APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO Primeira Parte

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1 APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO Primeira Parte

2 Este arquivo PD contém a primeira parte da Apostila de Raciocínio Lógico, excelente para estudar para concursos públicos. Dependendo da aceitação deste material, em breve disponibilizaremos para download gratuito a segunda parte, com mais cinco aulas. Espero que esta apostila seja muito útil aos interessados que a baixarem! E caso seja, tenha sido ou esteja sendo, a título de incentivo para que eu possa continuar trazendo online novos materiais de boa qualidade como este, peço que deposite QUALQUER QUANTIA na seguinte conta: Banco Bradesco, Agência , Conta Poupança nº , em nome de Manoel Galvão. Mas atenção: sua contribuição é inteiramente opcional e voluntária, deposite apenas se tiver realmente apreciado o material e considerar que vale a pena estimular o disponibilizador do mesmo a trazer mais coisas de semelhante qualidade, inclusive as partes restantes desta apostila. Se não tiver gostado, não contribua. Se tiver gostado, se a apostila lhe tiver sido útil, mas mesmo assim não quiser depositar nenhum centavo, tudo bem, considere pelo menos a possibilidade de indicar este material a outras pessoas. Se quiser contribuir e não tiver dinheiro algum no momento, deposite depois quando tiver, se quiser e o quanto quiser, o quanto achar que a utilidade deste material valeu ou está valendo para você. Quem quiser entrar em contato, seja para dar sugestões, criticar ou comentar algo sobre a apostila ou, digamos, para encomendar o material completo num único arquivo, escreva uma mensagem de e- mail para um dos seguintes endereços eletrônicos: mangalvao2008@gmail.com ou mangalvao_2005@hotmail.com

3 AULA 1: CONCEITOS INICIAIS Iniciemos, pois, tratando dos fundamentos da lógica. undamentos da Lógica: # Primeiros Conceitos: O conceito mais elementar no estudo da lógica e portanto o primeiro a ser visto é o de Proposição. Trata-se, tão somente, de uma sentença algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso. Então, se eu afirmar a Terra é maior que a Lua, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro. Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro () ou falso (). E se alguém disser: eliz ano novo!, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que... sentenças exclamativas: Caramba! ; eliz aniversário! sentenças interrogativas: como é o seu nome? ; o jogo foi de quanto? sentenças imperativas: Estude mais. ; Leia aquele livro.... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras sentenças declarativas que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas. Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes: p: Pedro é médico. q: 5 < 8 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: L(p)=, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos L(q)=. Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes: Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não- Contradição); Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). Proposições podem ser ditas simples ou compostas. Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido. Exemplos:

4 Todo homem é mortal. O novo papa é alemão. Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos: João é médico e Pedro é dentista. Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. Ou Luís é baiano, ou é paulista. Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos ditos conectivos lógicos que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. eremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une. # Conectivo e : (conjunção) Proposições compostas em que está presente o conectivo e são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por. Então, se temos a sentença: Marcos é médico e Maria é estudante... poderemos representá-la apenas por: p q onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. Então, diante da sentença Marcos é médico e Maria é estudante, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante. Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será toda ela falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento. Retomemos as nossas premissas: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q

5 Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p q Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. ora disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo e. Teremos: p q p q É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos. Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a um filho: eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta. Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras! Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q), saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a seguinte estrutura: p q Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois vês seguidos de dois efes. Assim: p q Enquanto a variação das letras ( e ) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas, para a premissa q é diferente: vês e efes se alternando a cada linha, começando com um. Assim: p q

6 Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do conectivo e, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabelaverdade: p q p q Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção " p e q " corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos: p q p q Passemos ao segundo conectivo. # Conectivo ou : (disjunção) Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por. Portanto, se temos a sentença: Marcos é médico ou Maria é estudante... então a representaremos por: p q. Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! ejamos: eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta. Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! eliz ou triste? elicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção. Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q Ou: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q Ou: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q

