CARTOGRAFIA. Sebenta de apoio às aulas teóricas da disciplina de Cartografia 2016/2017. Licenciatura em Engenharia Geoespacial

Transcrição

1 CTOI Sbnta apoio às alas tóicas a isciplina Catogaia 6/7 Licnciata ngnhaia ospacial Dpatanto ngnhaia ogáica, oísica ngia

2 Ínic Chapt Intoção O pobla básico a psntação catogáica Objctios étoos psntação Classiicação as pojcçõs catogáicas O pobla tínsco O pobla intínsco O sqa classiicação Chapt Diniçõs, notação insõs Diniçõs notação psntação atática a oa a ta Diniçõs notação no lipsói na sa Linhas co popias spciais goésica, o cíclo áio a otoóica looóica Chapt óla gal a tansoação. toia as istoçõs óla gal a tansoação. Coniçõs nicia, sabilia cosponência nt cas paaéticas otia incial lnta. atiz tansoação lnto lina pssõs anglas atiz tansoação nantal. O tinant o jacobiano Otos concitos oação lina. Coniçõs conoia qialência Coicints spiciais ass no lipsói, na sa no plano. Coonaas isoéticas toia as istoçõs as istâncias, ânglos áas Pas otogonais cosponnts oação lina oação lina sob cas paaéticas oação angla oação lina cosponnt à oação angla áia oação aal inicatiz Tissot Catogaia na aao ia (6/7) i

3 .5.. toia a inicatiz inicatiz na pática Chapt 4 Pojcçõs qialnts Consiaçõs gais Intoção oação lina Pojcçõs qialnts o lipsói sob o plano pojcção pso-cónica qialnt onn Intoção pojcção onn Intptação goética a pojcção onn Chapt 5 Pojcçõs conos o isogónicas Consiaçõs gais Intoção Sistas coonaas isoéticas. oação lina Pojcção ass Intoção ólas tansoação icta ólas tansoação insa oação lina Cocção tangnt à coa Cocção ção os copintos initos Congência iianos Pojcção Mcato Intoção ólas tansoação icta ólas tansoação insa Cocção tangnt à coa Cocção ção os copintos initos Copinto aco looóica Catogaia na aao ia (6/7) ii

4 Chapt Intoção.. O pobla básico a psntação catogáica O pobla básico a psntação catogáica consist na psntação a spíci ca na spíci plana. iga a ta é salnt psntaa po sólio olção, o lipsói o a sa, o qal é consiao coo a spíci ência lação à qal toos os pontos são lacionaos. sts pontos po stão sitaos na spíci tst, na spíci os ocanos lagos o abaio ssas spícis ága. sta spíci ência é a psntação o níl éio o a a sa continação sob as zonas ais laas o sob as zonas ais ponas a spíci tst. Tal aiação não é ncssaiant a ao q a iga a ta é, na alia, psntaa po a spíci qipotncial o capo gaítico tst, noinaa po gói, coo tal ssa spíci é igla, o onlatóia, sno ipossíl a sa psntação po a óla atática igoosa. ss-s ntão q as spícis ência tilizaas paa a spíci tst são o lipsói a sa, sta oa, o pobla as pojcçõs catogáicas s-s à psntação a spíci lipsoial o séica na spíci plana (iga.). iga. - sqa psntação a spíci tst na spíci plana. Catogaia na aao ia (6/7) -

5 psntação a spíci ca na spíci plana apsnta as antagns s ito ais ácil pozi ansa apa plano o q globo o a poção, zios a a tinaa scala, a spíci tst aina os cálclos atáti s ito ais sipls n plano o q n lipsói o sa. o ntanto, sta psntação nol istoçõs, sno aplicaas ints técnicas psntação q possa tinaas popias aoáis a popósito spcíico consiano, aina, a insão a áa a s psntaa. sta técnica psntação é signaa po pojcção catogáica... Objctios étoos psntação psntação a spíci tst na spíci plana t coo pincipal objctio a psntação as posiçõs pontos isctos na spíci oiginal n sista coonaas planas, consqntnt, o cálclo istâncias ânglos nt sss pontos isctos. É pcisant sta tansoação a spíci a ta na spíci plana a opação ais iícil consgi. o ntanto, po-s pojcta a spíci ísica a ta, sob lipsói ência, po io pojctants noais ao lipsói caa os ss pontos (étoo pojcção Hlt). Dst oo, caa os pontos a spíci tst ica inio po coonaas, a latit (ânglo nt a noal o lga o plano o qao) a longit (ânglo nt o iiano o lga o iiano ência, io no plano o qao) as spctias pojcçõs sob o lipsói,, pla altit lipsoial h. ist tês citéios catogái q são aplicaos paa a aaliação as popias as pojcçõs catogáicas: a) qiistância psntação cocta as istâncias; b) Conoia psntação cocta as oas; c) qialência psntação cocta as áas. sts tês citéios são bási tant clsios, sno o ponto ista catogáico, ilants qaisq otas caactísticas a aa pojcção. Dao isto, nota q não ist a psntação ial, apnas a lho psntação paa tinao popósito. Os étoos pojcção o psntação po s classiicaos coo: a) Pojcção icta o lipsói na spíci pojcção; b) Dpla pojcção nolno a tansoação o lipsói na spíci séica postio psntação a spíci séica na spíci pojcção. ist, ntão, ois tipos spícis at o lipsói a sa tês tipos spícis pojcção o plano, o con o cilino sno as as últias spícis planiicáis (iga.). Catogaia na aao ia (6/7) -

6 iga.. Classiicação as pojcçõs catogáicas sgno o citéio a spíci pojcção. tansoação a spíci at na spíci pojcção po s natza goética, sigoética o atática (conncional). Mito pocas pojcçõs são pojcçõs aiant pspctias sntio goético. É connint ini a pojcção catogáica co aanjo sistático linhas q s intscta no plano, q psnta tê a cosponência paa co os iianos paallos a spíci at. st aanjo obc a alg pincípio consistnt oo a iica tinaas coniçõs pé-inias. Caa conjnto noas coniçõs slta na pojcção catogáica int, consqntnt, ist núo iliitao pojcçõs catogáicas. Conto, na pática, os tês citéios catogái ncionaos antiont qiistância, conoia qialência - são aplicaos co núo liitao otas coniçõs sltano n núo cca zntas pojcçõs istintas ciaas paa ins spcíi (Maling, 968).. Classiicação as pojcçõs catogáicas classiicação pojcçõs catogáicas á sgi stana oo q qalq pojcção (não conncional) possa s scita po conjnto citéios insant conjnto citéios iniá a qalq pojcção. ssi, sqa classiicação á sgi núo citéios sbiiios classs aias cono sgio po oss (95). s classs po s consiaas ints pontos ista, sno sts não tant clsios. s aias são as sbiisõs caa class são tant clsias. Paa acilita o pocsso constção sqa classiicação as pojcçõs catogáicas coposto po classs aias ão s consiaas tinaos actos spcíi: a) O objcto pojctao o a spíci at; b) spíci pojcção na qal a spíci at é pojctaa; c) pojcção o a psntação p si. spíci pojcção é consiaa coo o pobla tínsco o pocsso pojcção o psntação coo o pobla intínsco. Catogaia na aao ia (6/7) -

