Estatística Aplicada I

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1 Estatística Aplicada I DITRIBUIÇÃO BINOMIAL AULA 4 03/05/17 Prof a Lilian M. Lima Cunha Maio de 2017 Distribuições teóricas 1. O conhecimento de certas distribuições teóricas é essencial para a resolução de problemas de inferência estatística. 2. A distribuição de freqüência de uma amostra é uma estimativa da distribuição da população. 3. e o tamanho da amostra é grande, pode-se esperar que a distribuição de freqüência da amostra e a distribuição da população sejam semelhantes. 4. A distribuição de probabilidade binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que tem muitas aplicações. 1

2 1) EXPERIMENTO CONITE NUMA EQUENCIA DE n ENAIO. 2) DOI REULTADO ÃO POIVEI EM CADA ENAIO: UCEO E RACAO; 3) PROBABILIDADE DE UCEO (p) NAO E MODIICA DE ENAIO PARA ENAIO. O MEMO VALE PARA PROBABILIDADE DE RACAO (q) ; Tem-se que p + q = 1 ou q = 1 - p 4) O ENAIO ÃO INDEPENDENTE. EM UM EXPERIMENTO, O QUE IMPORTA É O NUMERO DE UCEO (x) NO n ENAIO. NUMERO DE ENAIO = NUMERO INTEIRO X ERA VARIAVEL ALEATORIA DICRETA A EA VARIAVEL E AOCIA UMA DITRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL 2

3 EXEMPLO1: CONIDERE O LANCAMENTO DE UMA MOEDA 5 VEZE. HÁ POIBILIDADE DE OCORRER CARA OU COROA A CADA ARREMEO. UPONHA QUE O INTEREE EJA CONTAR NUMERO DE CARA(=EVENTODEUCEO). A) É UM? IM B) QUAL VARIÁVEL DE INTEREE? X = NUMERO DE UCEO = NUMERO DE CARA EM 5ENAIO EXEMPLO 2: CONIDERE UM VENDEDOR DE EGURO. ELE VIITA 10 AMILIA. UCEO = AMILIA COMPRAR APOLICE DE EGURO. CONIDEREp=0,1. A) É UM? IM - 10 visitas ou ensaios idênticos; -2 resultados possíveis (comprar e não comprar), sendo sucesso e fracasso, respectivamente. -Probabilidade de sucesso (p = 0,1) e de fracasso (q=0,9) não se alteram de um evento para outro; - Ensaios são independentes. 3

4 EXEMPLO 2: CONIDERE UM VENDEDOR DE EGURO. ELE VIITA 10 AMILIA. UCEO = AMILIA COMPRAR APOLICE DE EGURO. CONIDEREp=0,1. A) É UM? IM B) QUAL VARIÁVEL DE INTEREE? X = NUMERO DE UCEO = NUMERO DE AMILIA QUE COMPRAM EGURO EM 10 VIITA(ENAIO). Considere que X é o número de resultados favoráveis em n ensaios - então X é uma variável aleatória discreta que pode assumir valores entre zero e (n + 1). Dizemos que X tem distribuição binomial com parâmetros n e p. Ex: no caso anterior, para 10 visitas feitas pelo vendedor de seguros, temos que X assumiria os valores: 0,1, (total de 11 valores ou(n+1) informações). 4

5 Considere 3 clientes que entram em uma loja para comprar. Com base na experiência do gerente da loja, sabe-se que a probabilidade de o cliente comprar = 0,30 QUAL E A PROBABILIDADE DE 2 DO PROXIMO 3 CLIENTE, REALIZAREM UMA COMPRA????? azendo diagrama em arvore... PRIMEIRO CLIENTE EGUNDO CLIENTE TERCEIRO CLIENTE REULTADO EXPERIMENTAL VALOR DE X (,,) 3 (,,) 2 (,,) 2 (,,) (,,) 1 2 (,,) 1 (,,) 1 (,,) 0 5

6 PARA ENCONTRAR O NUMERO DE REULTADO EXPERIMENTAI QUE REULTAM EM X UCEO EM N ENAIO: =!!! VOLTANDO AO EXEMPLO DE CLIENTE... LEMBRAR QUE:!= QUAL E O N. DE REULTADO ENDO QUE 2 DO CLIENTE, NO TOTAL DE 3 CLIENTE, REALIZARAM UMA COMPRA????? =!!! = ( ) ( ) = = QUAL E O N. DE REULTADO ENDO QUE 3 DO CLIENTE, NO TOTAL DE 3 CLIENTE, REALIZARAM UMA COMPRA????? =!!! = ( )( ) = = VERIIQUE NO DIADRAMA DE ARVORE... 6

7 E, EM VEZ DE APENA TENTAR ENCONTRAR O NUMERO DE REULTADO DE UCEO (X) NO TOTAL (n) DE CLIENTE QUE REALIZARAM UMA COMPRA, CALCULAEMO A PROBABILIDADE AOCIADA????? eria a pergunta do exercício... UNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL = =probabilidadedexsucessosemn ensaios n=numerodeensaios p = probabilidade de sucesso em qualquer dos ensaios q = 1-p = probabilidade de um fracasso em qualquer dos ensaios = =!!! Considere 3 clientes que entram em uma loja para comprar. Com base na experiência do gerente da loja, sabe-se que a probabilidade de o cliente comprar = 0,30 QUAL E A PROBABILIDADE DE 2 DO PROXIMO 3 CLIENTE, REALIZAREM UMA COMPRA????? ENTAO... = = = (, ) (, ) =, 7

