26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia

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1 Universidade ederal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 200 Assoiação rasileira de Métodos Computaionais em Engenharia Aoplamento entre o Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos initos para análise não linear geométria de estruturas retiuladas aopladas a meios ontínuos heterogêneos Wagner Queiroz Silva ; Humberto reves Coda 2 Departamento de Engenharia de Estruturas EESC/USP, São Carlos, SP CEP: wagner@s.usp.br 2 Departamento de Engenharia de Estruturas EESC/USP, São Carlos, SP hboda@s.usp.br Resumo. Os métodos numérios são poderosas ferramentas que possibilitam a análise de sistemas meânios e estruturais. Em alguns problemas espeífios haverá vantagens na utilização de determinado método a depender da natureza do problema em questão. Para sistemas omplexos que envolvam diferentes meios o aoplamento entre métodos numérios distintos surge omo uma alternativa interessante fazendo assim uso das vantagens ofereidas por ada método onde o mesmo apresenta um melhor desempenho. Neste trabalho apresenta-se o aoplamento entre o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o Método dos Elementos initos (ME) para análise de estruturas retiuladas ligadas á meios ontínuos bidimensionais heterogêneos. oi desenvolvido um programa omputaional baseado no MEC adotando-se uma formulação alternativa para a onsideração de múltiplas inlusões e de linhas de arga. Para a estrutura retiulada foi utilizado o software Aadrame, desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas da USP em São Carlos. Este programa realiza análise não linear geométria (NLG) utilizando uma formulação posiional do ME. oram adotados os polinômios de Lagrange para a determinação das funções de forma dos elementos, tanto no MEC quanto no ME, permitindo assim o uso de elementos de alta ordem e uma melhor disretização de superfíies urvilíneas. oi então realizado o aoplamento entre os diferentes ódigos adotando-se uma estratégia algébria em que a matriz de rigidez do meio ontínuo é somada à matriz da estrutura durante o proesso de Newton-Rapson em ada iteração. Um exemplo de apliação para essa metodologia é, por exemplo, problemas de interação solo-estrutura em edifiações vertiais apoiadas sobre solos estratifiados om presença de rohas. Outro exemplo de apliação é análise da interação entre materiais ompostos e entre peças meânias. Da forma omo foi desenvolvido, o programa permite tanto a análise de elementos superfiialmente ligados quanto de elementos internos em qualquer direção, omo em problemas de estaas ravadas inlinadas. Palavras haves: MEC, ME, Aoplamento MEC/ME, não linearidade geométria.

2 Universidade ederal de São João Del-Rei MG AMEC INTRODUÇÃO Diversos sistemas meânios e estruturais são formados por diferentes meios ligados entre si e interagindo quando na apliação de ações externas. Nestes asos, é neessário simular adequadamente o omportamento de ada meio onsiderando suas diferentes araterístias e a transmissão de esforços entre seus elementos a fim de se verifiar a influênia que um tem em relação ao outro. O objetivo deste trabalho é realizar um estudo de sistemas estruturais formados por elementos retiulados aoplados a meios ontínuos bi-dimensionais através do desenvolvimento de um programa omputaional. O meio ontínuo é modelado via Método dos Elementos de Contorno (MEC), enquanto que a estrutura retiulada é modelada via Método dos Elementos initos (ME). Na formulação do MEC aqui adotada, foi utilizado um proesso alternativo para a onsideração de sub-regiões, onforme os trabalhos de VENTURINI (992), PAIVA & ALIAADI (2000) e RIEIRO & PAIVA (2009). oi realizada uma generalização desse proesso por meio de uma estratégia matriial que permite failitar a onsideração de múltiplos domínios. Utilizou-se dos polinômios de Lagrange para a determinação das funções de forma dos elementos de ontorno permitindo o uso de elementos urvos e de ordem de aproximação qualquer. Para a modelagem da estrutura retiulada utilizou-se do programa Aadrame, desenvolvido no SET pelo prof. Dr. Humberto reves Coda e pelo prof. Dr. Rodrigo Ribeiro Paola. O programa é baseado no Método dos Elementos initos om formulação posiional e onsidera o omportamento não linear geométrio (NLG) om inemátia exata. Maiores detalhes podem ser enontrados em CODA (2003) e GRECO & CODA (2006). oi então realizado o aoplamento entre os ódigos, montando no MEC uma matriz do meio ontínuo semelhante à matriz de rigidez. Essa matriz é e então ondensada para que possa ser somada a matriz de rigidez da estrutura retiulada em ada passo de iteração no proesso de Newton-Rapson da análise não linear. Soma-se também ao vetor de forças internas do ME as forças de ontato. 2 MATERIAIS E MÉTODOS 2. Método Dos Elementos De Contorno A grande vantagem do MEC em relação ao ME é o fato de que este reduz o tamanho do sistema algébrio a ser resolvido, visto que, por se tratar de um método de fronteira, apenas a região do ontorno do problema é disretizada. O método pode ser apliado a problemas elástios, o que onsiste basiamente em se determinar a equação de equilíbrio integral a partir da equação diferenial de equilíbrio de forças. Essa equação é então transformada em um sistema algébrio, fazendo-se a disretização no ontorno do meio sólido através de elementos de ontorno. Utilizando-se de pontos fonte, faz-se a integração numéria de todos estes elementos para a montagem das matrizes H e G. Adotando os polinômios de Lagrange, dado pela equação (), pode-se determinar as k funções de forma dos elementos de ontorno, permitindo a utilização de elementos om qualquer ordem de aproximação para a geometria e para variáveis do problema. φ ξ ξ n i k = i k ξk ξi i= () Adotam-se também as hamadas linhas de arga, que nada mais são do que elementos internos que não formam domínios fehados. Não se aproximam desloamentos nestes elementos, servindo apenas para apliação de forças de superfíie internas ao domínio.

