ª Fase AECVEXMACS-03

Transcrição

1 AECVEXMACS-03

2 13 pontos 13 pontos

3 15 pontos 19 pontos

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6 15 pontos TOTAL 200 pontos Prova Escrita de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, º/11.º ou 11.º/12.º Anos de Escolaridade, 1.ª Fase in

7 Propostas de resolução ª Fase 1. Na resolução das alíneas seguintes temos de ter em consideração os dados do problema, a referir: o número total de representantes na Assembleia é 50; equatitividade entre o número de representantes de cada região e o número de praticantes federados e o método aplicado que é o Método de Hamilton Pretendemos completar a tabela apresentada. n.º total praticantes Divisor Padrão = n.º total de representantes DP = = = (Atenção: o enunciado exige que o divisor padrão seja apresentado com três casas decimais.) Quota Padrão (QP) (Atenção: o enunciado exige que a quota padrão seja apresentada com três casas decimais.) Quota Inferior (QI) QP 561 Minho ) 12, Beiras ) 7, Alentejo ) 2, Ribatejo ) 19, Algarve ) 7,026 QI Parte decimal Minho 12 0,715 Beiras 7 0,820 Alentejo 2 0, NÚMERO TOTAL DE PRATICANTES (TP) 50 REPRESENTANTES A DISTRIBUIR (R) 0 DIVISOR PADRÃO (DP = TP : R) 1.2. Para determinar o número de representantes, aplicamos o Método de Hamilton e a tabela resultante do processo efectuado na alínea anterior. O Método de Hamilton considera a atribuição de mandatos através da quota inferior calculada para cada região. Assim, temos: Ao aplicar a quota inferior pelo Método de Hamilton, foram somente nomeados 47 dos 50 representantes. Logo, resta-nos ordenar por ordem decrescente as partes decimais das várias quotas padrão, atribuindose os 3 representantes que restam às regiões com partes decimais maiores. Portanto: Quota inferior (QI) Quota Inferior (QI) Minho 12 Beiras 7 Alentejo 2 Ribatejo 19 Algarve 7 Total 47 Parte decimal Total de Representantes Minho 12 0, Beiras 7 0, = 8 Alentejo 2 0, = 3 Ribatejo 19 0, = 20 Algarve 7 0,026 7 Total Ribatejo 19 0,719 Algarve 7 0,026 Assim, completando a tabela apresentada temos: Número de praticantes (P) Quota Padrão (P:DP) Quota Inferior (QI) Parte decimal Minho , ,715 Beiras 345 7, ,820 Alentejo 120 2, ,720 Ribatejo , ,719 Algarve 310 7, , Para completar a tabela pretendida, aplicamos o processo usado na alínea Divisor Padrão = n.º total praticantes n.º total de representantes DP = = = = 53 (Atenção: o enunciado exige que o divisor padrão seja apresentado com três casas decimais.)

8 Propostas de resolução Quota Padrão (QP) QP 561 Minho ) 12, Beiras ) 7, Alentejo ) 2, Ribatejo ) 19, Algarve ) 7, Madeira ) 2,950 Assim, a composição dos representantes é diferente, pois ao aplicar o Método de Hamilton obtemos a seguinte distribuição: Quota Inferior (QI) Parte decimal Total de Representantes Minho 12 0, = 13 Beiras 7 0, = 8 Alentejo 2 0,723 2 Ribatejo 19 0, = 20 Algarve 7 0,033 7 Madeira 2 0, = 3 Total (Atenção: o enunciado exige que a quota padrão seja apresentada com três casas decimais.) Quota Inferior (QI) Assim, completando a tabela apresentada temos: Número de praticantes (P) QI Parte decimal Minho 12 0,728 Beiras 7 0,828 Alentejo 2 0,723 Ribatejo 19 0,739 Algarve 7 0,033 Madeira 2 0,950 Quota Padrão (P:DP) Quota Inferior (QI) Parte decimal Minho , ,728 Beiras 345 7, ,828 Alentejo 120 2, ,723 Ribatejo , ,739 Algarve 310 7, ,033 Madeira 130 2, , NÚMERO TOTAL DE PRATICANTES (TP) 53 REPRESENTANTES A DISTRIBUIR (R) DIVISOR PADRÃO (DP = TP : R) Na elaboração da composição temos de ter presente os dois tópicos exigidos. Com a entrada da Madeira o número total de praticantes passa de 2206 para 2336 e o número de representantes passa de 50 para 53, o que é aceitável pois o divisor padrão mantem-se praticamente inalterado, isto é, passa de 0 para (notemos que, um aumento de 130 novos praticantes corresponde a 130 um aumento de ) 3 representantes). 0 Comparando com a distribuição anterior, temos: Número de representantes (distribuição anterior) Número de representantes (nova distribuição) Minho Beiras 8 8 Alentejo 3 2 Ribatejo Algarve 7 7 Madeira 3 Total Com a entrada da região da Madeira, o Minho ganha um representante enquanto o Alentejo perde um e, portanto, tem razão para se sentir prejudicado. Os três novos representantes foram absorvidos pela região da Madeira Pretendemos determinar o valor de IRS do casal Rui e Luísa, sabendo que auferem um rendimento de D e que não foram efectuados quaisquer deduções à colecta. Assim, utilizando o modelo apresentado temos: rendimento global do casal: D Æ cálculo do rendimento colectável: = 2 = D pela tabela dos escalões de IRS verificamos que este casal se encontra no Escalão 3, o que corresponde à taxa de 23,5%, sendo o valor a abater de 799,78 D. taxa de imposto ao rendimento colectável do casal: D *0,235 = 2461,63 D subtrair à parcela anterior o valor a abater: 2461,63 D - 799,78 D = 1661,85 D cálculo do valor do IRS: 1661,85 D*2 = 3323,70 D

