Topologia de Superfícies

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1 Topologia de Superfícies Eduardo Colli As superfícies Essas peças que lembram objetos artísticos ou de artesanato 1 representam uma das mais belas áreas da matemática, a Topologia Algébrica. Nessa teoria, as superfícies são vistas por suas propriedades mais intrínsecas, que não variam sob deformações. Isso segue na contramão da Geometria, que se preocupa com a forma exata da superfície no espaço. Nota-se que algumas das superfícies não têm um bordo, enquanto outras têm. O bordo constitui-se de uma ou mais curvas fechadas no espaço, entrelaçadas em si mesmas e entre si. Os bordos formados por somente uma curva são chamados de nós, enquanto aqueles que envolvem várias curvas são chamados de enlaces. As superfícies distinguem-se também por sua orientabilidade: as orientáveis têm dois lados, enquanto as não-orientáveis permitem voltar ao mesmo ponto da superfície pelo outro lado. Um exemplo clássico é a Faixa de Möbius, mas há outros (tente identificá-los!). Outra informação importante sobre uma superfície é sua carac- 1 Peças do acervo da Matemateca, vide algumas fotos ao longo do texto. 1

2 terística de Euler, que pode ser obtida a partir de uma divisão da superfície em triângulos. Contando-se faces (F ), arestas (A) e vértices (V ) da triangulação, calcula-se o número χ = F A + V. É possível mostrar que esse número não depende da triangulação escolhida. Ele também serve para distinguir superfícies essencialmente diferentes. Definição de superfície Daremos neste texto uma definição restrita de uma superfície, pensada apenas em função das peças artesanais. As peças procuram representar uma idéia abstrata de objetos matemáticos que não podem ser fabricados no nosso mundo real. Ao leitor que quiser saber um pouco mais recomenda-se visitar Aderbal, o Topólogo, no site inacabado colli/aderbal/ Uma superfície é um conjunto S no espaço tridimensional que satisfaz algumas propriedades, que discutiremos abaixo uma por uma. Vizinhanças são equivalentes a discos A primeira propriedade diz respeito à estrutura da superfície em torno de qualquer um de seus pontos. Para cada ponto p do conjunto S consideramos B r (p), a bola de centro p e raio r, que é o conjunto de pontos que não distam de p mais do que r (isso inclui os pontos da superfície da bola, pois para esses pontos a distância a p é igual a r). O conjunto S B r (p), chamado de r-vizinhança de p é o conjunto dos pontos que estão em S ao mesmo tempo que não distam mais do que r do ponto p. Então pede-se que para todos os valores (positivos) suficientemente pequenos de r a r-vizinhança de p seja equivalente 2

3 a um disco. Um disco é o conjunto de pontos do plano a uma distância não maior do que r de um ponto dado (o ponto dado pode ser a origem). É preciso explicar melhor o que queremos com essa imposição. Equivaler a um disco significa, intuitivamente, que se pode deformar o conjunto, suavemente, sem romper ou rasgar, até que ele adquira o formato de um disco. Outra definição é a seguinte: existe uma função, entre o conjunto e um disco, que é bijetora (isto é, a cada ponto do domínio corresponde um e somente um ponto do contra-domínio) e é bicontínua (isto é, é contínua e sua inversa é contínua). Veja que a primeira definição se encaixa na segunda, uma vez que poderíamos acompanhar o trajeto de cada ponto ao longo da deformação, e a função seria dada dessa maneira: a cada ponto do conjunto se relaciona o ponto de chegada no disco, que é o contradomínio. Esfera, toro e bitoro são exemplos de superfícies. Mesmo com a esfera, vê-se que as r-vizinhanças tomadas devem ter r pequeno. Senão, tomando um ponto da esfera e r grande teríamos S B r (p) = S (todos os pontos da esfera estariam a menos de r de p), e esse conjunto não é deformável num disco. Também é surpreendente porém correto que os pontos de um poliedro satisfazem a exigência, mesmo que sejam pontos de vértices ou arestas. Não faz mal que a superfície tenha vincos e dobras, desde que seus pedacinhos possam ser alisados! Aqui fica evidente porque uma superfície não pode ser produzida no mundo real: ela tem a espessura de um disco, um objeto bidimensional, que no espaço tridimensional é infinitamente fino! As peças artesanais têm espessura (e não é pouca), mas um pouco de imaginação pode nos convencer de que elas não têm, da mesma forma que podemos ver poliedros de cartolina como uma união de 3

