Otimização de Seções Transversais de Concreto Armado: Aplicação a Pórticos

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1 Universiae e São Paulo Esola e Engenharia e São Carlos Departamento e Estruturas Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios Engº Luis Clauio Coelho Vianna Orientaora: Pro ª Dr ª Ana Lúia H. e Crese El Debs São Carlos

2 Universiae e São Paulo Esola e Engenharia e São Carlos Departamento e Estruturas Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios Engº Luis Clauio Coelho Vianna Dissertação apresentaa à Esola e Engenharia e São Carlos, a Universiae e São Paulo, omo parte os requisitos para obtenção o título e Mestre em Engenharia e Estruturas. Orientaora: Pro ª Dr ª Ana Lúia H. e Crese El Debs São Carlos

3 C6o Vianna, Luis Cláuio Coelho Otimização e seções transversais e onreto armao : apliação a pórtios / Luis Clauio Coelho Vianna. - São Carlos,. Dissertação (Mestrao) - Esola e Engenharia e São Carlos-Universiae e São Paulo,. Área: Engenharia e Estruturas. Orientaor: Proª. Drª. Ana Lúia H. C. El Debis.. Otimização estrutural.. Conreto armao.. Pórtios planos. I. Título.

4 Aos meus pais Antônio Luiz e Avany e minhas irmãs Luiana e Mariana

5 Agraeimentos À Proessora Dra. Ana Luia H. C. El Debs, pela orientação, apoio e oniança no meu trabalho; À CAPES, pela bolsa e estuo oneia, sem a qual não seria possível a realização este trabalho; Aos meus pais e irmãs, pelo apoio, inentivo e paiênia nos momentos iíeis; Aos proessores e unionários o Departamento e Engenharia e Estruturas, pelo onheimento e apoio transmitios; Às proessoras e amigas Mônia e Tatiana, pelo apoio e inentivo na ase iniial os trabalhos; Aos meus amiliares e amigos que sempre oniaram e me inentivaram; Ao proessor, olega e amigo Aemir Santos pelo inentivo e obrança que me levaram à onlusão esta issertação; A toos os amigos que eiei em São Carlos, em espeial a Riaro, Robson, Valério, Anréa e Luiano que onviveram omigo nos ois anos e minha permanênia na iae; A toos que, e alguma orma, ontribuíram para a onlusão este trabalho.

6 Sumário Lista e iguras... i Lista e tabelas... ii Lista e gráios...iv Resumo...vi Abstrat... vii. Introução.... Objetivo.... Justiiativa...5. A Otimização Estrutural Deinições Ténias e Otimização..... Apliações prátias a otimização estrutural A otimização em estruturas A otimização os ustos em estruturas e onreto armao Metoologia Resolução e Problemas Não-Lineares Problemas sem restrições Deinições Pontos e mínimo Matriz Hessiana Conições neessárias para garantir a solução Conições suiientes para garantir a solução Problemas om restrições e esigualaes...

7 6... Deinições Restrições ativas e inativas Ponto regular Cone e ireções viáveis Conições neessárias para garantir a solução As onições e mínimo e ritz John As onições e uhn-tuker Problemas om restrições e igualae e e esigualae Conições suiientes para garantir a solução Conições e mínimo global para o problema e programação não-linear Deinições Conjunto onveo unção onvea Programação onvea.... ormulação matemátia para minimização a seção transversal e uma viga Variáveis a serem otimizaas Sistema e uniaes unção Objetivo Restrições e Equilíbrio Restrição e ompatibiliae Restrições Laterais Resolução o Problema Veriiações os Resultaos Obtios Veriiação a onsistênia os resultaos ormulação matemátia para minimização a seção transversal e um pilar Variáveis a serem otimizaas unção Objetivo: Restrições e Equilíbrio Restrição e ompatibiliae Restrição para garantir o omínio Restrições Laterais Resolução o problema...59

8 8... Hipótese A: io, e livres Hipótese B: e ios, livre Hipótese C: e ρ ios, livre Hipótese D:, e ios Eemplos numérios Veriiação numéria a onsistênia os resultaos Veriiação a variação o usto om a muança e arranjo as armauras 8 9. Solução apliaa às seções transversais e pórtios planos Proeimentos para a solução o problema Determinação os aos e entraa e emais aos neessários aos proeimentos a serem eeutaos: Determinação os esorços atuantes na estrutura: Determinação as seções ótimas as vigas: Determinação as seções ótimas os pilares: Realimentação os aos e retorno o proesso: Cálulo inal a estrutura Proessos e álulo utilizaos no programa Deinição o momento rítio e issuração a viga Cálulo o Momento e inéria à leão as vigas Determinação a leha as vigas Consieração a luênia:...9. Eperimentação numéria Eemplo Eemplo Eemplo Eemplo Eemplo Eemplo Eemplo.... Conlusões Conlusões o trabalho...6

9 .. Propostas para pesquisas uturas...9. Bibliograia Consultaa...

10 Lista e iguras igura. - Proesso traiional Proesso otimizao... igura 6. - Eemplos e pontos e mínimo... igura 6. - Eemplo e restrições ativas e inativas... igura. Diagrama e tensões para uma seção transversal e viga... igura. Diagrama e eormações para uma seção transversal e viga...8 igura 8. - Denominação as imensões a seção transversal...5 igura 8. - Arranjos e armaura utilizaos...5 igura 8. - Diagrama e eormação para o omínio igura 8. - Diagrama Tensão Deormação para o aço CA-5A...5 igura luograma e resolução para o valor e einio...66 igura. Pórtio omposto e uma viga sobre ois pilares...9 igura. Pórtio omposto e oze pavimentos e quatro pilares...96 igura. Pórtio omposto e oze pavimentos e três pilares... igura. Pórtio omposto e oze pavimentos e seis pilares...9

11 Lista e tabelas Tabela. Resultaos enontraos para a otimização a seção transversal e uma viga... Tabela. Menores ustos obtios om a variação a altura as vigas para os momentos letores apliaos...5 Tabela 8. - Resultaos obtios para eentriiae e m...8 Tabela 8. - Resultaos obtios para eentriiae e m...9 Tabela 8. - Resultaos obtios para eentriiae e m...8 Tabela 8. - Resultaos obtios variano-se os valores as variáveis e projeto a seção ótima...8 Tabela Resultaos obtios para os ierentes arranjos e armaura...8 Tabela. Resultaos enontraos para a viga em aa passo e iteração...9 Tabela. Resultaos enontraos para os pilares em aa passo e iteração...95 Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal as vigas...9 Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal os pilares...98 Tabela.5 Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal as vigas... Tabela.6 Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal os pilares... Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal as vigas...

