ACESSE NOSSAS REDES SOCIAIS! =D

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1 CONCURSO: MPU MINISTÉRIO PÚBLICO DA UNIÃO NOSSAS REDES SOCIAS MAIS SOBRE NOSSOS CURSOS!...02 ESTRUTURAS LÓGICAS / LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES / DIAGRAMAS LÓGICOS...06 Questões de Concursos...10 LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL) / PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS / TABELAS-VERDADE / EQUIVALÊNCIAS / LEIS DE MORGAN / LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM...17 Questões de Concursos...39 ÍNDICE: PRINCÍPIOS DE CONTAGEM (ANÁLISE COMBINÁTORIA)...48 Questões de Concursos...57 PROBABILIDADE,,,,,,,,,,,...64 Questões de Concursos...77 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS...83 Questões de Concursos...89 Prova DE RACIOCÍNIO LÓGICO MPU (CESPE)...97 Prova Comentada TRT BA (CESPE)...99 Prova Comentada PF (CESPE) ACESSE NOSSAS REDES SOCIAIS! =D 1

2 ESTRUTURAS LÓGICAS / LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES / DIAGRAMAS LÓGICOS DIAGRAMAS LÓGICOS QUANTIFICADORES São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição. TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial: É o quantificador que indica a necessidade de existir pelo menos um elemento satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É indicado pelo símbolo, que se lê existe, existe um ou existe pelo menos um. Exemplo: (p) xr / x 3 (q) Existe dia em que não chove. b) Quantificador universal: É o quantificador que indica a necessidade de termos todos os elementos satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É indicado pelo símbolo, que se lê para todo ou qualquer que seja. Exemplo: (m) xr x 5 (Lê-se: para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5 ) (n) Qualquer que seja o dia, não choverá. NENHUM (~) Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que nenhum A é B, garante-se que não existe um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, nenhum B é A. Ex.: A: Nenhum advogado é bancário 2

3 ALGUM () Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo, ao dizer que algum A é B, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, algum B é A. Ex.: B: Algum advogado é bancário TODO () Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que todo A é B, garante-se que se um elemento está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A. Ex.: C: Todo advogado é bancário 01. Considere que os argumentos são verdadeiros: Todo comilão é gordinho; Todo guloso é comilão; Com base nesses argumentos, é correto afirmar que: a) Todo gordinho é guloso. b) Todo comilão não é guloso. c) Pode existir gordinho que não é guloso. d) Existem gulosos que não são comilões. e) Pode existir guloso que não é gordinho. EXEMPLOS 3

4 SOLUÇÃO: Do enunciado temos os conjuntos: GULOSO COMILÃO GORDINHO Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso. 02. (IPAD) Supondo que todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são, podemos logicamente concluir que: a) não pode haver cientista filósofo. b) algum filósofo é cientista. c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo. d) alguns cientistas não são filósofos. e) nenhum filósofo é objetivo. SOLUÇÃO: Dadas as premissas: A: todos os cientistas são objetivos B: alguns filósofos são objetivos Sejam O Objetivos C Cientistas F Filósofos Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis: 1 o F C 2 o F C 3 o F C O O O Dessa forma, temos que se algum filósofo é cientista ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica necessariamente que esse filósofo será objetivo, pois todo cientista é objetivo. Resposta: C 03. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir logicamente que: a) nenhum cronópio é fama. b) não existe cronópio que seja fama. c) todos os cronópios são famas. d) nenhum fama é cronópio. e) algum cronópio não é fama. 4

5 SOLUÇÃO: Dada a premissa: A: Nem todos os cronópios são famas Sejam C Cronópios F Famas Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis: 1 o F C 2 o F C Podemos concluir que Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que não é fama. Resposta: E 04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: a) Alguns A não é G. b) Algum A é G. c) Nenhum A é G. d) Algum G é A. e) Nenhum G é A. SOLUÇÃO: Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que nunca serão G. Resposta: A OBS.: Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar. 05. Através de uma pesquisa, descobriu-se que nenhum politico é honesto e que alguns advogados são honestos. Dessa forma, aponte o único item errado. a) É possível que alguns politicos sejam advogados. b) Alguns advogados não são politicos. c) É impossível que algum advogado seja político. d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado. e) Pode ou não haver advogado político. SOLUÇÃO: Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições impostas: P H 1 o 2 o P H A A Cuidado! Não podemos afirmar que existe A que é P, nem tão pouco dizer que não existe A que é P. O fato é que pode ou não existir A que seja P, ou seja, podemos até afirmar que é possível existir um A que seja P, ou ainda, é possível que não exista A que seja P. Então, será errado dizer que é impossível que um A seja P. Resposta: C 5

6 ESTRUTURAS LÓGICAS / LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES INVESTIGANDO As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento. As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposisções para chegarmos as conclusões. IDENTIFICANDO CADA CASO Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas informações, com base nas informações fornecidas no enunciado. Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles. 1º CASO SOMENTE VERDADES: ORDENAÇÕES Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado. Exemplo: Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2º andar. a) Heitor a) Erick d) Fred e) Giles SOLUÇÃO: Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores. Inicialmente como Erick mora acima de todos, então ele mora no 4º andar. Como Fred mora acima de Heitor e Heitor não mora no 1º andar, então Heitor tem que morar no 2º andar e Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. Por exclusão, Giles mora no 1º andar, o que satisfaz a condição de morar abaixo de Fred. 6

7 2º CASO SOMENTE VERDADES: ASSOCIAÇÃO Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações ou características e as linhas tratam das pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras. Exemplo: (FCC) Em 2015, três Técnicos Judiciários, Alfredo, Benício e Carlos, viajaram em suas férias, cada um para um local diferente. Sabe-se que: seus destinos foram: uma praia, uma região montanhosa e uma cidade do interior do Estado; as acomodações por ele utilizadas foram: uma pousada, um pequeno hotel e uma casa alugada; o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada; Carlos foi a uma cidade do interior; Alfredo não foi à praia; Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos. Nessas condições, é verdade que a) Aquele que foi às montanhas hospedou-se em um hotel. b) Alfredo alugou uma casa. c) Benício foi às montanhas. d) Carlos hospedou-se em uma pousada. e) Aquele que foi à cidade hospedou-se em uma pousada. SOLUÇÃO: 1) Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo Benício Carlos - 2) Alfredo não foi à praia Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo - Benício Carlos - 7

8 3) Carlos foi a uma cidade do interior Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo - ok - Benício ok - - Carlos - - ok - 4) O técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo - ok - - ok - Benício ok - - ok - - Carlos - - ok - - ok Então: Alfredo montanha hotel Benício praia pousada Carlos interior casa alugada Resposta: A 3º CASO VERDADES E MENTIRAS: HIPÓTESES Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre cinco suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese. Exemplo: (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: - Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. - Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. - Foi a Mara, disse Manuel. - O Mário está mentindo, disse Mara. - Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 8

9 SOLUÇÃO: Dados da questão: Uma declaração é falsa Quatro declarações são verdadeiras Suspeitos Declarações 1) Marcos culpado (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 2) Mário culpado (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 3) Manuel culpado (1 VERDADEIRAS E 4 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 4) Mara culpada (4 VERDADEIRAS E 1 FALSAS SATISFAZ A CONDIÇÃO) 9

10 5) Maria culpada (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) Então: Mara entrou sem pagar Resposta: C QUESTÕES DE CONCURSOS Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capila de até um quarto do saiário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média. Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes. Internet < "http/amaivos,uol.combr> (com adaptações) 01. (CESPE) Considerando que Jorge não seja pobre, mas pratique atos violentos, é correto afirmar que Jorge é um contraexemplo para a afirmação: Todo indivíduo pobre pratica atos violentos. 02. (CESPE) A negação da proposição "Toda pessoa pobre é violenta" é equivalente a "Existe alguma pessoa pobre que não é violenta". Paulo, Mauro e Arnaldo estão embarcando em um voo para Londres. Sabe-se que: os números de suas poltronas são C2, C3 e C4; a idade de um deles é 35 anos e a de outro, 22 anos; Paulo é o mais velho dos três e sua poltrona não é C4; a poltrona C3 pertence ao de idade intermediária; a idade de Arnaldo não é 22 anos. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 03. (CESPE) Se a soma das idades dos três passageiros for 75 anos, então as idades de Paulo, Mauro e Arnaldo serão, respectivamente, 35, 22 e 18 anos 10

11 04. (CESPE) Se a soma das idades dos três passageiros for igual a 100 anos, então a poltrona de numero C4 pertencerá a Mauro, que terá 35 anos. Três candidatos - Paulo, Sérgio e Renato - se conheceram em Vitória durante o período que antecede a aplicação das provas de certo concurso. Cada um deles é de uma cidade diferente - Recife, Cuiabá e Salvador -, e utilizou um meio de transporte diferente para chegar até Vitória - avião, carro e ônibus. Além disso, sabe-se que Paulo viajou de carro, Sérgio mora em Recife e o candidato que mora em Salvador viajou de ônibus. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 05. (CESPE) Renato mora em Salvador. 06. (CESPE) O candidato que mora em Cuiabá viajou de avião. 07. (CESPE) Certo dia, três seguranças Antero, Bernardino e Catulo fiscalizaram áreas distintas de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho. Sabe-se que, nessa ocasião, eles eram funcionários do Tribunal há 6, 8 e 11 anos; as áreas em que exerceram a fiscalização foram: a portaria, o estacionamento e salas de audiência; Antero era funcionário do Tribunal há 8 anos; Bernardino foi o responsável pela fiscalização da portaria; Catulo, que ainda não tinha 11 anos de serviço no Tribunal, não foi responsável pela fiscalização do estacionamento. Nessas condições, é correto afirmar que Catulo exerceu a fiscalização em salas de audiência e Bernardino tinha 6 anos de serviço no Tribunal. 08. (CESPE) Dizer que todas as senhas são números ímpares é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que pelo menos uma das senhas não é um número ímpar. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Se a primeira pessoa diz nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz nossas fichas são da mesma cor, então com base no texto, julgue os itens a seguir. 09. (CESPE) As duas pessoas carregam fichas pretas. 10. (CESPE) Pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. 11

12 11. (CESPE) Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. 12. (CESPE) Considere o diagrama abaixo. Esse diagrama é uma prova de que o argumento a seguir é válido, ou seja, as proposições I e II são premissas e a proposição III é uma conclusão, pois é verdadeira por consequência das premissas. I. Nenhum analista administrativo é dançarino. II. Todos os dançarinos são ágeis. III. Logo, nenhum analista administrativo é ágil. Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações. A afirmou que C matou o líder. B afirmou que D não matou o líder. C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes. 13. (CESPE) A declaração de C não pode ser verdadeira. 14. (CESPE) D matou o líder. A lógica sentencial, ou proposicional, trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsa (F), mas que não admitem os julgamentos V e F simultaneamente. A lógica de primeira ordem também trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que são julgadas como V ou F dependendo do conjunto, ou domínio, ao qual pertencem os objetos referenciados nas sentenças e das propriedades, ou predicados, associadas a esses objetos. Na lógica de primeira ordem, os objetos de um domínio são quantificados por todos, alguns, nenhum etc. As deduções da lógica proposicional ou da lógica de primeira ordem têm uma estrutura cuja análise permite decidir se o raciocínio expresso está correto ou não, isto é, se a conclusão é uma consequência verdadeira das proposições que são colocadas como premissas, sempre consideradas verdadeiras. Com base nas informações do texto acima, julgue os itens a seguir. 12