7 ... O pobla tínsco st pobla consia as popias a spíci latiant à spíci at ano oig a tês classs: I. atza : natza a spíci pojcção inia coo a iga goética II. Coinciência : contacto a spíci pojcção co a spíci at III. Posição : alinhanto a spíci pojcção lação co a spíci at. Qanto à sa natza, as pojcçõs po aina s iiia tês aias, psntano, caa a, as spícis básicas pojcção, noaant o plano, o con o cilino (iga.). ais sipls stas spícis pojcção é o plano, q qano tangnt à spíci at t único ponto contacto q cospon ao cnto a áa istoção ínia. O con o cilino, q são abos planiicáis, oa intozios co o objctio anta a zona contacto consqntnt a áa ínia istoção. iga.. Classiicação as pojcçõs catogáicas qanto à natza: a) plana, b) cónica c) cilínica. class coinciência po s iiia tês aias psntano os tês tipos coinciência nt a spíci at a spíci pojcção, noaant tangnt, scant polispicial (iga.4). Viica-s acilnt q a tangência nt a spíci at a spíci pojcção slta n ponto o na linha contacto, o piio no caso a spíci pojcção s plano a sgna no caso a spíci s cilino o con. Paa anta a áa contacto nt as as spícis, consqntnt a áa istoção ínia, é intozio o oo scant, sltano na linha contacto no caso q a spíci é o plano as linhas contacto no caso o cilino o o con. Paa a aina aio áa contacto é intozio o últiplo contacto signao po polispicial. st caso a séi planos scssios poziá a pojcção poliéica, a sqência cons poziá a pojcção policónica a séi cilinos poziá a pojcção policilínica. Catogaia na aao ia (6/7) -4

8 iga.4. Classiicação as pojcçõs catogáicas qanto à coinciência: a) tangnt, b) scant c) polispícial. Qanto à posição as pojcçõs são sbiiias tês aias psntano as tês posiçõs básicas o alinhantos a spíci pojcção latiant à spíci at, noaant, noal, tanssa oblíqa (iga.5). Caso o popósito a pojcção sja a psntação a áa liitaa a spíci at, é ntão antajoso alcança a istoção ínia nssa áa paticla. Tal é possíl ataés a aiação a atit a spíci pojcção. S o io sitia a spíci pojcção coinci co o io otação o lipsói o a sa, tos a pojcção noal. Co o io sitia ppnicla ao io otação, obtê-s pojcção tanssa paa qalq ota atit o io sitia, obtê-s a pojcção oblíqa. iga.5. Classiicação as pojcçõs catogáicas qanto à posição: a) noal, b) tanssa c) oblíqa. Catogaia na aao ia (6/7) -5

9 ... O pobla intínsco st pobla consia a pojcção o ponto ista as sas popias catogáicas o s oo constção, ano oig a as classs: IV. Popias catogáicas V. Moo constção Qanto às popias catogáicas, sta class ii-s tês aias tant clsias q psnta os tês citéios catogái bási : qiistância, conoia qialência. qiistância signiica q ist a cocta psntação a istância nt ois pontos na spíci at na spíci pojcção, oo q a scala é antia ao longo linhas q lig qaisq ois pontos. sta caactística é natalnt liitaa a núo spcíico pontos não é oa alga a caactística gal stas pojcçõs. conoia psnta a antnção a oa os lntos, consqntnt a antnção os ânglos (icçõs), sno sta popia liitaa a áas ininitant pqnas não ctant a igas goéticas gans insõs. qialência áas signiica a antnção as áas os lntos psntaos, as à csta a oação a sa oa os ss ânglos q são nst caso oaos. últia class po s iiia tês aias tant clsias psntano os tês pincipais oos constção a pojcção: goética, si-goética conncional (atática). s pojcçõs goéticas o si-goéticas slta a psntação goética o pspctia pa o po io pocsso pacialnt pojctio. st caso nqaa-s as pojcçõs gnonóica stogáica. as pojcçõs conncionais não ist qalq lação o tipo pojctio o goético sno a psntação obtia po pocsso pant atático.... O sqa classiicação s classs as aias ncionaas nas as scçõs antios po s oganizaas a sgint oa (Tabla.): Tabla.. Classs aias as pojcçõs catogáicas. Pobla tínsco Spíci pojcção Pobla intínsco - Pojcção Classs I. atza II. Coinciência III. Posição IV. Popias catogáicas V. Moo constção Vaias Plana Cónica Cilínica Tangnt Scant Polispicial oal Tanssa Oblíqa qiistant qialnt Cono oética Sigoética Conncional Catogaia na aao ia (6/7) -6

10 Ua qalq pojcção po s scita po conjnto aias, a caa class; insant, conjnto aias, a caa class, in a pojcção. D salinta o acto q o núo pojcçõs é ininito. a tabla. são apsntaos os conjntos aias q caactiza algas as pojcçõs tilizaas na catogaia potgsa. Tabla..Vaias q caactiza algas as pojcçõs tilizaas na catogaia potgsa. Pojcção onn Pojcção Mcato Pojcção Tanssa Mcato (ass) Pojcção Unisal Tanssa Macato (UTM) atza Cónica Cilínica Cilínica Cilínica Coinciência Tangnt Tangnt Tangnt Scant Posição oal oal Tanssa Tanssa Popias qialnt Cono Cono Cono Moo constcção Conncional Conncial Conncial Conncial Catogaia na aao ia (6/7) -7

11 Chapt Diniçõs, notação insõs.. Diniçõs notação... psntação atática a oa a ta oa ísica a ta é ito igla paa s tilizaa ictant cálclos atáti. Consqntnt, isas spícis atáticas ictícias tê sio inias coo apoiaçõs a oa a ta co ints gas pcisão. lho apoiação nisalnt acit é a a spíci qipotncial cosponnt ao níl éio o a, signaa po gói. O gói é a spíci onlatóia, sa contína, q icticiant s stn sob os continnts ao so níl q, po inição, é ppnicla, caa ponto, à icção a gaia. sta spíci não é siética lação ao s io otação, sno igla a istibição nsias no intio a Ta (iga.). O ont st constiti o ponto ais alto, co cca 8 altit, a ossa as Maianas, co cca ponia, constiti o ponto ais pono a spíci a ta. iga.. O gói o lipsói. boa o gói sja io connint paa o sto o capo gaítico a ta, st apsnta santagns qano s ptn calcla coonaas hoizontais pontos, istâncias ânglos, ao q a olação atática ncssáia paa ss cálclo é tant copla. Dao isto, é intozia a spíci olção siética consiaa coo a lho apoiação ao gói. sta spíci é lipsói cjas insõs pn as coniçõs q popociona o lho ajstanto lação à spíci o gói q s ptn psnta. Ua as popias ais co consist az coincii o s io olção cnto, spctiant, co o io otação o cnto gaia o gói at global (iga.a). o ntanto, paa a psntação a gião pacial o gói é consiao lipsói, tangnt Catogaia na aao ia (6/7) -

12 à spíci o gói no ponto cntal ssa gião, cja spíci constita o lho ajstanto gional cjo io olção sja paallo ao io otação o gói at local (iga.b).... Diniçõs notação no lipsói na sa Paa os póios capítlos é ncssáio ini os lntos o lipsói b coo os lntos cosponnts à sa. Vaos consia a iga. on stá psntaa pat lipsói. iga.. Paâtos o lipsói. O io-z cospon ao io olção. U plano q pass po st io intscta a spíci ao longo a lips iional. O cnto o lipsói é O; o Polo ot Sl são inicaos po P SP, spctiant. O si-io aio a lips iional (a) é igal ao aio qatoial psntao na iga po O o OC (OOCa). O si-io no a lips iional (b) é psntao na iga po OPb. D sgia são apsntaas as laçõs atáticas nt os isos paâtos o lipsói. O achatanto o lipsói () é ao po: a b (.) a piia cnticia () é aa po: a b (.) a co igal à sgint pssão: ( ) (.) Catogaia na aao ia (6/7) -

13 O ânglo nt a noal ao lipsói PD P o io qatoial CO é signao po latit goésica (). O ânglo COP é signao po latit gocêntica. O aio cata o iiano () P é ao po: a. ( ) (. ) (.4) O aio o cíclo paallo () q passa po P (co constant), psntao na iga po PO, é igal a: PO ' (.5) sno o aio cata na icção a piia tical ppnicla à icção o iiano, o qal é ao pla sgint pssão: a (.6) (. ) O iiano q passa po P é inicao plo ânglo, signao po longit P, contao a pati o iiano ência. Po ga consia-s o iiano nwich coo sno o iiano ência. o ntanto, no caso as psntaçõs catogáicas po s ais connint consia o iiano cntal a pojcção a aa gião coo oig a contag as longits. O ânglo é consiao positio na icção st ngatio na icção Ost a pati o iiano oig. qação o lipsói no sista coonaas ctanglas tiinsional (iga.) é aa po: a z b (.7) o coonaas polas:.. z ( ) (.8) O azit aco abitáio PP sob a spíci o lipsói é signao po α é contao no sntio os pontios o lógio a pati a icção o ot. Tal é ostao na iga.. Catogaia na aao ia (6/7) -

