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1 RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Estruturas Lógicas. Lógica de Argumentação, negação de proposições, implicação lógica. Diagramas Lógicos. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático. Problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; números e grandezas direta e indiretamente proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem. Sistemas de medidas de comprimento, perímetro, área, volume, temperatura, massa e tempo. Princípios de contagem e noção de probabilidade. Equações do primeiro e segundo graus. Geometria básica. Noções de estatística; médias e leitura de gráficos. TEORIA DOS CONJUNTOS CONJUNTO Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos: {,, } {,,,,, } {x : x é um número inteiro tal que 0<x<4} Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto. É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro, não importando a quantidade e nem a ordem das ocorrências dos elementos. Conceitos essenciais Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas; Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas; Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto; Pertence ou não pertence Se é um elemento de, nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever. Se não é um elemento de, nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto podemos escrever.. Conceitos primitivos Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos são noções que adotamos sem definição. Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto, o de elemento e o de pertinência de um elemento a um conjunto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: determinado elemento pertence a um conjunto, sem que tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que significa dizer que um elemento pertence ou não a um conjunto. Notação Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação: os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C,... ; os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, x, y,... ; o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é indicado com x C; o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto C é indicado y C.. Representação dos conjuntos Um conjunto pode ser representado de três maneiras: por enumeração de seus elementos; por descrição de uma propriedade característica do conjunto; através de uma representação gráfica. Um conjunto é representado por enumeração quando todos os seus elementos são indicados e colocados dentro de um par de chaves. Exemplo: a) A = ( 0; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado pelos algarismos do nosso sistema de numeração. b) B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z ) indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. c) Quando um conjunto possui número elevado de elementos, porém apresenta lei de formação bem clara, e

2 podemos representa-lo, por enumeração, indicando os primeiros e os últimos elementos, intercalados por reticências. Assim: C = ( ; 4; 6;... ; 98 ) indica o conjunto dos números pares positivos, menores do que00. d) Ainda usando reticências, podemos representar, por enumeração, conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formação bem clara, como os seguintes: D = ( 0; ; ; ;... ) indica o conjunto dos números inteiros não negativos; E = (... ; -; -; 0; ; ;... ) indica o conjunto dos números inteiros; F = ( ; ; 5; 7;... ) indica o conjunto dos números ímpares positivos. A representação de um conjunto por meio da descrição de uma propriedade característica é mais sintética que sua representação por enumeração. Neste caso, um conjunto C, de elementos x, será representado da seguinte maneira: C = { x x possui uma determinada propriedade } que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui uma determinada propriedade: Exemplos O conjunto A = { 0; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser representado por descrição da seguinte maneira: A = { x x é algarismo do nosso sistema de numeração } O conjunto G = { a; e; i; o, u } pode ser representado por descrição da seguinte maneira G = { x x é vogal do nosso alfabeto } O conjunto H = { ; 4; 6; 8;... } pode ser representado por descrição da seguinte maneira: H = { x x é par positivo } A representação gráfica de um conjunto é bastante cômoda. Através dela, os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma linha fechada que não se entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que não pertencem ao conjunto. Por esse tipo de representação gráfica, chamada diagrama de Euler-Venn, percebemos que x C, y C, z C; e que a C, b C, c C, d C. 4 Número de elementos de um conjunto Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de elementos deste conjunto, e indicamos com n(c), ao número de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto. Exemplos a) O conjunto A = { a; e; i; o; u } é tal que n(a) = 5. b) O conjunto B = { 0; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } é tal que n(b) = 0. c) O conjunto C = ( ; ; ; 4;... ; 99 ) é tal que n (C) = Conjunto unitário e conjunto vazio Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que n (C) =. Exemplo: C = ( ) E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(c) = 0. Exemplo: M = { x x = -5} O conjunto vazio é representado por { } ou por. Exercício resolvido Determine o número de elementos dos seguintes com juntos : a) A = { x x é letra da palavra amor } b) B = { x x é letra da palavra alegria } c) c é o conjunto esquematizado a seguir d) D = ( ; 4; 6;... ; 98 ) e) E é o conjunto dos pontos comuns às relas r e s, esquematizadas a seguir : Exemplo Resolução a) n(a) = 4 b) n(b) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir dote letras, possui apenas seis letras distintas entre si. c) n(c) =, pois há dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C d) observe que: =. é o º par positivo 4 =. é o par positivo 6 =. é o º par positivo

3 8 =. 4 é o 4º par positivo =. 49 é o 49º par positivo logo: n(d) = 49 e) As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto comum. Logo, n( E ) =, e o conjunto E é, portanto, unitário. 6 igualdade de conjuntos Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e indicaremos com A = 8, se ambos possuírem os mesmos elementos. Quando isto não ocorrer, diremos que os conjuntos são diferentes e indicaremos com A B. Exemplos. a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u} b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a} c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u} d) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o} e) { x x = 00} = {0; -0} f) { x x = 400} {0} 7 Subconjuntos de um conjunto Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento, que pertencer a A, também pertencer a B. Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o conjunto A estará "totalmente dentro" do conjunto B : Indicamos que A é um subconjunto de B de duas maneiras: Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos, então este conjunto terá n subconjuntos. Exemplo O conjunto C = {; } possui dois elementos; logo, ele terá = 4 subconjuntos. Exercício resolvido:. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = (a; e; i; o; u ). Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o número dos seus subconjuntos será 5 =. Exercícios propostas:. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = { 0; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } Resposta: 04. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = ; ; ; ; ; Resposta: B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS União de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião de A com B, e indicamos com A B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a interseção dos conjuntos, temos: a) A B; que deve ser lido : A é subconjunto de B ou A está contido em B ou A é parte de B; b) B A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A. Exemplo Sejam os conjuntos A = {x x é mineiro} e B = { x x é brasileiro} ; temos então que A B e que B A. Observações: Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A B ou B A. Admitiremos que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. 8 Número de subconjuntos de um conjunto dado Exemplos a) {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e} b) {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d} c) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c} Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de A com B, e indicamos com A B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e a B. Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a intersecção dos conjuntos, temos:

4 Exemplos a) {a;b;c} {d;e} = b) {a;b;c} {b;c,d} = {b;c} c) {a;b;c} {a;c} = {a;c} Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no exemplo a, dizemos que os conjuntos são disjuntos. Exercícios resolvidos. Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t ), determinar os seguintes conjuntos: a) A B f) B C b) A B g) A B C c) A C h) A B C d) A C i) (A B) U (A C) e) B C Resolução a) A B = {x; y; z; w; v } b) A B = {x } c) A C = {x; y;z; u; t } d) A C = {y } e) B C={x;w;v;y;u;t} f) B C= g) A B C= {x;y;z;w;v;u;t} h) A B C= i) (A B) u (A C)={x} {y}={x;y}. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: : a) A B C b) (A B) (A C). No diagrama seguinte temos: n(a) = 0 n(b) = 0 n(a B) = 5 Determine n(a B). Resolução Se juntarmos, aos 0 elementos de A, os 0 elementos de B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; teremos então: n(a B) = n(a) + n(b) - n(a B) ou seja: n(a B) = e então: n(a B) = Conjunto complementar Dados dois conjuntos A e B, com B A, chamamos de conjunto complementar de B em relação a A, e indicamos com C A B, ao conjunto A - B. Observação: O complementar é um caso particular de diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do primeiro..resolução Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o complementar de B em relação a A, temos: 4

5 Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f} Observação: O conjunto complementar de B em relação a A é formado pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto é, para B se igualar a A. Exercícios resolvidos: 4. Sendo A = { x; y; z }, B = { x; w; v } e C = { y; u; t }, determinar os seguintes conjuntos: A B B A A C Resolução a) A - B = { y; z } b) B - A= {w;v} c) A - C= {x;z} d) C A = {u;t} e) B C = {x;w;v} f) C B = {y;u;t} C - A B C C B Exemplos de conjuntos compostos por números Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente). 4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto. 5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto. 6. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x + r = 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto. 7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários:. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo usualmente representa este conjunto. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS. Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo: A = {5, 7, -} Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves. Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra. Vamos começar nos primórdios da matemática. - Se eu pedisse para você contar até 0, o que você me diria? - Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez. Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra. Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades. *Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto: N = {0,,,, 4, 5, 6, 7,...} Obs.: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo: N* = {,,, 4, 5, 6,...} Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas. 5 Com isso inventou-se os chamados "números nega-

6 tivos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra. O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos. Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim). Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS. Z* = {..., -, -,,,...} Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS. Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo: Z + = {0,,,, 4, 5,...} Obs.: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO. Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto. Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos: Z* + = {,,, 4, 5,...} Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo. Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com: Z - ={...,- 4, -, -, -, 0} Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui i- nício. E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero): Z* - ={...,- 4, -, -, -} Assim: Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: 6 N = {0,,,,4,5,6,7,8,9,0,...} N* = {,,,4,5,6,7,8,9,0,,...} Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -, -, -, 0,,,, 4,...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z + : Z + = {0,,,,4,5,6,...} - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z - : Z - = {..., -5, -4, -, -, -, 0} - Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z + excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z* + : Z* + = {,,, 4, 5, 6, 7,...} Z* + = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z - excluindo o zero. Representa-se por Z* -. Z* - = {... -4, -, -, -} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 74,84) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como ", ", são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q. Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale, Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de (,445...) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

7 Representação geométrica de A cada ponto de uma reta podemos associar um ú- nico número real, e a cada número real podemos associar um único ponto na reta. Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois números reais existem infinitos números reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois números reais, existem infinitos pontos). Veja a representação na reta de : Fonte: CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Veja a operação: + = 5. A operação efetuada chama-se adição e é indicada escrevendo-se o sinal + (lê-se: mais") entre os números. Os números e são chamados parcelas. 0 número 5, resultado da operação, é chamado soma. parcela + parcela 5 soma A adição de três ou mais parcelas pode ser efetuada adicionando-se o terceiro número à soma dos dois primeiros ; o quarto número à soma dos três primeiros e assim por diante = = Veja agora outra operação: 7 = 4 Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, realizamos a operação de subtração, que indicamos pelo sinal -. 7 minuendo subtraendo 4 resto ou diferença 0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o subconjunto que se tira e o resto ou diferença o conjunto que sobra. Somando a diferença com o subtraendo obtemos o minuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtração. 4 + = 7 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Para calcular o valor de uma expressão numérica envolvendo adição e subtração, efetuamos essas operações na ordem em que elas aparecem na expressão. Exemplos: = 7 + = 0 Veja outro exemplo: = 8 4 5= 40 5 = 5 Quando uma expressão numérica contiver os sinais de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, procederemos do seguinte modo: º Efetuamos as operações indicadas dentro dos parênteses; º efetuamos as operações indicadas dentro dos colchetes; º efetuamos as operações indicadas dentro das chaves. ) 5 +[ 80 (4 + ) ] = = 5 + [ 80 5] = = = 6 ) 8 + { 7 [ 4 + (5 8 + ) ] } = = 8 + { 7 [ ] } = = 8 + { 7 6} = = = 7 CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO Quando pretendemos determinar um número natural em certos tipos de problemas, procedemos do seguinte modo: - chamamos o número (desconhecido) de x ou qualquer outra incógnita ( letra ) - escrevemos a igualdade correspondente - calculamos o seu valor Exemplos: ) Qual o número que, adicionado a 5, é igual a? Solução: Seja x o número desconhecido. A igualdade correspondente será: x + 5 = Calculando o valor de x temos: x + 5 = x = 5 x = 5 x = 6 Na prática, quando um número passa de um lado para outro da igualdade ele muda de sinal. ) Subtraindo 5 de um certo número obtemos. Qual é esse número? Solução: Seja x o número desconhecido. A igualdade correspondente será: x 5 = x = + 5 x = 6 Passamos o número 5 para o outro lado da igual- 7

8 dade e com isso ele mudou de sinal. ) Qual o número natural que, adicionado a 8, é i- gual a 0? Solução: x + 8 = 0 x = 0 8 x = 4) Determine o número natural do qual, subtraindo 6, obtemos 4. Solução: x 6 = 4 x = x = 05 Para sabermos se o problema está correto é simples, basta substituir o x pelo valor encontrado e realizarmos a operação. No último exemplo temos: x = = 4 Observe: 4 X = MULTIPLICAÇÃO A operação efetuada chama-se multiplicação e é indicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os números. Os números e 4 são chamados fatores. O número, resultado da operação, é chamado produto. X 4 = fatores X 4 produto Por convenção, dizemos que a multiplicação de qualquer número por é igual ao próprio número. A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0. A multiplicação de três ou mais fatores pode ser efetuada multiplicando-se o terceiro número pelo produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo produto dos três primeiros; e assim por diante. x 4 x x 5 = x x 5 4 x 5 = 0 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ) = = = = 0 Não se esqueça: Se na expressão ocorrem sinais de parênteses colchetes e chaves, efetuamos as operações na ordem em que aparecem: º) as que estão dentro dos parênteses º) as que estão dentro dos colchetes º) as que estão dentro das chaves. Exemplo: + { +[ ( ). 7] 8. 9 } = + { + [ ( ) ] 7 } = = + { + [ 84 ] 7 } = = + { } = = + = = 5 DIVISÃO Observe a operação: 0 : 6 = 5 Também podemos representar a divisão das seguintes maneiras: 0 6 ou = 6 O dividendo (D) é o número de elementos do conjunto que dividimos o divisor (d) é o número de elementos do subconjunto pelo qual dividimos o dividendo e o quociente (c) é o número de subconjuntos obtidos com a divisão. Essa divisão é exata e é considerada a operação inversa da multiplicação. SE 0 : 6 = 5, ENTÃO 5 x 6 = 0 observe agora esta outra divisão: 6 5 = dividendo 6 = divisor 5 = quociente = resto Essa divisão não é exata e é chamada divisão aproximada. Sinais de associação O valor das expressões numéricas envolvendo as operações de adição, subtração e multiplicação é obtido do seguinte modo: - efetuamos as multiplicações - efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. ) = = = 4 8 ATENÇÃO: ) Na divisão de números naturais, o quociente é sempre menor ou igual ao dividendo. ) O resto é sempre menor que o divisor. ) O resto não pode ser igual ou maior que o divisor. 4) O resto é sempre da mesma espécie do dividendo. Exemplo: dividindo-se laranjas por certo número, o resto será laranjas. 5) É impossível dividir um número por 0 (zero), porque não existe um número que multiplicado

9 por 0 dê o quociente da divisão. PROBLEMAS ) Determine um número natural que, multiplicado por 7, resulte 8. X. 7 = 8 X = 8 : 7 X = 4 Prova: 4. 7 = 8 ) Determine um número natural que, dividido por 6, resulte 49. x : 6 = 49 x = x = 08 ) Determine um número natural que, adicionado a 5, dê como resultado x + 5 = x = 5 x =7 4) Quanto devemos adicionar a, a fim de obtermos 86? x + = 86 x = 86 x = 74 5) Quanto devemos subtrair de 4 para obtermos 8? 4 x = 8 x = 8 4 x = 5 (multiplicando por ) x = 5 Prova: 4 5 = 8 6) Ricardo pensou em um número natural, adicionou-lhe 5, subtraiu 8 e obteve 40 no resultado. Qual o número pensado? x = 40 x= x = Prova: = 40 7) Adicionando ao dobro de certo número obtemos 7. Qual é esse numero?. x + = 7 x = 7 x = 6 x = 6 : x = O número procurado é. Prova:. + = 7 8) Subtraindo do triplo de certo número obtemos 8. Determinar esse número.. x - = 8 x = 8 + x = 0 x = 0 : x = 0 9) Dividindo 76 por um número natural, encontramos 56. Qual o valor deste numero natural? 9 76 : x = = 56. x 56. x = 76 x. 56 = 76 x = 76 : 56 x = 0) O dobro de um número é igual a 0. Qual é o número?. x = 0 x = 0 x = 0 : x = 5 ) O dobro de um número mais 4 é igual a 0. Qual é o número?. x + 4 = 0 x = 0 4 x = 6 x = 6 : x = 8 ) Paulo e José têm juntos lápis. Paulo tem o dobro dos lápis de José. Quantos lápis tem cada menino? José: x Paulo: x Paulo e José: x + x + x = x = x = : x = 4 José: 4 - Paulo: 8 ) A soma de dois números é 8. Um é o triplo do outro. Quais são esses números? um número: x o outro número: x x + x + x + x = 8 (os dois números) 4 x = 8 x = 8 : 4 x = 7 (um número) x =. 7 = (o outro número). Resposta: 7 e 4) Pedro e Marcelo possuem juntos 0 bolinhas. Marcelo tem 6 bolinhas a mais que Pedro. Quantas bolinhas tem cada um? Pedro: x Marcelo: x + 6 x + x + 6 = 0 ( Marcelo e Pedro) x + 6 = 0 x = 0 6 x = 4 x = 4 : x = (Pedro) Marcelo: x + 6 = + 6 =8 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES Sinais de associação: O valor das expressões numéricas envolvendo as quatro operações é obtido do seguinte modo: - efetuamos as multiplicações e as divisões, na