13 15. (CESPE) Considerando como premissas as proposições Nenhum universitário é analista judiciário e Todo analista judiciário faz curso de informática, e como conclusão a proposição Nenhum universitário faz curso de informática, então o raciocínio formado por essas proposições é correto. 16. (CESPE) A dedução expressa por Todos os dinossauros são animais extintos; existem mamíferos que são animais extintos; portanto, existem mamíferos que são dinossauros é um raciocínio correto. 17. (CESPE) Considere que a sequência de proposições a seguir constituam três premissas e a conclusão, nessa ordem: Todas as mulheres são pessoas vaidosas ; Todas as pessoas vaidosas são caprichosas ; Existem pessoas tímidas que são mulheres ; Existem pessoas tímidas que são caprichosas. Nesse caso, tem-se uma dedução que expressa um raciocínio correto. 18. (CESPE) Em uma avenida comercial, sabe-se que três lojas consecutivas têm proprietários, cores e produtos distintos. Sabe-se que o proprietário da loja à direita é Roberto e que Fábio não vende pães e sua loja não é vermelha. A loja central é verde e a loja de Gustavo não é azul nem vende cigarros. A loja azul não vende motos e não fica à direita. Se a loja que vende pães está à esquerda da loja que vende motos, então: a) Fábio vende motos. b) a loja de Roberto é azul. c) a loja de Fábio é azul. d) Roberto vende cigarros. e) Gustavo vende motos. 19. (CESPE) Em uma investigação, um detetive recolheu de uma lixeira alguns pedaços de papéis semidestruídos com o nome de três pessoas: Alex, Paulo e Sérgio. Ele conseguiu descobrir que um deles tem 60 anos de idade e é pai dos outros dois, cujas idades são: 36 e 28 anos. Descobriu, ainda, que Sérgio era advogado, Alex era mais velho que Paulo, com diferença de idade inferior a 30 anos, e descobriu também que o de 28 anos de idade era médico e o outro, professor. Com base nessas informações, assinale a opção correta. a) Alex tem 60 anos de idade, Paulo tem 36 anos de idade e Sérgio tem 28 anos de idade. b) Alex tem 60 anos de idade, Paulo tem 28 anos de idade e Sérgio tem 36 anos de idade. c) Alex não tem 28 anos de idade e Paulo não é médico. d) Alex tem 36 anos de idade e Paulo é médico. e) Alex não é médico, e Sérgio e Paulo são irmãos. 20. (CESPE) Observe a seguinte argumentação: Toda a justiça é baseada em leis. Toda lei foi escrita pelo homem. Toda obra humana é imperfeita. Logo, a justiça é imperfeita. Com base nas assertivas que fazem parte do argumento apresentado acima, julgue os itens subsequentes. Trata-se de exemplo de argumento válido. Considere as seguintes proposições: I. Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. II. Joaquina não tem garantido o direito de herança. III. Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. IV. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que 13

14 21. (CESPE) Joaquina não é cidadã brasileira. 22. (CESPE) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. O quadro de pessoal de uma empresa conta com 7 analistas: 2 da área de contabilidade e 5, de arquivologia. Em 4 dias consecutivos, desses 7 analistas, estiveram presentes aos trabalhos: no dia 1: Bárbara, Diogo, Marta e Sandra; no dia 2: Diogo, Fernando, Hélio e Sandra; no dia 3: Bárbara, Célio, Diogo e Hélio; no dia 4: Célio, Fernando, Marta e Sandra. Sabendo que, em cada um desses 4 dias, dos presentes, 1 era analista de contabilidade e 3, de arquivologia; que cada um dos analistas de contabilidade esteve presente em apenas 2 dias; e que Fernando é analista de arquivologia, julgue os itens seguintes. 23. (CESPE) Todas as mulheres são analistas de arquivologia. 24. (CESPE) Célio é analista de arquivologia. Uma empresa incentiva o viver saudável de seus funcionários. Para isso, dispensa mais cedo, duas vezes por semana, aqueles envolvidos em alguma prática esportiva. Aproveitando a oportunidade, Ana, Bia, Clara e Diana decidiram se associar a uma academia de ginástica, sendo que escolheram atividades diferentes, quais sejam, musculação, ioga, natação e ginástica aeróbica. O intuito é manter a forma e, se possível, perder peso. No momento, o peso de cada funcionária assume um dos seguintes valores: 50 kg, 54 kg, 56 kg ou 60 kg. O que também se sabe é que: (a) Ana não faz musculação e não pesa 54 kg. (b) Bia faz ioga e não tem 50 kg. (c) A jovem que faz musculação pesa 56 kg e não é a Clara. (d) A jovem com 54 kg faz natação. Com base nessas informações, é correto afirmar que 25. (CESPE) Diana faz musculação. 26. (CESPE) Bia é mais pesada que Clara. Quatro casais divertem-se em uma casa noturna. São eles: Isabel, Joana, Maria, Ana, Henrique, Pedro, Luís e Rogério. Em determinado momento, está ocorrendo o seguinte: a esposa de Henrique não dança com o seu marido, mas com o marido de Isabel; Ana e Rogério conversam sentados à beira do bar; Pedro toca piano acompanhando Maria que canta sentada ao seu lado; Maria não é a esposa de Pedro. 14

15 Julgue a(s) afirmativa(s) a seguir: 27. (CESPE) Rogério é o marido de Ana. 28. (CESPE) Luís é o marido de Isabel. 29. (CESPE) Pedro é o marido de Joana. Quatro casais vão jogar uma partida de buraco, formando quatro duplas. As regras para formação de duplas exigem que não sejam de marido com esposa. A respeito das duplas formadas, sabe-se que: Pedro é um dos participantes. Tarsila faz dupla com Rafael; Rafael faz dupla com a esposa de Breno; Amanda faz dupla com o marido de Julia; Nem Rafael, nem Lucas fazem dupla com Amanda; Julia não faz dupla com o marido de Carolina; Lucas faz dupla com Julia; Carolina faz dupla com o marido de Tarsila; Com base nas informações, é correto afirmar que: 30. (CESPE) Carolina não é esposa de Breno, nem de Lucas, nem de Pedro. 31. (CESPE) Amanda não é esposa de Lucas, nem de Rafael, nem de Pedro. 32. (CESPE) A negação da proposição Todo ser humano é responsável pelo bem que não faz, é logicamente equivalente a Algum ser humano não é responsável pelo bem que faz. 33. (CESPE) A proposição equivalente a Todas as mesas são para quatro pessoas é corretamente enunciada por Nenhuma mesa não é para quatro pessoas : 34. (CESPE) Considere as seguintes proposições. A: Nenhum funcionário do MCT é celetista. B: Todo funcionário celetista foi aprovado em concurso público. C: Nenhum funcionário do MCT foi aprovado em concurso público. Nesse caso, se A e B são as premissas de um argumento e C é a conclusão, então esse argumento é válido. 15

16 35. (CESPE) A negação da proposição Alguns juízes são honestos ou nenhum acusado é culpado pode ser expressa por Nenhum juiz é honesto e todo acusado é culpado. 36. (CESPE) A negação da proposição Todo ator sabe cantar e dançar é equivalente a Existe ator que não sabe cantar ou que não sabe dançar. Um eleitor deverá escolher um entre os candidatos A, B, C e D. Ele recebeu, de seus amigos, as quatro seguintes mensagens a respeito desses candidatos: Os candidatos A e B são empresários. Exatamente dois entre os candidatos A, B e C são empresários. O candidato A é empresário. O candidato C é empresário. Com base nas informações apresentadas, julgue os próximos itens, considerando que o eleitor sabe que exatamente uma das mensagens é falsa e que exatamente um dos candidatos não é empresário. 37. (CESPE) As informações são suficientes para se concluir que o candidato D é empresário. 38. (CESPE) O candidato A é empresário. Mara, Júlia e Lina são assessoras em um tribunal. Uma delas ocupa a função de cerimonialista, outra, de assessora de assuntos internacionais e a outra, de analista processual. Uma dessas assessoras ocupa a sua função há exatos 11 anos, outra, há exatos 13 anos, e a outra, há exatos 20 anos. Sabe-se, ainda, que: Mara não é a cerimonialista e não é a assessora que exerce a função há exatos 11 anos; a analista processual ocupa a função há exatos 20 anos; Júlia não é a assessora de assuntos internacionais nem é a assessora que ocupa a função há exatos 13 anos; Lina ocupa a função há exatos 13 anos. Com base nessa situação hipotética, julgues os itens subsequentes. 39. (CESPE) A assessora de assuntos internacionais ocupa a função há exatos 11 anos. 40. (CESPE) Mara é a assessora que ocupa essa função há mais tempo. GABARITO E C C E C E E C C C C E C C E E C C D C C E E C C C E C E C E E C E E C E C E C 16

17 LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL) / PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS / TABELAS-VERDADE / EQUIVALÊNCIAS / LEIS DE MORGAN / LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM O conceito mais elementar no estudo da lógica é o de Proposição. Trata-se, tão somente, de uma sentença algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso. Então, se eu afirmar a Terra é maior que a Lua, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro. Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F). Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc.). exemplos de proposições, as seguintes: São outros p: Pedro é médico. q: 5 < 8 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes: Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição); Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). Proposições podem ser ditas simples ou compostas. Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido. Todo homem é mortal. O novo papa é alemão. Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos: João é médico e Pedro é dentista. Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. Ou Luís é baiano, ou é paulista. Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos ditos conectivos lógicos que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une. 17

18 CONECTIVO e (conjunção) Proposições compostas em que está presente o conectivo e são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por. Então, se temos a sentença: Marcos é médico e Maria é estudante... poderemos representá-la apenas por: p q onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. Então, diante da sentença Marcos é médico e Maria é estudante, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante. Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será toda ela falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento. Retomemos as nossas premissas: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q V V V Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q V F F Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q F V F Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q F F F 18

19 Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo e. Teremos: TABELA VERDADE p q p q V V V V F F F V F F F F Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção p e q corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos: Passemos ao segundo conectivo. CONECTIVO ou (disjunção não excludente) Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por. Portanto, se temos a sentença: Marcos é médico ou Maria é estudante... então a representaremos por: p q. Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta. Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção. Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q V V V Ou: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q V F V 19

20 Ou: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q F V V Ou, finalmente: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q F F F Juntando tudo, teremos: TABELA VERDADE p q p q V V V V F V F V V F F F A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima as colunas do p e do q são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira coluna, que agora representa um ou, a disjunção. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q, CONECTIVO ou... ou... (disjunção exclusiva) Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que te darei uma bola, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que te darei uma bicicleta, então teremos que não será dada a bola. Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. 20

21 Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos ou, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva. E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte: TABELA VERDADE p q p q V V F V F V F V V F F F CONECTIVO Se... então... (condicional) Estamos agora falando de proposições como as que se seguem: Se Pedro é médico, então Maria é dentista. Se amanhecer chovendo, então não irei à praia. Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença. Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo: Se nasci em Belém, então sou paraense. Se nasci em Niterói, então sou fluminense. E assim por diante. Pronto? Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense. Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então este conjunto estará todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário. Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Percebam, pois, que se alguém disser que: Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos: Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica é igual a: Se Pedro for rico, então Maria é médica 21

22 Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico, também poderemos traduzir isso de outra forma: Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico é igual a: Se Pedro for rico, então Maria é médica O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos. Não podemos, pois esquecer disso: Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira. A sentença condicional Se p, então q será representada por uma seta: p q. Na proposição Se p, então q, a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita consequente. Teremos: TABELA VERDADE p q p q V V V V F F F V V F F V Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): CONECTIVO...se e somente se... (bicondicional) A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo se e somente se, separando as duas sentenças simples. Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre. Ou ainda, dito de outra forma: Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre. 22

23 São construções de mesmo sentido! Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e consequente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa. Sabendo que a frase p se e somente se q é representada por p q, então nossa tabela-verdade será a seguinte: TABELA VERDADE p q p q V V V V F F F V F F F V Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição composta: se p então q e se q então p, ou seja, p q é a mesma coisa que (p q) e (q p) PARTÍCULA não (negação) Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: João é médico. Maria é estudante. Negativa: João não é médico. Negativa: Maria não é estudante. Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim: João não é médico. Maria não é estudante. Negativa: João é médico. Negativa: Maria é estudante. Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques! 23

