Código de Bloco Linear CODIFICAÇÃO DE CANAL PARA SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO DIGITAL CÓDIGOS DE BLOCO. Matriz Geradora, G. Código Dual de C(n, k)
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- Júlio César Deluca Bennert
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1 Cóigo e Bloco iea CODIFICAÇÃO DE CANA PARA SISEAS DE COUNICAÇÃO DIGIA CÓDIGOS DE BOCO Evelio. G. Feáez - 7 Seja: V: epaço veoial a -upla { a, a, K, a } V, ai F {,, K, }, p, p pio, ieio. S Subepaço e V, Di(S). DEF: Cóigo liea C: C é u cóigo liea C S ub V. C :{ v ( a, a, K, a )/ v S, S ubv } v palava-cóigo. Se S e Di(S) C: (, ). copieo a ifoação e ígio. copieo a palava cóigo e ígio. Cóigo Dual e C(, ) aiz Geaoa, G É o cóigo liea C aociao ao epaço ulo S e S (S S ) C : (, ), [poi Di(V ) Di(S) Di(S )]. EX: Dao S {,,, }, eeie: - S / S S. - Di(S) e Di(S ). - Cóigo C aociao a S. - Cóigo ual C aociao a S. - aiz geaoa e S (cóigo C) - aiz geaoa e S (cóigo C ). - C: (, )? - C (?) DEF: aiz G geaoa e u cóigo liea C: A liha (-upla) e G foa ua bae paa S ub V. Di(S) [ G ] e a(g). DEF: Euação e coificação: Ua palava cóigo v C: (, ) coepoe a ua cobiação liea a liha a aiz geaoa e C. Coificao liea u u [u, u,..., u]: veo ifoação. v [v, v,..., v]: palava cóigo. G: aiz geaoa e C: (, ). v u G
2 aiz e Veificação e Paiae, Cóigo Duai DEF: aiz e paiae e u cóigo liea C. Seja C S Sub V co Di(S). A liha (-upla) e foa ua bae paa S epaço ulo e G. S é o epaço a liha e. - Se Di(S) Cóigo C:( (, ) Di(S ) ; S S S. é ua aiz ( ) e a() o e liha.i. e. A aiz geaoa e C ual e C é euivalee à aiz (obia po opeaçõe lieae obe a liha). Seja C Subepaço e V co Di(S). Eão o eu cóigo ual C S, Subepaço e V oe S S, Di(S ) C : (, ). Se G gea o cóigo C, G (aiz e paiae e C) gea o cóigo C ual e C. Eão: [ G ][ G ] ou G euação e veificação e paiae o cóigo C. Seja C: (, ) co aiz geaoa [ G ] e aiz e paiae [ ] Eão: C epaço a liha e G ou epaço ulo e. C : Dual e C epaço a liha e ou epaço ulo e G. Coição eceáia e uficiee paa v G, [ ] v. Cóigo Euivalee Cóigo Sieáico A aiz geaoa e u cóigo euivalee a u cóigo C, é obia po peuaçõe e colua a aiz G geaoa e C. Cóigo euivalee apeea a ea pobabiliae e eo PE e caai DC. Cóigo Sieáico: * G [ I P], p p p, p p p, p p p, p p p, eoea. (P & W). Seja C* o epaço a liha e G* [I P], eão C* é o epaço ulo a aiz, * { P I iveo a aição oulo paa cóigo -aio G, * Io é: [ ] [ ] eoea. (P & W): oo cóigo liea é euivalee a u cóigo ieáico.
3 Peo e aig Sigleo Bou eoea. (P & W). Seja C:(, ) u cóigo liea ue é o epaço ulo e ua aiz (aiz e veificação e paiae e C). Eão paa caa palava-cóigo e peo e aig igual a w, exie e coepoêcia w colua.d. e e vice-vea. (paa w colua.d. palava cóigo e peo w). A iâcia íia e ualue cóigo e bloco (, ) aifaz, i Cóigo cuja iâcia íia cupe co, DEF: Peo e aig. N o e ígio ifeee e zeo e ua -upla, obe GF(). EX: P()? P()? Cooláio. (P & W): U cóigo e bloco C, ue é o epaço ulo e ua aiz, e iâcia íia igual a w e e oee e oa a cobiaçõe e (w ) colua e ou eo, ão.i. i ão chaao e cóigo e iâcia áxia (DS: axiuiace epaable coe) Aajo Paão (Saa Aay) Aajo Paão paa Cóigo Biáio Seja u cóigo liea C:(, ) e aiz geaoa [G], e aiz e paiae [],. Seja vi C; vi palava cóigo e C, i,,...,. C { v, v, K, v } e eja gj V; gj -upla o epaço veoial V; j,,...,. O aajo paão paa o cóigo C é u aajo epecial e oa a -upla e V. v v v v g v g g v g v g v g v g g v g v g v : : : : : : : : íee o coe colua. # palava cóigo. # coe -. # eleeo aajo paão (oal e -upla e V). - liha (coe).