12 Tabela.8 Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal os pilares...5 Tabela.9 Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal as vigas... Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal os pilares... Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal as vigas... Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal os pilares... Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal as vigas... Tabela. Resultaos inais enontraos para a otimização a seção transversal os pilares...

13 Lista e gráios Gráio. Perentual o usto os serviços neessários no usto total a estrutura. Gráio. Valores as variáveis sujeitas a restrição lateral...8 Gráio. Área ótima e armaura para a seção transversal e uma viga...8 Gráio. Altura e usto ótimos para a seção transversal e uma viga...9 Gráio.5 Custo total a seção para os momentos apliaos...5 Gráio 8. - Resultaos obtios para eentriiae e m...8 Gráio 8. - Resultaos obtios para eentriiae e m...9 Gráio 8. - Resultaos obtios para eentriiae e m...8 Gráio. Resultaos enontraos para a viga em aa passo e iteração...9 Gráio. Resultaos enontraos para os pilares em aa passo e iteração...95 Gráio. Custo por metro as vigas em aa passo e Iteração...9 Gráio. Custo por metro os pilares em aa passo e iteração...98 Gráio.5 Custo total as vigas e os pilares e usto geral a estrutura em aa passo e iteração...99 Gráio.6 Custo por metro as vigas em aa passo e Iteração... Gráio. Custo por metro os pilares em aa passo e iteração... Gráio.8 Custo total as vigas e os pilares e usto geral a estrutura em aa passo e iteração... Gráio.9 Custo por metro as vigas em aa passo e Iteração... Gráio. Custo por metro os pilares em aa passo e iteração... Gráio. Custo total as vigas e os pilares e usto geral a estrutura em aa passo e iteração...5 Gráio. Custo por metro as vigas em aa passo e Iteração...6

14 Gráio. Custo por metro os pilares em aa passo e iteração...8 Gráio. Custo total as vigas e os pilares e usto geral a estrutura em aa passo e iteração...8 Gráio.5 Custo por metro as vigas em aa passo e Iteração... Gráio.6 Custo por metro os pilares em aa passo e iteração... Gráio. Custo total as vigas e os pilares e usto geral a estrutura em aa passo e iteração... Gráio.8 Custo por metro as vigas em aa passo e Iteração... Gráio.9 Custo por metro os pilares em aa passo e iteração... Gráio. Custo total as vigas e os pilares e usto geral a estrutura em aa passo e iteração...

15 Resumo VIANNA, L. C. C. Otimização e seções transversais e onreto armao: apliação a pórtios.. p. Dissertação e Mestrao Esola e Engenharia e São Carlos, Universiae e São Paulo, São Carlos. É aa vez mais urto o tempo que um engenheiro tem para esenvolver aequaamente os projetos. Com prazos aa vez menores para a onepção, o préimensionamento as estruturas é, geralmente, einio om base em projetos esenvolvios anteriormente e, essa estrutura assim onebia, é proessaa e moo a veriiar o atenimento aos requisitos e segurança. Dessa orma, uma vez atenios esses requisitos, iiilmente o grau e eonomia enontrao é veriiao, uma vez que o projeto preisa ser entregue no prazo aorao. Os proeimentos automatizaos e otimização e estruturas se inserem neste onteto para possibilitar uma agiliae no proesso e se enontrar, entre as soluções possíveis, aquela que vai levar a uma estrutura mais eonômia. Além e auiliar na einição as imensões os elementos estruturais, o proesso e otimização poe iniar ao projetista partes a estrutura que neessitam e uma maior atenção, e orma a se obter a eonomia esejaa. Neste trabalho é apresentao um proeimento para otimizar o pré-imensionamento e eiíios em onreto armao, trataos simpliiaamente omo pórtios planos. A partir o posiionamento os elementos e os valores limites para as variáveis envolvias, utilizano um métoo e aproimações ombinaas, é apliaa uma unção e mínimo usto para a seção transversal as vigas e os pilares, obteno-se uma solução e mínimo usto para a estrutura estuaa. Palavras-have: otimização estrutural; onreto armao; pórtio plano.

16 Abstrat VIANNA, L. C. C. Reinore onrete ross-setion optimization: a plane rame appliation.. p. Dissertação e Mestrao Esola e Engenharia e São Carlos, Universiae e São Paulo, São Carlos. Engineers have nowaays onsierably less time to aequately evelop their projets than in the past. Beause o inreasingly shorter ealines or projet oneption, the irst rat esign o the strutures is usually eine base on previously evelope projets, aiming eviently to assure all saety requisites. While the ous is on meeting the agree ealines an the aorementione saety requisites, it is rare that we eetively aress the issue o eonomi savings. In this ontet, we hereby present automate proeures or strutures optimization in whih the main goal is to yiel to the least-ost-solutions rom a eonomial perspetive, meeting short ealines an all saety requisites. Besies helping in the einition o the imensions o the strutural elements, the optimization proess allows the esigner to have a lear vision o the ritial strutural parts, in orer to obtain the esire eonomial savings / gains. We hereby present a proeure to optimize the irst rat esign o reinore onrete builings, approimate by plane rames. Base on the elements positioning an the set values or the involve variables, an by utilizing a metho o ombine approimations, it is applie a untion or least ost beams an olumns ross-setion, obtaining the least ost solution or the struture uner analysis. ey-wors: strutural optimization; reinore onrete; plane rames.

