Estudo da Transmissão da Dengue entre os

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1 TEMA Ten. Mat. Apl. Comput., 4, No. 3 (23), c Uma Publicação a Socieae Brasileira e Matemática Aplicaa e Computacional. Estuo a Transmissão a Dengue entre os Inivíuos em Interação com a População e Mosquitos Aees Aegypti C.P. FERREIRA 1, H.M. YANG 2, Departamento e Matemática Aplicaa, Instituto e Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, Cx.P. 665, Campinas, SP, Brasil. Resumo. Estua-se a inâmica a transmissão a engue na população umana acoplaa à inâmica o vetor mosquito. Consiera-se a circulação e um único sorotipo na comuniae, seno que as populações umana e e mosquitos são escritas por um moelo eterminístico compartimental. Supono que o encontro entre os infectantes e os suscetíveis acontece e maneira aleatória, estua-se o efeito a ação os mecanismos e controle (aplicaos na população e mosquitos) sobre a oença para iferentes valores as forças e infecção. 1. Introução A engue é causaa por um arbovírus, teno o mosquito Aees aegypti como vetor. Esta infecção nos mosquitos não encurta a via méia e nem cria imuniae. Entretanto, na população umana, ela inuz a uma imuniae perene e, no caso a circulação e um único sorotipo na comuniae, os inivíuos sintomáticos esta oença não são levaos à morte. A inâmica e transmissão a engue envolve, portanto, um vírus e uas populações, a e mosquitos e a umana, as quais serão escritas através e um moelo eterminístico compartimental. O acoplamento entre as populações é feito através as forças e infecção e consiera-se mecanismos e controle agino apenas sobre a população e mosquitos. Os resultaos analíticos obtios em [6] consieram os parâmetros constantes no tempo e mostram que a erraicação a engue na população umana poe ser obtia através e mecanismos e controle sobre o vetor. Aqui, consiera-se a epenência temporal nos tempos e esenvolvimento e sobrevia as fases o mosquitos com a temperatura e umiae [3], e avalia-se a eficiência a aplicação perióica e controle feita na população e mosquitos sobre a oença. Os resultaos númericos são obtios pelo métoo e Runge-Kutta e 4 a orem. 1 pio@ime.unicamp.br (apoio financeiro FAPESP) 2 yunyang@ime.unicamp.br (apoio financeiro FAPESP e CNPq)

2 324 Ferreira e Yang 2. Moelo Com relação à população e mosquitos, consiera-se as 4 fases o ciclo e via o vetor, a saber: ovo (E), larva (L), pupa (P) e aulto (W), seno que a população aulta é iviia em mosquitos suscetíveis, W 1, infectaos porém não infectantes, W 2, e infectantes, W 3, e moo que a inâmica esta população é aa por: [ 1 E(t) (1 f)c ] [σ e (t) + µ e (t) + m e (t)]e(t) E(t) t = φ(t)f(w) t L(t) = σ e(t)l(t) [σ l (t) + µ l (t) + µ l(t) + m l (t)] L(t) t P(t) = σ l(t)l(t) [ σ p (t) + µ p (t) + µ p(t) + m p (t) ] P(t) t W 1(t) = σ p (t)p(t) [η w (I) + µ w (t) + µ w(t)] W 1 (t) t W 2(t) = η w (I)W 1 (t) [γ w + µ w (t) + µ w(t) + µ 2 (t)]w 2 (t) t W 3(t) = γ w W 2 (t) [µ w (t) + µ w(t) + µ 3 (t)] W 3 (t). (2.1) Os parâmetos σ e, σ l e σ p são as taxas e transição entre os compartimentos (inverso o tempo e esenvolvimento e caa fase); µ e, µ l, µ p, µ w, µ 2 e µ 3 são as taxas e mortaliaes e caa fase; µ l, µ p, µ w, m e, m l e m p são as taxas e mortaliae aicionais evio ao controle; C é a capaciae o meio e f é a fração e criaouros retiraos urante o controle mecânico. Os resultaos apresentaos são para a inâmica em que a capaciae e oviposição as fêmeas epene linearmente a quantiae e população e mosquitos, isto é, F(W) = W, e φ é a taxa e oviposição. Com relação à transmissão a oença, γ 1 w é o períoo méio e incubação extrínseca o vírus a engue no mosquito e η w (I) como força e infecção. A população umana total N é consieraa constante. Assim, os inivíuos são subiviios em quatro compartimentos não interceptantes esignaos suscetíveis (s), expostos (), infectaos (i) e recuperaos (r), e moo que a inâmica esta população escrita em termos e frações e inivíuos é aa por: t s(t) = µ [η (W 3 ) + µ ]s(t) t (t) = η (W 3 )s(t) [γ + µ ](t) t i(t) = γ (t) [σ + µ ]i(t) t r(t) = σ i(t) µ r(t). (2.2) Os parâmetros µ, γ 1, σ 1 e η (W 3 ) são, respectivamente, a taxa e mortaliae, o períoo méio e incubação o vírus no omem, o períoo infeccioso méio o omem e a força e infecção.

