Faculdade de Engenharia Química (FEQ) Departamento de Termofluidodinâmica (DTF) Disciplina EQ741 - Fenômenos de Transporte III

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1 Fauldade de Engenharia Químia (FEQ) Departamento de Termofluidodinâmia (DTF) Disiplina EQ74 - Fenômenos de Transporte III Capítulo III Difusão Moleular em Estado Estaionário Professora: Katia Tannous Monitor: Rafael Firmani Perna º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna genda Geral. T.M. Unidimensional e Independente de Reação Químia.. Difusão através de um Filme Gasoso Estagnante.. Difusão em Estado Pseudo-estaionário através de um Filme Gasoso Estagnante.3. Contradifusão Equimolar. Sistema Unidimensional ssoiado a Reação Químia.. Difusão om Reação Químia Heterogênea de º Ordem.. Difusão om Reação Químia Homogênea de º Ordem.3. Difusão om Reação Químia Pseudo-homogênea de º Ordem 3. Transferênias Simultâneas de Momentum, Calor e Massa 3.. Transferênia Simultânea de Momentum e Massa 3.. Transferênia Simultânea de Calor e Massa º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna

2 genda 3. Transferênias Simultâneas de Momentum, Calor e Massa 3.. Transferênia Simultânea de Momentum e Massa 3.. Transferênia Simultânea de Calor e Massa º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3 3. Transferênias Simultâneas de Momentum, Calor e Massa 3.. Transferênia Simultânea de Momentum e Massa Em várias operações de T.M., a massa é transferida em fases. Um exemplo importante é a absorção (oluna de absorção), que é a dissolução de um dos omponentes de uma mistura gasosa em um líquido. Uma parede umedeida (fig. abaixo) é omumente usado para estudos de meanismo dessa operação de T.M., desde que provido de uma área de ontato bem definida entre as fases. esta operação, um filme de líquido fino ao longo da parede de uma oluna (esoamento laminar) entra em ontato om uma mistura gasosa. O omprimento de ontato entre as fases é relativamente urto durante a operação. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 4

3 Difusão (absorção) em Filme Desendente º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 5 Desde que uma pequena quantidade de massa gasosa é absorvida, as propriedades do líquido são assumidos ser inalteradas; a veloidade de queda do filme será, então, supostamente não afetada pelo proesso de difusão. O proesso envolve T.M. e momentum. Reveja o ap. 3 do Welty sobre análise diferenial de um elemento em um esoamento laminar em um plano inlinado. Quando o ângulo for 90º, a eq. diferenial para o movimento torna-se: τ yx y + ρg (83) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 6

4 E as ondições de ontorno que satisfazem este tipo de esoamento é: ) y vx vx ) y = δ y eq. final para o perfil de veloidade é dado por: ρgδ = µ y y δ δ v x (84) veloidade máx. será o limite do filme, onde y = δ, obtendo: v x = ρgδ µ (85) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 7 Substituindo a eq. (85) no perfil de veloidade (eq. 84), obtêm-se v x = v máx. y δ y δ (86) eq. diferenial para T.M. pode ser obtida usando a eq. diferenial geral para T.M. e eliminando os termos irrelevantes ou fazendo um balanço para um volume de ontrole, x. y.w (ver fig. aima). É importante notar que o omponente y do fluxo mássio,,y, está assoiado om a direção y negativa, de aordo om os eixos previamente estabeleidos, nas onsiderações de esoamento. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 8

5 O balanço de massa sobre V.C. é:,x x+ x W y,x x W y +,y y+ y W x,y y W x (87) Dividindo por x. y.w e tendo x e y diferenial: zero, obtêm-se a eq. x,x +, y y (88) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 9 Os fluxos molares em ada direção são definidos por:,x = DB + x(,x + x B, x ) (89),y = D B + x (,y + y B, y ) (90) Considera-se o tempo de ontato entre o vapor e o líquido relativamente urto; então, o gradiente de onentração será desprezível na direção x (termo difusivo), e a eq. (89) reduzirá para: = x ( + ) =,x,x B,x v x (9) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 0