7 Ou, finalmente: Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p q Juntando tudo, teremos: P q p q A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima as colunas do p e do q são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira coluna, que agora representa um ou, a disjunção. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q, p q p q # Conectivo ou... ou... : (disjunção exclusiva) Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que te darei uma bola, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que te darei uma bicicleta, então teremos que não será dada a bola. Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos ou, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva. E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. alando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o v. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte:

8 p q ou p ou q # Conectivo Se... então... : (condicional) Estamos agora falando de proposições como as que se seguem: Se Pedro é médico, então Maria é dentista. Se amanhecer chovendo, então não irei à praia. Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença. Se nasci em ortaleza, então sou cearense. Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque ortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo: Se nasci em Belém, então sou paraense. Se nasci em Niterói, então sou fluminense. E assim por diante. Pronto? Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se é verdade que eu nasci em ortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense. Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em ortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então este conjunto estará todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em ortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário. Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Percebam, pois, que se alguém disser que: Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos: Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica é igual a: Se Pedro for rico, então Maria é médica Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico, também poderemos traduzir isso de outra forma: Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico é igual a: Se Pedro for rico, então Maria é médica O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos. Não podemos, pois esquecer disso: Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.

9 A sentença condicional Se p, então q será representada por uma seta: p q. Na proposição Se p, então q, a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita conseqüente. Teremos: p q p q As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q": Se A, B. A é condição suficiente para B. B, se A. B é condição necessária para A. Quando A, B. A somente se B. A implica B. Todo A é B. Daí, a proposição condicional: Se chove, então faz frio poderá também ser dita das seguintes maneiras: Se chove, faz frio. az frio, se chove. Quando chove, faz frio. Chover implica fazer frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. azer frio é condição necessária para chover. Chove somente se faz frio. Toda vez que chove, faz frio. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): p q q p # Conectivo... se e somente se... : (bicondicional) A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo se e somente se, separando as duas sentenças simples. Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre. Ou ainda, dito de outra forma: Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre. São construções de mesmo sentido!

10 Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa. Sabendo que a frase p se e somente se q é representada por p q, então nossa tabelaverdade será a seguinte: p q p q Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. p = q Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição composta: se p então q e se q então p, ou seja, p q é a mesma coisa que (p q) e (q p) São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes expressões: A se e só se B. Se A então B e se B então A. A somente se B e B somente se A. A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente. ia de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato tradicional: p se e somente se q. # Partícula não : (negação) eremos algo de suma importância: como negar uma proposição. No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: João é médico. Negativa: João não é médico. Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante. Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim: João não é médico. Negativa: João é médico. Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante. Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques!

11 O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira ( ) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. Teremos: p ~p Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões: Não é verdade que A. É falso que A. Daí as seguintes frases são equivalentes: Lógica não é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. # Negativa de uma Proposição Composta: O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição. eremos, pois, uma a uma: Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q) Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira (~p); 2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos e por ou. E só! Daí, a questão dirá: Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista, e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida. Analisemos: o começo da sentença é não é verdade que.... Ora, dizer que não é verdade que... é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí, como negaremos que João é médico e Pedro é dentista? Da forma explicada acima: 1) Nega-se a primeira parte: (~p): João não é médico 2) Nega-se a segunda parte: (~q): Pedro não é dentista 3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte: João não é médico ou Pedro não é dentista. Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que: ~(p q) = ~p ~q Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre as tabelasverdade das duas proposições acima. ejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabelaverdade do ~(p q). Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido:

12 p q Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos: p q p q Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com a negativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro. Logo, teremos: p q (p q) ~(p q) Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado lógico da estrutura ~(p q). Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, e comparemos os resultados. No início, teremos: p q aremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já sabemos, quem for virará, e vice-versa. Teremos: p q ~p ~q Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças também o seja. Daí, teremos: p q ~p ~q ~p ~q inalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ~q) com aquela que estava guardada da estrutura ~(p q). Teremos:

13 ~(p q) ~p ~q Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos e por ou. Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica. Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas. Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira (~p); 2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos ou por e. Se uma questão de prova disser: Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro. Pensemos: a frase em tela começa com um não é verdade que..., ou seja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos: 1) Nega-se a primeira parte: (~p): Pedro não é dentista 2) Nega-se a segunda parte: (~q): Paulo não é engenheiro 3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte: Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro. Na linguagem apropriada, concluiremos que: ~(p q) = ~p ~q Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação via tabelas-verdade desta conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p q). Teremos, de início: p q Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos: p q p q inalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos:

14 p q p q ~(p q) Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a estrutura ~p ~q. Teremos, a princípio, o seguinte: p q Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos: p Q ~p ~q inalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado: p Q ~p ~q ~p ~q Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ~q) com aquela que estava guardada da estrutura ~(p q). Teremos ~(p q) ~p ~q Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p ou q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos ou por e. Negação de uma Proposição Condicional: ~(p q) Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 1º) Mantém-se a primeira parte; e 2º) Nega-se a segunda. Por exemplo, como seria a negativa de Se chover, então levarei o guarda-chuva? 1º) Mantendo a primeira parte: Chove e 2º) Negando a segunda parte: eu não levo o guarda-chuva. Resultado final: Chove e eu não levo o guarda-chuva.

15 Na linguagem lógica, teremos que: ~(p q) = p ~q ejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor azendário de Minas Gerais, realizada há poucos dias: (GEAZ/MG-2005) A afirmação Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris. b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris. c) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris. d) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris. e) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris. Sol.: amos pensar juntos. ejamos que a frase em análise começa com não é verdade que.... Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo Se p, então q. Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional, manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos: 1) Mantendo a primeira parte: Pedro está em Roma e 2) Negando a segunda parte: Paulo não está em Paris. O resultado ficou assim: Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris. Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: É verdade que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris. Encontramos? Não encontramos! Só há duas opções de resposta que começam com É verdade que..., que são as letras a e e. Estão, pois, descartadas essas duas opções. Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com Não é verdade que.... Ou seja, começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris, a qual havíamos chegado. Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado de uma negação! Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção (e), e vice-versa. ejamos: ~(p q) = ~p ~q e ~(p q) = ~p ~q Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e): ~(p q) = ~p ~q Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao resultado ~p ~q, que é a segunda parte da igualdade. Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p q). Logo, teremos que: o til (~) corresponde a: Não é verdade que... o p corresponde a: Pedro não está em Roma ; o corresponde a ou; o q corresponde a: Paulo está em Paris. E chegamos a: Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris.

16 Esta é nossa resposta! Letra d. ejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta: 1º) izemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste primeiro passo é sempre uma conjunção (e). 2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo. Na seqüência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até este momento. ejamos: : Estrutura É verdade quando É falso quando lógica p q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso p q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos p q nos demais casos p é verdade e q é falso p q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes ~p p é falso p é verdade Negativas das Proposições Compostas: negação de (p e q) é ~p ou ~q negação de (p ou q) é ~p e ~q negação de (p q) é p e ~q negação de (p q) é [(p e ~q) ou (q e ~p)] DEER DE CASA 01. (AC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 02. (iscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

17 03. (AC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto (MPOG/2001) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 05. (CM/2000) Dizer que a afirmação todos os economistas são médicos é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas 06. (iscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 07. (iscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a Pedro é economista, então Luísa é solteira é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

18 AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação) Olá, amigos! Retornamos hoje para dar seqüência aos undamentos da Lógica conceitos iniciais que demos início na aula passada. Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso inteiro. É possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível. Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de facilitar futuras referências a qualquer uma delas. Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página, quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, chamandoas de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: 5 < 8. Acharam? Logo em seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (L(q)=)! Erramos! Obviamente que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de menor que pelo maior que (>). E aí, sim, terá valor lógico falso a proposição 5 > 8. A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas ~(p v q) e ~p ~q. Na ocasião, concluímos que: TABELA 01 ~(p q) ~p ~q Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes: TABELA 02 ~(p q) ~p ~q REISÃO DA AULA PASSADA: # Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso); haverá proposições simples ou compostas. # As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas, dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim, haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), disjunções (OU), disjunções exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE SE...). # Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a promessa de um pai para um filho. Lembram-se? Te darei uma bola e te darei uma bicicleta ; te darei uma bola ou te darei uma bicicleta, ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.