3 Universidade ederal de São João Del-Rei MG AMEC Na formulação do MEC é neessário adotar a hama solução fundamental, que nada mais é do que uma solução partiular da equação diferenial do problema físio. Neste trabalho adota-se a solução fundamental de Kelvin, apresentada em REIA (978). Esta solução é dada pelas seguintes equações, respetivamente em desloamento e em força de superfíie. ( 7 8ν ) * u = ( 3 4 ) ln ik ν rδ r, r, + δ 8π G( ν ) ik i k 2 ik * dr pik = ( 2ν )( nir, k nk r, i ) + (( 2ν ) δik + 2r, ir, k ) 4π ν r dn ( ) Observando estas expressões, nota-se que a solução em desloamento apresenta uma singularidade matemátia do tipo ln(r), sendo r o raio ou distânia entre o ponto fonte e a superfíie de integração. A solução em força de superfíie, por sua vez, apresenta uma singularidade do tipo r -. Logo fia laro que ao aproximar o ponto fonte do ontorno as equações tenderão ao infinito. Essas singularidades matemátias presentes nas soluções fundamentais são tratadas por ténia de subtração de singularidade segundo o trabalho de KZAM (2009). Outra observação importante a ser feita é a de que a solução fundamental em força de superfíie não depende do módulo de elastiidade transversal G, omo aontee na equação (2). Imaginando um problema envolvendo diferentes materiais, se adotarmos o mesmo oefiiente de Poisson para todos estes materiais, fia laro que a equação (3) será a mesma para todo o orpo heterogêneo. No aso da equação (2), onsiderando o mesmo Poisson é possível esrever a solução fundamental de um domínio j em função do outro domínio m qualquer, através da relação entre seus módulos G. Isso pode ser esrito na seguinte forma. u G = u (4) j* m m* ik ik G j Sabendo dessas relações, e utilizando as ondições de equilíbrio de força e ompatibilidade de desloamentos nas superfíies de ontato é possível esrever uma únia equação para o problema elástio, que é válida para todo o domínio em estudo. ns ns ne G m m G m * * lk uk + uk pikd m pkuik d e m= G m= G Γ = Γ Γ n= m Γe C (5) A equação (5) pode também ser transformada em um sistema algébrio. Monta-se em separado ada matriz H e G de ada sub-região utilizando seus respetivos módulos de elastiidade transversal G. Em seguida, multipliam-se as matrizes de ada sub-região pela relação entre seus módulos e o módulo G, que diz respeito ao material padrão (material predominante). az-se então a superposição de efeitos somando essas matrizes e assim é possível esrever um únio sistema algébrio para todo o domínio heterogêneo. Pelas ondições de equilíbrio de forças no ontato, os termos de força de superfíie nessas regiões se anulam e dessa forma o sistema é montado onsiderando apenas inógnitas de desloamento nas linhas de interfae entre diferentes materiais, o que reduz o tamanho do sistema a ser resolvido. 2.2 Aoplamento entre os métodos Seja um meio ontínuo Ω modelado via MEC aoplado a um sistema de barras modelado via ME. Pode-se dividir a superfíie de ontorno de Ω em duas regiões: uma superfíie Г em ontato om elementos finitos e outra Г l, dita livre por não estar (2) (3)