24 O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira ( ) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. Teremos: p ~p V F F V Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões: Não é verdade que A. É falso que A. Daí as seguintes frases são equivalentes: Lógica não é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. NEGATIVA DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição. Veremos, pois, uma a uma: Negação de uma Proposição Conjuntiva: (p e q) Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira (~p); 2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos e por ou. E só! Daí, a questão dirá: Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista, e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida. Analisemos: o começo da sentença é não é verdade que.... Ora, dizer que não é verdade que... é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí, como negaremos que João é médico e Pedro é dentista? Da forma explicada acima: 1º - Nega-se a primeira parte: (~p): João não é médico 2º - Nega-se a segunda parte: (~q): Pedro não é dentista 3º - Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte: João não é médico ou Pedro não é dentista. Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que: ~(p q) = ~p ~q TABELA VERDADE p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V 24

25 OS: 0101/5/17-Gil Negação de uma Proposição Disjuntiva: (p ou q) Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1º - Negaremos a primeira (~p); 2º - Negaremos a segunda (~q); 3º - Trocaremos ou por e. Se uma questão de prova disser: Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro. Pensemos: a frase em tela começa com um não é verdade que..., ou seja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos: 1º - Nega-se a primeira parte: (~p): Pedro não é dentista 2º - Nega-se a segunda parte: (~q): Paulo não é engenheiro 3º - Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte: Na linguagem apropriada, concluiremos que: Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro. ~(p q) = ~p ~q TABELA VERDADE p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V Negação de uma Proposição Condicional: (p q) Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 1º - Mantém-se a primeira parte; e 2º - Nega-se a segunda. Por exemplo, como seria a negativa de Se chover, então levarei o guarda-chuva? 1º - Mantendo a primeira parte: Chove e 2º - Negando a segunda parte: eu não levo o guarda-chuva. Resultado final: Chove e eu não levo o guarda-chuva. Na linguagem lógica, teremos que: ~(p q) = p ~q TABELA VERDADE (1) p q p q ~(p q) V V V F V F F V F V V F F F V F 25

26 TABELA VERDADE (2) p q ~q p ~q V V F F V F V V F V F F F F V F Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a sequência F V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q. Na sequência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até este momento. Vejamos: Estrutura lógica É verdade quando É falso quando p q p e q são ambos, verdade um dos dois for falso p q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos p q nos demais casos p é verdade e q é falso p q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes ~p p é falso p é verdade Negativas das Proposições Compostas: negação de (p e q) é ~p ou ~q negação de (p ou q) é ~p e ~q negação de (p q) é p e ~q negação de (p q) é [(p e ~q) ou (q e ~p)] TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES TAUTOLOGIA Considere a proposição composta: s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. 26

27 Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico F) q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F), Podemos concluir que a proposição composta s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira. Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. CONTRADIÇÃO Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. Exemplo: A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos: p ~p P ~p V F F F V F Portanto, uma contradição nunca poderá ser verdadeira. CONTINGÊNCIA Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando ela pode ter o valor lógico verdadeiro ou falso. PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA Nesse caso, as proposições não são nem Tautologia nem Contradição. Exemplo: Construindo a tabela verdade da proposição composta t: (p q) r, teremos: p q r (p q) (p q) r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2 n linhas. 27

28 LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL) / PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS / TABELAS-VERDADE / EQUIVALÊNCIAS / LEIS DE MORGAN / LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM (RESUMO TEÓRICO) SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) não e ou se... então se e somente se tal que Implica Equivalente Existe existe um e somente um qualquer que seja O MODIFICADOR NEGAÇÃO Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p. (Lê-se "não p" ). Exemplo 1: q: Thiago Pacífico é magro ~q: Thiago Pacífico não é magro ~q: Não é verdade que Thiago Pacífico é magro Exemplo 2: s: Fernando Castelo Branco é honesto s: Fernando Castelo Branco não é honesto s: Não é verdade que Fernando Castelo Branco é honesto s: Fernando Castelo Branco é desonesto OBS.: Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p. p: Lidiane Coutinho dirige bem ~p: Lidiane Coutinho não dirige bem ~(~p): Não é verdade que Lidiane Coutinho não dirige bem ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos,, e, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p q, p q. Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: CONJUNÇÃO: p q (lê-se "p e q" ) DISJUNÇÃO: CONDICIONAL: p q (lê-se "p ou q") p q (lê-se "se p então q") BI-CONDICIONAL: p q (lê-se "p se e somente se q") 28

29 CONJUNÇÃO (E) EXEMPLO: A B (lê-se Premissa A e premissa B ) Analise a afirmação: Este final de semana irei à praia e ao cinema. A: Irei à praia B: Irei ao cinema Conclusão: TABELA VERDADE A B A B V V V V F F F V F F F F A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa. Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas. DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE (OU) A B (lê-se Premissa A ou premissa B ) EXEMPLO: Analise a afirmação: Este final de semana irei à praia ou ao cinema. A: Irei à praia B: Irei ao cinema Conclusão: TABELA VERDADE A B A B V V V V F V F V V F F F PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: São aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. 29

30 DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU... OU) A B (lê-se Ou premissa A, ou premissa B ) EXEMPLO: Analise a afirmação: Este final de semana Renata ou vai à praia, ou vai ao cinema. A: Renata vai à praia B: Renata vai ao cinema TABELA VERDADE A B A B V V F V F V F V V F F F Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira. Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes. Conclusão: PREMISSAS EXCLUDENTES: São aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado ou...ou, devemos entender que se trata de disjunção excludente. CONDICIONAL (SE... ENTÃO) A B (lê-se Se premissa A, então premissa B ) EXEMPLO: Analise a afirmação: Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. A: Nasci em Fortaleza B: Sou Cearense Conclusão: TABELA VERDADE A B A B V V V V F F F V V F F V Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira. 30

31 A é condição suficiente para que B ocorra B é condição necessária para que A ocorra ~B é condição suficiente para que ~A ocorra ~A é condição necessária para que ~B ocorra Observação: CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre) RESUMINDO: Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito. Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo. BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE) A B (lê-se Premissa A, se e somente se a premissa B ) EXEMPLO: Analise a afirmação: Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri. A: Eduardo fica alegre B: Maria sorrir Atenção: É o mesmo que: Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre Ou ainda, dito de outra forma: Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre TABELA VERDADE A B A B V V V V F F F V F F F V 31

32 Conclusão: Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico. Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser. Observação: A é condição necessária e suficiente para que B ocorra B é condição necessária e suficiente para que A ocorra TABELA VERDADE Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1) ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada: TABELA VERDADE Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. TABELAS-VERDADE: p q p q p q p q p q p q V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? por: Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado Nº de proposições Nº de Linhas da Tabela - Verdade = 2 Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 2 2 = 4. E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 2 3 = 8. E assim por diante. 32

33 TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. SUPER-RESUMO SOBRE O SE... ENTÃO... - NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIAS - PROVANDO AS EQUIVALÊNCIAS E A NEGAÇÃO MAIS UM POUCO DE TABELA VERDADE A B A B A B B A A B A B V V F F V V V F V F F V F F F V F V V F V V V F F F V V V V V F 33

34 QUESTÕES RESOLVIDAS (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( P) ( Q) também é verdadeira. Resposta: ERRADO P Q P Q ( P) ( Q) V V F F F 02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R ( T) é falsa. Resposta: ERRADO T R T R ( T) V F F V 03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) ( Q) é verdadeira. Resposta: CERTO P Q R Q P R (P R) ( Q) V V F F F V 04. O número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a 9. n = 3 (Q, R, P), então 2 n = 2 3 = 8 < 9 Resposta: CERTO (CESPE) Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS: Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima. 34

35 05. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. Instituído 100 mil barris/dia ~ Instituído 100 mil barris/dia ~100 mil barris/dia Se não atingiu a produção de 100 mil barris/dia então não foi instituído. Resposta: CERTO 06. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. Instituído 100 mil barris/dia ~ Instituído 100 mil barris/dia ~100 mil barris/dia Se não instituiu então pode ou não ter atingido a produção de 100 mil barris/dia. Resposta: ERRADO 07. Se João é rico,, Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo: a) Maria é bonita b) João é rico c) José é rico d) João não é rico e) Maria é rica Representação por siglas das proposições: JR: João é rico MB : Maria é bonita JSC: José é carpinteiro Então: João não é rico Maria não é bonita José não é carpinteiro Resposta: D 35

36 08. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretaria. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora, portanto: a) Ana é advogada b) Sandra é secretária c) Ana é advogada ou Paula não é professora d) Ana é advogada e Paula é professora e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. Representação por siglas das proposições: AA: Ana é advogada SS: Sandra é secretaria PP: Paula é professora Então: Ana não é advogada Sandra é secretaria Paula é professora Resposta: B 09. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então: a) Estou feliz e fiz uma boa ação. b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação. c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação. d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação. Representação por siglas das proposições: RD: Receber dinheiro EV: Eu viajar BA: Fazer boa ação FF: Eu ficar feliz Então: Recebi dinheiro Eu viajei Fiz boa ação Eu estou feliz Resposta: A 36

37 10. (CESPE/UNB) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição (p r) (q s) será: a) verdadeira, somente se p for verdadeira b) verdadeira, somente se q for verdadeira c) verdadeira, para qualquer valores lógicos de p e q d) falsa, se p for verdadeira e q falsa e) falsa, se p e q forem ambas falsas p q r s p r q s (p r) (q s) V V V F V V V V F V F V F F F V V F F V V F F V F F F V Resposta: D 11. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa, necessariamente será verdadeira a proposição: a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria; d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. Ganhar na loteria casa Não ganhar na loteria Resposta: B casa não casa 12. (ESAF) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. P Q? V V F V F V F V F F F F A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) P Q b) P Q c) (P Q) d) P Q e) (P Q) P Q P Q P Q ~(P Q) P Q ~(P Q) V V V V F V F V F F F V F V F V F V F F V F F F V F V V Resposta: C 37

38 13. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A B é ~(A B) = A ~B Logo Ou ainda, ~(~(A B)) = ~(A ~B) A B = ~A v B Nesse caso, as proposições abaixo são equivalentes ~BB AA = BB AA VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE Dado AA ~BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" Observe, que apenas a premissa composta TABELA VERDADE AA ~BB AA ~BB V V V V F V F V V F F F B AA: "Se Bernardo é engenheiro, então André é artista" tem os mesmos valores lógicos de AA v ~BB. Onde ~BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos contrários. Resposta: D TABELA VERDADE AA BB BB AA V F V V V V F F V F V F 14. Aponte o item abaixo que mostra a negação de Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa. a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa 38

39 Sabemos que a negação de A B é ~(A B) = ~A ~B Portanto, as possíveis negações para Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa, são ~(A B): Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa Ou então ~A ~B: Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa Resposta: C 15. Sabendo que Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio, podemos logicamente concluir que a única afirmação falsa é: a) Se chover em Guaramiranga então fará frio. b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu. c) choveu em Guaramiranga e não fez frio. d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio. e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover. A proposição composta dada, é equivalente a A B : Se chover em Guaramiranga então faz frio Portanto, sua negação será ~(A B) = A ~B Ou ainda ~(A B): Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio Que por sua vez equivale a A ~B: Choveu em Guaramiranga e não fez frio Resposta: C QUESTÕES DE CONCURSOS Em uma via, cada um dos 4 semáforos A, B, C e D possuem 3 lâmpadas: uma na cor verde, uma na cor amarela e uma na cor vermelha, que, quando acesas, correspondem aos comandos de tráfego siga em frente, atenção e pare, respectivamente. Um semáforo em funcionamento pode exibir, em cada momento, apenas uma das lâmpadas acesas. Nessas condições, julgue o item a seguir. 01. (CESPE) A negação da proposição Todos os semáforos estão ligados ou o semáforo B está no vermelho é Nenhum semáforo está ligado e o semáforo B não está no vermelho. 02. (CESPE) A negação da proposição A ginástica te transforma e o futebol te dá alegria está assim corretamente enunciada: A ginástica não te transforma nem o futebol te dá alegria. 39