17 . Introução Hoje em ia é inonebível imaginar um esritório e engenharia sem a presença e omputaores. Por menor que seja o esritório, a sua presença é essenial para auiliar o projetista no imensionamento as estruturas. A qualiae e sotwares voltaos para este merao também está bastante avançaa, om eelentes paotes que, uma vez eito o pré-imensionamento os elementos, azem toa a parte e álulo e etalhamento as peças, eiano para o engenheiro somente o trabalho e aompanhamento o proesso e realização e pequenos ajustes que se açam neessários para a aequação a solução inal. Porém, omo já oi menionao, esses paotes trabalham sempre om uma estrutura já pré-imensionaa. O trabalho e pré-imensionamento, aina hoje, é eito, quase que na sua totaliae, baseao na eperiênia e intuição os projetistas, por proessos e tentativa e erro. Apesar a qualiae os proissionais ligaos a esta área, e o ato e que pequenos erros ometios nesta ase serão ajustaos na ase e imensionamento, este proesso geralmente não onuz à estrutura mais eonômia, uma vez que eistem várias soluções que igualmente levam a uma estrutura e qualiae o ponto e vista a segurança, e o tempo que o projetista ispõe para esolher a que lhe paree ser a mais eonômia é geralmente urto. Para auiliar o engenheiro neste proesso e enontrar a estrutura mais eonômia, ateneno às onições arquitetônias, e segurança, e onstrutivas é que eistem as ténias e otimização e estruturas. Uma omparação entre o proesso traiional e o proesso otimizao oi apresentaa por ARORA (99) através o luograma mostrao na igura., que apresenta os passos básios os ois

18 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios proessos. Apesar e muitos passos serem omuns, eles ierem entre si pelos motivos abaio: O proesso otimizao tem um passo aiional, one são einios os parâmetros neessários para a otimização; O ritério para eiir o im o proesso, no passo quatro, é, no proesso otimizao, baseao no ato e se ter enontrao o melhor projeto, enquanto que no proesso onvenional, qualquer projeto viável poe eterminar a paraa o proeimento; No passo ino, o proesso otimizao utiliza ténias matemátias para azer os ajustes neessários ao projeto, enquanto o métoo traiional se baseia apenas na eperiênia o projetista. Ientiiar: - Variáveis e projeto - unção e Custo - Restrições Coleta e aos para esrição o sistema Coleta e aos para esrição o sistema Análise o sistema Análise o sistema Veriiar atenimento às restrições Veriiar atenimento às restrições O projeto é satisatório? Sim im o proesso Sim O projeto satisaz os ritérios e onvergênia? Não Ajustes no projeto usano intuição e eperiênia 5 Não Ajustes no projeto usano métoos e otimização 5 Proesso onvenional Proesso otimizao igura. - Proesso traiional Proesso otimizao Apesar os estuos nesta área terem se iniiao no iníio a éaa e 6, ou seja, já ontarem om quatro éaas e aprimoramento, e e muito já se ter

19 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios evoluío, essas ténias aina não hegaram ao ia-a-ia os esritórios e engenharia e estruturas. Algumas hipóteses oram ormulaas para justiiar essa istânia entre a teoria e a prátia no que iz respeito à otimização estrutural, omo será visto no eorrer este teto. Com o intuito e ontribuir para a reução esta istânia, é que se insere o presente trabalho, que tratará a otimização no préimensionamento e pórtios planos, em um proesso e ontinuação o trabalho anteriormente realizao por SOARES (99), e otimização e vigas e pavimento e eiíios. Espera-se que, om a aproimação os estuos sobre otimização estrutural os anseios os projetistas a área a este respeito, os proessos esenvolvios eiem, inalmente, os entros e pesquisa e passem a unionar omo uma erramenta útil no auílio o proesso e imensionamento, azeno om que o tempo o engenheiro se volte, prinipalmente, para a etapa iniial o trabalho, e onepção estrutural, one sua riativiae é neessária para einir o material, quais elementos serão utilizaos e qual a sua isposição para ormar a estrutura. Pelo ato esta etapa possuir inúmeras variáveis, muitas elas e aráter subjetivo, esta se onstitui na parte mais nobre e importante o projeto e estruturas e, esta orma, iiilmente será realizaa por máquinas, epeneno integralmente a habiliae o proissional.

20 . Objetivo O objetivo o presente trabalho é ontribuir para a automatização o álulo e pré-imensionamento os eiíios em onreto armao, simpliiaamente trataos omo pórtios, meiante a minimização matemátia os ustos a seção transversal e pilares e vigas, aí omputaos ustos e onreto, aço e ôrmas, om suas respetivas mãos-e-obra.

21 . Justiiativa O projeto e uma estrutura eve objetivar a garantia as onições e segurança ao olapso a estrutura, e a manutenção as suas onições e unionaliae em serviço. Para garantir estas onições, o projetista eve esolher, entre as possibiliaes eistentes, a opção e projeto que melhor atena às araterístias a obra. Entretanto, eistem vários projetos ierentes que poem atener às onições eigias para a estrutura, om ierentes ustos e qualiaes. Traiionalmente, abe à eperiênia e intuição o projetista, a esolha o projeto que melhor se aapte às onições eigias. Apesar este proesso se mostrar eiaz, pela eistênia e inúmeras estruturas muito bem planejaas, ele não garante uma boa alternativa para o projeto. Muitas vezes este trabalho se torna eaustivo, e a limitação e ustos e, prinipalmente, e tempo, az om que a alternativa esolhia nem sempre seja a mais eonômia para aquela situação. É para auiliar os projetistas neste proesso que se enaiam os métoos e otimização matemátia. Ao ontrário os proessos e tentativa e erro, esenvolvios om base na eperiênia o projetista, este tipo e proesso utiliza ténias matemátias e avaliação as variáveis e restrições inluías no projeto, e orma a se onseguir um projeto otimizao. A utilização e omputaores az om que esta tarea e busa o projeto otimizao se torne bastante atraente, e orma que os projetistas possam passar mais tempo se eiano à parte e onepção o projeto que, esta sim, omo epene muito a riativiae, não poerá ser substituía por álulos matemátios.

22 . A Otimização Estrutural.. Deinições A otimização ou programação matemátia poe ser einia omo a ténia e se enontrar a melhor solução para problemas matematiamente einios, que são reqüentemente a moelagem e um problema ísio (Merano 99). Um problema e otimização omeça om a eterminação e variáveis e parâmetros que einem um problema ísio, e as restrições a que estão sujeitas essas variáveis. Em unção estas variáveis, é einia a unção objetivo que, matematiamente, everá ser maimizaa ou minimizaa omo, por eemplo, a minimização o peso e uma estrutura. Uma visão geral o problema e otimização oi aa por BALLING e YAO (99) omo segue:. Daos: Parâmetros onstantes. Enontrar: Variáveis e projeto. Minimizar: unção objetivo. Satisazer: Restrições e projeto O objetivo prinipal o projeto estrutural é enontrar o ponto e equilíbrio entre a maimização a segurança e a minimização os ustos. Como os ois oneitos menionaos são ontraitórios entre si, na prátia se busa uma minimização os ustos para uma estrutura que satisaça a prinípios básios e segurança, omo o respeito aos estaos limites e ruptura e e utilização, e as imposições e normas ténias. Suintamente, poemos einir a otimização e um projeto estrutural omo seno a einição e uma série e variáveis e projeto que,

