A TEORIA DOS GRAFOS NA ANÁLISE DO FLUXOGRAMA DO CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DA UFF

Transcrição

1 RELATÓRIOS DE PESQUISA EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, v.13, Série B. n.3, p A TEORIA DOS GRAFOS NA ANÁLISE DO FLUXOGRAMA DO CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DA UFF Pedro Henrique Drummond Pecly Universidade Federal Fluminense UFF ppecly@gmail.com João C. C. B. Soares de Mello Universidade Federal Fluminense UFF jccbsmello@id.uff.br Resumo Análises acerca de fluxogramas nem sempre são de fácil entendimento devido ao fato de existirem dados possíveis de serem obtidos que necessitam do auxílio de determinados conhecimentos para serem compreendidos. O presente artigo busca analisar o fluxograma do curso de graduação de Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense (UFF) tendo como base a Teoria dos Grafos. Para tanto, além da explicação referente a conceitos fundamentais dessa teoria, foi realizada a aplicação de cada um deles na análise de quesitos do fluxograma, tendo sido possível, assim, obter informações como as disciplinas cujas reprovações ocasionam formação tardia dos alunos, a disciplina central do curso, além de exemplificações didática de modo a facilitar a compreensão de alunos que venham utilizar este artigo como base para suas análises. A Teoria dos Grafos se mostrou, então, eficaz para o estudo aqui proposto e para futuras análises que utilizem este artigo como referência. Palavras-chave: Fluxograma; Teoria dos Grafos; Graduação Artigo submetido em 12/8/2013. Versão final recebida em 23/9/2013. Publicado em 30/9/2013.

2 Introdução Há momentos em que um conjunto de elementos é analisado devido ao interesse pelo conteúdo deles ou pela relação existente entre os mesmos. A Teoria dos Grafos estuda as relações existentes entre diversos elementos observados, podendo ser aplicada em, basicamente, qualquer caso que necessite de uma melhor organização e compreensão dos dados, em que a informação buscada não é imediatamente obtida. O grafo é uma estrutura matemática abstrata que admite representação gráfica das relações existentes entre elementos de dados. Ele pode ser descrito num espaço euclidiano de n dimensões como sendo um conjunto V de vértices e um conjunto A de curvas contínuas (arestas). A Teoria dos Grafos surgiu no século XVIII. O primeiro e mais famoso problema da teoria em questão foi resolvido por Leonhard Euler em 1736, envolvendo as sete pontes da cidade de Königsberg, atual Kaliningrad na Rússia. Desde então, a Teoria dos Grafos vem ganhando mais espaço não só no ramo da matemática, mas também em diversas outras áreas profissionais. Este artigo tem como objetivo realizar análises, de cunho didático, acerca do fluxograma de um curso de graduação por meio do uso de propriedades da Teoria dos Grafos em que será trabalhada a aplicação de grafos na análise de fluxogramas, mais especificamente, na análise do fluxograma do curso de Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense (UFF), de modo a esclarecer dúvidas em relação a pré-requisitos, tempo mínimo para conclusão do curso e demais questões que possam ser motivo de questionamento àqueles que busquem uma informação ao acessar um fluxograma. 2. Revisão Bibliográfica Boaventura Netto & Jurkiewicz (2009) em seu livro Grafos: Introdução e Prática tratam um grafo como uma estrutura matemática formada por dois conjuntos. O primeiro deles é o conjunto de vértices. O segundo conjunto representa as arestas, que são as relações existentes entre os vértices. Se dois vértices v e w estão relacionados, logo existe uma aresta conectandoos. Portanto, para se conhecer um grafo deve-se conhecer os vértices e saber quem está ligado a quem. Um grafo é tipicamente representado por um conjunto de pontos que representam os vértices, unidos por linhas ou curvas que são as arestas. Os autores ainda estabelecem que um vértice adjacente a um outro é um vértice que está ligado a esse outro por meio de uma aresta. A vizinhança de um vértice, portanto, consiste em todos os vértices ligados ao primeiro através de uma aresta, ou seja, ela consiste em todos os vértices adjacentes ao vértice em questão. A definição dada é aplicada somente no caso de grafos não orientados. A diferença ao analisar um grafo orientado está no fato de que os vértices adjacentes que farão parte da vizinhança serão aqueles em que sua aresta de ligação tem origem no vértice que está sendo analisado, tendo seu destino nos adjacentes. Segundo Barbosa (1975) e Szwarcfiter (1988), de uma maneira simples, um grafo é conexo se existir um percurso entre dois quaisquer par de vértices. Ao tratar de conexidade, deve-se considerar em separado grafos orientados e não orientados. Esse fato ocorre, devido ao fato de que grafos não orientados, quando conexos, possuem apenas um tipo de conexidade, diferentemente dos orientados, que possuem mais de um tipo. De acordo com Boaventura Netto & Jurkiewicz (2009), os diferentes tipos de conexidade em grafos são: 21