3 Estuo a Transmissão a Dengue 325 Supoẽ-se que o encontro entre os infectantes e suscetíveis acontece e maneira aleatória, e moo que as relações entre as forças e infecção e as taxas e contato são aas pelo encontro as massas: η w (I) = β w I, η (W 3 ) = β W 3, one I = in é o número e inivíuos infectantes e β w e β são as taxas e contato per-capita entre inivíuos infectantes (mosquito e omem) e suscetíveis (omem e mosquito). A ecrição etalaa o moelo e os parâmetros encontra-se em [6]. Se os parâmetos o moelo não epenem o tempo, isto é, σ e (t) = σ e, σ l (t) = σ l, µ e (t) = µ e, etc., após um transiente, as populações atingem seus valores e equilíbrio e poe-se ientificar três soluções e estao estacionário: (1) se φ < φ t = ( ) σ e σ l σ p 1 ρ e ρ l ρ p ρ w (solução nula, W = ); tem-se a população umana livre e mosquitos (2) se φ > φ t e R < 1 tem-se população umana infestaa por mosquitos sem a transmissão a engue (solução trivial, = ); (3) se R > 1 tem-se população umana infestaa por mosquitos com a transmissão a engue (solução não-trivial, ou equilíbrio enêmico). O parâmetro φ t é a taxa e oviposição limiar e R representa a razão e reproutibiliae a engue. A eterminação os pontos e equilíbrio e análise e estabiliae para o moelo autônomo encontra-se em [6]. 3. Resultaos Numéricos Inicialmente, analisa-se a evolução a inâmica a população e mosquitos e umana, sem consierar os mecanismos e controle, como eliminação os criaouros e aplicação e larvicias e aulticias, e moo que os resultaos mostraos corresponem à situação f = m e (t) = m l (t) = m p (t) = e µ l (t) = µ p(t) = µ w(t) = Sem controle Consiera-se a situação em que uma comuniae livre a oença, isto é, W () 2 = W () 3 = () = r () =, entra em contato com a mesma, via a introução e inivíuos infectaos na comuniae em t =. A tabela 1 contém as emais conições iniciais para a população e mosquitos e umana, e os valores os parâmetros utilizaos nas simulações. A epenência as soluções (2) e (3) o moelo autônomo com os parâmetros β w e β, que caracterizam as forças e infecção, está mostraa na Figura 1. Para β w =,5 e β,2 em ias 1 a solução e equilíbrio correspone à situção (2), isto é, população umana infestaa por mosquitos sem a transmissão a engue; enquanto para β w =,5 e β >,2 em ias 1 tem-se a solução (3), isto

4 326 Ferreira e Yang Tabela 1: Conições iniciais e valores os parâmetros utilizaos nas simulações. Os emais parâmetros são: C = 1, φ = 1 ias 1 e µ 1 = 24 ias. E () L () P () W () 1 s () i (),2,1,2,9,999,1 µ 1 e (ias) µ 1 l (ias) µ p 1 (ias) µ 1 w (ias) µ 1 2 (ias) µ 1 3 (ias) 1 1,5 4,6 17, γ 1 (ias) γ 1 w (ias) σ 1 (ias) σ 1 e (ias) σ 1 l (ias) σ 1 p (ias) 1 9,5 6 4,5 11,7 4,6 é, população umana infestaa por mosquitos com a transmissão a engue. A existência e pontos críticos e a sua epenência com as forças e infecção são muito importantes o ponto e vista e controle e classificação a infecção W s r W 2 W i β β Figura 1: Soluções e equilíbrio para a população e mosquitos e umana ao β w =, 5 ias 1 e iferentes valores e β. As variações abióticas são introuzias no moelo consierano o ano calenário iviio em apenas ois períoos: temperatura e umiae baixas (períoo esfavorável) e altas (períoo favorável). Supõe-se o períoo esfavorável compreeneno a maior parte o ano, com os parâmetros constantes aos na tabela 1; e o períoo favorável compreeneno um intervalo e tempo a orem e 75 ias que correspone ao períoo e cuvas entre janeiro/abril (vie [1]). Durante este períoo as taxas e esenvolvimento e sobrevia poem assumir um os conjuntos istintos e valores aos na tabela 2, associaos a uas temperaturas. Nas simulações associa-se uma probabiliae e sorteio P t e 1 P t a caa um