10 ordem em que aparecem; - efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecem; Exemplo ) : 9 = = = 49 Exemplo ) 8 : : 0 = = : 0 = = + 8 = = 0 = 7 POTENCIAÇÃO Considere a multiplicação:.. em que os três fatores são todos iguais a. Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma (lê-se: dois elevado à terceira potência), em que o é o fator que se repete e o corresponde à quantidade desses fatores. Assim, escrevemos: =.. = 8 ( fatores) A operação realizada chama-se potenciação. O número que se repete chama-se base. O número que indica a quantidade de fatores iguais a base chama-se expoente. O resultado da operação chama-se potência. = 8 expoente base potência Observações: ) os expoentes e recebem os nomes especiais de quadrado e cubo, respectivamente. ) As potências de base 0 são iguais a zero. 0 = 0. 0 = 0 ) As potências de base um são iguais a um. Exemplos: =.. = 5 =.... = 4) Por convenção, tem-se que: - a potência de expoente zero é igual a (a 0 =, a 0) 0 = ; 5 0 = ; 0 = - a potência de expoente um é igual à base (a = a) = ; 7 = 7 ; 00 =00 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS ª) para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. a m. a n = a m + n Exemplos:. 8 = + 8 = = 5 +6 = 5 7 ª) para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. a m : a n = a m - n Exemplos: 7 : = 7 = : 5 8 = = 5 ª) para elevar uma potência a um outro expoente, conserva-se base e multiplicam-se os expoentes. Exemplo: ( ) 4 =. 4 = 8 4ª) para elevar um produto a um expoente, elevase cada fator a esse expoente. (a. b) m = a m. b m Exemplos: (4. 7) = 4. 7 ; (. 5) =. 5 RADICIAÇÃO Suponha que desejemos determinar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x esse número, escrevemos: X = 9 De acordo com a potenciação, temos que x =, ou seja: = 9 A operação que se realiza para determinar esse número é chamada radiciação, que é a operação inversa da potenciação. Indica-se por: 9 = (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a ) Daí, escrevemos: 9 = = Na expressão acima, temos que: - o símbolo chama-se sinal da raiz - o número chama-se índice - o número 9 chama-se radicando - o número chama-se raiz, - o símbolo 9 chama-se radical 9 As raízes recebem denominações de acordo com o índice. Por exemplo: 6 raiz quadrada de 6 5 raiz cúbica de raiz quarta de 8 5 raiz quinta de e assim por diante No caso da raiz quadrada, convencionou-se não escrever o índice. Exemplo : 49 = 49 = 7, pois 7 = 49 EXERCÍCIOS 0) Calcule: a) 0 0 : 5 = b) 45 : = c) : 0 = d) 9. 7 = e) 0 : = f) : 4 = g) 6 : 9. = h) 56 4 : 7. 9 = i). 5 : :8 = j) 4 : = Respostas: 0

11 a) 8 c) 4 e) g) i) 8 b) d) 60 f) 76 h) 8 j) 0) Calcule o valor das expressões: a) + = b). 5 7 = c). 4. = d) = e) ( + ) : 5 = f) ( : 4) = Respostas: a) 7 c) e) 4 b) 6 d) 0 f) 0) Uma indústria de automóveis produz, por dia, 70 unidades. Se cada veículo comporta 5 pneus, quantos pneus serão utilizados ao final de 0 dias? (Resposta: ) 04) Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é e o resto é 5. Qual é o dividendo? () 05) Numa divisão, o dividendo é 7, o divisor é 5 e o resto é. Qual é o quociente? (5) 06) Numa divisão, o dividendo é 0, o quociente é 45 e o resto é 5. Qual é o divisor? (7) 07) Num divisão, o dividendo é 65, o divisor é 5 e o quociente é 5. Qual ê o resto? (0) 08) Numa chácara havia galinhas e cabras em igual quantidade. Sabendo-se que o total de pés desses animais era 90, qual o número de galinhas? Resposta: 5 ( pés + 4 pés = 6 pés ; 90 : 6 = 5). 09) O dobro de um número adicionado a é igual a. Calcule o número.(5) 0) Subtraindo do quádruplo de um número obtemos 60. Qual é esse número (Resp: 8) ) Num joguinho de "pega-varetas", André e Renato fizeram 5 pontos no total. Renato fez 5 pontos a mais que André. Quantos pontos fez cada um? ( André-9 e Renato-4) ) Subtraindo 5 do triplo de um número obtemos 9. Qual é o número? (8) ) Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a amigos. No final sobraram. Quantas balas coube a cada um? (6) 4) A diferença entre dois números naturais é zero e a sua soma é 0. Quais são esses números? (5) 5) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que a- certa e perde pontos por exercício que erra. Ao final de 50 exercícios tinha 0 pontos. Quantos exercícios acertou? (5) 6) Um edifício tem 5 andares; cada andar, 0 salas; cada sala, mesas; cada mesa, gavetas; cada gaveta, chave. Quantas chaves diferentes serão necessárias para abrir todas as gavetas? (700). 7) Se eu tivesse dúzias de balas a mais do que tenho, daria 5 e ficaria com 00. Quantas balas tenho realmente? (69) 8) A soma de dois números é 48 e a diferença entre eles é 4. Qual é o número maior? () 9) Pensei num número e juntei a ele 5, obtendo. Qual é o número? (6) 0) Qual o número que multiplicado por 7 resulta 56? (8) ) O dobro das balas que possuo mais 0 é 6. Quantas balas possuo? (). ) Raul e Luís pescaram 8 peixinhos. Raul pescou o dobro de Luís. Quanto pescou cada um? (Raul- e Luís-6) PROBLEMAS Vamos calcular o valor de x nos mais diversos casos: ) x + 4 = 0 Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da adição: x = 0 4 x = 6 ) 5x = 0 Aplicando a operação inversa da multiplicação, temos: x = 0 : 5 x = 4 ) x 5 = 0 Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da subtração: x = x =5 4) x : = 4 Aplicando a operação inversa da divisão, temos: x = 4. x = 8 COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PROBLEMA Usando a letra x para representar um número, podemos expressar, em linguagem matemática, fatos e sentenças da linguagem corrente referentes a esse

12 número, observe: - duas vezes o número. x - o número mais x + - a metade do número - a soma do dobro com a metade do número x x + - a quarta parte do número PROBLEMA Vera e Paula têm juntas R$.080,00. Vera tem o triplo do que tem Paula. Quanto tem cada uma? Solução: x + x = 080 4x= 080 x =080 : 4 x= = 80 Resposta: Vera R$ 80,00 e Paula R$ 70,00 PROBLEMA Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta. Pagou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada um, sabendo-se que a computador é seis vezes mais caro que a bicicleta? Solução: x + 6x = x = 5600 x = 5600 : 7 x = = 4800 R: computador R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00 PROBLEMA Repartir cadernos entre José e suas duas irmãs, de modo que cada menina receba o triplo do que recebe José. Quantos cadernos receberá José? Solução: x + x + x = 7x = x = : 7 x = Resposta: cadernos PROBLEMA 4 Repartir R$.00,00 entre três irmãos de modo que o º receba o dobro do que recebe o º, e o º o dobro do que recebe o º. Quanto receberá cada um? Solução: x + x + 4x = 00 7x = 00 x = 00 : 7 x = = =00 Resposta: R$ 00,00; R$ 600,00; R$ 00,00 PROBLEMA 5 A soma das idades de duas pessoas é 40 anos. A x x 4 idade de uma é o triplo da idade da outra. Qual a i- dade de cada uma? Solução: x + x = 40 4x = 40 x = 40 : 4 x = 0. 0 = 0 Resposta: 0 e 0 anos. PROBLEMA 6 A soma das nossas idades é 45 anos. Eu sou 5 a- nos mais velho que você. Quantos anos eu tenho? x + x + 5 = 45 x + x= 45 5 x = 40 x = = 5 Resposta: 5 anos PROBLEMA 7 Sua bola custou R$ 0,00 menos que a minha. Quanto pagamos por elas, se ambas custaram R$ 50,00? Solução: x + x 0= 50 x = x = 60 x = 60 : x = = 70 Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00 PROBLEMA 8 José tem o dobro do que tem Sérgio, e Paulo tanto quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada um, se os três juntos possuem R$ 64,00? Solução: x + x + x + x = 64 6x = 64 x = 64 : 6 x = 04 Resposta:S-R$ 04,00; J-R$ 08,00; P- R$,00 PROBLEMA 9 Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia dar a você 7 rosas e ainda ficaria com. Quantas rosas tenho? Solução: x = x + 4 = 7 + x + 4 = 9 x = 9 4 x = 5 Resposta: 5 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N = {0,,,, 4, 5,...,} Assim, os números precedidos do sinal + chamamse positivos, e os precedidos de - são negativos. Exemplos: Números inteiros positivos: {+, +, +, +4,...}

13 Números inteiros negativos: {-, -, -, -4,...} O conjunto dos números inteiros relativos é formado pelos números inteiros positivos, pelo zero e pelos números inteiros negativos. Também o chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS e o representamos pela letra Z, isto é: Z = {..., -, -, -, 0, +, +, +,... } O zero não é um número positivo nem negativo. Todo número positivo é escrito sem o seu sinal positivo. Exemplo: + = ; +0 = 0 Então, podemos escrever: Z = {..., -, -, -, 0,,,,...} N é um subconjunto de Z. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Cada número inteiro pode ser representado por um ponto sobre uma reta. Por exemplo: C B A 0 A B C D... Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o número zero. Nas representações geométricas, temos à direita do zero os números inteiros positivos, e à esquerda do zero, os números inteiros negativos. Observando a figura anterior, vemos que cada ponto é a representação geométrica de um número inteiro. Exemplos: ponto C é a representação geométrica do número + ponto B' é a representação geométrica do número - ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS ) A soma de zero com um número inteiro é o próprio número inteiro: 0 + (-) = - ) A soma de dois números inteiros positivos é um número inteiro positivo igual à soma dos módulos dos números dados: (+700) + (+00) = +900 ) A soma de dois números inteiros negativos é um número inteiro negativo igual à soma dos módulos dos números dados: (-) + (-4) = -6 4) A soma de dois números inteiros de sinais contrários é igual à diferença dos módulos, e o sinal é o da parcela de maior módulo: (-800) + (+00) = -500 ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS A soma de três ou mais números inteiros é efetuada adicionando-se todos os números positivos e todos os negativos e, em seguida, efetuando-se a soma do número negativo. Exemplos: ) (+6) + (+) + (-6) + (-5) + (+8) = (+7) + (-) = +6 ) (+) + (-4) + (+) + (-8) = (+5) + (-) = -7 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO A adição de números inteiros possui as seguintes propriedades: ª) FECHAMENTO A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro: (-) + (+6) = + Z ª) ASSOCIATIVA Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: a + (b + c) = (a + b) + c Exemplo:(+) +[(-4) + (+)] = [(+) + (-4)] + (+) (+) + (-) = (-) + (+) + = + ª) ELEMENTO NEUTRO Se a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a e 0 + a = a Isto significa que o zero é elemento neutro para a adição. Exemplo: (+) + 0 = + e 0 + (+) = + 4ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO Se a é um número inteiro qualquer, existe um único número oposto ou simétrico representado por (-a), tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a) Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0 5ª) COMUTATIVA Se a e b são números inteiros, então: a + b = b + a Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4) - = - SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Em certo local, a temperatura passou de -ºC para 5ºC, sofrendo, portanto, um aumento de 8ºC, aumento esse que pode ser representado por: (+5) - (-) = (+5) + (+) = +8 Portanto: A diferença entre dois números dados numa certa ordem é a soma do primeiro com o oposto do segundo. Exemplos: ) (+6) - (+) = (+6) + (- ) = +4 ) (-8 ) - (- ) = (-8 ) + (+) = -7 ) (-5 ) - (+) = (-5 ) + (- ) = -7 Na prática, efetuamos diretamente a subtração, eliminando os parênteses - (+4 ) = -4 - ( -4 ) = +4 Observação: Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais podem ser resumidos do seguinte modo: ( + ) = + + ( - ) = -

14 - ( + ) = - - ( - ) = + Exemplos: - ( -) = + +(-6 ) = -6 - (+) = - +(+) = + PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO A subtração possui uma propriedade. FECHAMENTO: A diferença de dois números inteiros é sempre um número inteiro. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS Lembremos que:. = + + = 6 Exemplo: (+). (+) =. (+) = (+) + (+) + (+) = +6 Logo: (+). (+) = +6 Observando essa igualdade, concluímos: na multiplicação de números inteiros, temos: (+). (+) =+ º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É NEGATIVO Exemplos: ) (+). (-4) =. (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = - ou seja: (+). (-4) = - ) Lembremos que: -(+) = - (-). (+5) = - (+). (+5) = -(+5) = - 5 ou seja: (-). (+5) = -5 Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( + ). ( - ) = - ( - ). ( + ) = - Exemplos : (+5). (-0) = -50 (+). (-8) = -8 (- ). (+6 ) = - (-7). (+) = -7 º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS IN- TEIROS NEGATIVOS Exemplo: (-). (-6) = -(+). (-6) = -(-8) = +8 isto é: (-). (-6) = +8 Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( - ). ( - ) = + Exemplos: (-4). (-) = +8 (-5). (-4) = +0 As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser resumidas na seguinte: ( + ). ( + ) = + ( + ). ( - ) = - ( - ). ( - ) = + ( - ). ( + ) = - Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é i- gual a 0: (+5). 0 = 0 PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS IN- TEIROS Exemplos: ) (+5 ). ( -4 ). (- ). (+ ) = (-0). (- ). (+ ) = (+40). (+ ) = +0 ) (- ). ( - ). (+ ). (- ) = 4 (+ ). (+ ). (- ) = (+6 ). (- ) = - Podemos concluir que: - Quando o número de fatores negativos é par, o produto sempre é positivo. - Quando o número de fatores negativos é ímpar, o produto sempre é negativo. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO No conjunto Z dos números inteiros são válidas as seguintes propriedades: ª) FECHAMENTO Exemplo: (+4 ). (- ) = - 8 Z Então o produto de dois números inteiros é inteiro. ª) ASSOCIATIVA Exemplo: (+ ). (- ). (+4 ) Este cálculo pode ser feito diretamente, mas também podemos fazê-lo, agrupando os fatores de duas maneiras: (+ ). [(- ). (+4 )] = [(+ ). ( - )]. (+4 ) (+ ). (-) = (-6 ). (+4 ) -4 = -4 De modo geral, temos o seguinte: Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, então: a. (b. c) = (a. b). c ª) ELEMENTO NEUTRO Observe que: (+4 ). (+ ) = +4 e (+ ). (+4 ) = +4 Qualquer que seja o número inteiro a, temos: a. (+ ) = a e (+ ). a = a O número inteiro + chama-se neutro para a multiplicação. 4ª) COMUTATIVA Observemos que: (+). (-4 ) = - 8 e (-4 ). (+ ) = - 8 Portanto: (+ ). (-4 ) = (-4 ). (+ ) Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a. b = b. a, isto é, a ordem dos fatores não altera o produto. 5ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E À SUBTRAÇÃO Observe os exemplos: (+ ). [( -5 ) + (+ )] = (+ ). ( -5 ) + (+ ). (+ ) (+4 ). [( - ) - (+8 )] = (+4 ). ( - ) - (+4 ). (+8 ) Conclusão: Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, temos: a) a. [b + c] = a. b + a. c A igualdade acima é conhecida como propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. b) a. [b c] = a. b - a. c A igualdade acima é conhecida como propriedade distributiva da multiplicação em relação à sub-

15 tração. DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS CONCEITO Dividir (+6) por é achar um número que, multiplicado por, dê 6. 6 : =?. (? ) = 6 O número procurado é 8. Analogamente, temos: ) (+) : (+ ) = +4 porque (+4 ). (+ ) = + ) (+) : ( - ) = - 4 porque (- 4 ). ( - ) = + ) ( -) : (+ ) = - 4 porque (- 4 ). (+ ) = - 4) ( -) : ( - ) = +4 porque (+4 ). ( - ) = - A divisão de números inteiros só pode ser realizada quando o quociente é um número inteiro, ou seja, quando o dividendo é múltiplo do divisor. Portanto, o quociente deve ser um número inteiro. Exemplos: ( -8 ) : (+ ) = -4 ( -4 ) : (+ ) = não é um número inteiro Lembramos que a regra dos sinais para a divisão é a mesma que vimos para a multiplicação: ( + ) : ( + ) = + ( + ) : ( - ) = - ( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = - Exemplos: ( +8 ) : ( - ) = -4 (-0) : ( -5 ) = + (+ ) : ( - ) = - (-) : (+ ) = -4 PROPRIEDADE Como vimos: (+4 ) : (+ ) Z Portanto, não vale em Z a propriedade do fechamento para a divisão. Alem disso, também não são válidas as proposições associativa, comutativa e do elemento neutro. POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS CONCEITO A notação (+ ) = (+ ). (+ ). (+ ) é um produto de três fatores iguais Analogamente: ( - ) 4 = ( - ). ( - ). ( - ). ( - ) é um produto de quatro fatores iguais Portanto potência é um produto de fatores iguais. Na potência (+5 ) = +5, temos: base expoente potência Observacões : (+ ) significa +, isto é, (+ ) = + ( - ) significa -, isto é, ( - ) = - CÁLCULOS O EXPOENTE É PAR Calcular as potências ) (+ ) 4 = (+ ). (+ ). (+ ). (+ ) = +6 isto é, (+) 4 = +6 ) ( - ) 4 = ( - ). ( - ). ( - ). ( - ) = +6 isto é, (- ) 4 = +6 Observamos que: (+) 4 = +6 e (-) 4 = +6 Então, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo. Outros exemplos: (-) 6 = + (+) = +9 O EXPOENTE É ÍMPAR Calcular as potências: ) (+ ) = (+ ). (+ ). (+ ) = +8 isto é, (+) = + 8 ) ( - ) = ( - ). ( - ). ( - ) = -8 ou seja, (-) = -8 Observamos que: (+ ) = +8 e ( - ) = -8 Daí, a regra: Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base. Outros exemplos: (- ) = - 7 (+) 4 = +6 PROPRIEDADES PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+ ). (+ ) = (+ ) + = (+ ) 5 ( - ). ( - ). ( - ) 5 = ( - ) = ( - ) 0 Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE (+ ) 5 : (+ ) = (+ ) 5- = (+ ) ( - ) 7 : ( - ) = ( - ) 7- = ( - ) 4 Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes. POTÊNCIA DE POTÊNCIA [( -4 ) ] 5 = ( -4 ). 5 = ( -4 ) 5 Para calcular uma potência de potência, conservamos a base da primeira potência e multiplicamos os expoentes. POTÊNCIA DE UM PRODUTO [( - ). (+ ). ( -5 )] 4 = ( - ) 4. (+ ) 4. ( -5 ) 4 Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n. 5