3 Grafo desconexo é aquele em que existe pelo menos um par de vértices que não é ligado por nenhuma ligação. Grafo simplesmente conexo é aquele em que existem ligações entre todos os pares de vértices. Entretanto, há pares de vértices que não podem ser atingidos. Isso ocorre devido a orientação do grafo, de maneira que mesmo havendo um percurso entre os pares de vértices, não há caminho. Grafo semi-fortemente conexo é aquele que, ao assumirmos os vértices y e z, há caminho de y até z ou de z até y. Dessa maneira, entre dois pares de vértices um deles estará no fecho transitivo positivo do outro. Ou seja, em todo par de vértice, um deles é atingível a partir do outro. Grafo fortemente conexo é aquele que para todo par de vértices y e z, existe um caminho de y até z e também um caminho de z até y. Logo, nesse grafo, todo vértice está contido no fecho transitivo de outro. Uma observação pertinente se deve ao fato de que ao se trabalhar com grafos não orientados, caso ele seja conexo, ele será fortemente conexo, pois devido a ausência de orientação, todos os vértices estarão no fecho transitivo de um outro. Portanto, as definições de grafos simplesmente conexo e semi-fortemente conexo são exclusivas para grafos orientados. Tavares et al (1996) em seu livro Investigação Operacional definem o caminho crítico como a sequência de atividades que se deve concluir nas datas programadas para que o projeto tenha seu fim no prazo inicialmente estipulado. Caso o prazo final seja excedido, pelo menos uma das atividades do caminho crítico não foi concluída na data programada. Entender a sequência do caminho crítico permite identificar onde se tem e onde não se tem flexibilidade no processo analisado. 3. Metodologia O presente estudo é subsidiado por análises em relação ao fluxograma do curso de graduação em engenharia de produção da UFF, tendo como base técnicas e conceitos provenientes da Teoria dos Grafos Orientação de um grafo Inicialmente, será tratada a orientação de um grafo. Um grafo não orientado consiste em um grafo cujas ligações entre vértices não possuem uma ordem, ou seja, não há uma relação que implique em que o sentido deva ser apenas de um vértice específico para outro. De outra maneira, um grafo orientado, ou dígrafo, é um grafo em que as ligações entre vértices ocorrem em um sentido fixo e definido, mostrando a presença de alguma relação entre os dois vértices que implique essa característica Adjacência Em um grafo orientado, os vizinhos de um determinado vértice se dividem em sucessores e antecessores. Tendo como base um vértice v, os sucessores desse vértice são todos aqueles adjacentes a v e que suas arestas tenham origem no próprio v. No caso dos antecessores de v, são aqueles que suas arestas têm destino em v e origem neles mesmos. Será apresentada a ideia de listas de adjacência com base na Figura 1 e na Figura 2. As conclusões a seguir terão como base as definições e as duas figuras mencionadas. 22

4 Figura 1: Grafo não orientado Figura 2: Grafo orientado Fazendo as listas de adjacência das Figuras 1 e 2: A análise da Figura 1 está presente na Tabela 1: Vértice Vértices adjacentes 1 2, 3, 5 2 1, 5 3 1, 5, , 2, 3, 6 6 3, 4, 5 Tabela 1 Tendo como exemplo o vértice 1, seus vértices adjacentes são{2, 3, 5}, que também representam a vizinhança do mesmo vértice 1. A análise da Figura 2 está presente na Tabela 2: Vértice Vértices adjacentes 1 2, , Tabela 2 Da mesma maneira, tendo como exemplo o vértice 1, seus vértices adjacentes são {2, 4}, que também representam sua vizinhança. O conjunto de sucessores desse vértice é N+(1) = {2, 4} e o conjunto de seus antecessores é N-(1) = {3} Transitividade Um conceito encontrado em alguns grafos e essencial em um fluxograma é a Transitividade. Essa propriedade diz que se há uma relação entre os vértices a e b e entre b e c, logo há uma 23

5 relação entre a e c. Assim, por meio dessa ideia é possível procurar e descobrir todos os vértices atingíveis por um determinado vértice v. Esse conjunto de vértices atingíveis é chamado fecho transitivo de v. O fecho transitivo pode ser subdividido em: fecho transitivo positivo (direto) e fecho transitivo negativo (inverso). O fecho transitivo positivo procura sucessores de vértices, tendo como origem um vértice v e seus sucessores diretos. É o conjunto composto por todos os vértices atingíveis partindo de v. Pode ser designado como R+(v). O fecho transitivo negativo procura antecessores de vértices, sendo composto pelo conjunto de vértices a partir dos quais v é atingível. Pode ser designado como R-(v). Um fator que deve ser considerado é que o vértice, a partir do qual está se fazendo a análise, deve estar sempre contido em seu próprio fecho transitivo. Com base nessa explicação, pode-se utilizar a Figura 3 para ilustrar essa teoria. Figura 3 A partir da figura 3, e analisando o vértice 2, pode-se obter as seguintes conclusões a cerca de seus fechos transitivos: R+(2) = {1, 2, 3, 4} R-(2) = { 2, 3} 3.4. Conexidade Cada um dos diferentes tipos de conexidade podem ser encontrados nos grafos representados pelas Figura 4, Figura 5, Figura 6 e Figura 7, de acordo com as definições já mostradas neste artigo. Figura 4: Grafo Desconexo Figura 5: Grafo Simplesmente Conexo 24

6 Figura 6: Grafo Semi-Fortemente Conexo Figura 7: Grafo Fortemente Conexo 3.5. Método do Caminho Crítico (CPM) Método do Caminho Crítico (do inglês CPM - Critical Path Method) é uma técnica que consiste em designar um conjunto de tarefas vinculadas a uma ou mais tarefas que não têm margem de atraso. No campo da matemática, uma tarefa é crítica quando o tempo mais cedo em que uma tarefa deve começar e o mais cedo que ela deve terminar é igual aos tempos correspondentes mais tardes sem alterar a data final do projeto. Concluir o projeto dentro do prazo final, mesmo tendo havido atrasos em algumas tarefas indica que estas atividades não se encontravam no caminho crítico. Por outro lado, caso haja atraso no projeto e sejam alocados recursos adicionais em atividades que não estão no caminho crítico, isso não fará com que o projeto termine mais cedo. As tarefas críticas definem, portanto, o caminho crítico, ou seja, revelam a sequência de atividades que proporcionam a duração total do projeto, que caso sofram algum atraso desencadearão outros atrasos, levando a um aumento da duração total do projeto em questão Centralidade Ao tratar da teoria dos grafos, existem diferentes métodos para estabelecer a centralidade de um vértice em um grafo. O conceito de centralidade determina a importância relativa de um vértice no grafo. Na análise aqui realizada, os métodos usados para medir a centralidade de um vértice serão a Centralidade de Grau e o Caminho Mínimo. O conceito da centralidade de grau se baseia no número de ligações que um nó possui, ou seja, o número de arestas ligadas diretamente a um determinado vértice. O vértice mais central (de maior importância), logo, será aquele que possuir o maior grau em relação aos demais vértices de todo o grafo. Uma análise desse conceito será realizada com auxílio da Figura 8. 25

7 Figura 8: Centralidade de grau Ao estudar os graus de cada vértice da figura acima, é possível obter os seguintes resultados: G(1) = G(6) = G(7) = 1 G(2) = G(3) = (4) = 2 G(5) = 3 Logo, pela centralidade de grau, conclui-se que o vértice 5 é o vértice central do grafo acima, representando uma maior importância relativa desse vértice em relação aos outros. O caminho mínimo consiste em sair de um vértice e chegar a um outro de maneira que seja gasta e menor quantidade possível de recursos. Em um grafo em que as arestas não possuem custos, o caminho mínimo se baseia em sair de um vértice a chegar a outro passando pelo menor número possível de vértices ao longo do caminho. A centralidade pelo caminho mínimo, então, estabelece que o vértice por onde se passa o maior número de caminhos mínimos será o vértice mais central. 4. Estudo de Caso Após a apresentação da metodologia utilizada, será feita a análise do caso aqui estudado, utilizando as técnicas e conceitos anteriormente apresentados Orientação de um grafo Devido ao fato do estudo aqui realizado se tratar de um fluxograma, o grafo trabalhado é um grafo orientado. Isso ocorre, pois as arestas ligam uma disciplina até outra que dependa da anterior como pré-requisito. Além disso, uma vez realizada uma disciplina, não há caminho de volta, indicando uma única direção para os eventos, que começam no 1º período do curso e se destinam ao último. Logo, a orientação das arestas é de grande importância para a relação particular dos vértices e para o fluxograma como um todo, justificando o porquê de não ser possível representar um fluxograma com um grafo não orientado Adjacência Relacionando os conceitos recém vistos com a ideia de um fluxograma, é possível realizar conclusões a partir dos resultados encontrados. Tendo como base as disciplinas do segundo 26

8 período do curso de Engenharia de Produção da UFF, que são: Cálculo II-A, Cálculo II-B, Física I, Física Experimental I, Fundamentos do Desenho Técnico, Fundamentos da Engenharia do Trabalho, Introdução à Projeto de Banco de Dados, Álgebra Linear, é possível trabalhar com as ideias de adjacência e vizinhança. A relação de adjacência entre disciplinas pode ser entendida ao ser estabelecido que disciplinas adjacentes são disciplinas que estão ligadas à outra diretamente. Por exemplo, o pré-requisito direto da disciplina A é a disciplina B, e isso implicaria em uma aresta orientado com origem no vértice B e destino no vértice A. Além disso, a vizinhança de uma disciplina A consistiria em todas as disciplinas que possuem A como pré-requisito direto. A lista de adjacência dessas disciplinas está contida na Tabela 3. Tabela 3 Em um grafo orientado, os vizinhos de um determinado vértice (disciplina, no caso em questão), se dividem em sucessores e antecessores. Do ponto de vista de uma disciplina qualquer, seus sucessores são as disciplinas que dependem dela como um pré-requisito direto e seus antecessores são os pré-requisitos diretos da disciplina que está sendo analisada. Sucessores serão representados como N+(x) e antecessores como N-(x). Da lista de adjacência apresentada anteriormente, serão feitos alguns estudos de vizinhança envolvendo as disciplinas ali presentes. Os sucessores de Cálculo II-A seriam: N+( Cálculo II-A) = {Cálculo III-A, Equações Diferenciais, Física II, Estatística Básica para Engenharia II}. Pode-se perceber que os antecessores dessa mesma disciplina seriam: N-( Cálculo II-A) = { Cálculo I-A, Geometria Analítica e Cálculo Vetorial}. Caso estivesse sendo analisada uma disciplina do primeiro período, por exemplo, deve-se atentar ao fato de que como ela não possui pré-requisitos, ela não possui antecessores. Escolhendo uma disciplina do primeiro período, como Geometria Descritiva, temos: N-(Geometria Descritiva) = {} 4.3. Transitividade No caso específico analisado por este artigo, a ideia de fecho transitivo direto de uma disciplina implica em todas as disciplinas que possuem alguma relação de sucessão direta ou indireta com o vértice de origem, sendo todas dependentes da aprovação do aluno na disciplina que corresponde ao vértice v. O fecho transitivo indireto são todas as disciplinas que possuem alguma relação que antecede direta ou indireta a disciplina analisada (vértice v), ou seja, são 27