14 iga.. zit PP. s cosponnts ólas paa a sa são obtias colocano nas pssõs antios (iga.4). o caso a sa ist apnas aio cata plo q é óbio q a latit goésica é coincint co a latit gocêntica. iga.4. Paâtos séi. Q no caso o lipsói q no caso a sa a posição os pontos sob a spíci é aa pla latit contaa positia a pati o qao até ao ot a longit, abas pssas gas, intos sgnos aco... Linhas co popias spciais ist algas linhas co popias sob a spíci o lipsói ( as sas qialnts séicas). o caso concto a catogaia, as linhas ais ipotants são a goésica a looóica. Catogaia na aao ia (6/7) -4

15 ... goésica, o cíclo áio a otoóica O cainho ais cto nt ois pontos P P sob a spíci o lipsói é signao po goésica (iga.5). Pogino ao longo sta linha ca, o azit a tangnt a continant a caa ponto. iga.5. goésica. D acoo co o toa Claiat iica-s a sgint lação caa ponto P a goésica: o pocto o aio cíclo paallo q pass po ao ponto P plo sno o azit a goésica é a constant, o α α C (.9) Dsta pssão tia-s algas paticlaias: () Paa, a C α (.) a qano a goésica intscta o qao, o azit α é igal ao ac(c/a). () Paa α9, iica-s q {. C. ( ) C (.) a solção stas qaçõs ol ois alos paa siéti lação ao qao. () Paa α, o alo é intinao a goésica é iiano. Catogaia na aao ia (6/7) -5

16 Caso P P tnha a istância áia longit 8 ( - 8 ), o cainho ais cto é ao longo a scção iional q pass po os polos. Os cíclos paallos não são goésicas, boa o toa Claiat sja satisito (qação.9). Q as scçõs noais nt ois pontos q a goésica cospon a pats cíclos áios na sa ao q sta cospon a caso paticla o lipsói, isto é qano o siio aio no são igais. Logo, o cainho ais cto nt pontos é pat cíclo áio. o ntanto, sta ca só é pojctaa coo a linha cta nas pojcçõs gnoónicas (à pojcção a goésica é ao o no otoóica).... looóica looóica nt ois pontos P P é a ca q intscta os iianos co azit α constant (iga.6)..6. looóica. qação ssa ca é gaa a pati a qação incial: tan α (.) iano ictant a pati a iga.7. Catogaia na aao ia (6/7) -6

17 iga.7. lntos inciais a looóica. Intgano solno oo a obt tan α, obté-s: tanα (.) ln tan(45 ) ln tan(45 ) Qalq oto ponto P (ϕ, ) ao longo a ca po s calclao ataés a intgação (.) co os liits : tanα ln tan(45 ) ln tan(45 ) (.4) Dsta pssão tia-s algas paticlaias: () S, tg α o α 9, sltano n cíclo paallo; () S, α, sltano n iiano; () S 9, tn paa ininito, sltano na spial icção ao polo (iga.8). Catogaia na aao ia (6/7) -7

18 iga.8. looóica icção ao polo. looóica é spcial ipotância na nagação ao q é pojctaa coo a linha cta nt pontos na pojcção cilínica cono Mcato. s igas.9. osta a otoóica a looóica na pojcção gnoónica na pojcção cono Mcato, spctiant. iga.9. otoóica a looóica na pojcção gnoónica,. iga.. otoóica a looóica na pojcção Mcato. Catogaia na aao ia (6/7) -8

19 Chapt óla gal a tansoação. toia as istoçõs.. óla gal a tansoação. Coniçõs nicia, sabilia cosponência nt cas paaéticas U ao sista cas paaéticas (, ) po s aoptao sob a spíci ca, logo caa ponto ssa spíci po s ao coonaas catsianas tiinsionais,, z coo nção (iga.). z z ig... Spíci at ig... Spíci pojcção p p z p (, ) (, ) (, ) (.) Po conniência, a ssa spíci iá chaa-s spíci at. sa lação po s scita paa a sgna spíci à qal s iá chaa spíci pojcção (iga.). p p z p (, ) (, ) (, ) (.) s cas paaéticas a spíci at stão lacionaas co sista cas na spíci pojcção s isti a lação atática nt os paâtos (, ) (, ), ic-sa. q q (, ) (, ) (.) É óbio q paa psntaos a spíci a Ta, o qalq ota spíci ca, na sa o n plano, as coniçõs s satisitas Catogaia na aao ia (6/7) -

20 () a pojcção s única (conição nicia); () a pojcção s síl (conição sabilia). Tal signiica q a ao ponto na spíci at cospon único ponto na spíci pojcção ic-sa. Mataticant, tal po s psso pla conição q os paâtos s solúis a pati as qaçõs (.), tno-os coo nção. q q (, ) (, ) (.4) S ais stiçõs, as cas paaéticas po noa não cospon ao sista (, ), constitíno oto sista abitáio int. o ntanto, a lação nt (, ) (, ) po s stablcia liinano as qaçõs (.) (.) co a aja (.), obtno-s a óla gal a tansoação p p z p (, ) (, ) (, ) p p z p (, ) (, ) (, ) (.5).. otia incial lnta. atiz tansoação... lnto lina pssõs anglas D acoo co a óla a gotia incial o qaao o copinto ininitsial a pat a ca, signao abiaant po lnto lina s, sob a spíci é ao po s z (.6) Diano as pssõs (.) o a, obt-s z z z (.7) sbstitíno (.7) (.6), slta q Catogaia na aao ia (6/7) -

21 Catogaia na aao ia (6/7) - z z z z z z s O (.8) Os coicints,. são signaos po piios coicints spiciais ass são signaos na litata po,, spctiant. Dst oo a pssão (.6) passa scs a sgint oa s (.9) Consiano q a aa ca sob a aa spíci é a ca coonaa const., ntão, logo sbstitíno (.9) obtos s s igal oo, s const., ntão, logo s s s qantias acta coo nias ia ao longo as cas sob a aa spíci. a iga. é apsntao paallogao incial n ponto P a aa ca iga.. O paallogao incial s cas coonaas const. const. são, no caso a Catogaia, os paallos iianos, spctiant. Consios ntão q θ α α (.) s P α α

22 sno θ o ânglo intscção as cas coonaas no ponto P (i.., o ânglo nt as tangnts às cas P). O paallogao po consia-s plano aa a sa áa ininitant pqna, plo q s po aplica a li o no, obtno-s s o ( ) ( ) ( ) ( ) (8 θ ) s θ (.) Igalano as pssõs (.) (.9), obt-s q θ θ (.) igala (.) osta q a conição ncssáia sicint paa q as cas coonaas sja otogonais é q. Consiano q θ θ, slta q θ θ (.) O ânglo α nt a tangnt à ca coonaa const. a tangnt a a ca s n ao ponto P, noinao azit s, obt-s aplicano noant a li o no ( ) ( ) s ( ) s α s s α igalano sta pssão à pssão (.), obt-s α θ s θ s sbstitíno θ pla sa pssão (.), slta q α (.4) s s igal oo s obt paa α a sgint pssão α (.5) s s Consiano, noant, q α α, slta q Catogaia na aao ia (6/7) -4

23 α α L s s s s sbstitino no nao s pla sa pssão (.9), obt-s q igal oo s obt q α (.6) s α (.7) s áa lnta o paallogao é aa plo poto tno ois ctos sbstitino θ θ pla sa pssão (.), obt-s q (.8) pssão é inia positia. stas sas pssõs são aplicáis à spíci pojcção sano as ltas, g ( z,, spctiant) os ânglos Ω β ( z θ α, spctiant). sista paaético otogonal (, ) on θ 9º, a pssão paa a áa o paallogao passa a s... atiz tansoação nantal. O tinant o jacobiano Consiano as spícis S S, sob caa a las sista coonaas cilínas (, ) (, ), obtos os sgints lntos linas s s s s (.9) Diano as pssõs (.) q stablc a cosponência nt os pontos as as spícis, obt-s q Catogaia na aao ia (6/7) -5

24 Catogaia na aao ia (6/7) -6 Sbstitíno stas pssõs na sgna pssão (.9), aos obt o lnto lina s tos as cooonaas g s L on g (.) lação nt os coicints, g os coicints, po s pssa notação aticial a sgint oa g (.) sno sta atiz signaa po atiz nantal a tansoação. O to g po s zio a pati as pssõs antios, pono tabé s psso coo o poto ois tinants ( ) ( ) g (.)