9 Propostas de resolução Como é caso simplificado, não existem deduções a fazer, a colecta coincide com o valor de IRS. Assim, o valor que o casal pagou de IRS foi de 3323,70 D O rendimento global do casal é de D, o que corresponde a um rendimento colectável de 6500 D Æ = 6500Æ enquadrando-o no 2.º escalão 2 2 de IRS correspondente a uma taxa de 13%, logo a parcela a abater é de 108,78 D. Taxa de imposto ao rendimento colectável do casal: 6500 D *0,13 = 845 D Subtrair à parcela anterior o valor a abater: 845 D-108,78 D =736,22 D Cálculo do valor do IRS: 736,22 D *2 = 1472,44 D Como é caso simplificado, não existem deduções a fazer, a colecta coincide com o valor de IRS. Vejamos agora, o caso de o casal prestar o serviço no Natal. O rendimento global do casal passa a D, o que corresponde a um rendimento colectável de 7000 D Æ = 7000Æ enquadrando-o no 3.º escalão 2 2 de IRS correspondente a uma taxa de 23,5%, logo a parcela a abater é de 799,78 D. Taxa de imposto ao rendimento colectável do casal: 7000 D *0,235 = 1645 D Subtrair à parcela anterior o valor a abater: 1645 D - 799,78 D = 845,22 D Cálculo do valor do IRS: 845,22 D *2 = 1690,44 D Como é caso simplificado, não existem deduções a fazer, a colecta coincide com o valor de IRS. Com a aceitação do trabalho, o casal paga mais 1690, ,44 = 218 D, contudo recebe mais 1000 D de rendimento, ou seja, ficam a ganhar 718 D no rendimento efectivo. Portanto o Manuel não tem razão uma vez não perdem dinheiro, mas antes ganham 718 D Ao restringir a amostra ao universo dos frequentadores que tinham conseguido aceder ao site, os resultados do estudo podem ficar enviesados. Nesta consulta ficam excluidos todos os interessados que tentaram aceder, mas não conseguiram e desistiram. Assim, o resultado numérico referente à taxa de entrada à primeira tentativa é afectado pela não inclusão destes. Realça-se que a restrição do universo de consulta pode originar resultados distorcidos Com base nos dados relativos à amostra de 50 inquiridos, vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção dos 39 inquiridos que responderam Sim à questão colocada. Para tal, temos de identificar os parâmetros z, n, ˆp, do ˆp11 - ˆp2 ˆp11 - ˆp2 intervalo 4ˆp - zœ, ˆp +. n zœ n 3 z = 1,960 é valor que corresponde a um nível de confiança de 95%; n = 50 é o número total de inquiridos; 39 ˆp = ) 0,78 é o número de casos favoráveis (39 50 inquiridos que responderam Sim ) a dividir pelo número de casos possíveis (50 inquiridos relativos à amostra). Substituindo as variáveis z, n, ˆp pelos respectivos valores, temos o seguinte intervalo de confiança: 4 0,7811-0,782 0,7811-0,782 0,78-1,960Œ ; 0,78 + 1,960Œ = = ]0,665; 0,895[ 3.4. Pretendemos determinar a equação da recta de regressão linear e representar o diagrama de dispersão relativo aos dados. O primeiro passo é inserir na calculadora os dados referentes ao tempo e ao número de jogadores. 3. Sabemos que: P( entrar na sala de jogo ) = 0, Pretendemos determinar a probabilidade de um jogador entrar no jogo somente à terceira tentativa, pelo que não entra nem na primeira, nem na segunda tentativa. Assim, temos que: P( entrar na sala de jogo ) = 0,8 e a probabilidade do acontecimento contrário é P( não entrar na sala de jogo ) = 1-0,8 = 0,2. Logo, temos: P( entrar na sala de jogo apenas à terceira tentativa ) = = 0,2 * 0,2 * 0,8 = 0,032 Assim, temos a seguinte equação da recta de regressão linear: y = 3,85 x + 4,94. (Atenção: é exigido que os valores de a e b sejam apresentados com duas casas decimais.)