19 # Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato proposição p E proposição q. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte: TABELA 03 p q p q Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas! # Disjunção é a proposição composta que assume o formato proposição p OU proposição q. Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte: TABELA 04 p q p q Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida! # Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato OU proposição p OU proposição q. Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte: TABELA 05 p q p q Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente! # Condicional é a proposição composta que tem o formato SE proposição p, ENTÃO proposição q. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos didáticos, lembraremos da seguinte proposição: Se nasci em ortaleza, então sou cearense. A estrutura condicional é de tal forma que uma condição suficiente gera um resultado necessário. Ora, o fato de alguém ter nascido em ortaleza já é condição suficiente para o resultado necessário: ser cearense. Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar ALSA seria no caso em que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica! Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for ERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for ALSA. A tabela-verdade de uma condicional será, portanto, a seguinte: TABELA 06 p q p q

20 Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram acerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual trabalhamos acima ( se nasci em ortaleza então sou cearense ) foi escolhido exclusivamente para efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o conteúdo das proposições componentes da condicional. Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença: Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão iram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condição suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultado necessário será justamente a segunda parte da condicional. oltemos a pensar na frase modelo da condicional: Se nasci em ortaleza, então sou cearense. No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional ERDADEIRA, sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade): TABELA 07 p q p q Ora, seria possível que eu não tenha nascido em ortaleza, e ainda assim que eu seja cearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que não ortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a segunda ser verdadeira. Ok? É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão: A condicional somente será ALSA quando o antecedente for ERDADEIRO e o conseqüente for ALSO! Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, neste primeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, é guardar bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irão clareando mais e mais. # Bicondicional é a proposição composta do formato proposição p SE E SOMENTE SE proposição q. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas: se uma for ERDADEIRA, a outra também terá que ser ERDADEIRA; se uma for ALSA, a outra também terá que ser ALSA. Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, a seguinte: TABELA 08 p q p q

21 # Negação de uma Proposição Simples: Nada mais fácil: o que é ERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa! A tabela-verdade será, portanto, a seguinte: p ~p TABELA 09 # Negação de uma Proposição Composta: Negação de uma Conjunção: A negativa de uma conjunção se faz assim: 1º) Nega-se a primeira parte; 2º) Nega-se a segunda parte; 3º) Troca-se o E por um OU. Ou seja: ~(p q) = ~p ~q Assim, para negar a seguinte sentença: Te darei uma bola E te darei uma bicicleta aremos: Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta Negação de uma Disjunção: A negativa de uma disjunção se faz assim: 1º) Nega-se a primeira parte; 2º) Nega-se a segunda parte; 3º) Troca-se o OU por um E. Ou seja: ~(p q) = ~p ~q Assim, para negar a seguinte sentença: Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta aremos: Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta Negação de uma Condicional: A negativa de uma condicional se faz assim: 1º) Mantém-se a primeira parte; E 2º) Nega-se a segunda parte; Ou seja: ~(p q) = p ~q

22 Assim, para negar a seguinte sentença: Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão aremos: A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula. Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem. RESOLUÇÃO DO DEER DE CASA Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência, faremos algumas delas. As demais, em páginas mais adiante. Comecemos com a questão 2: 02. (iscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposição simples no enunciado, e que precisa ser analisada. Qual é essa proposição? A seguinte: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta Se observarmos bem, veremos que esta sentença contém duas negações. ejamos em destaque: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com negações. Tiremos a prova! amos trocar essas expressões negativas da frase acima por afirmações correspondentes. Podemos, então, trocar não é verdade por é mentira. Todos concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também não dormem a sesta por ficam acordados. Pode ser? Teremos: É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados, significa que pelo menos um deles dorme! Concordam? É a resposta da questão, opção C! Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS. É esta palavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM (=ALGUM). Podemos até criar a seguinte tabela: TABELA 10 p ~p TODO A é B ALGUM A não é B ALGUM A é B NENHUM A é B