6 O termo do transporte onvetivo na direção y negativo, x (,y + B,y ), envolve dois valores extremamente pequenos e om isso despreza-se. Então, a eq. (90) torna-se:,y = D B y (9) Substituindo as eqs. (9) e (9) na eq. (88), obtêm-se: ( v ) dx x D B dy ou, desde que v x seja somente dependente em relação a y, tem-se: vx DB dx dy (93) (94) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna O perfil de velo., definido na eq. (86), pode ser substituído na eq. (93), obtendo: v máx. y δ y δ x = D B y (95) s ondições limites para T.M. no filme desendente são: ) x y y ) y = δ = 0 Gás (ou mistura) C 0 y Líq. δ x C =te C,y º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna

7 Johnstone e Pigford (94) resolveram a eq. (95) e obtiveram o perfil de on. adimensional, da forma: x= L x= 0 + 0, 08 e y=δ y=δ 04, 75 n, 7857 e , 3n + 000, e 39, 38n + 0, e 05, 64n (96) onde: x= L y=δ x=0 : on. do soluto na base da oluna; : on. do soluto na interfae gás-líquido; : on. do soluto no topo da oluna; L : altura da oluna; º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3 D n = δ L B vmáx v máx. : velo. máxima do filme, loalizada na superfíie do filme; D B : oef. de difusão do soluto no líquido. Em um aso espeífio, no qual o soluto penetra somente a uma urta distânia para dentro do filme líquido desendente, devido a lenta taxa de difusão ou urto tempo de exposição, pode ser tratado pela Teoria de penetração desenvolvido por Higbie (935). Como o soluto é transferido para dentro do filme p/ y=δ, o efeito do filme desendente na difusão das espéies é tal, que o fluido pode ser onsiderado estar esoando om uma veloidade uniforme, v máx. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 4

8 fig. ao lado ilustra a profundidade de penetração. O soluto não será afetado pela presença da parede, e om isso o fluido pode ser onsiderado de profundidade infinita. Com essas simplifiações, a eq. (95) reduz-se à: v máx. x = D B y Profundidade (penetração) Com as seguintes ondições de ontorno: ) x 0 ) y = δ = y = y 0 x C =te δ (97) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 5 eq. (97) pode ser transformada na forma omumente enontrada para a T.M. em estado transiente. Se ζ = δ y, a eq. transformada om as onds. de ontorno tornamse: (98) v máx. = D B x ξ ) x 0 = ) ξ = δ = 0 ξ = º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 6

9 eq. diferenial parial pode ser resolvida usando Transf. de Laplae. pliando as transformadas na direção x, nós obtemos uma eq. diferenial ordinária de domínio s (ver apostila). ( ξ,s) vmáx. s. 0 = DB ou ξ ( ξ,s) v máx. ξ s. D B (99) (00) solução desta eq. diferenial ordinária é: exp s ξ + B máx. = DB v exp v D máx. B s ξ (0) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 7 s onstantes e B são avaliadas, usando duas onds. de ontorno transformadas: Obtendo a solução: 0 ) ξ ( 0,s) = s ξ =, s = ) ( ) 0 0 = v exp D máx. s ξ º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 8 s B (0) eq. (0) pode ser transformada novamente em relação a x, tomando o Laplaiano invertido, obtendo: ξ ( x, ξ) = erf 4 D 0 Bx v (03) máx. tempo de exposição

10 ξ 4 DBx v máx. Perfil de Conentração de no líquido B º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 9 ( x, ξ) = 0 ξ erf 4DBt exp. (04) função erro é uma forma matemátia muito enontrada nos asos transientes (ver ap. 8 do Welty). Tabelas tem sido preparadas da função erro e uma delas pode ser enontrada na apostila. O fluxo mássio loal na superfíie, onde ξ =0 ou y=δ, é obtido pela eq. (04) om relação a ξ e então inserindo a derivada na eq. (9);,y ξ= 0 =,y y=δ = D B y y=δ (9) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 0