40 03. (CESPE) Considere a seguinte sentença aberta: x é um número real e x 2 > 5. Nesse caso, se x = 2, então a proposição será F, mas, se x = 3, então a proposição será V. Uma proposição é uma declaração que pode ser julgada como verdadeira V, ou falsa F, mas não como V e F simultaneamente. As proposições são, frequentemente, simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C, D etc. As proposições compostas são expressões construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, como nos casos a seguir. A B, lida como se A, então B, tem valor lógico F quando A for V e B for F; nos demais casos, será V; A B, lida como A ou B, tem valor lógico F quando A e B forem F; nos demais casos, será V; A B, lida como A e B, tem valor lógico V quando A e B forem V; nos demais casos, será F; A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V, quando A for F. Uma sequência de proposições A 1, A 2,..., A k é uma dedução correta se a última proposição, A k, denominada conclusão, é uma consequência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas. Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem. A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P, for obtido que a proposição P ( P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira; P tem de ser falsa. A partir dessas informações, julgue os itens os itens subsequentes. 04. (CESPE) As proposições [A ( B)] ( A) e [( A) B] ( A) são equivalentes. 05. (CESPE) As proposições Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bemsucedida são equivalentes. 06. (CESPE) Independentemente dos valores lógicos atribuídos às proposições A e B, a proposição [(A B) ( B)] ( A) tem somente o valor lógico F. 07. (CESPE) São dadas as seguintes proposições: p: Computadores são capazes de processar quaisquer tipos de dados. q: É possível provar que + 1 =. Se p implica em q, então o fato de não ser possível provar que + 1 = é condição suficiente para que os computadores não sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. 08. (CESPE) A negação da sentença A Terra é chata e a Lua é um planeta. é equivalente a proposição Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. 40

41 Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir. 09. (PF CESPE) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições Eu não sou traficante e Eu sou usuário, então a premissa 1 estará corretamente representada por P Q. 10. (PF CESPE) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi. 11. (PF CESPE) Se a proposição Eu não sou traficante for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem. Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P 1 ) Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P 2 ) Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P 3 ) Com referência às proposições P 1, P 2 e P 3 acima, julgue os itens a seguir. 12. (CESPE) A negação da proposição O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento pode ser corretamente expressa por O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento. 13. (CESPE) Se a proposição Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio for falsa, então, independentemente do valor lógico da proposição O síndico fica com fama de desonesto, a premissa P 2 será verdadeira. 14. (CESPE) A proposição P 3 é equivalente a Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto. 41

42 Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P 1 : Se for bom e rápido, não será barato. P 2 : Se for bom e barato, não será rápido. P 3 : Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 15. (CESPE) A proposição P 1 é logicamente equivalente a Se o serviço for barato, não será bom nem será rápido. 16. (CESPE) A proposição P 2 é logicamente equivalente a Ou o serviço é bom e barato, ou é rápido. 17. (CESPE) Se P 3 for falsa, então o serviço prestado é bom, é rápido e é barato. Sobre seu conhecimento em relação a tabela verdade, julgue os itens a seguir. 18. (CESPE) Todas as interpretações possíveis para a proposição P v (P Q) são V. 19. (CESPE) Não é possível interpretar como V a proposição (P Q) (P Q). 20. (CESPE) Toda proposição da forma (P Q) v (Q P) é uma tautologia, isto é, tem somente a valoração V. 21. Considere que as proposições listadas abaixo sejam todas V. I. Se Clara não é policial, então João não é analista de sistemas. II. Se Lucas não é policial, então Elias é contador. III. Clara é policial. Supondo que cada profissão esteja associada a uma única pessoa citada, então está correto concluir que a proposição João é contador é verdadeira 42

43 Considere que as letras P Q e S representam proposições e que os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. 22. (CESPE) [( P Q) ( R S)] é verdadeira 23. (CESPE) [P (Q S)] [( R Q) (P S)] é verdadeira 24. A tabela-verdade da proposição composta (P ( Q)) (Q ( R)) tem 16 linhas. Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como Como está o tempo hoje? e Esta frase é falsa não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto A, B, C etc. Uma proposição da forma A ou B é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma Se A então B é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma sequência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na sequência forem verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subsequentes. 25. (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto, José será aprovado no concurso. 26. (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo. A lógica sentencial, ou proposicional, trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsa (F), mas que não admitem os julgamentos V e F simultaneamente. A lógica de primeira ordem também trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que são julgadas como V ou F dependendo do conjunto, ou domínio, ao qual pertencem os objetos referenciados nas sentenças e das propriedades, ou predicados, associadas a esses objetos. Na lógica de primeira ordem, os objetos de um domínio são quantificados por todos, alguns, nenhum etc. As deduções da lógica proposicional ou da lógica de primeira ordem têm uma estrutura cuja análise permite decidir se o raciocínio expresso está correto ou não, isto é, se a conclusão é uma consequência verdadeira das proposições que são colocadas como premissas, sempre consideradas verdadeiras. 43

44 27. (CESPE) Se A e B são proposições simples, completando a tabela-verdade, se necessário, conclui-se que a proposição (A B) ( A B) é uma tautologia. 28. (CESPE) Se A e B são proposições simples, então completando a tabela-verdade, conclui-se que a proposição composta a seguir é uma contingência A (B A). 29. (CESPE) Ao investigar um assalto, a polícia levantou três proposições acerca das características dos possíveis responsáveis pelo delito: os envolvidos conheciam a vítima (p), os envolvidos já tinham passagem pela polícia (q) e os envolvidos tinham conhecimento de que a vítima transportava valores no dia do crime (r). A partir dessas proposições e avançando nas investigações, a polícia chegou a quatro suspeitos e aos seguintes argumentos (o símbolo lógico indica negação): I. se p ou q ou r, então o suspeito 1 participou do crime; II. se p ou r, então o suspeito 2 participou do crime; III. se q ou r, então o suspeito 3 não participou do crime; IV. o suspeito 4 participou do crime se, e somente se, p e q. Ao final da investigação, a polícia verificou a veracidade ou não das hipóteses p, q e r e, seguindo os argumentos I, II, III e IV, todos válidos, conseguiu identificar o(s) suspeito(s) participante(s) do crime. Se o suspeito 1 não participou do crime, então a) apenas o suspeito 2 participou do crime. b) apenas o suspeito 3 participou do crime. c) os suspeitos 2 e 3 participaram do crime. d) os suspeitos 2 e 4 participaram do crime. e) os suspeitos 2, 3 e 4 participaram do crime. 30. (CESPE) Considere que as seguintes afirmações sejam verdadeiras: Se é noite e não chove, então Paulo vai ao cinema. Se não faz frio ou Paulo vai ao cinema, então Márcia vai ao cinema. Considerando que, em determinada noite, Márcia não foi ao cinema, é correto afirmar que, nessa noite, a) não fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu. b) fez frio, Paulo foi ao cinema e choveu. c) fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu. d) fez frio, Paulo não foi ao cinema e não choveu. e) não fez frio, Paulo foi ao cinema e não choveu. 31. (CESPE) Considere que o seguinte enunciado é verdadeiro: Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina coriônica está presente na sua urina. Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e constatou-se que a substância gonadotrofina coriônica está presente na urina de Fátima e não está presente na urina de Mariana. Utilizando a proposição enunciada, os resultados dos exames e o raciocínio lógico dedutivo garante-se que: Mariana não está grávida e não se pode garantir que Fátima está grávida. 32. (CESPE) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição (p r) (q s) será falsa apenas, se p for verdadeira e q falsa. 33. (CESPE) A negação da sentença A inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento. É equivalente a proposição Se a inflação não é controlada, então há projetos de desenvolvimento. 44

45 Para cumprir as determinações do parágrafo único do artigo 3.º do Decreto n.º 4.553/2002 que estabelece que toda autoridade responsável pelo trato de dados ou informações sigilosos, no âmbito da administração pública federal, deve providenciar para que o pessoal sob suas ordens conheça integralmente as medidas de segurança estabelecidas, zelando pelo seu fiel cumprimento, o chefe de uma repartição que trabalha com material sigiloso fixou no mural de avisos a seguinte determinação: no fim do expediente, cada servidor deve triturar todos os papéis usados como rascunho ou que não tenham mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos que esteja realizando ou que tenha realizado. Considerando as regras da lógica sentencial, julgue os itens a seguir, a partir da proposição contida na determinação do chefe citado na situação apresentada acima. 34. (CESPE) A negação da proposição estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos é equivalente a estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos. 35. (CESPE) A proposição um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos é equivalente a se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho. Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capila de até um quarto do saiário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média. Internet < "http/amaivos,uol.combr> (com adaptações) Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes. 36. (CESPE) Das proposições "Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda:', "Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais" e "Se se acentuam as desigualdades, os níveis de violência crescem" é correto inferir que "Se há corrupção, os níveis de violência crescem". 37. (CESPE) A negação da proposição "Se houver corrupção, os níveis de violência crescerão" é equivalente a "Se não houver corrupção. os níveis de violência não crescerão". 38. (CESPE) Se a proposição "João é pobre" for falsa e se a proposição "João pratica atos violentos" for verdadeira, então a proposição "João não é pobre, mas pratica atos violentos" será falsa. Considerando a proposição P: Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar, julgue os itens a seguir. 39. (CESPE/2015) A proposição João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar é logicamente equivalente à proposição P. 45

46 40. (CESPE/2015) A proposição Se João não conseguiu o que desejava, então João não se esforçou o bastante é logicamente equivalente à proposição P. 41. (CESPE/2015) Se a proposição João desejava ir à Lua, mas não conseguiu for verdadeira, então a proposição P será necessariamente falsa. 42. (CESPE/2015) A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava. Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue os itens seguintes. 43. (CESPE) Caso o ministro da Fazenda permaneça no cargo e a cotação do dólar mantenha sua trajetória de alta, a proposição do jornalista será verdadeira. 44. (CESPE) A negação da colocação do jornalista é equivalente a Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar. 45. (CESPE) A proposição do jornalista é equivalente a Se não cai o ministro da Fazenda, então cai o dólar. Considere que P, Q e R sejam proposições simples, julgue o item abaixo. 46. (PF CESPE/2014) A partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P Q R P Q é uma tautologia. P Q R P Q R P Q P Q R P Q 46

47 Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico. 47. (INSS CESPE/2016) A sentença Bruna, acesse a internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos! é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p q. 48. (INSS CESPE/2016) Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional p (q p) será, sempre, uma tautologia. 49. (INSS CESPE/2016) Caso a proposição simples Aposentados são idosos tenha valor lógico falso, então o valor lógico da proposição Aposentados são idosos, logo eles devem repousar será falso. 50. (INSS CESPE/2016) Dadas as proposições simples p: Sou aposentado e q: Nunca faltei ao trabalho, a proposição composta Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado deverá ser escrita na forma (p q) ~p, usando-se os conectivos lógicos. GABARITO E E C C E E C C C E C C C C E E C C C E E E C E C E C E A C C C C C C C E E C C E E E C E C E C E C 47

