CÁLCULO NUMÉRICO EM COMPUTADORES Provas e Projetos Vol.3

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1 Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Informática e Estatística LIVITEC - Laboratório de Informática para Vigilância Tecnológica CÁLCULO NUMÉRICO EM COMPUTADORES Provas e Projetos Vol.3 Bernardo Gonçalves Riso Mirela Sechi Moretti Annoni Notare Florianópolis SC, Junho

2 SUMÁRIO Dedicatória Apresentação PARTE I PROVAS PROVA 26 - Método da Relaxação Folha de Questões Respostas PROVA 27- Introdução à Interpolação Polinomial Folha de Questões Respostas PROVA 28 Interpolação com a Spline Cúbica Folha de Questões Respostas PROVA 29 - Integração Gaussiana Folha de Questões Respostas PROVA 30 - Método de Euler Folha de Questões Respostas PROVA 31 - Métodos de Runge-Kutta Folha de Questões Respostas PROVA 32- Eq. Dif. Ord. de Ordem Superior Folha de Questões Respostas PROVA Proposta (1) Folha de Questões Respostas PROVA Proposta (2) Folha de Questões Respostas PROVA Proposta (3) Folha de Questões Respostas PROVA Proposta (4) Folha de Questões Respostas 308

3 PARTE II PROJETOS PROJETO 28 Programa Gregory-Newton PROJETO 29 Programa Spline PROJETO 30 Programa Runge_Kutta_ PROJETO 31 Programa Euler PROJETO 32 Programa Euler-sup PROJETO 33 Programa Runge_Kutta_3-sup PROJETO 34 Programa Runge_Kutta_4-sup PROJETO 35 Programa Runge_Kutta_4-3Eq

4 DEDICATÓRIA - Dedico este livro aos milhares de estudantes que, ao longo desses 30 anos em que venho atuando como professor de Cálculo Numérico em Computadores, assistiram às minhas aulas e comigo trabalharam, ajudando-me e ensinando-me a mim tanto quanto eu a eles. A todos esses rapazes e moças agradeço muitíssimo e a todos eles desejo imensa felicidade e sucesso. Bernardo Gonçalves Riso DEDICATÓRIA Inicialmente, dedico este livro aos estudantes que, ao longo desses 10 anos em que venho atuando como professora de Cálculo Numérico, assistiram às minhas aulas, ensinandome a mim tanto quanto eu a eles. Dedico ainda, ao Prof. Bernardo Gonçalves Riso, que muito admiro como professor e pessoa; e ao meu marido e ao meu filho, Itamar e Gianluca, respectivamente. Mirela Sechi Moretti Annoni Notare 310

5 APRESENTAÇÃO Neste Volume III de Cálculo Numérico em Computadores - Provas e Projetos, completamos e encerramos a coleção iniciada com o Volume I (encadernada) e continuada com o Volume II (gravada em dois CDs). Os dois primeiros volumes já constam do acervo da Biblioteca Central da UFSC e estão disponíveis para consulta e empréstimo à comunidade. Os temas tratados neste Volume III dizem respeito à Resolução de Sistemas de Equações Lineares, à Interpolação Polinomial, à Integração de Funções e à Resolução de Problemas de Valor Inicial. Os autores desejam agradecer ao senhor Itamar Annoni Notare pelo empenho na organização dos capítulos deste segundo volume de Cálculo Numérico em Computadores. Sem sua contribuição o texto ora apresentado não poderia ter o mesmo bom gosto na distribuição das matérias que compõem esta monografia. 311

6 PARTE I PROVAS 312

7 PROVA 26 Método da Relaxação FOLHA DE QUESTÕES: Questão 1 (dissertativa) Descreva os principais aspectos da resolução de sistemas de equações lineares relacionados com o emprego do Método da Relaxação. Por favor, no seu texto, refira-se às seguintes variantes desse método: a Sub-Relaxação e a Sobre- Relaxação. Ocupe, pelo menos, uma página para responder a esta pergunta. Questão 2 (numérica) Considere o seguinte sistema de equações lineares já pronto para a aplicação do Método da Relaxação: x + 3y 3z 7 = 0 2x y + 2z + 5 = 0 2x 3y z + 4 = 0 Por favor, aplique o método referido fazendo duas iterações a partir da estimativa inicial x 1 = y 1 = z 1 = 0. Indique todas as operações efetuadas e organize os valores obtidos em uma tabela com o seguinte cabeçalho: x R 1 y R 2 z R 3 Questão 3 (numérica) Use o Método da Relaxação para resolver o sistema dado a seguir: 2x + y 3z = 7 x 4y + z = 4 3x y 2z = 2 Faça três iterações a partir da estimativa inicial: x 1 = x 2 = x 3 = 1. Por favor, não deixe de indicar todas as operações que você efetuar. Organize os resultados parciais em uma tabela com o cabeçalho seguinte: x 1 R 1 x 2 R 2 x 3 R 3 Questão 4 (algoritmo) Construa um algoritmo para automatizar o uso do Método da Relaxação no caso de um sistema de n equações lineares com n incógnitas. Boa Prova! 313

8 RESPOSTAS: Resposta à Questão 1 A Relaxação, a Sub-Relaxação e a Sobre-Relaxação são métodos de aproximações sucessivas (isto é, métodos iterativos) que permitem resolver sistemas de n equações lineares com n incógnitas de pequeno e médio porte. Pode-se dizer que a Relaxação é o método de referência, enquanto que a Sub- Relaxação e a Sobre-Relaxação são suas variantes. Dado o sistema AX = C, precisa-se preparar o sistema previamente ao emprego da relaxação. Para ficar adequado, o sistema deve ter os termos independentes situados do lado esquerdo de cada equação e, além disso, ele precisa ter todos os elementos da diagonal principal da matriz A, dos coeficientes, iguais a -1. Assim, a partir de uma estimativa inicial da solução, x i,1, com i = 1, 2, 3,...,n, podem-se obter estimativas mais precisas, substituindo-se as aproximações em cada equação e observando os valores (os resíduos) então obtidos: A primeira equação fornece o resíduo R 1 ; A segunda equação fornece o resíduo R 2 ;... A n-ésima equação fornece o resíduo R n Identifica-se o maior resíduo em valor absoluto. Em seguida, pode-se agir de acordo com uma das três seguintes estratégias: Na Relaxação, o maior resíduo é zerado. Para isso, dá-se à variável correspondente o valor que ela tinha antes acrescido do valor do resíduo. Assim, por exemplo, se o maior resíduo é o R 3, dá-se a x 3 o valor que já tinha acrescido do resíduo R 3 ; Na Sub-Relaxação, menos agressiva, vamos dizer assim, o maior resíduo não chega a ser zerado, ele é apenas diminuído, mas sem mudar de sinal, agindo-se sobre a variável correspondente; e Na Sobre-Relaxação, estratégia mais agressiva, o maior resíduo troca de sinal. Tal se consegue do mesmo modo que anteriormente, isto é, agindo-se sobre a variável correspondente. Para se proceder do modo organizado, constrói-se uma tabela que tem como cabeçalho indicações para os sucessivos valores das variáveis e dos resíduos. Assim, no caso de se estar resolvendo um sistema com três incógnitas, pode-se ter o seguinte cabeçalho: ITER X RX Y RY Z RZ 314