25 sno o sgno tinant, signao abiaant po, o tinant o jacobiano (, ) co spito a (, ). Co as nçõs scitas sta oa po gaanti-s q a caa pa (, ) cospon ponto sob a spíci at oto sob a spíci pojcção, ao q st tinant é sp int zo (, pois ). Caso oss nlo o tinant, a nção pnia a ota a cosponência não a níoca... Otos concitos... oação lina. Coniçõs conoia qialência O ólo a oação lina, tabé signao po acto scala, é inio pla sgint azão: s s g g (.) nota q pn a icção a tangnt ao ponto P q é int caa icção. o ntanto, ist a cpção, noaant, qano os coicints o noinao são spctiant popocionais aos o nao: g (.4) O acto scala é ntão inpnnt é o so toas as icçõs. sta conição s satisita paa toas as pojcçõs conos. sta sa conição anté os ânglos lis istoçõs na iag. Tal po s obsao a pati as pssõs (.) (.6) cobinação co (.4), sltano : Catogaia na aao ia (6/7) -7

26 Catogaia na aao ia (6/7) -8 β α θ Ω s g s g s g g g g consiano. D acoo co (.8), a áa paallogao ininitant pqno é aa po: s a iag (pojcção) st paallogao ti a sa áa, a sgint conição s satisita: 4 ) ( g g (.5) consiano acto scala igal a.... Coicints spiciais ass no lipsói, na sa no plano. Coonaas isoéticas o caso a Catogaia o q s ptn é a psntação a spíci o lipsói olção sob a spíci pojcção (plano, cilino o con). gal, consia-s sob a spíci o lipsói as coonaas latit longit (, ) sob a spíci pojcção as coonaas catsianas, tabé signaas po ctanglas o planas, (, ) o as cooonaas polas (, θ). U lipsói po s scito plas sgints qaçõs: ( ) Z Y X (.6) sno o aio cata na icção a piia tical ppnicla à icção o iiano. s cas paaéticas sob a spíci o lipsói são os iianos as tajctóias otogonais são os cíclos paallo ( ). pssão o lnto lina sob a spíci at é aa po: s

27 Catogaia na aao ia (6/7) -9 iano as pssõs (.6) consiano as pssõs os coicints spiciais ass,,, na pssão (.8), obt-s q: ( ) ( ) Z Y X Z Y X K K (.7) consqntnt a pssão o lnto lina passa a sc-s a sgint oa: s (.8) o caso a sa t-s q, sno scita plas sgints qaçõs: Z Y X (.9) igal oo s obt q: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Y X Z Y X K K (.) consqntnt: s (.) o plano t-s a sgint pssão paa o lnto lina s, consiano : s (.) plo q:

28 (.) as nias ia ao longo os ios coonaos são igais. Tal não s iica nas pssõs (.8) (.), pois. o caso o lipsói, o sista coonaas (, ) não é sista isoético, i.. não t a sa ética ao longo os ois ios pincipais. o ntanto, stas coonaas po s sbtias a a tansoação co ista a tona as nias ia igais. Consiano a pssão (.8): colocano iência obt-s: s s (.4) Intozino a noa aiál Φ, signaa po latit isoética, cja lação co a latit goésica é aa po: ( ) Φ (.5) ( ) intgano sta pssão, obt-s a sgint pssão paa a latit isoética Φ: Φ n l tg45 ln tg45 ln c K (.6) q psnta a cnticia o lipsói, l n o logaito natal c é a constant, a qal é igal a zo. D nota q a latit isoética s tona ininita nas giõs polas ass o alo zo no qao. pssão (.4) passa ntão a sc-s a sgint oa: ( Φ ) s (.7) sno o noo sista coonaas signao po sista coonaas isoéticas. latit isoética na sa ia-s ictant a pssão (.6) colocano a cnticia igal a zo, sltano : Φ s l n tg45 (.8) Catogaia na aao ia (6/7) -

29 O lnto lina, no caso a sa, é ntão ao po: ( Φ ) s (.9) sista coonaas polas plano, on o lnto lina s é ao po, consiano θ: s θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ s (.4) on é o aio pola θ o ânglo pola. Os piios coicints ass não são igais aos a qação (.), plo q o sista tabé não é isoético. D igal oa s po tansoa st sista n oto sista qialnt q sja isoético. Colocano iência, obt-s: ( µ ) s θ θ (.4) on µ. Intgano µ, obt-s q: µ ln c on slta q: µ c ln µ c µ c µ sno assi a pssão o lnto lina passa a t a sgint oa: on as coonaas µ θ são isoéticas. ( µ ) µ p θ p s (.4) sista coonaas ctanglas os paallogaos lntas são ctânglos, logo θ 9. sts paallogaos tona-s qaaos n sista coonaas isoético. Catogaia na aao ia (6/7) -

30 s coonaas isoéticas são ta ipotância nas pojcçõs conos. boa os coicints pincipais ass, na conição conoia (.4), possa s iaos ictant (.), a intoção os paâtos isoéti sipliica consialnt as pssõs..4. toia as istoçõs as istâncias, ânglos áas.4.. Pas otogonais cosponnts Dinino sista ctangla cas paaéticas (, ) sob a spíci at (), o cosponnt conjnto cas na spíci pojcção é po ga não ctangla ( ). Sno assi, a pssão a oação lina ass a sgint oa s s g s tnno às pssõs o (.4) o (.6) o azit α a linha qalq sob a spíci, oitino o ínic α po conniência, consiano q, obt-s q α α α g α (.4) sno, g. g o ntanto, Tissot (88) poo q caa ponto a spíci at ist conjnto cas paaéticas ctanglas, as qais tê conjnto cas cosponnts co as sas caactísticas na spíci pojcção. stas cas são signaas po cas paaéticas pincipais ( ). Consqntnt, a pssão po ntão s sipliicaa passano a s g α g α (.44) s s.4.. oação lina D acoo co a pssão.4, a oação lina ass a sgint oa α α α g α Paa tina o alo áio inío paa a oação lina, anla-s a iaa o sgno bo a pssão o a α, obtno-s ( ) α α ( α α) α ( g ) α α g α α (.45) Catogaia na aao ia (6/7) -

31 pssão sta q é qialnt a tgα (.46) ( g) scno a pssão a oação lina coonaas catsianas obt-s q α α α g g α calclano os alos pópios sta pssão, obt-s o alo áio inío paa a oação lina ( g ) ( g ) ( g ) ( g ) 4 4 (.47) nalisano stas as igalas apiant s iica q g (.48).4.. oação lina sob cas paaéticas oação lina ao longo a ca (on, α 9 ) é igal a g (.49) igal oa, a oação lina ao longo a ca (on, α )) é igal a (.5) Usano (.4) (.6) consiano q α α s s (.5) as pssõs (.49) (.5), a pssão (.44) passa a sc-s a sgint oa: α α α α (.5) s Catogaia na aao ia (6/7) -

32 ol o alo a oação lina paa lnto lina s azit α, sno a oação lina pincipal a linha oig a contag os azits (α ). Paa tina o alo áio inío paa a oação lina, anla-s a iaa o sgno bo a pssão (.5) o a α, obtno-s: ( ) ( ) α α α α α α alo to paa co α co α 9 t (.5) t (.54) stas pssõs são paticlant ipotants ao q onsta q as icçõs on a oação lina é áia ínia cospon às icçõs as cas paaéticas, são consqntnt otogonais oação angla psntano po α β os ânglos q os lntos linas s s az co as linhas const., chaa-s oação angla δ à inça nt os azits α β (iga.4). δ β α (.55) P α s P β s g (a) (b) iga.4. O paallogao incial, (a) Spíci at, (b) Spíci pojcção Catogaia na aao ia (6/7) -4