9 todas as disciplinas pelas quais um aluno deve ser aprovado até ser capaz de cursar a disciplina correspondente ao vértice v. Para escrever um Fecho Transitivo, é necessário possuir uma visão completa de todo o fluxograma do curso. Após analisar todas as relações possíveis de sucessores e antecessores que partem de uma matéria escolhida é possível enumerar os fechos. Sabe-se que as disciplinas do primeiro período do curso de graduação em Engenharia de Produção da UFF são: Cálculo I-A, Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, Geometria Descritiva, Introdução à Engenharia de Produção, Introdução à Administração, Engenharia e Meio Ambiente, Programação de Computadores V. Realizando o estudo anteriormente citado para todas as disciplinas do primeiro período do curso analisado, tem-se os seguintes fechos transitivos positivos: R+(Cálculo I-A) = { Cálculo I-A, Cálculo II-A, Cálculo II-B, Física I, Cálculo III-A, Equações Diferenciais, Física II, Mecânica Aplicada III, Estatística Básica para Engenharia II, Economia para Engenharia, Pesquisa Operacional I, Física III, Fenômeno dos Transportes V, Engenharia econômica, Resistência do Materiais, Estatística Aplicada para Engenharia, Automação da Produção, Pesquisa Operacional II, Pesquisa Operacional III, Física IV, Eletricidade, Economia e Gestão da Inovação, Estudo de Movimentos e de Tempos, Introdução à Engenharia de Fabricação, Administração Financeira, Técnicas de Controle da Qualidade, Planejamento de Experimentos, Arranjo Físico, Engenharia do Produto, Introdução à Engenharia dos Materiais, Planejamento e Controle da Produção, Fundamentos da Engenharia de Manutenção, Gerência Ambiental no Processo Industrial, Gerenciamento de Projetos, Planejamento de Experimentos, Qualidade, Ergonomia, Logística, Planejamento e Controle da Produção, Planejamento e Controle da Produção II, Simulação e Otimização de Sistemas, Planejamento Estratégico Industrial, Higiene e Segurança Industrial, Engenharia de custos, Viabilidade Econômica de Projetos, Modelagem e Gestão de Processos, Planejamento Estratégico Industrial} R+(Geometria Analítica e Cálculo Vetorial) = { Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, Cálculo II-A, Cálculo II-B, Álgebra Linear, Física I, Física Experimental I, Cálculo III-A, Equações Diferenciais, Física II, Física Experimental II, Mecânica Aplicada III, Economia para Engenharia, Estatística Básica para Engenharia II, Pesquisa Operacional I, Engenharia Econômica, Resistência dos Materiais, Estatística Aplicada para Engenharia, Física III, Física Experimental III, Introdução à Engenharia de Fabricação, Estudo de Movimentos e Tempos, Fenômeno dos Transportes V, Técnicas de Controle de Qualidade, Pesquisa Operacional II, Física IV, Física Experimental IV, Eletricidade, Planejamento de Experimentos, Arranjo Física, Engenharia do Produto, Automação da Produção, Introdução à Engenharia dos Materiais, Economia e Gestão da Inovação, Ergonomia, Pesquisa Operacional III, Administração Financeira, Gerenciamento Ambiental no Processo Industrial, Logística, Qualidade, Planejamento e Controle da Produção, Simulação e Otimização de Sistemas, Engenharia de Custos, Gerenciamento de Projetos, Viabilidade Econômica de Projetos, Ciência Tecnologia e Sociedade no Contexto da Engenharia de Produção, Higiene e Segurança Industriais, Modelagem e Gestão de Processos, Planejamento e Controle da Produção II, Planejamento Estratégico Industrial, Contabilidade, Fundamentos da Engenharia de Manutenção} R+(Geometria Descritiva) = { Geometria Descritiva, Fundamentos do Desenho Técnico, Desenho de Projeto para Engenharia de Produção, Introdução à Engenharia de Fabricação, Arranjo Físico, Engenharia do Produto, Automação da Produção, Introdução à Engenharia de Materiais, Marketing Industrial, Logística, Planejamento e Controle da Produção I, Planejamento e Controle da Produção II, Fundamentos de Engenharia de Manutenção} 28