48 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM (ANÁLISE COMBINÁTORIA) Eu odiava cada minuto dos treinos, mas dizia para mim mesmo: Não desista! Sofra agora e viva o resto de sua vida como um campeão. MUHAMMAD ALI FATORIAL Define-se o fatorial de um número n ( n N {1} ) como sendo: Onde, n! lê-se: n fatorial ou fatorial de n. Assim, por exemplo: 2! = 2.1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 n! = n.(n - 1).(n 2) ATENÇÃO: 0! = 1 e 1! = 1 Também é importante perceber que o desenvolvimento de um fatorial pode ser "truncado" em qualquer fator, colocando-se após esse fator o símbolo que representa o fatorial de um número (!). Por exemplo: 10! = 10.9! = ! = ! =... 15! = ! 20! = ! De um modo geral, podemos escrever: Exemplo 1: Simplifique os fatoriais: n! = n. (n -1)! = n. (n 1). (n - 2)! =... 10! ! a) ! 8! 7!.9! 7.6.5!.9.8! b) !.5! 8!.5! n! n.(n 1).(n 2)! c) n.(n 1) n 2 n (n 2)! (n 2)! d) (n 1)! (n 1)! 1 1 (n 1)! (n 1).n.(n 1)! (n 1).n n 2 n 48

49 PRINCÍPIO FUDAMENTAL DE CONTAGEM Em inúmeras situações do cotidiano, nos deparamos com problemas de contagem. Por exemplo: Ao preencher volante de jogo da mega sena, de quantas maneiras diferentes é possível escolher 6 números? Ao escolher 6 algarismos para compor uma senha de um cartão magnético, de quantas maneiras diferentes podemos fazê-lo? No último campeonato estadual de futebol, ficaram 4 equipes para disputar a etapa final. Se cada uma jogou com todas as demais uma única vez, quantas partidas ocorreram nessa fase? As placas dos veículos nacionais atualmente são compostas de 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas diferentes tal sistema comporta? Como a contagem direta desses eventos é, em geral, impraticável, a Matemática recorre a técnicas indiretas de contagem. Esse conjunto de técnicas é chamado análise combinatória e iniciaremos seu estudo apresentando o princípio fundamental de contagem. Exemplo 1: Um rapaz quer se vestir usando uma calça e uma camisa. Sabendo que ele possui 3 calças (1 branca, 1 azul e 1 preta) e 2 camisas (1 vermelha e 1 amarela), de quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir? As possíveis combinações são: 1. calça branca e camisa vermelha. 2. calça branca e camisa amarela. 3. calça azul e camisa vermelha. 4. calça azul e camisa amarela. 5. calça preta e camisa vermelha. 6. calça preta e camisa amarela. Ou seja, 2 3 = 6 possibilidades Exemplo 2: Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por uma rodovia, deve-se passar necessariamente por uma cidade B. Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 rodovias ligando B a C, quantas opções diferentes há para se ir de A até C? As possíveis trajetórias são: Ou seja, 3 4 = 12 possibilidades Os dois exemplos vistos ilustram o que chamamos princípio fundamental da contagem, também conhecido com princípio multiplicativo, que pode ser enunciado assim: 49

50 OS: 0101/5/17-Gil Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um outro evento B pode ocorrer de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n. COMBINAÇÕES SIMPLES E ARRANJOS SIMPLES Vamos agora apresentar duas situações que ocorrem frequentemente quando resolvemos problemas de contagem: os arranjos simples e as combinações simples. Vamos introduzi-los a partir de um problema. Seja o conjunto E = {a, b, c}. Com os elementos de E vamos obter os seguintes agrupamentos: Todos os subconjuntos de E com 2 elementos: Todas as sequências com 2 elementos de E: {a, b}, {a, c}, {b, c} (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) Observe que esses dois tipos de agrupamentos diferem num aspecto básico. No caso dos subconjuntos, não é levada em conta a ordem em que os elementos são escritos, isto é, alterando-se a ordem dos elementos de um subconjunto, este não se altera. Assim: {a, b} = {b, a} ; {b, c} = {c, b} Porém, no caso das sequências, a mudança da ordem dos elementos gera uma outra seqüência. Assim: (a, b) (b, a) ; (b, c) (c, b) Os agrupamentos do 1 o tipo, os subconjuntos, são chamados combinações simples, enquanto que os dos 2 o tipo, as sequências, são chamados arranjos simples. Nos dois casos, a palavra simples se refere ao fato de que os agrupamentos são formados por elementos distintos. Observação: A diferenciação entre combinações e arranjos será de fundamental importância na resolução dos problemas de contagem daqui em diante. Destaquemos mais uma vez que: COMBINAÇÕES a ordem não importa ARRANJOS a ordem importa NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES C p n n! p!.(n p)! Lê-se: combinação de n elementos distintos tomados p a p. NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES A p n n! (n p)! Lê-se: arranjo de n elementos distintos tomados p a p. 50

51 RELAÇÃO ENTRE OS ARRANJOS SIMPLES E AS COMBINAÇÕES SIMPLES PERMUTAÇÃO SIMPLES A p! p n. É um caso particular de arranjos simples. A permutação de n elementos distintos é o arranjo de n elementos distintos tomados n a n. C p n P n A n n P n n! Outras Notações: C p n C n,p n p A p n A n,p PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES É o número de permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais elementos. Para ser mais objetivo, o primeiro elemento repete-se 1 vezes, o segundo elemento repete-se 2 vezes,..., o k-ésimo elemento repete-se k vezes. P α 1, α 2,..., α k n α 1!. α n! 2!..... α k! Onde n = α 1 + α α k PERMUTAÇÃO CIRCULAR É o caso em que deseja colocar elementos em torno de objetos circulares. È dado por: P (n 1) = (n 1)! Exemplo: De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar se em uma mesa redonda? Imagine se todos mudassem para cadeira ao seu lado! Você não teria nenhuma mudança, afinal todos continuariam vizinhos as mesmas pessoas. Então, nesse caso fixa se uma das pessoas e permuta se as outras 5, logo, P 5 = 5! = = 120 possibilidades. 51

52 QUESTÕES RESOLVIDAS 01. (FUNRIO) Quantos números inteiros positivos menores que 1000 (com algarismos distintos) podemos formar? a) 504 b) 645 c) 648 d) 738 e) 845 Logo: = 738 Resposta: D 02. (ESAF) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões distintas que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é: a) 3003 b) 792 c) 455 d) 286 e) 348 Resposta: D 03. (FCC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos serão divisíveis por 5: a) 20 números b) 30 números c) 60 números d) 120 números e) 180 números Resposta: C 52

53 04. O número de triângulos que podemos obter à partir dos 8 pontos distintos distribuídos pela circunferência abaixo, é igual a: a) 56 b) 28 c) 14 d) 24 e) 48 8! ! C 8,3 = 56 3!. 5! ! Resposta: A 05. (ESAF) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos triângulos distintos existem com vértices em 3 desses pontos? a) 220 b) 230 c) 274 d) 286 e) ! 5! 8! C 13,3 C 5,3 C 8,3 = !.10! 3!.2! 3!.5! Resposta: A 06. (FUNRIO) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações: I. O número total deles é 720. II. O número dos que terminam com a letra A é 25. III. O número dos que começam com EN é 24. Então, apenas: a) afirmação I é verdadeira. b) afirmação II é verdadeira. c) afirmação III é verdadeira. d) as afirmações I e II são verdadeira. e) as afirmações I e III são verdadeira I. P 6 = 6! = = 720 (V) Resposta: E 53

54 07. Quantos anagramas distintos da palavra ROTAS são possíveis obter, se as letras R e T devem permanecer juntas? a) 120 b) 60 c) 48 d) 24 e) 10 Resposta: C 08. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados de modo que o algarismo das unidades seja par e o algarismo das milhares seja ímpar? a) 27 b) 54 c) 108 d) 216 e) 432 Resposta: C 09. (ESAF) De quantas maneiras Amanda, Bruno, Caio, Débora, Érica e Felipe, podem se organizar lado a lado para tirar uma foto, sabendo que Caio e Débora namoram e ficarão necessariamente juntos? a) 120 b) 240 c) 360 d) 720 e) 1440 Resposta: B 54

55 10. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 Resposta: E 11. Em uma festa existem 12 homens e 20 mulheres, será escolhido o casal mais simpático da festa (não necessariamente namorados). De quantas maneiras diferentes poderá ser escolhidos esse casal? a) 12 b) 20 c) 32 d) 120 e) 240 Usando o princípio fundamental de contagem(pfc) temos: 12 x 20 = 240 Resposta: E 12. Sendo (n - 6)! = 120, então podemos afirmar que: a) n = 12 b) n = 11 c) n = 10 d) n = 13 e) n = 14 (n 6)! = 5! n 6 = 5 n = 11 Resposta: B 13. (ESAF) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5 e 7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos? a) 720 b) 480 c) 240 d)

56 Resposta: B 14. Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mais em qualquer ordem, é: a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 3 x 2 = 6 2 x 2 = 4 Logo: = 10 Resposta: B 15. Desenho representa seis quarteirões retangulares e um dos possíveis percursos de A até B. O número total de percursos mínimos distintos, de A até B, ao longo das ruas, é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 56

57 Observe que ele anda 2 vezes para leste (L) e 3 vezes para o norte (N), veja que na figura a sequência LNNLN Portanto, o número de caminhos possíveis é igual ao número de anagramas da sequência LLNNN 5! 5.4 Ou seja: P5 2, 3 10 caminhos diferentes. 2!. 3! 2 Resposta: D QUESTÕES DE CONCURSOS 01. Utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9 podemos formar números de 3 algarismos. Responda: a) quantos são no total? b) quantos possuem os algarismos distintos? c) quantos possuem pelo menos 2 algarismos iguais? d) quantos tem os algarismos distintos e são pares? e) quantos tem os algarismos distintos e são maiores que 600? 02. Com relação aos anagramas da palavra CHUVA, perguntase: a) quantos são no total? b) quantos começam e terminam por vogal? c) quantos possuem as vogais juntas? 57

58 d) Quantos não possuem as vogais juntas? e) quantos possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética? 03. Numa reunião de 8 países (EUA, Canadá, Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e França), deseja-se acomodar os 8 representantes de governo em torno de uma mesa em forma de octógono regular (figura abaixo). De quantos modos posso dispô-los se os representantes dos EUA, Canadá e Inglaterra devem sentar-se sempre juntos? a) 720 b) 120 c) 4320 d) Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até a academia (esquina 2), ele percorre exatos 9 quarteirões. Na figura ao lado está representa apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine Quantos caminhos diferentes, sem voltar, ele pode escolher para ir de casa até a academia. a) 20 b) 81 c) 63 d) 256 e) (ESAF) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a: a) 1287 b) 252 c) 284 d) 90 e) 84 Para formar-se um anagrama, permitam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra palavra conhecida. Por exemplo, VROAL é um anagrama da palavra VALOR. Com base nessas informações, julgue os próximos itens, relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR. 06. (CESPE) O número de anagramas distintos é inferior a (CESPE) O número de anagramas distintos que começam com VL é igual a (CESPE) O número de anagramas distintos que começam e terminam com vogal é superior a

59 09. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam com vogal e terminam com consoante é superior a 44. Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe. 10. (CESPE) Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas. 11. (CESPE) Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 40 maneiras distintas. 12. (CESPE) Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas. 13. Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a (CESPE) Se, no departamento de recursos humanos de uma empresa em que trabalhem 5 homens e 4 mulheres, for preciso formar, com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a quantidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será superior ou igual a 110 e inferior a 140. A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. Internet: < (com adaptações). 15. (CESPE) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. 16. (CESPE) Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe. 59