9 Em que ITER é um contador de iterações (ou relaxações), X, Y e Z são as três incógnitas do sistema, e RX, RY e RZ representam os resíduos correspondentes. Durante a resolução de um mesmo sistema, pode-se variar a estratégia, caso o utilizador do método perceba que tal variação traz alguma vantagem para o aceleramento do processo iterativo. Desse modo, ele pode a alcançar a precisão desejada mais rapidamente. Resposta à Questão 2 Na resposta a este item da prova busca-se resolver, por Relaxação, o sistema: x + 3y 3z 7 = 0 2x y + 2z + 5 = 0 2x 3y z + 4 = 0 a partir da estimativa inicial x = y = z = 0. Os valores obtidos ao longo do processo são armazenados na tabela a seguir: x R 1 y R 2 z R Substituindo as estimativas iniciais nas equações do sistema, obtêm-se os resíduos: R 1 = ( 1)(0) + (3)(0) + ( 3)(0) 7 = = 7 R 2 = (2)(0) + (-1)(0) + (2)(0) + 5 = = 5 R 3 = (2)(0) + ( 3)(0) +( 1)(0) + 4 = = 4 O maior resíduo em valor absoluto é R 1 = 7. Faz-se então a primeira iteração (relaxação): x toma o valor que tinha antes (0) acrescido do resíduo R 1. Isto é, agora, tem-se x = 0 + ( 7) = 7. Tem-se então: x = 7; y = 0; e z = 0. Substituindo esses valores nas equações do sistema, obtêm-se os resíduos: R 1 = ( 1)(-7) + (3)(0) + ( 3)(0) 7 = = 0 R 2 = (2)(-7) + (-1)(0) + (2)(0) + 5 = = -9 R 3 = (2)(-7) + ( 3)(0) +( 1)(0) + 4 = = -10 Agora, o maior resíduo em valor absoluto é R 3 = 10. Faz-se então a segunda iteração (relaxação): z toma o valor que tinha antes (0) acrescido do resíduo R 3. De modo que z = 0 + ( 10) = 10. Tem-se então: x = 7; y = 0; e z = 10. Substituindo esses valores nas equações do sistema, obtêm-se os resíduos: R 1 = ( 1)(-7) + (3)(0) + ( 3)(-10) 7 = =

10 R 2 = (2)(-7) + (-1)(0) + (2)(-10) + 5 = = -29 R 3 = (2)(-7) + ( 3)(0) +( 1)(-10) + 4 = = 0 Observação: os resíduos estão aumentando, progressivamente, em valor absoluto, quando se esperava que eles fossem aos poucos diminuindo. Dever-se-ia, possivelmente, tomar outros valores como estimativas iniciais da solução, ou reescrever o sistema (trocando de ordem as equações) e preparando-o de novo para a aplicação do método. Resposta à Questão 3 Trata-se de resolver o sistema 2x + y 3z = 7 x 4y + z = 4 3x y 2z = 2 com o emprego do Método da Relaxação, fazendo-se três iterações a partir de x = y = z = 1. Inicialmente, prepara-se o sistema. Trazendo os termos independentes para o lado esquerdo de cada equação, tem-se: 2x + y 3z + 7 = 0 x 4y + z - 4 = 0 3x y 2z - 2 = 0 Agora, dividindo-se cada equação pelo recíproco do valor do elemento da diagonal principal, vem: x + 0,5 y 1,5z + 3,5 = 0 0,25x y + 0,25z - 1 = 0 1,5x 0,5y z - 1 = 0 Pode-se então aplicar o método. 1ª iteração: Substituindo os valores da estimativa inicial: R 1 = [ 1](1) + [0,5](1) + [ 1,5](1) +3,5 = ,5-1,5 + 3,5 = 4 2,5 = 1,5 R 2 = [0,25](1) + [-1](1) + [0,25](1) -1 = 0, ,25 1 = 0,5-2 = -1,5 R 3 = [1,5](1) + [ 0,5](1) + [ 1](1) - 1 = 1,5 0,5 1 1 = 1,5-2,5 =

11 Soma dos valores absolutos dos resíduos: 1,5 + 1,5 + 1 = 4 2ª iteração: Os resíduos R 1 e R 2 têm o mesmo valor absoluto: 1,5. Escolhe-se arbitrariamente zerar o valor de R 1. Corrigindo-se o valor de x, obtém-se: x = 1 + 1,5 = 2,5. Os valores de y e z permanecem os mesmos: y = 1 e z = 1. Calculam-se os novos resíduos: R 1 = [ 1](2,5) + [0,5](1) + [ 1,5](1) +3,5 = -2,5 + 0,5-1,5 + 3,5 = 4 4 = 0 R 2 = [0,25](2,5) + [-1](1) + [0,25](1) -1 = 0, ,25 1 = 0,875-2 = -1,125 R 3 = [1,5](2,5) + [ 0,5](1) + [ 1](1) 1 = 3,75 0,5 1 1 = 3,75 2,5 = 1,25 Desta vez, o resíduo de maior valor absoluto é R 3 = 1,25. Soma dos valores absolutos dos resíduos: 0 + 1, ,25 = 2,375. 3ª iteração: O valor de z é corrigido: z = 1 + R 3 = 1 + 1,25 = 2,25. As outras variáveis mantêm os mesmos valores: x = 2,5; e y = 1. Com esses valores calculam-se os novos resíduos: R 1 = [ 1](2,5) + [(0,5](1) + [ 1,5](2,25) +3,5 = -2,5 + 0,5-3, ,5 = 4 5,875 = -1,875 R 2 = [0,25](2,5) + [-1](1) + [0,25]( 2,25) -1 = 0, , = 1, = 0,8125 R 3 = [1,5](2,5) + [ 0,5](1) + [ 1]( 2,25) - 1 = 3,75-0,5 2,25 1 = 3,75-3,75 = 0 Soma dos valores absolutos dos resíduos: 1, , = 2,6875. Os principais resultados são armazenados em uma tabela: 317

12 x 1 R 1 x 2 R 2 x 3 R 3 R i i = 1, 2, 3 1 1,5 1-1, , , ,25 2,375 2,5-1, ,8125 2,25 0 2,6875 Observação: A soma dos valores absolutos dos resíduos, R i i = 1, 2, 3, diminui da estimativa inicial (4) para a primeira iteração (2,375), mas cresceu logo a seguir (2,6875). Pode ser necessário efetuar mais iterações para se conseguir convergência mais nítida para a solução do sistema e para se obter resultados finais precisos. Professor: embora não tenha sido solicitado, usei a Regra de Cramer para obter x 1,41; y - 0,326; e z 1,28. Observo que, após três iterações, os valores obtidos pela Relaxação ainda estão consideravelmente distantes daqueles calculados com a Regra de Cramer. Resposta à Questão 4 Neste caso, constrói-se um algoritmo para implementar, computacionalmente, a aplicação do Método de Relaxação a um sistema de equações lineares com n incógnitas. Considera-se que o sistema dado não está preparado para essa aplicação, de modo que se faz necessário preparar o sistema preliminarmente ao uso do método. Por esse motivo, na Entrada dos Dados manda-se ler o valor de n, os elementos a ij (i, j = 1, 2,... n) da matriz A e os elementos c i do vetor C dos termos independentes. Também se mandam ler x i,1 que constituem as estimativas iniciais da solução do sistema. A quantidade máxima de iterações permitidas, itmax, e um valor pequeno, dmin, associado à precisão requerida na apresentação dos resultados. No Processamento dos Cálculos, prepara-se o sistema para a aplicação do Método da Relaxação. Nessa preparação trazem-se os termos independentes para o primeiro membro de cada equação e faz-se com que, na diagonal principal, todos os elementos sejam iguais a -1. Em seguida, executam-se as iterações, substituindo os valores das incógnitas nas equações e calculando-se os resíduos. O maior resíduo deve ser zerado alterando-se o valor da variável correspondente. Quando se alcançar a precisão desejada, então se interrompe o processo iterativo.... n. Na Saída dos Resultados, manda-se imprimir a resposta: x i,it em que i = 1, 2, 3, Inicialmente, representa-se o algoritmo por uma caixa preta que recebe a nome de Relaxação: 318

13 Dados a ij, c i, x i,1 i,j = 1,2,...,n itmax, dmin Relaxação Resultados x i,it i = 1,2,...,n Ao esquema gráfico inicial dado pela caixa preta corresponde a um esboço do algoritmo escrito em pseudolinguagem de programação. Tal esquema declara os tipos das variáveis mencionadas: ALGORITMO RELAXAÇÃO REAL A(30,30), C(30), X(30,100) REAL DMIN INTEIRO ITMAX INÍCIO FIM DO ALGORITMO RELAXAÇÃO. Abrindo-se a caixa preta para visualização de sua composição interna, distinguem-se as três caixas que correspondem aos blocos de instruções com as principais funcionalidades de um algoritmo numérico. As caixas pretas são: Entrada dos Dados, Processamento dos Cálculos e Saída dos Resultados. Dados A(I,J) C(I) X(I,1) I,J=1,2, N ITMAX DMIN RELAXAÇÃO ENTRADA DOS DADOS PROCES- SAMENTO DOS CÁLCULOS SAÍDA DOS RESUL- TADOS Resultados X(I,IT) I=1,2, N Em seguida, detalhando cada um dos três blocos de instruções, pode-se ter: 319

