Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia de Controle e Automação. Ronilson Rocha

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia de Controle e Automação PROJETO E CARACTERIZAÇÃO DE CIRCUITOS ELETRÔNICOS CAÓTICOS: O LADO NEGATIVO DO CIRCUITO DE CHUA Ronilson Rocha

2 OBJETIVOS Apresentar a metodologia para projeto de circuitos eletrônicos análogos para a reprodução de sistemas dinâmicos. Desenvolver o projeto de um circuito análogo de Chua com parâmetros negativos. Caracterizar eperimentalmente o protótipo do circuito de Chua com parâmetros negativos.

3 ATIVIDADESEXPERIMENTAIS Importância: Compreensão de conceitos teóricos, Grande potencial de aplicações. Dificuldades: Limitações de espaço, Eatidão, Custo, Disponibilidade de componentes específicos.

4 Analogia Equivalência entre as características dinâmicas de sistema físicos e/ou matemáticos. Analogia eletrônica: Emulação eperimental do comportamento dinâmico de um sistema físico ou matemático a partir de circuitos eletrônicos. Solução útil e interessante para desenvolver atividades eperimentais com sistemas dinâmicos cuja realização física real seja difícil e/ou cara.

5 Analogia Eletrônica Uma vez que um sistema dinâmico é governado por um conjunto de equações diferenciais, ele pode ser emulado por circuitos eletrônicos: Funções Lineares - Circuitos com amplificadores operacionais: Integradores(integração) e Derivadores(derivação), Somadores(soma) e Subtratores(subtração), Amplificadores(multiplicação por constante). Funções não lineares Circuitos com amplificadores operacionais sintetizados a partir da divisão da função em segmentos de linha gerados por diodos polarizados, Dispositivos eletrônicos específicos: o Amplificadores logarítmicos e anti-logarítmicos, o Multiplicador analógico (Produto, Potência, Divisão, Raiz quadrada, Funções trigonométricas), o Etc.

6 Analogia Eletrônica O coração de um circuito eletrônico análogo é o integrador analógico ponderado, a partir do qual se pode implementar cada equação diferencial de primeira ordem que constitui o modelo do sistema: 1 v v v v dt RC y z o R Ry R + + z_

7 Analogia Eletrônica Montagens simples, robustas, compactas, versáteis e baratas; Espaço físico mínimo Representação das variáveis do sistema a partir de sinais elétricos: Evita o uso de sensores caros, Observação / armazenamento em osciloscópios e/ou placas de aquisição. Observação / armazenamento em osciloscópios e/ou placas de aquisição. Desenvolvimento de estudo eperimental quantitativo e qualitativo da dinâmica de um sistema: Soluções aproimadas rápidas para muitos tipos de problemas de simulação, Convergência garantida às soluções físicas.

8 Analogia Eletrônica Projeto direto relativamente difícil: Limitações dos sinais de tensão: Amplitude: o Tensão máima admissível: Fonte de alimentação, Não linearidades(saturação). o Tensão mínima: Ruídos, Erros Incertezas. Frequência: o Velocidade de resposta dos dispositivos e do equipamento de medição, o Operação em tempo real para observação confortável.

9 Escalamento Escalamento em amplitude: Aplicação de fatores de escala para forçar as variáveis do sistema a permanecer dentro de uma faia adequada de variação: Eliminar sobrecargas Assegurarníveldesinalacimadonívelderuído. Escalamento de tempo: Escalamento de tempo: Adoção de um fator de escala visando aumentar ou diminuir a velocidade deoperaçãodosistemaemrelaçãoaotemporeal: Limitar a freqüência do sinal Obter um tempo confortável para observação.

10 Projeto de um Circuito Eletrônico Análogo Desenvolver o modelo matemático do sistema real, epressando sua dinâmica através de equações de estado, Estimar a faia de valores esperada para cada variável do sistema e aplicar fatores de escala se necessário (Escalamento de amplitude), Dividir todo sistema de equações pelo valor do maior parâmetro, Estabelecer a dinâmica da implementação a partir da escolha dos valores da resistência base e dos capacitores (Escalamento de tempo), Implementar cada equação de primeira ordem do modelo de estados usando um integrador ponderado e demais operações aritméticas a partir de sub-circuitos adjacentes: O inverso dos parâmetros normalizados corresponde aos valores normalizados dos respectivos resistores.