5 Estuo a Transmissão a Dengue 327 Tabela 2: Méia o tempo e esenvolvimento e sobrevia e caa estágio para ois valores e temperatura (em ias). T( C) σ 1 e (ias) σ 1 l (ias) σ 1 p (ias) µ 1 l (ias) µ 1 m (ias) 25 3,3 8 3,1 2, ,4 1, esses conjuntos, em que a caa 36 passos e tempo (1 ano e calenário) um número aleatório z [,1] é sorteao e comparao com P t. Se z P t escole-se o conjunto e parâmetros relativo a temperatura e 25 C, se não, a e 27 C. Utilizouse P t =,75 para mimetizar uma brusca variação ocorreno esporaicamente (25% os casos). A evolução temporal as iferentes populações é apresentaa nas Figuras 2 (população e mosquitos) e 3 (população umana) para o conjunto e parâmetros aos nas tabelas 1 e 2, com β w =,13 e β =,1 em ias E L P W W 1 2 W tempo (anos) tempo (anos) tempo (anos) Figura 2: Evolução temporal para a população e mosquitos com β w =, 13 e β =, 1 em ias 1. Os picos maiores observaos para o número e ovos (E), larvas (L) e pupas (P) corresponem a temperatura e 27 C enquanto as menores, à temperatura e 25 C. Os mosquitos suscetíveis são infectaos quano picam inivíuos infectantes, e forma que os picos que aparecem em W 2 resultam o encontro essas uas populações. Como conseqüência o períoo e incubação o vírus no mosquito, os picos que aparecem em W 3 estão eslocaos em relação aos seus corresponentes em W 2 (retaro). Em relação à inâmica a população umana, poe-se observar, na Figura 3, que os picos e infecção aparecem sempre que ocorre uma muança no comportamento (iminuição) a população e suscetíveis. Os inivíuos suscetíveis são infectaos pelas picaas e mosquitos infectantes, e forma que os picos que aparecem em

6 i i 328 Ferreira e Yang,7,6,5,4,3,2,1,99,98,97,96,95, , tempo (anos) s r,2,15,1,5,1,8,6,4, tempo (anos) i Figura 3: Evolução temporal para a população umana com β w =, 13 e β =, 1 em ias 1. são resultaos o encontro entre essas uas populações. Devio ao períoo e incubação o vírus no omem, os picos que aparecem em i estão eslocaos em relação aos seus corresponentes em. Estes eslocamentos não são observaos nas figuras por causa a escala o tempo (em anos). Quanto maior o valor e σ 1, tempo urante o qual o inivíuo infectante transmite o vírus, maior é o número e inivíuos infectaos em um mesmo períoo e tempo como poe ser visto na Figura 4. A possibiliae e uma nova infecção aumenta também quano a população cresce, pois neste caso ocorrerá maior número e contatos entre inivíuos/mosquitos infectantes e mosquitos/inivíuos suscetíveis.,25,2 (a),25,2 (c),15,15,1,1,5, ,25,2 (b),25,2 (),15,15,1,1,5, t (anos) t (anos) Figura 4: Variação a ensiae e inivíuos infectaos com σ 1 (c) e (), respectivamente, σ 1 = 2, 5, 8 e 1 em ias.. Tem-se em (a), (b),