16 POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO (+ ) 5 : (+ ) 5 = (+ ) 5-5 = (+ ) 0 e (+ ) 5 : (+ ) 5 = Consequentemente: (+ ) 0 = ( -4 ) 0 = Qualquer potência de expoente zero é igual a. Observação: Não confundir - com ( - ), porque - significa -( ) e portanto - = -( ) = -9 enquanto que: ( - ) = ( - ). ( - ) = +9 Logo: - ( - ) CÁLCULOS O EXPOENTE É PAR Calcular as potências (+ ) 4 = (+ ). (+ ). (+ ). (+ ) = +6 isto é, (+) 4 = +6 ( - ) 4 = ( - ). ( - ). ( - ). ( - ) = +6 isto é, (- ) 4 = +6 Observamos que: (+) 4 = +6 e (-) 4 = +6 Então, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo. Outros exemplos: (-) 6 = + (+) = +9 O EXPOENTE É ÍMPAR Exemplos: Calcular as potências: ) (+ ) = (+ ). (+ ). (+ ) = +8 isto é, (+) = + 8 ) ( - ) = ( - ). ( - ). ( - ) = -8 ou seja, (-) = -8 Observamos que: (+ ) = +8 e ( - ) = -8 Daí, a regra: Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base. Outros exemplos: (- ) = - 7 (+) 4 = +6 PROPRIEDADES PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+ ). (+ ) = (+ ) + = (+ ) 5 ( - ). ( - ). ( - ) 5 = ( - ) = ( - ) 0 Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE (+ ) 5 : (+ ) = (+ ) 5- = (+ ) ( - ) 7 : ( - ) = ( - ) 7- = ( - ) 4 Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes. POTÊNCIA DE POTÊNCIA 6 [( -4 ) ] 5 = ( -4 ). 5 = ( -4 ) 5 Para calcular uma potência de potência, conservamos a base da primeira potência e multiplicamos os expoentes. POTÊNCIA DE UM PRODUTO [( - ). (+ ). ( -5 )] 4 = ( - ) 4. (+ ) 4. ( -5 ) 4 Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n. POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO (+ ) 5 : (+ ) 5 = (+ ) 5-5 = (+ ) 0 e (+ ) 5 : (+ ) 5 = Consequentemente: (+ ) 0 = ( -4 ) 0 = Qualquer potência de expoente zero é igual a. Observação: Não confundir- com (-), porque - significa -( ) e portanto: - = -( ) = -9 enquanto que: ( - ) = ( - ). ( - ) = +9 Logo: - ( - ) NÚMEROS PARES E ÍMPARES Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos definir números pares e ímpares de acordo com a concepção pitagórica: par é o número que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação com à natureza dos números: número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o número, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par,. Para exemplificar o texto acima, considere o número 0, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas também como a soma de 7 e (que são ambos ímpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são pares); mas nunca como a soma de um número par e outro ímpar. Já o número, que é ímpar pode ser escrito como soma de 8 e, um par e um ímpar. Atualmente, definimos números pares como sendo o número que ao ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares aqueles que ao serem divididos por dois têm resto diferente de zero. Por exemplo, dividido por têm resto zero, portanto é par. Já o número ao ser dividido por deixa resto, portanto é ímpar. MÚLTIPLOS E DIVISORES DIVISIBILIDADE Um número é divisível por quando termina em 0,, 4, 6 ou 8. Ex.: O número 74 é divisível por, pois termina em 4.

17 Um número é divisível por quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é um número divisível por. Ex.: é divisível por, pois ++ = 6 e 6 é divisível por Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O número 0 é divisível por 5, pois termina em 0. Um número é divisível por 0 quando o algarismo das unidades é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O número 500 é divisível por 0, pois termina em 0. NÚMEROS PRIMOS Um número natural é primo quando é divisível apenas por dois números distintos: ele próprio e o. Exemplos: O número é primo, pois é divisível apenas por dois números diferentes: ele próprio e o. O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois números distintos: ele próprio e o. O número natural que é divisível por mais de dois números diferentes é chamado composto. O número 4 é composto, pois é divisível por,, 4. O número não é primo nem composto, pois é divisível apenas por um número (ele mesmo). O número é o único número par primo. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS (FATORA- ÇÃO) Um número composto pode ser escrito sob a forma de um produto de fatores primos. Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma: 60 =... 5 =.. 5 que é chamada de forma fatorada. Para escrever um número na forma fatorada, devemos decompor esse número em fatores primos, procedendo do seguinte modo: Dividimos o número considerado pelo menor número primo possível de modo que a divisão seja exata. Dividimos o quociente obtido pelo menor número primo possível. Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor número primo possível, até que se obtenha o quociente. Exemplo: Portanto: 60 = Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à direita do número e, à direita dessa barra, escrever os divisores primos; abaixo do número escrevem-se os quocientes obtidos. A decomposição em fatores primos estará terminada quando o último quociente for igual a. Exemplo: Logo: 60 = DIVISORES DE UM NÚMERO Consideremos o número e vamos determinar todos os seus divisores Uma maneira de obter esse resultado é escrever os números naturais de a e verificar se cada um é ou não divisor de, assinalando os divisores = = = = = == Indicando por D() (lê-se: "D de ) o conjunto dos divisores do número, temos: D () = {,,, 4, 6, } Na prática, a maneira mais usada é a seguinte: º) Decompomos em fatores primos o número considerado. 6 º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores primos e, à sua direita e acima, escrevemos o numero que é divisor de todos os números. 6 º) Multiplicamos o fator primo pelo divisor e escrevemos o produto obtido na linha correspondente. x 6 4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos divisores já obtidos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem repeti-los. 6 6 x 4 x 4, 6,

18 Os números obtidos à direita dos fatores primos são os divisores do número considerado. Portanto: D() = {,, 4,, 6, } Exemplos: ) ) , 6 9, 8, 6 5, 0, 5, 0 D(8) = {,,, 6, 9, 8} D(0) = {,,, 5, 6, 0, 5, 0} MÁXIMO DIVISOR COMUM Recebe o nome de máximo divisor comum de dois ou mais números o maior dos divisores comuns a esses números. Um método prático para o cálculo do M.D.C. de dois números é o chamado método das divisões sucessivas (ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas seguintes: ª) Divide-se o maior dos números pelo menor. Se a divisão for exata, o M.D.C. entre esses números é o menor deles. ª) Se a divisão não for exata, divide-se o divisor (o menor dos dois números) pelo resto obtido na divisão anterior, e, assim, sucessivamente, até se obter resto zero. 0 ultimo divisor, assim determinado, será o M.D.C. dos números considerados. Exemplo: Calcular o M.D.C. (4, ) Resposta: M.D.C. (4, ) = 8 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números o menor dos múltiplos (diferente de zero) comuns a esses números. O processo prático para o cálculo do M.M.C de dois ou mais números, chamado de decomposição em fatores primos, consiste das seguintes etapas: º) Decompõem-se em fatores primos os números apresentados. º) Determina-se o produto entre os fatores primos comuns e não-comuns com seus maiores expoentes. Esse produto é o M.M.C procurado. 8 Exemplos: Calcular o M.M.C (, 8) Decompondo em fatores primos esses números, temos: =. 8 =. Resposta: M.M.C (, 8) =. = 6 Observação: Esse processo prático costuma ser simplificado fazendo-se uma decomposição simultânea dos números. Para isso, escrevem-se os números, um ao lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da barra vertical, colocada após o último número, escrevemse os fatores primos comuns e não-comuns. 0 calculo estará terminado quando a última linha do dispositivo for composta somente pelo número. O M.M.C dos números apresentados será o produto dos fatores. Exemplo: Calcular o M.M.C (6, 48, 60) 6, 48, 60 8, 4, 0 9,, 5 9, 6, 5 9,, 5,, 5, 5 5,, Resposta: M.M.C (6, 48, 60) = = 70 RAÍZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS CONCEITO Consideremos o seguinte problema: Descobrir os números inteiros cujo quadrado é +5. Solução: (+5 ) = +5 e ( -5 ) =+5 Resposta: +5 e -5 Os números +5 e -5 chamam-se raízes quadradas de +5. Outros exemplos: Número Raízes quadradas +9 + e e e e e e e -6 O símbolo 5 significa a raiz quadrada de 5, isto é 5 = +5 Como 5 = +5, então: 5 = 5 Agora, consideremos este problema. Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é - 5?

19 Solução: (+5 ) = +5 e (-5 ) = +5 Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado seja -5, isto é, 5 não existe no conjunto Z dos números inteiros. Conclusão: os números inteiros positivos têm, como raiz quadrada, um número positivo, os números inteiros negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z dos números inteiros. RADICIAÇÃO A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que a n = b. 5 = 5 índice radicando pois 5 = raiz radical Outros exemplos : 8 = - pois ( - ) = -8 8 = pois = 8 PROPRIEDADES (para a 0, b 0) ª) ª) ª) m n a a n = m: p n: p a = 5 0 n n b = a b 6 = n n n a : b = a : n b 4 5 = m m n 5 4ª) ( a ) = a ( x ) = x 5ª) m n a n n b = a a = b = m n a 6 5 = EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS IN- TEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES Para calcular o valor de uma expressão numérica com números inteiros, procedemos por etapas. ª ETAPA: a) efetuamos o que está entre parênteses ( ) b) eliminamos os parênteses ª ETAPA: a) efetuamos o que está entre colchetes [ ] b) eliminamos os colchetes º ETAPA: a) efetuamos o que está entre chaves { } b) eliminamos as chaves Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem: ª) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem. ª) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem. ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem. Exemplos: ) + 7. (- + 4) = + 7. (+) = + 7 = 9 ) (- ) + (- ) : (+ ) = -+ (+4) : (+ ) = - + (+ ) = - + = + ) -(-4 +) [-( +)] = -(-) - [-4 ] = = 7 4) ( - ) +. ( - ) ( -4 ) +. ( - 4 ) + 4 = -. (+6) +. (- 64) + 4 = = = ) (-88) : (-) - (-5) : ( -5 ) = (-88) : (+44) - (-5) : (+5) = (- ) - (- 5 ) = = + 6) (-0-8) : (+6 ) - (-5) : (- + 7 ) = (-8) : (+6 ) - (-5) : (+5 ) = - - (- 5) = = + 7) 5 : (+5) - (-4 ) : 4 - = -5 : (+5) - (+6) : 6 - = - - (+) = - - = - 8). ( - ) + (-40) : (+) - =. (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 = +8 + (-5) - 4 = = +9 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) Os números racionais são representados por um numeral em forma de fração ou razão, a b, sendo a e b números naturais, com a condição de b ser diferente de zero.. NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado (a, b) de números naturais, sendo b 0, corresponde a um número fracionário.o termo a chama-se numerador e o termo b denominador. b. TODO NÚMERO NATURAL pode ser representado por uma fração de denominador. Logo, é possível reunir tanto os números naturais como os fracionários num único conjunto, denominado conjunto dos números racionais absolutos, ou simplesmente conjunto dos números racionais Q. Qual seria a definição de um número racional absoluto ou simplesmente racional? A definição depende das seguintes considerações: 9

20 a) O número representado por uma fração não muda de valor quando multiplicamos ou dividimos tanto o numerador como o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Exemplos: usando um novo símbolo: é o símbolo de equivalência para frações b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada., 6, (classe de equivalência da fração: ) 9,, 4 Agora já podemos definir número racional : número racional é aquele definido por uma classe de equivalência da qual cada fração é um representante. NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO NATURAL: 0 0 = = = 0 (definido pela classe de equivalência que representa o mesmo número racional 0) = = = (definido pela classe de equiva- lência que representa o mesmo número racional ) e assim por diante. NÚMERO RACIONAL FRACIONÁRIO ou NÚME- RO FRACIONÁRIO: = = = 4 6 (definido pela classe de equivalência que representa o mesmo número racional /). NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS Decimais: quando têm como denominador 0 ou uma potência de 0 5 7, 0 00, etc. b) próprias: aquelas que representam quantidades menores do que.,, 4, 7 etc. c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou maiores que. 5, 5 8 9,, 5 etc. d) aparentes: todas as que simbolizam um número natural. 0 8 = 5, = 4, etc. 4 0 e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as frações, com exceção daquelas que possuem como denominador 0, 0, 0... f) frações iguais: são as que possuem os termos i- guais 8 = 8, =, etc g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte fracionária; A parte natural é e a parte fracionária h) irredutível: é aquela que não pode ser mais simplificada, por ter seus termos primos entre si. 4, 5, 7, etc. 4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que não possua termos primos entre si, basta dividir os dois ternos pelo seu divisor comum. 8 = 8 : 4 : 4 = 5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES. Para comparar duas ou mais frações quaisquer primeiramente convertemos em frações equivalentes de mesmo denominador. De duas frações que têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. Logo: 6 8 < < 9 (ordem crescente) < De duas frações que têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. Exemplo: 7 7 > 5 < 4 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO A soma ou a diferença de duas frações é uma outra fração, cujo calculo recai em um dos dois casos seguintes: º CASO: Frações com mesmo denominador. Observemos as figuras seguintes:

21 Indicamos por: 6 Indicamos por: = = Assim, para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, procedemos do seguinte modo: adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador comum. simplificamos o resultado, sempre que possível. Exemplos: = = = = = = = = = = = Observação: A subtração só pode ser efetuada quando o minuendo é maior que o subtraendo, ou igual a ele. º CASO: Frações com denominadores diferentes: Neste caso, para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, procedemos do seguinte modo: Reduzimos as frações ao mesmo denominador. Efetuamos a operação indicada, de acordo com o caso anterior. Simplificamos o resultado (quando possível). Exemplos: ) + = = + = = = 0 5 = = 6 5 ) 8 = = = = 4 = 6 = 4 = Observações: Para adicionar mais de duas frações, reduzimos todas ao mesmo denominador e, em seguida, efetuamos a operação. Exemplos. 7 5 a) + + = b) = = = = = = = = = = 4 Havendo número misto, devemos transformá-lo em fração imprópria: Exemplo: = = = = Se a expressão apresenta os sinais de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, observamos a mesma ordem: º) efetuamos as operações no interior dos parênteses; º) as operações no interior dos colchetes; º) as operações no interior das chaves. Exemplos: ) = + 7 = = 7 6 = = = = =

22 ) 5 + = = 5 + = = 5 + = = = = = = = 7 = NÚMEROS RACIONAIS Dizemos que: = 4 = - Para obter frações equivalentes, devemos multiplicar ou dividir o numerador por mesmo número diferente de zero. Ex: = 4 ou. Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador, por um mesmo número diferente de zero. 6 = 6 Quando não for mais possível efetuar as divisões dizemos que a fração é irredutível. Um círculo foi dividido em duas partes iguais. Dizemos que uma unidade dividida em duas partes iguais e indicamos /. onde: = numerador e = denominador Fração Irredutível ou Sim- Exemplo: 8 : = plificada 9 6 = 6 Exemplo: e 4 Um círculo dividido em partes iguais indicamos (das três partes hachuramos ). Quando o numerador é menor que o denominador temos uma fração própria. Observe: Calcular o M.M.C. (,4): M.M.C.(,4) = e = ( : ) ( : 4 ) 4 e temos: 4 4 A fração é equivalente a. e 9 Observe: A fração 4 equivalente 9. Quando o numerador é maior que o denominador temos uma fração imprópria. FRAÇÕES EQUIVALENTES Duas ou mais frações são equivalentes, quando representam a mesma quantidade. Exercícios: ) Achar três frações equivalentes às seguintes frações: ) ) 4 Respostas: ) 8,, 4 6 ) 4 6 6, 9 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES a) Frações de denominadores iguais. Se duas frações tem denominadores iguais a maior será aquela: que tiver maior numerador., 8

23 Ex.: 4 > 4 ou 4 < b) Frações com numeradores iguais Se duas frações tiverem numeradores iguais, a menor será aquela que tiver maior denominador Ex.: > ou < c) Frações com numeradores e denominadores receptivamente diferentes. Reduzimos ao mesmo denominador e depois comparamos. Exemplos: > denominadores iguais (ordem decrescente) 4 4 > numeradores iguais (ordem crescente) 5 4 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador por um número diferente de zero. Quando não for mais possível efetuar as divisões, dizemos que a fração é irredutível. Exemplo: 8 : 9 : = = : 6 : Fração irredutível ou simplificada. 9 6 Exercícios: Simplificar ) ) 45 4 Respostas: ) ) 4 5 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MENOR DENOMINA- DOR COMUM Ex.: e 4 Calcular o M.M.C. (,4) = ( : ) ( 4 ) e = e : temos: e A fração é equivalente a 4. A fração 4 equivalente 9. Exemplo: 4? numeradores diferentes e denominadores diferentes m.m.c.(, 5) = 5 5 Exercícios: Colocar em ordem crescente: ) e ) e ), e Respostas: ) < ) < ) < < 6 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ) Adição e Subtração a) Com denominadores iguais somam-se ou subtraem-se os numeradores e conserva-se o denominador comum Ex: + + = = 4 4 = = b) Com denominadores diferentes reduz ao mesmo denominador depois soma ou subtrai. Ex: ) + + = M.M.C.. (, 4, ) = 4 ( : ).+ ( : 4). + (.) = = 4 ) = M.M.C.. (,9) = 9 9 (9 : ).4 - (9 : 9). - 0 = = Exercícios. Calcular: 5 5 ) + + ) ) Respostas: ) ) = ) MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 4 5 Para multiplicar duas ou mais frações devemos multiplicar os numeradores das frações entre si, assim como os seus denominadores. Exemplo:. 5 = x = = 0 Exercícios: Calcular: 5 4 ) ) ) Respostas: ) = ) = ) (5 : ). 5 crescente)? (5.5).4 5 = 0 < (ordem 5 5 DIVISÃO DE FRAÇÕES Para dividir duas frações conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da Segunda.

