A escolha do consumidor sob incerteza

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPEL Departamento de Eonomia - DECON A esolha do onsumidor sob inerteza Professor Rodrigo Nobre Fernandez Pelotas

2 Introdução A inerteza faz parte da vida, nos arrisamos ada vez que tomamos uma deisão; Há, porém, instituições finaneiras omo os merados de seguros e de ações que podem mitigar pelo menos alguns destes risos; 2

3 Introdução Verifiaremos o omportamento individual em relação às esolhas que envolvem inerteza; A teoria padrão de esolha do onsumidor, pode ser utilizada da mesma forma para entendermos omo o indivíduo faz suas esolhas om inerteza; 3

4 1. Consumo ontingente A pergunta que devemos fazer é: O que está sendo esolhido? O onsumidor está supostamente preoupado om a distribuição de probabilidades de obter diferentes estas de bens; 4

5 1. Consumo ontingente O que o onsumidor faz quando ele deide o quanto em seguro de automóvel omprar, ou quanto investir em merado de ações? Ele está na verdade deidindo sobre um padrão de distribuição de probabilidades sobre diferentes quantidades de onsumo; 5

6 1. Consumo ontingente Suponha que voê tenha R$ 100,00 e esteja pensando em omprar um bilhete om o número 10. Se este número for sorteado, voê ganhará R$ 200,00; O usto do bilhete é de R$ 5,00; 6

7 1. Consumo ontingente Sua dotação iniial é de R$ 100,00. Se voê omprar o bilhete e for sorteado, terá uma distribuição de riqueza de R$ 295,00 ( R$ 100,00 + R$ 200,00 R$ 5,00); Se voê não for sorteado, o valor da sua distribuição de riqueza será de R$ 95,00; 7

8 1. Consumo ontingente Agora desrevemos um aso de um seguro. Suponha que voê tenha R$ ,00 em ativos, mas voê possui uma possibilidade de perda de R$ ,00. Suponha que a probabilidade que isto oorra seja p = 0,01; 8

9 1. Consumo ontingente Sua distribuição de probabilidades é de 1% de ter R$ ,00 de ativos e de 99% de ter R$ ,00; Um ontrato de seguro paga R$ 100,00 aso oorra alguma perda; O prêmio do seguro é de R$ 1,00; Se voê deidir omprar R$ ,00 em seguro isto lhe ustará R$ 100,00; 9

10 1. Consumo ontingente Neste aso voê terá 1% de possibilidade de ter R$ ,00 ( U$ ,00 de ativos R$ ,00 de perdas + R$ ,00 de indenização R$ 100,00 pagos pelo prêmio do seguro); E 99% de ter R$ ,00 ( U$ ,00 de ativos R$ 100,00 pagos pelo prêmio do seguro) ; 10

11 1. Consumo ontingente Em geral se voê omprar R$K de seguro e tiver que pagar um prêmio K, voê se deparará om a seguinte aposta: Probabilidade de 0,01 de obter: R$25.000,00 K K 11

12 1. Consumo ontingente Probabilidade de 0,99 de obter: R$35.000,00 K 12

13 1. Consumo ontingente Que tipo de seguro voê omprará? Isto irá depender de quão onservador voê é, ou se voê gosta de orrer risos; As pessoas possuem preferênias diferentes frente a distribuições de probabilidades; 13

14 1. Consumo ontingente Podemos pensar em diferentes resultados de um evento aleatório omo diferentes estados da natureza; Também podemos onsiderar o plano de onsumo ontingente omo uma espeifiação do que seria onsumido em ada diferente estado da natureza; 14

15 1. Consumo ontingente Contingente signifia depender de algo que ainda não é erto; Desrevemos 2 estados sendo um ruim (b) e outro bom (g). A dotação de onsumo ontingente no estado ruim é de R$ ,00 e de R$ ,00 no estado bom. 15

16 1. Consumo ontingente O seguro oferee uma forma de sair deste ponto de dotação: C g K C b K K 1 16

17 1. Consumo ontingente C g R$ Dotação Inlinação K Esolha R$ R$ K K C b 17

18 2. Funções de utilidade e probabilidade Em geral, o modo omo uma pessoa avalia o onsumo num estado em omparação a outro dependerá da probabilidade de que oorra o estado em questão; As preferênias de onsumo em diferentes estados da natureza dependerão das renças dos indivíduos; 18

19 2. Funções de utilidade e probabilidade Se dois estados exluem-se mutuamente, de modo que, apenas um possa oorrer, então: Dada esta notação podemos esrever a nossa função de utilidade do onsumo nos estados 1 e 2 omo: u,, ) ( 1 2,

20 3. Função de utilidade esperada Uma forma partiularmente onveniente que a função de utilidade pode adotar é a seguinte: u (,, ) v( ) v( 1 2, ) 20