11 Circuito de Chua ( ) ( ) ( ) v C i RC v v v C v i RC v v v L D & & & L v i L 2 &

12 Circuito de Chua & y& z& α [ + yk( ) ] y+ z βy K ( ) ( ab) b+ p/ 1 a p / < 1 b( ab) p/ 1 O comportamento do circuito Chua no espaço de parâmetros positivos (α>0 e β>0) é bem conhecido e estudado. A dinâmica do circuito de Chua com parâmetros negativos (α<0 e β <0) não é suficientemente eplorada, devido a impossibilidade física de indutâncias e/ou capacitâncias com valores negativos.

13 Circuito de Chua Dinâmica do circuito de Chua com α-4, β-2, a-8/7 e b-5/7:

14 Escalamento em Amplitude Uma vez que a função não linear do circuito de Chua é uma curva linear por partes de três segmentos, ela será sintetizada utilizando um amplificador inversor com ganho chaveado por diodos polarizados, Desta forma, é necessário escalar o sistema em amplitude de modo que o ponto de quebra da função não linear seja igual a modo que o ponto de quebra da função não linear seja igual a tensão de chaveamento de um diodo comum (~V), Mudança de variável: y z z y y K y β α + + & & & ( ) ( ) < + 1 / 1 / 1 / p b a b p a p b a b K

15 Escalamento em Amplitude & α y & z& βy [ + yk( )] y + z 0 K ( ) ( ab) b + p/ a p / < b ( ab) p/

16 Simulação Escalamento em Amplitude Amplitudes máimas: ma 2, y ma 1, z ma 2

17 Escalamento em Amplitude Visando que todos os sinais tenham a mesma amplitude (2V) a variável y também será escalada, Mudança de variável: y 2y α y& 2 y 2 & α + K ( ) y z& β 2 y + z 2 K ( ) b + a b ( ab) ( ab) p/ p/ < p/

18 Escalamento em Amplitude ( ) ( ) ( ) < + / / / p b a b p a p b a b K ( ) [ ] 0,5 2 2,857 0,35 y z z y y K y β α + + & & &

19 Normalização Dividir todas as equações do sistema pelo maior parâmetro (2,857) 1 1 & α + y 2,857 8, y& y + z 2,857 1,429 1 z& βy 5, ,857 K ( ) K ( ) ( ab) b + p/ a p / < b ( ab) p/ Este procedimento somente afeta a velocidade da dinâmica, O inverso dos parâmetros do sistema escalado em amplitude corresponde aos valores normalizados dos resistores do circuito análogo. Escalamento de tempo: definido pela escolha dos valores do resistor base R e dos capacitores C do integrador.

20 Circuito Análogo de Chua com Parâmetros Negativos

21 Circuito Análogo de Chua com Parâmetros Negativos

22 Caracterização Eperimental Mapeamento eperimental do comportamento do sistema de Chua com parâmetros negativos: Os sinais são capturados usando uma placa de aquisição de dados (DAQ) e processados usando o ambiente LabVIEWpara analisar os seguintes aspectos das series temporais: Formasdeondanotempo, Retratos de fase, Espectro de frequência, Seção de Poincaré, Diagramas de bifurcação. Identificação em tempo real de pontos de equilibrio, atratores periodicos e caóticos, bifurcações e rotas para o caos.

23 Caracterização Eperimental

24 Atratores Eperimentais

25 Diagrama de Bifurcações Eperimental α-4 e βnegativo

26 Conclusões Utilizando o conceito de analogia eletrônica, é possível desenvolver circuitos eletrônicos simples, compactos, robustos, baratos, versáteis e funcionais, que reproduzem de modo satisfatório o comportamento de um sistema dinâmico, facilmente aplicáveis em estudos e demonstrações eperimentais. A partir da caracterização eperimental do circuito de Chua com parâmetros negativos, observou-se que este possui um comportamento dinâmico distinto do circuito Chua no espaço de parâmetros positivos, com diversos aspectos interessantes a serem eplorados em futuras pesquisas.

27 O sertão está em toda parte O sertão é confusão em grande e demasiado sossego!!! Guimarães Rosa O caos está em toda parte O caos é confusão em grande e demasiado sossego!!! Guimarães Rosa (parafraseado para a teoria do caos)