23 Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era a seguinte: Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras. Como interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: É mentira que todas as pessoas daquela família são gordas. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma delas é magra! Só isso e mais nada. Adiante! 03. (AC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação ( não é verdade que...) de uma conjunção (E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: ~(p q) = ~p ~q Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte: Alberto não é alto. inalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que: Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é igual a: Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Resposta (letra A)! Deixemos a questão 4 para daqui a pouco. 05. (CM/2000) Dizer que a afirmação todos os economistas são médicos é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos, inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é ALSA a sentença Todos os economistas são médicos, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! É nossa resposta opção A! Pulemos a sexta, por enquanto! 07. (iscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda! Daí, concluiremos o seguinte:

24 "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é igual a: está chovendo E eu não levo o guarda-chuva Resposta (letra E)! Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando! # TABELAS-ERDADE: Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-ERDADE. Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. Na aula passada, vimos que uma Tabela-erdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por: Nº de proposicões Nº de Linhas da Tabela-erdade = 2 Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 2 2 =4. E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 2 3 =8. E assim por diante. TABELAS-ERDADES PARA p E q: Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja: TABELA 11 p q E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que estarão presentes na proposição composta. Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da bicondicional. Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q). Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta: P(p, q)=~(p v ~q)...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, sempre o mesmo. Teremos:

25 TABELA 12 p q Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o ~q? Ainda não! Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos: TABELA 13 p q ~q Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p v ~q). Trata-se pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a formação desta disjunção. Teremos: TABELA 14 p q ~q p v ~q icou claro para todo mundo? ejamos de novo: colocando as duas colunas (p e ~q) lado a lado, veremos que só na terceira linha ocorre a situação ALSO e ALSO, a qual torna também ALSA a conjunção. ejamos: TABELA 15 p ~q p v ~q Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é a própria proposição: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso, quem for ERDADEIRO vira ALSO e vice-versa. Teremos: TABELA 16 p Q ~q p v ~q ~(p v ~q) É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~(p v ~q). Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma seqüência. Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem:

26 1º) aremos as negações (~); 2º) aremos as conjunções (E) ou disjunções (OU), na ordem em que aparecerem; 3º) aremos a condicional (SE...ENTÃO...); 4º) aremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...). Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade da proposição [~(p v ~q)]. ide tabelas 12 a 16 supra. Primeiro, trabalhamos o parênteses, fazendo logo uma negação (tabela 13). Depois, ainda dentro do parênteses, fizemos uma disjunção (tabela 14). E concluímos trabalhando fora do parênteses, fazendo nova negação. Observemos que só se passa a trabalhar fora do parênteses quando não há mais o que se fazer dentro dele. Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade! Caso você queira, pode tentar a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. amos a ele: EXERCÍCIO: Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta: P(p,q)= (p ^ ~q) v (q ^ ~p) Sol.: Observamos que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles, isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os seguintes: 1º Passo) A negação de q: TABELA 17 p q ~q 2º Passo) A conjunção: TABELA 18 p q ~q p ~q Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar o segundo parênteses. Teremos: 3º Passo) A negação de p: TABELA 19 p q ~p 4º Passo) A conjunção: TABELA 20 p q ~p q ~p

27 5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une. Teremos: TABELA 21 (p ~q) (q ~p) (p ~q) v (q ~p) Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma: TABELA 22 p q ~q p ~q ~p q ~p (p ~q) (q ~p) Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade? TABELAS-ERDADE PARA TRÊS PROPOSICOES (p, q E r): A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já aprendemos, este cálculo será dado por Nº linhas = 2 Nº de proposições. Daí, teremos que haverá oito linhas (2 3 =8) numa tabela-verdade para três proposições simples. imos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte: p q r TABELA 23 A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro alternando com quatro ; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois com dois ; por fim, a coluna da proposição r alternará sempre um com um. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura inicial: TABELA 24 p q r Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, à estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples!