Homologia de um Complexo Simplicial Finito e o Teorema do Traço de Hopf

Transcrição

1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Homologia de um Complexo Simplicial Finito e o Teorema do Traço de Hopf Autor: Alexandre Baldan Orientador: Prof Dr Dirceu Penteado Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso A Curso: Bacharelado e Licenciatura Plena em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Tomas Edson Barros Vera Lúcia Carbone São Carlos, 5 de julho de 2011

2

3 Homologia de um Complexo Simplicial Finito e o Teorema do Traço de Hopf Autor: Alexandre Baldan Orientador: Prof Dr Dirceu Penteado Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso A Curso: Bacharelado e Licenciatura Plena em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Tomas Edson Barros Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos, 5 de julho de 2011 Alexandre Baldan Prof Dr Dirceu Penteado

4

5 Aos meus pais, Milton e Abigail, e a minha namorada, Drieli, dedico

6

7 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus por me proporcionar mais essa alegria de chegar até aqui Agradeço aos meus familiares, meus pais Milton e Abigail, meus irmãos Juliano e Marcelo, minha avó Adelina, meu tio Jayme Fallaci e minha tia Rosa, que sempre me apoiaram e me incentivaram a ir além com os estudos À minha namorada Drieli, que todos os dias me incentiva e me dá forças para seguir em busca dos meus objetivos e luta comigo para alcançá-los, aos meus amigos Jonatha, Ricardo e Rubem, que sempre estiveram presentes Agradeço também a todos os meus amigos do grupo PET-Matemática, que nesses quase 3 anos fizeram parte não apenas de minha formação acadêmica, mas também de minha formação como pessoa, proporcionando novas amizades e um notável incentivo a realização de trabalhos em grupo, proporcionando um desenvolvimento diferenciado Ao nosso tutor do grupo PET-Matemática, Prof Dr Pedro Luiz Aparecido Malagutti, que contribuiu de forma incomensurável para o desenvolvimento de todos, sempre nos incentivando ao estudo tanto do bacharelado quanto ao da licenciatura em matemática, estando sempre preocupado em nos atender quando precisamos e com o nosso desenvolvimento acadêmico, se dispondo a nos auxiliar em nossos estudos Ao meu orientador deste trabalho, Prof Dr Dirceu Penteado, que contribuiu muito para o meu desenvolvimento acadêmico e científico, me aconselhando e me orientando também em outros trabalhos como os de Iniciação Científica no início de minha graduação

8

9 Resumo Este trabalho tem como objetivo principal apresentar um estudo mais detalhado do teorema do traço de Hopf e a homologia de um complexo simplicial finito Tal teorema envolve uma soma de traços de uma sequência finita de morfismos alternantes h # p de grau zero entre espaços vetoriais C p (F ) de dimensão finita Apresentaremos que esta soma é o mesmo número de Lefschetz algébrico a nível de cadeias quando se considera os operadores induzidos em nível de cohomologia, ou seja, L(h), com h : C C, é o mesmo número L(h ; F ), com h : H (C; F ) H (C; F ) Para tal surpresa, mostraremos que o número de Lefschetz L(h ; F ), sobre qualquer corpo F, é sempre um número inteiro quando considerados os conjuntos C como Z-módulos finitamente graduados Palavras-chave: Hopf, Lefschetz, Homologia, Cohomologia, Complexos Simpliciais

10

11 ix Sumário Introdução xv 1 Fundamentação Algébrica 1 11 Parte A Semigrupos Monóides Grupos Subgrupos Classes Laterais Subgrupos Normais Grupos Quocientes Homomorfismos Anéis Ideais Domínios Ideais Principais Domínios Principais Corpos Parte B Módulos Submódulos Módulos Quocientes Z-Homomorfismos Módulos Livres Matriz de um Z-Homomorfismo entre Módulos Livres Matriz de um Z-Homomorfismo na Forma Padrão Operações elementares permissíveis na matriz inteira [f] E F O Algoritmo Anula Módulos Graduados Submódulos Graduados Módulos Quocientes Graduados 27

12 x Sumário 125 Módulos Duais Λ-Morfismos de Grau i Traços Módulos Livres Graduados 30 2 Complexos Simpliciais Conceitos Introdutórios Célula e K -Simplexos Complexos Simpliciais Geométricos (csg) Complexos Simpliciais Abstratos (csa) Correspondência entre csa e csg 40 3 Homologia e Cohomologia de um Complexo Simplicial Finito Z-Módulos das p-cadeias Operador Bordo Operador Bordo Composto Duas Vezes Homologia de um Complexo Simplicial Finito Um Procedimento para Calcular Grupos de Homologia Mudança de Coeficientes Cohomologia de um Complexo Simplicial Finito Construindo uma Nova Homologia Operadores Cobordos Comparação Homologia Cohomologia 52 4 Funções entre Complexos de Cadeia Complexos de Cadeia Aplicações de Cadeia 53 5 Induzida em Homologia de Funções entre Complexos de Cadeias Homologia de um Complexo de Cadeia G-Cohomologia de um Complexo de Cadeia 57 6 Teorema do Traço de Hopf Uma Construção Particular Demonstração do Teorema do Traço de Hopf 61 Referências Bibliográficas 65

13 xi Lista de Figuras 21 Região Triangular Região Poligonal P é ponto interior a região e Q é ponto de fronteira Polígono L Região poligonal R determinada pelo polígono L Simplexo Realização Geométrica Exemplo Reticulado j k 45

14

15 xiii Lista de Tabelas 11 Operações elementares na matriz inteira de um Z-homomorfismo Polígonos Figuras que não são Polígonos Possibilidades de representar a região poligonal R 34

16

17 xv Introdução Com o intuito de demonstramos o teorema do traço de Hopf e usá-lo para concluir que o número de Lefschetz a nível de cohomologia sobre qualquer corpo F, sob certas condições, é sempre um número inteiro, e também apresentar um estudo sobre a teoria da Holomogia para complexos simpliciais finitos, começaremos nosso trabalho com um estudo sobre os fundamentos básicos em álgebra que necessitamos, tais como algumas estruturas algébricas, a noção de módulo sobre um anel, módulos livres, módulos graduados, módulos duais, Λ-morfismos de grau i entre módulos graduados, traços, e outros No capítulo 2, apresentaremos os conceitos de célula e K-simplexos, complexos simpliciais abstratos e geométricos, realização geométrica de um complexo simplicial e a correspondência que há entre estes três últimos No capítulo 3 tratamos da teoria da homologia para complexos simpliciais finitos, e nele apresentamos o que significa e como calcular a homologia de um complexo simplicial finito com coeficientes em Z, ou em corpos onde se verifica o Algoritmo da Divisão de Euclides Faremos também a construção do conceito de Cohomologia de um complexo simplicial finito No capítulo 4, apresentaremos um estudo sobre funções entre complexos de cadeia, tratando em especial das Aplicações de Cadeias No capítulo 5 induziremos essas aplicações em homologia e cohomologia entre complexos de cadeia, e no último capítulo, faremos uma construção particular para a base de um espaço vetorial graduado, nos possibilitando assim demonstrarmos o Teorema do Traço de Hopf, e assim mostrar que o número de Lefschetz algébrico a nível de cadeia é o mesmo número quando induzimos os operadores a nível de cohomologia, e portanto o número de Lefschetz é sempre um número inteiro, quando considerado as aplicações a nível de cadeia sobre Z-módulos finitamente graduados

18

19 1 Capítulo 1 Fundamentação Algébrica 11 Parte A 111 Semigrupos Definição 11 (Semigrupo) Sejam E um conjunto e uma operação definida sobre E Dizemos que define uma estrutura de semigrupo sobre E ou que E é um semigrupo em relação à operação se, e somente se, valer o seguinte axioma: G1 (propriedade associativa): Quaisquer que sejam x, y, z E, tem-se (x y) z = x (y z) Em geral, indica-se um semigrupo com a mesma letra que indica o conjunto dado e diremos seja E um semigrupo em relação a operação Quando a operação está fixada sobre o conjunto E e quando esta operação verifica o axioma G1, diremos, simplesmente, o conjunto E é um semigrupo Se a operação fixada sobre E for a multiplicação ou a adição diremos, respectivamente, que E é um semigrupo multiplicativo ou aditivo Se E é um semigrupo em relação à operação e se a operação satisfaz ainda o axioma G4 (propriedade comutativa): Quaisquer que sejam x, y E, tem-se x y = y x diremos que E é um semigrupo comutativo O que dissemos acima também será aplicado, de maneira análoga, para as próximas estruturas como, monóide, grupo, anel, etc 112 Monóides Definição 12 (Monóide) Sejam E um conjunto e uma operação definida sobre E Dizemos que define uma estrutura de monóide sobre E ou que E é um monóide

20 2 1 Fundamentação Algébrica em relação à operação se, e somente se, valerem os seguintes axiomas: G1 (propriedade associativa): Quaisquer que sejam x, y, z E, tem-se (x y) z = x (y z) G2 (existência do elemento neutro): x E, e E tal que x e = x = e x Portanto, um monóide é um semigrupo que possui elemento neutro Vamos mostrar que o elemento e E do axioma G2 é único Teorema 13 (Unicidade do Elemento Neutro) Se uma operação, definida sobre um conjunto E, tem elemento neutro, então este elemento é único Demonstração Suponhamos que e e e são elementos neutros para a operação, então escrevemos (i) e é elemento neutro para a operação ; (ii) e é elemento neutro para a operação ; assim, e (i) = e e (ii) = e Portanto, e = e Exemplo 14 As operações usuais de adição e de multiplicação sobre o conjunto N dos números naturais são associativas, comutativas e têm elementos neutros que são, respectivamente, 0 e 1 Portanto, o conjunto N dos números naturais é um monóide comutativo tanto em relação à adição como em relação à multiplicação Definição 15 (Elemento Simetrizável) Sejam E um conjunto e uma operação definida sobre E Suponhamos também que tenha elemento neutro e Diz-se que um elemento a E é simetrizável para a operação se, e somente se, a E tal que a a = e = a a (11) Teorema 16 (Unicidade do Elemento Simetrizável) Se a é um elemento simetrizável de um monóide (E, ), então! x E tal que a x = e = x a (12) Demonstração De acordo com 11 e 12, temos a = a e = a (a x) = (a a) x = e x = x

21 11 Parte A 3 Se a é um elemento simetrizável do monóide (E, ), então o único elemento a E tal que 11 seja verdadeira é denominado simétrico de a para a operação Se E é um monóide multiplicativo (ou respectivamente aditivo), então um elemento simetrizável a E, é denominado elemento inversível e seu simétrico a é chamado de inverso de a (ou respectivamente inverso aditivo de a ou oposto de a) Daqui por diante denotaremos o simétrico a para o caso multiplicativo, por a 1, e para o caso aditivo, por a Observação 17 Se a operação não é associativa, então este resultado, teorema 16, não é em geral, verdadeiro 113 Grupos Definição 18 (Grupo) Sejam G um conjunto e uma operação definida sobre G Dizemos que define uma estrutura de grupo sobre G ou que G é um grupo em relação à operação se, e somente se, valerem os seguintes axiomas: G1 (propriedade associativa): Quaisquer que sejam x, y, z G, tem-se (x y) z = x (y z) G2 (existência do elemento neutro): x G, e G tal que x e = x = e x G3 (existência do elemento simétrico): x G, x G tal que x x = e = x x Portanto, um grupo é um monóide G que possui a propriedade de que todos os seus elementos são simetrizáveis Ainda, se a operação de um grupo G é também comutativa, diremos que G é um grupo comutativo ou abeliano Em geral, só usaremos a notação aditiva para indicar a operação de um grupo G quando esta operação for comutativa Exemplo 19 A operação usual de adição define uma estrutura de grupo comutativo sobre o conjunto Z do números inteiros, que é denominado grupo aditivo dos números inteiros Exemplo 110 Sejam (A, ) e (B, ) dois grupos e consideremos o produto cartesiano A B dos conjuntos A e B Se (a 1, b 1 ) e (a 2, b 2 ) são dois elementos quaisquer de A B colocaremos, por definição, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ), (13)

22 4 1 Fundamentação Algébrica e obtemos assim uma operação sobre A B e é fácil verificar que (A B, ) é um grupo, cujo elemento neutro é (e a, e b ), onde e a e e b denotam os elementos neutros dos grupos (A, ) e (B, ), respectivamente, e que (a, b) A B tem-se que seu simétrico (a, b) = (a, b ), com a A e b B elementos simétricos de a e b, respectivamente O grupo (A B, ) é denominado grupo produto dos grupos (A, ) e (B, ) Observação 111 Em geral, se (G i ) 1 i n, n N, é uma família não vazia de grupos, então o produto cartesiano G 1 G n dos conjuntos G 1,, G n munido de uma operação, definida de maneira análoga à operação, ver 13, é o grupo produto dos grupos G 1,, G n, cujo elemento neutro e os elementos simétricos são obtidos da mesma forma apresentada no exemplo anterior Para facilitar quando precisarmos verificar se um conjunto munido de uma operação é um grupo, utilizaremos o seguinte teorema que reescreve os axiomas G2 e G3 sob uma forma mais simples: Teorema 112 Sejam G um conjunto e uma operação definida sobre G Suponhamos que esta operação satisfaça o axioma G1 e os seguintes: G2 : a G, e G tal que a e = a G3 : a G, a G tal que a a = e Nessas condições, a operação define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G Demonstração Precisamos, simplesmente, mostrar que (1) e a = a (2) a a = e Primeiramente, vamos mostrar (2) Ora, de G3 temos que a G, a G tal que a a = e e também que a G tal que a a = e ( ), então temos que a a G2 = a (a e) ( ) = a [a (a a )] G1 = a [(a a ) a ] G3 = Agora mostremos (1): G3 = a (e a ) G1 = (a e) a G2 = a ( ) a = e e a G3 = (a a ) a G1 = a (a a) (2) = a e G2 = a

23 11 Parte A Subgrupos Definição 113 (Subgrupo) Seja (G, ) um grupo e seja H uma parte do conjunto G Diz-se que H é um subgrupo de (G, ) se, e somente se, valerem as seguintes condições: a) H é fechado em relação à operação b) A operação quando restrita ao subconjunto H o torna um grupo 1132 Classes Laterais Definição 114 (Classe Lateral) Sejam H um subgrupo de um grupo G e a um elemento de G Uma classe lateral de H em G é o conjunto de todos os elementos ax, tal que x H, e a denotaremos por ah Na notação aditiva, uma classe lateral de H em G será denotada por a + H Observação 115 Como o grupo G pode não ser comutativo, deveríamos denominar o conjunto ah por classe lateral à esquerda de H De modo semelhante, podemos definir uma classe lateral à direita de H e denotá-la por Ha, mas, no que se segue, classe lateral significará classe lateral à esquerda, a menos que se especifique o contrário Teorema 116 Sejam H um subgrupo de um grupo G e ah, bh classes laterais de H em G Ou essas classes são iguais, ou não têm elementos em comum Demonstração Suponhamos que ah e bh tenham um elemento em comum mostrar que elas são iguais Sejam x, y H tais que ax = by Como H é subgrupo, x 1 H tal que Vamos xx 1 = e H = x 1 x então, ax = by (ax)x 1 = (by)x 1 a(xx 1 ) = b(yx 1 ) ae H = b(yx 1 ) a = b(yx 1 ) com, yx 1 H, pois H é subgrupo Seja ax 0 ah um elemento qualquer, com x 0 H, então ax 0 = b(yx 1 )x 0 Como (yx 1 )x 0 H, temos que ax 0 bh, logo ah bh De maneira análoga, obtemos que bh ah, portanto, ah = bh 1133 Subgrupos Normais Definição 117 (Subgrupo Normal) Diz-se que um subgrupo N, de um grupo G, é um subgrupo normal de G se, e somente se, x G tem-se xn = Nx Notação: N G

24 6 1 Fundamentação Algébrica Exemplo 118 Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos normais, a saber: {e G } e G Exemplo 119 Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal 1134 Grupos Quocientes Definição 120 Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G Definimos a relação de equivalência: Se a, b G, então a b (mod N) se, e somente se, a 1 b N Leia-se: a b (mod N) := a é côngruo a b módulo N A classe de equivalência de a G é a = {b G : a b (mod N)} Observemos que, se b G tal que b a então, b a a b (mod N) a 1 b N b an Logo, a = an Como N G, temos an = Na, portanto, a G a classe de equivalência determinada por a é denominada classe lateral determinada por a O conjunto das classes laterais an = Na, com a G, é denotado por G/N e é chamado de quociente de G pela relação de equivalência N Teorema 121 Sejam G um grupo e N G, e consideremos o conjunto quociente G/N A operação de multiplicação : G/N G/N G/N (an, bn) (ab)n define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G/N Demonstração Para mostrar que esta operação define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G/N, vamos verificar os axiomas G1, G2 e G3 Verificação: G1: Para quaisquer an, bn, cn G/N temos, ((an, bn), cn) = ((ab)n, cn) = [(ab)c]n = [a(bc)]n = (an, (bc)n) = (an, (bn, cn)) Logo, é associativa

25 11 Parte A 7 G2 : Para toda classe lateral an G/N temos, (an, e G N) = (ae G )N = an Logo, e G N = N é o elemento neutro de G/N G3 : Seja an G/N uma classe lateral qualquer e consideremos a classe lateral a 1 N G/N, então (an, a 1 N) = (aa 1 )N = e G N = N Com isso, concluímos que esta operação define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G/N Observação 122 O grupo (G/N, ) passa a ser denominado grupo quociente de (G, ) pelo subgrupo normal N 1135 Homomorfismos Definição 123 (Homomorfismo) Sejam G, G grupos Uma aplicação f : G G é dita um homomorfismo se preservar a operação, ou seja, a, b G temos, f(a b) = f(a) f(b) Ou em notação aditiva, temos f(a + b) = f(a) + f(b) Observação 124 Diremos frequentimente Seja f : G G um homomorfismo de grupos, em vez de dizer: Sejam G, G grupos, e f um homomorfismo de G em G Definição 125 (Núcleo de f) O núcleo de f é o conjunto {a G : f(a) = e G } e o denotaremos por ker(f) Definição 126 (Imagem de f) A imagem de f é o conjunto {b G : b = f(b) para algum b G} e a denotaremos por Im(f) Teorema 127 Seja f : G G um homomorfismo de grupos, e sejam e G e e G elementos neutros respectivamente de G e G Então, e G = f(e G ) os

26 8 1 Fundamentação Algébrica Demonstração Vejamos que f(e G ) = f(e G e G ) = f(e G ) f(e G ) ( ) Como G é grupo e f(e G ) G então, f(e G ) 1 G tal que f(e G ) f(e G ) 1 = e G = f(e G ) 1 f(e G ) ( ) então, f(e G ) ( ) = f(e G ) f(e G ) f(e G ) 1 f(e G ) = f(e G ) 1 [f(e G ) f(e G )] ( ) ( ) e G = [f(e G ) 1 f(e G )] f(e G ) ( ) e G = e G f(e G ) e G = f(e G ) Teorema 128 Seja f : G G um homomorfismo de grupos e seja a G Então, f(a 1 ) = f(a) 1 Demonstração Ora, e G = f(e G ) = f(a a 1 ) = f(a) f(a 1 ) f(a 1 ) = f(a) 1 Teorema 129 Seja f : G G um homomorfismo de grupos A imagem de f é um subgrupo de G Demonstração Precisamos mostrar que (Im(f), ) satisfaz as condições a) e b) da definição 113, vejamos: a) Sejam a, b Im(f) tais que a = f(a), a G e b = f(b), b G, então a b = f(a) f(b) = f(a b) Im(f) b) (Im(f), ) claramente é um grupo, pois a associatividade é herdada de (G, ), e G = f(e G ) Im(f) e a 1 = f(a 1 ) a Im(f) Portanto de a) e b) temos que Im(f) é um subgrupo de G Teorema 130 Seja f : G G um homomorfismo de grupos O núcleo de f é um subgrupo de G Demonstração Já provamos que f(e G ) = e G, o que implica que e G ker(f), o resto da demonstração sai de forma trivial e a omitiremos Teorema 131 Seja f : G G um homomorfismo de grupos Se ker(f) = {e G } então f é injetora

27 11 Parte A 9 Demonstração Sejam a, b G e suponhamos que f(a) = f(b) Então, f(a) = f(b) f(a) f(b) 1 = f(b) f(b) 1 f(a) f(b) 1 = e G f(a) f(b 1 ) = e G f(a b 1 ) = e G Como ker(f) = {e G }, isso implica que a b 1 = e G a = b Logo, f é injetora 114 Anéis Definição 132 (Anel) Um anel é um conjunto A com pelo menos dois elementos, munido de duas operações + : A A A (a, b) +(a, b) = a + b : A A A (a, b) (a, b) = a b satisfazendo as seguintes propriedades: A1: Sob a adição, A é um grupo comutativo (abeliano) M1: (associatividade da multiplicação) Quaisquer que sejam a, b, c A, tem-se (a b) c = a (b c) M2: (existência do elemento neutro para a multiplicação) a A, 1 A tal que a 1 = a = 1 a M3: (comutatividade da multiplicação) a, b A temos, a b = b a AM: (distributividade) a, b, c A temos, a (b + c) = a b + a c e (b + c) a = b a + c a Observação 133 Se M3 não é satisfeita, temos um anel não-comutativo Observação 134 Se M2 não é satisfeita, temos um anel sem elemento neutro para a multiplicação, ou simplesmente, um anel sem elemento unidade

28 10 1 Fundamentação Algébrica Observação 135 A definição de anel pode variar de acordo com cada livro, alguns deles definem anel apenas com as propriedades A1, M1 e AM, como o livro 11, por outro lado, outros definem anel apenas com as propriedades A1, M1, M2 e AM, como o livro 7, para este nosso trabalho, um anel será composto pelas propriedades apresentadas em nossa definição e essa definição pode ser encontrada no livro 5 Exemplo 136 O conjunto Z dos números inteiros munido das operações de adição e multiplicação usuais, é um anel Teorema 137 (Algoritmo de Euclides) Dados a, b Z, b 0, t, r Z tais que a = b t + r, com r < b Observação 138 Com o teorema enunciado dessa maneira, os inteiros t e r não são únicos, por exemplo: 3 = = ( 1) Mas, podemos sempre obter t e r, com 0 r, estes sim de modo único Demonstração Suponhamos, por simplicidade, que a 0 e b > 0 Como o conjunto {t Z : b t < a, 0 t} é um conjunto finito, pois está contido no conjunto {0,, a}, ele possui um elemento máximo t Definimos então r = a b t Então a = b t + r e r = a b t < b(t + 1) b t = b 1141 Ideais Definição 139 (Ideal) Sejam A um anel e I um subconjunto de A Dizemos que I é um ideal de A se, e somente se, valerem as seguintes condições: (i) Se a, b I a + b I (ii) Se a I e b A a b I Exemplo 140 O conjunto nz = {kn : k Z} é um ideal de Z, pois (i) Se k 1 n, k 2 n nz k 1 n + k 2 n = (k 1 + k 2 )n nz (ii) Se kn nz e m Z (kn) m = k(nm) = k(mn) = (km)n nz Observação 141 Em geral, se A é um anel e a A, então a A = {b a : b A} é um ideal de A, denotado por (a) Mais geralmente, se a 1,, a k A, então (a 1,, a k ) := {b 1 a b k a k : b 1,, b k A} é um ideal de A, chamado de ideal gerado por a 1,, a k

29 11 Parte A 11 Proposição 142 O únicos ideais de Z são os ideais nz, n Z Demonstração Seja I um ideal de Z Seja n o menor inteiro positivo de I Afirmamos que I = nz Com efeito, seja m I Pelo algoritmo de Euclides, t, r Z tais que m = n t + r, com 0 r < n (14) Então Logo I {}}{ r = }{{} m }{{} n t I I I Se r > 0, de 14 temos que r será um elemento de I menor do que n Contradição! Portanto, I = nz r = 0 m = n t nz 115 Domínios Definição 143 (Domínio ou Domínio de Integridade) Seja A um anel Dizemos que A é um domínio, ou um domínio de integridade, se a operação de multiplicação sobre A satisfaz ainda a seguinte propriedade: M4: a, b A temos, a b = 0 a = 0 ou b = 0 Exemplo 144 O conjunto Z dos números inteiros munido das operações de adição e multiplicação usuais, é um domínio 1151 Ideais Principais Definição 145 (Ideal Principal) Um ideal I de um domínio D é principal se I é gerado por um único elemento, ou seja, I = (a) = a D = {ax : x D} 116 Domínios Principais Definição 146 (Domínio Principal ou Domínio Ideal Principal) Dizemos que um domínio D é um domínio principal se todo ideal I D é principal 117 Corpos Definição 147 (Corpo) Seja A um anel Dizemos que A é um corpo se todo elemento não nulo de A tem um inverso com respeito à multiplicação, ou seja, satisfaz ainda a

30 12 1 Fundamentação Algébrica seguinte propriedade: M5 (existência do elemento inverso): a A, a 0, a 1 A tal que a a 1 = 1 = a 1 a 12 Parte B 121 Módulos Nesta subseção vamos generalizar a noção de espaço vetorial sobre um corpo Introduziremos a noção de módulo sobre um anel Definição 148 (R-Módulo) Sejam (M, +) um grupo comutativo e R um anel com elemento unidade 1 0 Dizemos que M é um R-módulo se existe uma operação : R M M satisfazendo as seguintes propriedades: Para quaisquer m, m 1, m 2 M e r, r 1, r 2 R temos, MOD1 : (r 1 r 2 ) m = r 1 (r 2 m) MOD2 : 1 m = m MOD3 : (r 1 + r 2 ) m = r 1 m + r 2 m MOD4 : r (m 1 + m 2 ) = r m 1 + r m 2 Observação 149 Quando o anel R é um corpo, um R-módulo é o que chamamos de espaço vetorial Devido ao nosso interesse neste trabalho, estaremos sempre considerando R como o anel dos números inteiros Z, assim os R-módulos considerados serão Z-modulos 1211 Submódulos Definição 150 (Submódulo) Um subconjunto N de um Z-módulo M é um submódulo de M, se as operações de M quando restritas a N o tornam um módulo, ou seja, N satisfaz o que segue: SMOD1 : N é um subgrupo aditivo de M SMOD2 : n Z e a N, então n a N Vejamos um exemplo: Exemplo 151 O conjunto Z 3 = Z Z Z é um Z-módulo e o conjunto das soluções inteiras do sistema linear

31 12 Parte B 13 2x + 3y z = 0 5x + y + 3z = 0 (15) é um submódulo de Z 3 Solução: Primeiramente vamos verificar que Z 3 é um Z-módulo Pela nossa definição, definição 148, precisamos mostrar primeiro que (Z 3, ) é um grupo comutativo, com alguma operação sobre ele De fato, pelos exemplos 19 e 110, temos que (Z 3 = Z Z Z, ) é um grupo com a operação definida de maneira análoga a apresentada nos exemplos (adição de coordenada a coordenada), e é também comutativo, pois (Z, +) é comutativo Consideremos agora o anel (Z, +, ) dos números inteiros Definindo uma operação : Z Z 3 Z 3 (λ, (a, b, c)) λ (a, b, c) = (λ a, λ b, λ c) então, Z 3 torna-se um Z-módulo Ora, para quaisquer z = (a, b, c), z 1 = (a 1, b 1, c 1 ), z 2 = (a 2, b 2, c 2 ) Z 3 e λ, λ 1, λ 2 Z temos, MOD1 : (λ 1 λ 2 ) z = (λ 1 λ 2 ) (a, b, c) = ((λ 1 λ 2 ) a, (λ 1 λ 2 ) b, (λ 1 λ 2 ) c) = = (λ 1 (λ 2 a), λ 1 (λ 2 b), λ 1 (λ 2 c)) = = λ 1 (λ 2 a, λ 2 b, λ 2 c) = = λ 1 (λ 2 (a, b, c)) = = λ 1 (λ 2 z) MOD2 : MOD3 : 1 z = 1 (a, b, c) = (1 a, 1 b, 1 c) = (a, b, c) = z (λ 1 + λ 2 ) z = (λ 1 + λ 2 ) (a, b, c) = ((λ 1 + λ 2 ) a, (λ 1 + λ 2 ) b, (λ 1 + λ 2 ) c) = = (λ 1 a + λ 2 a, λ 1 b + λ 2 b, λ 1 c + λ 2 c) = = (λ 1 a, λ 1 b, λ 1 c) (λ 2 a, λ 2 b, λ 2 c) = = λ 1 (a, b, c) λ 2 (a, b, c) = = λ 1 z λ 2 z

32 14 1 Fundamentação Algébrica MOD4 : λ (z 1 z 2 ) = λ ((a 1, b 1, c 1 ) (a 2, b 2, c 2 )) = λ (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) = = (λ (a 1 + a 2 ), λ (b 1 + b 2 ), λ (c 1 + c 2 )) = = (λ a 1 + λ a 2, λ b 1 + λ b 2, λ c 1 + λ c 2 ) = = (λ a 1, λ b 1, λ c 1 ) (λ a 2, λ b 2, λ c 2 ) = = λ (a 1, b 1, c 1 ) λ (a 2, b 2, c 2 ) = = λ z 1 λ z 2 Logo, Z 3 é um Z-módulo Agora vamos mostrar que as soluções inteiras do sistema linear 15 é um submódulo de Z 3 O sistema dado possui soluções inteiras, pois temos o seguinte teorema de otimização combinatória que nos garante esse resultado: Teorema 152 Seja A uma matriz de racionais e b um vetor de racionais O sistema Ax = b tem solução inteira se e só se yb é inteiro para todo o vetor y tal que o vetor ya seja inteiro Demonstração Vide o livro 13 Logo, seja S o conjunto das soluções inteiras do sistema dado, então S = {(x, y, z) Z 3 : 2x + 3y z = 0 e 5x + y + 3z = 0} Para mostrar que S é um submódulo de Z 3 devemos verificar as condições SMOD1 e SMOD2 da definição 150 A condição SMOD2 é facilmente verificada para S, pois n Z e s = (x, y, z ) S temos n s = n (x, y, z ) = (n x, n y, n z ), e substituindo nas equações do sistema dado temos, (i) 2 (n x ) + 3 (n y ) (n z ) = n (2 x ) + n (3 y ) + n ( z ) = = n(2 x + 3 y z ) = = n 0 = 0 (ii) 5 (n x ) + n y + 3 (n z ) = n (5 x ) + n y + n (3 z ) = = n (5 x + y + 3 z ) = n 0 = 0 Logo, de (i) e (ii), n s S

33 12 Parte B 15 Vamos verificar agora a condição SMOD1, ou seja, precisamos mostrar que S é um subgrupo de (Z 3, ) Pela definição de subgrupo, definição 113, precisamos mostrar que S satisfaz as condições a) e b) Então a) Sejam s 1, s 2 S tais que s 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e s 2 = (x 2, y 2, z 2 ) então s 1 s 2 = (x 1, y 1, z 1 ) (x 2, y 2, z 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ), e substituindo nas equações do sistema dado temos, (i) 2 (x 1 + x 2 ) + 3 (y 1 + y 2 ) (z 1 + z 2 ) = (2 x y 1 z 1 ) + (2 x y 2 z 2 ) = = = 0 (ii) 5 (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) + 3 (z 1 + z 2 ) = (5 x 1 + y z 1 ) + (5 x 2 + y z 2 ) = = = 0 Logo S é fechado para a operação b) Vamos mostrar que a operação quando restrita a S o torna um grupo Denotaremos a operação restrita a S pelo mesmo símbolo Devemos mostrar que valem em (S, ) as condições G1, G2 e G3 do teorema 112 Mas vejamos, é fácil verificar que 0 = (0, 0, 0) S é o elemento neutro de S para a operação, o que satisfaz G2, e que s = (x, y, z), s = ( x, y, z) é o seu elemento simétrico (inverso), o que satisfaz G3, e que se G1 é satisfeita para todo elemento de (Z 3, ), então G1 é satisfeita para todo elemento de S Z 3 Portanto, (S, ) é um subgrupo de (Z, ) Concluímos assim, que S é um submódulo de Z 3 Observação 153 Para simplificar a visualização e os nossos cálculos, não faremos mais distinção de símbolos para representar as operações sobre conjuntos diferentes, apenas denotaremos por uma operação denominada de multiplicação e por + uma operação denominada de adição Exemplo 154 Se (G, +) é um grupo comutativo podemos considerá-lo um Z-módulo, definindo a seguinte operação: : Z G G g + + g λ parcelas, se λ > 0 (λ, g) λ g = 0 se λ = 0 ( g) + + ( g) ( λ) parcelas, se λ < 0

34 16 1 Fundamentação Algébrica A prova envolve apenas cálculos sobre a adição de elementos do grupo (G, +) e sua verificação é trivial 1212 Módulos Quocientes Definição 155 Sejam M um Z-módulo e N um submódulo de M Definimos a relação de equivalência: Se m 1, m 2 M, então m 1 m 2 (mod N) se, e somente se, m 2 m 1 N A classe de equivalência de m 1 M é m 1 = {m 2 M : m 1 m 2 (mod N)} Observemos que, se m 2 M tal que m 2 m 1 então, m 2 m 1 m 1 m 2 (mod N) m 2 m 1 N m 2 m 1 + N := {m 1 + n : n N} Logo, m 1 = m 1 + N O conjunto das classes de equivalência m 1 = m 1 + N, com m 1 M, é denotado por M/N e é chamado de quociente de M pela relação de equivalência N Teorema 156 Sejam M um Z-módulo e N um submódulo de M, e consideremos o conjunto quociente M/N As operações de adição e multiplicação, + : M/N M/N M/N (m 1 + N, m 2 + N) (m 1 + N) + (m 2 + N) = (m 1 + m 2 ) + N : Z M/N M/N (λ, m + N) λ (m + N) = (λ m) + N definem uma estrutura de Z-módulo sobre o conjunto M/N Demonstração Precisamos mostrar que (M/N, +) é um grupo comutativo, e em caso afirmativo, mostrar que a operação de multiplicação satisfaz as propriedades MOD1, MOD2, MOD3 e MOD4 Ora, claramente (M/N, +) é um grupo, pois este resultado já está demonstrado pelo teorema 121, bastando notarmos as classes laterais pela notação aditiva E o fato de termos que M é um Z-módulo, temos que (M, +) é um grupo comutativo, então m 1 + N, m 2 + N M/N temos (m 1 + N, m 2 + N) = (m 1 + m 2 ) + N = (m 2 + m 1 ) + N = (m 2 + N, m 1 + N) Logo, (M/N, +) é um grupo comutativo

35 12 Parte B 17 A operação de multiplicação torna (M/N, +) um Z-módulo, pois para quaisquer m + N, m 1 + N, m 2 + N M/N e λ, λ 1, λ 2 Z temos, MOD1 : [λ 1 λ 2 ] (m + N) = [(λ 1 λ 2 ) m] + N = [λ 1 (λ 2 m)] + N = = λ 1 [(λ 2 m) + N] = λ 1 [λ 2 (m + N)] MOD2 : MOD3 : 1 (m + N) = (1 m) + N = m + N [λ 1 + λ 2 ] (m + N) = [(λ 1 + λ 2 ) m] + N = [(λ 1 m) + (λ 2 m)] + N = = [(λ 1 m) + N] + [(λ 2 m) + N] = = λ 1 (m + N) + λ 2 (m + N) MOD4 : λ [(m 1 + N) + (m 2 + N)] = λ [(m 1 + m 2 ) + N] = [λ (m 1 + m 2 )] + N = = [(λ m 1 ) + (λ m 2 )] + N = = [(λ m 1 ) + N] + [(λ m 2 ) + N] = = λ (m 1 + N) + λ (m 2 + N) Com isso, concluímos que estas operações de adição e multiplicação tornam o conjunto M/N um Z-módulo Observação 157 O Z-módulo M/N passa a ser denominado módulo quociente de M por N 1213 Z-Homomorfismos Definição 158 (Z-Homomorfismo) Seja Z o anel dos números inteiros, e sejam M, M Z- módulos Por um Z-homomorfismo, ou uma aplicação Z-linear, f : M M entende-se uma aplicação que preserva soma e produto por escalar, ou seja, que satisfaz as seguintes propriedades: λ Z e m, m 1, m 2 M temos: (i) f(m 1 + m 2 ) = f(m 1 ) + f(m 2 ) (ii) f(λ m) = λ f(m) Observação 159 Se o Z-homomorfismo f for injetivo, sobrejetivo ou bijetivo, então f é chamado monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo, respectivamente

36 18 1 Fundamentação Algébrica Definição 160 (Núcleo de f) O núcleo de f é o conjunto {m M : f(m) = 0, onde 0 = e M M } e o denotaremos por kerf Definição 161 (Imagem de f) A imagem de f é o conjunto {m M : m = f(m) para algum m M} e a denotaremos por Imf Teorema 162 Seja f : M M um homomorfismo de R-módulos Então o núcleo e a imagem de f são respectivamente submódulos de M e de M Demonstração Precisamos mostrar as condições SM OD1 e SM OD2 da definição 150 para o kerf e para a Imf Vejamos para o kerf Já sabemos que kerf é um subgrupo aditivo de M, teorema 130, o que verifica SMOD1, e λ R e n kerf temos, f(λ n) = λ f(n) = λ 0 = 0 Logo λ n kerf, verificando assim a condição SM OD2 Portanto, kerf é um submódulo de M Vejamos para Imf Já sabemos também que Imf é um subgrupo aditivo de M, teorema 129, o que verifica SMOD1, e λ R e m j Imf tal que m j = f(m j ), m j M, temos, λ m j = λ f(m j ) = f(λ m j ) Imf Logo a condição SMOD2 está verificada, portanto, Imf é um submódulo de M 122 Módulos Livres Definição 163 (Z-Módulo Livre) Seja M um Z-módulo Dizemos que M é um Z- módulo livre se, para algum conjunto de índices I, existir um conjunto β = {b λ M, λ I} satisfazendo as seguintes condições: (i) β é um sistema de geradores de M, i e, m M, r λ Z, com r λ 0 para um número finito de índices λ, tal que m = r λb λ

37 12 Parte B 19 (ii) β é um conjunto Z-linearmente independente, ie, se r λ b λ = 0, com r λ Z = r λ = 0 λ λ I Definição 164 (Base de um Z-Módulo Livre) O subconjunto β da definição anterior é chamado de base do Z-módulo livre M Definição 165 (Base Ordenada de um Z-Módulo Livre) À base β da definição anterior tal que valem ainda: i) O conjunto de índices I associado é tal que I N; ii) O subconjunto β pode ser ordenado segundo a ordem dos índices λ N, ou seja, β = {b λ1, b λ2, : λ 1 < λ 2 <, λ i N, b λi M}; chamamos de base ordenada do Z-módulo livre M Definição 166 (Posto de um Z-Módulo Livre) À quantidade de elementos de uma base β de um Z-módulo livre M denominamos posto do Z-módulo livre M Definição 167 (Z-Módulo Livre Finitamente Gerado) A um Z-módulo livre cuja base possui um número finito de elementos denominamos Z-módulo livre finitamente gerado Teorema 168 Seja A um anel com elemento unidade e seja M um A-módulo livre finitamente gerado Então, todas as bases de M possuem o mesmo número de elementos Demonstração Vide 5, pág 297 Definição 169 Sejam M um Z-módulo livre e β uma base ordenada de M Se m M, então existe um número finito de r λ Z, r λ 0 tal que m = r λb λ (16) À lista de inteiros indexados r λ tal que 16 valha definimos como sendo as coordenadas de m em relação à base β, e as denotaremos por (m) β = (r λ ) Observação 170 Daqui para frente consideraremos somente Z-módulos livres cujas bases β sejam ordenadas, de acordo com a definição 165 Como no caso de espaços vetoriais de dimensão finita temos, para Z-módulos livres finitamente gerados, uma fórmula semelhante para mudança de base: Denotemos [m] γ como a matriz coluna formada pelas coordenadas de m em relação a base γ, (m) γ, então: [m] C = MC B [m] B

38 20 1 Fundamentação Algébrica onde a matriz M B C é chamada matriz mudança da base B para a base C M B C é uma matriz com entradas inteiras e suas colunas são as coordenadas dos vetores de B em relação a base C Teorema 171 Todo submódulo de um Z-módulo livre de posto n é livre de posto m n Demonstração Vide o livro 6, pág 179 Exemplo 172 O conjunto Z n é um Z-módulo livre de posto n e β = {e i = (0,, 0, }{{} 1, 0,, 0) Z n tal que i = 1,, n} i é uma base para Z n chamada de base canônica Teorema 173 Todo Z-módulo livre M de posto n é isomorfo a Z n Demonstração Vide 5, pág Matriz de um Z-Homomorfismo entre Módulos Livres Definição 174 Seja ϕ : A B um homomorfismo entre Z-módulos livres finitamente gerados Sejam E = {e 1,, e n } e F = {f 1,, f m } bases de A e B respectivamente, com respectivos postos iguais a n e m A matriz de ϕ em relação as bases E e F é [ϕ] E F = [a ij ] m n, onde os elementos da j-ésima coluna são as coordenadas de ϕ(e j ) em relação a base F, ie, (ϕ(e j )) F = (a 1j,, a mj ) Naturalmente, as seguintes fórmulas continuam válidas: 1) a A temos, [ϕ(a)] F = [ϕ] E F [a] E ϕ ψ 2) Sejam A : B : C Z-homomorfismos e E, F e G bases de A, B e C, respectivamente Então, [ψ ϕ] E G = [ψ] F G[ϕ] E F 1231 Matriz de um Z-Homomorfismo na Forma Padrão Com o objetivo de realizarmos o cálculo de homologias e cohomologias no capítulo 3, precisamos estudar como obter núcleos, imagens e quocientes entre estes, em Z-homomorfismos entre Z-módulos livres finitamente gerados Entre espaços vetoriais finitos, fazemos esses cálculos de maneira simples resolvendo sistemas lineares utilizando o algoritmo de escalonamento de matrizes Veremos aqui que

39 12 Parte B 21 efetuar esses cálculos nestes Z-homomorfismos não é uma tarefa muito simples, precisaremos fortemente do uso do algoritmo da divisão de Euclides Se a matriz de um Z-homomorfismo f : A B em relação as bases do domínio E, de posto n, e do contradomínio F, de posto m, estiver na forma padrão, podemos calcular seu núcleo e sua imagem de forma imediata, ou seja, se a matriz estiver da seguinte forma: [ ] [f] E 0 D F = 0 0 onde D é uma matriz quadrada de ordem r cujos elementos diferentes de zero estão na diagonal secundária, ie, D = m n 0 λ 1 λ 2 λ r 0 Nesta forma, o núcleo de f é gerado pelos (n r) primeiros vetores da base E e a imagem é o Z-submódulo [λ 1 f 1,, λ r f r ] de B r r Se quisermos calcular o conúcleo, ou seja, o quociente de B (contradomínio (notação: CD)) pela imagem de f, construímos o seguinte homomorfismo: dado por: Φ : CDf Imf = [f 1,, f r,, f m ] [λ 1 f 1,, λ r f r ] Z λ1 Z λr Z Z (17) Φ((x 1 f x r f r + + x m f m ) + Imf) = (x 1,, x r, x r+1,, x m ) onde a operação no contradomínio da Φ é dada pela adição das coordenadas correspondentes Observação 175 Vamos mostrar que Φ é um isomorfismo Ora, por construção Φ é um homomorfismo, pois λ Z e x, ȳ, z domínio de Φ tais que x = (x 1 f 1 + +x r f r + +x m f m )+Imf, ȳ = (y 1 f 1 + +y r f r + +y m f m )+Imf e z = (z 1 f z r f r + + z m f m ) + Imf temos:

40 22 1 Fundamentação Algébrica (i) Φ( x + ȳ) = Φ([(x 1 f x r f r + + x m f m ) + Imf]+ + [(y 1 f y r f r + + y m f m ) + Imf]) = = f([(x 1 + y 1 )f (x r + y r )f r + + (x m + y m )f m ] + Imf) = = (x 1 + y 1,, x r + y r, x r+1 + y r+1,, x m + y m ) = = (x 1 + y 1,, x r + y r, x r+1 + y r+1,, x m + y m ) = = (x 1,, x r, x r+1,, x m ) + (y 1,, y r, y r+1,, y m ) = = Φ( x) + Φ(ȳ) (ii) Φ(λ z) = Φ(λ[(z 1 f z r f r + + z m f m ) + Imf]) = = Φ([λ(z 1 f z r f r + + z m f m )] + Imf) = = Φ([(λz 1 )f (λz r )f r + + (λz m )f m ] + Imf) = = (λz 1,, λz r, λz r+1,, λz m ) = = (λz 1,, λz r, λz r+1,, λz m ) = = λ(z 1,, z r, z r+1,, z m ) = = λφ( z) Logo, Φ é um homomorfismo Vamos mostrar que Φ também é injetiva e sobrejetiva Para provar que Φ é injetiva, o teorema 131 nos diz que se kerφ = {e CDΦ }, então Φ é injetiva, de fato, como e CDΦ = (0,, 0, 0, 0), seja x kerφ, então (0,, 0, 0, 0) = Φ( x) = Φ((x 1 f x r f r + + x m f m ) + Imf) = = (x 1,, x r, x r+1,, x m ) = = x 1 = 0,, x r = 0, x r+1 = 0,, x m = 0 Logo, kerφ = {(0,, 0, 0, 0) = e CDΦ }, e portanto, Φ é injetiva A sobrejetividade de Φ é óbvia, pois dado w CDΦ tal que w = (w 1,, w r, w r+1,, w m ), seja m domínio de Φ tal que m = (w 1 f w r f r + + w m f m ) + Imf, logo Φ( m) = w Com isso concluímos que Φ é um isomorfismo Observação 176 Essencialmente o que Φ nos mostra é que o quociente de um Z-módulo livre M, de posto finito, por um Z-submódulo N, necessariamente livre, ver teorema 171, se decompõe numa parte T = Z λi, com λ i 1, chamada parte de torção e uma i parte L = Z, chamada parte livre, isto é, M/N = T L Observação 177 A matriz na forma padrão para um Z-homomorfismo entre Z-módulos

41 12 Parte B 23 livres finitamente gerados não é única, tomemos o[ seguinte ] exemplo: Seja f : Z Z 0 2 Z Z cuja matriz em relação as bases canônicas é, que já está na forma padrão 3 0 É possível encontrarmos bases do domínio e do contradomínio de modo que a matriz de f em relação a estas novas bases seja uma outra matriz na forma padrão Uma forma de conseguir isso é fazermos a seguinte sequência de operações elementares na matriz inicial dada: L 1 L 1 + L 2, C 1 C 1 C 2, C 1 C 2, C 1 C 1 2C 2, L 2 L 2 3L 1, onde L i e C j significam linha i e [ coluna j, ] respectivamente Obteremos assim a matriz 0 1 numa outra forma padrão igual a 6 0 Observação 178 A razão para se considerar a diagonal secundária ficará evidente quando usarmos o encavalamento do Algoritmo Anula no capítulo Operações elementares permissíveis na matriz inteira [f] E F Para obtermos uma matriz inteira de um Z-homomorfismo f na forma padrão, vamos realizar operações elementares em suas linhas e colunas, procurando assim obter uma nova matriz inteira, equivalente a primeira, de modo que esta esteja na forma padrão Esta nova matriz inteira estará sobre novas bases do domínio e do contradomínio Vamos ver a seguir quais operações elementares podemos fazer em uma matriz inteira de um Z- homomorfismo e que alterações estas respectivas operações elementares fazem nas bases do domínio e do contradomínio de f Consideremos a tabela abaixo com i j e r k: Tabela 11: Operações elementares na matriz inteira de um Z-homomorfismo entre Z-módulos livres finitamente gerados Coord do Dom Base do Dom Operação Elem Base do CDf Coord do CDf (x 1,, x n ) {e 1,, e n } [f] E F {f 1,, f m } (y 1,, y m ) x i x j e i e j C i C j x j x j γx i e i e i + γe j C i C i + γc j L r L k f r f k y r y k L r L r + γl k f k f k γf r y r y r + γy k A tabela acima nos mostra as operações permissíveis a matiz inteira de f, bem como as correspondentes operações nas bases e nas coordenadas, tanto do domínio quanto do

42 24 1 Fundamentação Algébrica contradomínio A notação C i C j significa permutar a coluna i pela coluna j e C i C i + γc j significa substituir a coluna i pela coluna que se obtém, efetuando-se a soma dos elementos da coluna i com os correspondentes da coluna C j multiplicados por γ Z Convencionando que L r denota a r-ésima linha, de modo análogo, seguem as outras notações Vamos provar que as correspondências apresentadas na tabela estão corretas Precisamos mostrar que as operações elementares realizadas na matriz [f] E F, na coluna 3 da tabela, correspondem com o que foi apresentado nas linhas respectivas a cada operação elementar realizada, linhas 3, 4, 5 e 6 da tabela, vejamos: Demonstração Primeiramente vamos provar as linhas 4 e 6 da tabela Para provar a linha 4, vamos decompor a matriz [f] E F C {}} 1 { [f] E F = [f(e 1 )] F como segue: C 2 {}}{ [f(e 2 )] F C {}} n { [f(e n )] F, onde [f(e i )] F está na coluna i da matriz e é a matriz coluna formada pelas coordenadas de f(e i ) em relação a base F Agora façamos na matriz [f] E F C i C i + γc j, então C {}} 1 { [f] E F = [f(e 1 )] F C {}} 1 { = [f(e 1 )] F C {}} 1 { = [f(e 1 )] F C 2 {}}{ [f(e 2 )] F C 2 {}}{ [f(e 2 )] F C 2 {}}{ [f(e 2 )] F C i {}}{ ([f(e i )] F + γ[f(e j )] F ) C i {}}{ [f(e i ) + γf(e j )] F C i {}}{ [f(e i + γe j )] F a operação elementar C {}} n { [f(e n )] F = C {}} n { [f(e n )] F = C {}} n { [f(e n )] F e isso implica que a base do domínio E = {e 1,, e n } passou a ser E = {e 1,, e i + γe }{{} j,, e n } Além disso, temos que se v domínio de f tal que v = Posição i x 1 e x n e n, ao aplicarmos a operação elementar C i C i + γc j temos que Assim, temos que v = a 1 e a j e j + + a i (e i + γe j ) + + a n e n = = a 1 e a j e j + + a i e i + γa i e j + + a n e n = = a 1 e (a j + γa i )e j + + a i e i + + a n e n

43 12 Parte B 25 a 1 = x 1 a 2 = x 2 a j + γa i = x j a j = x j γa i a i = x i a n = x n Logo, a j = x j γa i a j = x j γx i Portanto, após aplicarmos a operação elementar C i C i + γc j na matriz [f] E F as coordenadas de v domínio da f será temos que (v) E = (x 1,, x j γx }{{} i,, x n ) Posição j Vamos agora provar a 6 a linha da tabela Para uma coluna j da matriz [f] E F temos [f(e j)] F, o que implica que f(e j ) = a 1j f a rj f r + + a kj f k + + a mj f m Agora aplicamos na matriz [f] E F a operação elementar L r L r +γl k então, para a coluna j temos, f(e j ) = a 1j f (a rj + γa kj )f r + + a kj (f k γf r ) + + a mj f m Assim, fazendo j variar, com 1 j n, temos a correspondência apresentada na 6 a linha da tabela entre as colunas 3 e 4 Além disso, se y CDf tal que y = y 1 f y r f r + + y k f k + + y m f m, ao aplicarmos a operação elementar L r L r + γl k temos que y = y 1 f (y r + γy k )f r + + y k (f k γf r ) + + y m f m Logo, as coordenadas de y CDf após aplicarmos a operação elementar L r L r + γl k na matriz [f] E F será (y) F = (y 1,, y r + γy }{{} k,, y m ) Posição r As provas das linhas 3 e 5 da tabela saem de maneira semelhante às apresentadas, e

44 26 1 Fundamentação Algébrica por serem bem simples, não às faremos aqui Observação 179 No caso de matrizes de transformações lineares entre K-espaços vetoriais, além das operações elementares apresentadas na tabela 11 podemos efetuar as seguintes operações elementares: C i αc i + γc j e L r αl r + γl k com α K, α 0 Notemos que, sendo K um corpo e α 0, α é invertível em K Isto é fundamental para descrever as correspondentes operações nas bases do domínio e do contradomínio 1233 O Algoritmo Anula Vamos ver a seguir o Algoritmo Anula que nos fará obter a matriz na forma padrão Seja [f] E F a matriz de um Z-homomorfismo f : A B entre módulos livres finitamente gerados, onde E é base de A e F é base de B com postos n e m, respectivamente Ilustraremos apenas as operações elementares realizadas na matriz [f] E F Porém, como visto na tabela 11, o Algoritmo Anula consiste também, além de efetuar estas operações na matriz, das correspondentes mudanças nas bases E e F Dividiremos então o procedimento efetuado pelo algoritmo anula em 5 passos, vejamos: 1 o Passo: Usando somente permutações de linhas e de colunas, colocamos no cruzamento da primeira linha com a n-ésima coluna, o menor elemento, em módulo, p da matriz [f] E F cujo módulo seja diferente de zero Este elemento chamaremos de pivô a 1 a n 1 p b 2 b m m n 2 o Passo: Se q i é o quociente da divisão de a i por p, então fazendo as operações elementares C i C i q i C n, para i = 1,, (n 1), obtemos: r 1 r n 1 p b 2, onde r i, 1 i (n 1), é o resto da divisão de a i por p 3 o Passo: b m m n

45 12 Parte B 27 Se q k é o quociente da divisão de b k pelo pivô p, então fazendo as operações elementares obtemos: r 1 r n 1 p L k L k q k L 1, para k = 2,, m, s 2, onde s k, 2 k m, é o resto da divisão de b k por p 4 o Passo: s m m n Se na matriz resultante alguns dos r l ou s j forem não nulos, então estes em módulo são menores do que o pivô p, pois são restos [ da divisão ] por p, então retornamos ao 1 o 0 p Passo até obtermos uma matriz da forma, onde B é uma submatriz B 0 m n 5 o Passo: Refazemos os passos 1, 2, 3 e 4 para a submatriz B 124 Módulos Graduados Sejam J Z um conjunto de índices e Λ um domínio ideal principal Definição 180 (Λ-Módulo Graduado) Um Λ-módulo graduado M é uma coleção M = {M p } p J, onde cada M p é um Λ-módulo 1241 Submódulos Graduados Definição 181 (Λ-Submódulo Graduado) Sejam M = {M p } p J e N = {N p } p J Λ- módulos graduados Se N é um Λ-módulo graduado tal que N p é um submódulo de M p p J, então dizemos que N é um Λ-submódulo graduado de M 1242 Módulos Quocientes Graduados Como fizemos para módulos e submódulos, podemos considerar o quociente M/N entre módulos graduados e submódulos graduados como segue: Definição 182 (Λ-Módulo Quociente Graduado) Sejam M = {M p } p J um Λ-módulo graduado e N = {N p } p J um Λ-submódulo graduado de M, então podemos formar o Λ-módulo quociente graduado M/N tal que M N = { Mp N p Observação 183 No caso em que Λ é um corpo, temos que cada M p é um espaço vetorial sobre Λ e assim M é chamado de espaço vetorial graduado sobre Λ } p J

46 28 1 Fundamentação Algébrica 125 Módulos Duais Definição 184 (Módulo Dual) Sejam M p um Λ-módulo e G, ou o anel dos números inteiros ou um corpo Ao conjunto Hom(M p, G) dos homomorfismos de M p em G, denotado por M p # (G) ou M p (G), denominamos de módulo dual de M p Observação 185 É fácil verificar que M p (G) = Hom(M p, G) é um G-módulo Assim, temos que um Λ-módulo graduado M = {M p } p J dá origem a um G-módulo graduado Hom(M, G) = {Hom(M p, G)} p J Usaremos também as notações M # (G) = Hom(M, G) = {M P (G)} p J 126 Λ-Morfismos de Grau i Definição 186 (Λ-Morfismo de Grau i) Sejam M = {M p } p J e N = {N p } p J Λ- módulos graduados e i Z Um Λ-Morfismo de Grau i é um morfismo h : M N de Λ-módulos graduados tal que h = {h p } p J, onde cada h p : M p N p+i é um Λ- homomorfismo Analogamente ao que vimos na subseção 1213, temos que o núcleo de h é o Λ- submódulo graduado Ker(h) = {Ker(h p )} p J de M, onde Ker(h p ) denota o núcleo de h p Do mesmo modo temos que a imagem de h, Im(h) = {Im(h p i )} p J, é um Λ-submódulo graduado de N Definição 187 (Morfismo de Sinal Alternante) Seja h : M N um Λ-morfismo de grau i entre Λ-módulos graduados Definimos o morfismo de sinal alternante h : M N como o Λ-morfismo de grau i h = {h p } p J de Λ-módulos graduados, onde h p : M p N p+i é caracterizado por h p (x) = ( 1) p h(x) x M p Definição 188 Sejam M = {M p } p J e N = {N p } p J Λ-módulos graduados e h : M N um morfismo de grau i Então podemos produzir um morfismo Hom(h, G) de grau i como segue: Tomemos Hom(h, G) : Hom(N, G) Hom(M, G), onde Hom(h, G) = {Hom(h p, G)} p J tal que Hom(h p, G) : Hom(N p+i, G) Hom(M p, G) é dado por Hom(h p, G)(ϕ)(x) = ϕ(h p (x))

47 12 Parte B 29 ϕ Hom(N p+i, G) e x M p 127 Traços Seja M um Λ-módulo livre, onde Λ é novamente um domínio ideal principal Se M tem uma base finita, então dizemos, de acordo com a definição 167, que M é finitamente gerado Dados um Λ-módulo livre finitamente gerado M, um homomorfismo h : M M e uma base x 1,, x n para M, podemos então escrever h(x j ) = n a ij x i i=1 j = 1,, n e formar a matriz [a ij ] que é chamada de matriz de h com respeito a base x 1,, x n Dada uma base x 1,, x n para um Z-módulo livre finitamente gerado M, podemos produzir uma base X 1,, X n para o Λ-módulo Hom(M, Λ) definindo para cada X i, i = 1,, n, o homomorfismo tal que 1 se i = j X i (x j ) = 0 se i j A base X 1,, X n construída acima é chamada base dual da base x 1,, x n Teorema 189 Seja M um Z-módulo livre finitamente gerado Seja x 1,, x n base de M Então existe uma única base dual X 1,, X n para o Λ-módulo Hom(M, Λ) tal que X i (x j ) = δ ij Teorema 190 Sejam M um Z-módulo livre finitamente gerado com base x 1,, x n, h : M M um homomorfismo e Λ um domínio ideal principal A matriz de h com respeito a x 1,, x n é a transposta da matriz do Hom(h, Λ) com respeito a base dual Observação 191 Se a matriz de h é uma matriz de números inteiros, então a matriz do Hom(h, Λ) também será uma matriz de números inteiros, ao invés de uma matriz com entradas a partir de Λ, quando definida em termos da base dual Observação 192 O teorema continua válido se temos que Λ é um corpo Definição 193 (Traço de uma Matriz) Seja A = [a ij ] n n uma matriz de ordem n Definimos o traço da matriz A como sendo T r(a) = n a ii i=1

48 30 1 Fundamentação Algébrica Definição 194 (Traço de um Homomorfismo) Se M é um Λ-módulo livre finitamente gerado e h : M M é um homomorfismo, então o traço de h, T r(h), é o traço da matriz de h com respeito a alguma base para M Se M é o módulo trivial então, por definição, T r(h) = 0 É condizente definirmos o traço de um homomorfismo independentemente da base escolhida para M A mesma prova, na verdade, estabelece o seguinte resultado mais forte que vamos usar mais adiante nos próximos capítulos Teorema 195 Sejam M e N Λ-módulos livres finitamente gerados, onde Λ é um domínio ideal principal, e sejam h : M M, ϕ : M N e ψ : N M homomorfismos tal que ψ ϕ : M M é a função identidade Então T r(h) = T r(ϕ h ψ) 128 Módulos Livres Graduados Definição 196 (Λ-Módulo Livre Graduado) Por um Λ-módulo livre graduado queremos dizer um Λ-módulo graduado M = {M p } p J tal que cada M p é livre Definição 197 (Λ-Módulo Finitamente Graduado) Um Λ-módulo finitamente graduado M é tal que valem as seguintes condições: (i) M = {M p } p J é um Λ-módulo livre graduado (ii) Cada M p é finitamente gerado (iii) M p é trivial exceto para um número finito de inteiros p Sejam M = {M p } p J um Λ-módulo finitamente graduado e h : M M um Λ- morfismo de grau zero, então faz sentido definirmos o traço de h por T r(h) = T r(h p ) p J Recordando o morfismo de sinal alternante h definido em 187, vamos então definir: Definição 198 (Número de Lefschetz de h) O número de Lefschetz L(h) do morfismo h é tal que L(h) = T r(h)

49 31 Capítulo 2 Complexos Simpliciais 21 Conceitos Introdutórios Definição 21 (Poligonal) Uma poligonal é uma figura plana formada por uma sequência de pontos P 1, P 2,, P n e pelos seguimentos P 1 P 2, P 2 P 3,, P n 1 P n Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são os seus lados Definição 22 (Polígono) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes 4 condições são satisfeitas: i) P n = P 1 ; ii) Os lados da poligonal se interceptam somente em suas extremidades; iii) Cada vértice é extremidade de dois lados; iv) Dois lados com mesma extremidade não pertencem a uma mesma reta; Exemplo 23 Vejamos alguns exemplos de polígonos e de figuras que não são polígonos: Tabela 21: Polígonos P 1 P 2 P 3 P 5 P 4 É um polígono É um polígono

50 32 2 Complexos Simpliciais Tabela 22: Figuras que não são Polígonos P 2 P 3 P 1 P 4 P 3 P 1 P 5 P 4 P 5 P 2 Não é um polígono, pois Não é um polígono, pois não vale a condição i) da definição 22 não vale a condição ii) da definição 22 P 3 P 2 P 1 P 3 P 2 P 5 P 4 P 1 P 5 P 4 Não é um polígono, pois Não é um polígono, pois não vale a condição iii) da definição 22 não vale a condição iv) da definição 22 Definição 24 (Região Triangular) Uma região triangular, figura 21, é um conjunto de pontos do plano formado por todos os segmentos cujas extremidades estão sobre os lados de um triângulo O triângulo é chamado de fronteira da região triangular O conjunto de pontos de uma região triangular que não pertencem a sua fronteira é chamado de interior da região triangular Figura 21: Região Triangular Definição 25 (Região Poligonal) Uma região poligonal é a união de um número finito de regiões triangulares que duas a duas não têm pontos interiores em comum, figura 22

51 21 Conceitos Introdutórios 33 Figura 22: Região Poligonal Definição 26 (Ponto Interior a uma Região Poligonal) Um ponto é interior a uma região poligonal se existe alguma região triangular contida na região poligonal e contendo o ponto no seu interior O interior da região poligonal é o conjunto dos pontos que lhe são interiores A fronteira da região poligonal é constituída pelos pontos da região que não pertencem ao seu interior P Q Figura 23: P é ponto interior a região e Q é ponto de fronteira Definição 27 (Região Poligonal determinada por um Polígono) A região poligonal determinada por um polígono é a região poligonal cuja fronteira é o polígono Exemplo 28 Dado o polígono L abaixo, figura 24, quem será a região poligonal R determinada por L? Figura 24: Polígono L Pela definição 27, temos que R será a região poligonal cuja fronteira é L, e pela definição 25, temos que R será a união de um número finito de regiões triangulares que duas a duas não têm pontos interiores em comum, ou seja, como a fronteira de R é L e R é uma união finita de regiões triangulares sem pontos interiores em comum, duas a duas, então R está na região do plano que é interior à fronteira L e a interseção entre regiões

52 34 2 Complexos Simpliciais triangulares de R é não vazia, pois caso contrário a fronteira de R não seria apenas L, logo toda a região interior à fronteira L é preenchida e formada por uma união finita de regiões triangulares sem pontos interiores em comum, duas a duas Vejamos como isso se configura geometricamente: Desse modo temos várias possibilidades de representação para R, vejamos duas dessas possibilidades: Tabela 23: Possibilidades de representar a região poligonal R Possibilidade 1, para representar R Possibilidade 2, para representar R Mas ainda, pela definição 26, temos que os pontos interiores de R são todos os pontos que não pertencem a fronteira L tais que existem regiões triangulares contidas em R contendo tais pontos em seus interiores, ou seja, a região R é o conjunto de todos os pontos interiores às regiões triangulares que já a formam, mais todos os pontos de fronteira destas regiões tal que a interseção destes com a fronteira L é vazia Portanto, desse modo, podemos omitir a coleção finita de regiões triangulares que formam a região R representando-a apenas de maneira cheia, com seus pontos interiores e sua fronteira o polígono L PontosinterioresdeR Figura 25: Região poligonal R determinada pelo polígono L Como introdução para a próxima seção, observemos:

53 21 Conceitos Introdutórios 35 Sejam L o polígono da figura 24 e R a região poligonal determinada por L, figura 25 Podemos extrair de L uma coleção L g contendo seus vértices e arestas Mais explicitamente: A menos de ordem, considerada dos vértices para as arestas, essa coleção L g é dada por L g = {P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4, P 4 P 5, P 5 P 6, P 6 P 1 } De maneira análoga, podemos extrair da região poligonal R uma coleção R g contendo seus vértices, arestas e suas regiões triangulares, já que por definição R é uma soma finita de regiões triangulares que duas a duas não tem pontos interiores em comum, ver definição 25 Nesse momento poderá surgir uma questão: Essa coleção R g que queremos extrair da região poligonal R é única? A resposta é evidente, não Como visto no exemplo anterior, exemplo 28, pelas figuras 23, possibilidade 1 e 2, temos dois exemplos de como podemos representar a mesma região poligonal R por meio de regiões triangulares Então para o nosso interesse neste momento, escolhemos, por exemplo, a coleção R g de vértices, arestas e regiões triangulares que podemos extrair da região poligonal R determinada por L tendo em vista a representação da mesma pela figura 23 possibilidade 1 Explicitamente temos: A menos de ordem, considerada dos vértices para as arestas e para as regiões triangulares, temos R g = {P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4, P 4 P 5, P 5 P 6, P 6 P 1, P 6 P 2, P 6 P 3, P 6 P 4, P 1 P 2 P 6, P 2 P 3 P 6, P 3 P 4 P 6, P 4 P 5 P 6 } Onde, P i P j P k representa a região triangular de vértices P i, P j e P k Ainda, observemos também que fixado um plano α e dados os pontos (vértices) P 1, P 2,, P 6 em α, podemos, a partir dos elementos de L g (ou respectivamente R g ), reconstruir o polígono L (ou respectivamente região poligonal R) Este processo de reconstruir a figura a partir de uma coleção K g, nós indicaremos por K g No caso em questão, temos L g = L e R g = R Quando introduzirmos o conceito de K -Simplexo, veremos que os Complexos Simpliciais Geométricos são generalizações para a criação destas coleções, ou seja, é uma coleção K g de vértices, arestas, triângulos e outros K -Simplexos, obedecendo determinadas condições Podemos ainda formar uma outra coleção considerando apenas os conjuntos dos índices {i} dos pontos P i, os conjuntos dos índices {i, j} das arestas P i P j, os conjuntos dos índices {i, j, k} das regiões triangulares P i P j P k, e assim por diante Vejamos, para o polígono L temos: L a = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 1}}

54 36 2 Complexos Simpliciais Para a região poligonal R temos: R a = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 1}, {6, 2}, {6, 3}, {6, 4}, {1, 2, 6}, {2, 3, 6}, {3, 4, 6}, {4, 5, 6}} Os conjuntos L a e R a, obtidos de L e R respectivamente, são subconjuntos das partes do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} e são chamados de Complexos Simpliciais Abstratos As coleções L a e R a estão intimamente relacionadas com as coleções L g e R g respectivamente No entanto, recuperar o polígono L ou a região poligonal R enfocando apenas L a ou R a respectivamente é bem mais difícil Por exemplo, pela definição 225 temos que o elemento 1 de L a é apenas um símbolo e o elemento P 1 de L g é um ponto do plano, portanto mais geométrico Nos tópicos seguintes vamos precisar essas coleções K g, K a, o espaço K e além disso quando dados um deles obter os outros dois 22 Célula e K -Simplexos Definição 29 (Célula) Seja {P 1,, P k+1 } um conjunto de pontos de R n A célula gerada por {P 1,, P k+1 } é o seguinte conjunto: k+1 [P 1,, P k+1 ] = {X R n : X = s i P i = 1, onde s i 0 e i=1 k+1 s i = 1} i=1 Exemplo 210 Se P 1 sp 2, s R, a célula gerada por [P 1, P 2 ] é um segmento de reta Analogamente, a célula gerada por [P 1, P 2, P 3 ] pode ser um ponto, um segmento ou uma região triangular, de acordo com a dependência linear dos vetores P 2 P 1 e P 3 P 1 Definição 211 (Pontos Geometricamente Independentes) Seja {P 1,, P k+1 } um conjunto de pontos de R n Dizemos que {P 1,, P k+1 } é geometricamente independente, se os vetores P 2 P 1, P 3 P 1,, P k+1 P 1 são linearmente independentes no sentido da Álgebra Linear usual É fácil de ver que isso é equivalente à afirmação de que as equações k+1 k+1 s i = 0 e s i P i = 0 i=1 i=1 implicam que s 1 = = s k+1 = 0, onde s i R, i = 1,, (k + 1) Observação 212 Partindo dessa definição temos que dois pontos distintos em R n formam um conjunto geometricamente independente, assim como três pontos não colineares, quatro pontos não coplanares, e assim por diante Um conjunto com apenas um ponto é geometricamente independente

55 22 Célula e K -Simplexos 37 Quando um conjunto {P 1,, P k+1 } de pontos de R n é geometricamente independente, com k n, a célula por eles gerada é chamada de simplexo de dimensão k ou K-Simplexo Formalmente definimos: Definição 213 (K -Simplexos) Seja {P 1,, P k+1 } um conjunto de pontos de R n geometricamente independentes Um K-Simplexo determinado por {P 1,, P k+1 } é o seguinte conjunto: k+1 < P 1,, P k+1 >= {X R n : X = s i P i = 1, onde s i 0 e i=1 k+1 s i = 1} i=1 Os números s i R são unicamente determinados por X e são chamados de Coordenadas Baricêntricas do ponto X com relação a P 1,, P k+1 Exemplo 214 Para dimensões mais baixas podemos facilmente retratar um simplexo Vejamos: Um 0 -Simplexo é um ponto O 1 -Simplexo gerado por {P 1, P 2 } R n, com P 1 P 2, é o seguinte conjunto: < P 1, P 2 >= {X R n : X = s 1 P 1 + s 2 P 2, onde s i 0 e s 1 + s 2 = 1}, ou seja, como s 1 + s 2 = 1 s 2 = 1 s 1 e s s s 1, logo o 1 -Simplexo consiste de todos os pontos da forma X = s 1 P 1 + (1 s 1 )P 2, com 0 s 1 1 O que representa o segmento de reta ligando P 2 e P 1 Do mesmo modo temos que um 2 -Simplexo gerado por {P 1, P 2, P 3 } R n, pontos não colineares, é o conjunto < P 1, P 2, P 3 >= {X R n : X = s 1 P 1 + s 2 P 2 + s 3 P 3, onde s i 0 e s 1 + s 2 + s 3 = 1}, ou seja, supondo X P 1, um 2 -Simplexo consiste dos pontos da forma [( ) ( ) ] s2 s3 X = s 1 P 1 + (1 s 1 ) P 2 + P 3 = s 1 P 1 + s 2 P 2 + s 3 P 3 (1 s 1 ) (1 s 1 ) A expressão entre colchetes representa um ponto P do seguimento de reta ligando P 2 e P 3, pois ( ) ( ) X P 1 s2 s3 s 1 + s 2 + s 3 = 1 s 2 + s 3 = 1 s 1 + = 1 e 1 s 1 1 s 1 s i 1 s 1 0, i = 1, 2 Assim, X é um ponto do seguimento de reta ligando P 1 e P Por outro lado, qualquer ponto do seguimento de reta ligando P 2 e P 3 está em < P 1, P 2, P 3 >

56 38 2 Complexos Simpliciais Logo, temos que < P 1, P 2, P 3 > é a união de todos os seguimentos de reta ligando P 1 a pontos de P 2 P 3, ou seja, < P 1, P 2, P 3 > é uma região triangular Figura 26: 2 -Simplexo Uma prova similar mostra que um 3 -Simplexo é um tetraedro Definição 215 (Vértices e Dimensão de um Simplexo) Os pontos P 1,, P k+1 R n que geram o K -Simplexo são chamados de Vértices e o número K é a Dimensão do K -Simplexo Observação 216 Quando não houver necessidade de explicitar os vértices de um K - Simplexo vamos denotá-lo simplesmente por σ k Definição 217 (Faces de um K -Simplexo) Dizemos que um simplexo σ r é face de um simplexo σ k R n, se todos os vértices de σ r são vértices de σ k As faces próprias de σ k são aquelas que têm dimensão menor que K 23 Complexos Simpliciais Geométricos (csg) Definição 218 (Simplexos Propriamente Justapostos) Dois Simplexos σ p e σ q de R n são propriamente justapostos, ou simplesmente justapostos, se não se interceptam ou se a intersecção deles é uma face comum Definição 219 (Complexo Simplicial Geométrico) Um complexo simplicial geométrico K g é uma coleção finita de simplexos todos contidos num mesmo R n, de modo que: i) Todas as faces de um q-simplexo pertencentes a K g também pertencem a K g ii) Quaisquer dois simplexos de K g são propriamente justapostos Definição 220 (Realização Geométrica) A figura resultante da justaposição de todos os simplexos σ p K g em R n, é chamada de realização geométrica de K g, e será denotada por K g Definição 221 (Dimensão de K g ) A dimensão de K g é a maior dentre todas as dimensões de seus simplexos, e vamos denotá-la por dimk g

57 24 Complexos Simpliciais Abstratos (csa) 39 P 1 P 2 P 6 P 5 P 3 P 4 Figura 27: Realização Geométrica Exemplo 222 Considere a realização geométrica de um complexo simplicial geométrico K g, K g R 3, dada abaixo: Baseando-nos na representação geométrica apresentada, podemos nomear os vértices que compõem a figura e assim extrair e exibir uma coleção finita de simplexos que compõem a figura, ou seja, podemos exibir um complexo simplicial geométrico K g na qual sua realização geométrica coincida com a figura apresentada, explicitamente: K g = {P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, < P 1, P 2 >, < P 1, P 3 >, < P 1, P 6 >, < P 2, P 3 >, < P 2, P 6 >, < P 3, P 4 >, < P 3, P 6 >, < P 4, P 5 >, < P 4, P 6 >, < P 3, P 4, P 6 >} (21) 24 Complexos Simpliciais Abstratos (csa) Definição 223 (Complexo Simplicial Abstrato) Seja S N um conjunto finito Dizemos que K a é um complexo simplicial abstrato (csa) se: i) K a (S) ii) σ a K a e τ σ a com τ, então τ K a E ainda, os elementos σ a K a são chamados de simplexos abstratos e sua dimensão é o seu número de elementos menos um Definição 224 (Dimensão de K a ) A dimensão de K a é a máxima das dimensões de seus simplexos, e vamos denotá-la por dimk a Definição 225 (Conjunto Vértice) O conjunto vértice V de um complexo simplicial abstrato K a é a união de todos os conjuntos unitários de K a Não faremos distinção entre o vértice v V e o 0 -Simplexo {v} K a Exemplo 226 Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} N, então o conjunto K a das partes não vazias que se extraem dos conjuntos {1, 2, 3}, {2, 3, 5} e {3, 4, 5} é um complexo simplicial abstrato, ou seja, K a = {1, 2, 3, 4, 5, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {2, 3, 5}, {3, 4, 5}}

58 40 2 Complexos Simpliciais Exemplo 227 (K a obtido a partir de K g ) Consideremos o complexo simplicial geométrico K g, csg 21 do exemplo 222 obtido por meio de sua realização geométrica, figura 27 Se considerarmos apenas os índices dos vértices que compõem os simplexos σ p K g, 0 p dimk g, obtemos um csa a partir do csg K g, explicitamente: (K g ) a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, {1, 2}, {1, 3}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {3, 4, 6}} (K g ) a Sempre que obtivermos um csa a partir de um csg K g dado, o indicaremos por 25 Correspondência entre csa e csg Os exemplos anteriores evidenciaram a maneira de se obter (K g ) a, ou seja, obter um csa a partir de um csg O contrário também é possível, ou seja, obter (K a ) g Mais ainda, estes dois procedimentos são quase inversos um do outro: ((K a ) g ) a = K a, mas ((K g ) a ) g = Kg Formalizando: Teorema 228 Seja K a um complexo simplicial abstrato de dimensão n Então podemos construir um complexo simplicial geométrico, associado ao complexo K a, cujos simplexos estão no R 2n+1 Demonstração Vide o livro 9, pág 38

59 41 Capítulo 3 Homologia e Cohomologia de um Complexo Simplicial Finito Observação 31 Neste capítulo estaremos sempre considerando o complexo simplicial abstrato (K g ) a, ou simplesmente K a, cujos vértices estão enumerados Além disso, estamos admitindo que os simplexos de K a estão listados de modo que seus vértices estejam em ordem crescente, assim, passaremos a denotar um simplexo σ p K a com vértices a 1,, a p+1 N por σ p = (a 1,, a p+1), com a 1 < < a p+1 31 Z-Módulos das p-cadeias Definição 32 (Z-Módulo das p-cadeias) Seja K a um complexo simplicial abstrato Consideremos o conjunto S p (K a ) formado por todos os simplexos de dimensão p de K a O Z-módulo das p-cadeias do complexo simplicial abstrato K a é o Z-módulo livre que é gerado por S p (K a ), e o denotaremos por C p (K a ) Desde que K a seja finito, seja b(p) o número de elementos do conjunto S p (K a ) Claramente temos que o Z-módulo livre C p (K a ) é isomorfo ao Z-módulo livre dado pelo produto cartesiano de b(p) cópias de Z, ie, C p (K a ) = Z b(p) = Z Z, b(p) vezes Notemos que para exibir este isomorfismo é suficiente estabelecer uma bijeção entre S p (K a ), que é base de C p (K a ), e a base canônica de Z b(p) Observemos ainda que os elementos do conjunto S p (K a ) podem ser ordenados segundo a ordem lexicográfica dos vértices que formam os p-simplexos, e de acordo com a observação 31 estes vértices nos simplexos estão enumerados e apresentados num p-simplexo, de modo crescente Assim, com os elementos de S p (K a ) ordenados desta forma, fica fácil exibir o isomorfismo entre C p (K a ) e Z b(p), basta associarmos o primeiro elemento de S p (K a ) com o primeiro elemento da base canônica de Z b(p) e assim sucessivamente

60 42 3 Homologia e Cohomologia de um Complexo Simplicial Finito Exemplo 33 Consideremos K g dado pela figura abaixo: P 4 P 3 P 5 P 1 P 2 Figura 31: Exemplo A base S 1 (K a ) ordenada lexicograficamente é: S 1 (K a ) = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (4, 5)} O isomorfismo ϕ entre C 1 (K a ) e Z 6 associa aos elementos da base S 1 (K a ) os seguintes elementos: (1, 2) (1, 0, 0, 0, 0, 0) (1, 3) (0, 1, 0, 0, 0, 0) (1, 4) (0, 0, 1, 0, 0, 0) (1, 5) (0, 0, 0, 1, 0, 0) (2, 3) (0, 0, 0, 0, 1, 0) (4, 5) (0, 0, 0, 0, 0, 1) Do mesmo modo, podemos exibir as bases S 0 (K a ) e S 2 (K a ) e os isomorfismos entre C 0 (K a ) e Z 5 e entre C 2 (K a ) e Z Vamos exibir apenas o isomorfismo ψ : C 0 (K a ) Z 5, pois o usaremos mais adiante Temos que a base S 0 (K a ) ordenada lexicograficamente é S 0 (K a ) = {1, 2, 3, 4, 5} e então ψ : C 0 (K a ) Z 5 1 ψ(1) = (1, 0, 0, 0, 0) 2 ψ(2) = (0, 1, 0, 0, 0) 3 ψ(3) = (0, 0, 1, 0, 0) 4 ψ(4) = (0, 0, 0, 1, 0) 5 ψ(5) = (0, 0, 0, 0, 1)