10 R+(Programação de Computadores V) = { Programação de Computadores V, Introdução à Projeto de Banco de Dados, Pesquisa Operacional I, Pesquisa Operacional II, Pesquisa Operacional III, Arranjo Físico, Logística, Planejamento e Controle da Produção I, Simulação e Otimização de Sistemas, Gerenciamento de Projetos, Modelagem e Gestão de Processos, Planejamento Estratégico Industrial, Planejamento e Controle da Produção II, Fundamentos de Engenharia de Manutenção} R+(Introdução à Administração) = {Introdução à Administração, Fundamentos de Engenharia do Trabalho, Introdução à Projeto de Banco de Dados, Economia para Engenharia, Metodologia Científica e Tecnológica, Engenharia Econômica, Organização do Trabalho, Estudo de Movimentos e Tempos, Técnicas de Controle de Qualidade, Engenharia de Métodos I, Engenharia de Métodos II, Economia e Gestão da Inovação, Administração Financeira, Planejamento de Experimentos, Engenharia do Produto, Ergonomia, Marketing Industrial, Qualidade, Planejamento e Controle da Produção I, Simulação e Otimização de Sistemas, Engenharia de Custos, Gerenciamento de Projetos, Viabilidade Econômica de Projetos, Higiene e Segurança Industriais, Projeto Final em Engenharia de Produção I, Modelagem e Gestão de Processos, Planejamento e Controle da Produção II, Planejamento Estratégico Industrial, Contabilidade, Fundamentos de Engenharia de Manutenção, Projeto Final em Engenharia de Produção II} R+(Introdução à Engenharia de Produção) = {Introdução à Engenharia de Produção, Fundamentos de Engenharia do Trabalho, Metodologia Científica e Tecnológica Organização do Trabalho, Estudo de Movimentos e Tempos, Engenharia de Métodos I, Engenharia de Métodos II, Engenharia do Produto, Ergonomia, Engenharia de Métodos II, Marketing Industrial, Gerenciamento Ambiental no Processo Industrial, Psicologia e Sociologia do Trabalho, Planejamento e Controle da Produção I, Gerenciamento de Projetos, Higiene e Segurança Industriais, Planejamento e Controle da Produção II, Projeto Final em Engenharia de Produção I, Fundamentos de Engenharia de Manutenção, Projeto Final em Engenharia de Produção II} R+(Engenharia e Meio Ambiente) = { Engenharia e Meio Ambiente, Tecnologia Química para Engenharia, Eletricidade, Gerenciamento Ambiental no Processo Industrial} Como a análise tem como base uma matéria do primeiro período, seu Fecho Transitivo Inverso só possui ela mesma. Assim, R-(Cálculo I-A) = {Cálculo I-A}. Sendo o processo análogo para as demais matérias desse período. Dessa maneira, um aluno pode analisar as disciplinas que ele precisa cursar e ser aprovado para poder cursar uma outra específica, ou as disciplinas que, por meio da aprovação em uma determinada, ele poderá cursar ao longo de seu curso de graduação Conexidade Tendo como base os conceitos de conexidade vistos, é possível aplicá-los à análise do fluxograma. Percebe-se que um fluxograma é um grafo orientado de sentido único. Disciplinas (vértices) são ligadas a outras devido a sua relação de pré-requisito ou co-requisito. Isso indica que o sentido do grafo se origina nos vértices correspondentes a disciplinas do primeiro período até aqueles que correspondem a matérias dos períodos seguintes, e nunca o contrário. Caso o fluxograma fosse apenas dessa maneira, levando em consideração a ideia de prérequisitos já apresentada e de co-requisitos, seria possível classificá-lo como grafo semifortemente conexo. Entretanto, ao longo da graduação existe a possibilidade do aluno cursar disciplinas que não possuem nenhum pré ou co requisito. Ao representa-las em um grafo, 29