14 ALGORITMO RELAXAÇÃO REAL A(30,30), C(30), X(30,100), R(30) REAL DMIN, D, MAIOR INTEIRO ITMAX, IT, I, J, K, N INÍCIO (* ENTRADA DOS DADOS: *) LEIA N, ITMAX, DMIN PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA PARA (J DE 1 ATÉ N) FAÇA LEIA A(I,J) FIM PARA LEIA C(I), X(I,1) FIM PARA (* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *) (* PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS: *) (* PREPARAÇÃO DO SISTEMA: *) PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA SE (A(I,I) MAIOR 0) ENTÃO PARA (J DE 1 ATÉ N) FAÇA SE (I NÃO IGUAL J) ENTÃO A(I,J) = A(I,J)/(-A(I,I)) FIM SE FIM PARA C(I) = C(I)/A(I,J) FIM SE SE (A(I,I) MENOR 0) ENTÃO PARA (J DE 1 ATÉ N) FAÇA SE (I NÃO IGUAL J) ENTÃO A(I,J) A(I,J)/A(I,I) FIM SE FIM PARA C(I) = -C(I)/A(I,I) FIM SE A(I,I) = -1 FIM PARA (* FIM DA PREPARAÇÃO DO SISTEMA. *) (* APLICAÇÃO DA RELAXAÇÃO: *) IT = 1; D = ENQUANTO ((IT MENOR ITMAX) E (D MAIOR DMIN)) FAÇA (* CÁLCULO DOS RESÍDUOS: *) PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA R(I) = C(I) FIM PARA PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA 320

15 PARA (J DE 1 ATÉ N) FAÇA R(I) = R(I) + A(I,J)*X(J,IT) FIM PARA FIM PARA (* FIM DO CÁLCULO DOS RESÍDUOS. *) (* DETERMINAÇÃO DO MAIOR RESÍDUO: *) MAIOR = R(1) PARA (I DE 2 ATÉ N) FAÇA SE (ABS(R(I)) MAIOR ABS(MAIOR)) ENTÃO MAIOR = R(I); K = I FIM SE FIM PARA (* FIM DA DETERMINAÇÃO DO MAIOR RESÍDUO. *) (* ATUALIZAÇÃO DA VARIÁVEL: *) X(K,IT+1) = X(K,IT) + R(K) (* FIM DA ATUALIZAÇÃO DA VARIÁVEL. *) (* DETERMINAÇÃO DA PRECISÃO: *) D = 0 PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA D = D + ABS(R(I)) FIM PARA (* FIM DA DETERMINAÇÃO DA PRECISÃO. *) IT = IT + 1 FIM ENQUANTO (* FIM DA APLICAÇÃO DA RELAXAÇÃO. *) (* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS. *) (* SAÍDA DOS RESULTADOS: *) ESCREVA FORAM REALIZADAS, IT, ITERAÇÕES SE (D MENOR OU IGUAL DMIN) ENTÃO ESCREVA SOLUÇÃO DO SISTEMA: PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA ESCREVA X(,I, ) =,X(I,IT) FIM PARA FIM SE SE (D MAIOR DMIN) ENTÃO ESCREVA PRECISÃO NÃO ALCANÇADA FIM SE ESCREVA FIM (* FIM DA SAÍDA DOS RESULTADOS. *) FIM DO ALGORITMO RELAXAÇÃO. 321

16 PROVA 27 Introdução à Interpolação Polinomial FOLHA DE QUESTÕES: Questão 1 (dissertativa) Apresente um resumo de seu estudo sobre a interpolação polinomial. Nesse resumo, descreva o problema da interpolação e como esse problema pode ser resolvido com o emprego de polinômios. Se achar conveniente, construa gráficos e dê exemplos para ilustrar a sua exposição. Por favor, ocupe pelo menos uma página da prova com a sua resposta. Questão 2 (numérica) Considere a tabela dada a seguir. Usando a interpolação linear, obtenha f(3). Indique todas as operações efetuadas para a obtenção desse resultado. x 1,0 2,5 4,7 y = f(x) 2,2 5,4 3,7 Questão 3 (numérica) Empregue um polinômio interpolante do segundo grau para obter o valor de f(2,5) a partir dos pares de valores apresentados na tabela dada abaixo. Por favor, não deixe de indicar todas as operações efetuadas. x 1,2 2,3 3,6 y = f(x) 2,0 2,8 1,8 Questão 4 (algoritmo) Use a metodologia de refinamentos sucessivos para construir um algoritmo que automatize a interpolação linear. Na Entrada dos Dados devem ser lidos os pares de valores [x i ; y i = f(x i )] com i = 1, 2, 3,..., n, em que n representa a quantidade de pares de valores, e o valor de x para o qual se deseja obter o correspondente valor de y = f(x). No Processamento dos Cálculos, faça calcular esse valor de y. Na Saída dos Resultados mande imprimir o valor de x e o de seu correspondente y. Boa Prova! 322

17 RESPOSTAS: Resposta à Questão 1 Na interpolação tem-se um conjunto de n pares de valores: [x i, y i = f(x i )], i = 1, 2, 3,...n, que podem ser interpretados como pontos do gráfico de uma função f(x). Nessas circunstâncias, deseja-se conhecer o valor y k da função f(x), isto é, y k = f(x k ), correspondente a um valor de x k que pertence ao intervalo [x 1, x n ]. Naturalmente, x k x i, i = 1, 2, 3,...n. Para determinar y k = f(x k ) pode-se usar uma técnica de interpolação polinomial. Ligando por uma reta, p(x) = ax + b, o ponto que tem abscissa imediatamente menor do que x k e o ponto que tem abscissa imediatamente maior do que x k, obtém-se uma reta. Então, lê-se, sobre a reta assim traçada, ou calcula-se p(x k ) y k = f(x k ) Não há, verdadeiramente, necessidade de escolher os pontos com os quais se define a reta de interpolação da maneira como foi descrita acima. Entretanto, esse procedimento é freqüentemente razoável. Além da interpolação linear, pode-se usar uma interpolação quadrática, caso em que se passa uma parábola, isto é, um polinômio do segundo grau: p(x) = ax 2 + bx + c por três pontos da tabela, escolhidos convenientemente na área em que se pretende realizar a interpolação. A interpolação polinomial ainda pode ser cúbica, caso em que se usa uma curva do terceiro grau. Pode-se fazer a interpolação com o emprego de polinômios de grau ainda mais alto. Nem sempre é conveniente, contudo, usar polinômios de grau três ou superior, pois o resultado da interpolação pode não ser muito bom. Quanto aos dados, é preciso ficar atento ao fato de que a função y = f(x) deve ser contínua, pelo menos, na área em que se pretende realizar a interpolação. Se os pontos dados [x i, y i = f(x i )], i = 1, 2, 3,...n, tiverem sido bem escolhidos, tem-se uma boa representação da função f(x), mesmo que eles estejam bem espaçados. O espaçamento: não precisa ser constante. h i = x i+1 x i, i = 1, 2,..., n-1, Em qualquer caso de interpolação polinomial, em que se deseja ter a expressão analítica do polinômio interpolante, p(x), por exemplo, para fins de derivação, é preciso determinar os coeficientes do polinômio. No caso da reta, resolve-se um sistema de duas 323

18 equações lineares com duas incógnitas (a e b); no caso da parábola, um sistema de três equações lineares com três incógnitas (a, b e c); e assim por diante. Observação 1: Se x k está fora do intervalo [x 1, x n ], isto é, x k < x 1 ou x k > x n, então o procedimento adotado para a determinação de y k = f(x k ) é denominado, algumas vezes, extrapolação. Observação 2: Várias técnicas foram desenvolvidas com a finalidade de facilitar o uso da interpolação. Entre as técnicas mais importantes, é possível citar aquela que emprega os Polinômios de Lagrange e a que usa os Polinômios de Gregory-Newton. Resposta à Questão 2 - Usaremos a interpolação linear para obter f(3) a partir dos dados apresentados na tabela indicada abaixo x 1,0 2,5 4,7 f(x) 2,2 5,4 3,7 Como 2,5 < 3 < 4,7, tomaremos os pontos (2,5; 5,4) e (4,7; 3,7) para definir a reta interpolante que, nesse caso, pode ser escrita como: p(x) = ax + b Determinação dos coeficientes a e b da reta: Para x = 2,5, tem-se a(2,5) + b = 5,4. Para x = 4,7, tem-se a(4,7) + b = 3,7. Da primeira equação: a = [5,4 b]/(2,5). Substituindo esse resultado na segunda equação, (4,7)[5,4 b]/(2,5) + b = 3,7. Então, pode-se fazer o cálculo de b: [(4,7)(5,4) (4,7)b]/2,5 + b = 3,7, ou seja, [25,38 4,7 b]/2,5 + b = 3,7. Ou [10,152 1,88 b] + b = 3,7 Isto é, -0,88 b = -6,452 ou b = 7,332 Cálculo de a: a = (3,7 b)/4,7 a = (3,7 5,041)/4,7 ou a = -0,773 Conclusão: f(3) p(3) = -0,773 (3) + 7,332 = 5,013. Tem-se 3,7 < 5,013 < 5,4, indicando um resultado dentro das expectativas. 324

19 Resposta à Questão 3 Nesta resposta vamos empregar um polinômio do segundo grau p(x) = ax 2 + bx + c para obter o valor de f(2,5) a partir dos pares de valores dados no enunciado da questão. Construiremos um sistema de três equações lineares com três incógnitas para obter os coeficientes da parábola. Indicaremos todas as operações efetuadas. x 1,2 2,3 3,6 f(x) 2,0 2,8 1,8 Para x = 1,2, tem-se: a(1,2) 2 + b(1,2) + c = 2,0 Para x = 2,3, tem-se: a(2,3) 2 + b(2,3) + c = 2,8 Para x = 3,6, tem-se: a(3,6) 2 + b(3,6) + c = 1,8 Tem-se que 1,2 2 = 1,44; 2,3 2 = 5,29; 3,6 2 = 12,96 O sistema de equações lineares pode ser escrito na forma matricial: 1,44 1,2 1 a 2,0 5,29 2,3 1 b = 2,8 12,96 3,6 1 c 1,8 Esse sistema será resolvido pela Regra de Cramer. Os determinantes serão calculados com a Regra de Sarrus. Cálculo do determinante principal D da matriz dos coeficientes: 1,44 1,2 1 5,29 2,3 1 12,96 3,6 1 D = (1,44*2,3*1) + (1,2*1*12,96) + (1*3,6*5,29) (1*2,3*12,96) (1*3,6*1,44) (1*5,29*1,2) = 3, , ,044 29,808 5,184 6,348 = 37,908 41,340 = -3,432 Primeiro determinante característico D1: 2,0 1,2 1 2,8 2,3 1 1,8 3,6 1 D1 = (2,0*2,3*1) + (1,2*1*1,8) + (1*3,6*2,8) - (1*2,3*1,8) (1*3,6*2,0) (1*2,8*1,2) 325

20 = 4,60 + 2, ,08 4,14 7,20 3,36 = 16,84 14,7 = 2,14 Segundo determinante característico D2: 1,44 2,0 1 5,29 2,8 1 12,96 1,8 1 D2 = (1,44*2,8*1) + (2,0*1*12,96) + (1*1,8*5,29) - (1*2,8*12,96) (1*1,8*1,44) (1*5,29*2,0) = 4, ,92 + 9,522 36,288 2,592 10,58 = 39,474 49,46 = -9,986 Terceiro determinante característico D3: 2,0 1,2 2,0 2,8 2,3 12,8 1,8 3,6 1,8 D3 = (1,44*2,3*1,8) + (1,2*2,8*12,96) + (2,0*3,6*5,29) (2,0*2,3*12,96) (2,8*3,6*1,44) (1,8*5,29*1,2) = 5, , ,088 59,616 14, ,4264 = 87, ,5576 = 2,0376 Coeficientes da parábola: a = D1/D = 2,14/-3,432 = -0,6235 b = D2/D = -9,986/-3,432 = 2,91 c = D3/D = 2,0376/-3,432 = -0,594 Então, f(2,5) p(2,5) = -0,6235(2,5) 2 + 2,91(2,5) + (-0,594) f(2,5) -3, ,285 0,594 = 2,794 que é um resultado coerente com os dados. Resposta à Questão 4 Nesta questão usaremos a metodologia de refinamentos sucessivos para construir um algoritmo que automatize a interpolação linear. Dados n, x i, y i, i = 1,2,...,n xint INTPOLINEAR Resultados xint, yint 326

21 Na Entrada dos Dados devem ser lidos os pares de valores [x i ; y i = f(x i )] com i = 1, 2, 3,..., n, em que n representa a quantidade de pares de valores, e o valor de xint para o qual se deseja obter o correspondente valor de yint = f(xint). Na Saída dos Resultados espera-se ter o valor de xint e de seu correspondente yint. Um esboço preliminar do algoritmo, em versão literal, já pode ser apresentado: ALGORITMO INTPOLINEAR REAL X(10), Y(10) REAL XINT, YINT INTEIRO I, N INÍCIO... FIM DO ALGORITMO INTPOLINEAR. Agora, abre-se a caixa preta para visualização de três novas caixas pretas: Entrada dos Dados, Processamento dos Cálculos e Saída dos Resultados: INTPOLINEAR Dados N, X(I),Y(I) I = 1, 2,...,N XINT ENTRADA DOS DADOS PROCES- SAMENTO DOS CÁLCULOS SAÍDA DOS RESUL- TADOS Resultados XINT, YINT Detalhamento da Entrada dos Dados: (* ENTRADA DOS DADOS: *) LEIA N, XINT PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA LEIA X(I), Y(I) FIM PARA (* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *) Detalhamento do Processamento dos Cálculos: (* PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS: *) (* POSIÇÃO DE XINT NA TABELA: *) PARA (I DE 1 ATÉ N-1) FAÇA 327

22 SE (( X(I) MENOR XINT) E ( XINT MENOR X(I+1))) ENTÃO XA = X(I); YA = Y(I) XB = X(I+1); YB = Y(I+1) FIM SE FIM PARA (* DETERMINANTES DA MATRIZ: *) D = XA*1 1*XB D1 = YA*1 1*YB D2 = XA*YB YA*XB (* COEFICIENTES DA RETA: *) A = D1/D; B = D2/D (* INTERPOLAÇÃO: *) YINT = A*XINT + B (* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS. *) Detalhamento da Saída dos Resultados: (* SAÍDA DOS RESULTADOS: *) ESCREVA PARA X =, XINT ESCREVA TEM-SE Y =, YINT (* FIM DA SAÍDA DOS RESULTADOS. *) Reunindo os três blocos de instruções e definindo os tipos de todas as variáveis utilizadas, tem-se o algoritmo INTPOLINEAR em sua versão completa: ALGORITMO INTPOLINEAR REAL X(10), Y(10), XINT, YINT REAL XA, XB, D, D1, D2, A, B INTEIRO I, N INÍCIO (* ENTRADA DOS DADOS: *) LEIA N, XINT PARA (I DE 1 ATÉ N) FAÇA LEIA X(I), Y(I) FIM PARA (* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *) (* PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS: *) (* POSIÇÃO DE XINT NA TABELA: *) PARA (I DE 1 ATÉ N-1) FAÇA SE (( X(I) MENOR XINT) E ( XINT MENOR X(I+1))) ENTÃO 328

23 XA = X(I); YA = Y(I) XB = X(I+1); YB = Y(I+1) FIM SE FIM PARA (* DETERMINANTES DA MATRIZ: *) D = XA*1 1*XB D1 = YA*1 1*YB; D2 = XA*YB YA*XB (* COEFICIENTES DA RETA: *) A = D1/D; B = D2/D (* INTERPOLAÇÃO: *) YINT = A*XINT + B (* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS. *) (* SAÍDA DOS RESULTADOS: *) ESCREVA PARA X =, XINT ESCREVA TEM-SE Y =, YINT (* FIM DA SAÍDA DOS RESULTADOS. *) FIM DO ALGORITMO INTPOLINEAR. 329

24 PROVA 28 Interpolação com Splines FOLHA DE QUESTÕES: Questão 1 (dissertativa) - escreva um resumo do tópico Interpolação com Splines. Por favor, produza um texto com, no mínimo, uma página. De modo condensado, apresente: (a) as principais definições; (b) as condições que devem ser estabelecidas para garantir que a solução teórica mantenha as características da solução gráfica; e (c) uma breve indicação da dedução das fórmulas. Se achar conveniente, enriqueça a sua apresentação com um gráfico que ilustre a curva spline S 3 (x) mostrando as partes em que ela é dividida: s 1 (x), s 2 (x),..., s n (x). Questão 2 (numérica) Por favor, use a teoria de interpolação com a Spline Cúbica Natural para obter a expressão algébrica de s 1 (x) a partir da tabela dada abaixo: i x i 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 y i = f(x i ) 2,0 2,3 2,0 2,1 2,2 Questão 3 (numérica) Empregue a interpolação com a Spline Cúbica Natural para obter y = f(0,13) a partir da tabela dada abaixo. Se desejar, reutilize os resultados obtidos na resposta à questão anterior. Por favor, indique todas as operações efetuadas. x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 y = f(x) 2,0 2,3 2,0 2,1 2,2 Questão 4 (algoritmo) Construa um algoritmo para utilizar, de maneira automática, no computador, uma interpolação para a função y = f(x) com a Spline Cúbica Interpolante Natural. Na Entrada de Dados, faça-o ler as abscissas e as ordenadas [x i, y i ] i = 0, 1, 2,..., n dos pontos que serão empregados na interpolação, assim como um valor para a variável x int, para a qual se deseja obter y int = f(x int ). Boa Prova! 330

25 RESPOSTAS: Resposta à Questão 1 Uma spline é uma régua de material flexível que se adapta bem a uma distribuição de pontos do gráfico de uma função contínua. Quando é empregada, ela permite traçar uma curva que se aproxima do gráfico da função. Desse modo, pode-se fazer uma interpolação de maneira gráfica, buscando, para valores de x não tabelados, os correspondentes valores de y sobre a curva traçada com a régua. Entretanto, os cientistas fizeram um tratamento matemático desse tipo de interpolação. As curvas, nesse caso, são denominadas de splines e podem ser de diferentes graus. As curvas splines de terceiro grau correspondem a polinômios de grau três. Quando, para essas curvas, se estabelecem certas condições, têm-se as Splines Cúbicas Naturais, que são muito empregadas na prática da ciência e da técnica. Por esse motivo, são estudadas em muitos cursos universitários. A spline cúbica pode ser representada por S 3 (x) Ela é uma função polinomial do terceiro grau por partes, quer dizer, cada uma de suas partes, s k (x), é um polinômio de grau três: s k (x) = A k (x-x k ) 3 + B k (x-x k ) 2 + C k (x-x k ) + D k A função s k (x) é uma cúbica no intervalo [x k-1, x k ]. O índice k assume os valores: 1, 2,..., n. Apesar de S 3 (x) ser constituída de vários polinômios concatenados, o seu gráfico tem um aspecto de ondulações suaves, isto é, sem variações bruscas de curvatura. Para garantir esse aspecto, a construção de S 3 (x) precisa assumir uma série de condições, entre as quais, ter as derivadas de primeira e segunda ordem como funções contínuas. Y s 1 (x) s 2 (x) S 3 (x) X x 0 x 1 x 2 x n 331

26 Importante: a determinação de S 3 (x) exige o cálculo de quatro coeficientes para cada k (cada polinômio s k (x)), perfazendo o total de 4n coeficientes. Para s 1 (x): A 1 B 1 C 1 D 1 Para s 2 (x): A 2 B 2 C 2 D 2... Para s n (x): A n B n C n D n As expressões que permitem calcular os valores desses coeficientes são as seguintes: A k = [s k (x k ) s k-1 (x k-1 )]/6h k B k = [s k (x k )]/2 C k = {[f(x k ) f(x k-1 )]/h k } + [2 h k s k (x k ) + h k s k-1 (x k-1 )]/6 D k = f(x k ) Nessas expressões, o símbolo s k (x k ) representa a derivada de segunda ordem da função s k (x) calculada para x = x k. O índice k pode assumir os seguintes valores: 0, 1,..., n. Como, na spline natural, as réguas iniciam e terminam como retas, então s 0 (x 0 ) = 0 (no início da régua spline) e s n (x n ) = 0 (no final da régua spline). Já, h k = x k x k-1 está associado ao espaçamento das abscissas. Esse espaçamento pode ser constante ou variável. Resposta à Questão 2 Neste caso, têm-se cinco pontos, logo, n = 4. A Spline Cúbica Natural S 3 vai ser usada para se obter a expressão algébrica de s 1 (x) correspondente aos dados. i x i 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 y i = f(x i ) 2,0 2,3 2,0 2,1 2,2 A expressão procurada tem o seguinte formato geral: s k (x) = A k (x-x k ) 3 + B k (x-x k ) 2 + C k (x-x k ) + D k 332

27 Para k = 1, tem-se s 1 (x) = A 1 (x-x 1 ) 3 + B 1 (x-x 1 ) 2 + C 1 (x-x 1 ) + D 1 O valor de x 1 pode ser lido na tabela: x 1 = 0,1. É preciso determinar os valores dos coeficientes A 1, B 1, C 1 e D 1. Essa determinação envolve o cálculo das derivadas de segunda ordem: Para simplificar a notação, faz-se s k (x k ), em que k = 0, 1, 2, 3, 4. s k (x k ) = z k, k = 0, 1, 2, 3, 4. Como a spline cúbica é do tipo natural, então z 0 = z 4 = 0 Determinam-se as outras três derivadas de segunda ordem, isto é, z 1, z 2 e z 3, com a resolução do sistema de três equações lineares com três incógnitas: AZ = W, em que a matriz A tem os seguintes elementos: A = 2(h 1 + h 2 ) h 2 0 h 2 2(h 2 + h 3 ) h 3 0 h 3 2(h 3 + h 4 ) Em que o espaçamento é constante: h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = 0,1. De modo que se obtém: A = 0,4 0,1 0,0 0,1 0,4 0,1 0,0 0,1 0,4 O vetor dos termos independentes é W = 6[(y 2 y 1 )/h 2 (y 1 y 0 )/h 1 ] 6[(y 3 y 2 )/h 3 (y 2 y 1 )/h 2 ] 6[(y 4 y 3 )/h 4 (y 3 y 2 )/h 3 ] Substituindo os valores: W = 6[(2,0 2,3)/0,1 (2,3 2,0)/ 0,1] 6[(2,1 2,0)/ 0,1 (2,0 2,3)/ 0,1] 6[(2,2 2,1)/ 0,1 (2,1 2,0)/ 0,1] Efetuando os cálculos: 333

28 W = O sistema AW = Z pode ser resolvido pela Regra de Cramer. Cálculo dos determinantes: det = (0,4)(0,4)(0,4) (0,1)(0,1)(0,4) (0,4)(0,1)(0,1) = 0,064 0,004 0,004 = 0,056 det1 = ( 36)(0,4)(0,4) (0,1)(0,1)(36) (0,4)(24)(0,1) = 5,76 0,36 0,96 = 7,08 det2 = (0,4)(24)(0,4) (0,4)(0,1)( 36) = 3,84 + 1,44 = 5,28 det3 = ( 36)(0,1)(0,1) 0 (24)(0,1)(0,4) 0 = 0,36 0,96 = 1,32 Daí vem a solução do sistema: z 1 = det1/det = 7,08/0,056 = 126,4 z 2 = det2/det = 5,28/0,056 = 94,29 z 3 = det3/det = 1,32/0,056 = 23,57 Agora, pode-se obter cada um dos coeficientes de s 1 (x), considerando k = 1: A 1 = [z 1 z 0 ][(6)(h 1 )] = [ 126,4 0]/[(6)(0,1)] = 210,7 B 1 = z 1 /2 = 126,4/2 = 63,2 C 1 = {[y 1 y 0 ]/h 1 } + [2 h 1 z 1 + h 1 z 0 ]/6 = {[2,3 2,0]/0,1} + [2(0,1)( 126,4) + (0,1)(0)]/6 = 1,213 D 1 = y 1 = 2,3 Então, s 1 (x) = 210,7 (x - 0,1) 3 63,2 (x - 0,1) 2 1,213 (x - 0,1) + 2,3 Resposta à Questão 3 Neste caso, deseja-se empregar a interpolação com a Spline Cúbica Natural para o cálculo de y = f(0,13) a partir dos dados apresentados na tabela i x i 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 y i = f(x i ) 2,0 2,3 2,0 2,1 2,2 334

29 Podem-se reutilizar os valores obtidos na resposta à questão anterior. Assim, como 0,13 pertence ao intervalo [0,1; 0,2], utiliza-se o polinômio: s 3 (x) = A 3 (x-x 3 ) 3 + B 3 (x-x 3 ) 2 + C 3 (x-x 3 ) + D 3 O cálculo de seus coeficientes pode ser realizado com os valores das derivadas de segunda ordem já obtidos na questão anterior: z 0 = 0; z 1 = 126,4; z 2 = 94,29; z 3 = 23,57; z 4 = 0 A 3 = [z 3 z 2 ]/[(6)(h 3 )] = [ 23,57 94,29]/[(6)(0,1)] = 117,86/0,6 = 196,43 B 3 = [z 3 ]/2 = 23,57/2 = 11,785 C3 = {[y 3 y 2 ]/h 3 }+ [2 h 3 z 3 + h 3 z 2 ]/6 = {[2,1 2,0]/0,1}+ [2(0,1)( 23,57) + (0,1)( 94,29)]/6 = {1} + [ 4, ,429]/6 = 1 + 0,7858 = 1,7858 D 3 = y 3 = 2,1 Assim, f(0,13) s 3 (0,13) = 196,43 (0,13 0,3) 3 11,785 (0,13 0,3) 2 + 1,7858 (0,13 0,3) + 2,1 = 0,9651 0,3406 0, ,1 = 2,42 Conclusão: f(0,13) 2,42 que é um valor dentro das expectativas. Resposta à Questão 4 Nesta questão, constrói-se um algoritmo para realizar uma interpolação para a função y = f(x) com a Spline Cúbica Interpolante Natural. Considera-se que são fornecidas as coordenadas cartesianas de cinco pontos. Também é dado o valor de x int para o qual se deseja y int. O espaçamento pode ser variável: h i = x i+1 x i, i = 0, 1, 2, 3. Inicialmente, desenha-se a caixa preta que representa o algoritmo no mais alto nível de abstração: x int, x i, y i, i = 0,1,2,3,4 xint Dados SPLINES Resultados x int, y int 335

30 Na Entrada dos Dados manda-se ler o valor x int (valor de x para o qual se quer fazer a interpolação). Manda-se ler cada um dos os pares de valores [x i ; y i = f(x i )] com i = 0, 1, 2, 3, 4. Na Saída dos Resultados espera-se apresentar o valor de x in t e de seu correspondente y int = f(x int ). Segue um esboço preliminar do algoritmo, desta vez, em versão literal: ALGORITMO SPLINES REAL X(5), Y(5) REAL XINT, YINT INTEIRO I INÍCIO... FIM DO ALGORITMO SPLINES. Em seguida, na segunda etapa de desenvolvimento do algoritmo, abre-se a caixa preta para visualização de seu interior. Surgem três novas caixas pretas: Entrada dos Dados; Processamento dos Cálculos; e Saída dos Resultados. SPLINES Dados XINT X(I),Y(I) I = 0,1...4 ENTRADA DOS DADOS PROCES- SAMENTO DOS CÁLCULOS SAÍDA DOS RESUL- TADOS Resultados XINT, YINT Então, detalham-se os três blocos internos. Os blocos de Entrada dos Dados e de Saída dos Resultados formalizam o comportamento já descrito acima. O bloco de Processamento dos Cálculos, por sua vez, por ter mais complexidade, pode ser repartido em cinco etapas: 1. Construção do sistema (matriz A e vetor W dos termos independentes) 2. Resolução do sistema pela Regra de Cramer (cálculo de determinantes) 3. Localização de x int no intervalo de interpolação 4. Cálculo dos coeficientes A k, B k, C k e D k do s k (x) a que pertence x int. 5. Cálculo de y int. 336

31 As segundas derivadas de f(x), isto é, s k (x k ), k = 0, 1,..., 4 são denotadas no algoritmo por Z(0), Z(1),..., Z(4). Os valores de Z(0) e de Z(4) são nulos porque trabalha-se com a spline cúbica natural. Já, os valores de Z(1), Z(2) e de Z(3) são obtidos através da resolução de um sistema de três equações lineares com essas três incógnitas. ALGORITMO SPLINE (* REALIZA INTERPOLAÇÃO COM SPLINE CÚBICA NATURAL, CONSIDERANDO CINCO PONTOS COM ESPAÇAMENTO VARIÁVEL. *) REAL XINT, YINT, DET, DET1, DET2, DET3 REAL X(5), Y(5), W(3), Z(3) REAL AS(4), BS(4), CS(4), DS(4), H(4) REAL A(3, 3) INTEIRO I, K, N INÍCIO (* ENTRADA DOS DADOS: *) LEIA XINT PARA (I DE 0 ATÉ 4) FAÇA LEIA X(I), Y(I) FIM PARA (* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *) (* PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS: *) (* CÁLCULO DOS ESPAÇAMENTOS: *) PARA (I DE 1 ATÉ 4) FAÇA H(I) = X(I) X(I 1) FIM PARA (* FIM DO CÁLCULO DOS ESPAÇAMENTOS. *) (* CONSTRUÇÃO DO SISTEMA: *) (* CONSTRUÇÃO DA MATRIZ A: *) A(1,1) = 2*(H(1)+H(2)); A(1,2) = H(2); A(1,3) = 0 A(2,1) = H(2); A(2,2) = 2*(H(2)+H(3)); A(2,3) = H(3) A(3,1) = 0; A(3,2) = H(3); A(3,3) = 2*(H(3)+H(4)) (* FIM DA CONSTRUÇÃO DA MATRIZ A. *) (*VETOR W DOS TERMOS INDEPENDENTES: *) 337

32 W(1) = 6*((Y(2)-Y(1))/H(2) (Y(1)-Y(0))/H(1)) W(2) = 6*((Y(3)-Y(2))/H(3) (Y(2)-Y(1))/H(2)) W(3) = 6*((Y(4)-Y(3))/H(4) (Y(3)-Y(2))/H(3)) (* FIM DO VETOR W DOS TERMOS INDEPENDENTES. *) (* FIM DA CONSTRUÇÃO DO SISTEMA AZ = W. *) (* RESOLUÇÃO DO SISTEMA POR CRAMER: *) (* DETERMINANTE PRINCIPAL: *) DET= A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(1,3)*A(3,2)*A(2,1)- A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,3)*A(1,1)-A(3,3)*A(2,1)*A(1,2) (* PRIMEIRO DETERMINANTE CARACTERÍSTICO: *) DET1=W(1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*W(3)+A(1,3)*A(3,2)*W(2) -A(1,3)*A(2,2)*W(3)-A(2,3)*A(3,2)*W(1)-A(3,3)*W(2)*A(1,2) (* SEGUNDO DETERMINANTE CARACTERÍSTICO: *) DET2=A(1,1)*W(2)*A(3,3)+W(1)*A(2,3)*A(3,1)+A(1,3)*W(3)*A(2,1) -A(1,3)*W(2)*A(3,1)-A(2,3)*W(3)*A(1,1)-A(3,3)*A(2,1)*W(1) (* TERCEIRO DETERMINANTE CARACTERÍSTICO: *) DET3=A(1,1)*A(2,2)*W(3)+A(1,2)*W(2)*A(3,1)+W(1)*A(3,2)*A(2,1) -W(1)*A(2,2)*A(3,1)-W(2)*A(3,2)*A(1,1)-W(3)*A(2,1)*A(1,2) (* SOLUÇÃO DO SISTEMA: *) Z(1) = DET1/DET; Z(2) = DET2/DET; Z(3) = DET3/DET (* FIM DA RESOLUÇÃO DO SISTEMA POR CRAMER. *) (* LOCALIZAÇÃO DE XINT: *) I = 0 ENQUANTO (I MENOR OU IGUAL 4) FAÇA SE ((XINT MAIOR X(I)) E (XINT MENOR X(I+1))) ENTÃO K = I+1 I = 5 FIM SE I = I + 1 FIM ENQUANTO (* FIM DA LOCALIZAÇÃO DE XINT. *) (* CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE SK(X): *) AS(K) = (Z(K) Z(K-1))/(6*H(K)) BS(K) = Z(K)/2 338

33 CS(K) = (Y(K) Y(K-1))/H(K) + (2*H(K)*Z(K) + Z(K-1)*H(K))/6 DS(K) = Y(K) (* FIM DO CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE SK(X). *) (* CÁLCULO DE YINT = SK(XINT): *) YINT = AS(K)*(XINT X(K))*(XINT X(K))*(XINT X(K))+ BS(K)*(XINT X(K))*(XINT X(K))+ CS(K)*(XINT X(K))+ DS(K) (* FIM DO CÁLCULO DE YINT = SK(XINT). *) (* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS. *) (* SAÍDA DOS RESULTADOS: *) ESCREVA INTERPOLAÇÃO COM SPLINE NATURAL ESCREVA PARA X =, XINT, ESCREVA TEM-SE Y =, YINT (* FIM DA SAÍDA DOS RESULTADOS. *) FIM DO ALGORITMO SPLINE. Relatório que será produzido na execução do algoritmo: INTERPOLAÇÃO COM SPLINES PARA X =... TEM-SE Y =

34 PROVA 29 Integração Gaussiana FOLHA DE QUESTÕES: Questão 1 (dissertativa) Descreva alguns dos aspectos mais importantes da Integração Gaussiana. Se achar conveniente, apresente fórmulas e figuras para ilustrar e enriquecer sua descrição. Por favor, não ocupe menos do que uma página. Questão 2 (numérica) Use o Método de Gauss-Legendre com Dois Pontos para obter o valor da integral definida: 2,0 I = ( 4x 4 12)dx 0,0 Por favor, apresente a indicação de todos os cálculos efetuados. Compare o resultado com o valor exato da integral. Questão 3 (numérica) Por favor, considere a função f(x) = sen(x) 3x + 1. Calcule a integral definida de f(x) com os seguintes limites de integração: limite inferior: a = 0,8; limite superior: b = 1,0. Utilize a Integração Gaussiana com dois pontos: em que I = A 0 F(t 0 ) + A 1 F(t 1 ) F(t) = [(b a)/2]f{[(b a)/2]t + [(b + a)/2]}; A 0 = A 1 = 1; t 0 = - 1/ 3 ; e t 1 = 1/ 3. Questão 4 (algoritmo) Elabore um algoritmo para automatizar a aplicação do Método de Gauss no caso da integração da função f(x) = 3e x/2. Por favor, na Entrada dos Dados, mande ler a e b, os limites de integração; no Processamento dos Cálculos, faça obter o valor da integral I; e, na Saída dos Resultados, mande escrever o valor de I. Boa Prova! 340

35 RESPOSTAS: Resposta à Questão 1 A integração gaussiana (Método de Gauss-Legendre) é um poderoso recurso de natureza numérica para o cálculo de integrais definidas. Isto, porque, em vários casos práticos, a aplicação desse método leva a resultados bastante precisos. Entretanto, emprega-se a integração gaussiana quando é difícil realizar a integração por processos analíticos. Diferentemente de outros métodos, tais como os métodos de Newton-Côtes, entretanto, para o emprego do Método de Gauss-Legendre é preciso conhecer a expressão algébrica da função integranda. Quer dizer, para se obter, pelo Método de Gauss-Legendre, o valor da integral I = b a f ( x) dx é preciso que se conheça a expressão algébrica que define f(x), além do valor de a (limite inferior do intervalo de integração) e do valor de b (limite superior desse intervalo). De posse dessas informações, pode-se utilizar a integração gaussiana em diferentes modalidades: No caso de se considerar dois pontos (recurso mais simples), tem-se em que e b I = a f ( x) dx I G2 = A 0 F(t 0 ) + A 1 F(t 1 ) F(t) = [(b a)/2]f{[(b a)/2]t + (b a)/2} A 0 = A 1 = 1; t 0 = 1/ 3 0, ; e t 1 = +1/ 3 +0, Já, no caso de se empregar a integração gaussiana com quatro pontos (recurso que permite resultados mais precisos que a abordagem anterior), tem-se 341

36 b I = a em que, por sua vez, f ( x) dx IG4 = A 0 F(t 0 ) + A 1 F(t 1 ) + A 2 F(t 2 ) + A 3 F(t 3 ) A 0 = A 3 = 0, ; A 1 = A 2 = 0, t 0 = 0, ; t 1 = 0, ; t 2 = 0, ; e t 3 = 0, Resposta à Questão 2 Neste caso, pede-se I = ( 4x 12) dx, considerando, portanto, os limites de integração: limite inferior: 0,0; e limite superior: 2,0. Isto é, neste caso, tem-se a = 0,0 e b = 2,0. A função a integrar é f(x) = 4x Como se vai usar o Método de Gauss com dois pontos, tem-se: Em que A 0 = A 1 = 1; 2,0 0,0 I I G2 = A 0 F(t 0 ) + A 1 F(t 1 ) t 0 = 1/ 3 0, ; e t 1 = +1/ 3 +0, Além disso, F(t) = [(b a)/2]f{[(b a)/2]t + (b a)/2} Isto é, F(t) = [(2 0)/2]f{[(2 0)/2]t + (2 0)/2} F(t) = f(t + 1) F(t) = 4(t + 1) 4 12 Então, I I G2 = 1[4(t 0 + 1) 4 12] + 1[4(t 1 + 1) 4 12] 342

37 I I G2 = [4( 1/ 3 + 1) 4 12] + [4(1/ 3 + 1) 4 12] I I G2 = [4( 0, ) 4 12] + [4(0, ) 4 12] I I G2 = 4(0, ) 4 + 4(1, ) 4 24 I I G2 = 0, , I I G2 = 0, Cálculo do valor exato para comparação com o resultado numérico: I = (4/5)x 5 12x Considerando os limites de integração: I = [(4/5)2 5 12(2)] [(4/5)0 5 12(0)] I = [(4/5)2 5 12(2)] I = (4/5)(32) 24 I = 1,6 Conclusão: neste caso particular, existe considerável diferença entre o valor calculado numericamente (I G2 = 0, ) e o valor obtido por meio analítico (I = 1,6). Tal se dá, possivelmente, devido à natureza da função integranda (uma quártica). Pode-se tentar obter uma resposta mais precisa com o emprego, por exemplo, da Integração Gaussiana com Quatro Pontos.. Resposta à Questão 3 Nesta questão calcula-se a integral isto é, pelo Método de Gauss com dois pontos: 1,0 1,0 I = 0,8 f ( x) dx I = [ sen ( x) 3x 1] dx 0,8 em que I G2 A 0 F(t 0 ) + A 1 F(t 1 ) a = 0,8; b = 1,0; 343

38 F(t) = [(b a)/2]f{[(b a)/2]t + [(b + a)/2]}; A 0 = A 1 = 1; t 0 = - 1/ 3-0, ; e t 1 = 1/ 3 0, Ora, [(b a)/2] = [(1,0 0,8)/2] = 0,2/2 = 0,1 [(b + a)/2] = [(1,0 + 0,8)/2] = 1,8/2 = 0,9 Assim, f{[(b a)/2]t 0 + [(b + a)/2]} = f{[0,1](- 0, ) + [0,9]} = f{0,842265} = sen(0,842265) 3(0,842265) + 1 = 0, , = -0, f{[(b a)/2]t 1 + [(b + a)/2]} = f{[0,1](0, ) + [0,9]} = f{0,957735} = sen(0,957735) 3(0,957735) + 1 = 0, , = -1, Desse modo, obtém-se I F(t 0 ) + F(t 1 ) = [(b a)/2]f{[(b a)/2]t 0 + [(b + a)/2} + [(b a)/2]f{[(b a)/2]t 1 + [(b + a)/2]} = [0,1](-0, ) + [0,1](-1, ) = -0, ,0 Conclusão: I = [ sen ( x) 3x 1] dx -0, ,8 Resposta à Questão 4 Constrói-se a caixa preta inicial: a, b Dados Gauss_2 f(x) = 3e x/2. Resultados I 344

