Interpolação por Gregory-Newton e erro de truncamento. Manaíra Lima e Loïc Cerf 19 de abril de 2018 UFMG ICEx DCC

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1 Interpolação por Gregory-Newton e erro de truncamento 19 de abril de 2018 UFMG ICEx DCC

2 Exercício A Exercício Seja a tabela de pontos: x y a) Calcule P 2 (3,2) com o método mais eficiente que você conhece. b) Considerando que a função real é x 3x 3 2x + 1, calcule a cota superior do erro de truncamento cometido no item a). c) Compare o erro absoluto cometido no item a) com a cota superior do erro calculado no item b). Justifique o resultado. 2 / 10

3 Exercício A.a) x y Os pontos escolhidos para calcular P 2 (3,2) são, e. 3 / 10

4 Exercício A.a) x y Os pontos escolhidos para calcular P 2 (3,2) são (3; 76), (4; 185) e. 3 / 10

5 Exercício A.a) x y Os pontos escolhidos para calcular P 2 (3,2) são (3; 76), (4; 185) e (2; 21). 3 / 10

6 Exercício A.a) x y Os pontos escolhidos para calcular P 2 (3,2) são (3; 76), (4; 185) e (2; 21). Como as abscissas desses três pontos são igualmente espaçadas (por h = 1), a interpolação por Gregory-Newton é aplicável. Como foi escolhido um polinômio interpolador de grau superior ou igual a 2, é o método mais eficiente. 3 / 10

7 Exercício A.a) Os pontos escolhidos para calcular P 2 (3,2) são: x y / 10

8 Exercício A.a) x y y / 10

9 Exercício A.a) x y y / 10

10 Exercício A.a) x y y / 10

11 Exercício A.a) x y y / 10

12 Exercício A.a) x y y 2 y / 10

13 Exercício A.a) x y y 2 y / 10

14 Exercício A.a) x y y 2 y u x = x x 0 h 4 / 10

15 Exercício A.a) x y y 2 y u x = 3, / 10

16 Exercício A.a) x y y 2 y u x = 1,2 4 / 10

17 Exercício A.a) x y y 2 y u x = 1,2 Portanto, P 2 (3,2) = y 0 + y 0 u x + 2 y 0 2! u x (u x 1). 4 / 10

18 Exercício A.a) x y y 2 y u x = 1,2 Portanto, P 2 (3,2) = 21 + (55)(1,2) ! (1,2)(1,2 1). 4 / 10

19 Exercício A.a) x y y 2 y u x = 1,2 Portanto, P 2 (3,2) = 93,48. 4 / 10

20 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = f (3) (ξ) 3! (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) com ξ ]0; 2[. 5 / 10

21 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = f (3) (ξ) 3! (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) com ξ ]0; 2[. f (ξ) = 3ξ 3 2ξ / 10

22 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = f (3) (ξ) 3! (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) com ξ ]0; 2[. f (ξ) = 3ξ 3 2ξ + 1 f (ξ) = 9ξ / 10

23 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = f (3) (ξ) 3! (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) com ξ ]0; 2[. f (ξ) = 3ξ 3 2ξ + 1 f (ξ) = 9ξ 2 2 f (ξ) = 18ξ 5 / 10

24 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 18 3! (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) com ξ ]0; 2[. f (ξ) = 3ξ 3 2ξ + 1 f (ξ) = 9ξ 2 2 f (ξ) = 18ξ f (3) (ξ) = 18 5 / 10

25 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 18 3! (3,2 2)(3,2 3)(3,2 4) com ξ ]0; 2[. f (ξ) = 3ξ 3 2ξ + 1 f (ξ) = 9ξ 2 2 f (ξ) = 18ξ f (3) (ξ) = 18 5 / 10

26 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é sup ξ ]0;2[ T 2 (3,2). 5 / 10

27 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é sup ξ ]0;2[ 0, / 10

28 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é 0, / 10

29 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é 0,576. O erro absoluto é f (3,2) P 2 (3,2). 5 / 10

30 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é 0,576. O erro absoluto é (3(3,2) 3 2(3,2) + 1) (93,48). 5 / 10

31 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é 0,576. O erro absoluto é 92,904 93,48. 5 / 10

32 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é 0,576. O erro absoluto é 0, / 10

33 Exercício A.b) e A.c) T 2 (3,2) = 0,576 com ξ ]0; 2[. A cota superior do erro de truncamento é 0,576. O erro absoluto é 0,576. O erro absoluto é igual à cota superior do erro de truncamento pois o erro de truncamento é, aqui, independente de ξ. 5 / 10

34 Exercício Exercício B Seja a tabela de pontos: x 0, y 14,1421 7,0711 5, ,4721 4,0825 3, Realize, com quatro casas decimais, uma interpolação cúbica em 3,3 usando o método mais rápido que se aplica. 2 A função que gera os pontos é x 10 x. Qual a cota superior do erro de truncamento cometido? Compare com o erro real. Formulário u x = x x0 h P n (x) = y 0 + n k y 0 k 1 k=1 k! j=0 (u x j) 6 / 10

35 Exercício C Exercício para entregar Seja a tabela de pontos: x 0 1 1,5 2 2,5 5 y 1 0,5403 0,0707 0,4161 0,8011 0, Usando quatro casas decimais, calcule P 3 (2,25) com o método mais eficiente que é aplicável. 2 Considerando que a função real é o cosseno (em radiano), calcule a cota superior do erro de truncamento e compare com o erro real que foi cometido. Formulário u x = x x0 h P n (x) = y 0 + n k y 0 k 1 k=1 k! j=0 (u x j) 7 / 10

36 Exercício D Exercício Seja a tabela de pontos: x 1 1,5 2 2,8 3,4 4 5 y 0 1,583 3,5 7,483 11,266 15,75 24,8. a) Usando três casas decimais, calcule P 2 (2,3). b) Considerando que a função real é x x 2 1 x, calcule a cota superior do erro de truncamento cometido no item a). c) Compare o erro absoluto cometido no item a) com a cota superior do erro calculado no item b). 8 / 10

37 Exercício Exercício E Seja a tabela de pontos: x 0, y Usando uma casa decimal, calcule P 4 (42) com o método mais eficiente que é aplicável. Formulário k y i = k y i k!h k u x = x x0 h k y i = k 1 y i+1 k 1 y i P n (x) = y 0 + n k y 0 k=1 k! k 1 j=0 (u x j) 9 / 10

38 License c These slides are licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. 10 / 10