60 17. A construtora Alfa possui 8 engenheiros e 6 arquitetos, dos quais serão escolhidos 3 engenheiros e 3 arquitetos para projetar o empreendimento Beta. O número de equipes diferentes que poderão ser formadas para esse empreendimento é igual a De um grupo de 8 candidatos serão escolhido 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. A quantidade de maneiras que pode ser feita essa escolha é um número menor que 326. Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze travalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéria e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes. 19. (CESPE) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!. 20. (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerinéia na primeira posição e capturar o javali de Erimanto na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! X 8!. 22. (CESPE) O Airbus A330 da Air France fazia a rota Rio de Janeiro - Paris quando, no final da noite do dia 31 de maio, desapareceu no Oceano Atlântico. No voo, estavam 228 pessoas a bordo, das quais 216 passageiros e 12 tripulantes. Destroços estão sendo retirados do mar aos poucos. Até hoje (10/06/09), 41 corpos de vítimas do acidente foram resgatados. Segundo o diretor do IML de Maceió, José Kleber da Rocha Farias Santana, além dos três legistas que seguiram para a capital pernambucana, outros dois - um perito-médico-legal e odonto-médico-legal - estão de sobreaviso, esperando a confirmação do dia em que deverão viajar para integrar a força-tarefa criada para identificar as vítimas do acidente. Ao lado temos um grupo de dez pessoas todas voluntárias para ajudar na força-tarefa, contudo o voo que sai para o arquipélago de Fernando de Noronha tem apenas 4 vagas liberadas para voluntários. O número de maneiras distintas que posso escolher 4 delas para integrar o grupo, sabendo que a mãe que carrega o bebê só viaja se e somente se for com ele (admita que o bebê conta como passageiro) é um número divisível por 49. Texto retirado do Jornal O Globo (10/06/09) 60

61 Em um concurso público promovido pela prefeitura de uma capital brasileira, foram aprovados 11 candidatos, dos quais 5 são naturais do Espírito Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo. Entre estes, três serão relacionados para atendimento exclusivo ao prefeito e seu secretariado. Acerca da situação hipotética acima, é correto afirmar que o número de maneiras distintas de selecionar os três servidores que irão atender ao prefeito e a seu secretariado de forma que 23. (CESPE) Os dois servidores paulistas estejam entre eles é igual a (CESPE) Todos sejam naturais do Espírito Santo é igual a (CESPE) Nenhum deles seja do Espírito Santo é igual a (CESPE) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens um deles para coordenar a equipe, um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a (CESPE) Em uma expedição de reconhecimento de uma região onde será construída uma hidrelétrica, seis pessoas levarão três barracas, sendo que, em cada uma, dormirão duas pessoas. Com base nessas informações, o número de maneiras distintas que essas pessoas poderão se distribuir nas barracas é igual a 90. Um terreno foi dividido em 30 quadrados de lado 1 metro, conforme figura seguinte. Uma pessoa encontrase no ponto A e pretende se deslocar até B, além disso somente é permitido a essa pessoa se deslocar sobre os lados dos quadrados ou pelas suas diagonais. A respeito da situação hipotética acima julgue os itens a seguir. 28. (CESPE) A quantidade de trajetos mínimos é 462, se ela não andou por nenhuma diagonal. 29. (CESPE) A quantidade de trajetos mínimos é 105, se ela não andou por nenhuma diagonal e passou por C. 30. (CESPE) A quantidade de trajetos mínimos é 210, se ela andou pelas diagonais de 4, e somente 4, quadrados de lado 1 metro. 61

62 Dez policiais federais dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes, Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 31. (PF CESPE) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 32. (PF CESPE) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares motorista e mais quatro passageiros será superior a 100. Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas. 33. (PF CESPE) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas. 34. (PF CESPE) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. Considerando que, dos 100 candidatos aprovados em um concurso, 30 sejam mulheres, sendo que apenas 20% delas têm idade acima de 30 anos; e, entre os homens, 40% têm idade acima de 30 anos, julgue os itens que se seguem. 35. (CESPE) Selecionando-se, entre os referidos candidatos, somente homens com idade acima de 30 anos, é possível formar mais de grupos, não ordenáveis, de quatro candidatos. 36. (CESPE) Se forem separadas somente as mulheres acima de 30 anos e 10% dos homens, então será possível formar 525 grupos diferentes de 5 pessoas, compostos por 3 homens e 2 mulheres. 62

63 Considerando que um grupamento de 60 policiais militares em que haja 15 mulheres e 45 homens seja dividido em 10 equipes de 6 militares para monitorar determinada área, julgue os itens subsequentes. 37. (CESPE) O número de maneiras distintas de escolher 6 militares para formarem a primeira equipe é superior a (CESPE) Se as 2 primeiras equipes formadas forem constituídas apenas por mulheres, então o número de maneiras distintas de escolher os membros dessas equipes será igual a 15!. 6! x 6! x 3! 39. (CESPE) O número de maneiras distintas de escolher 6 militares para formarem a primeira equipe, de tal forma que essa equipe tenha exatamente cinco mulheres, é inferior a 4 x 15!. 9! x 5! 40. (CESPE) Se, entre onze servidores previamente selecionados, forem escolhidos: sete para compor determinada divisão, um para chefiar essa divisão, um para a chefia da coordenação correspondente, um para a diretoria e um para a secretaria, haverá menos de maneiras distintas de se fazer essas escolhas. GABARITO * ** A E A E C E E C E E C E E C E E C E C C E C C E C C E E E C C E C C C C E C 63

64 PROBABILIDADE EXPERIMENTO ALEATÓRIO Chama-se de experimento aleatório todo experimento cujo resultado é imprevisível, ou seja, mesmo que realizado em condições semelhantes, pode apresentar resultados diferentes. Exemplo: Lançar um dado e observar o número mostrado na face superior. Observação Um experimento aleatório, embora imprevisível, deve apresentar resultados com uma certa regularidade. Assim, ao lançarmos uma moeda um certo número de vezes, espera-se que os resultados cara ou coroa ocorram aproximadamente o mesmo número de vezes. ESPAÇO AMOSTRAL Considerando um experimento aleatório, chama-se espaço amostral desse experimento o conjunto de todos os resultados possíveis. Representamos o espaço amostral pela letra e n() o número de elementos do espaço amostral. Exemplo: Lançamento de um dado não-viciado = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n() = 6 Observação Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer. EVENTO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO Chama-se evento de um experimento aleatório qualquer subconjunto do espaço amostral desse experimento. Exemplo: Lançamento de um dado não-viciado PAR = {2, 4, 6} n(par) = 3 PRIMO = {2, 3, 5) n(primo) = 3 O conjunto vazio é um evento impossível. Observação () = 0 64

65 PROBABILIDADE DE UM EVENTO E n n E Ω Onde: (E) probabilidade de ocorrer o evento E. n(e) número de casos possíveis do evento E. n() número de elementos do espaço amostral. Exemplo 1: Qual a probabilidade de que ao jogarmos um dado não-viciado, a face superior dê um número primo? n(primo) = 3 e n() = (PRIMO) 50% 6 2 Exemplo 2: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) sair o número 3. b) sair um número par. c) sair um múltiplo de 3. d) sair um número menor do que 3. e) um múltiplo de 7. f) sair um quadrado perfeito. g) laçarmos dois dados e sair a soma igual 8. a) Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ou seja n(e) = 6 e A = {3} logo n(a) = 1. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(a) = n(a)/n(e) = 1/6. b) Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(a) = 3/6 = 1/2 ou P(A) = 50%. Isso significa dizer que a chance é de 1 para cada 2 possibilidades. c) Agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(a) = 2/6 = 1/3. d) Temos o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(a) = 2/6 = 1/3. e) Não existe nenhum múltiplo de 7 no dado, portanto P = 0 f) Nesse caso o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(a) = 2/6 = 1/3. g) Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i,j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, o mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(a) = 5/36. Exemplo 3: Um tenista participa de um torneio em que lhe restam ainda no máximo 4 partidas: com X, com Y, com X e novamente com Y, nessa ordem. Os resultados dos jogos são independentes; a probabilidade de ele ganhar de X é igual a 1/3, e a probabilidade de ganhar de Y é 1/4. Se vencer consecutivamente três dessas partidas, será considerado campeão. Determine a probabilidade de que isso aconteça. 65

66 OS: 0101/5/17-Gil Observe que em relação a X temos P(Ganhar) = 1/3 e P(Perder) = 2/3, já em relação a Y temos P(Ganhar) = 1/4 e P(Perder) = 3/4. Existem 3 possibilidade: 1 o Ganhar todas as partidas P(GGGG) = 1/3.1/4.1/3.1/4 = 1/144 2 o Perder só a primeira (PGGG) = 2/3.1/4.1/3.1/4 = 2/144 3 o Perder só a última (GGGP) = 1/3.1/4.1/3.3/4 = 3/144 Portanto P(Campeão) = 1/ / /144 = 6/144 = 1/24 PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) (A B) n(ab) n( ) (A B) = (A) + (B) - (A B) Exemplo: Uma urna possui 10 bolas numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade de que ao tirarmos aleatoriamente uma bola, ela seja par ou maior que 7? (par ou >7) = (par) + (>7) (par e >7) (par ou >7) = 5/10 + 3/10 2/10 = 6/10 = 60% Observação Se n(a B) =, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes. Teremos então: (A B) = (A) + (B) PROBABILIDADE DA INTERSEÇÃO DE DOIS EVENTOS INDEPENDENTES (A B) = (A). (B) Observação Podemos generalizar para o caso de n eventos independentes: (A 1 A 2... A n ) = (A 1 ). (A 2 )..... (A n ) 66

67 Exemplo: Um dado é jogado duas vezes. Qual a probabilidade de nas duas vezes dar um número par? (par e par). 25% Dica OU somar E multiplicar PROBABILIDADE DO COMPLEMENTAR DE UM EVENTO n(e ) = n() n(e) ( E ) = 1 - (E) Observação Quando calculamos a probabilidade do complementar de um evento E, estamos calculando a probabilidade de não ocorrer o evento E Exemplo: Uma urna possui 100 bolas numeradas de 1 até 100. Qual a probabilidade de que ao tirarmos uma bola aleatoriamente, o número escrito não termine em zero? (não terminar em zero) = 1 (terminar em zero) (não terminar em zero) = 1 1/10 = 9/10 = 90% PROBABILIDADE CONDICIONAL A situação a seguir ajuda a compreender o conceito de probabilidade condicional que, como o nome sugere, é a probabilidade de ocorrer um evento condicionado à ocorrência de outro evento. Em um grupo de consórcio, cada um dos 10 consorciados recebeu uma ficha com um dos números inteiros de 1 a 10. Será contemplado aquele que possuir a ficha com o mesmo número da bolinha sorteada entre 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. No momento do sorteio, a representante do consórcio declarou, após sortear a bolinha, que o número sorteado era par. Qual é a probabilidade de que o número sorteado seja maior que 4? Para responder à questão, vamos observar que, antes do sorteio da bolinha, todos os consorciados tinham esperança de ser contemplados, pois o espaço amostral era: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Porém, quando a representante afirmou que o número sorteado era par, o espaço amostral ficou reduzido a: A = {2, 4, 6, 8, 10} 67

68 Vamos esquematizar a situação no diagrama a seguir, em que B é o evento formado pelos números maiores que 4 do espaço amostral E. A garantia de que o número sorteado é par reduz o espaço amostral ao evento A, logo, um elemento de B [um número maior que 4] só pode ocorrer na interseção de A e B. Assim, a probabilidade P de ocorrer B, dado que já ocorreu A, é: P n(a B) n(a) 3 5 Generalizando o raciocínio aplicado nessa situação, obtemos o resultado abaixo. Dividindo por n(e) o numerador e o denominador da fração anterior, obtemos: n(a B) P(B / A) n(a B) n(a) P(B / A) n(e) n(a) n(e) P(A B) P(A) Assim, temos duas igualdades equivalentes: Podemos usar qualquer uma dessas duas fórmulas para o cálculo de P(B/A). 68

69 QUESTÕES RESOLVIDAS 01. (ESAF) Uma moeda é lançada 3 vezes. Observando-se as possíveis sequências de resultados obtidos, qual a probabilidade de sair cara no máximo 2 vezes? a) 3/8 b) 4/8 c) 5/8 d) 6/8 e) 7/8 Calcula-se o que não pode: P(3caras) = Então: Resposta: E (ESAF) Qual a probabilidade de um casal ter 5 filhos e desses, 3 serem homens? a) 3/5 b) 66,66% c) 5/16 d) 5/8 e) 75% Então: Prob. = 1 5 x Resposta: C 69