23 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios juntas, vão etremar uma unção objetivo einia. No aso o presente trabalho, a otimização onsiste na minimização e uma unção e usto a estrutura... Ténias e Otimização Seguno CAMP et al. (998) em geral, as ténias e otimização poem ser iviias em três ategorias: programação matemátia, métoo os ritérios e otimização e os métoos e busas heurístias ou métoos genétios. A programação matemátia poe ser iviia em programação linear e nãolinear. Na programação linear, a unção objetivo e as restrições são unções lineares as variáveis e projeto. A programação não-linear oi esenvolvia para problemas e otimização one as restrições são unções não-lineares nas variáveis e projeto, e as onições neessárias para alançar a solução ótima são provias pelas onições e uhn-tuker (uhn e Tuker 95). Como a apliação ireta as onições e uhn-tuker é etremamente iíil para a maioria os problemas, o métoo os ritérios e otimização oi riao, om ontribuições e BARNETT (96), PRAGER (968) e VENAYYA et al. (968), entre outros, para sua apliação inireta, ombinaas om os multipliaores e Lagrange, nos problemas e programação não-linear. Este métoo vem seno usao na maioria os problemas e engenharia e estruturas, prinipalmente para granes estruturas, omo em RIZZI (96), ARORA (98), MOHARRAMI e GRIERSON (99) e SOARES (99). O algoritmo genétio é uma ténia que moela o problema baseao nos prinípios genétios e sobrevivênia e uma população através e aequações e aaptações. Este métoo não neessita e uma relação epliita entre as variáveis. Ele trabalha om uma população e variáveis e projeto e aa variável que eine uma solução potenial é hamaa e string. O métoo onsiste basiamente e três partes: oiiar e eoiiar variáveis omo strings; azer a aequação e aa string para a solução e apliar os operaores genétios para riar a nova geração e strings. O métoo os algoritmos genétios tem sio empregao om suesso na

24 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 8 otimização estrutural, omo em GOLDBERG e SAMTANI (986) e JENINS (99)... Apliações prátias a otimização estrutural Nas ultimas quatro éaas, ese o trabalho pioneiro e SCHMIT (96), oorreram sensíveis avanços na teoria a otimização estrutural, ato que poe ser observao através as entenas e artigos publiaos em revistas internaionais. Assim, a ténia para a riação e erramentas que venham a auiliar na otimização e projetos e estruturas já está bem apereiçoaa. Apesar e too esse avanço, e e vários enontros realizaos om o intuito e ivulgar os trabalhos realizaos nesta área, toos os esorços na tentativa e inserir a otimização estrutural no ia-a-ia os esritórios e engenharia alharam, e a sua utilização aina é quase nula, estano este trabalho restrito a espeialistas no assunto. Esta launa entre os avanços teórios e a prátia preoupa os pesquisaores ese o iniio os estuos a este respeito, omo mostram GOBLE e MOSES (95), TEMPLEMAN (98) e COHN e DINOVITZER (99), entre outros. Na éaa e imaginava-se que as prinipais iiulaes para a implementação a otimização eram o usto neessário para aquisição e omputaores e o treinamento e pessoal para operá-los. Hoje, porém, om os omputaores presentes em toos os esritórios e engenharia e om a amiliariae om o seu uso seno onição quase que unamental para a ormação e um proissional, esta teoria pere ompletamente o sentio. Seguno TEMPLEMAN (98) a prinipal justiiativa para o reuzio uso prátio os inúmeros trabalhos publiaos a respeito a otimização e estruturas é que uma pequena parela os asos estuaos satisaz aos asos espeíios os usuários poteniais a otimização. Desta orma, ele lista alguns requisitos que um sistema e otimização eve apresentar: ele eve soluionar os problemas prátios o ia-a-ia o esritório, apresentano soluções que não sejam meramente teórias; eve ser áil e usar e ontribuir para uma maior veloiae no proesso e álulo estrutural; e, o mais importante, omo é o engenheiro que assina o projeto e tem total

25 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 9 responsabiliae sobre o mesmo, o programa e otimização eve auiliá-lo, e não substituí-lo, nesta tarea. Para tanto, o engenheiro eve ter total ontrole sobre os passos o projeto, einino o que eve ser otimizao e poeno analisar os resultaos apresentaos, intererino one julgar neessário. Desta orma, o omputaor everá iar om o trabalho matemátio a solução, porém a eisão inal aberá, elusivamente, ao projetista. Baseaos em um etenso atálogo e artigos publiaos sobre otimização, CONH e DINOVITZER (99) sugerem que uma as prinipais razões para a istânia que eiste entre a teoria e a pratia a otimização estrutural é a preoupação prinipal om os aspetos matemátios o proesso, em etrimento o aspeto estrutural, iano este último restrito a eemplos triviais que têm o únio interesse e omprovar a eiiênia os algoritmos apresentaos. Somente om a substituição esta visão aaêmia a otimização para uma visão e interesse os engenheiros o ramo, é que a otimização vai eiar e ser um eótio eeríio aaêmio para se tornar uma erramenta útil no esenvolvimento e projetos e estruturas. SOARES (99) mostra que a otimização poe se tornar muito mais atraente e e áil implementação para os engenheiros quano os oneitos ísios as variáveis envolvias são assoiaos às ténias matemátias, azeno om que os problemas prátios a engenharia limitem as variáveis, e orma a se alançar uma onvergênia mais rápia aos etremos a unção objetivo. Assim, através a einição ísia o problema, gera-se um algoritmo para etremar a unção e analisam-se isiamente os resultaos obtios, busano-se o mais aequao para o problema espeíio... A otimização em estruturas As ténias e otimização são apliaas às estruturas, e uma orma geral, em ois moelos: a otimização o layout a estrutura, om a variação no posiionamento e orma os elementos estruturais ou a otimização a seção transversal estes elementos já pré-einios. Estes ois moelos poem estar também aoplaos em um moelo únio, omo em YANG e SOH (), que mostram, através a

