ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL

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1 ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL Aluno: João Henrique Carneiro Orientador: Carlos Frederico Palmeira Introdução Foi feito um estudo sobre dinâmica populacional a fim de buscar exemplos e aplicações de equações diferenciais ordinárias não lineares. Inspirando-se no modelo S.I.R., muito usado nos modelos epidemológicos, foi usado um derivado desse, o modelo S.A.I.R. Como de praxe, as equações diferenciais referentes a esse sistema não têm soluções analíticas. Foi feito então uma análise qualitativa do sistema. Utilizando a similaridade entre os modelos, permitindo assim o uso de métodos também similares, descobriu-se os pontos de equilíbrio e suas estabilidades. Com essa informação, foi possível descobrir peculiaridades do sistema, incluindo suas bifurcações. Em especial encontrou-se o número básico de reprodução. Pôde-se, então, fazer algumas conclusões sobre as ações que um administrador deve fazer para conter uma invasão. O modelo SIR Como inspiração, estuda-se primeiro o modelo SIR [1], mais simples e com muitas restrições. Seu modelo de componentes é o seguinte: O sistema de equações diferenciais é: onde β é a taxa de transmissão e ν é a taxa de remoção. As variáveis S, I e R são referências às populações suscetíveis, infectadas e removidas respectivamente. Algumas suposições são feitas: 1. A transmissão é feita de maneira direta. 2. Não há introdução ou remoção de indivíduos da população total. Para uma infecção de pouca duração essa afirmativa faz sentido. 3. Período zero de incubação. 4. Indivíduos removidos têm imunidade completa e permanente. Só essa parte da população tem imunidade.

2 5. A população inteira é homogênea. 6. Os parâmetros β e ν são constantes. Essa afirmação frequentemente não é verdadeira. A soma das equações (1), (2), e (3) obtem-se zero, implicando que S + I + R = N, uma constante. Pode-se então reduzir o sistema para duas EDO s utilizando a equação auxiliar R = N S I. Com as equações (1) e (2) é possível observar que o sistema se encontra em equilíbrio, se e somente se, a população infectada for nula. Uma breve análise a mais permite ao bom observador notar que há dois pontos de equilíbrio: Nota-se que o segundo ponto passa a existir quando I(0) = 0. Desconsiderando o caso degenerado onde não há infecção, o próximo passo é analisar o comportamento da população infectada. É conhecido que, para qualquer condição inicial, a infecção eventualmente se anula. Mas será que há oscilações em uma escala menor de tempo? Nota-se pela equação (2) que o decaimento de I depende da seguinte relação: Como S decai monotonamente sabe-se que S(0) > S(t) para qualquer t no domínio. Define-se então um número básico de reprodução como: o Se R 0 < 1, a equação (2) tem sinal negativo sempre, e assim I decai monotonamente a zero. o Se R 0 > 1 a equação (2) tem sinal positivo até chegar a um S * que satisfaz G < 0. Com isso I aumenta temporariamente, mas eventualmente decai a zero. o Se R 0 = 1, I decai a zero. O número básico de reprodução é um limiar para o comportamento do sistema. Felizmente, essa característica pode ser usada para criar estratégias a fim de prevenir uma epidemia, através de mudanças nas três constantes do R 0. Nota-se que é definido como uma epidemia quando há, em algum momento, aumento na população infectada. Essa definição é fundamentalmente diferente de uma endemia, onde a infecção nunca subside.

3 O modelo SAIR: O sistema de equações no modelo SAIR, discutido por Piqueira [2] é: Seu modelo de componentes ilustra bem as evoluções do modelo SIR em algo mais complexo e completo. Suas variáveis e constantes são listadas e descritas na tabela 1.1 abaixo. Tabela 1.1 Variáveis e Constantes S A I R N α β AI β SI σ IS σ RS δ μ Descrição da variável / constante Computadores suscetíveis a infecção pelo vírus. Computadores protegidos por antivírus. Computadores infectados pelo vírus. Computadores removidos devido à infecção ou não. Número de novos computadores inseridos na rede por unidade de tempo. Taxa de conversão de computadores susceptíveis em antidotais. Taxa de infecção de computadores antidotais devido a um virus desconhecido. Taxa de infecção de computadores suscetíveis. Taxa de recuperação de computadores infectados. Taxa de recuperação de computadores removidos. Taxa de remoção de computadores infectados. Taxa de mortalidade não devido à infecção. É possível fazer algumas suposições a fim de simplificar a análise do modelo. Por exemplo, é razoável considerar que o tempo útil de um virus é muito menor que o tempo necessário para que N e μ fizessem alguma mudança significativa na rede. Portanto, não há muita perda ao considerar essas constantes como nulas. Desta forma, o sistema fica:

4 Nota-se que com essa simplificação o sistema é similar ao modelo SIR no sentido que a soma das equações (5), (6), (7) e (8) é nula. Logo, existe uma constante T tal que, O sistema contem quatro pontos de equilíbrio, dois deles com infecção zero. Descobre-se esses pontos impondo I = 0 nas equações (9), (10) e (12). Assim, os dois pontos são: O próximo passo para conhecer as sutilezas do modelo é descobrir a estabilidade desses pontos. Existe uma boa aproximação, muitas vezes onde o erro é nulo para uma vizinhança pequena, usando métodos lineares discutidos por Strogatz [3]. A Jacobiana do sistema diferencial é: Logo, no primeiro ponto de equilíbrio tem-se, cujos autovalores são: O autovalor nulo corresponde ao autovetor (1; 0; 0; 0), ou seja a reta inteira S = t onde t é real. Observando os outros autovalores, chega-se à conclusão que o ponto fixo no mínimo não é um atrator nem uma órbita. A fim de evitar complicações por causa da variedade central,

5 cria-se uma região de segurança impondo I > ε, ε suficientemente grande para que de ponto de vista do ponto P(s; ε; 0; 0), a reta age como um ponto fixo repulsor. Analogamente com o segundo ponto de equilíbrio, tem-se a jacobiana correspondente: Cujos autovalores são: Novamente tem-se um autovalor nulo, correspondente ao autovetor (0; 1; 0; 0). Não é possível chegar nesse ponto em tempo finito, a menos que se trate do caso degenerado I(0) =0. Logo, não há problemas com a variedade central A = t. Porém, como esse ponto de equilíbrio é ideal, por ser completamente saudável, e a outra solução ideal repele, requere-se que seja um atrator. Para isso, tem-se a relação que pode ser definida como o número básico de reprodução: o Se R 0 < 1, o terceiro autovalor se torna negativo e por isso o ponto age como um atrator. o Se R 0 > 1, o terceiro autovalor se torna positivo e por isso o ponto age como uma sela. A variedade central nesse caso divide os comportamentos dessa sela. Pelo lado esquerdo, onde consiste a situação do modelo, repele. Pelo lado direito, atrai. O número básico de reprodução permite a criação de estratégias para um administrador seguir a fim de garantir a saúde de sua rede de computadores. É notável, e de certa maneira esperado, que o aumento no número de computadores significa um maior esforço para forçar R 0 a ser menor que um. Logo, existem quatro maneiras de aumentar a segurança e saúde do sistema. Primeiro, atualizar o programa antivirus dos programas, já que β AI faz referência à taxa de infecção por um novo vírus em computadores antidotais. Segundo e terceiro, aumentar a velocidade de recuperação e remoção de computadores infectados via remendas feitas pelo administrador. A quarta e última maneira de melhorar o sistema deverá ser feita por último quando for constatado que as outras não são suficientes. Consiste em diminuir o número de computadores na rede, ou seja, baixar a constante T até que haja alguma nova atualização do programa antivirus pronta para a defesa requerida. Foram feitas algumas simulações com diversos valores das contantes. O resultado foi uma confirmação parcial daquilo que a teoria prediz. Ou seja, existem dois comportamentos completamente distintos para os dois valores específicos de R 0. Nessas simulações foram usados como valores de constantes: T = 50, α = 0.1, β SI = 0.5, ζ IS = 0.5, δ = 0.5,

6 ζ RS = 0.5. A condição inicial, P(0.4T; 0.5T; 0.1T; 0). Com tais valores, para que R 0 fosse menor que um, β AI precisava ser menor que Mas os gráficos a seguir mostram que as variedades centrais dos pontos de equilíbrio geram erro considerável. Gráfico 1 : β AI = 0.01 Gráfico 2 : β AI = Gráfico 3 : β AI = Gráfico 4 : β AI = Nota-se no primeiro gráfico que o comportamento demonstrado é ideal para o administrador. Isto é, a infecção é rapidamente aniquilada via remoção de infectados e aumento no número de computadores antidotais. No gráfico seguinte, tem-se o caso catastrófico onde o sistema converge a uma solução endêmica com uma densidade muito baixa de computadores. Isso ocorre em β AI = 0.013, significamente menor do que esperado pela teoria linear.

7 Nos dois gráficos a seguir, é ilustrada a bifurcação que existe entre os dois valores indicados de β AI. Também mostram que quanto mais perto do valor da bifurcação, maior o tempo necessário para o sistema sair do seu estado dormente. Aliás, para β AI no seu valor de bifurcação, o sistema é constante para todo tempo. Conclusão O uso de modelos matemáticos, empregando a teoria da bifurcação nas equações diferenciais ordinárias não lineares, é muito útil e prático além de visar à implementação de sistemas mais seguros contra qualquer invasão de tipos parasíticos. Estudar um sistema mais complexo, utilizando também teorias estatísticas como complemento, poderia resultar em uma compreensão mais completa das sutilezas de um sistema desse tipo. Com um bom modelo a ser estudado, é possível traçar estratégias usando o número básico de reprodução a fim de obter um sistema robusto e bem protegido contra um vírus. Referências 1 WEISS, Howard. A Mathematical Introduction to Population Dynamics. 27 o Colóquio Brasileiro de Matemática. IMPA, p , PIQUEIRA, M., NAVARRO, B.F., MONTEIRO, L.H.A. Epidemiological models applied to viruses in computer networks. Journal of Computer Science 1, p , STROGATZ, Steven. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Cambridge: Perseus Books, Agradecimentos Bruna Barretto, Caroline Lagos.