33 Consiano as pssõs o α o α sob a spíci at, as qais são aas po (.5) α α s s as pssõs cosponnts sob a spíci pojcção β g β s s t-s q tgα tgβ g scno a pssão a tgβ nção tgα consiano as pssõs (.49) (.5), obtos tgβ g g tgα tgα tgα on s po obsa q, paa α β, s t q consqntnt, coo s iica toas as pojcçõs conos. Sno δ β α, t-s q tgα tgα tgβ tgα tgα tgδ tg( β α ) tgβ tgα (.56) tg α tg α nota q, coo sia spao, paa α α 9 a oação angla é nla (tgδ δ ). Paa acha o alo o azit α cosponnt à oação angla áia, anla-s a iaa o sgno bo a pssão (.56) o a α, obtno-s ( tgδ ) α tgα ± (.57) sbstitíno st alo na pssão a oação angla, obt-s a pssão paa a oação angla áia ± ± tgδ K (.58) Catogaia na aao ia (6/7) -5

34 .4.5. oação lina cosponnt à oação angla áia Consiano a pssão (.5) a pssão (.57) α α tgα ± obt-s q α α α α α (.59) plo q a oação lina paa o azit α cosponnt à áia oação angla é igal a oação aal pssão paa a oação aal ia-s a pati a pssão (.8) D cobinano-a co as pssõs (.49) (.5) consiano Paa pojcçõs qialnts, P/ D plo q g P (.6) D logo, co bas na pssão (.59) po concli-s q nas pojcçõs qialnts as istâncias na icção a áia oação angla são psntaas s oação, pois α..5. inicatiz Tissot.5.. toia a inicatiz toia as istoçõs Tissot iz q cíclo, sob a spíci at, co cnto P aio s po consia-s plano aa a sa áa ininitant pqna q sta áa panc ininitant pqna plana na spíci pojcção. D oo gal, st cíclo é pojctao Catogaia na aao ia (6/7) -6

35 sob a spíci pojcção coo a lips. pnas no caso paticla a spíci at s paalla à spíci pojcção é q st cíclo panc co a sa oa oiginal, boa a a scala int. P α s P β s (a) (b) iga.5. lips oação (lips Tissot), (a) Spíci at, (b) Spíci pojcção Consiano cíclo co cnto P n sista coonaas ctanglas (, ) a sa pojcção n sista ctangla cosponnt (, ), os ios coonaos são ntão as tangnts aos cosponnts sistas (, ) abas as spícis. Co bas na pssão (.5) na iga.5. α α s s s.α s.α (.6) cosponntnt s. β s. β g (.6) Sbstitíno α s α s (.6), obt-s Catogaia na aao ia (6/7) -7

36 α s g α s cono às pssõs (.49) (.5) α s α s (.6) colocano ao qaao soano sts ois tos, obt-s α s α s s (.64) sta pssão cospon à qação a lips co siio aio (no) igal a.s siio no (aio) igal a.s. Consiano q s é igal a, a pssão antio ass a sgint oa (.65) sta lips é signaa po inicatiz Tissot, ao q inica as caactísticas a pojcção na izinhança ao ponto P. Sab-s q a áa a spíci a Ta q s po consia coo plana t aio apoiaant, pono até s aio caso os qisitos pcisão sja nos ignts. o intio sta gião, po ntão sc-s a qação (.65) nção as coonaas (, ) sista coonaas ctanglas oitino as iaas (.66).5.. inicatiz na pática oi já onstao q cíclo aio nitáio s sob a spíci at q possa s sbstitío po plano tangncial local, é a oa gal pojctao coo a lips, signaa po inicatiz. Donsto-s tabé q o siio aio siio no são igais à oação lina áia ínia, spctiant. sts são ntão calclaos tilizano as pssõs (.5) (.49), spctiant: Catogaia na aao ia (6/7) -8

37 Catogaia na aao ia (6/7) -9 g áia istoção angla azit é aa pla pssão (.58) ± tg δ oação angla n tinao azit abitáio α é calclaa co bas na pssão (.5) α α α sno a oação lina no azit cosponnt à oação angla áia α aa pla pssão (.59) α oação aal é obtia ataés a pssão (.6) D P

38 Chapt 4 Pojcçõs qialnts 4.. Consiaçõs gais 4... Intoção Ua pojcção iz-s qialnt s a oação aal ti alo constant toos os pontos, t-s ntão q P D g const. oi antiont onstao q a cobinação a atiz tansoação nantal co a conição qialência conz à qação (.5), tilizano acto scala igal a ( g ) o caso as pojcçõs qialnts as áas não so istoção, a oação lina aia os ânglos são oaos. Coo antiont ncionao, a qialência a conoia não po s iicaas copltant siltâno. Tal po s onstao, no caso a pojcção qialnt, consiano a pssão (.55) paa q sta pojcção oss siltanant cono t-s-ia q iica, caa ponto, a sgint igala s a oação lina áia ínia o igais, s s signa ss alo po, t-s q logo, po concli-s q sta últia pssão não é possíl s iicaa toos os pontos a spíc oação lina istoção lina na icção abitáia po s tinaa ataés a sgint pssão s g (4.) s Catogaia na aao ia (6/7) 4-

39 consiano o caso gal q o sista otogonal (, ) sob o lipsói não é tansoao n sista otogonal sob o plano. α s β s Ω g (a) (b) iga 4.. O paallogao incial, (a) Spíci at, (b) Spíci pojcção Consiano a iga 4. as pssõs (.) (.8), a pssão (4.) passa a sc-s a sgint oa g Ω g (4.) co Ω (4.) g cono às pssõs (.4), (.6) (.7), obtê-s as sgints pssõs tan α (4.4) tan β g Ω g Ω (4.5) Sbstitíno (4.4) (4.5), obt-s tan β g tanα Ω g tanα Ω (4.6) Catogaia na aao ia (6/7) 4-

40 Sno a pojcção qialnt consiano a pssão (.6) t-s q g g g ( g Ω) Ω Logo, Ω (4.7) g g Mltiplicano a pssão (4.6) po, a pssão a tanβ passa a sc-s a sgint oa g tanα Ω tan β g tanα Ω tanα tanα cot Ω tanα g tanα cot Ω g Ω Ω( tanα ) ( tanα cot Ω) sta é a pssão gal a tansoação azit aco sob o lipsói no cosponnt azit ss so aco após a pojcção. a icção qalq, contaa a pati o io, t-s sgno a pssão (.5) q α α oação lina na tinaa icção tona-s igal à intia s (4.8) α α plo q α α o tan α ± (4.9) q é iêntica à pssão (.57), a qal ol o alo o azit α cosponnt à oação angla áia. o caso as pojcçõs qialnts, co, a pssão antio passa a s a sgint Catogaia na aao ia (6/7) 4-

41 Catogaia na aao ia (6/7) 4-4 tan ± ± α (4.) 4.. Pojcçõs qialnts o lipsói sob o plano Consiano sob o lipsói as coonaas cilínas (co ) ntão os coicints spiciais ass são, q é o aio pincipal cata na icção o iiano é o aio o paallo n tinao ponto P sob o lipsói. ntão o lnto lina sob S é ao po s sob o plano, o lnto lina coonaas catsianas (co ) é ao po s azno as spctias sbstitiçõs na sgint pssão ( ) ( ) g g g obt-s ( ).. (4.) Consiano agoa sob o plano as coonaas polas θ (co θ), o lnto lina é ao po θ s obtno-s a sgint pssão gal as psntaçõs qialnts coonaas polas ( ) θ θ θ θ.. (4.)