11 observa-se que elas não possuem ligação alguma com os demais vértices, mostrando que a partir do semestre em que o aluno resolve cursá-las, o grafo passa a ser desconexo. Dessa maneira e tendo como base o fluxograma do curso de graduação de Engenharia de Produção da UFF, é possível realizar a seguinte análise: até o sexto período o grafo que represente esse fluxograma se trata de um grafo semi-fortemente conexo, porém, a partir do sétimo período, no qual se pode cursar disciplinas eletivas, o grafo passa a ser desconexo, e mantém essa característica até o fim da graduação Método do Caminho Crítico (CPM) Ao realizar um estudo acerca do fluxograma de um curso de graduação, é possível concluir que o método para a conclusão do curso consiste em o aluno ser aprovado em todas as disciplinas propostas. Logo, a duração mínima para a conclusão do curso é de 10 períodos ou 5 anos (no caso em questão). Sabendo-se que o curso só estará concluído após a última disciplina ser cursada e o aluno ser, nela, aprovado, pode-se reescrever o que foi dito no parágrafo anterior de uma maneira diferente que leve em consideração a ideia de caminhos que foi proposta, da seguinte forma: analisando o caminho crítico, percebe-se que o tempo mínimo para um aluno concluir seu curso de Engenharia de Produção é de 5 anos. Um ponto que deve ser levado em consideração é o fato de que disciplinas com folga zero, ou seja, que servem de pré-requisitos para disciplinas do período imediatamente seguinte e assim por diante até o último semestre, caso não tenham sua aprovação realizada no momento certo do curso, podem aumentar o tempo em que um estudante concluirá o curso. Utilizando o fecho transitivo positivo da disciplina Introdução à Engenharia de Produção, é possível realizar uma análise sobre o que vem sendo discutido. Para essa análise, serão utilizadas as seguintes informações. Na Tabela 4, D indica um número que representa uma disciplina, PR indica os pré-requisitos dessa disciplina e T indica o tempo necessário para conclusão da disciplina (os valores de T serão de 1 semestre). 1-INTROD À ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 2-FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA DO TRABALHO 3-METODOLOGIA CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA 4-ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 5-ENGENHARIA DE MÉTODOS I 6-PSICOLOGIA E SOCIOLOGIA DO TRABALHO 7-ERGONOMIA 8-ENGENHARIA DE MÉTODOS II 9-ENGENHARIA DO PRODUTO 10-MARKETING INDUSTRIAL 11-GERENCIAMENTO AMBIENTAL NO PROCESSO INDUSTRIAL 12-PLANEJAMENTO E CONTROLE DA PRODUÇÃO I 13-GERENCIAMENTO DE PROJETOS 14-HIGIENE E SEGURANÇA INDUSTRIAIS 15-PLANEJAMENTO E CONTROLE DA PRODUÇÃO II 16-FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA DE MANUTENÇÃO 17-PROJETO FINAL EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO I 18-PROJETO FINAL EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II 30

12 D PR T , Tabela 4 Logo, é possível perceber que há possibilidade do aluno se formar no tempo previsto caso haja reprovação em um período em alguma das disciplinas destacadas na tabela anterior, com a exceção das seguintes matérias: PROJETO FINAL EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO I e PROJETO FINAL EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II. Isso mostra que, do fecho transitivo positivo da disciplina Introdução à Engenharia de Produção, apenas as duas disciplinas citadas fazem parte do caminho crítico do currículo do curso. Com a exceção destas, as demais matérias possuem folgas, o que permite que elas sejam cursadas no período seguinte do previsto sem que isso interfira no tempo inicialmente programado para conclusão da graduação Centralidade No âmbito do estudo do fluxograma de um curso de graduação, a centralidade em grafos se destaca como uma maneira de identificar as disciplinas de maior importância relativa e que estejam conectadas diretamente a um maior número de outras disciplinas. Essas matérias seriam aquelas com um maior número de pré-requisitos e/ou que sejam pré-requisitos para um número alto de outras disciplinas. Analisando cada período do curso de graduação aqui trabalhado, é possível perceber as matérias de maior importância de cada um deles. Para essa análise será analisado o grau de cada matéria sendo considerada central aquela que possuir o maior grau (maior número de ligações diretas com outros vértices, disciplinas). 1º Período: Geometria Analítica e Cálculo Vetorial (G = 4) é pré-requisito para 4 disciplinas. 2º Período: Cálculo II-B (G = 9) é pré-requisito para 7 disciplinas e possui 2 pré-requisitos 31

