PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA

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1 PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA Lilian de Souza Vismara Mestre Eng. Elétrica ESSC / USP Licenciada em Matemática UFSCar

2 PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA NOÇÕES DE PROBABILIDADE Lilian de Souza Vismara Mestre Eng. Elétrica ESSC / USP Licenciada em Matemática UFSCar

3 Existem dois tipos de problema Aqueles que podemos responder com certeza Aqueles que só podemos ter uma ideia da resposta Se uma conta de R$100 é dividida igualmente entre 5 pessoas, quanto cada pessoa vai pagar? Cinco pessoas vão a um restaurante. Quanto tempo eles vão demorar para serem atendidos?

4 Probabilidades servem para dar boas respostas a problemas que não possuem respostas exatas. Qual vai ser o grau de infestação no campo por uma determinada espécie daninha no próximo ano? Qual vai ser a perda de rendimento da cultura infestada? responder problemas de respostas exatas caras ou impraticáveis. Qual é a altura média da população brasileira? Qual é o volume de madeira de uma floresta plantada? Vamos aprender a resolver esses problemas. A Teoria das Probabilidades estuda os fundamentos matemáticos por trás desses problemas.

5 Existem dois tipos de problema Problemas em que é possível determinar a resposta são chamados de determinísticos. São comuns em áreas exatas, como Física, Química e Matemática. Problemas em que a resposta só pode ser estimada são chamados de probabilísticos ou estocásticos. São esses os problemas mais comuns nas Ciências, Engenharias, Medicina, etc.

6 Experimento/Variável aleatório/a

7 Espaço amostral

8 Espaço amostral: Exemplo

9 Calculando espaços amostrais EXEMPLO 1: Qual é o tamanho do espaço amostral de três lançamentos de uma moeda? Resultados possíveis de cada lançamento: (N) = 2 (cara ou coroa). Quantas vezes será lançada? (n) = 3 vezes. Tamanho do espaço amostral N n = 2 3 = 8

10 Calculando espaços amostrais EXEMPLO 2: Num experimento se analisa quatro nascimentos de uma porca registrando o sexo do parido (com M para macho e F para Fêmea). Quantas e quais são as possibilidades de nascimentos? Tamanho do espaço amostral N n = 2 4 = 16 As possibilidades de nascimentos são: MMMM; MMMF; MMFF; MFFF; MFMF; MFFM; MMFM; MFMM; FFFF; FFFM; FFMM; FMMM; FMFM; FMMF; FMMF; FFMF; FMFF.

11 Aspectos fundamentais do espaço amostral

12 Evento

13 Eventos possíveis

14 Conceito de probabilidade: Conceito no dia-a-dia

15 Conceito de probabilidade: Conceito subjetivo

16 Conceito de probabilidade: Conceito clássico

17 Conceito clássico ou a priori

18 Conceito frequentista ou a posteriori

19 Axiomas de probabilidade Um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria.

20 Axiomas da probabilidade

21 Probabilidade de um Evento P(E) Probabilidade de um evento pode ser estimada como a frequência relativa com que esse evento ocorre no longo prazo. A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo 0 (zero) se o evento não ocorre nunca e 1 (um) se ele ocorre sempre (100% das vezes).

22 Questão filosófica: é possível dizer que quanto maior a probabilidade de um evento, maior é o nosso grau de certeza de que ele vai acontecer? Esta teoria, que define probabilidades como o limite da frequencia relativa se chama teoria frequencialista. Existe outra teoria, chamada Bayesiana, que define probabilidade como um grau de certeza que temos acerca do que vai acontecer. A teoria Bayesiana é mais ampla, em certo sentido, do que a frequencialista, porque a frequência relativa sempre pode ser usado como um grau de certeza, mas o grau de certeza nem sempre é baseada em várias observações repetidas. A matemática desta outra teoria, porém, é bem mais sofisticada e não a veremos aqui.

23 Diagramas de Venn

24 União de Eventos Operação: Diagrama de Venn:

25 Intersecção de Eventos Operação: Diagrama de Venn:

26 Eventos disjuntos ou mutuamente excludentes Se a ocorrência de um evento significa que um outro evento não pode ocorrer, dizemos que eles são mutuamente excludentes. Operação: Diagrama de Venn:

27 Eventos independentes Se a ocorrência de um evento não aumenta nem diminui a chance de outro evento acontecer, dizemos que eles são independentes.

28 Probabilidades de Eventos: mutuamente excludentes X independentes Se dois ou mais eventos forem mutuamente excludentes, a probabilidade de um ou outro evento acontecer é a soma das probabilidades de cada evento. Formalmente: P(A B) = P(A) + P(B) A e B forem mutuamente excludentes. Se dois ou mais eventos forem independentes, a probabilidade de um e outro evento acontecer é o produto das probabilidades de cada evento. Formalmente: P(A B) = P(A). P(B), A e B forem independentes.

29 Regras de cálculo de probabilidades

30 Regras de cálculo de probabilidades

31 Situação-problema

32 Exemplo: Probabilidade de eventos disjuntos Qual é a probabilidade de uma planta selecionada aleatóriamente neste pomar estar com deficiência de macronutrientes? Nutrientes Proporção de plantas com deficiência MACRO N 0,35 P 0,15 K 0,10 MICRO B 0,04 Zn 0,01 Mg 0,50

33 Exemplo: Probabilidade de eventos disjuntos Nutrientes Proporção de plantas com deficiência MACRO N 0,35 P 0,15 K 0,10 MICRO B 0, ,60 ou 60% Zn 0,01 Mg 0,50

34 Exemplo: Probabilidade de eventos disjuntos RESPOSTA da situação-problema: Qual é a probabilidade de uma planta selecionada aleatóriamente neste pomar NÃO estar com deficências de macronutrientes? P(A C ) = 1- P(A) = 1 0,6 = 0,4 ou 40%

35 Desigualdade de Boole

36 Voltando ao exemplo das porcas Num experimento se analisa três partos de uma porca registrando o sexo do parido (com M para macho e F para Fêmea). Quantas e quais são as possibilidades de nascimentos? Tamanho do espaço amostral: N n = 2 3 = 8 MMM; MMF; MFF; MFM; FFF; FFM; FMM; FMF

37 Voltando ao exemplo das porcas Evento A: Uma cria fêmea nasce em cada um dos dois primeiros partos. Qual a probabilidade de ocorrência o evento A? MMM; MMF; MFF; MFM; FFF; FFM; FMM; FMF P(A) = 2/8= 0,25

38 Voltando ao exemplo das porcas Evento B: Uma cria macho nasce no terceiro parto. MMM; MMF; MFF; MFM; FFF; FFM; FMM; FMF P(B) = 4/8= 0,5

39 Voltando ao exemplo das porcas Evento C: Exatamente duas crias macho nascem nos três partos MMM; MMF; MFF; MFM; FFF; FFM; FMM; FMF P(C) = 3/8 = 0,375

40 Voltando ao exemplo das porcas A B: Uma cria fêmea nasce em cada um dos dois primeiros partos e uma cria macho nasce no terceiro parto Dos cálculos anteriores, temos que: P(A) = 2/8= 0,25 e P(B) = 4/8= 0,5 Então: P(A B) = P(A). P(B) = 0,25. 0,5 = 0,125

41 Voltando ao exemplo das porcas Ou ainda: A B: Uma cria fêmea nasce em cada um dos dois primeiros partos e uma cria macho nasce no terceiro parto MMM; MMF; MFF; MFM; FFF; FFM; FMM; FMF P(A B) = 1/8= 0,125

42 Voltando ao exemplo das porcas A B: Uma cria fêmea nasce em cada um dos dois primeiros partos ou uma cria macho nasce no terceiro parto P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) = 0,25 + 0,5 (0,25*0,5) P(A B) = 0,75 0,125 = 0,625

43 Voltando ao exemplo das porcas B C: Uma cria macho nasce no terceiro parto e exatamente duas crias macho nascem nos três partos MMM; MMF; MFF; MFM; FFF; FFM; FMM; FMF P(B C) = 2/8= 0,25 mas P(B). P(C) = 0,5. 0,375 = 0,1875!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

44 Voltando ao exemplo das porcas P(B C) é diferente de P(B). P(C), já que 0,25 é diferente de 0,1875. Isso acontece pois os eventos NÃO são independentes, ou seja o fato de ter nascido um macho no terceiro nascimento influencia a probabilidade de nascer exatamente dois machos nos três nascimentos (Probabilidade de B depende ou esta condicionada a C).

45 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

46 Exercícios 1) Num levantamento da avifauna, as aves foram classificadas segundo a sua dieta preferencial em insentívoras (I) e frugívoras (F). a) Represente o espaço amostral para uma amostra de três aves; b) Represente o evento A = pelo menos uma ave é frugívora ; c) Represente o evento B = exatamente duas aves são frugívoras.

47 2) Um estudo do comportamento social de capivaras produziu o seguinte resultado: Se um animal for selecionada aleatoriamente deste grupo: a) Qual a probabilidade deste animal estar num ambiente restrito? b) Qual a probabilidade deste animal ter um comportamento agressivo? c) Se este animal está num ambiente restrito, qual a probabilidade dele ter um comportamento agressivo? d) Se este animal está num ambiente restrito, qual a probabilidade dele ter um comportamento não agressivo? e) Se este animal tem um comportamento agressivo, qual a probabilidade dele estar num ambiente restrito? f) Se este animal tem um comportamento agressivo, qual a probabilidade dele estar num ambiente amplo?

48 3) No cruzamento de ervilhas amarelas homozigotas (AA) com ervilhas verdes homozigotas (aa) ocorrem ervilhas heterozigotas (Aa). Se estas ervilhas forem cruzadas entre si, ocorrem ervilhas amarelas e verdes na proporção de 3 para 1. Suponha que foi pega, ao acaso, uma ervilha resultante do cruzamento ervilhas amarelas heterozigotas. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de ser verde? Observe que a probabilidade de ocorrer ervilha amarela é P(amarela)=3/4. b) Escreva o espaço amostral e suas probabilidades. c) Suponha que foi pega, ao acaso, três ervilhas resultantes do cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual a probabilidade de as três serem verdes?

49 4) Num levantamento em floresta de Pinus oocarpa, foram observadas 830 árvores, segundo a tabela abaixo, considerando que os defeitos são excludentes. Considere os seguintes eventos: A = árvore jovem ; B = árvore madura ; C = árvore bifurcada ; D = árvore torta ; E = árvore com rabo-deraposa ; F = árvore sem defeitos. Calcule a probabilidade de ocorrer: a) A; b) B; c) C; d) D; e) E; f) F; g) A e B; h) A ou B; i) A e C; j) A ou C; k) B e C; l) B ou C; m) A e D; n) A ou D; o) B e D; p) B ou D; q) C e D; r) C ou D; s) D e F; t) D ou F; u) C e D e E; v) C e D e E e F; w) C ou D ou E ou F.

50 5) Uma indústrias de móveis de Pinus fez um levantamento no pátio de secagem para analisar a incidência de defeitos nas peças de madeira secas ao ar. Todos os defeitos de cada peça amostrada (amostra aleatória em 3 lotes) foram anotados, isto é, uma mesma peça pode ter mais de um defeito. O resultado encontrado foi. a) Qual a proporção de peças em cada lote que apresentam defeitos de empenhamento? Por quê? b) Qual dos lotes está em melhores condições, isto é, apresenta a menor proporção defeituosa? Por quê?

51 Referências *BATISTA, J. L. F. Notas para acompanhar as aulas da disciplina Introdução à Bioestatística Florestal. Piracicaba, *BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, *LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L; STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, *VISMARA, Edgar de Souza. Notas das aulas de Estatística ministradas no Câmpus Dois Vizinhos

52 Referências básicas: VISMARA, Edgar de Souza. Notas das aulas de Estatística ministradas no Câmpus Dois Vizinhos BATISTA, J. L. F. Notas para acompanhar as aulas da disciplina Introdução à Bioestatística Florestal. Piracicaba, BUSSAB, Wilton O. Estatística Básica. 6.Ed.São Paulo, SP: Saraiva, CAMPOS, Celso Ribeiro; WODEWOTZKI, Maria Lúcia Lorenzetti; JACOBINI, Otávio Roberto. Educação Estatística: Teoria e Prática em Ambientes de Modelagem Matemática. 1. Ed. Belo Horizonte: Autêntica, CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva, MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e interferência. São Paulo: Pearson Education Prentice Hall, VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, Referências complementares: DOWNING, D. Estatística aplicada. 3. ed. São Paulo: Saraiva, FONSECA, J. S. da. Curso de Estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L; STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, MAGNUSSON, W.; MOURÃO, G. Estatística sem matemática: a ligação entre as questões e análise. Londrina: Editora Planta, PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R: uma visão estatística. 2. ed. São Paulo: UFV, VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas,

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