42 s pssõs (4.) (4.) são as pssõs gais as psntaçõs qialnts nt o lipsói, co sista coonaas otogonais (, )), o plano co sista coonaas catsianas (, ) polas (, θ), spctiant. 4.. pojcção pso-cónica qialnt onn 4... Intoção pojcção onn é a pojcção cónica, qialnt, noal co a linha contacto tangnt ao paallo ência. sta pojcção apnas o iiano cntal ência é a linha cta os iianos cíclos paallo não oa sista otogonal no plano. oação lina ao longo o iiano cntal ao longo toos os paallos é igal a, não sno psaa a scala ao longo os stants iianos. O aco iiano σ nt o paallo latit paallo latit (os qais são pojctaos coo cíclos concênti tono o étic o con) é calclao po σ (4.) Coo tal os cíclos paallos não são igalnt spaçaos, tno alo int nção a latit. istância ao longo paallo à latit s o iiano cntal até ao iiano longit é igal a ( ) (4.4) Tal é ilstao na iga 4., on a paaética é snhaa na pojcção onn. P ( i- ).. ( i- ).. i Miiano cntal Catogaia na aao ia (6/7) 4-5

43 iga 4.. paaética na pojcção onn. Os ios pincipais a inicatiz Tissot não coinci co o sista cas paaéticas (, ). Tal q cálclos aicionais co ista à tinação cono já ostao na scção 4... Os sistas catogái qialnts tê coo s sab intss goésico zio paa apas scala éia it as gans oaçõs linas anglas. o ntanto, paa giõs alongaas na icção ot-sl stitas na icção st-ost, coo é o caso Potgal continntal, a pojcção onn t oaçõs anglas pqnas, sno paticant cono. D acto, a pojcção onn é so igoosant cono sob o iiano cntal sob o paallo cntal pojcção onn. Cocos po ipo a conição q os paallos sja psntaos po a cicnência concênti, plo q é connint aopta coonaas polas sob o plano az co q o aio pola sja nção clsia a latit ( ) (4.5) Ipono sta conição, a qação gal as pojcçõs qialnts (4.) z-s a on θ. (4.6) θ ± (4.7) Co a conição iposta as ólas tansoação são ntão ( ) θ ± const. (4.8) Consiano q sta constant é nla, slta q paa o alo θ potanto t-s o iiano oig as longits, o qal s ai toa coo sno o iiano cntal a pojcção q sá psntao plo io pola (apnas o iiano cntal a pojcção é otogonal a toos os cíclos paallos). s ólas tansoação (4.8) ica ntão Catogaia na aao ia (6/7) 4-6

44 Catogaia na aao ia (6/7) 4-7 ( ) ± θ (4.9) stas ólas ispoos ois gas liba, psntaos pla nção abitáia () pla constant. Os lntos linas sob o lipsói sob o plano são spctiant θ s s Intozino, poisoiant, a qantia () ( ) (4.) as ólas (4.9) passa a t a sgint oa ( ) ( ) ± θ (4.) Paa calcla s é ncssáio tina θ ( ) ( ) θ θ θ (4.) O lnto lina s sá ntão ao po ( ). s (4.) oação lina sob o iiano cntal ( ) na icção o iiano cntal ( ) sá ntão ao po s s (4.4)

45 Ipono q sta oação sja a sa toos os pontos o iiano cntal, slta q const. > on s obt, intgano sta pssão, q ± const. (4.5) cosponno o al positio ao caso csc co o al ngatio ao caso csc co (iga 4.). (a) Sinal positio (b) Sinal ngatio iga 4.. Sinal a atibi ao aio pola consoant no caso o s alo csc co a latit (a) no caso o s alo csc co a latit (b). S psntaos po a latit o paallo cntal a pojcção po o aio o aco cicnência cosponnt, ntão a pssão (4.5) passa a sc-s a sgint oa ± const. (4.6) Sno const. a constant qalq, sta po s liinaa conjgano as pssõs (4.5) (4.6), obtno-s ± (4.7) ot-s q o intgal psnta o aco iiano σ (iga 4.4) nt o paallo latit paallo latit psso na qação (4.). Catogaia na aao ia (6/7) 4-8

46 o caso a pojcção a zona no hiséio ot, á s aoptao o al ngatio paa q o alo csça o polo ot paa o ponto a csça o qao paa o polo ot (o sja, q as as coonaas tnha sntios contáios cscinto). σ iga 4.4. lação nt o aio cto () ao paallo o aio cto o paallo ência ( ). st caso, a pssão (4.7) ass o sgint aspcto (4.8) a tntatia az co q o sista sja cono no iiano cntal na icção os paallos aos ipo q a oação lina no iiano cntal ( ) na icção os paallos ( ) sja igal, obtno-s st oo os sgints lntos linas sob o lipsói sob o plano, spctiant logo, a oação lina é igal a s s s. s. ( ) ( ). ( ) Sbstitíno () pla sa pssão (4.), obt-s. ( ) Catogaia na aao ia (6/7) 4-9

47 tno consiação a pssão (4.4), a pssão antio passa a t a sgint oa (4.9) Intozino sts noos lntos, as ólas tansoação (4.9) passa a sc-s a sgint ania θ ± (4.) a pssão o θ poia t sio oitio o al, bastano scolh o sntio cscnt θ acoo co o sntio cscinto paa q a cata não iq intia. últia tapa consist ipo q a oação lina sja tanto qanto possíl constant, o sja, q a pojcção sja tanto qanto possíl cono. Vai-s ntão ipo coo conição q a oação lina spitant aos lntos linas sob o paallo cntal ( ) sob o iiano cntal ( ) sja igal a paa o lnto lina sob o plano t-s q. Dst oo, sob o lipsói t-s a sgint pssão s s θ (4.) coo, a pati a piia pssão (4.), s sab q po obt-s a noa pssão paa co bas nas pssõs (4.4) (4.9) latiant a θ, consiano noant as pssõs (4.), t-s q θ θ iano a pssão θ nas qaçõs (4.) Catogaia na aao ia (6/7) 4-

48 Catogaia na aao ia (6/7) 4- θ Sbstitíno θ na pssão (4.), o lnto lina sob o plano é s consqntnt, a oação lina sá ntão aa po s s Paa q sta igala sja iicaa paa qalq alo, t q s iica a sgint conição cot Logo, as ólas tansoação inais são as sgints ± θ cot (4.) stas são as ólas a pojcção onn. azno, coo é o caso a catogaia potgsa continntal, obt-s

49 cot θ ± σ (4.) 4... Intptação goética a pojcção onn Tac-s a cta psntatia o iiano cntal scolha-s ponto O paa cnto os a cicnência psntatios o paallo. Tac-s aco aio (iga 4.5). O P σ P iga 4.5. Pojcção qialnt onn. cot Dsta oa tos psntao o paallo cntal. ot-s q é o lao o con cicnscito ao lipsói tangnt ao longo o paallo cntal latit. Paa psnta ponto gnéico P, tac-s o aco cicnência aio σ sno σ o aco iiano nt as latits. O aco taçao é a iag o paallo q passa po P. Macano sob l copinto P igal ao cosponnt P sob o lipsói, ica assi inio o caniso goético a cosponência. Catogaia na aao ia (6/7) 4-

50 Catogaia na aao ia (6/7) 4- iga 4.6. Sista coonaas polas na pojcção onn. s coonaas catsianas ctanglas são ntão aas plas pssõs ( ) ( ) θ σ θ θ σ θ P P (4.4) q θ σ cot tansoação icta ica solia plas pssõs antios. Paa a tansoação insa tê-s as sgints pssõs θ θ actan θ P P P P (4.5) q P P O P θ

51 cot σ θ Catogaia na aao ia (6/7) 4-4

52 Catogaia na aao ia (6/7) 5- Chapt 5 Pojcçõs conos o isogónicas 5.. Consiaçõs gais 5... Intoção Ua pojcção iz-s cono o isogónica s a oação lina o inpnnt o azit, isto é, o s alo tá s o so toas as icçõs. oi antiont onstao q a cobinação a atiz tansoação nantal co a conição conoia conz à qação (.4). g ssino ois sistas otogonais cosponnts ( ) g (5.) plo q, nst caso, as pssõs (.) passa a s g (5.) cobinano (5.) (5.) obtê-s as sgints coniçõs conoia g (5.) Paa q a oação lina sja inpnnt o azit, a iaa o a α t s nla. Sno a oação lina aa pla pssão (.4) na scção.4. α α α α g t-s ntão q