8 A UNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL NADA MAI E QUE UM BINOMIO DE NEWTON... Experimento: 3 CLIENTE QUE ENTRAM NA LOJA PARA COMPRAR (UCEO = COMPRAR) X Evento P(X) 0 1/8 = q 3 1 3/8 = 3pq 2 2 3/8 = 3p 2 q 3 1/8 = p 3 Termos do desenvolvimento do Binômio de Newton (p + q) 1 = q + p (p + q) 2 = q 2 + 2pq + p 2 (p + q) 3 = q 3 + 3p 2 q+ 3pq 2 + p 3 e, de forma geral (p + q) n = q n + npq n-1 + C n 2 p 2 q n C nk p k q n-k p n Probabilidade de ocorrer X = k é: P(X = k) = C nk p k q n-k 8

9 e X tem distribuição binomial com parâmetros n e p a probabilidade associada aos n + 1 diferentes valores de X são dadas pelos termos do desenvolvimento de (p + q) n Experimento: 3 CLIENTE QUE ENTRAM NA LOJA PARA COMPRAR (UCEO = COMPRAR). 2 compram! X Evento P(X) 0 1/8 = q 3 1 3/8 = 3pq 2 2 3/8 = 3p 2 q 3 1/8 = p 3 P(X = 2) = C 3 2 ( 1/2) 2( 1/2) 1 (3x2x1)/(2x1)=3 (p + q) 3 = q 3 + 3pq 2+ 3p 2 q + p 3 QUALEAPROBABILIDADEDE4DOPROXIMO10CLIENTE, REALIZAREM UMA COMPRA????? endo p = 0,4: 0,2508 9

10 = Ex.: e = =!!! 1. Probabilidade de sair 3 caras no lançamento de 3 moedas: P(X = 3) = C 33 1/2 3 1/2 0 =1/8 2. Probabilidade de sair 1 cara no lançamento de 2 moedas: P(X = 1) = C 21 1/2 1 1/2 1 =1/2 3. Probabilidade de sair o número 1 duas vezes quando lançamos um dado três vezes: P(X = 2) = C 32 1/6 2 5/ A probabilidade de que os pais com certo tipo de olhos azul/castanho venham a ter filhos de olhos azuis é 1/4. De 6 crianças na família, a probabilidade de que ao menos a metade tenha olhos azuis é: P(X = 3) = C 63 (1/4) 3( 3/4) 3 P(X = 4) = C 64 ( ¼) 4 (3/4) 2 P(X = 5) = C 65 (1/4) 5 (3/4) 1 P(X = 6) = C 66 (1/4) 6 (3/4) 0 P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) +P(X = 6) 10

11 5. Um fabricante de açúcar garante que numa pilha de 5 sacas, no máximo uma tem o produto com cor ICUMA maior do que 150. e a experiência indica que o processo de fabricação produz 20% de açúcar de cor acima de 150, determine a probabilidade de que a pilha considerada satisfaça a garantia do fabricante (no máximo uma tenha cor ICUMA acima de 150). Probabilidade de 0 ou 1 saca ter cor ICUMA acima de 150 = 0,3277+0,4096 = 0,7373 P(X = 0) = C 5 0 0,20 0 0,80 5 P(X = 1) = C 51 0,20 1 0,80 4 = 0,3277 = 0,4096 P(X = 0) + P(X = 1) EPERANCA = = VARIANCIA V = = ( ) Ex: para o problema de 3 clientes que entram na loja para comprar, sendo a probab. de compra = 0,3. Calculase a esperança: = = =, =, O numero esperado de clientes que farão uma compra é de 0,9 V = = =,, =, 11

12 ENTREGAR NOVE POR CENTO DO ETUDANTE UNIVERITARIO PORTAM CARTÕE DE CREDITO COM LIMITE MAIORE QUE R$ 7 MIL. UPONHA QUE 5 ETUDANTE EJAM ECOLHIDO AO ACAO PARA EREM ENTREVITADO OBRE O UO DO CARTAO: A) QUAL E A PROBABILIDADE DE 2 OU MAI ETUDANTE TEREM UM LIMITE DE CREDITO ACIMA DE R$7MIL? B) QUAL PROBABILIDADE DE NENHUM ETUDANTE TER LIMITE DECREDITOMAIORQUER$7MIL? C) QUAL PROBABILIDADE DE PELO MENO 3 ETUDANTE TEREMOLIMITEDOCARTAOACIMADER$7MIL? D) QUAL NUMERO EPERADO DE ETUDANTE QUE PORTAM CARTOE COM LIMITE ACIMA DE 7MIL? REERENCIA BIBLIOGRÁICA HOMANN, R. Estatística para economistas cap7. pgs81-85 ANDERON, D.; WEENEY, D.J.; WILLIAN, T.A Estatistica aplicada a administração e economia. Ed. Thompson.2ªed.597p. cap5pgs181a