4 Universidade ederal de São João Del-Rei MG AMEC aoplada a nenhum elemento finito. No meio ontínuo, pode-se montar um sistema algébrio via MEC hegando-se a seguinte expressão H H l U G Gl P Hl H = ll U G l l G ll Pl As ondições de ontorno do problema já foram apliadas e, portanto, todos os valores do vetor de arregamentos P l são onheidos. O índie (oundary) nas expressões india que são termos relativos ao MEC. Pode-se realizar uma ondensação desse sistema para esrevê-lo somente em função dos nós aoplados, na seguinte forma tal que H U = G P + T H = H H l H ll H l G = G H l H ll G l T = Gl H l Hll G ll Pl Multipliando-se toda a equação (7) por uma matriz Q, uja função é transformar as forças de superfíie P em arregamentos nodais onentrados, podemos reesrever a equação (7) K U = + P () onde agora K = Q G H (2) P = Q G T (3) = Q P (4) Observa-se que om a equação () é possível esrever a força nos nós do elemento de ontorno em função de todos os outros termos. Considerando agora o sistema via elementos finitos ligado ao meio ontínuo também na superfíie Г, podemos montar o seguinte sistema algébrio K Km U Km K = mm U m m sendo aqui a matriz hessiana da análise NLG hamada de matriz de rigidez K. O índie superior (inite) india que os termos são referentes ao ME e o índie m é dos elementos que não estão em ontato om o meio ontínuo. Pelas ondições de ompatibilidade e de equilíbrio de forças, podemos juntar a equação () ao sistema algébrio (5), hegando assim ao seguinte resultado ( ) U K + K Km P = K U m Kmm m m A matriz K pode ser então entendida omo uma matriz de rigidez do meio ontínuo, ondensada nos nós aoplados. O vetor P inlui as ondições de arregamento na interfae advindas do MEC e será na verdade somado ao vetor método de Newton-Rapson. (6) (7) (8) (9) (0) (5) (6) a ada iteração do

5 Universidade ederal de São João Del-Rei MG AMEC A alteração inserida no sistema algébrio do ME onsidera quaisquer onfigurações definidas preliminarmente no MEC. É possível, por exemplo, avaliar qual a influênia que uma arga atuante no meio ontínuo afastada da estrutura retiulada terá sobre o omportamento desta última. Para isso basta que sejam definidas tais forças de superfíie atuando no modelo do MEC, antes que sejam ondensadas as matrizes. Como o meio ontínuo é onsiderado um meio elástio linear, sua matriz não se altera durante o proesso iterativo. Logo essa matriz é alulada apenas uma vez, na primeira iteração do programa NLG. Outro ponto importante é que, após ada iteração no proesso de solução é preiso orrigir o vetor de forças internas do elemento finito somando a este os valores dos arregamentos nodais oriundos da reação do meio ontínuo sobre a estrutura. Os valores de reação do meio ontínuo agindo sobre os nós aoplados podem ser alulados fazendo-se o produto da matriz de rigidez do meio ontínuo pelo vetor desloamento dos nós na interfae. O uso das linhas de arga permite a simulação de estaas em qualquer direção, ou ainda anoragem de armaduras (dobradas ou não) no onreto armado e fibras rígidas diversas. Como a formulação do MEC permite que as linhas de arga atravessem diferentes matérias, os elementos finitos poderão da mesma forma, fazê-lo. 3 RESULTADOS 3. arra traionada Este exemplo onsiste de uma barra homogênea presa em uma extremidade e submetida a uma arga de tração. Metade do omprimento da barra é modelada através do MEC e a outra metade através do ME, para omprovar o funionamento programa, uma vez que este problema possui solução analítia. Consideram-se três sub-regiões om mesmo módulo de elastiidade no meio ontínuo / ² aopladas a duas barras do ME, de aordo om a figura a seguir. Adota-se a área de seção transversal unitária e omprimento total 4. A força adotada foi de 0. Para esse problema, é adotado oefiiente de Poisson ν = 0. Deve-se observar que a barra transversal do ME é extremamente rígida possibilitando o resultado atingido. Na malha do MEC foram utilizados 22 nós no ontorno e 2 elementos quadrátios, enquanto que no ME utilizou-se 5 nós e 2 elementos quadrátios. Apliaram-se nós duplos nos vérties do meio ontínuo, modelado via MEC para onsiderar a desontinuidade de forças de superfíie nesta região. igura Modelo MEC/ME de barra traionada A solução analítia para o desloamento máximo na direção horizontal deste problema é baseada na resistênia dos materiais e é dada pela expressão á.. 0,004 (7)

6 Universidade ederal de São João Del-Rei MG AMEC Sabe-se ainda que na seção mais ao meio do vão, onde foi idealizado o aoplamento entre os métodos, o desloamento horizontal é igual à metade desse valor, ou seja, é 0,002. A seguir são exibidos os resultados de desloamento horizontal em ada um dos meios, obtidos om o uso do programa desenvolvido. Os valores são pequenos e por esse motivo a solução é idêntia à resposta analítia. igura 2 Desloamento horizontal na malha do ME igura 3 Desloamento horizontal na malha do MEC 3.2 arra engastada em material heterogêneo Um exemplo prátio de apliação pode ser uma estrutura de barra esbelta engastada em um material heterogêneo, onforme mostra a figura 4 a seguir. igura 4 arra engastada em material heterogêneo