11 Para um fluxo unidireional torna-se: DBvmáx.,y = y=δ 0 πx (05) ou =,y y=δ 0 D B πt exp. (06) Obs.: Quando a difusão é aompanhada pelo desapareimento rápido químio do omponente difusivo, o fluxo mássio de modelo de penetração varia om o oef. de difusão na potênia ½. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3.. Transferênia Simultânea de Calor e Massa Há vários proessos industriais na qual a T.C. e Massa, entre um gás e um líquido, oorrem simultaneamente.. Con. do áido sulfúrio em uma âmara de uma planta de a. sulfúrio proesso mais antigo;. O alor forneido por gases quentes produzindo a evaporação da água e a dessorção de óxidos nitrosos; 3. Resfriamento de sólidos durante a re-entrada pela sublimação de materiais ondutores; 4. Água fria e a umidifiação ou desumidifiação do ar. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna

12 Geralmente, um proesso de difusão está aompanhada pelo transporte de energia, mesmo dentro de um sistema isotérmio. Desde que ada espéie difusiva arregue sua própria entalpia individual, o fluxo de alor para um dado plano é desrito por: q D n = = i= H i i (07) onde: q D / é o fluxo de alor devido a difusão de massa que atravessa um dado plano; H i é a entalpia parial da espéie i na mistura; i é o fluxo molar relativo aos eixos estaionários. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3 Quando uma diferença de temperatura existe, a energia também será transportada através dos 3 meanismos de T.C. (ondução, onveção e radiação). Por exemplo, a equação para o transporte de energia total pela ondução e difusão moleular, torna-se: q = k T n + + i= Lei de Fourier H i i (07) onde: k é a ondutividade térmia ( - ) é a direção do gradiente de temperatura (negativa) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 4

13 Se a transferênia de alor é por onveção, o º termo do transporte de alor na eq. (07) seria substituído pelo produto do oef. de transf. de alor onvetivo e uma força motriz, T, sendo esta: q = h T + Lei de ewton n i= i H i (08) onde: h é o oef. de T.C. onvetiva T é a diferença de temperatura entre a superfíie e o fluido Um proesso importante, entre vários outros de engenharia e eventos diários, envolve a ondensação de um vapor sobre uma superfíie fria. Exemplos: o suar em tubos de água fria e a ondensação da umidade em uma vidraça de janela fria. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 5 fig. ao lado ilustra o proesso no qual envolve um filme de um líquido ondensado esoando desendente em uma superfíie fria e um filme de gás através do qual o ondensado transferido pela é difusão moleular. Esse proesso envolve a transferênia de alor e massa. Filme líquido ondensado T 3 y T T=T(z) y =y (z) Filme gasoso z 3 z z Limite do filme gasoso T y Condensação de vapor em uma superfíie fria º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 6

14 s seguintes ondições serão estipulados para essa situação físia partiular em estado estaionário. Um omponente puro ondensará a partir de uma mistura gasosa binária. Pela psirometria, a omposição y, e a temperatura T são onheidas para o plano z. temperatura da superfíie ondensante, T 3, é também onheida. Pelas onsiderações de T.C., os oefs. de T.C. onvetiva, para um filme líquido ondensado e um filme gasoso, pode ser alulado a partir das eqs. dadas no ap. 0 (Welty). Por exemplo, em fase gasosa, quando o gás de transporte é o ar e o vapor ontidos na espéie difusa, o oef. de T.C. por onveção natural (baixa onveção) pode ser estimado pela eq. (09): º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 7 u L / 4 0, 67R, 68 + / al 9 / 6 [ + ( 0, 49 / Pr) ] 4 9 (09) Válido para R al < 0 9 onde: R al é o número de Rayleigh L é a esala de omprimento, é a razão entre área da superfíie plana e o perímetro º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 8