7 i i Estuo a Transmissão a Dengue t (anos) (a) (b) t (anos) (c) () Figura 5: Variação com o prouto β w β que mee a força a infecção. Tem-se em (a), (b), (c) e (), respectivamente, β w β = 2, ;, ; e em ias 2. O mesmo resultao é obtio quano se varia o prouto β w β que mee a força e infecção. À meia que a epiemia torna-se mais grave, menor é o espaçamento entre os ois picos suscessivos, como poe ser visto na Figura 5. Com relação aos tempos e incubação o vírus no omem e no mosquito, o comportamento é oposto ao escrito anteriormente: o aumento e γ w e/ou γ acarreta a iminuição o número e suscetíveis e forma que ois picos sucessivos e infecção estão mais afastaos para acumular os suscetíveis para valores limiares. Portanto, existem picos e epiemias anuais evio à variação os parâmetros (a escala em anos o gráfico ificulta a visualização) e picos maiores em intervalos superiores a um ano que epenem, por exemplo, os valores e β w e β. Estes picos epiêmicos mais acentuaos evem-se ao acúmulo e suscetíveis Com controle Os mecanismos e controle são introuzios como taxas e mortaliae aicionais em caa uma as fases em que atuam. Para meir a eficiência e caa um eles, compara-se a área as curvas obtias para W 1, W 2, W 3 e i, quano a simulação é feita na ausência (A ) e na presença (A 1 ) e algum mecanismo e controle (vie [1]). Os resultaos mostraos inicam a porcentagem e mosquitos mortos, J w = 1 (1 A w 1 /A w ), ou umanos protegios, J i = 1 ( 1 A i 1/A) i, evio à aplicação perióica o controle urante o intervalo e tempo t em anos. Ressalta-se que o estuo a ação os iferentes mecanismos e controle é feito iniviualmente, por exemplo, o efeito e aulticia é meio pelo parâmetro µ w fazeno-se os emais parâmetros, f, m e, m l, m p, µ e e µ l iguais a zero. Nas Figuras 6 e 7 poe-se ver a eficiência obtia evio à aplicação e aulticia

8 33 Ferreira e Yang J w para W J w para W J w para W J i aulticia mecânico larvicia t (anos) t (anos) Figura 6: Comparação entre a aplicação e aulticia ( ), µ w = 1 ias 1, larvicia ( ), µ l = 5 ias 1 e µ p = 2 ias 1, e controle mecânico ( ), m e = m l = m p =, 1 em ias 1 e f =, 4 para t i = 11 ias, β w =, 13 e β =, 5 em ias 1. (urante 1 ias), larvicia (urante 5 ias) e o controle mecânico para ois valores as forças e infecção. Poe-se observar que o parão as curvas J w e J i mostrao nas figuras é semelante, o que leva a concluir que variações nas forças e infecção não traz muitas muanças qualitativas. Para uma mesma taxa e mortaliae aicional (inseticia ou larvicia) e remoção mecânica os criaouros, a eficácia é iferente em W 1, W 2 e W 3, seno maior para W 2 e W 3. Este comportamento eve-se a quantiae as populações (vie Figura 2), pois W 1 é muito maior que W 2 e W 3, e, portanto, menos sensitivo. A mesma explicação se aplica parcialmente à eficácia J i, pois i é muito pequeno. Aina com relação a população e mosquitos, poe-se observar que a eficácia J w para W 3 e W 2 oscila e iminui com o tempo e aplicação e inseticia e larvicia enquanto que para W 1 mantem-se praticamente constante. No caso o controle mecânico, a eficácia J w para W 1, W 2 e W 3 sempre aumenta, evio ao fato e não aver reposição e criaouros, que iminui a capaciae e manter a infestação. A eficácia J i para inivíuos infectantes oscila e iminui com o tempo, seno que, para forc as e infecção elevaas é praticamente nula. Uma possível explicação para este comportamento é que a introução e mecanismos e controle protege a população umana (suscetíveis), e maneira que os picos e infecção ocorrem mais tare, mais espaçaos e, as vezes, com mais intensiae. Este eslocamento os picos e infecção a simulação com controle em relação a simulação sem controle gera a epenência observaa com o tempo e aplicação o controle, e tem como consequência a iminuição a proteção (número e mosquitos mortos e inivíuos protegios) para tempos granes, pois a intensiae a aplicação é sempre a mesma. Ressalta-se que, se os parâmetros que efinem o moelo não epenem o tempo (sistema autônomo), então não á epenênciae J com o tempo e aplicação t.