26 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios utilização e programação genétia, a otimização o layout e a seção transversal os elementos e uma treliça plana em aço. Este tipo e proeimento poe ser apliao evio a poua restrição a que está imposto o problema. A maioria os estuos e otimização em estruturas se reere à seção transversal os elementos, uma vez que, evio às restrições impostas prinipalmente pela arquitetura, a otimização e layout se torna um proeimento bastante limitao. Quanto ao material usao no proesso e otimização, o aço é, e longe, o material mais utilizao, oupano 9% os artigos publiaos a esse respeito, seguno CONH e DINOVITZER (99), enquanto o onreto e as estruturas mistas representam apenas % o total. Isso se eve, prinipalmente, ao ato as ailiaes geraas pelo uso e um material isótropo e homogêneo. A unção objetivo trataa nos trabalhos e otimização também sore inluênia as ailiaes a serem geraas na programação, e moo que a grane maioria trata e unção o peso a estrutura. Apesar e esta unção se mostrar eiiente para os asos e estruturas em aço, uma vez que este material é omprao por uniae e peso, ela pere o sentio quano se trata e onreto armao, visto que este envolve, no mínimo, três materiais ierentes: o onreto, o aço e a ôrma..5. A otimização os ustos em estruturas e onreto armao Apresentar-se-á a seguir uma visão geral e alguns os artigos publiaos a respeito a otimização e ustos em estruturas e onreto armao e protenio. No que iz respeito a eiiações, a grane maioria os artigos publiaos é sobre vigas. Pouos trabalhos apresentam a otimização e pilares ou pórtios e, omo menionam SARMA e ADELI (998), quano a otimização é eita para pórtios ela é, em quase que sua totaliae, para pórtios planos. Eles registram em toa a sua pesquisa, que abrange as últimas quatro éaas, apenas ois artigos que tratavam e estruturas em pórtio espaial e onreto armao.

27 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios RIEL (9) enontrou uma solução ehaa para otimizar a taa e armaura, e moo a minimizar o usto e vigas bi-apoiaas retangulares e onreto armao, utilizano as restrições em momento iniaas pelo ACI. Aquele autor hegou à onlusão que os ustos a ôrma e o aumento o peso a estrutura provoao pela otimização não inlueniam signiiantemente os ustos inais. O peso provoao pelo usto a ôrma no usto inal a estrutura varia e aoro om a époa e o loal one oi realizao o estuo. CHARABARTY (99a) inia que, na Ínia, one o usto a mão e obra é baio, o usto o onreto e o aço é aproimaamente o mesmo, e o usto a ôrma é por volta e 5% o usto o onreto. Um pouo antes, ANAGASUNDARAM e ARIHALOO (99) haviam reportao justamente o ontrário, para países inustrializaos omo a Austrália e os Estaos Unios. NAAMAN (96) ompara a otimização pelo ritério e mínimo usto om a e mínimo peso para vigas bi-apoiaas protenias e seção retangular, e lajes armaas em uma ireção. Ele onlui que os ois ritérios orneem soluções similares apenas quano a razão entre o usto o onreto por metro úbio e o usto a armaura para protensão, por quilograma, é maior que. Para razão menor que, aso em que se enaia a maioria as estruturas prouzias nos Estaos Unios, o ritério e mínimo usto traz soluções mais eonômias. HUANCHUN e ZHENG (985) apresentaram um projeto e otimização e pórtios planos, baseao na norma hinesa, realizao em uas etapas: na primeira etapa se busava a estrutura mais leível que satisizesse às restrições apliaas utilizano o métoo e programação linear seqüenial e, na seguna etapa, o usto o pórtio era minimizao através a onsieração as restrições loais para aa elemento, utilizano um métoo e busa isreta. A unção e ustos o problema levava em onsieração apenas os ustos os materiais para a oneção os pilares e vigas. SPIRES e ARORA (99) isutem a otimização e estruturas altas tubulares em onreto armao om upla simetria no plano baseaa no ACI, utilizano um proeimento e programação seqüenial quarátia. No proesso eles reuzem a upla simetria a estrutura para um pórtio plano equivalente. A unção e usto

28 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios onsiera o usto o onreto, o aço e a ôrma. São onsieraas aina restrições na reqüênia a estrutura, para limitar problemas provoaos pelo vento ou por terremotos. ANAGASUNDARAM e ARIHALOO (99) apresentaram um proeimento para otimização e vigas bi-apoiaas ou ontínuas e pilares que utilizava omo variáveis e projeto, além as imensões a seção transversal e a área e armaura, a resistênia à ompressão o onreto. Apesar a não-lineariae as restrições utilizaas no problema, o mesmo oi resolvio por uma ténia matemátia e programação linear, através a linearização as unções. Após a análise e eemplos, onluiu-se que a inlusão a resistênia à ompressão o onreto omo variável e projeto az om que a seção otimizaa seja mais esbelta; além isso, om uma maior resistênia à ompressão o onreto, também resultam em menores ustos uturos e manutenção, uma vez que a utilização esses onretos traz também uma melhora na urabiliae a estrutura. CHARABARTY (99b) apresenta um moelo para otimização e vigas e onreto armao e seção retangular e om armaura simples, utilizano ritérios e mínimo usto. É apresentao o moelo e ormulação, e iniao que o moelo poe ser resolvio através a utilização e qualquer algoritmo e programação não-linear onheio, o que é ilustrao através a solução e um eemplo utilizano o algoritmo e EVERARD et al. (98). Aquele autor observa que, na maioria os asos, a seção ótima é mais alta e om uma menor taa e armaura, o que inia que a restrição ativa na otimização é a leha máima. HOROWITZ (99) mostra um métoo e otimização para maimização o momento obliquo e primeira orem e pilares e onreto elgaos. É utilizao o métoo os ritérios e otimização, através e um algoritmo e programação seqüenial quarátia. Algumas equações e equilíbrio são utilizaas para reução o tamanho a unção, iviino o problema em subproblemas e programação quarátia. É apresentao um eemplo e um pilar retangular para mostrar a solução enontraa pelo algoritmo.