24 Exemplo: 4 : 5 4 =. 5 Exercícios. Calcular: ) : ) : = 0 = ) + : 5 5 Outros exemplos: ) =,4 ) = 6,5 ) =8, Note que a vírgula caminha da direita para a esquerda, a quantidade de casas deslocadas é a mesma quantidade de zeros do denominador. Respostas: ) 6 ) 9 0 POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES ) Eleva o numerador e o denominador ao expoente dado. Exemplo: = = 8 7 Exercícios. Representar em números decimais: ) ) ) Respostas: ),5 ) 4,7 ) 0,40 LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL Ex.: Exercícios. Efetuar: ) 4 ) 4 ) 4 Respostas: ) 6 9 ) 6 9 ) 7 RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES Extrai raiz do numerador e do denominador. Exemplo: 4 9 = Exercícios. Efetuar: ) 9 ) Respostas: ) = ) 5 4 ) ) 9 6 NÚMEROS DECIMAIS + Toda fração com denominador 0, 00, 000,...etc, chama-se fração decimal. 4 7 Ex:,,, etc Escrevendo estas frações na forma decimal temos: = três décimos, 0 4 = quatro centésimos 00 7 = sete milésimos 000 Escrevendo estas frações na forma decimal temos: 4 7 =0, = 0,04 = 0, OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Adição e Subtração Coloca-se vírgula sob virgula e somam-se ou subtraem-se unidades de mesma ordem. Exemplo : 0 + 0,45 +,8 0, ,45,8,85 Exemplo : 47, - 9,5 47,0 9,5 7,95 Exercícios. Efetuar as operações: ) 0,57 + 4, +,45 ) 4,7-9,4 ) 8,7 + 0,5-5, Respostas: ) 6,8 ) 0,97 ) 68,9 MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS Multiplicam-se dois números decimais como se fossem inteiros e separam-se os resultados a partir da 4

25 direita, tantas casas decimais quantos forem os algarismos decimais dos números dados. Exemplo: 5, x,8 5, casas, x,8 casa após a virgula ,6 casas após a vírgula Exercícios. Efetuar as operações: ),4. 6, ) 7,4., ,6 ),. 0,75 Respostas: ) 5,8 ) 69,9 ),496 DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o divisor e quando o dividendo for menor que o divisor acrescentamos um zero antes da vírgula no quociente. Ex.: a) :4 _4_ 0 0, b) 4,6: 4,6,0 = , 0 Obs.: Para transformar qualquer fração em número decimal basta dividir o numerador pelo denominador. Ex.: /5 = 5, então /5=0,4 0 0,4 Exercícios ) Transformar as frações em números decimais. 4 ) ) ) Respostas: ) 0, ) 0,8 ) 0,5 ) Efetuar as operações: ),6 : 0,4 ) 5,8 : 0, ) 45,6 :, 4) 78 : 4,5-,4./ 5) 5,6 :, + 5. /4 Respostas: ) 4 ) 9 ) 5,07 4) 7,855 5) 00,08... Multiplicação de um número decimal por 0, 00, 000 Para tornar um número decimal 0, 00, vezes maior, desloca-se a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três,... casas decimais.,75 x 0 = 7,5 6,50 x 00 = 650 0,5 x 00 =,5,780 x.000 =.780 0,060 x.000 = 60 0,85 x.000 = 85 DIVISÃO Para dividir os números decimais, procede-se assim: ) iguala-se o número de casas decimais; ) suprimem-se as vírgulas; ) efetua-se a divisão como se fossem números inteiros. Exemplos: 6 : 0,5 = 6,00 0, Igualam se as casas decimais. Cortam-se as vírgulas. 7,85 : 5 = 7,85 : 5, : 500 =,57 Dividindo 785 por 500 obtém-se quociente e resto 85 Como 85 é menor que 500, acrescenta-se uma vírgula ao quociente e zeros ao resto : 4 0,5 Como não é divisível por 4, coloca-se zero e vírgula no quociente e zero no dividendo 0,5 : 7 = 0,50 7,00 50 : 700 = 0,05 Como 5 não divisível por 700, coloca-se zero e vírgula no quociente e um zero no dividendo. Como 50 não é divisível por 700, acrescenta-se outro zero ao quociente e outro ao dividendo Divisão de um número decimal por 0, 00, 000 Para tornar um número decimal 0, 00, 000,... vezes menor, desloca-se a vírgula para a esquerda, respectivamente, uma, duas, três,... casas decimais. Exemplos: 5,6 : 0 =,56 04 : 0 = 0,4 5, : 00 =,5 08 : 00 = 0,8 004,5 :.000 = 0, :.000 = 0,05 milhar centena dezena Unidade simples décimo centésimo milésimo , 0,0 0,00 LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL Procedemos do seguinte modo: º) Lemos a parte inteira (como um número natural). º) Lemos a parte decimal (como um número natural), acompanhada de uma das palavras: - décimos, se houver uma ordem (ou casa) decimal - centésimos, se houver duas ordens decimais; - milésimos, se houver três ordens decimais. Exemplos: ), Lê-se: "um inteiro e 5

26 dois décimos". irracionais. ),75 Lê-se: "doze inteiros e setenta e cinco centésimos". ) 8,09 Lê-se: "oito inteiros e trezentos e nove milésimos''. Observações: ) Quando a parte inteira é zero, apenas a parte decimal é lida. Exemplos: a) 0,5 - Lê-se: "cinco décimos". b) 0,8 - Lê-se: "trinta e oito centésimos". c) 0,4 - Lê-se: "quatrocentos e vinte e um milésimos". ) Um número decimal não muda o seu valor se a- crescentarmos ou suprimirmos zeros â direita do último algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 "... ) Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (ou zeros) a sua direita. Exemplos: 4 = 4, = 76,00... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) CORRESPONDÊNCIA ENTRE NÚMEROS E PONTOS DA RETA, ORDEM, VALOR ABSOLUTO Há números que não admitem representação decimal finita nem representação decimal infinita e periódico, como, por exemplo: π =, =, =, =, Estes números não são racionais: π Q, Q, Q, 5 Q; e, por isso mesmo, são chamados de irracionais. Podemos então definir os irracionais como sendo aqueles números que possuem uma representação decimal infinita e não periódico. Usaremos o símbolo estrela (*) quando quisermos indicar que o número zero foi excluído de um conjunto. Exemplo: N* = { ; ; ; 4;... }; o zero foi excluído de N. Usaremos o símbolo mais (+) quando quisermos indicar que os números negativos foram excluídos de um conjunto. Exemplo: Z + = { 0; ; ;... } ; os negativos foram excluídos de Z. Usaremos o símbolo menos (-) quando quisermos indicar que os números positivos foram excluídos de um conjunto. Exemplo: Z = {... ; - ; - ; 0 } ; os positivos foram excluídos de Z. Algumas vezes combinamos o símbolo (*) com o símbolo (+) ou com o símbolo (-). Exemplos a) Z * = ( ; ; ;... ) ; o zero e os positivos foram excluídos de Z. b) Z + * = {... ; - ; - ; - } ; o zero e os negativos foram excluídos de Z. Exercícios resolvidos. Completar com ou : a) 5 Z g) Q * b) 5 Z * h) 4 Q c), Z + * d) e) 4 4 Z Z i) ( ) Q - j) R k) 4 R - f) Q Resolução a), pois 5 é positivo. b), pois 5 é positivo e os positivos foram excluídos de Z * c), não é inteiro. d), pois não é inteiro. 4 e), pois 4 = 4 é inteiro. Chamamos então de conjunto dos números reais, e indicamos com R, o seguinte conjunto: R= { x x é racional ou x é irracional} Como vemos, o conjunto R é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números f), pois não é racional. g), pois não é racional h), pois 4 = é racional i), pois ( ) = 4 = é positivo, e os 6

27 positivos foram excluídos de Q. j), pois é real. k), pois 4 = é positivo, e os positivos foram excluídos de R. Completar com ou : a) N Z * d) Q Z b) N Z + e) Q * + R * + c) N Q Resolução: a), pois 0 N e 0 Z *. b), pois N = Z + c), pois todo número natural é também racional. d), pois há números racionais que não são inteiros como por exemplo,. a) b) 4. c) d) e) Reta numérica Uma maneira prática de representar os números reais é através da reta real. Para construí-la, desenhamos uma reta e, sobre ela, escolhemos, a nosso gosto, um ponto origem que representará o número zero; a seguir escolhemos, também a nosso gosto, porém à direita da origem, um ponto para representar a unidade, ou seja, o número um. Então, a distância entre os pontos mencionados será a unidade de medida e, com base nela, marcamos, ordenadamente, os números positivos à direita da origem e os números negativos à sua esquerda. e), pois todo racional positivo é também real positivo. Exercícios propostos:. Completar com ou a) 0 N b) 0 N * c) 7 Z d) - 7 Z + e) 7 Q f) 7 Q g) 7 Q + * h) 7 Q i) 7 Q j) 7 R *. Completar com ou a) Q d) π Q b), Q e), Q c),4 Q. Completar com ou : a) Z * + N * d) Z * b) Z N e) Z R + c) R + Q 4. Usando diagramas de Euler-Venn, represente os conjuntos N, Z, Q e R. Respostas:. a) b) c) d). a) b). e) f) g) h) c) d) i) j) e) R 7 EXERCÍCIOS ) Dos conjuntos a seguir, o único cujos elementos são todos números racionais é: a) c),,,, 7, 0, 5,, b) {,,, 0 } d) { 0, 9, 4, 5, 7 } 4 ) Se 5 é irracional, então: a) 5 escreve-se na forma n m, com n 0 e m, n N. b) 5 pode ser racional c) 5 jamais se escreve sob a forma n m, com n 0 e m, n N. d) 5 é racional ) Sendo N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais e reais, podemos escrever: a) x N x R c) Z Q b) x Q x Z d) R Z 4) Dado o conjunto A = {,,, 4, 5, 6 }, podemos afirmar que: a) x A x é primo b) x A x é maior que 7 c) x A x é múltiplo de d) x A x é par e) nenhuma das anteriores 5) Assinale a alternativa correta:

28 a) Os números decimais periódicos são irracionais b) Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta numerada, e o conjunto Q. c) Entre dois números racional existem infinitos números racionais. d) O conjunto dos números irracionais é finito 6) Podemos afirmar que: a) todo real é racional. b) todo real é irracional. c) nenhum irracional é racional. d) algum racional é irracional. 7) Podemos afirmar que: a) entre dois inteiros existe um inteiro. b) entre dois racionais existe sempre um racional. c) entre dois inteiros existe um único inteiro. d) entre dois racionais existe apenas um racional. 8) Podemos afirmar que: a) a, b N a - b N b) a, b N a : b N c) a, b R a + b R d) a, b Z a : b Z 9) Considere as seguintes sentenças: I) 7 é irracional. II) 0, é irracional. III) é racional. Podemos afirmar que: a) l é falsa e II e III são verdadeiros. b) I é verdadeiro e II e III são falsas. c) I e II são verdadeiras e III é falsa. d) I e II são falsas e III é verdadeira. 0) Considere as seguintes sentenças: I) A soma de dois números naturais é sempre um número natural. II) O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. III) O quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Podemos afirmar que: a) apenas I é verdadeiro. b) apenas II é verdadeira. c) apenas III é falsa. d) todas são verdadeiras. ) Assinale a alternativa correta: a) R N c) Q N b) Z R d) N { 0,,,, 4, 5, 6 } ) Assinale a alternativa correto: a) O quociente de dois número, racionais é sempre um número inteiro. b) Existem números Inteiros que não são números reais. c) A soma de dois números naturais é sempre um número inteiro. d) A diferença entre dois números naturais é sempre um número natural. ) O seguinte subconjunto dos números reais escrito em linguagem simbólica é: a) { x R < x < 5 } c) { x R x 5 } b) { x R x < 5 } d) { x R < x 5 } 4) Assinale a alternativa falsa: a) R* = { x R x < 0 ou x >0} b) Q c) Existem números inteiros que não são números naturais. d) é a representação de { x R x 7 } 5) O número irracional é: a) 0,... e) 5 4 b) 45, d) 7 6) O símbolo R representa o conjunto dos números: a) reais não positivos c) irracional. b) reais negativos d) reais positivos. 7) Os possíveis valores de a e de b para que a número a + b 5 seja irracional, são: a) a = 0 e b=0 c) a = 0 e b = c) a = e b = 5 d) a = 6 e b = 0 8) Uma representação decimal do número 5 é: a) 0,6... c).6... b).6... d), ) Assinale o número irracional: a), e), b) 0, d),45 0) O conjunto dos números reais negativos é representado por: a) R* c) R b) R_ d) R* ) Assinale a alternativo falso: a) 5 Z b) 5,96... Q c) 5 Q ) Um número racional compreendido entre e 6 é: a),6 c) b) 6 d). 6 + ) Qual dos seguintes números é irracional? a) 5 c) 7 6 8

29 b) 4 d) 69 4) é a representação gráfica de: a) { x R x 5 } b) { x R - x < 4 } c) { x R x < - } d) { x R -< x 4 } RESPOSTAS ) d 5) b 9) b ) b 7) c ) b ) c 6) c 0) c 4) d 8) b ) b ) a 7) b ) b 5) d 9) a ) c 4) e 8) c ) c 6) b 0) b 4) d Transformações de unidades: Cada unidade de comprimento é dez (0) vezes maior que a unidade imediatamente. inferior. Na prática cada mudança de vírgula para a direita (ou multiplicação por dez) transforma uma unidade imediatamente inferior a unidade dada; e cada mudança de vírgula para a esquerda (ou divisão por dez) transforma uma unidade na imediatamente superior. Ex.: 45 Km = m 500 cm = 5 m 8 Km e 5 m 8.000m + 5m = 8.05 m ou 8,05 Km. Resumo SISTEMA DE MEDIDAS LEGAIS A) Unidades de Comprimento B) Unidades de ÁREA C) Áreas Planas D) Unidades de Volume e de Capacidade E) Volumes dos principais sólidos geométricos F) Unidades de Massa Permitido de um polígono: o perímetro de um polígono é a soma do comprimento de seus lados. A) UNIDADES DE COMPRIMENTO Medidas de comprimento: Medir significa comparar. Quando se mede um determinado comprimento, estamos comparando este comprimento com outro tomado como unidade de medida. Portanto, notamos que existe um número seguido de um nome: 4 metros o número será a medida e o nome será a unidade de medida. Podemos medir a página deste livro utilizando um lápis; nesse caso o lápis foi tomado como unidade de medida ou seja, ao utilizarmos o lápis para medirmos o comprimento do livro, estamos verificando quantas vezes o lápis (tomado como medida padrão) caberá nesta página. Perímetro de uma circunferência: Como a abertura do compasso não se modifica durante o traçado vê-se logo que os pontos da circunferência distam igualmente do ponto zero (0). Para haver uma uniformidade nas relações humanas estabeleceu-se o metro como unidade fundamental de medida de comprimento; que deu origem ao sistema métrico decimal, adotado oficialmente no Brasil. Múltiplos e sub-múltiplos do sistema métrico: Para escrevermos os múltiplos e sub-múltiplos do sistema métrico decimal, utilizamos os seguintes prefixos gregos: KILO significa.000 vezes HECTA significa 00 vezes DECA significa 0 vezes DECI significa décima parte CENTI significa centésima parte MILI significa milésima parte. Elementos de uma circunferência: km =.000m m = 0 dm hm = 00m e m = 00 cm dam = 0m m = 000 mm O perímetro da circunferência é calculado multiplicando-se,4 pela medida do diâmetro.,4. medida do diâmetro = perímetro. 9