70 03. (FUNRIO) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é: a) b) c) d) 68 e) (I) H e H 4 12 x (II) M e M 5 12 x (III) A e A 3 12 x Então: (I) ou (II) ou (III) = Resposta: B 04. (ESAF) Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Eles combinam que se a soma dos números for 5, A ganha e, se a soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho? 10 a) 36 5 b) 32 c) 5 36 d) 5 35 SOMA Prob.= 32 Resposta: B 70

71 05. Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos do mesmo, aleatoriamente, uma bola azul seja 3 2? a) 5 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40 P (azul) = 2 3 Prob.= x 20 x 2 3 3x = x x = 40 Resposta: E 06. (ESAF) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é: a) 60% b) 70% c) 80% d) 90% e) 50% P (>40 ou par) = P (>40) + P (par) P (>40 e par) 80% Resposta: C 07. Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 70%, respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é: a) 30 % b) 42 % c) 50 % d) 12 % e) 25 % P(~A) x P(~B) x 12% Resposta: D 71

72 08. Em um grupo de pessoas 40% são mulheres, 30% das pessoas votaram a favor da pena de morte e o restante votou contra. Qual a probabilidade de escolhermos uma pessoa desse grupo e ela ser um homem que votou contra a pena de morte? a) 12% b) 28% c) 42% d) 21% e) 32% 1 a. 60% x 70% = 42% 2 a. Resposta: D Observe a tabela a seguir, que representa o número de alunos de uma sala em relação à faixa etária, para responder as próximas questões. IDADE MENOS DE 20 DE 20 A 30 MAIS DE 30 HOMENS MULHERES Qual a probabilidade de sortear um aluno dessa turma e ele ser um homem com menos de 20 anos? a) 10% b) 18% c) 16% d) 14% 8 16 Prob. 16% Resposta: C 72

73 10. Determine a probabilidade de sortear um aluno dessa turma e ele ter menos de 20 anos ou ser um homem. a) 37% b) 64% c) 74% d) 87% Resposta: C Prob. 74% Qual a probabilidade de sortear um aluno(a) dessa turma e ele(a) ter 20 anos ou mais? a) 28% b) 36% c) 56% d) 72% Prob. 56% Resposta: C 12. Sorteando um aluno, qual a probabilidade de ser um homem, dado que ele tem menos de 20 anos? a) 4/ 7 b) 4/11 c) 7/25 d) 7/11 P (Homem / Menos de 20 anos) Resposta: B 13. Qual a probabilidade de sortear um aluno com menos de 20 anos, dado que ele é um homem? a) 4/11 b) 8/23 c) 4/25 d) 8/11 P (Menos de 20 anos / Homem) Resposta: B

74 14. Jogando ao mesmo tempo dois dados honestos, qual a probabilidade de o produto ser 12? 1 a) 3 1 b) 6 1 c) 9 1 d) 12 1 e) 15 (I) 2 x x (II) 6 x 2 1 x (III) 3 x x (IV) 4 x 3 1 x Prob. 4 x Resposta: C 15. Gira-se o ponteiro (veja figura) e anota-se o número que ele aponta ao parar. Repete-se a operação. Qual a probabilidade de que a soma dos dois números obtidos seja 5? 5 a) 36 8 b) c) d) e) 36 (I) (II) o o n 2 e n 3 o o n 3 e n x x Logo: Prob. 2 x Resposta: C

75 16. (CESPE) Em uma competição de arco e flecha, a probabilidade de o competidor A acertar o alvo é 3 1 e 3 a probabilidade de o competidor B acertar o alvo é. Nessa condições, sabendo-se que os eventos 4 o competidor A acerta o alvo e o competidor B acerta o alvo são independentes, é correto 5 concluir que a probabilidade de ao menos um desses competidores acertar o alvo é igual a. 6 Prob. = (A x B) ou (A x ~B) ou (~A x B) = Resposta: CERTO Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus, espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes. 17. (CESPE) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de baralho e ela conter uma das 3 figuras citadas no texto é igual a. 13 Prob Resposta: CERTO 18. (CESPE) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a 1 probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a. 52 São eventos complementares Prob. de ser ás de ouro 1 52 Prob. de não ser ás de ouro Resposta: ERRADO 75

76 19. (CESPE) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é 11 igual a. 26 P(figura) P(paus) P(figura paus) 3 52 P(figura) + P(paus) P(figura paus) Resposta: CERTO 20. Na Tabela 1 temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano. Tabela 1: Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha de curso. Sexo Curso Homens (H) Mulheres (M) Total Matemática Pura (M) Matemática Aplicada (A) Estatística (E) Computação (C) Total Sabendo que a universidade fez um sorteio de uma bolsa de estudos entre os estudantes nela matriculado e constatou que o aluno sorteado foi do curso de Estatística, logo esse fato foi divulgado pelos corredores daquela instituição de ensino, sem poder evitar, os alunos começaram a especular o resultado. Sabendo de todos os fatos citados, qual a probabilidade de que seja uma mulher a vencedora da bolsa de estudo? a) 1/5 b) 3/20 c) 2/3 d) 11/20 e) 17/40 Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística, a probabilidade de que seja mulher é 20/30 = 2/3. Isso porque, do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres. Escrevemos P(mulher/Estatística) = 2/3 Resposta: C 76

77 QUESTÕES DE CONCURSOS 01. (CESPE) Em um concurso público, 25% dos candidatos tiraram nota baixa na prova de matemática, 15% tiraram nota baixa na prova de língua portuguesa e 10% tiraram nota baixa em ambas as provas. Nessa situação, escolhendo-se ao acaso um candidato, a probabilidade de ele ter tirado nota baixa nas provas de matemática ou de língua portuguesa é igual a 0,3. Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe. 02. (CESPE) Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe contenha todos os empregados de nível superior será inferior a 0, (CESPE) Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe contenha pelo menos uma pessoa de nível fundamental será inferior a 0,55. Em um concurso público, registrou-se a inscrição de 100 candidatos. Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo de escriturário, 20, para o cargo de auxiliar administrativo, e apenas 10 candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos inscreveram-se em outros cargos. Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido aleatoriamente nesse conjunto de 100 pessoas. 04. (CESPE) A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo é superior a 1/ (CESPE) A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar administrativo é igual a 1/ (CESPE) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadas no sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho. Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja vagas em todas as varas, e um candidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. Nessas condições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma das varas de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a 1. 3 Considere que uma pesquisa de campo será efetuada entre os habitantes de determinada cidade. Sabe-se que, nessa cidade, 45% dos habitantes são homens, metade dos homens têm o primeiro grau completo e 20% das mulheres têm o primeiro grau completo. Com referência a essa situação hipotética, julgue o item a seguir. 77

78 07. (CESPE) Se um habitante dessa cidade for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ter o primeiro grau completo é superior a 0, (CESPE) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para operações policiais e 2 modelos inadequados. Nesse caso, se a pessoa encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar essa adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas, então a probabilidade de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a (CESPE) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados, o jogador A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador B pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é correto afirmar que o jogador B tem maior probabilidade de obter os pontos esperados. 10. (CESPE) Ao se lançar dois dados não-viciados, a probabilidade de se obter pelo menos um número ímpar é superior a 5. 6 Considerando que Ana e Carlos candidataram-se a empregos em uma empresa e sabendo que a probabilidade de Ana ser contratada é igual a 2 e que a probabilidade de ambos serem contratados é 1, 3 6 julgue os itens subsequentes. 11. (CESPE) A probabilidade de Ana ser contratada e de Carlos não ser contratado é igual a (CESPE) Se um dos dois for contratado, a probabilidade de que seja Carlos será igual a 1. 2 Por meio de convênios com um plano de saúde e com escolas de nível fundamental e médio, uma empresa oferece a seus empregados a possibilidade de adesão. Sabe-se que 300 empregados aderiram aos dois convênios, aderiram ao convênio com as escolas e 500 não aderiram a nenhum desses convênios. Em relação a essa situação, julgue os itens seguintes. 13. (CESPE) Escolhendo-se ao acaso um dos empregados dessa empresa, a probabilidade de ele ter aderido a algum dos convênios é igual a (CESPE) A probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso tenha aderido apenas ao convênio do plano de saúde é igual a

79 Em uma cidade, uma emissora de televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo resultado mostrou que, das pessoas entrevistadas, 770 pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 não pretendem assistir ao programa B. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos itens, com base no resultado da pesquisa. 15. (CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir aos dois programas é superior a (CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a apenas um dos programas é igual a 4 3. Célia e Melissa são candidatas ao cargo de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na assembleia de acionistas e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas uma ou em nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da empresa revelou a seguinte tendência: 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas; 28 acionistas votariam apenas em Melissa; 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa. Nesse caso, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar 17. (CESPE) Apenas em Célia é inferior a 0, (CESPE) Nas duas candidatas é igual a 0, (CESPE) Em Melissa é superior a 0,45. Em uma cidade, habitantes foram entrevistados a respeito de suas relações com os bancos A e B. Dos entrevistados, 450 eram correntistas apenas do banco A, 480 eram correntistas do banco B, 720 eram correntistas de apenas um desses bancos e o restante não era correntista de nenhum desses 2 bancos. A respeito dessa pesquisa, é correto afirmar que a probabilidade de um dos entrevistados 20. (CESPE) Ser correntista dos 2 bancos é superior a 0, (CESPE) Não ser correntista de nenhum dos bancos é igual a 0, (CESPE) Ser correntista apenas do banco B é inferior a 0,25. 79

80 23. (CESPE/ADAPT.) Um colégio tem 400 alunos. Destes: 100 estudam Matemática; 80 estudam Física; 100 estudam Química; 20 estudam Matemática, Física e Química; 30 estudam Matemática e Física; 30 estudam Física e Química; 50 estudam somente Química. A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudar Matemática e Química é 1/10. A distribuição de probabilidades dada abaixo refere-se aos atributos idade e violação das leis de trânsito. Represente por E 1 e E 2 os eventos elementares associados à idade e por F 1, F 2 e F 3 os eventos elementares associados à violação das leis de trânsito. IDADE 21 anos > 21 anos VIOLAÇÃO DAS LEIS DE TRÂNSITO NOS ÚLTIMOS 12 MESES NENHUMA UMA DUAS OU MAIS 0,230 0,120 0,050 0,450 0,140 0, (CESPE/ADAPT) A probabilidade de que um motorista escolhido ao acaso não tenha cometido nenhuma violação de trânsito nos últimos 12 meses dado que o mesmo tenha mais de 21 anos é 0, (CESPE/ADAPT) A probabilidade de uma pessoa ter idade menor ou igual a 21 anos, dado que ela cometeu pelo menos uma infração é inferior a 0, (CESPE/ADAPT) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a 20%. 27. (CESPE/ADAPT) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a 7/ (CESPE/ADAPT) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a 0,

81 29. (CESPE/ADAPT) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, a probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética é 2,94%. 30. (CESPE/ADAPT) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 4 1. Então, supondo que o casal venha a ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é 16 9 Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 31. (CESPE) A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0, (CESPE) As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de professor é superior a 80%. 33. (CESPE) Saul e Fred poderão ser contratados por uma empresa. A probabilidade de Fred não ser contratado é igual a 0,75; a probabilidade de Saul ser contratado é igual a 0,5; e a probabilidade de os dois serem contratados é igual a 0,2. Nesse caso, é correto afirmar que a probabilidade de pelo menos um dos dois ser contratado é igual a 0,75. Em uma pesquisa de opinião, foram entrevistados eleitores de determinado estado da Federação, acerca dos candidatos A, ao Senado Federal, e B, à Câmara dos Deputados, nas próximas eleições. Das pessoas entrevistadas, 800 votariam no candidato A e não votariam em B, 600 votariam em B e não votariam em A e 600 não votariam em nenhum desses dois candidatos. Com base nessa pesquisa, a probabilidade de um eleitor desse estado, escolhido ao acaso, 34. (CESPE) Votar no candidato A ou no candidato B será igual a 0, (CESPE) Votar no candidato B e não votar no candidato A será igual a (CESPE) Votar em apenas um desses dois candidatos será igual a 0,5. 81