21 3. Função de utilidade esperada Isto diz que a utilidade pode ser esrita omo uma função do onsumo em ada estado v( 1) e v( 2 ) Por isto que nos referirmos a função de utilidade esperada de forma partiular omo uma função Neumann-Morgenstern. 21

22 3. Função de utilidade esperada Na esolha sob ondições de inerteza há uma espéie de independênia entre os diferentes resultados; Estes resultados devem ser onsumidos de maneira separada em diferentes estados da natureza; 22

23 3. Função de utilidade esperada Esta hipótese é onheida omo hipótese de independênia. Esta hipótese implia que a função de utilidade do onsumo ontingente terá uma estrutura muito espeial: ela terá que ser aditiva nas diferentes estas de onsumo ontingente; 23

24 24 3. Função de utilidade esperada ) ( ) ( ) ( ), ( , 1 u u u u )/,, ( )/,, ( U U TMS ) /,, ( ) /,, ( u u

25 4. Aversão ao riso Vamos apliar o modelo da utilidade esperada a um problema simples. Suponha que o onsumidor 1 tenha a riqueza de R$ 10,00. Este onsumidor pensa em fazer uma aposta a qual terá 50% de probabilidade de ganhar R$ 5,00 e também 50% de probabilidade de perder R$ 5,00; 25

26 4. Aversão ao riso utilidade u(15) u(10) u(5) riqueza 26

27 4. Aversão ao riso utilidade u(15) u(10) 0,5u(5)+0,5u(15) Este onsumidor possui um função de utilidade ônava u(5) riqueza 27

28 4. Aversão ao riso Em suma, o onsumidor é avesso ao riso se ele prefere uma riqueza garantida a uma riqueza de riso om o mesmo valor esperado. 28

29 5. Propensão ao riso Se o onsumidor, gostar mais de arrisar o seu omportamento será diferente; A inlinação da urva de utilidade deste onsumidor se tornará mais íngreme a medida que sua utilidade aumenta; 29

30 5. Propensão ao riso utilidade u(15) u(10) u(5) riqueza 30

31 5. Propensão ao riso utilidade u(15) Este onsumidor possui um função de utilidade onvexa 0,5u(5)+0,5u(15) u(10) u(5) riqueza 31

32 5. Propensão ao riso Em suma, o onsumidor é propenso ao riso se ele prefere uma riqueza inerta a uma riqueza garantida om o mesmo valor esperado. Exemplos: jogos de azar, algumas atividades riminosas 32

33 6. Neutralidade ao riso O aso intermediário é o da função de utilidade linear; A utilidade esperada da riqueza é exatamente igual ao seu valor esperado; O onsumidor não tem preferênia ou ele é indiferente entre uma riqueza garantida e uma inerta om o mesmo valor esperado. 33

34 6. Neutralidade ao riso utilidade u(15) 0,5u(5)+0,5u(15) = u(10) u(5) riqueza 34

35 7. Demanda por seguro (exemplo) Agora, vamos analisar o ontrato de seguro do ponto de vista da empresa; Com probabilidade ela terá que pagar K, e om probabilidade ( 1) ela não pagará nada. Aonteça o que aonteer a empresa arreada pelo menos o prêmio K; 35

36 7. Demanda por seguro (exemplo) Então o luro esperado, P, da empresa de seguros é: P K K ( 1).0 0 P K K 0 36

37 37 7. Demanda por seguro (exemplo) Se inserirmos isto na equação: 1 )/, ( ) (1 )/, ( u u TMS 1 )/, ( ) (1 )/, ( u u TMS

38 7. Demanda por seguro (exemplo) Então hegaremos a seguinte onlusão: A utilidade marginal de R$ 1,00 de renda adiional aso a perda oorra, deve ser igual à utilidade marginal R$ 1,00 aso a perda não oorra. u(, ) u(, )

39 7. Demanda por seguro (exemplo) Se as utilidades marginais da renda forem iguais teremos que ter K K K O que implia K = Se o onsumidor tiver oportunidade de omprar um seguro a um prêmio justo ele sempre esolherá o seguro total; 39

40 8. Diversifiação Ao diversifiar seus investimentos voê pode obter um rendimento mais seguro e, portanto, mais desejável, se for uma pessoa avessa ao riso; Suponha que tanto ações de uma empresa produtora de apas de huva omo de outra produtora de óulos de sol ustam R$ 10,00 a unidade; 40

41 8. Diversifiação Se o verão for huvoso as ações da empresa de apas de huva dobram e as de óulos de sombra terão um valor de R$ 5,00. Se for ensolarado oorre exatamente o ontrário. 41