4 verdadeiros poĺıgonos planos. Nessa discussão, é importante destacar que há dois tipos de pontos numa superfície, os pontos interiores e os pontos de bordo. Para os pontos interiores, uma deformação bem feita pode transformar sua vizinhança num disco de forma que o próprio ponto p, se acompanhado em sua trajetória, vá parar no centro do disco. Já para os pontos de bordo isso não é possível: eles deverão ficar, após a deformação, na circunferência do disco. Por exemplo, imagine um cilindro, visto aqui como um rolo vazio de papel higiênico com um papelão infinitamente fino. Os dois círculos limítrofes do cilindro constituem-se de pontos de bordo, pois para eles a r-vizinhança tem o formato de uma letra D cheia, que pode ser deformada para um disco, mas sempre com o ponto base na fronteira. Os demais pontos desse cilindro são todos pontos interiores. A superfície é limitada A primeira propriedade acima descrita é crucial e elimina vários conjuntos. Mas para excluir ainda outros, pediremos que o conjunto seja limitado. Ser limitado é não se estender ao infinito, porém é mais preciso dizer que existe uma caixa (abstrata, é claro) que pode conter o conjunto inteiro. Por exemplo, o plano xy no espaço tridimensional satisfaz a primeira propriedade (as vizinhanças são discos), mas não é limitado. Esta propriedade é bem-vinda, pois senão ficaria um bocado difícil construir as peças... A superfície é conexa Outra propriedade é a conexidade. Pediremos que a superfície seja conexa, isto é, que se possa ir de um ponto a outro da superfície por um caminho inteiramente contido nela. Isto exclui chamar o conjunto formado por duas esferas de uma superfície. 4

5 A superfície é fechada Finalmente, pediremos que a superfície seja fechada. Podemos dar duas definições equivalentes para esse conceito. Essas definições só fazem sentido, no entanto, nesse mundo abstrato. A primeira definição fala do que está de fora: se q é um ponto que não está na superfície então para r maior do que zero e suficientemente pequeno a bola B r (q) não intersecta S. A outra definição fala de aproximação. Suponha que uma seqüência de pontos da superfície se aproxime assintoticamente de um ponto no espaço. Então o ponto do qual ela se aproxima não pode estar fora da superfície. Por exemplo, tome um quadrado (cheio), no espaço, sem um vértice. Chamemos de q esse ponto de vértice, que é um ponto do espaço, porém fora do conjunto. Qualquer bola em torno de q intersecta o conjunto, condição que deveria ser evitada na definição de superfície. Ou ainda: uma seqüência de pontos do quadrado que se aproxime de q é assintótica a um ponto de fora da superfície (o ponto q). Em outras palavras, um quadrado sem um ponto de vértice não é uma superfície! Mesmo assim, todas as outras exigências são satisfeitas (verifique!). Sobre as peças As definições acima acabam por impor que o conjunto de pontos de bordo, se não for vazio, forma uma coleção de curvas fechadas no espaço, sem auto-interseções e interseções mútuas. Uma coleção de curvas assim é chamada de enlace (mesmo que elas estejam, digamos, separadas ) e de nó se for uma coleção de apenas uma curva (vide os textos do site sobre Teoria dos Nós). Abaixo mostramos as peças, agrupadas por semelhança, e descrevemos suas principais propriedades. Entre as superfícies sem bordo, o toro é a primeira que vem à 5

6 mente depois da esfera. Embora as peças sejam figuras sólidas, aqui estamos nos referindo a sua casca. Depois do toro temos o exemplo do bitoro e, evidentemente, o tritoro, o quadritoro, etc, todos superfícies sem bordo. Algumas vezes eles aparecem em formas inusitadas, como o bitoro da foto abaixo. Esse bitoro, por incrível que possa parecer, pode ser deformado em um bitoro clássico. A seguinte seqüência mostra algumas etapas da deformação. 6