13 3º Período: Equações Diferenciais (G= 8) é pré-requisito para 5 matérias e possui 3 prérequisitos 4º Período: Estatística Aplicada (G = 7) é pré-requisito de 5 disciplinas e possui 2 prérequisitos. 5º Período: Introdução à Engenharia de Fabricação (G= 7) é pré-requisito de 5 disciplinas e possui 2 pré-requisitos. 6º Período: Arranjo Físico (G= 5) é pré-requisito de 2 disciplinas e possui 3 pré-requisitos. 7º Período: Planejamento e Controle da Produção (G= 5) é pré-requisito de 2 disciplinas e possui 3 pré-requisitos. 8º Período: Simulação e Otimização de Sistemas (G= 5) é pré-requisito de 2 disciplinas e possui 3 pré-requisitos. 9º Período: Planejamento e Controle da Produção (G= 3), Planejamento Estratégico Industrial (G= 3) e Fundamentos de Engenharia de Manutenção (G= 3), possuem 3 pré-requisitos cada. 10º Período: Projeto Final em Engenharia de Produção II (G= 2), pois possui 2 pré-requisitos. Após a análise realizada e aplicando a ideia de caminho mínimo para cada uma das disciplinas mais centrais de cada período, tendo como base o fluxograma do curso, pode-se perceber que das matérias selecionadas, aquela por onde se passa o maior número de caminhos mínimos (partindo das disciplinas do primeiro período até as do ultimo período) é o Cálculo II-B. Essa conclusão se deve à quantidade de disciplinas direta ou indiretamente ligadas ela, que é superior do que as ligações das demais matérias. Dessa maneira, pode-se concluir que a disciplina central do curso de graduação em Engenharia de Produção da UFF é Cálculo II-B, devido ao fato de ser a matéria que possui o maior grau de todas no currículo analisado e pelo fato de ser a disciplina por onde se passa o maior número de caminhos mínimos. Isso demonstra a importância dessa matéria para a formação de um graduando, porque além dessa disciplina depender de outras para poder ser cursada, a aprovação nesta também é essencial para o progresso de um aluno no curso. 5. Conclusão Aplicando alguns conceitos da Teoria dos Grafos ao analisar o fluxograma do curso de graduação em engenharia de produção da UFF, foi possível perceber as diversas informações que podem ser obtidas acerca dos efeitos que determinadas disciplinas possuem na formação acadêmica de um estudante. Tais informações podem ter grande importância ao darem base para que alunos possam reconhecer as disciplinas que podem atrasar suas formações caso sejam reprovadas, todas as disciplinas dentro do fluxograma que possuem alguma relação de prérequisito com alguma outra, entre diversos outros dados que foram analisados. O artigo buscou não apenas mostrar algumas possíveis análises que a Teoria dos Grafos permite realizar no fluxograma aqui estudado, mas também servir de exemplo para que estudos em diferentes tipos de fluxogramas possam ser realizados seguindo uma abordagem semelhante. Além disso, a abordagem realizada de maneira mais didática permite que os próprios alunos possam aplicar os conceitos aqui vistos e os usar para estudar os fluxogramas de seus próprios cursos. 32

14 De forma geral, é percebida a relevância da análise aqui realizada, devido ao fato dela munir pessoas de áreas variadas com um conhecimento capaz de ser aplicado em diversos grafos de fluxo de maneira a tornar a compreensão deles mais fácil, além de permitir ao leitor realizar diversas análises que podem ser relevantes a ele. 6. Bibliografia BARBOSA, R. M.. Combinatória e Grafos. Livraria Nobel, São Paulo, BOAVENTURA NETTO, P. O. e JURKIEWICZ, S. Grafos: Introdução e Prática. Blucher, São Paulo, SZWARCFITER, J. L.. Grafos e algoritmos computacionais. Campus, Rio de Janeiro, TAVARES, L. V., OLIVEIRA, R. C., THEMIDO, I. H. e CORREIA, F. N.. Investigação Operacional. McGraw Hill, Nova Iorque,