29 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios MOHARRAMI e GRIERSON (99) apresentam um métoo omputaional para otimização e pórtios planos em onreto armao pelo ritério e mínimo usto, utilizano o métoo e ritérios e otimização. Os pilares possuem seção transversal retangular e as vigas poem ter seção retangular, T ou L. São utilizaos omo variáveis para minimização os ustos e onreto, aço e ôrma. O arranjo as barras não é levao em onta, seno só utilizaa omo variável e projeto a área e armaura, onsierano que ela estará onentraa na bora traionaa a viga e istribuía nos quatro antos os pilares retangulares. São esritos a ormulação matemátia, os proeimentos utilizaos na riação o algoritmo, e são apresentaos ois eemplos e pórtios planos otimizaos utilizano o métoo esrito. SOUZA JR e VAZ (99) apresentam uma ormulação para otimização o imensionamento e um pilar parão, om base engastaa e topo livre, om seção transversal retangular em onreto armao, sujeito a leão omposta oblíqua. São utilizaas omo variáveis e projeto as imensões a seção transversal e a área total a armaura, seno ia a sua istribuição ao longo as aes o pilar. Como restrições, são onsieraas as e segurança as estruturas, ateneno ao estao limite último a seção, e os valores mínimos e máimos para as variáveis e ontrole. Três eemplos são apresentaos para mostrar a eiiênia o algoritmo ormulao. AL-SALLOUM e SIDDIQI (99) apresentam um proeimento e otimização para vigas retangulares e onreto armao, onsierano o usto e onreto, aço e ôrma, utilizano as restrições o ACI. As variáveis e otimização utilizaas são as imensões as vigas e a taa geométria e armaura. É apresentao o luograma o algoritmo, e ino eemplos são resolvios om a sua utilização. O proesso apresentao é ehao e ireto, não utilizano iterações para se hegar à solução ótima, através a utilização o graiente a unção Lagrangeana aumentaa e o métoo os multipliaores e Lagrange. ADAMU e ARIHALOO (99a) utilizaram um métoo e ritérios otimizaos tipo isretizao para minimizar os ustos e uma viga e onreto armao om variação e seção transversal, usano a altura ou a altura e a taa e armaura omo variáveis e projeto. ADAMU e ARIHALOO (99b) isutem

30 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios sobre a minimização os ustos e vigas em onreto armao om seção transversal uniorme e variação a taa e armaura em aa vão. Utilizano o mesmo métoo, ADAMU e ARIHALOO (995a) projetaram pórtios planos baseaos nas normas australianas e no CEB, om pilares submetios à leão omposta normal. A unção e usto inluía os ustos e onreto, aço e ôrma, e as variáveis e projeto eram as imensões a seção transversal e a taa e armaura. Por razões prátias eles assumiram que as imensões as seções transversais permaneiam onstantes para toos os trehos as vigas e os pilares, porém variano a taa e armaura. Em outro trabalho, ADAMU e ARIHALOO (995b) utilizaram os pilares trabalhano à leão omposta obliqua, porém aina utilizano o pórtio plano. ZIELINSI et al. (995) apresentam um proeimento para otimizar um pilar urto e onreto armao. O proeimento inlui uas etapas e iteração: na primeira etapa é enontraa a apaiae resistente e uma oluna om imensões aas e na seguna é realizao o proesso e otimização. As variáveis e projeto são as imensões a seção transversal, a área e aço e o número e barras e armaura. As restrições estão baseaas nos óigos anaenses. A otimização é eita utilizano a ténia e penalização interna a unção, que onsiste basiamente em transormar um problema om restrição em outro sem restrição meiante a aição e um termo e punição à unção objetivo. Para a eterminação a posição a linha neutra a seção no aso e leão omposta oblíqua oi utilizao o métoo e Newton- Raphson. Vários eemplos são otimizaos utilizano o programa riao om este proeimento. OCER e ARORA (996) ompararam iversas ténias e otimização para minimização e ustos e uma torre e transmissão em onreto protenio, e onluíram que o métoo os algoritmos genétios oi o mais eiiente na otimização. ADAEE e GRIERSON (996) apresentaram um proesso e otimização om minimização e ustos para pórtios espaiais em onreto armao, om elementos submetios a momento letor e esorço ortante biaiais, utilizano o métoo os ritérios e otimização, e restrições baseaas no ACI Coe. O oo prinipal o trabalho era a ormulação as restrições apropriaas para a ombinação

31 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 5 entre esorços normais, momentos letores biaiais e esorços ortantes biaiais. Os autores onluíram que o esorço ortante biaial é uma onsieração importante para o projeto e pilares e que sua inlusão aumenta signiiantemente os ustos a estrutura. BALLING e YAO (99) apresentam um proeimento para otimização e pórtios espaiais retangulares e onreto armao, utilizano vigas e pilares om seções retangulares. Iniialmente é utilizao um métoo em que o número, iâmetro e arranjo as barras longituinais e aço são levaos em onta na otimização e vigas e pilares. azeno uma omparação entre este métoo e o métoo traiional e se usar apenas omo variável a área e aço a armaura, manteno-se ia a sua istribuição, provou-se que estes aos não inlueniam na einição o usto ótimo a estrutura, e moo que poem ser retiraos o proesso e otimização sem prejuízo os resultaos. Baseao nestes aos, é apresentao um métoo simpliiao, que elimina a área e aço as variáveis e projeto, eiano-a apenas omo unção o esorço atuante, reuzino o tempo e proessamento em relação ao métoo traiional, om a mesma qualiae na otimização. SOARES (99) apresenta um programa para azer um preimensionamento ótimo o vigamento e um pavimento através e um métoo e aproimações ombinaas, no qual é eita a otimização, utilizano o métoo os ritérios e otimização, as seções transversais mais soliitaas e aa viga. Parte-se o prinípio e que o somatório os mínimos loais interagios representa o mínimo global a estrutura. As variáveis envolvias no proesso e otimização são a altura a viga e a área e aço, onsierano que a largura a viga é um ao einio pela arquitetura. Através e eemplos e e omparações om estruturas reais, ele omprova a eiiênia o programa apresentao. HASSANAIN e LOOV (999) utilizam ténias e minimização e ustos para provar as vantagens a utilização o onreto e alto esempenho para a abriação e vigas pré-molaas I em pontes e tabuleiro sobre vigas. oi utilizao um sotware pré-esenvolvio para azer omparações através a variação o numero e vigas utilizao, a altura a viga, entre os parões utilizaos pelo óigo anaense, e o k o onreto utilizao.