7 Entre as superfícies com bordo temos a seguinte, cujo bordo constitui-se de dois anéis enlaçados no espaço. Esse enlace recebe o nome de enlace de Hopf. Perceba que se os anéis não estiverem enlaçados a superfície é apenas um cilindro deformado. Essas superfícies são ditas orientáveis, pois têm dois lados : uma formiguinha andando sobre ela não pode passar para o outro lado a não ser que passe pelo bordo, se houver bordo. Assim, a esfera, o toro e o bitoro são orientáveis (superfícies não-orientáveis e sem bordo não existem segundo a definição acima de superfície; é preciso abstrair o conceito um pouco mais, ver o site do Aderbal). A Faixa de Möbius é o exemplo mais conhecido de superfície não orientável. Ela tem uma única componente de bordo, que pode ser deformada num círculo. 7

8 Já outras superfícies têm como bordo o nó trifólio, que não pode ser deformado num círculo, isto é, não pode ser desmanchado. As superfícies abaixo têm como bordo o nó trifólio, e são orientáveis. Na verdade, um Teorema (Seifert) garante que todo nó é bordo de uma superfície orientável. O nó trifólio também é bordo de uma superfície não orientável. Essa superfície pode ser comparada com a Faixa de Möbius da seguinte maneira. Um cilindro é uma tira de papel colada corretamente na outra ponta, sem torção. A Faixa de Möbius é resultado de uma meia-torção na tira. A superfície cujo bordo é o enlace de Hopf, mostrada acima, é o resultado de duas meias-torções. E esta superfície não orientável, cujo bordo é o nó trifólio, emerge de uma colagem após três meias-torções. Um número par de meias-torções produz uma superfície orientável, enquanto que um número ímpar produz uma superfície não orientável. Abaixo vemos outra forma dessa superfície de três meias-torções. 8

9 Outro exemplo de nó que aparece como bordo é o nó figura-oito. As seguintes superfícies têm bordo com três componentes, cada uma um círculo. Bom, e o que podemos dizer dessas duas? 9

10 Característica de Euler Uma triangulação é uma divisão da superfície em domínios, cada um deles deformável em um disco, delimitados por três arestas (não necessariamente retas) e três vértices entre as arestas. Esses domínios, também chamados de faces, podem ser entendidos como deformações de triângulos. A triangulação deve respeitar o bordo da superfície. Isto quer dizer que se uma aresta intersecta o bordo então a interseção é apenas um vértice ou é a aresta inteira. Assim como se faz com poliedros, podemos contar o número de faces (F ), arestas (A) e vértices (V ) da triangulação. Essa contagem não depende tanto do formato exato da superfície, pois as deformações não estragam, qualitativamente, a triangulação. O mais surpreendente, porém, é que o número F A + V é independente da triangulação escolhida para a superfície. Isso mostra que F A+V é um número intrínseco à superfície e portanto merece um nome: é a característica de Euler da superfície (vide Poliedros ). Esfera, toro e bitoro têm característica de Euler igual a 2, 0 e -2, respectivamente. Qual é a característica de Euler das demais superfícies? Superfícies de Seifert O matemático alemão H. Seifert mostrou, em 1934, que todo nó é o bordo de uma superfície orientável, e sugeriu um algoritmo para construí-la. Ver The Knot Book, de Colin Adams, para uma descrição do algoritmo. As superfícies de Seifert nem sempre são as mais óbvias para um determinado nó. Por exemplo, no nó trifólio é mais evidente a superfície não-orientável equivalente a tomar uma tira de papel 10

11 colada nas pontas após três meias-torções. Exercícios e experimentos 1. Obter a característica de Euler de todos os modelos artesanais. 2. Suponha que se arranque um disco de uma superfície (deixando-se o bordo do disco), formando-se em conseqüência uma superfície diferente. Descubra como muda a característica de Euler nesse processo. 3. Suponha que se arranquem dois discos de uma superfície e colem-se os bordos de um cilindro nos contornos que ficaram. Como muda a característica de Euler da superfície? Relacione com o que acontece à esfera, ao toro e ao bitoro. 4. Modelos de superfícies podem ser construídos sem muita dificuldade com arame e fita crepe (evidentemente requer-se habilidade com o acabamento, mas isso fica a cargo de cada um). Faça um nó ou enlace usando arame e depois defina a superfície usando fita crepe. As peças artesanais foram feitas assim, e depois recobertas com massa plástica. Busque os nós e enlaces em tabelas. Perceba que o mesmo nó ou enlace pode ser bordo de superfícies diferentes, orientáveis ou não. 11