42 8. Diversifiação Se voê apliar todos seus reursos somente em uma empresa, estará fazendo uma aposta que tem 50% de hanes de lhe dar R$ 200,00 e 50% de hanes de lhe dar R$ 50,00. O retorno esperado seria de R$ 125,00. 42

43 8. Diversifiação Veja que se voê investir metade do valor em ada empresa voê obterá um retorno de R$ 100,00 pela empresa bem suedida de aordo om a estação do ano; E R$ 25,00 suesso; da empresa que não obteve Em ambas situações voê garante R$ 125,00; 43

44 8. Diversifiação Ao diversifiar seu investimento entre as duas empresas, voê pode reduzir o riso total, om o mesmo retorno esperado. A diversifiação foi fáil, pois os ativos são negativamente orrelaionados; O valor da maioria dos ativos movem-se juntos. Ex: Ford e GM. 44

45 9. Merado de Ações O merado de ações assim omo o merado de seguros permite que voê distribua o riso; Neste merado voê pode investir diversidade de ativos; numa Os proprietários tem inentivos a emitir ações, om o propósito de diversifiar seu riso; 45

46 9. Merado de Ações Os aionistas também podem utilizar o merado de ações para realoar seus risos; No merado de ações há risos no agregado; 46

47 Apêndie Definição: Loteria Suponha que A a é um onjunto finito de 1,..., a n resultados possíveis (por exemplo, o valor monetário para ada i). Uma loteria g p1 a1,..., p n a n assinala a probabilidade pi n ao resultado ai para todo i=1,...,n onde: pi 0 e p i 1 i1 Adiionalmente, dizemos que uma loteria é degenerada quando temos um p i 1 47

48 Apêndie Definição: Utilidade Esperada A utilidade UE : G R possui a propriedade de utilidade esperada se, para toda loteria g p1 a1,..., pn an G temos que: UE p a p a p ua,..., 1 1 n n n i 1 i i Portanto, a utilidade esperada UE é linear nas probabilidades e é determinada pelos valores que assume no onjunto dos resultados. 48

49 Apêndie Definição: Comportamento em relação ao riso: Dizemos que o indivíduo é: 1. Avesso ao riso em g se: 2. Neutro ao riso em g se: 3. Amante do riso em g se: u u Eg ug Eg ug u Eg ug 49

50 Apêndie Definição: Equivalente de Certeza O equivalente de erteza ECg da loteria g é o montante de dinheiro dado om erteza, tal que: UE g UE EC g 50

51 Apêndie Definição: Prêmio de Riso O prêmio de riso assoiado a loteria g é o montante de dinheiro Pg tal que: UE g UE E g P g P g E g EC g 51

52 Apêndie Teorema: Aversão ao Riso, EC e Prêmio de riso. As seguintes afirmativas são equivalentes: 1. O indivíduo é avesso ao riso; 2. u(.) é estritamente ônava; 3. ECg < E(g) para toda loteria não degenerada 4. Pg > 0 para toda loteria não degenerada. 52

53 Apêndie Teorema: Neutralidade ao Riso, EC e Prêmio de riso. As seguintes afirmativas são equivalentes: 1. O indivíduo é neutro ao riso; 2. u(.) é linear; 3. ECg = E(g) para toda loteria não degenerada 4. Pg = 0 para toda loteria não degenerada. 53

54 Apêndie Teorema: Propensão ao Riso, EC e Prêmio de riso. As seguintes afirmativas são equivalentes: 1. O indivíduo é propenso ao riso; 2. u(.) é onvexa; 3. ECg E(g) para toda loteria não degenerada 4. Pg 0 para toda loteria não degenerada. 54

55 Apêndie Definição: Coefiiente de aversão ao riso absoluto. O oefiiente de aversão ao riso absoluto de Arrow-Pratt da utilidade U no nível de riqueza w é definido omo: R a w u u '' ' w w 55

56 Apêndie Definição: Coefiiente de aversão ao riso relativo. O oefiiente de aversão ao riso relativo de Arrow-Pratt da utilidade U no nível de riqueza w é definido omo: R R w w u u '' ' w w 56

57 Apêndie Exemplo: u w w Dada a loteria g0.210, alule o valor esperado, o equivalente de erteza o prêmio de riso e verifique o perfil do indivíduo em relação ao riso. 57

58 Apêndie Exemplo: E g n i 1 p i a i UE UE g ECg ECg UEg ECg

59 Apêndie Exemplo: P g E g ECg u ' 0.5w 0.5 u '' 0.25w R a w 0.5w w 0. 5 R R Veja que omo a utilidade é ônava o indivíduo é avesso ao riso. Os oefiientes de Arrow-Pratt são positivos. 59

60 Referênias JEHLE, G.; RENY, P. Advaned Miroeonomi Theory. 3.ed. Pearson, VARIAN, H. R. Miroeomia, prinípios básios. 8.ed. São Paulo : Campus,