30 B) UNIDADES DE ÁREA: a ideia de superfície já é nossa conhecida, é uma noção intuitiva. Ex.: superfície da mesa, do assoalho que são exemplos de superfícies planas enquanto que a superfície de uma bola de futebol, é uma superfície esférica. Damos o nome de área ao número que mede uma superfície numa determinada unidade. Metro quadrado: é a unidade fundamental de medida de superfície (superfície de um quadrado que tem m de lado). Perímetro: é a soma dos quatro lados. Triângulo: a área do triângulo é dada pelo produto da base pela altura dividido por dois. Propriedade: Toda unidade de medida de superfície é 00 vezes maior do que a imediatamente inferior. Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado: Múltiplos Submúltiplos km : m m cm : 0,000 m hm : m dm : 0,0 m dam : 00 m mm : 0,00000m Perímetro é a soma dos três lados. Trapézio: a área do trapézio é igual ao produto da semi-soma das bases, pela altura. km = (= 000 x 000)m hm = 0000 (= 00 x 00)m dam =00 (=0x0) m Regras Práticas: para se converter um número medido numa unidade para a unidade imediatamente superior deve-se dividi-lo por 00. para se converter um número medido numa unidade, para uma unidade imediatamente inferior, deve-se multiplicá-lo por 00. Perímetro é a soma dos quatro lados. Losango: a área do losango é igual ao semi-produto das suas diagonais. Medidas Agrárias: centiare (ca) é o m are (a) é o dam (00 m ) hectare (ha) é o hm (0000 m ). C) ÁREAS PLANAS Retângulo: a área do retângulo é dada pelo produto da medida de comprimento pela medida da largura, ou, medida da base pela medida da altura. Perímetro á a soma dos quatro lados. Área de polígono regular: a área do polígono regular é igual ao produto da medida do perímetro (p) pela medida do apotema (a) sobre. Perímetro: a + a + b + b Quadrado: a área do quadrado é dada pelo produto lado por lado, pois sendo um retângulo de lados iguais, base = altura = lado. Perímetro soma de seus lados. DUNIDADES DE VOLUME E CAPACIDADE Unidades de volume: volume de um sólido é a medida deste sólido. 0

31 Chama-se metro cúbico ao volume de um cubo cuja aresta mede m. Propriedade: cada unidade de volume é.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Múltiplos e sub-múltiplos do metro cúbico: MÚLTIPIOS SUB-MÚLTIPLOS Volume do cubo: o cubo é um paralelepipedo retângulo de faces quadradas. Um exemplo comum de cubo, é o dado. km ( m ) dm (0,00 m ) hm ( m ) cm (0,00000m ) dam ( 000 m ) mm (0, m ) Como se vê: km = (000x000x000)m hm = (00 x 00 x 00) m dam = 000 (0x0x0)m m =000 (= 0 x 0 x 0) dm m = (=00 x 00 x 00) cm m = ( 000x 000x 000) mm O volume do cubo é dado pelo produto das medidas de suas três arestas que são iguais. V = a. a. a = a cubo Volume do prisma reto: o volume do prisma reto é dado pelo produto da área da base pela medida da altura. Unidades de capacidade: litro é a unidade fundamental de capacidade. Abrevia-se o litro por l. O litro é o volume equivalente a um decímetro cúbico. hl ( 00 l) dal ( 0 l) Múltiplos litro l Submúltiplos dl (0, l) cl (0,0 l) ml (0,00 l) Como se vê: hl = 00 l l = 0 dl dal = 0 l l = 00 cl l = 000 ml Volume do cilindro: o volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura. VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Volume do paralelepípedo retângulo: é o mais comum dos sólidos geométricos. Seu volume é dado pelo produto de suas três dimensões. F) UNIDADES DE MASSA A unidade fundamental para se medir massa de um corpo (ou a quantidade de matéria que esse corpo possui), é o kilograma (kg). o kg é a massa aproximada de dm de água a 4 graus de temperatura.

32 Múltiplos e sub-múltiplos do kilograma: Múltiplos Submúltiplos kg (000g) dg (0, g) hg ( 00g) cg (0,0 g) dag ( 0 g) mg (0,00 g) Como se vê: kg = 000g g = 0 dg hg = 00 g e g= 00 cg dag = 0g g = 000 mg Para a água destilada,.º acima de zero. volume capacidade massa dm l kg Medidas de tempo: Não esquecer: dia = 4 horas hora = sessenta minutos minuto = sessenta segundos ano = 65 dias mês = 0 dias Média geométrica Numa proporção contínua, o meio comum é denominado média proporcional ou média geométrica dos extremos. Portanto no exemplo acima 8 é a média proporcional entre 4 e 6. O quarto termo de uma proporção contínua é chamado terceira proporcional. Assim, no nosso exemplo, 6 é a terceira proporcional depois de 4 e 8. Para se calcular a média proporcional ou geométrica de dois números, teremos que calcular o valor do meio comum de uma proporção continua. Ex.: 4 X = X x. x x = =8 x 4.º proporcional: é o nome dado ao quarto termo de uma proporção não continua. Ex.: 4 =, 4. x = 8. 8 F 96 x= =4. 4 Nota: Esse cálculo é idêntico ao cálculo do elemento desconhecido de uma proporção). Média Aritmética Simples: (ma) A média aritmética simples de dois números é dada pelo quociente da soma de seus valores e pela quantidade das parcelas consideradas. Ex.: determinar a m a de: 4, 8,, m a = = = 4 4 Média Aritmética Ponderada (mv): A média aritmética ponderada de vários números aos quais são atribuídos pesos (que indicam o número de vezes que tais números figuraram) consiste no quociente da soma dos produtos que se obtém multiplicando cada número pelo peso correspondente, pela soma dos pesos. Ex.: No cálculo da média final obtida por um aluno durante o ano letivo, usamos a média aritmética ponderada. A resolução é a seguinte: Matéria Notas Peso Português 60,0 5 40,0 História 70, m p = = = 56 0 ÂNGULO Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Ângulo É a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, dividindo este plano em duas partes. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante deste e é medida, no SI, em radianos. Unidades de medidas para ângulos De forma a medir um ângulo, um círculo com centro no vértice é desenhado. Como a circunferência do círculo é sempre diretamente proporcional ao comprimento de seu raio, a medida de um ângulo é independente do tamanho do círculo. Note que ângulos são adimensionais, desde que sejam definidos como a razão dos comprimentos. A medida em radiano de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como o unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e cossenos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e. A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 60. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito. π radianos é igual a 60 (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57 e um grau é π/80 radianos. O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é divido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usado mais em triangulação. O ponto é usado em navegação, e é definida

33 como / do círculo, ou exatamente,5. O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/ radianos = 90 = /4 de um círculo completo. O ângulo nulo é um ângulo que tem 0º. A classificação dos ângulos é por sua (normalmente) circunferência em graus. Tipos de ângulos Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como Nulo: Um ângulo nulo mede 0º ou 0 radianos. Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0º (ou 0 radianos) e menor do que 90º (ou π/ radianos). Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º (ou π/ radianos). Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares. Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90º e 80º (ou entre π/ e π radianos). Raso: Ângulo que mede exatamente 80º (ou π radianos), os seus lados são semi-retas opostas. Côncavo: Ângulo que mede mais de 80º (ou π radianos) e menos de 60º (ou π radianos). Giro ou Completo: Ângulo que mede 60º (ou π radianos). Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta. O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc... Um ângulo de 60 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 60 graus (60 º). Observação: É possível obter ângulos maiores do que 60º mas os lados destes ângulos coincidirão com os lados dos ângulos menores do que 60º na medida que ultrapassa 60º. Para obter tais ângulos basta subtrair 60º do ângulo até que este seja menor do que 60º. VELOCIDADE A velocidade é uma grandeza vetorial, ou seja, tem direção e sentido, além do valor numérico. Duas velocidades só serão iguais se tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Velocidade é a grandeza física que informa com que rapidez e em qual direção um móvel muda de posição no tempo. Sua determinação pode ser feita por meio de um valor médio (que relaciona o deslocamento total de um corpo ao intervalo de tempo decorrido desde que ele deixou a posição inicial até quando chegou ao fim do percurso) ou do valor instantâneo, que diz como a posição varia de acordo com o tempo num determinado instante. A velocidade média de um trem que percorre cem quilômetros em duas horas é de cinquenta quilômetros por hora. O valor médio da velocidade de um corpo é igual à razão entre o espaço por ele percorrido e o tempo gasto no deslocamento, de acordo com a fórmula v = s/t. A representação gráfica da velocidade deve ser feita, em cada ponto, por um segmento orientado que caracteriza seu módulo, sua direção (tangente à trajetória) e seu sentido (que coincide com o sentido do movimento). No intervalo de duas horas, a velocidade do trem pode ter variado para mais ou para menos em torno da velocidade média. A determinação da velocidade instantânea se faz por meio do cálculo da velocidade média num intervalo de tempo tão próximo de zero quanto possível. O cálculo diferencial, inventado por Isaac Newton com esse fim específico, permite determinar valores exatos da velocidade instantânea de um corpo. Sistema Monetário Brasileiro: Moeda MOEDA: (do latim "moneta") - deriva do nome da deusa JUNO MONETA, templo que manufaturavam as moedas romanas. DINHEIRO: Sinônimo de moeda, origem do latim: DENARIUS. Nos tempos primitivos a moeda era qualquer produto que servisse como instrumento de troca, Exemplos: Chá na Índia; Arroz no Japão; Sal e colares em certos países africanos; No Brasil, no Rio de Janeiro, o açúcar teve curso forçado como moeda, no Maranhão, o tecido de algodão substituiu o dinheiro em algumas ocasiões. Em 874, foi proibida no Brasil, a CIRCULAÇÃO dos gêneros alimentícios utilizados como moeda. MOEDA: Qualquer objeto que sirva como meio de troca em um sistema econômico; MOEDA METÁLICA: Cunhagem da moeda em metais preciosos, trazendo seu peso impresso. Hoje trazem impressos os seus valores; PAPEL-MOEDA Emissão de recibos pelos cunhadores de moedas. Atualmente é a moeda escritural emitida pelo Banco Central de cada país. MOEDA-ESCRITURAL: Foi criada pelo sistema bancário. Emprestavam os valores acima do lastro do sistema bancário. ENCAIXE: BACEN (Banco Central) determina uma porcentagem que podem ser emprestada sobre os depósitos efetuados em um banco. MOEDA FIDUCIÁRIA: Moeda que tem curso obrigatório, por Lei, em um país. No Brasil a Moeda Fiduciária é o Real - R$. PRINCIPAIS FUNÇÕES DA MOEDA Intermediário de trocas; Medida de valor; Reserva de Valor; Liberatória; Padrão de pagamentos diferidos; Instrumento de poder. Intermediário de Trocas: Esta função permite a superação de economia de escambo e a passagem à economia monetária; Medida de valor: a utilização generalizada da moeda implica na criação de uma

34 unidade-padrão de medida pela qual são convertidos os valores de todos os bens e serviços; Reserva de valor: outra função exercida pela moeda, pois pode servir como umareserva de valor, desde o momento que é recebida até o instante em que é gasta por quem a detenha. Poder Liberatório: o poder de saldar dívidas, liquidar débitos, livrar seu detentor de sair de uma posição passiva. Esta particularidade da moeda dá-se o nome de: poder liberatório. Padrão de pagamentos diferidos: À medida que a moeda tem, sob garantia do Estado, o poder de saldar dívidas, sendo ademais, uma medida de valor, ela torna, automaticamente, padrão de pagamentos diferidos. Esta função da moeda resulta de sua capacidade de facilitar a distribuição de pagamentos ao longo do tempo, que para concessão de crédito ou de diferentes formas de adiantamentos. MERCADO MONETÁRIO: é onde se encontram a oferta e a demanda por moeda e se determina a taxa de juros de e- quilíbrio. MOEDA ESCRITURAL: criada pelo sistema bancário, ao emprestar ou aplicar uma quantidade de moeda superior à que era originalmente introduzida no sistema bancário como depósito em um dos bancos componentes do sistema. MOEDA METÁLICA: moeda cunhada em metal precioso que trazia impresso o seu peso. Atualmente, são cunhadas em metal não precioso, trazendo impresso o seu valor. MOEDA-FIDUCIÁRIA: emitida pelos bancos centrais de cada país, tendo curso obrigatório por lei. MOEDA: é todo objeto que serve para facilitar as trocas de bens e serviços numa economia. OFERTA DE MOEDA: é a quantidade de moeda que o governo resolve emitir, num determinado período, através das autoridades monetárias. PADRÃO-OURO: sistema monetário em que o papel-moeda emitido pelas autoridades monetárias tem uma relação com a quantidade de ouro que o país possui. Atualmente, não é mais seguido. PAPEL-MOEDA: surgiu com a emissão de recibos pelos cunhadores, e assegurava ao seu portador certa quantidade de ouro expressa no documento. Atualmente, é a moeda emitida pelos bancos centrais de cada país. POLÍTICA FISCAL: são medidas do governo que objetivam diminuir a demanda através da carga tributária. POLÍTICA MONETÁRIA: são medidas adotadas pelo governo que visam reduzir a quantidade de moeda em circulação na economia. CRÉDITO A CURTO PRAZO: é o crédito cujo período para pagamento é inferior a cinco meses. CRÉDITO A LONGO PRAZO: é o crédito cujo período para pagamento é superior a cinco anos. CRÉDITO A MÉDIO PRAZO: é o crédito cujo período para pagamento é superior a cinco meses e inferior a cinco anos. CRÉDITO DE CONSUMO: concedido às pessoas para que elas possam adquirir bens de consumo. CRÉDITO DE PRODUÇÃO: é concedido às empresas para que elas façam frente às despesas decorrentes da produção, como as despesas de investimento ou giro. CRÉDITO PARA O ESTADO: é o crédito que o governo utiliza para as despesas de investimento ou consumo. CRÉDITO: é a troca de um bem, ou a concessão de uma quantia de moeda, pela promessa de pagamento futuro. CREDOR E DEVEDOR: são as pessoas envolvidas na operação de crédito. A primeira é a que empresta a quantia em moeda, sob a promessa de recebê-la no futuro. O devedor é a pessoa que deve pagar o empréstimo. 4 DEMANDA DE MOEDA PARA ESPECULAÇÃO: ocorre quando aquela parcela da renda das pessoas que poderia ser aplicada em títulos fica retida, pelo fato de a taxa de juros estar baixa e as pessoas aguardarem sua elevação para comprar títulos. DEMANDA DE MOEDA PARA TRANSAÇÕES: como os recebimentos e pagamentos não são sincronizados, as pessoas precisam reter moeda para pagar suas despesas. DEMANDA DE MOEDA POR PRECAUÇÃO: refere-se àquela parte da renda das pessoas retida para fazer frente a imprevistos. Características essenciais da moeda. As características mais relevantes da moeda, estudada desde Adam Smith são as seguintes: Indestrutibilidade e inalterabilidade; Homogeneidade; Divisibilidade; Transferibilidade; Facilidade de manuseio e transporte. Indestrutibilidade e inalterabilidade: A moeda deve ser suficientemente durável, no sentido de que não destrua ou se deteriore com o seu manuseio. Além disso, Indestrutibilidade e inalterabilidade são obstáculos à sua falsificação, constituindo-se, em elementos de fundamental importância para a confiança e a aceitação geral da moeda. Homogeneidade Duas unidades monetárias distintas, mas de igual valor, devem ser rigorosamente iguais. Ex. se o arroz fosse dado como moeda, aceita pelas duas partes, se o comprador pensasse em pagar sua dívida com arroz miúdos e quebrados, enquanto o vendedor imaginava receber arroz em grãos inteiros e graúdos. A possibilidade de tal equívoco criada pela inexistência de homogeneidade é um exemplo da necessidade de que duas unidades monetárias do mesmo valor sejam rigorosamente iguais. Divisibilidade A moeda deve possuir múltiplos e submúltiplos em quantidade tal que as transações de grande porte assim como as pequenas possam ser realizadas sem nenhuma restrição. Outro aspecto é quanto ao fracionamento. (troco) Transferibilidade Outra característica da moeda é quanto à facilidade com que deve processar-se sua transferência, de um detentor para outro. Facilidade de manuseio e transporte o manuseio e o transporte da moeda não deve oferecer obstáculos, isto é, prejudicar sua utilização. Meios de pagamentos. (Vide Revista Conjuntura econômica. Em Conjuntura Estatística: Moeda - Base monetária, meios de pagamentos e quase-moeda). Meios de pagamentos.- Base monetária. M - Papel-moeda em poder do público + os depósitos a vista (nos bancos comerciais); M - M + títulos federais; M - M + depósitos de poupança; M4 - M + depósitos a prazo. Alex Mendes RAZÕES E PROPORÇÕES. INTRODUÇÃO Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um reajuste de R$ 80,00, como você reagiria? Acharia caro,