53 α ( ) ( g ) α α logo tan α (5.4) ( g) Dno sta qação s iicaa paa qalq alo α, iica-s, paticla, q paa α α 45º, o alo a pssão (5.4) é igal a α tan α α 45 tan α g g ssi, paa a psntação cono a pssão (.4) passa a sc-s a sgint oa α α (5.5) inicatiz a oação lina sá ntão a cicnência; sno a pssão a oação angla (.56) z-s a tgα tg δ (5.6) tg α o sja, a oação angla é nla paa toos os azits. Sno assi, o ânglo nt ois lntos não é altao pla psntação Sistas coonaas isoéticas. oação lina s nias ia ao longo os ios coonaos (, ) po tona-s igais cono onstao na scção... Consiano as pssõs o lnto lina sob o lipsói s sob o plano s t-s q ( ) s co Catogaia na aao ia (6/7) 5-

54 Catogaia na aao ia (6/7) 5- (5.7) tabé q ( ) s co (5.8) sbstitíno (5.7) (5.8) (5.) g obt-s, após algas tansoaçõs a piia a tcia qação, q (5.9), a sgna qação, q (5.) scno sta pssão a sgint oa

55 η psntano poη o alo co as as acçõs. Spaano as as acçõs sta pssão, slta q η η sbstitíno stas pssõs (5.9), t-s q ± (5.) sbstitíno (5.) (5.), obt-s a sgint igala ± (5.) as qaçõs (5.) (5.) constit as coniçõs conoia. istino paâtos isoéti tanto na spíci at coo na spíci pojcção, ntão a pojcção q q (, ) (, ) (5.) é cono s o iicaas as qaçõs (5.) (5.). s qaçõs (5.) (5.) contê as coniçõs Cach-iann q in a conição ncssáia sicint paa q a qalq nção sja analítica, sno po isso signaas po qaçõs Cach-iann. Dst oo, as iaas paciais (5.) (5.) po s consiaas coo as iaas paciais a pat al iagináia a qação sno q (, ) q (, ) ( i ) i q (5.4) a pat al iagináia a pssão (5.), spctiant. pssão (5.4) é signaa po pssão gal as psntaçõs conos. O to a iita a pssão (5.4) po s panio na séi potências, obtno-s ( i ) ( i ) ( i ) ( C i D ( i ) K i ) (5.5) scolha sta pansão psspõ q () as oigns abos os sistas sja pontos cosponnts; Catogaia na aao ia (6/7) 5-4

56 Catogaia na aao ia (6/7) 5-5 () a oação lina nas oigns sja igal a ( ), ; () abos os sistas tnha a sa ointação. Spaano a pat al a iagináia (5.5), slta q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K D C D C (5.6) Os lntos linas sob a spíci at sob a spíci pojcção po s scitos, spctiant, tos paâtos isoéti ( ) s ( ) s oação lina, tos coonaas isoéticas, é ntão ( ) ( ) (5.7) sno obt-s, consiano as igalas (5.9) (5.), q ( ) ( ) sbstitíno (5.7), slta q (5.8) Diano as pssõs (5.) (5.), obtê-s as sgints laçõs (5.9)

57 as qais constit as qaçõs Laplac paa co spito aos paâtos inpnnts. 5.. Pojcção ass 5... Intoção pojcção ass, tabé signaa po tansa Mcato, é a pojcção cono, cilínica tanssa q s psta à psntação zonas alongaas na icção -S stitas na icção -W (iga 5.). Sno a pojcção cono, sta ant a oa os lntos ininitant pqnos consqntnt os ânglos (icçõs), no ntanto sta ant tabé os copintos ao longo o iiano cntal a pojcção. pojcção ass i a Mcato no q iz spito à posição a spíci pojcção latiant à spíci at, sno q nsta últia o cilino ica na posição noal à spíci at. Dst oo, a pojcção Mcato psta-s à psntação zonas alongaas na icção -W ant os copintos ao longo o qao. iga 5.. Pojcção tanssa cato ólas tansoação icta a pojcção ass a linha tangência o cilino ass a posição tanssa latiant ao qao, sno a linha tanssa o iiano cntal a zona a psnta. Ipono a conição conoia (5.4) signano q po, sno a nção analítica qalq, t-s q paa é int q ( Φ ) i i (5.) ( Φ) Catogaia na aao ia (6/7) 5-6

58 Catogaia na aao ia (6/7) 5-7 o io o psnta o iiano oig as longits q á s, natalnt, o iiano cntal a zona. Sja σ lnto o iiano cntal ntão tos q q Φ σ (5.) sltano sta igala a inição Φ. st lnto sá psntao na cata po Φ Φ σ (5.) Qno q sob o iiano cntal não haja oação lina, ntão o alo t s igal a Φ Φ σ σ σ on s obt q Φ (5.) ntão nss caso a nção é aa po ( ) Φ Φ Φ (5.4) Dsnolno a pssão (5.) séi Mac-Lain spaano a pat al a iagináia, ts q ( ) L L Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ !!!!!! (5.5) s iaas a nção o a Φ são calclaas a pati a pssão (5.4), obtno-s as sgints pssõs ( ) Φ σ σ Φ

59 Catogaia na aao ia (6/7) 5-8 σ σ.. Φ Φ Φ ( ) tan.. Φ Φ Φ Φ oo análogo paa os stants tos o spio 4 4 tan 4 Φ ) 8 ( ) 6 ( 4 tg tg tg tg Φ ) ( ) 6 ( 8 ) 4 ( 8 tg tg tg tg tg Φ [ ] tg tg tg Φ [ ] tg tg tg Φ sbstitíno nas pssõs, obt-s σ (5.6) sno a inça longit nt o ponto o iiano cntal a pojcção ólas tansoação insa s ólas tansoação insa são as sgints

60 Catogaia na aao ia (6/7) 5-9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) t t t M t t t t t t t t M t t t M t M t ψ ψ ψ ψ ψ ψ (5.7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t M t t t t M t M M ψ ψ ψ ψ sno M a istância à iiana, ψ (co calclaos co alo apoiao paa a latit ) tan t. tinação é ita ataés pocsso itatio, o qal é scito sgia ) toa-s coo ponto patia alo apoiao paa o aco iiano σ ap P ap σ sno P a istância à ppnicla; ) co bas nst alo calcla-s a piia apoiação paa ( ap), a qal é aa po ( ) a ap σ ) co st alo apoiao paa a latit calcla-s o copinto aco iiano σ sano a sgint pssão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ D C a 4) co st noo alo paa σ tina-s a cocção a aplica a ataés : ( ) σ σ ap on

61 sno o noo alo a latit igal a a. ( ) (. ) 5) pt-s as tapas ), 4) 5), calclano σ, o noo alo a até q sja inio à pcisão sjaa ( - ) oação lina O copinto lnto lina s, no lipsói, sob paallo latit ( ) é ao po s (5.8) o copinto a sa psntação sob o plano é ao po (5.9) s s coponnts obtê-s inciano as pssõs (5.6), obtno-s as sgints pssõs spzano os tos o igal o spio a. Sbstitíno stas pssõs (5.9), slta q s spzano tabé os tos igais o spios a. oação lina sá ntão s (5.) o ntão, sbstitíno pla sa pssão, sá s tan Catogaia na aao ia (6/7) 5-