82 Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capila de até um quarto do saiário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média. Internet < "http/amaivos,uol.combr> (com adaptações) Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes. 37. (CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%. Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas. 38. (CESPE) A probabilidade de escolher uma denúncia classificada como crime de tráfico de pessoas ou pornografia infantil é superior a 67%. 39. (CESPE) Admita que, na UNIVERSIDADE X, há uma turma de 40 alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e uma turma de 36 alunos de Análise de Sistemas, sendo 24 moças. Para participar de um debate serão escolhidos aleatoriamente dois alunos, um de cada turma. Nessas condições, a probabilidade de que sejam escolhidos uma moça e um rapaz é (CESPE) Em uma competição há sete candidatos, dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino. Para definir os dois primeiros candidatos que irão iniciar a competição, efetuam-se dois sorteios seguidos, sem reposição, a partir de uma urna contendo fichas com os nomes de todos os candidatos. Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino é de GABARITO C C E E E C E C C E C C E E E C C E C C E E C C E C C E C C C C E C E E C C C C 82

83 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos N* = N {0} = {1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos Números Inteiros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos Z* = Z {0} = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3,...} Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos Z + = {0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos Z _ = {..., 3, 2, 1, 0} Conjunto dos Números Inteiros Positivos Z + * = Z + {0} = {1, 2, 3,...} Conjunto dos Números Inteiros Negativos Z _ * = Z _ {0} = {..., 3, 2, 1} Conjunto dos Números Racionais Q x/x Propriedades p ;p,q Z comq 0 q Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. Todo número inteiro é um número racional. Todo número decimal exato é um número racional. Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional. Conjunto dos Números Irracionais p Q Ι x/x ;p,q Z comq 0 q 2 1, e = 2, = 3,

84 Conjunto dos Números Reais R Q Q Conjunto dos Números Complexos C = {z/z = a + bi com a, b R e i 2 = -1} RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN) Naturais e Inteiros Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas. Exemplos: Decimais Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. Exemplos: 0, , , , Dizima Periódica Simples Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. Exemplos: 0,4 0, ,12 0, Dizima Periódica Compostas 0,125 0, ,5526 0, No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida 84

85 da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula. Exemplos: ,45 2, ,384 5, ,812 0, [a, b] = x R / a x b REPRESENTAÇÃO NA RETA ,384 5, ,205 2, ,384 5, ]a, b[ = x R / a x b [a, b[ = x R / a x b ]a, b] = x R / a x b [a, + [ = x R / x a ], a] = x R / x a ], + [ = R Observação Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. Existem infinitos números primos. Importante Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC (a, b) = 1. 85

86 OPERAÇÕES E PROBLEMAS Um conjunto é formado por elementos. Dados um conjunto A e um elemento qualquer a (que pode até mesmo ser um outro conjunto) a única pergunta cabível em relação à eles é: a é ou não um elemento do conjunto A? No caso afirmativo, diz-se a pertence ao conjunto A e escreve-se a A. Caso contrário, põe-se a A e diz-se que a não pertence ao conjunto A. Observem que os símbolos e são usados apenas de elemento para conjunto. 1. Exemplos de Conjuntos a) A = { } = conjunto vazio b) B = {} conjunto unitário c) C = {a, b, 2,,,,} conjunto finito d) D = {1, 3, 5, 7, 9,...} conjunto infinito 2. Conjuntos Iguais Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos: 2.1. Exemplos de Conjuntos Iguais a) {a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {a, d, b, c} b) {2, 4, 6, 8,...} = {x Z + * / x é par} A = B (x)(x A x B) NOMENCLATURA (Apresentação simbólica) - conjunto dos números reais * - conjunto dos números reais não nulos + - conjunto dos números reais não negativos * + - conjunto dos números reais positivos Q - conjunto dos números racionais Q * - conjunto dos números racionais não nulos Z - conjunto dos números inteiros Z + Z * N - conjunto dos números inteiros não negativos - conjunto dos números inteiros não nulos - conjunto dos números naturais N* - conjunto dos números naturais não nulos - conjunto vazio - símbolo de união entre dois conjuntos - símbolo de intersecção entre dois conjuntos - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto - símbolo de inclusão entre dois conjuntos - qualquer que seja 86

87 3. Subconjuntos Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, todo elemento de A pertence também a B. Com notação A B indicamos que "A é subconjunto de B" ou "A está contido em B" ou "A é parte de B". O símbolo é denominado sinal de inclusão. Em símbolos, a definição fica assim: A B (x)(x A x B) 3.1. Exemplos de Subconjuntos a) {a, b} {a, b, c} b) {5} {5, 6} c) { } {1,,} 4. Reunião (ou União) de Conjuntos ( U ): Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião (ou união) de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos: A B = {x/ x A ou x B} x A e x B ou Se x A B x A e x B ou x A e x B 4.1. Exemplos de União de Conjuntos a) {a, b} {c, d} = {a, b, c, d} b) {a, b} {a, b, c, d} = {a, b, c, d} c) {a, b} { } = {a, b} 87

88 5. Interseção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B. Em símbolos: A B = {x / x A e x B} 5.1. Exemplos de Interseção de Conjuntos a) {a, b, c} {b, c, d, e} = {b, c} b) {a, b} {c, d} = Quando A B =, A e B são denominados conjuntos disjuntos. 6. Diferença de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Em símbolos: A B = {x / x A e x B} 6.1. Exemplos de Diferença de Conjuntos a) {a, b, c} {b, c, d, e} = {a} b) {a, b} {a, b, c, d, e} = { } = 7. Complementar de B em relação a A Dados dois conjuntos A e B, tais que B A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Com o símbolo B C A indicamos o complementar de B em relação a A. 88

89 Notemos que B C só é definido para B A, e aí temos: A C B A A B B A 7.1. Exemplos de Conjuntos Complementares a) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e} B C A = {a, b} b) Se A = {a, b, c, d} e B = { } C = {a, b, c, d} 8. Diferença entre união e interseção (Diferença simétrica): B A A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B. QUESTÕES DE CONCURSOS A respeito das auditorias realizadas pelos auditores A1, A2 e A3 de um tribunal de contas, concluiu-se que: A1 realizou 70 auditorias; A3 realizou 75 auditorias; A1 e A3 realizaram, juntos, 55 auditorias; A2 e A3 realizaram, juntos, 30 auditorias; A1 e A2 realizaram, juntos, 20 auditorias; das auditorias que não foram realizadas por A1, somente 18 foram realizadas por A2; A1, A2 e A3 realizaram, juntos, 15 auditorias. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 01. (CESPE) Mais de 100 auditorias foram realizadas. 89

90 02. (CESPE) 20 auditorias foram realizadas apenas por A (CESPE) 5 auditorias foram realizadas apenas por A (CESPE) 23 auditorias não foram realizadas por A1. Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina deveriam responder SIM ou NÃO às perguntas P1 e P2 apresentadas a eles, mostrou o seguinte resultado: 28 responderam SIM à pergunta P1; 22 responderam SIM à pergunta P2; 5 responderam NÃO às 2 perguntas. Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. 05. (CESPE) Mais de 10 alunos responderam SIM às duas perguntas. Considerando que os conjuntos A, B e C tenham, respectivamente, 19, 28 e 31 elementos; o conjunto A B C tenha 4 elementos e os conjuntos A B, A C e B C tenham, respectivamente, 11, 7 e 13 elementos, é correto afirmar que 06. (CESPE) o conjunto C (A B) tem menos de 18 elementos. 07. (CESPE) o conjunto A B tem mais de 38 elementos. 08. (CESPE) o conjunto (A B) - (B C) tem exatamente 15 elementos. 09. (CESPE) o conjunto ( ABC) C B tem exatamente 24 elementos. 10. (CESPE) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é superior a

91 Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 técnicos do MPU a respeito da atividade I planejamento estratégico institucional e da atividade II realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 11. (CESPE) Se 4 técnicos desse grupo não gostam de nenhuma das atividades citadas, então mais de 25 técnicos gostam das duas atividades. 12. (CESPE) Infere-se dos dados que a quantidade mínima de técnicos desse grupo que gostam das duas atividades é superior a 20. As cidades Alfa e Beta estão com suas contas de obras sob análise. Sabe-se que algumas dessas obras são de responsabilidade mútua das duas cidades e que a quantidade total de obras cujas contas estão sob análise é 28. Por outro lado, somando-se a quantidade total de obras sob a responsabilidade da cidade Alfa com a quantidade total de obras sob a responsabilidade da cidade Beta - incluindo-se nessas quantidades as obras que estão sob responsabilidade mútua -, obtém-se um total de 37 obras. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 13. (CESPE) É verdadeira a seguinte afirmação: A quantidade de obras de responsabilidade mútua cujas contas estão sob análise é superior a (CESPE) É falsa a seguinte proposição: Se a cidade Alfa tem 17 obras sob sua responsabilidade cujas contas estão sob análise, então a quantidade de obras de responsabilidade exclusiva da cidade Beta cujas contas estão sob análise é inferior a (CESPE) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que: 15 nunca foram vacinadas; 32 só foram vacinadas contra a doença A; 44 já foram vacinadas contra a doença A; 20 só foram vacinadas contra a doença C; 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas as doenças B e C é superior a

92 Um treinamento relativo às técnicas científicas de investigação está sendo preparado para um grupo de 720 policiais pré-selecionados. Para um melhor aproveitamento desse treinamento por parte dos policiais, foi realizada uma avaliação para identificar as suas deficiências em conhecimentos básicos de matemática, física e química, a fim de que sejam ministrados cursos de nivelamento antes do treinamento. Todos os policiais que apresentaram deficiências deverão frequentar os cursos de nivelamento nas respectivas áreas. A tabela acima mostra as frações dos 720 policiais que apresentaram deficiências em uma ou mais dessas áreas básicas. Com base nessas informações, julgue os itens seguinte. 16. (CESPE) Exatamente 128 policiais pré-selecionados para o treinamento possuem deficiência tanto em matemática quanto em química, devendo por consequência frequentar os respectivos cursos de nivelamento. 17. (CESPE) O número de policiais que deverão frequentar os cursos de nivelamento de exatamente duas das áreas básicas mencionadas acima é inferior a (CESPE) O número de policiais pré-selecionados para o treinamento que terão de frequentar os três cursos de nivelamento referentes às áreas de matemática, física e química é superior a (CESPE) Dos policiais que cursarão matemática, menos de 85 deles cursarão também química mas não cursarão física. 20. (CESPE) Mais de 170 policiais cursarão apenas uma das disciplinas. 21. (CESPE) Uma pesquisa realizada com 1000 universitários revelou que 280, 400 e 600 desses universitários são alunos de cursos das áreas de tecnologia, saúde e humanidades, respectivamente. Ela mostrou também que nenhum dos entrevistados é discente de cursos das três áreas e que vários deles fazem cursos em duas áreas. Sabendo que a quantidade de estudantes que fazem cursos das áreas de humanidades e saúde é igual ao dobro da quantidade dos que realizam cursos das áreas de humanidades e tecnologia que, por sua vez, é igual ao dobro dos que fazem cursos das áreas de tecnologia e saúde, a quantidade de entrevistados que fazem apenas cursos da área de tecnologia é superior a