35 normal, ou abaixo da expectativa? Esse mesmo valor, que pode parecer caro no reajuste da mensalidade, seria considerado insignificante, se tratasse de um acréscimo no seu salário. Naturalmente, você já percebeu que os R$ 80,00 nada representam, se não forem comparados com um valor base e se não forem avaliados de acordo com a natureza da comparação. Por exemplo, se a mensalidade escolar fosse de R$ 90,00, o reajuste poderia ser considerado alto; afinal, o valor da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do salário, mesmo considerando o salário mínimo, R$ 80,00 seriam uma parte mínima.. A fim de esclarecer melhor este tipo de problema, vamos estabelecer regras para comparação entre grandezas.. RAZÃO Você já deve ter ouvido expressões como: "De cada 0 habitantes, 5 são analfabetos", "De cada 0 alunos, gostam de ", "Um dia de sol, para cada dois de chuva". Em cada uma dessas. frases está sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 0; no segundo, entre 0, e no terceiro, para cada. Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Teremos, pois: De cada 0 habitantes, 5 são analfabetos. 5 Razão = 0 De cada 0 alunos, gostam de. Razão = 0 c. Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = A razão entre dois números a e b, com b 0, é o quociente a b, ou a : b. Nessa expressão, a chama-se antecedente e b, consequente. Outros exemplos de razão: Em cada 0 terrenos vendidos, um é do corretor. Razão = 0 Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou todas. Razão = 6 6. Uma liga de metal é feita de partes de ferro e partes de zinco. Razão = 5 (ferro) Razão = 5 (zinco).. PROPORÇÃO Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por razões de antecedentes e consequentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar nos revelar que, de 40 alunos entrevistados, 0 gostam de, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 0 deverão gostar de. Na verdade, estamos afirmando que 0 estão representando em 40 o mesmo que 0 em 80. Escrevemos: 0 40 = 0 80 A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Dadas duas razões a b e c, com b e d 0, d teremos uma proporção se a b = c d. Na expressão acima, a e c são chamados de antecedentes e b e d de consequentes.. A proporção também pode ser representada como a : b = c : d. Qualquer uma dessas expressões é lida assim: a está para b assim como c está para d. E importante notar que b e c são denominados meios e a e d, extremos. Exemplo: A proporção 7 = 9, ou : 7 : : 9 :, é lida da seguinte forma: está para 7 assim como 9 está para. Temos ainda: e 9 como antecedentes, 7 e como consequentes, 7 e 9 como meios e e como extremos.. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: a c = ad = bc ; b, d 0 b d Exemplo: Se 6 4 = 4 96, então = 4. 4 =

36 . ADIÇÃO (OU SUBTRAÇÃO) DOS ANTECEDENTES E CONSEQUENTES Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está para seu consequente. Ou seja: Se a b = c, entao a + c b + d = a = c, d b d ou a - c b - d = a b = c d Essa propriedade é válida desde que nenhum denominador seja nulo. Exemplo: = = 8 6 = = 4 8 = 7 4 GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DIVISÃO PROPORCIONAL. INTRODUÇÃO: No dia-a-dia, você lida com situações que envolvem números, tais como: preço, peso, salário, dias de trabalho, índice de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passaremos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis como uma grandeza. Você sabe que cada grandeza não é independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário, por exemplo, está relacionado a dias de trabalho. Há pesos que dependem de idade, velocidade, tempo etc. Vamos analisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais.. PROPORÇÃO DIRETA Grandezas como trabalho produzido e remuneração obtida são, quase sempre, diretamente proporcionais. De fato, se você receber R$,00 para cada folha que datilografar, sabe que deverá receber R$ 40,00 por 0 folhas datilografadas. Podemos destacar outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais: Velocidade média e distância percorrida, pois, se você dobrar a velocidade com que anda, deverá, num mesmo tempo, dobrar a distância percorrida. Área e preço de terrenos. Altura de um objeto e comprimento da sombra projetada por ele. Assim: Duas grandezas São diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) nessa mesma razão.. PROPORÇÃO INVERSA Grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa são, em geral, inversamente proporcionais. Veja: Para uma tarefa que 0 operários executam em 0 dias, devemos esperar que 5 operários a realizem em 40 dias. Podemos destacar outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais: Velocidade média e tempo de viagem, pois, se você dobrar a velocidade com que anda, mantendo fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade. Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher um tanque, pois, quanto mais torneiras estiverem abertas, menor o tempo para completar o tanque. Podemos concluir que : Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de reconhecer a natureza da proporção, e destacar a razão. Considere a situação de um grupo de pessoas que, em férias, se instale num acampamento que cobra R$00,00 a diária individual. Observe na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária: Número de pessoas Despesa diária (R$ ) Você pode perceber na tabela que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. Assim, se dobrarmos o número de pessoas, dobraremos ao mesmo tempo a despesa. Esta é portanto, uma proporção direta, ou melhor, as grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais. Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a quantia a ser gasta pelo grupo seja sempre de R$.000,00. Perceba, então, que o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise agora a tabela abaixo : 6

37 Número de pessoas Tempo de permanência (dias) Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. Esta é, portanto, uma proporção inversa, ou melhor, as grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais. 4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 4. Diretamente proporcional Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de um mesmo objeto, sendo que A o fez durante 6 horas e B durante 5 horas. Como, agora, elas deverão dividir com justiça os R$ 660,00 apurados com sua venda? Na verdade, o que cada um tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto na confecção Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. do objeto. No nosso problema, temos de dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que são as horas que A e B trabalharam. Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber, e de y o que B tem a receber. Teremos então: X + Y = 660 X 6 = Y 5 Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades de proporção. Assim: X + Y = Substituindo X + Y por 660, vem 660 = X X = = 60 6 Como X + Y = 660, então Y = 00 Concluindo, A deve receber R$ 60,00 enquanto B, R$ 00, INVERSAMENTE PROPORCIONAL E se nosso problema não fosse efetuar divisão em partes diretamente proporcionais, mas sim inversamente? Por exemplo: suponha que as duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 60,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? O problema agora é dividir R$ 60,00 em partes inversamente proporcionais a e a 5, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos. Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. No nosso problema, temos de dividir 60 em partes inversamente proporcionais a e a 5, que são os números de atraso de A e B. Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. x + y = 60 Teremos: x = y 5 Resolvendo o sistema, temos: x + y + = x x + y = x Mas, como x + y = 60, então 60 = x 8 x = x = 60 8 x = 00 Como x + y = 60, então y = 60. Concluindo, A deve receber R$ 00,00 e B, R$ 60, DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 0 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, homens trabalharam durante 4 dias. Estamos considerando que os homens tinham a mesma capacidade de trabalho. A empreiteira tinha R$ 9.400,00 para dividir com justiça entre as duas turmas de trabalho. Como fazê-lo? Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores. Trata-se aqui de uma divisão composta em partes proporcionais, já que os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números e também a dois outros. Na primeira turma, 0 homens trabalharam 5 dias, produzindo o mesmo resultado de 50 homens, trabalhando por um dia. Do mesmo modo, na segunda turma, homens trabalharam 4 dias, o que seria equivalente a 48 homens trabalhando um dia. Para a empreiteira, o problema passaria a ser, portanto, de divisão diretamente proporcional a 50 (que é 0. 5), e 48 (que é. 4). 7

38 Para dividir um número em partes de tal forma que uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta divida esse número em partes proporcionais a m. n e p. q. Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais a certos números é o mesmo que fazer a divisão em partes diretamente proporcionais ao inverso dos números dados. Resolvendo nosso problema, temos: Chamamos de x: a quantia que deve receber a primeira turma; y: a quantia que deve receber a segunda turma. Assim: x 0 5 = y 4 ou x 50 = y 48 x + y = x Como x + y = 9400, então = x = Portanto y = Concluindo, a primeira turma deve receber R$ 5.000,00 da empreiteira, e a segunda, R$ 4.400,00. Observação: Firmas de projetos costumam cobrar cada trabalho usando como unidade o homem-hora. O nosso problema é um exemplo em que esse critério poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso seria homem-dia. Seria obtido o valor de R$ 00,00 que é o resultado de : 50, ou de : 48. REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS SIMPLES Retomando o problema do automóvel, vamos resolvê-lo com o uso da regra de três de maneira prática. Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. Assim: x 50 Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, para indicar a natureza da proporção. Se elas estiverem no mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais; se em sentidos contrários, são inversamente proporcionais. Nesse problema, para estabelecer se as setas têm o mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta: "Considerando a mesma velocidade, se aumentarmos o tempo, aumentará a distância percorrida?" Como a resposta a essa questão é afirmativa, as grandezas são diretamente proporcionais. Já que a proporção é direta, podemos escrever: = x Então: 6. x = x = = 00 Concluindo, o automóvel percorrerá 00 km em 8 horas. Vamos analisar outra situação em que usamos a regra de três. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual será o tempo necessário para percorrer o mesmo espaço com uma velocidade de 60 km/h? Grandeza : tempo (horas) 8 x Grandeza : velocidade (km/h) A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço percorrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumentará?" é negativa. Vemos, então, que as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Como a proporção é inversa, será necessário invertermos a ordem dos termos de uma das colunas, tornando a proporção direta. Assim: 8 60 x 90 Grandeza : tempo (horas) 6 8 Grandeza : distância percorrida (km) 900 x Escrevendo a proporção, temos: = x = = x Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma distância em horas. Observe que colocamos na mesma linha valores que se correspondem: 6 horas e 900 km; 8 horas e o valor desconhecido. 8 Regra de três simples é um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhece três termos e o quarto termo é procurado.

39 REGRA DE TRÊS COMPOSTA Vamos agora utilizar a regra de três para resolver problemas em que estão envolvidas mais de duas grandezas proporcionais. Como exemplo, vamos analisar o seguinte problema. Numa fábrica, 0 máquinas trabalhando 0 dias produzem 000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para se produzir 680 peças em 6 dias? Como nos problemas anteriores, você deve verificar a natureza da proporção entre as grandezas e escrever essa proporção. Vamos usar o mesmo modo de dispor as grandezas e os valores envolvidos. Grandeza : número de máquinas 0 x Grandeza : dias 0 6 Grandeza : número de peças Natureza da proporção: para estabelecer o sentido das setas é necessário fixar uma das grandezas e relacioná-la com as outras. Supondo fixo o número de dias, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de peças fabricadas?" A resposta a essa questão é afirmativa. Logo, as grandezas e são diretamente proporcionais. Agora, supondo fixo o número de peças, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de dias necessários para o trabalho?" Nesse caso, a resposta é negativa. Logo, as grandezas e são inversamente proporcionais. Para se escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que as setas fiquem no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas convenientes. Naturalmente, no nosso exemplo, fica mais fácil inverter a coluna da grandeza x Agora, vamos escrever a proporção: 0 6 x = (Lembre-se de que uma grandeza proporcional a duas outras é proporcional ao produto delas.) = x = = x Concluindo, serão necessárias 8 máquinas. 8 PORCENTAGEM. INTRODUÇÃO Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha vitrinas, frequentemente se vê às voltas com expressões do tipo: "O índice de reajuste salarial de março é de 6,9%." "O rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de 8,55%." "A inflação acumulada nos últimos meses foi de 8,5%. "Os preços foram reduzidos em até 0,5%." Mesmo supondo que essas expressões não sejam completamente desconhecidas para uma pessoa, é importante fazermos um estudo organizado do assunto porcentagem, uma vez que o seu conhecimento é ferramenta indispensável para a maioria dos problemas relativos à Comercial.. PORCENTAGEM O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar números usando a proporção direta. Só que uma das razões da proporção é um fração de denominador 00. Vamos deixar isso mais claro: numa situação em que você tiver de calcular 40% de R$ 00,00, o seu trabalho será determinar um valor que represente, em 00, o mesmo que 40 em 00. Isso pode ser resumido na proporção: 40 x = Então, o valor de x será de R$ 0,00. Sabendo que em cálculos de porcentagem será necessário utilizar sempre proporções diretas, fica claro, então, que qualquer problema dessa natureza poderá ser resolvido com regra de três simples.. TAXA PORCENTUAL O uso de regra de três simples no cálculo de porcentagens é um recurso que torna fácil o entendimento do assunto, mas não é o único caminho possível e nem sequer o mais prático. Para simplificar os cálculos numéricos, é necessário, inicialmente, dar nomes a alguns termos. Veremos isso a partir de um exemplo. Exemplo: Calcular 0% de Calcular 0%, ou de 800 é dividir 800 em partes e tomar 0 dessas partes. Como a centésima parte de 800 é 8, então 0 dessas partes será 60. Chamamos: 0% de taxa porcentual; principal; 60 de porcentagem. 800 de Temos, portanto: 9

40 Principal: número sobre o qual se vai calcular a porcentagem. Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 00 partes do principal. Porcentagem: número que se obtém somando cada uma das 00 partes do principal até conseguir a taxa. A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao calcularmos uma porcentagem de um principal conhecido, não é necessário utilizar a montagem de uma regra de três. Basta dividir o principal por 00 e tomarmos tantas destas partes quanto for a taxa. Vejamos outro exemplo. Exemplo: Calcular % de Primeiro dividimos por 00 e obtemos 40, que é a centésima parte de Agora, somando partes iguais a 40, obtemos. 40 ou 80 que é a resposta para o problema. Observe que dividir o principal por 00 e multiplicar o resultado dessa divisão por é o mesmo que multiplicar o principal por ou 0,. Vamos usar esse 00 raciocínio de agora em diante: Porcentagem = taxa X principal JUROS SIMPLES Consideremos os seguintes fatos: Emprestei R$ ,00 para um amigo pelo prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 4 000,00 de juros. O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se eu comprar essa mesma televisão em 0 prestações, vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar R$750,00 de juros. No. fato, R$ 4 000,00 é uma compensação em dinheiro que se recebe por emprestar uma quantia por determinado tempo. No. fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinheiro que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo. Assim: Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compensação em dinheiro. Quando pedimos emprestada certa quantia por determinado tempo, pagamos uma compensação em dinheiro. Quando compramos uma mercadoria a prazo, pagamos uma compensação em dinheiro. Pelas considerações feitas na introdução, podemos dizer que : Juro é uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se paga. Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomina-se capital. O porcentual denomina-se taxa e representa o juro recebido ou pago a cada R$00,00, em ano. O período de depósito ou de empréstimo denominase tempo. A compensação em dinheiro denomina-se juro. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES Vejamos alguns exemplos:. exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ ,00, empregado a 5% ao a- no, durante 5 anos. De acordo com os dados do problema, temos: 5% em ano 5% (5. 5) em 5 anos 5 5% = =,5 00 Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema: Calcular 5% de R$ ,00. Dai: x = 5% de =, = = Resposta: Os juros produzidos são de R$ ,00. exemplo: Apliquei um capital de R$ 0.000,00 a uma taxa de,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse capital me renderá de juros?,8% em mês 6.,8% = 0,8% em 6 meses 0, 8 0,8% = = 0,08 00 Dai: x = 0, = 080 Resposta: Renderá juros de R$ 080,00.. exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6 meses, a uma taxa de,% ao mês, e devo pagar R$ 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? De acordo com os dados do problema:,% em mês 6.,% = 7,% em 6 meses 7, 7,% = = 0,07 00 Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema: 600 representam 7,% de uma quantia x. Calcule x. Dai: 600 = 0,07. x 0,07x = x = 0,07 x = Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 40

41 50.000, exemplo: Um capital de R$ ,00, aplicado durante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a taxa (em %) ao mês? De acordo com os dados do problema: x% em mês (6x)% em 6 meses Devemos, então, resolver o seguinte problema: representam quantos % de ? Dai: = 6x x = x = x = x = 0, ,0 = = % 00 Resposta: A taxa foi de % ao mês. Resolva os problemas: - Emprestando R$ ,00 à taxa de,% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? - Uma pessoa aplica certa quantia durante anos, à taxa de 5% ao ano, e recebe R$ 000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? - Um capital de R$ ,00 foi aplicado durante ano e 4 meses à taxa de 8% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)? - Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como vou comprá-lo no prazo de 0 meses, a loja cobrará juros simples de,6% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho. - A quantia de R$ ,00, aplicada durante 6 meses, rendeu juros de R$ 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicação - Uma geladeira custa R$ 000,00. Como vou compra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara juros simples de,5% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todas elas são iguais. - Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 60,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados? Respostas R$ 4 400,00 R$ ,00 R$ ,00 e R$ ,00 R$ 5 0,00,% R$ 075,00 e R$ 5,00,5% EQUAÇÕES EXPRESSÕES LITERAIS OU ALGÉBRICAS IGUALDADES E PROPRIEDADES São expressões constituídas por números e letras, unidos por sinais de operações. que.a ;.a.x.y + 4.x ; x.y.z; x : +, as letras a, x, y e z representam um número qualquer. Chama-se valor numérico de uma expressão algébrica quando substituímos as letras pelos respectivos valores dados: Exemplo: x + y para x = e y =, substituindo os respectivos valores temos,.( ) = 7 é o valor numérico da expressão. Exercícios Calcular os valores numéricos das expressões: ) x y para x = e y = ) x + a para x = e a = 0 ) 5x y + a para x =, y = e a = Respostas: ) 6 ) ) 4 Termo algébrico ou monômio: é qualquer número real, ou produto de números, ou ainda uma expressão na qual figuram multiplicações de fatores numéricos e literais. Exemplo: 5x 4, y, x, 4a,, x Partes do termo algébrico ou monômio. Exemplo: sinal ( ) x 5 ybz coeficiente numérico ou parte numérica x 5 ybz parte literal Obs.: ) As letras x, y, z (final do alfabeto) são usadas como variáveis (valor variável) ) quando o termo algébrico não vier expresso o coeficiente ou parte numérica fica subentendido que este coeficiente é igual a. Exemplo: ) a bx 4 =.a bx 4 ) abc =.a.b.c Termos semelhantes: Dois ou mais termos são semelhantes se possuem as mesmas letras elevadas aos mesmos expoentes e sujeitas às mesmas operações. Exemplos: ) a bx, 4a bx e a bx são termos semelhantes. ) x y, +x y e 8x y são termos semelhantes. Grau de um monômio ou termo algébrico: E a soma dos expoentes da parte literal. Exemplos: ) x 4 y z =.x 4.y.z (somando os expoentes da parte literal temos, = 8) grau 8. Expressão polinômio: É toda expressão literal constituída por uma soma algébrica de termos ou monômios. Exemplos: )a b 5x )x + b+ Polinômios na variável x são expressões polinomiais com uma só variável x, sem termos semelhantes. Exemplo: a ; axy + 4x ; xyz; x +, é o mesmo 4 Exemplo:

42 5x + x denominada polinômio na variável x cuja forma geral é a 0 + a x + a x + a x a n x n, onde a 0, a, a, a,..., a n são os coeficientes. Grau de um polinômio não nulo, é o grau do monômio de maior grau. Exemplo: 5a x a 4 x y + xy Grau + =, grau 4++= 7, grau +=, 7 é o maior grau, logo o grau do polinômio é 7. Exercícios ) Dar os graus e os coeficientes dos monômios: a) x y z grau coefciente b) a 7 x z grau coeficiente c) xyz grau coeficiente ) Dar o grau dos polinômios: a) x 4 y xy + x grau b) +xyz+x 5 y grau Respostas: ) a) grau 4, coeficiente b) grau, coeficiente c) grau, coeficiente ) a) grau 5 b) grau 7 CÁLCULO COM EXPRESSÕES LITERAIS Adição e Subtração de monômios e expressões polinômios: eliminam-se os sinais de associações, e reduzem os termos semelhantes. Exemplo: x + (x ) ( a) + (x x + ) (4a) x + x + a + x x + 4a = x +.x + x x + a 4a + = (+)x + ( )x + ( 4)a + = 4x + 0x.a + = 4x a + Obs.: As regras de eliminação de parênteses são as mesmas usadas para expressões numéricas no conjunto Z. Exercícios. Efetuar as operações: ) 4x + (5a) + (a x) + ( x a) ) 4x 7x + 6x + + 4x x + Respostas: ) x +a ) 9x x + MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Multiplicação de dois monômios: Multiplicam-se os coeficientes e após o produto dos coeficientes escrevem-se as letras em ordem alfabética, dando a cada letra o novo expoente igual à soma de todos os expoentes dessa letra e repetem-se em forma de produto as letras que não são comuns aos dois monômios. Exemplos: ) x 4 y z. xy z ab =..x 4+. y +. z +.a.b = 6abx 5 y 5 z 4 ) a bx. 5ab=.5. a +.b +. x = 5a b x 4 Exercícios: Efetuar as multiplicações. ) x yz. 4x y z = ) 5abx. a b x = Respostas: ) 8x 5 y 4 z ) 0a b x 5 EQUAÇÕES DO.º GRAU Equação: É o nome dado a toda sentença algébrica que exprime uma relação de igualdade. Ou ainda: É uma igualdade algébrica que se verifica somente para determinado valor numérico atribuído à variável. Logo, equação é uma igualdade condicional. Exemplo: 5 + x = 0.membro 0.membro onde x é a incógnita, variável ou oculta. Resolução de equações Para resolver uma equação (achar a raiz) seguiremos os princípios gerais que podem ser aplicados numa igualdade. Ao transportar um termo de um membro de uma i- gualdade para outro, sua operação deverá ser invertida. Exemplo: x + = 8 + x fica assim: x x = 8 = 5 x = 5 Note que o x foi para o.º membro e o foi para o.º membro com as operações invertidas. Dizemos que 5 é a solução ou a raiz da equação, dizemos ainda que é o conjunto verdade (V). Exercícios Resolva as equações : ) x + 7 = 9 ) 4x +0=0 ) 7x 6 = x 6 Respostas: ) x = 4 ou V = {4} ) x = 5 ou V = { 5} ) x = 5 ou V = {5} EQUAÇÕES DO.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Resolução por adição. x + y = 7 Exemplo : x y = - I - II Soma-se membro a membro. x +0 =8 x = 8 8 x = x = 4 Sabendo que o valor de x é igual 4 substitua este valor em qualquer uma das equações ( I ou II ), Substitui em I fica: 4 + y = 7 y = 7 4 y =

43 Se quisermos verificar se está correto, devemos substituir os valores encontrados x e y nas equações x + y = 7 x y = 4 + = 7 4 = Dizemos que o conjunto verdade: V = {(4, )} x + y = - I Exemplo : x + y = 8 - II Note que temos apenas a operação +, portanto devemos multiplicar qualquer uma ( I ou II) por, escolhendo a II, temos: x + y = x + y = x + y = 8. ( -) - x y = 8 soma-se membro a membro x + y = + - x - y = - 8 x + 0 = x = Agora, substituindo x = na equação II: x + y = 8, fica + y = 8, portanto y = 5 Exemplo : 5x + y = 8 - Ι x - y = - ΙΙ neste exemplo, devemos multiplicar a equação II por (para desaparecer a variável y). 5x + y = 8 5x + y = 8 x - y =.() 6x y = 4 soma-se membro a membro: 5x + y = 8 6x y = 4 x+ 0= x = x = x = Substituindo x = na equação I: 5x + y = y = y = 8 y = 8 0 y = 8 8 y = y =4 então V = {(,4)} > maior que, maior ou igual, < menor que, menor ou igual Exemplo : Determine os números naturais de modo que 4 + x >. 4 + x > x > 4 8 x > 8 x > x > 4 Exemplo : Determine os números inteiros de modo que 4 + x 5x + 4+x 5x + x 5x 4 x 9. ( ) x 9, quando multiplicamos por (-), invertemos o sinal dê desigualdade para, fica: 9 x 9, onde x ou x Exercícios. Resolva: ) x x, ) x + 6 x ) x + x Respostas: ) x ) x /4 ) x PRODUTOS NOTÁVEIS.º Caso: Quadrado da Soma (a + b) = (a+b). (a+b)= a + ab + ab + b.º.º a + ab +b Resumindo: O quadrado da soma é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o.º pelo.º mais o quadrado do.º. Exercícios. Resolver os produtos notáveis )(a+) ) (+a) ) (x +a) Respostas:.º caso ) a + 4a + 4 ) 9 + a + 4a ) x 4 + 6x a + 9a.º Caso : Quadrado da diferença (a b) = (a b). (a b) = a ab ab - b.º.º a ab + b Resumindo: O quadrado da diferença é igual ao quadrado do.º menos duas vezes o.º pelo.º mais o quadrado do.º. ) Exercícios. Resolver os sistemas de Equação Linear: 7x y = 0 5x + y = 7 8x 4y = 8 ) ) 5x + y = 6 8x y = x y = 0 Respostas: ) V = {(,)} ) V = {(,)} ) V {(, )} Exercícios. Resolver os produtos notáveis: ) (a ) ) (4 a) ) (y b) Respostas:.º caso ) a 4a +4 ) 6 4a + 9a ) y 4 4y b + 4b INEQUAÇÕES DO.º GRAU Distinguimos as equações das inequações pelo sinal, na equação temos sinal de igualdade (=) nas inequações são sinais de desigualdade. 4.º Caso: Produto da soma pela diferença (a b) (a + b) = a ab + ab +b = a b.º.º.º.º

44 Resumindo: O produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do.º menos o quadrado do.º. Exercícios. Efetuar os produtos da soma pela diferença: ) (a ) (a + ) ) (a ) (a + ) ) (a ) (a + ) Respostas:.º caso ) a 4 ) 4a 9 ) a 4 FATORAÇÃO ALGÉBRICA.º Caso: Fator Comum Exemplo : a + b: fator comum é o coeficiente, fica:.(a+b). Note que se fizermos a distributiva voltamos no início (Fator comum e distributiva são operações inversas ) Exercícios. Fatorar: ) 5 a + 5 b ) ab + ax ) 4ac + 4ab Respostas:.º caso ) 5.(a +b ) ) a. (b + x) ) 4a. (c + b) ) (a + ) ) (4 + a) Fazendo com trinômio (quadrado da diferença) x xy + y, extrair as raízes dos extremos x = x e x xy + y = (x y) y = y, o termo central é.x.y, então: Exemplo : 6 8a + a, extrair as raízes dos extremos 6 = 4 e a = a, termo central.4.a = 8a, então: 6 8a + a = (4 a) Exercícios Fatorar: ) x xy + y ) 4 4a + a ) 4a 8a + 4 Respostas:.º caso ) (x y) ) ( a) ) (a ).º Caso: (Diferença de dois quadrados) (note que é um binômio) Exemplo a b, extrair as raízes dos extremos b = b, então fica: a b = (a + b). (a b) a = a e Exemplo : a + 6a: Fator comum dos coeficientes (, 6) é, porque MDC (, 6) =. O m.d.c. entre: a e a é a (menor expoente), então o fator comum da expressão a + 6a é a. Dividindo a : a = a e 6 a : a =, fica: a. (a + ). Exercícios. Fatorar: ) 4a + a ) ax + 6a y ) 4a + a Exemplo : 4 a, extrair as raízes dos extremos 4 =, = a, fica: (4 a ) = ( a). (+ a) Exercícios. Fatorar: ) x y ) 9 b ) 6x Respostas:.º caso ) (x + y) (x y) ) ( + b) ( b) ) (4x + ) (4x ) a Respostas:.º caso ) a.(a + ) ) a.(x + ay) ) a (a + ).º Caso: Trinômio quadrado perfeito (É a operação inversa dos produtos notáveis caso ) Exemplo a + ab + b extrair as raízes quadradas do ex- tremo a + ab + b a = a e b = b e o termo do meio é.a.b, então a + ab + b = (a + b) (quadrado da soma). Exemplo : 4a + 4a + extrair as raízes dos extremos 4 a + 4a + 4 a = a, = e o termo central é.a. = 4a, então 4a + 4a + = (a + ) Exercícios Fatorar os trinômios (soma) ) x + xy + y ) 9a + 6a + ) 6 + 8a + a Respostas:.º caso ) (x + y) 44 EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS x São Equações cujas variáveis estão no denominador 4 Ex: =, + = 8, note que nos dois exem- x x plos x 0, pois o denominador deverá ser sempre diferente de zero. Para resolver uma equação fracionária, devemos a- char o m.m.c. dos denominadores e multiplicamos os dois membros por este m.m.c. e simplificamos, temos então uma equação do.º grau. Ex: x + = 7, x 0, x. x + = 7. x x 4 + 6x = x x, simplificando m.m.c. = x + 6x = 7x equação do.º grau. Resolvendo temos: = 7x 6x = x ou x = ou V = { }

45 Exercícios Resolver as equações fracionárias: ) + = x 0 x x 5 ) + = x 0 x x Respostas: Equações: ) V = { } ) V = { RADICAIS } 4 =, =, 9 =, 6 = 4, etc., são raízes exatas são números inteiros, portanto são racionais: =, , =, , 5 =, , etc. não são raízes exatas, não são números inteiros. São números irracionais. Do mesmo modo =, 8 =, 7 =, 64 = 4,etc., são racionais, já 9 =, ,, são irracionais. Nomes: n a 0 = = b : n = índice; a = radicando = sinal da raiz e b = raiz. Dois radicais são semelhantes se o índice e o radicando forem iguais. Exemplos: ),, - são semelhantes observe o n = raiz quadrada pode omitir o índice, ou seja, 5 = 5 ) 5 7, 7, 7 são semelhantes Operações: Adição e Subtração Só podemos adicionar e subtrair radicais semelhantes. Exemplos: + = + = ) 5 ( 5) 6 ) ( ) = = 9 Multiplicação e Divisão de Radicais Só podemos multiplicar radicais com mesmo índice e n n n usamos a propriedade: a b = ab Exemplos ) =. = 4 = ) 4 =. 4 = ) 9 =. 9 = 7 = 4) 5 4 = 5. 4 = 0 5) 5 6 = = 90 Exercícios Efetuar as multiplicações ) 8 ) 5 5 ) Respostas: ) 4 ) 5 ) 0 Para a divisão de radicais usamos a propriedade também com índices iguais Exemplos: a b = a : b = 8 ) = 8 : = 8 : = 9 = 0 ) = 0 : 0 = 0 : 0 = 0 ) 5 5 = 5 : 5 = 5 : 5 Exercícios. Efetuar as divisões 6 6 ) ) ) = Respostas: ) ) ) Simplificação de Radicais 4 6 a : b Podemos simplificar radicais, extraindo parte de raízes exatas usando a propriedade n a n simplificar índice com expoente do radicando. Exemplos: )Simplificar decompor em fatores primos: 6 = = = ) Simplificar, decompondo fica: = = ) Simplificar 8, decompondo fica: fica = = 4 8 = = = = 4 Exercícios Simplificar os radicais: ) 0 ) 50 ) 40 Respostas: ) 5 ) 5 ). 5 45

46 Racionalização de Radiciação Em uma fração quando o denominador for um radical devemos racionalizá-lo. Exemplo: devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo radical do denominador. = e = = 9 é o fator racionalizante. Exercícios Racionalizar: ) 5 Respostas: ) Outros exemplos: Exercícios. Racionalizar: ) 4 Respostas: ) são frações equivalentes. Dizemos que ) 6 ) ) 55 = 6 4 ) devemos fazer: 4 4 = = = ) ) EQUAÇÕES DO.º GRAU 4 ) ) 8 Definição: Denomina-se equação de.º grau com variável toda equação de forma: ax + bx + c = 0 onde : x é variável e a,b, c R, com a 0. Exemplos: x - 6x + 8 = 0 x + 8x + = 0 x + 0x 6 = 0 y - y + 9 = 0 - y - 9y+0 = 0 5x + 7x - 9 = 0 COEFICIENTE DA EQUAÇÃO DO.º GRAU Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação do.º grau, sendo que: a representa sempre o coeficiente do termo x. b representa sempre o coeficiente do termo x. c é chamado de termo independente ou termo constante. Exemplos: a)x + 4x + = 0 b) y + 0y + = 0 a =,b = 4,c = a =,b = 0, c = c) x x + = 0 d) 7y + y + 0 = 0 a =, b =, c = a = 7, b =, c = 0 Exercícios Destaque os coeficientes: )y + 5y + 0 = 0 )x x + = 0 )5y y + = 0 4) 6x + 0x + = 0 Respostas: ) a =, b = 5 e c = 0 )a =, b = e c = ) a = 5, b = e c = 4) a = 6, b = 0 e c = EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS Temos uma equação completa quando os coeficientes a, b e c são diferentes de zero. Exemplos: x x = 0 y y = 0 y + y + 5 = 0 São equações completas. Quando uma equação é incompleta, b = 0 ou c = 0, costuma-se escrever a equação sem termos de coeficiente nulo. Exemplos: x 6 = 0, b = 0 (Não está escrito o termo x) x + 4x = 0, c = 0 (Não está escrito o termo independente ou termo constante) x = 0, b = 0, c = 0 (Não estão escritos o termo x e termo independente) FORMA NORMAL DA EQUAÇÃO DO.º GRAU ax + bx + c = 0 EXERCÍCIOS Escreva as equações na forma normal: ) 7x + 9x = x ) 5x x = x + Respostas: ) 4x + 9x + = 0 ) x x = 0 Resolução de Equações Completas Para resolver a equação do.º Grau, vamos utilizar a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara. A expressão b - 4ac, chamado discriminante de equação, é representada pela letra grega (lê-se deita). = b - 4ac logo se > 0 podemos escrever: b ± x = a RESUMO NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO.º GRAU COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS: ou = b - 4ac b ± x = b 4 a c a b ± x = a Exemplos: a) x + 7x + = 0 a =, b =7, c = 46

47 b ± b 4 a c x = a ( + 7) x = ( + 7) ± ( 7) ( ) ± ± 5 x = x = 4 4 ( + 7) ± x = x ' = = = x " = = = S =, - ou b) x +7x + = 0 a =, b = 7, c = = b 4.a. c =7 4.. = 49 4 = 5 ( + 7) ( ) 4 ± ± 5 x = x = x ' = = = 4 4 e x " = = = S =, - Observação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA DA FORMULA. EXERCÍCIOS Resolva as equações do.º grau completa: ) x 9x +0 = 0 ) x + x = 0 ) x 7x 5 = 0 4) x +x + = 0 5) x 4x +4 = 0 Respostas ) V = { 4, 5) ) V = {, } ) V = { 5, } 4) V = {, } 5) V = {} EQUAÇÃO DO.º GRAU INCOMPLETA Estudaremos a resolução das equações incompletas do.º grau no conjunto R. Equação da forma: ax + bx = 0 onde c = 0 Exemplo: x 7x = 0 Colocando-se o fator x em evidência (menor expoente) x. (x 7) = 0 x = 0 ou x 7 = 0 x = 7 Os números reais 0 e 7 são as raízes da equação S = { 0 ; 7 ) Equação da forma: ax + c = 0, onde b = 0 Exemplos a) x 8 = 0 x = 8 transportando-se o termo independente para o.º termo. x = ± 8 pela relação fundamental. x = ± 9 S = { 9; 9 } b) x +5 = 0 x = 5 x = ± 5, 5 não representa número real, isto é 5 R a equação dada não tem raízes em IR. S = φ ou S = { } c) 9x 8= 0 9x = 8 x = 9 8 x = 9 x = ± 9 x = ± S = { ±} Equação da forma: ax = 0 onde b = 0, c = 0 A equação incompleta ax = 0 admite uma única solução x = 0. Exemplo: x = 0 x = 0 x = 0 x = + 0 S = { 0 } Exercícios Respostas: ) 4x 6 = 0 ) V = {, + } ) 5x 5 = 0 ) V = { 5, +5} ) x + 75x = 0 ) V = { 0, 5} Relações entre coeficiente e raízes Seja a equação ax + bx + c = 0 ( a 0), sejam x e x as raízes dessa equação existem x e x reais dos coeficientes a, b, c. b + x ' = e a b x " = a RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES b + b x ' + x " = + a a b + b x ' + x " = a b x ' + x " = x ' + x " = a b a 47