15 Usando a eq. diferenial geral para T.M., a eq.: r + R (.) t Para um sistema unidireional, esoamento permanente e sem reação químia, tem-se:, z z (0) eq. (0) estipula que o fluxo mássio na direção z é onstante sobre o aminho da difusão. Para ompletar a desrição do proesso, a forma apropriada da Lei de Fik deve ser esolhida. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 9 Se o omponente está difundido através de um gás estagnado, o fluxo é definido pela eq.:,z DB dy () = y dz Desde que o perfil de temperatura exista dentro do filme, e o oef. de difusão e a onentração total do gás varie om a temperatura, essa variação om z deve ser onsiderada. Quando o perfil de temperatura é onheido ou pode ser aprox., a variação do oef. de difusão pode ser tratado. Por exemplo, se o perfil de temp. é da forma: n T T = z z () º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 30

16 relação entre o oef. de difusão e o parâmetro de omprimento pode ser determinado pela eq.: 3 / T D = B DB = T T D B T z z 3n/ (3) variação da on. total devido a variação da T pode ser avaliada por: P P = = (4) RT RT ( z z ) n Das eqs. (), (3) e (4), a eq. do fluxo torna-se:,z PD RT n / B T z dy = ( y ) z (5) dz º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3 Sob uma pequena faixa de temperatura, pode-se usar um oef. de difusão médio e uma on. molar total, onde a eq. () torna-se para:,z = ( DB ) médio dy ( y ) dz Integrando essa eq. entre as seguintes onds. de ontorno: ) z = z y = y ) z z y = y = (6) Obtêm-se: ( D ) ( y B médio,z ( z z ) yb, lm (7) = y ) º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3

17 temperatura, T, que é a diferença de T entre a superfíie líquida e o vapor adjaente, e a pressão de vapor da espéie para a superfíie líquida são neessárias para avaliação do (D B )médio. Essa temperatura pode ser avaliada a partir das onsiderações de T.C.. O fluxo de energia total, através da superfíie líquida, também atravessa o filme líquido, sendo expresso por: qz = h liq ( T T ) = h ( T T ) + M ( H ) 3,z H (8) onde: h liq H M é o oef. de T.C. onvetiva no filme líq. é o oef. de T.C. onvetiva natural no filme gasoso é o peso moleular de H e H são as entalpias de vapor no plano e o líq, no plano, respetivamente, para a espéie /unidade de massa º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 33 É importante ressaltar que há duas ontribuições para o fluxo de energia entrando na superfíie líquida à partir do filme gasoso, T.C. Convetiva, e a energia transportada pela espéie ondensada. Para resolver a eq. (8), uma solução tentativa é neessária. Se um valor para T da superfíie líquida é assumida, T, h e (D B ) médio pode ser alulado. omposição de equilíbrio, y, pode ser determinado a partir das relações termodinâmias. Por ex.: se a Lei de Raoult estabelee: P = x P onde x =,0 (para um líquido puro) e a pressão parial de aima da superfíie líquida é igual a pressão de vapor P. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 34

18 Pela Lei de Dalton, a fração molar de do gás imediatamente aima do líquido é: P P y = P ou P onde: P é a pressão total do sistema P é a pressão de vapor de para T assumido Conheendo (D B ) médio e y, pode-se avaliar,z pela eq. (7). Os oefs. de T.C. do filme líquido pode ser avaliado usando as eqs. do ap. 0. Quando os lados direito e esquerdo da eq. (8) são iguais, a temperatura da superfíie líquida foi assumida orretamente. Caso ontrário, valores adiionais devem ser submetidos até que a eq. seja satisfeita. º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 35,5 (,5 + 0,5) T 3 =00 F T =? P atm y 3,7 T =00ºF q Filme líquido fino Filme gasoso 3 º sem. de 0 Katia Tannous e Rafael F. Perna 36