32 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 6 RATH et al. (999) utilizam um métoo para variação a orma e elementos isolaos e onreto armao submetios à leão. A partir e uma seção iniial retangular e únia ao longo o omprimento, a viga passa, após a otimização, a apresentar seção I, om altura variável ao longo o omprimento. Para a otimização são utilizaas ierentes ténias, omo programação quarátia para a variação e orma e algoritmo genétio para eterminação o número e iâmetro as barras. A otimização a peça é eita levano-se em onta a reução no volume e onreto, assumino-se que o usto a ôrma é proporional a este. Desta orma, este tipo e otimização traz vantagens basiamente para peças pré-molaas que serão prouzias em larga esala ou granes vigas e ponte, one a reução o volume proporione uma reução maior que os ustos provoaos pelo aumento os ortes na ôrma.

33 5. Metoologia A orma omo se pretenem alançar os objetivos propostos envolve o equaionamento o problema e minimização e ustos a seção transversal os pilares, e o esenvolvimento e rotina orresponente. Esta rotina será apliaa a um programa e álulo e esorços para pórtios planos, juntamente om a rotina para otimização e seções transversais e vigas esenvolvia por SOARES (99), em trabalho e mestrao. Analogamente ao que oi eito para as vigas, será montaa uma unção e usto, sujeita a restrições e equilíbrio e laterais, oriunas e limitações e orem prátia, resultano num problema e análise não-linear, uja solução irá orneer as seções transversais aequaas e pilares e respetivas armauras. A solução eata o problema será alançaa através a resolução analítia o sistema e equações não-lineares gerao, a partir a apliação o métoo os multipliaores e Lagrange para etremização e unções não-lineares sujeitas às onições e uhn-tuker. As variáveis a serem otimizaas são as imensões a seção transversal os pilares (omprimento e largura), e a área e armaura longituinal. A seção transversal a ser estuaa será retangular om armaura simetriamente istribuía em uas aes a seção. A esolha esta oniguração se eve ao ato e esta ser a orma e seção transversal mais omumente utilizaa na prátia. A maioria os trabalhos em otimização e seções transversais e pilares utiliza um arranjo únio e armaura longituinal, onsierano as armauras loalizaas nos quatro etremos a seção. BALLING e YAO (99) izeram um estuo e otimização em pórtio plano om variação no número, iâmetro e

34 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 8 posiionamento as armauras longituinais e pilares e vigas e hegaram a onlusão que estes parâmetros não inlueniam nas imensões ótimas a seção transversal. Neste trabalho serão utilizaos quatro arranjos ierentes, variano o número e barras por ae e uas a ino, a epener o omprimento a seção. Os arranjos aotaos servirão também para onirmar a airmação anterior, e orma a que possamos utilizar um arranjo únio, ou iniar a neessiae a manutenção e arranjos variaos na tentativa e busar um projeto otimizao. A unção e usto a ser implementaa levará em onta os ustos om material e mão e obra para a abriação o pilar, inluino nestes ustos o onreto, a armaura longituinal e a ôrma utilizaa. Como onições e equilíbrio onsierou-se simpliiaamente, por se tratar e pórtios planos, que os pilares estarão trabalhano à leão normal omposta, utilizano as onições e equilíbrio em orça e momento para esta situação. Para as restrições laterais serão utilizaos limites mínimos e máimos para as imensões a seção transversal e para a taa e armaura o pilar.

35 6. Resolução e Problemas Não-Lineares A programação matemátia trata a análise e resolução e problemas o tipo: Minimizar Sujeito a h, i,,..., m i g, j,,..., p j Ω R n one, h i e g i são unções einias em R n, Ω é um subonjunto e R n e é um vetor e n omponentes,,..., n. O problema eve então ser resolvio para os valores as variáveis,,..., n que satisazem às restrições e minimizam a unção. A unção () é enominaa unção objetivo, h i são as restrições e igualae e g i são as restrições e esigualaes. Um vetor Ω que satisaz toas as restrições é hamao e Ponto Viável ou Solução viável para o problema. O onjunto e toos os pontos viáveis o problema é hamao e região viável Γ. O problema e programação não-linear onsiste, então, em se enontrar um ponto viável * no qual () (*) para qualquer outro ponto viável. Desta orma, o ponto * enontrao é enominao solução ótima, ou simplesmente solução o problema. O problema em questão terá solução se a região viável Γ or limitaa e ehaa. Se a região viável or ilimitaa, o problema poe ser ilimitao, ou seja, (). Caso a região viável seja vazia, ou seja, não eista Ω que satisaça as restrições, o problema não terá solução, e iz-se que as restrições são inonsistentes. Na sequênia este apítulo será sempre suposto que a região Γ é limitaa e ehaa.

36 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios Aina no eorrer este apítulo, veriiaremos as onições neessárias para einir a solução para um problema e programação não-linear. Para uma seqüênia mais iátia e epliação, omeçaremos om problemas sem restrições, passaremos para problemas om restrições e esigualae e eharemos o assunto generalizano os resultaos para problemas om restrições e igualae e esigualae. 6.. Problemas sem restrições Problemas sem restrições são iíeis e oorrerem na prátia, mas o seu estuo é importante por serem mais simples e por ser o problema om restrições uma seqüênia natural estes. Desta orma, ompreeneno o problema sem restrições, torna-se mais áil a ompreensão os emais Deinições 6... Pontos e mínimo Diz-se que um ponto * Γ é um ponto e mínimo loal ou ponto e mínimo relativo e () se numa vizinhança aberta e *, B a (*,r), () (*) para too B a (*,r). Se () > (*) para too B a (*,r) e *, iz-se que * é um ponto e mínimo loal estrito e (). Diz-se que um ponto * Γ é um ponto e mínimo global e () se () (*) para too Γ. Se () > (*) para too Γ, *, iz-se que * é um ponto e mínimo global estrito e (). A igura 6. ilustra, para uma unção e uma variável, os pontos e mínimo loal e global Matriz Hessiana Seja uma unção : R n R. Se () possuir erivaas pariais segunas ontínuas então a matriz Hessiana é einia omo

37 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios H i j () Mínimo loal estrito Mínimo loal Mínimo global igura 6. - Eemplos e pontos e mínimo 6... Conições neessárias para garantir a solução Dao um ponto Ω, preisamos einir se este ponto é um ponto e mínimo loal ou global para a unção. Seno assim, preisamos araterizar o ponto e mínimo. Essa araterização poe ser eita através o omportamento as erivaas a unção no ponto. O orolário apresenta uma onição neessária e primeira orem para * ser um ponto e mínimo loal. A onição é ita e primeira orem, pois ela utiliza erivaa e primeira orem a unção. Já o teorema, que utiliza erivaas segunas a unção, apresenta onições neessárias e seguna orem, através a utilização a matriz hessiana. As emonstrações para os teoremas e orolários apresentaos neste apítulo poem ser enontraas em BAZARAA e SHETTY (99). Teorema : Seja uma unção : R n R iereniável em *. Se eiste um vetor, tal que t ( *) <

