Modelos Matemáticos em Epidemiologia

Transcrição

1 Modelos Matemáticos em Epidemiologia

2 Algumas definições halgumas doenças contagiosas que acometem rapidamente a um grande segmento de uma população são chamadas de epidemias (do grego epi, sobre + demos, povo.) Epidemiologia é a ciência que estuda a distribuição e freqüência dessas doenças. hepidemiologia: (do ponto que nos interessa) estado no qual o número de infectados cresce a partir de um valor inicial. hendemia: Doença que existe constantemente em determinado lugar e ataca número maior ou menor de indivíduos

3 O número de reprodução básico, R 0 de uma doença contagiosa é o número médio de novos infectados que gera um indivíduo doente sobre uma população sem imunidade à doença e na ausência de qualquer controle. quando R 0 < 1 o contágio diminui se R 0 > 1 a epidemia continua se alastrando

4 O Processo de Modelagem Dados Características da doença Predições Processo Epidemiológico Modelo Matemático

5 A compartimentagem da população hsusceptíveis hinfectados hexpostos hrecuperados hvacinados h...

6 Questões específicas h Como melhorar o controle de transmissão endêmica? h a vacinação é eficiente para o controle da epidemia? h É sempre benéfico estimular a vacinação? h Qual é melhor estratégia para proteger um grupo vulnerável?

7 Tipos de Modelos Epidemiológicos Modelos compartimentados divide a população em termos de portadores da doença modelo SIR : susceptível, infectado, recuperado Faz hipóteses grosseiras em relação à população (ignora faixa etária, classe social, etc.)

8 S + I + R = N (população constante) S: susceptível I: infectado R: recuperado

9 Um surto de sarampo S R I

10 Comparação entre SIR e ajuste de dados Sarampo (semanalmente) Peste bubônica (diariamente)

11 SIR em uma população fechada β γ S I R Infecção Recuperação ds dt di dt dr dt = = = β γ β SI I SI γ I Princípio de Ação de Massas

12 β: coeficiente de transmissibilidade γ : taxa de recuperação

13 Um surto de gripe (um outro uso de R 0 ) um método gráfico para determinar o número de indivíduos que escaparam da gripe Porcentagem de indivíduos recuperados após de um período grande de tempo

14 Um Modelo Epidemiológico elementar ha taxa de novos infectados é proporcional à população infectada di dt = β I h Isto é, um modelo de crescimento exponencial h Parque uma epidemia não cresce exponencialmente? Decréscimo da população susceptível ho contágio depende dos tamanhos das populações de infectados e dos susceptíveis

15 SIS: Características do modelo htipo de doença que não confere imunidade hperíodo de incubação curto hincidência sazonal pequena hdoenças sexualmente transmitidas

16 b b

17 SIS padrão γi γi S I S I

18

19 Análise do modelo SIS hcálculo de níveis endêmicos h Critério para condição de endemia h Dois pontos de equilíbrio

20 SIS padrão: pontos fixos γi γi = 0 = 0 com γ

21 hse βs > γ, o número de infectados aumenta huma epidemia se espalha através da população S I ho número de infectados cai quando S permanece abaixo de R 0 =β / γ,

22 O número básico de reprodução: R 0 h Um parâmetro de central importância em epidemiologia R 0 : o número de contágios que resultam pela introdução de um indivíduo infectado em um grupo totalmente suceptível hse R 0 > 1 a epidemia se alastra (cada caso se reproduz a mais que um contágio) ha epidemia termina quando S cai abaixo de β / γ

23 S I R básico d S d t d I d t d R d t = β S I = β S I = γ I γ I β: coeficiente de transmibilidade γ: taxa de recuperação

24 Condições iniciais com Um único Ponto fixo:

25 b: nascimentos μ: mortandade SIR em uma população com nascimentos e mortes b

26 SIR com mortes e nascimentos asc. S Infeção morte Consideramos nascimentos e mortes População susceptível realimentada pelos indivíduos imunizados I morte R Recuperação morte se R 0 > 1, o sistema vai para um equilíbrio endêmico: taxa de nascimentos contrabalança taxa de infecção contrabalança com os recuperados

27 SIR completo b μ S β Infecção μ I γ Perda de imunidade δ Recuperação μ R

28 S I R S = μ N β SI μ S I = β SI ( μ + γ ) I R = γ I μ R

29 O sistema se aproxima ao equilíbrio endêmico com oscilações amortecidas S I

30 O número básico de reproduçao: R 0 hr 0 > 1 o contágio persiste h R 0 indica a dificuldade em erradicar a infecção hfração crítica de vacinação p c = 1-1/R 0 hfacilidade para erradicar uma infecção com baixo R 0 ( varíola: R 0 5, sarampo: R 0 15)

31 Modelos com maior complexidade b μ V: vacinados μ

32 S E I R: susceptíveis + expostos + infectados + recuperados b E : expostos

33 M S E I R: imunizados + susceptíveis + expostos + infectados + recuperados M: nascimentos com imunidade

34 SIS: Hipóteses do modelo hn : (população total) é constante has taxas de nascimentos e mortes são as mesmas. i) Os recém nascidos são susceptíveis ii)a população tem uma expectativa de vida tipo exponencial negativa (vida média : 1 / μ) h A população é homogênea hβ é a probabilidade de contacto entre os indivíduos das populações hos indivíduos infectados são recuperados e eliminados da classe dos infectados htaxa de remoção dos infectados: μ+ γ