9 Estuo a Transmissão a Dengue 331 J w1 J w J w t (years) J insecticie mecanic larvicie t (years) Figura 7: Comparação entre a aplicação e aulticia ( ), µ w = 1 ias 1, larvicia ( ), µ l = 5 ias 1 e µ p = 2 ias 1, e controle mecânico ( ), m e = m l = m p =, 1 em ias 1 e f =, 4 para t i = 11 ias 1, β w =, 13 e β =, 2 em ias Conclusão No moelo autômato [6] a erraicação a engue na população umana é sempre possível, basta que se iminua a razão e reproutibiliae a transmissão a engue, R, para valores abaixo a uniae por alguma forma e controle aplicaa na população e mosquitos. O parâmetro R epene explicitamente as taxas e contato, aí a importância a eterminação os valores críticos para β e β w, pois quanto maior forem estes valores críticos, maior será a ificulae para a epiemia se perpetuar. Para, também, entener o porquê a inciência a oença ser maior em áreas com alta ensiae populacional, basta supor que η w (I) = εβ w I e η (I) = εβ W 3, one o parâmetro ε mee a forma como os inivíuos estão istribuíos geograficamente, facilitano ou não a transmissão a engue. Para valores fixos e β w e β, variações no parâmetro ε eslocam os picos e infecção suscessivos, eixano-os mais próximos ou mais afastaos. As variações abióticas foram consieraas no moelo através a introução a epenência temporal nos períoos e esenvolvimento e sobrevia as iferentes fases o ciclo e via o mosquito. Os resultaos mostram que o controle com a mesma intensiae aplicao perioicamente (e intermitentemente) poe não conseguir atingir nenum os objetivos que são: a erraicação a oença ou a iminuição os novos casos e infecção. Isto porque o eslocamento os picos e infecção ocasionao pelo controle gera, a longo prazo, uma iminuição na eficiência este mecanismo, evio à existência e picos e inciência que surgem bruscamente no tempo e na intensiae. Assim, o controle eve ser feito e maneira perióica, porém com intensiaes iferentes para levar em consieração esses picos e infecção intensos ocasionaos pelo acúmulo e inivíuos suscetíveis.

10 332 Ferreira e Yang Em regime estacionário, no caso o sistema autônomo, poe-se eterminar o valor e R a partir os parâmetros que efinem o moelo, e a introução e mecanismos e controle visa iminuir este parâmetro para valores menores que a uniae, e moo que a erraicação a oença seja possível. Funamentaos em moelos omogêneos, mecanismos e controle têm sio propostos, seja para engue, seja para outras infecções. Entretanto, os controles têm sio fugazes para obter seus objetivos. Este trabalo mostrou que, quano se consiera a epenência temporal evio às variações abióticas (moelo não-autônomo), os resultaos o controle epenem o tempo e aplicação. Além esta sazonaliae e aplicação e controle, poe-se ter a manutenção a oença evio ao fato e se ter urante o períoo favorável uma capaciae propagação e oença aumentaa (como se tivesse R > 1), mesmo que em outros períoos se tena esta propagação ificultaa (como se tivesse R < 1). Por isso, quano se leva em consieração fatores não-omogêneos (como variações sazonias), mostra-se que o controle perióico eve ser acompanao e um estuo a inâmica a oença para que possa ientificar períoos e baixa enemiciae e se possa fazer um controle mais intenso a fim e evitar epiemias evio ao acúmulo e suscetíveis. Abstract Te ynamics of engue transmission is assesse consiering te population ynamics applie to umans an mosquitos. Compartimental moel is evelope taking into account te ranom encounter between susceptible an infectious iniviuals in orer to analize te erication of engue isease by te controlling mecanisms applie to te mosquito population. Referências [1] C.P. Ferreira e H.M. Yang, Estuo inâmico a população e mosquitos Aees aegupti, em Seleta o XXV CNMAC (E.X.L. e Anrae et al., es.), TEMA Ten. Mat. Apl. Comput., 4, No. 2 (23), no prelo. [2] R. Veronesi, Doenças Infecciosas e Parasitárias, Oitava Eição, Guanabara Koogan, Rio e Janeiro, [3] H.M. Yang e M.U. Ferreira, Assessing te effects of global warming an local socio-economic conitions on te malaria transmission by a matematical moel, Rev. Saúe Pública 34, No. 3 (2), [4] H.M. Yang, Epiemiologia Matemática-Estuos os efeitos a Vacinação em Doenças e Transmissão Direta, EDUNICAMP e FAPESP, Campinas e São Paulo, 21. [5] H.M. Yang, C.P.Ferreira e S. Ternes, Dinâmica populacional o vetor transmissor a engue, em Seleta o XXV CNMAC (E.X.L. e Anrae et al., es.), TEMA Ten. Mat. Apl. Comput., 4, No. 2 (23), no prelo. [6] H.M. Yang, Epiemiologia a transmissão a engue, em Seleta o XXV CN- MAC (E.X.L. e Anrae et al., es.), TEMA Ten. Mat. Apl. Comput., 4, No. 2 (23), no prelo.