39 São dados os limites de integração a e b. O resultado esperado é I, o valor da integral. Agora, pode-se esboçar o algoritmo Gauss_2 em forma literal correspondente ao esquema gráfico dado pela caixa preta: ALGORITMO GAUSS_2 REAL A, B, I, A0, A1, T0, T1 REAL X0, X1, FT0, FT1 F(X) = = 3*EXP(-X/2) INÍCIO FIM DO ALGORITMO GAUSS_2. A caixa preta inicial contém, em sua composição interna, as três caixas que correspondem aos blocos de instruções com as principais funcionalidades do algoritmo. Tais caixas pretas internas são: Entrada dos Dados, Processamento dos Cálculos e Saída dos Resultados. Dados A, B GAUSS_2 ENTRADA DOS DADOS PROCES- SAMENTO DOS CÁLCULOS SAÍDA DOS RESUL- TADOS Resultados I F(X) = = 3*EXP(-X/2) Detalhando cada um dos três blocos de instruções, pode-se ter: ALGORITMO GAUSS_2 (* CALCULA O VALOR DA INTEGRAL DEFINIDA I DE UMA FUNÇÃO F(X) COM O USO DO MÉTODO DE GAUSS-LEGENDRE COM DOIS PONTOS. *) 345

40 INÍCIO REAL A, B, I, A0, A1, T0, T1 REAL X0, X1, FT0, FT1 F(X) = 3*EXP(-X/2) (* ENTRADA DOS DADOS: *) LEIA A, B (* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *) (* PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS: *) A0 = 1; A1 = 1; T0 = -1/SQRT(3); T1 = 1/SQRT(3) X0 = ((B-A)/2)*T0 + (B+A)/2 X1 = ((B-A)/2)*T1 + (B+A)/2 FT0 = ((B-A)/2)*F(X0) FT1 = ((B-A)/2)*F(X1) I = A0*FT0 + A1*FT1 (* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CÁLCULOS. *) (* SAÍDA DOS RESULTADOS: *) ESCREVA INTEGRAL =, I (* FIM DA SAÍDA DOS RESULTADOS. *) FIM DO ALGORITMO GAUSS_2. 346

41 PROVA 30 Método de Euler FOLHA DE QUESTÕES: Questão 1 (dissertativa) Escreva um resumo, de pelo menos uma página de extensão, para apresentar os principais aspectos da abordagem numérica aos problemas de valor inicial com o Método de Euler. Por favor, não deixe de referir-se à obtenção da fórmula de Euler. Também procure enriquecer seu resumo com um gráfico que ilustre o fenômeno da propagação de erros quando o valor da solução numérica é comparado com o valor exato da solução do mesmo problema. Questão 2 (numérica) - empregue o Método de Euler para resolver o seguinte problema de valor inicial: y = 3 y 5 x 2 Para x = 0,5 tem-se y = 1,2. Resolva-o no intervalo de integração [ 0,5; 0,7 ] com passo constante h = 0,1. Indique todas as operações efetuadas. Por favor, apresente os resultados na forma de uma tabela com o seguinte cabeçalho: i x i y i (Euler) y i (Eq. Dif.) Questão 3 (numérica) Use o Método de Euler, e a substituição y = z, para resolver o seguinte problema de valor inicial de segunda ordem: y = 3xy 2 y 3, sendo que, para x = 0 tem-se y = 1 e y = -2. O problema deve ser resolvido no intervalo de integração [0,0; 0,6] com passo constante h = 0,2. Por favor, indique todas as operações efetuadas. Preencha uma tabela com o seguinte cabeçalho: i x i y i (Euler) y i = z i (Euler) y i = z i (Equação Diferencial) Questão 4 (algoritmo) - Construa um algoritmo para empregar o Método de Euler na resolução de um problema de valor inicial com a equação diferencial de primeira ordem: y = 3 y 5 x 2 Boa Prova! 347

42 RESPOSTAS: Resposta à Questão 1 Um problema de valor inicial de ordem n é constituído de uma equação diferencial ordinária de ordem n e de igual número (n) de condições iniciais. Assim, se a equação é de primeira ordem, tem-se apenas uma condição inicial. Por exemplo: y = 4xy 2 2x -7 (equação diferencial) Para x = 1 tem-se y = -8 (condição inicial) Um problema dessa natureza pode ser resolvido pelo Método de Euler em um pequeno intervalo de integração [x 1, x n ], digamos de x 1 = 1,0 até x n = 1,5, com passo constante h = 0,1. Não convém que o intervalo [x 1, x n ] seja grande porque pode haver acúmulo de erros de arredondamento e de truncamento, ao longo do processo de integração, levando a resultados muito distantes dos valores exatos. Pelos mesmos motivos, também o valor do passo, h, não deve ser grande. O passo, entretanto, não precisa ser constante. Ele pode variar ao longo do intervalo de integração: h i, com i = 1, 2,... O Método de Euler é um método direto, isto é, não iterativo e, além disso, é um método de passo simples, quer dizer, para se obter o valor da solução no ponto seguinte é bastante dispor de informações no ponto anterior. Essas informações são o valor da função, y, e o de sua derivada, y. A cada passo da resolução de um problema de valor inicial emprega-se a fórmula: y i+1 = y i + h i y i com i = 1, 2,... A fórmula empregada para o cálculo dos valores da função solução do problema de valor inicial pode ser obtida por truncamento da Série de Taylor: y i+1 = y i + hy i + (h/2)y i +... De modo que, considerando apenas os dois primeiros termos da série obtém-se y i+1 y i + hy i 348

43 O fato de o valor de y i+1 ser calculado apenas aproximativamente resulta em um erro que pode se propagar ao longo do intervalo de integração. Esse fenômeno pode ser visualizado pela figura apresentada a seguir. Nela, a linha cheia corresponde aos valores exatos da solução, enquanto que a linha tracejada corresponde aos valores obtidos com o emprego do Método de Euler: Y Resposta à Questão 2 Aqui se emprega o Método de Euler para resolver o problema de valor inicial de primeira ordem: y = 3 y 5 x 2 Para x = 0,5 tem-se y = 1,2. X no intervalo de integração [ 0,5; 0,7 ] com passo constante h = 0,1. i = 1: x 1 = 0,5; y 1 = 1,2 (condição inicial) y 1 = 3 y 1 5x 1 2 (equação diferencial) y 1 = 3 (1,2) 5 (0,5) 2 = 3,6 2,5 2 = 3,6 4,5 = -0,9 i = 2: x 2 = x 1 + h = 0,5 + 0,1 = 0,6 y 2 = y 1 + hy 1 (Euler) y 2 = 1,2 + (0,1)(-0,9) = 1,2 0,09 = 1,11 y 2 =3y 2 5x 2 2 (equação diferencial) y 2 = 3 (1,11) 5 (0,6) 2 = 3,33 3,0 2 = 3,33 5,0 = -1,67 i = 3: x 3 = x 2 + h = 0,6 + 0,1 = 0,7 y 3 = y 2 + hy 2 (Euler) y 3 = 1,11 + (0,1)(-1,67) = 1,11 0,167 = 0,943 y 3 =3y 3 5x 3 2 (equação diferencial) y 3 = 3 (0,943) 5 (0,7) 2 = 2,829 3,5 2 = 2,829 5,5 = -2,

44 i x i y i (Euler) y i (Eq. Dif.) 1 0,5 1,2 (condição inicial) -0,9 2 0,6 1,11-1,67 3 0,7 0,943-2,671 Resposta à Questão 3 Us-se o Método de Euler, e a substituição y = z, para resolver o problema de valor inicial de segunda ordem: y = 3xy 2 y 3, com a condição inicial: para x = 0, tem-se y = 1 e y = -2. Considerando a substituição y = z, tem-se o sistema de duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: y = z z = 3xy z -3 com a condição inicial: para x = 0, tem-se y = 1 e y = z -2. O problema é resolvido no intervalo de integração [0,0; 0,6] com passo constante h = 0,2. i x i y i (Euler) y i = z i (Euler) 1 0, ,2 0,6-2,2-0, ,4 0,16-2,3456-3,0832 y i = z i (Equação Diferencial) 4 0,6-0, , ,