38 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios então eiste um δ > e orma que ( * ) < ( *) para aa (,δ), então é uma ireção esenente e em *. Corolário : Seja uma unção : R n R iereniável em *. Se * é um ponto e mínimo loal, então ( *). Teorema : Seja uma unção : R n R uas vezes iereniável em *. Se * é um ponto e mínimo loal, então H(*) é semieinia positiva. Assim, poemos assumir omo onições neessárias para que um ponto * seja um ponto e mínimo loal, que este satisaça as seguintes onições: ( *) ; H(*) é semieinia positiva Conições suiientes para garantir a solução Teorema : Seja uma unção : R n R uas vezes iereniável em *. Se ( *) e H(*) é semieinia positiva, então * é um ponto e mínimo loal. O teorema inia, então, que as onições einias não só são neessárias, mas são também suiientes para garantir que o ponto * é um ponto e mínimo loal.

39 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 6.. Problemas om restrições e esigualaes Vamos estuar agora os problemas a orma: Minimizar Sujeito a g, j,,..., p j Ω R n 6... Deinições 6... Restrições ativas e inativas Um oneito unamental para a ompreensão a seqüênia este estuo é o oneito e restrição ativa. Dizemos que uma restrição e esigualae g j () é ativa em um ponto, se g j (), e izemos que ela é inativa se g j () <. Consiera-se, por onvenção, que qualquer restrição e igualae h i () é ativa em qualquer ponto viável. As restrições ativas em um ponto viável reuzem o omínio e viabiliae na sua vizinhança, enquanto que as restrições inativas não eerem inluênia sobre essa vizinhança. Desta orma, no estuo as proprieaes e um ponto e mínimo loal, ia laro que as atenções poem ser restritas às restrições ativas, veriiano-se, após enontraa a solução ótima, se esta satisaz a toas as restrições. Este ato poe ser ilustrao pela igura 6., one as proprieaes loais satiseitas por * obviamente inepenem as restrições inativas g e g. * Região Viável g () g () g () igura 6. - Eemplo e restrições ativas e inativas

40 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 6... Ponto regular Seja um ponto * que satisaça às restrições ativas g j (*) para j,,..., p. O ponto * é enominao ponto regular as restrições se os vetores graientes g ( *), g ( *),..., ( *) são linearmente inepenentes. g p 6... Cone e ireções viáveis Seja S um onjunto não vazio em R n, e seja * S. O one e ireções viáveis e S em *, enominao D, é ao por D { : e * S, para too (, δ ) seno δ > }. Caa vetor D e é hamao e ireção viável Conições neessárias para garantir a solução Teorema : Seja o problema e minimizar uma unção (), : R n R, sujeita a S, one S é um onjunto não vazio em R n. Seja iereniável em um ponto * S. Se * é um ponto e mínimo loal, então D φ one t { : ( *) < } e D é o one e ireções viáveis e S em *. Pela einição e one e ireções viáveis ia laro que um pequeno movimento e * sobre o vetor D leva a pontos viáveis. Além isso, pelo t teorema, temos que, se ( *) <, então é uma ireção esenente, ou seja, azeno um pequeno esloamento a partir e *, ao longo e, será provoaa uma reução no valor e. Já o teorema mostra que se * é um ponto e mínimo

41 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 5 t loal e ( *) <, então D. Resumino, uma onição geométria neessária para um ponto * ser um ponto e mínimo loal é que qualquer ireção esenente a partir aquele ponto não poe ser uma ireção viável. O teorema utiliza os onjuntos e D para riar uma onição neessária para se onsierar um ponto * omo um ponto e mínimo loal, one é um semiespaço aberto einio em unção o vetor graiente (*), e D é o one e ireções viáveis, que não é, neessariamente, einio omo graiente as unções envolvias. Torna-se neessária então, a onversão a onição e mínimo geométria usaa anteriormente em uma outra que envolva as equações o problema. Para isso será neessária a introução e outro onjunto, mostrao pelo teorema 5. Teorema 5: Seja g j : R n R para j,,..., p, e seja o problema P a orma: Minimizar Sujeito a g, j,,..., p j Ω R n Seja * um ponto viável e J { j : g j ( *) }. Sejam aina e g j, para j J, iereniáveis em * e g j, para j J, ontinua em *. Se * é um ponto e mínimo loal, então G φ one t { : ( *) < } e G t { : g ( *) <, j }. j J Como o teorema 5 inia, poemos einir um one aberto G em unção os graientes as restrições e esigualae ativas em *, e orma que G D. Uma vez que D φ preisa oorrer em * e G D, então φ é G

42 Otimização e Seções Transversais e Conreto Armao: Apliação a Pórtios 6 também uma onição e mínimo neessária para o problema P. Como tanto omo G são einias em termos os vetores graientes, ia mais áil utiliza-las omo onições e mínimo neessárias ao problema. Eistem vários asos em que as onições epostas pelo teorema 5 são satiseitas trivialmente para pontos que não onuzem a um mínimo loal. Tomemos por eemplo um aso one * é um ponto possível e ( *). Claramente t { : ( *) < } φ, logo φ. Desta orma, qualquer ponto * om G ( *) satisaz as onições e mínimo neessárias As onições e mínimo e ritz John Reuziremos agora as onições geométrias neessárias e G φ para um sistema em unção os graientes a unção objetivo e as restrições ativas. As onições e mínimo resultantes são reitaas a ritz John e aas pelo teorema 6 que segue. Teorema 6: Sejam as unções : R n R e g j : R n R, para j,,..., p, e seja o problema P a orma: Minimizar Sujeito a g, j,,..., p j Ω R n Seja * um ponto viável e J { j : g j ( *) }. Sejam aina e g j, para j J, iereniáveis em * e g j, para j J, ontinua em *. Se * é uma solução loal para o problema P, então eistem os esalares µ o e µ j para j J, e orma que µ ( *) j J µ g j j ( *) µ, µ j, ( µ, µ ) (,) J para j J