7 Universidade ederal de São João Del-Rei MG AMEC O meio ontínuo é formado por três diferentes materiais, sendo a amada mais inferior a de material menos rígido. As ondições de ontorno são restrição ao desloamento horizontal nas faes laterais do meio ontínuo e restrição ao desloamento vertial na fae mais inferior. Adota-se o Estado Plano de Deformação. Para a estrutura retiulada é onsiderada uma seção transversal de área 0,66 ², momento de inéria 0,083 e o módulo de elastiidade do material é 20. Os resultados obtidos om a utilização do ódigo desenvolvido serão omparados om valores obtidos para uma análise linear om apoios fixos para os nós da estrutura que se enontram internos ao meio ontinuo. Pretende-se assim demonstrar as diferenças oasionadas om a onsideração de omportamento linear de uma barra engastada. Os resultados obtidos para desloamentos horizontais e para momento fletor ao longo da estrutura são apresentados respetivamente nas figuras 5 e 6 a seguir. (a) (b) igura 5 Desloamento horizontal para (a) análise linear e (b) este trabalho (a) (b) igura 6 Momentos fletores para (a) análise linear e (b) este trabalho A observação da distribuição do momento fletor ao longo da estrutura demonstra laramente a importânia da onsideração da NLG e da interação entre os diferentes meios. O valor para o momento fletor máximo na base da estrutura hega a ser 00% maior no aso da análise realizada om o programa desenvolvido. Este fato preisa ser levado em onta no dimensionamento estrutural, aso ontrário deverá oorrer problemas estruturais graves e que podem omprometer a segurança de pessoas.

8 Universidade ederal de São João Del-Rei MG AMEC 4 CONCLUSÕES O aoplamento entre os métodos se mostrou efiiente na análise de problemas envolvendo diferentes meios. A estratégia algébria adotada para o aoplamento permite que a matriz de rigidez ondensada do meio ontínuo seja apliada ao sistema algébrio do ME a ada iteração no proesso de Newton-Rapson. Assim, o meio ontínuo atua omo ondição de ontorno para a estrutura retiulada, já onsiderando suas diversas araterístias. Com a utilização da formulação alternativa no MEC, é possível onsiderar o meio ontínuo omo sendo formado por diversos materiais om diferentes onfigurações. A formulação alternativa adotada também reduz o tamanho do sistema por não aproximar força de superfíie no ontato. As linhas de arga, por sua vez, permitem que sejam simulados elementos internos em qualquer direção, omo no aso de estaas inlinadas. Da forma omo foi elaborada, a estratégia permite inlusive que estas estaas ultrapassem diversas amadas de solo. Tanto na formulação do MEC quanto na do ME, o uso dos polinômios de Lagrange de ordem qualquer permitiu a generalização de ambos os ódigos para o uso de elementos urvos isoparamétrios. É possível que superfíies urvilíneas e funções de alta ordem sejam assim melhor representadas. O uso desses elementos pode assim melhorar a qualidade das repostas em ambos os programas. Agradeimentos Ao CNPq pela bolsa de estudos onedida durante a elaboração do mestrado que deu origem a esse trabalho. 5 ILIOGRAIA rebbia, C.A.; Dominguez, J. (992). oundary elements: and introdutory ourse. Computational Mehanis Publiations, London. Coda, H.. (2003). An exat EM geometri non-linear analysis of frames based on position desription. In: XVIII Congresso rasileiro De Engenharia Meânia, São Paulo. Greo, M., Coda, H.. (2006). Positional EM formulation for flexible multi-body dynami analysis. Journal of Sound and Vibration 290, p Kzam, A.K.L. (2009) ormulação Dual em Meânia da ratura Utilizando Elementos de Contorno Curvos de Ordem Qualquer. Dissertação (Mestrado) Esola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. Paiva, J..; Aliabadi, M. H. (2000). oundary element analysis of zoned plates in bending. Computational Mehanis, 25(6): Ribeiro, D..; Paiva, J.. (2009). Estudo e apliação de um elemento de ontorno infinito na análise da interação solo-estrutura via ombinação MEC/ME. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , Venturini, W. S. (992). Alternative formulations of the boundary element method for potential and elasti problems. Engineering Analysis with oundary Elements, 9: DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únios responsáveis pelo onteúdo do material impresso inluído no seu trabalho.