4 Siea Coificao (iplificao) Síoe Coificao Caal Decoificao u v Ruioo û v palava cóigo e C: (, ) (-upla -áia). veo ecebio apó caal co uío (-upla -áia). (v, ) ) V. DEF: Paão e eo: e v (-upla -áia). eoea.5 (P & W): Se o aajo paão fo uao coo abela e ecoificação e u cóigo e bloco C, eão u veo ecebio, V eá ecoificao coeaee a palava cóigo aiia v e e oee e o paão e eo e v fo líe e coe. DEF: Síoe: A íoe e u veo ecebio é o veo e ( ) ígio: oe: [], aiz e paiae o cóigo C. [], -upla ecebia. [], íoe e. Popieae: A íoe e v C é o veo zeo: v v {epaço ulo e } {epaço a liha e G} Síoe abela e Síoe coo abela e Decoificação eoea.6 (P & W): Doi veoe i e g eão o eo coe e e oee e ua íoe foe iguai. v v v v e v e v e v e Poceieo: i i ei Palava ecoificaa: vi ei e e e e e Caa íoe iia coepoe a apea paão e eo e. # íoe # coe # paõe e eo. DEF: Poecialiae e coeção e eo. i peo (áxio) o paõe e eo coigívei. eoea.7 (P & W): Supoo palava cóigo euipovávei, a pobabiliae éia e ecoificação coea PC, é áxia e a abela e ecoificação ( ecoificação óia ) fo o aajo paão ue ive e caa coe o veo e eo peo coo o líe e coe. Popieae: PC p p i # e líee e coe co peo i. p pobabiliae e aição o BSC. p
5 5 Exeplo: Decoificao e u Cóigo (6, ) [ ] Viualização o Epaço a 6-upla aig (phee-pacig) Bou Seja V(,,) o volue e ua efea e aio. aig-bou paa ualue cóigo e bloco (, ) -áio: ( ) V,, iiae upeio paa a axa o cóigo, R: ( ) ( ) V V,, log,, ( ) V R,, log aig (phee-pacig) Bou Núeo e poo à iâcia i e ua palava-cóigo: O veo ifeeça coé i copoee ifeee e zeo, caa ua ela poe aui u ee valoe. ( ) i ua ela poe aui u ee valoe. Cao biáio: ( ) ( ) ( ) log log
6 Sigleo Bou e aig Bou Exeplo aig Bou Pacoe e ao co 9 aoa e áuio PC (oi caai, 6 bi/aoa). Núeo e bi e ifoação: Coiee u BSC co p. uao bi e euâcia eão eceáio paa couicação cofiável? axa P{> eo} ipo e Decoificaoe ê poívei eulao a ecoificação:. Decoificação coea, ĉ c. Eo ão coigível eecao, c iefiio. Eo e ecoificação, ĉ c Decoificação coplea: oa palava ecebia é ecoificaa e algua palava-cóigo Decoificação icoplea (boue-iace ecoig): Coeção e oo o paõe e eo e peo. Cóigo Pefeio e Cóigo Óio DEF: Cóigo Pefeio O líee e coe e eu aajo paão coepoe a oo o paõe e eo e peo. DEF: Cóigo uae-pefeio: O líee e coe coepoe a oo o paõe e eo e peo ou eo, algu e peo e ehu e peo aio. DEF: Cóigo óio paa caal BSC: U cóigo biáio e gupo é óio paa caal BSC e a ua pobabiliae e eo PE é a eo poível paa o eo valoe e e. Popieae: oo cóigo uae-pefeio (uao exii paa ao e ) e coiui e u cóigo óio. 6
7 Exeplo e Cóigo e Bloco Exeplo e Cóigo e Bloco A) Cóigo Cíclico. B) Cóigo e paiae iple (ala axa) C: (, ) ou (, ) i i e poecialiae e coeção ( ) ão uao e euea e eecção e eo iple. C) Cóigo e epeição iple (baixa axa) C: (, ) R / i D) Cóigo e aig Biáio (aig, 95). C :, ( ) e ígio e veificação e paiae São cóigo cujo x: colua coepoe a -upla (# -upla ) i, iepee e coeção e eo iple São cóigo pefeio. E) Cóigo e aig -áio (i ) Paa GF() e ao C: (, ); i São cóigo paa coeção e eo iple ( ). Exeplo e Cóigo e Bloco F) Cóigo e aig icopleo (cóigo e aig co i e ) Dao ualue e eo ieio al ue: C: (, ) e i Coução: Coie e apaga colua o cóigo e aig e eo valo e. G) Cóigo e aig co paiae o bi (i( ) Dao ualue ão cóigo co (, ). C : Coução: aiz o có. a.paa o ao valo e e ígio e paiae OBS: São cohecio coo o cóigo uae-pefeio e aig. Exeplo e Cóigo e Bloco ) Cóigo e aig co i e. Dao ualue e eo ieio al ue C: (, ); i Coução: Coie e apaga colua o cóigo e aig co paiae o bi e eo valo e. I) Cóigo e Golay (i 7). coige oo o paõe e eo e peo, e é cóigo pefeio C: (, ). J) Cóigo óio paa BSC. Algu cóigo uae-pefeio e poao óio: a) Repeição iple co pa (i ) b) Cóigo e aig co bi e paiae (i ) c) Cóigo e aig icopleo ( ) (i ) ) BC (Boe Chauhui ocueghe) 7