62 potanto (5.) azno snolinto séi a pssão (5.), obt-s atnno a q. pla sa pssão (5.6), ntão a oação lina coonaas ctanglas é aa po (5.) o sja, a oação lina é nicant nção o qaao a istância ao iiano cntal a pojcção ao q o coicint aia poco co a latit. sta é a azão pla qal a pojcção ass s aapta b à psntação giõs alongaas na icção -S. S a zona a psnta não o ito tnsa na icção -S, po aopta-s o alo éio cosponnt à latit éia ntão t-s q (5.) Cocção tangnt à coa s psntaçõs conos antê o ânglo nt as tangnts, as o q intssa paa a aplicação as ólas a gotia plana é o ânglo nt as coas, sgino assi a ncssia aplica às icçõs azitais lipsoiais a cocção tangnt à coa β, tabé signaa po ção à coa (iga 5.). Catogaia na aao ia (6/7) 5-

63 α n β α L iga 5.. Cocção tangnt à coa (β). cata goésica Γ é aa plo toa Schols Γ (5.4) n sno a iaa sgno a noal à linha, a qal s po sc a sgint oa n n n Catogaia na aao ia (6/7) 5- n coo no caso a pojcção ass só pn, t-s q logo n Γ n n iano a pssão (5.) o a, obt-s a iga z-s q (sno α o azit a linha ) aina q n α α n

64 Catogaia na aao ia (6/7) 5- L L α α plo q a pssão a cata goésica Γ passa a sc-s a sgint oa L Γ sno L o copinto a linha (coa). taés a gotia incial, sab-s q a cocção tangnt à coa L Γ β (5.5) on L é o copinto linha Γ / é a cata n ponto a / a istância. Tata-s a óla apoiaa as, coo a cata é ito pqna o o spzál, consia-s sicintnt igoosa nas aplicaçõs catogáicas. tnno a q é póio azno ( ) t-s q ( ) ( ) L Γ on inalnt, s obt a cocção β ( ) ( ) 6 β (5.6) sta pssão o alo β é aio o no q zo consoant o al q conncionalnt s tnha aoptao paa o sntio positio os ios. o caso a pojcção ass a tansoaa a goésica olta sp a concaia paa o iiano cntal Cocção ção os copintos initos sta cocção é aplicaa a copinto inito lipsóiico paa s obt o cosponnt copinto catogáico. Sno s o lnto lina sob a cata, o lnto cosponnt sob o lipsói sá ao po s s s

65 Catogaia na aao ia (6/7) 5-4 snolno o noinao séi, obt-s s s iga 5.. Cocção lnto inito. Consiano a iga 5.., z-s q α s q s s α α logo s s Intgano a pssão antio, obt-s a sgint pssão paa s [ ] ( ) 6 6 s s s s s L logo, a cocção s -s é aa po ( ) 6 s s s (5.7) α α s (s s ) - -

66 Paa Potgal continntal consiano a latit o Ponto Cntal pto o V.. Mliça ( 9º 4 ), as pssõs (5.), (5.6) (5.7) ass os sgints alos 5 β 8466 s 4 8 s 48 ( ) ( ) 9 s ( ) Congência iianos Sja P ponto sob o lipsói Q o s hoólogo n sista catogáico qalq. a iga 5.4 stá psntao o ponto Q, a cta paalla ao io as onaas a tansoaa iiano. Chaa-s ânglo congência iianos, o siplsnt congência iianos, ao ânglo γ nt o iiano catogáico o iiano goésico n ao ponto Q. Pla iga 5.4 t-s a sgint igala: γ Q iga 5.4. Congência iianos psntano tanγ γ γ a iaa calclaa a pati a qação ( ) a tansoaa o iiano. s sgints ólas tansoação (, ) (, ) são, paa caa alo io, as qaçõs paaéticas (paâto ) a tansoaa o iiano iao, on Catogaia na aao ia (6/7) 5-5

67 tan γ (5.8) o caso a pojcção ass as ólas tansoação, spzano os tos igais o spios a, são acoo co as pssõs (5.6) on s obt σ σ σ plo q a pssão (5.8) passa a sc-s a sgint oa tanγ sno assi, a congência iianos é aa pla sgint pssão ao q γ é ânglo ito pqno γ sno a inça longit nt o ponto o iiano cntal a pojcção. Dao isto, t-s a sgint pssão paa o cálclo a congência iianos ( ) γ (5.9) 5.. Pojcção Mcato 5... Intoção pojcção Mcato é a pojcção cilínica cono. ao Ka (5-59), catógao lango, tnta coigi a psntação o Mitâno Ptolo constoí Mapa Mno co bas na pojcção atática, q os paallos os iianos s pojcta n plano ppniclas nt si. pojcção Mcato oi concbia paa zi os poblas ointação no co a nagação. O pincipal pobla nagao é sab coo ointa o naio paa q, patino tinao lga, consiga atingi stino piant inio. Cobinano o s a Catogaia na aao ia (6/7) 5-6

68 pojcção cono co o acto t os iianos paallos ctilínos az co q as looóias, o sja as linhas co o constant, sja psntaas po sgntos cta. Paa sabos qal o azit α a looóica q n ois pontos (iga 5.5), ispono a cata co sta pojcção basta ni os ois pontos po a cta i o ânglo α. olação istnt na pojcção Mcato basia-s nantalnt no lipsói sob o qal scolhos as coonaas Φ, spctiant a latit isoética a longit, nas coonaas catsianas, sob o plano, cja lação co a latit isoética longit é obtia po a nção analítica qalq q obc à conição gal as pojcçõs conos. iga 5.5. Looóica: linha azit constant. pojcção Mcato é spcialnt apopiaa paa a psntação giõs qatoiais o, oo gal, giõs co pqno snolinto latit, s q a latit sja pqna. pati os 6, a scala anta apiant, o q la a q as oaçõs aais ant aina ais (a z q a scala aal aia co o qaao a scala lina) ólas tansoação icta stablcno sista catsiano (, ) sob o plano aoptano sista cilíno (Φ, ) no lipsói, q Φ é a latit isoética, iica-s, pla pssão (5.), ( Φ ) i i q paa s t, o q signiica q o iiano cntal é psntao plo io o as onaas, logo os otos iianos tão s psntaos po ctas paallas a ss io. Sno assi, paa constant t-s q constant. Catogaia na aao ia (6/7) 5-7

69 Dsnolno séi McLain spaano as pats ais as pats iagináias, obt-s as pssõs (5.5) ( Φ) Φ! Φ! Φ L L Paa q a coonaa pna nicant a longit é ncssáio ipo q C (5.4) Φ on C é a constant. ssi, paa a nção é aa po C Φ (5.4) C paa qalq alo a longit logo ( Φ i ) C C (5.4) ( Φ i ) C i C (5.4) Dsta últia qação slta as ólas tansoação a latit isoética longit coonaas catsianas ( Φ) C Φ C Φ C (5.44) Paa alo constant a latit isoética Φ, obt-s alo, consqntnt os paallos são psntaos po ctas paallas ao io o, aa a conoia o sista. Caso s ptna q o qao sja psntao plo io as abcissas á az-s C oo a obt C Φ C (5.45) U lnto lina sob o qao (, ) o s cosponnt sob a cata (, ) são, spctiant s a Catogaia na aao ia (6/7) 5-8

70 sno a o si-io aio o lipsói s C Po oto lao, os lntos linas, sob o lipsói sob o plano são s ( Φ ) s C C Φ C.( Φ ntão o ólo a oação lina é ao po C (5.46) Ptnno q sob o qao o ólo a oação lina sja igal a, ntão é igal a a logo C á s igal a a, sno a o aio qatoial o lipsói. Sbstitíno o alo C (5.45), as ólas tansoação sc-s ) aφ a (5.47) O ólo a oação aal na pojcção Mcato é ntão ao po a (5.48) Consiano a sa aio a, atnno q a., t-s nst caso q a (5.49) a. Paa alos a latit goésica, 45, 6 obtê-s os sgints alos oação aal,, 4, spctiant. Viica-s q as oaçõs aais ass apiant alos ito laos co o aastanto lação ao qao o ao paallo oig a pojcção. Tno coo objctio a obtnção a pssão paa a oação lina q sja nção icta o aastanto ao qao, snol-s a óla (5.47) séi Talo nção o copinto o aco iiano, obtno-s σ σ σ! σ σ! σ σ σ σ L (5.5) s iaas o a σ são aas po Catogaia na aao ia (6/7) 5-9