei de Ampère-Maxwell), podemos obter uma equação análoga para o campo magnético no vazio:

9 0.30. ONDASELECTROMAGNÉTICASNOVAZIO B=µ 0 ɛ 0 2 B t 2 (418) Obtemos assim equações de onda para os campos eléctrico e magnético no vazio, com a velocidade de propagação v= 1 µ0 ɛ 0 (419) No tempo de Maxwell, as constantes eram já conhecidas, o que permitiu a Maxwell estimaravelocidadedepropagaçãodedestasondas,obtendooresultadov m/s,o que constituía um valor extraordinariamente próximo da velocidade então conhecida para a luz. As experiências subsequentes, com particular destaque para o meticuloso trabalho dehertz, viriamadarrazãoamaxwellnasuaintuiçãodequealuzconsituíaumcaso particular da propagação do campo electromagnético. Refira-se ainda o facto enigmático de a velocidade de propagação das ondas electromagnéticas no vazio ser não só finita como aparentemente independente do referencial. Estes dois factos contrariam duas das suposições básicas da física clássica: a necessidade de um meio para a propagação de ondas e o princípio da relatividade de Galileu, que afirma ser a velocidade dependente do referencial do observador. Maxwell e os físicos do século XIX supunham assim a existeência de um meio material, designado éter no qual se propagariam as ondas electromagnéticas. A procura deste meio acabou por desencadear um conjunto de trabalhos experimentias e teóoricos que culminou na teoria da relatividaderestrita,queassentanopressupostodequeoéternãoexisteequeavelocidadede propagação da luz ocorre no vazio a uma velocidade queé independente da velocidade do observador.