8 Epeco e Peo paa Cóigo e Bloco Ieiae e acwillia Seja C: (, ) u cóigo e bloco. Seja Ai N o e palava cóigo e peo i, DEF: {Ai; i,,,..., } epeco e peo ou iibuição e peo e C ( weigh pecu, weigh iibuio ) Aplicação: eeiação a pobabiliae e eo ão eecável e C. DEF: Eo ão eecável: Paão e eo palava cóigo ão zeo (paa cóigo ão liea). DEF: Pobabiliae e ão eecção P, i P Ai p ( p) i i p pobabiliae e aição o caal BSC. Seja: {A, A,..., A} epeco e peo C e {B, B,..., B} epeco e peo e C C. Repeeação polioial: A( z) A A z A z B( z) B B z B z OBS: Iéia: calcula Ai a pai o Bi. ( ( ) ) z A z ( z) B Ieiae e acwillia z Cóigo e Bloco ieae oificao Copieo e bloco e pojeo e u cóigo: eeiao po popieae algébica e cobiacioai e aize ou poliôio. Copieo e bloco eejao: feueeee ifeee o copieo e bloco e pojeo. Exeplo: Copieo e bloco e pojeo e u cóigo e aig: (7, 5,,...) Núeo e bi e ifoação poe ão e (,, 6,...) Exie ei foa e oifica paâeo e u cóigo e bloco liea (,, ) Cóigo Ecuao (Shoee Coe) Ecua: fixo, iiui e, poao,. Síbolo e ifoação ão apagao paa e obe u copieo e bloco eo o ue o copieo e pojeo. O íbolo ue eão apagao ão upoo coo eo zeo a palava-cóigo Exeplo: Pacoe Ehee ê o áxio 5 bye e ao ou bi. O checu Ehee e bi pove e u cóigo e aig co bi ou bye. 8
9 9 Cóigo Ecuao: Exeplo U cóigo e aig biáio (5, ) e a eguie aiz e veificação e paiae, U cóigo ecuao (, 8) poe e obio apagao a colua e peo áxio,, e a aiz. Cóigo Alogao (eghee Coe) Aloga: fixo, auea e, poao,. Novo íbolo e ifoação ão iouzio e icluío a euaçõe e paiae. Exeplo: Cóigo e Ree-Soloo eeio obio alogao cóigo RS(, ) paa cóigo RS(, ) i i l à i ) aicioao ua colua à aiz, ( ) ( ) ( ) ( ) O O Cóigo Expugao (Expugae Coe) Expuga: fixo, iiui e iceea. Palava-cóigo ão apagaa aicioao euaçõe e paiae, euzio a ieão o cóigo. Objeivo: auea a capaciae e coeção e eo. Exeplo: O cóigo BC (5 7) poe e obio a pai o Exeplo: O cóigo BC (5, 7) poe e obio a pai o cóigo e aig (5, ) aicioao uao liha à aiz. A aiz e veificação e paiae é, Cóigo Aueao (Augee Coe) Auea: fixo, auea e iiui. Iclui ovo veoe a bae (ova liha a aiz geaoa). Io auea a axa o cóigo e (poivelee) iiui a iâcia íia. Exeplo: aize geaoa e cóigo e Ree-ulle, R(, ) ão efiia po G Subaix G i e liha e colua. O úeo e bi e ifoação é, A iâcia íia é G G G G i
10 Cóigo Expaio (Epae Coe) Cóigo Pucioao (Pucue Coe) Expai: fixo, auea e. Iclui ovo íbolo e paiae co a coepoee euaçõe e paiae. Exeplo: Cóigo e aig eeio (cóigo e aig co paiae o bi). Io auea a iâcia íia paa. uao a iâcia íia e u cóigo e bloco biáio liea é ípa, aicioa paiae obe oo o bi iceea a iâcia íia e. Exeplo: Cóigo e Golay (, ), i 7 (cóigo pefeio). Ua euação e paiae obe oo o bi iceea i paa 8. O cóigo e Golay eeio co paâeo (,, 8) foi uao paa coeção e eo a iõe epaciai Voyage I e II. Pucioa: fixo, iiui e, poao,. Apaga íbolo e paiae poe euzi a iâcia íia. Poé, cóigo pucioao poe coigi a gae aioia o eo coigívei pelo cóigo oigial. Pucioa poe euzi a iâcia íia a ão euz igificaivaee o eepeho o cóigo. Cóigo pucioao poe e obio a pai e cóigo iple ue eha uia euâcia. oificação e Cóigo e Bloco ieae: Reuo Ecua: Apaga íbolo e ifoação fixo, Aloga: Aicioa íbolo e ifoação fixo, Expuga: Apaga palava-cóigo, aicioa íbolo e paiae fixo, Auea: Aicioa palava-cóigo, apaga euaçõe e paiae fixo, Expai (eee): Aicioa íbolo e paiae fixo, Pucioa: Apaga íbolo e paiae fixo,
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