48 Daí a soma das raízes é igual a -b/a ou seja, x + x = -b/a b Relação da soma: x ' + x " = a RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES x ' b + x " = a x ' x " = x ' b a ( b + ) ( b ) b x " = 4a 4a ( ) b b 4ac x ' x " = 4a b b + 4ac x ' x " = 4a 4ac c x ' x " = x ' x " = 4a a = b 4 a c c = a+ b [- ( a + ) ] a + S = x ' + x " = = - = = a a + a + c a + ( a + ) P = x ' x " = = = = a a + a + Se a = essas relações podem ser escritas: b x ' + x " = x ' + x " = b c x ' x " = x ' x " = c Exemplo: x 7x+ = 0 a =, b = 7, c = b (- 7) S = x ' + x " = = - = 7 a c P = x ' x " = = = a EXERCÍCIOS Calcule a Soma e Produto ) x x + 6 = 0 ) x (a + b)x + ab = 0 ) ax + ax - = 0 4) x + x = 0 Daí o produto das raízes é igual a c x ' x " = ( Relação de produto) a c a ou seja: Respostas: ) S = 6 e P = ) S = (a + b) e P = ab ) S = e P = a Sua Representação: Representamos a Soma por S b S = x ' + x " = a Representamos o Produto pôr P P = x ' x " = Exemplos: ) 9x 7x +45 = 0 a = 9, b = 7, c = 45. b (-7) 7 S = x ' + x " = = - = = 8 a 9 9 c 45 P = x ' x " = = = 5 a 9 ) x +x 4= 0 a =, b =,c = 4 b ( ) - S = x ' + x " = = - = = 7 a c + (- 4) 4 P = x ' x " = = = = 8 a a = 4, ) 4x 6 = 0 b = 0, (equação incompleta) c = 6 b 0 S = x ' + x " = = = 0 a 4 c + (-6) 6 P = x ' x " = = = = 4 a 4 4 a = a+ 4) ( a+) x ( a + ) x + a+ = 0 b = (a+ ) c a 4) S = e P = APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES Se considerarmos a =, a expressão procurada é x + bx + c: pelas relações entre coeficientes e raízes temos: x + x = b b = ( x + x ) x. x = c c = x. x Daí temos: x + bx + c = 0 REPRESENTAÇÃO Representando a soma x + x = S Representando o produto x. x = P E TEMOS A EQUAÇÃO: x Sx + P = 0 Exemplos: a) raízes e 4 S = x + x = + (-4) = 4 = P = x.x =. ( 4) = x Sx + P = 0 x + x = 0 b) 0, e 0, 48

49 S = x + x =0, + 0, = 0,5 P = x. x =0,. 0, = 0,06 x Sx + P = 0 x 0,5x + 0,06 = 0 5 c) e S = x + x = + = = P = x. x =. = 4 8 x Sx + P = 0 x 5 x + = d) 4 e 4 S = x +x = 4 + ( 4) = 4 4 = 0 P = x. x = 4. ( 4) = 6 x Sx + P = 0 x 6 = 0 Exercícios Componha a equação do.º grau cujas raízes são: 4 ) e ) 6 e 5 ) e 5 4) + 5 e 5 5) 6 e 0 Respostas: ) x 5x+6= 0 ) x x 0 = 0 )x 6x 8 = ) x 6x + 4 = 0 5) x 6x = 0 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Um problema de.º grau pode ser resolvido por meio de uma equação ou de um sistema de equações do.º grau. Para resolver um problema do segundo grau deve-se seguir três etapas: Estabelecer a equação ou sistema de equações correspondente ao problema (traduzir matematicamente), o enunciado do problema para linguagem simbólica. Resolver a equação ou sistema Interpretar as raízes ou solução encontradas Exemplo: Qual é o número cuja soma de seu quadrado com seu dobro é igual a 5? número procurado : x equação: x + x = 5 Resolução: x + x 5 = 0 =b 4ac = () 4..( 5) = = 64 ± 64 x = ± 8 x = x ' = = = 8 0 x " = = = 5 Os números são e 5. Verificação: x + x 5 = 0 x + x 5 = 0 () + () 5 = 0 ( 5) + ( 5) 5 = = = 0 0 = 0 0 = 0 ( V ) ( V ) S = {, 5 } RESOLVA OS PROBLEMAS DO.º GRAU: ) O quadrado de um número adicionado com o quádruplo do mesmo número é igual a. ) A soma entre o quadrado e o triplo de um mesmo número é igual a 0. Determine esse número. ) O triplo do quadrado de um número mais o próprio número é igual a 0. Determine esse numero. 4) A soma do quadrado de um número com seu quíntuplo é igual a 8 vezes esse número, determine-o. Respostas: ) 4 e 8 ) 5 e ) 0 e 4) 0 e SISTEMA DE EQUAÇÕES DO GRAU Como resolver Para resolver sistemas de equações do º grau, é importante dominar as técnicas de resolução de sistema de º grau: método da adição e método da substituição. Imagine o seguinte problema: dois irmãos possuem idades cuja soma é 0 e a multiplicação 6. Qual a idade de cada irmão? Equacionando: Pela primeira equação, que vamos chamar de I: Substituindo na segunda: 49

50 Logo: Aplicando na segunda: Usando a fórmula: De Produtos notáveis: Logo Dividindo por : Substituindo em I: Logo: As idades dos dois irmãos são, respectivamente, de e 8 anos. Testando: a multiplicação de X 8 = 6 e a soma + 8 = 0. Outro exemplo Encontre dois números cuja diferença seja 5 e a soma dos quadrados seja. Substituindo em II: Da primeira, que vamos chamar de II: 50

51 Substituindo em II: Os números são e - ou e -. Os sistemas a seguir envolverão equações do º e do º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir: Exemplo Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: Para y = 4, temos: x = 6 y x = 6 4 x = Par ordenado (; 4) Isolando x ou y na ª equação do sistema: x + y = 6 x = 6 y Substituindo o valor de x na ª equação: x² + y² = 0 (6 y)² + y² = 0 (6)² * 6 * y + (y)² + y² = 0 6 y + y² + y² 0 = 0 6 y + y² = 0 y² y + 6 = 0 (dividir todos os membros da equação por ) y² 6y + 8 = 0 = b² 4ac = ( 6)² 4 * * 8 = 6 = 4 a =, b = 6 e c = 8 Para y =, temos: x = 6 y x = 6 x = 4 Par ordenado (4; ) S = {(: 4) e (4; )} Exemplo Isolando x ou y na ª equação: x y = x = y Substituindo o valor de x na ª equação: x² + y² = 8 (y )² + y² = 8 y² 6y y² 8 = 0 y² 6y 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por ) y² y = 0 = b² 4ac = ( )² 4 * * ( ) = 4 + = 6 a =, b = e c = 5

52 5 caminhos ligando os pontos B e C. Para ir de A a C, passando pelo ponto B, qual o número de trajetos diferentes que podem ser realizados? Solução: Escolher um trajeto de A a C significa escolher um caminho de A a B e depois outro, de B a C. Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: Para y =, temos: x = y x = x = 0 Par ordenado (0; ) Para y =, temos: x = y x = x = 4 Par ordenado ( 4; ) S = {(0; ) e ( 4; )} ANÁLISE COMBINATÓRIA Princípio fundamental da contagem (PFC) Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e um segundo evento, de k maneiras diferentes, então, para ocorrerem os dois sucessivamente, existem m. k maneiras diferentes. Aplicações ) Uma moça dispõe de 4 blusas e saias. De quantos modos distintos ela pode se vestir? Solução: A escolha de uma blusa pode ser feita de 4 maneiras diferentes e a de uma saia, de maneiras diferentes. Pelo PFC, temos: 4. = possibilidades para a escolha da blusa e saia. Podemos resumir a resolução no seguinte esquema; Como para cada percurso escolhido de A a B temos ainda 5 possibilidades para ir de B a C, o número de trajetos pedido é dado por: 4. 5 = 0. Esquema: Percurso AB Percurso BC 4. 5 = 0 ) Quantos números de três algarismos podemos escrever com os algarismos ímpares? Solução: Os números devem ser formados com os algarismos:,, 5, 7, 9. Existem 5 possibilidades para a escolha do algarismo das centenas, 5 possibilidades para o das dezenas e 5 para o das unidades. Assim, temos, para a escolha do número, = 5. algarismos da centena algarismos da dezena algarismos da unidade = 5 4) Quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados três letras e três algarismos para a identificação de um veículo? (Considerar 6 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) Solução: Como dispomos de 6 letras, temos 6 possibilidades para cada posição a ser preenchida por letras. Por outro lado, como dispomos de dez algarismos (0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos 0 possibilidades para cada posição a ser preenchida por algarismos. Portanto, pelo PFC o número total de placas é dado por: Blusa saia 4. = modos diferentes ) Existem 4 caminhos ligando os pontos A e B, e 5 5) Quantos números de algarismos distintos podemos formar com os algarismos,, e 4? Solução:

53 Observe que temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo e, para cada uma delas, possibilidades para o segundo, visto que não é permitida a repetição. Assim, o número total de possibilidades é: 4. = Esquema: 8. Como os números devem estar compreendidos entre 000 e 5000, o primeiro algarismo só pode ser ou 4. Assim, temos apenas duas possibilidades para o primeiro algarismo e 4 para o segundo, três para o terceiro e duas paia o quarto. O número total de possibilidades é:. 4.. = 48 Esquema: 6) Quantos números de algarismos distintos podemos formar com os algarismos,,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Solução: Existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo, apenas 8 para o segundo e apenas 7 para o terceiro. Assim, o número total de possibilidades é: = 504 Esquema: 7) Quantos são os números de algarismos distintos? Solução: Existem 0 algarismos: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Temos 9 possibilidades para a escolha do primeiro algarismo, pois ele não pode ser igual a zero. Para o segundo algarismo, temos também 9 possibilidades, pois um deles foi usado anteriormente. Para o terceiro algarismo existem, então, 8 possibilidades, pois dois deles já foram usados. O numero total de possibilidades é: = 648 Esquema: 8) Quantos números entre 000 e 5000 podemos formar com os algarismos pares, sem os repetir? Solução: Os candidatos a formar os números são : 0,, 4, 6 e 5 Exercícios ) Uma indústria automobilística oferece um determinado veículo em três padrões quanto ao luxo, três tipos de motores e sete tonalidades de cor. Quantas são as opções para um comprador desse carro? ) Sabendo-se que num prédio existem entradas diferentes, que o prédio é dotado de 4 elevadores e que cada apartamento possui uma única porta de entrada, de quantos modos diferentes um morador pode chegar à rua? ) Se um quarto tem 5 portas, qual o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair do mesmo por uma porta diferente da que se utilizou para entrar? 4) Existem linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem utilizar duas vezes a mesma linha? 5) Quantas placas poderão ser confeccionadas para a identificação de um veículo se forem utilizados duas letras e quatro algarismos? (Observação: dispomos de 6 letras e supomos que não haverá nenhuma restrição) 6) No exercício anterior, quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados 4 letras e algarismos? 7) Quantos números de algarismos podemos formar com os algarismos,,, 4, 5 e 6? 8) Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0,,,, 4 e 5? 9) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos,,, 4, 5 e 6? 0) Quantos números de 5 algarismos não repetidos podemos formar com os algarismos,,, 4, 5, 6 e 7? ) Quantos números, com 4 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos ímpares? ) Quantos números, com 4 algarismos distintos, podemos formar com o nosso sistema de numeração? ) Quantos números ímpares com algarismos distintos podemos formar com os algarismos,,, 4, 5 e 6? 4) Quantos números múltiplos de 5 e com 4 algarismos podemos formar com os algarismos,, 4, 5 e 7, sem os repetir? 5) Quantos números pares, de algarismos distintos, podemos formar com os algarismos,,, 4, 5, 6 e 7? E quantos ímpares?

54 6) Obtenha o total de números de algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto (,, 4, 5, 9), que contêm e não contêm 9. 7) Quantos números compreendidos entre 000 e 7000 podemos escrever com os algarismos ímpares, sem os repetir? 8) Quantos números de algarismos distintos possuem o zero como algarismo de dezena? 9) Quantos números de 5 algarismos distintos possuem o zero como algarismo das dezenas e começam por um algarismo ímpar? 0) Quantos números de 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a? ) Quantos números se podem escrever com os algarismos ímpares, sem os repetir, que estejam compreendidos entre 700 e 500? ) Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantas maneiras diferentes elas podem ocupar os lugares? ) Dez times participam de um campeonato de futebol. De quantas formas se podem obter os três primeiros colocados? 4) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas e um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos pares, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas, de modo que o número não tenha nenhum algarismo repetido? 5) Calcular quantos números múltiplos de de quatro algarismos distintos podem ser formados com,, 4, 6 e 9. 6) Obtenha o total de números múltiplos de 4 com quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos,,, 4, 5 e 6. ARRANJOS SIMPLES Introdução: Na aplicação A n,p, calculamos quantos números de algarismos distintos podemos formar com,, e 4. Os números são : Observe que os números em questão diferem ou pela ordem dentro do agrupamento ( ) ou pelos elementos componentes ( 4). Cada número se comporta como uma sequência, isto é : (,) (,) e (,) (,4) A esse tipo de agrupamento chamamos arranjo simples. Definição: Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se arranjo simples dos n elementos de /, tomados p a p, a toda sequência de p elementos distintos, escolhidos entre os elementos de l ( P n). O número de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, é indicado por A n,p Aplicações ) Calcular: a) A 7, b) A 7, c) A 7, d) A 7,4 Solução: a) A 7, = 7 c) A 7, = = 0 b) A 7, = 7. 6 = 4 d) A 7,4 = = 840 ) Resolver a equação A x, =. A x,. Solução: x. ( x - ). ( x ) =. x. ( x - ) x ( x ) (x ) - x ( x ) =0 x( x )[ x ] = 0 x = 0 (não convém) ou x = ( não convém) ou x = 5 (convém) S = { 5 } ) Quantos números de algarismos distintos podemos escrever com os algarismos,,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Solução: Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o principio fundamental da contagem. Utilizando-se a fórmula, o número de arranjos simples é: A 9, = = 504 números Observação: Podemos resolver os problemas sobre arranjos simples usando apenas o principio fundamental da contagem. Exercícios ) Calcule: a) A 8, b) A 8, c ) A 8, d) A 8,4 ) Efetue: a) A 7, + 7A 5, A 4, A 0, b) ) Resolva as equações: a) A x, = A x, b) A x, = c) A x, = x(x ) FATORIAL A A 8, 5, + A A 7,4 0, Definição: Chama-se fatorial de um número natural n, n, ao produto de todos os números naturais de até n. Assim : n! = n( n - ) (n - )...., n (lê-se: n fatorial)! = 0! = Fórmula: A n,p = n. (n -). (n )... (n (p )), p n e { p, n} IN ( ) Fórmula de arranjos simples com o auxílio de fatorial: n! A N, P =, p n e { p,n} ln n p! 54

55 Aplicações ) Calcular: a) 5! c) b) 5! 4! d) 8! 6!! + 0! 0! e) n! (n - )! Solução: a) 5! = = 0 5! 5 4! b) = = 5 4! 4! 8! 8 7 6! c) = = 56 6! 6!! + 0! 0! + 0! 0! + d) = = 0! 0! 0! e) n! n = (n - )! ( n -)( n - ) ( n - )! ( )! = n ) Obter n, de modo que A n, = 0. n = Solução: Utilizando a fórmula, vem : n! n ( n - ) ( n - )! = 0 = 0 (n - )! (n - )! n = 6 n n 0 = 0 ou n = 5 ( não convém) ) Obter n, tal que: 4. A n-, =. A n,. Solução: 4 ( n - )! = n - 4! n! n - ( ) ( ) 4 ( n - )( n - 4) ( n - 4)!! n = 4n = n n = 4! ( ) ( n -)! n -! ( n - )! ( ) = n! n - 4! ( n -)! ( n + )! - ( n + )! 4) Obter n, tal que : = 4 n! Solução: ( n + ) (n + ) = 4 n!( n ( n + ) + ) n! n! n!- ( n [ n + -] + ) = 4 n + = n = Exercícios ) Assinale a alternativa correta: n! = 4 n + = n = (não convém ) 0! a) 0! = 5! + 5! d) = 5! b) 0! =!. 5! e) 0! = ! c) 0! =! -! ) Assinale a alternativa falsa; a) n! = n ( n-)! d) ( n )! = (n- )(n-)! b) n! = n(n - ) (n - )! e) (n - )! = n(n -) c) n! = n(n ) (n - ) (n - )! ) Calcule:! a) 0! 7! + 5! b) 5! 4) Simplifique: n! a) ( n -)! ( n + )! b) [( n + )! ] c) n! n! + ( n + )! n! 7! c)! 4! 8! - 6! d) 5! d) e) n! n ( n -)! 5M! - ( M -)! M! 5) Obtenha n, em: (n + )! a) = 0 n! b) n!+( n - )! = 6 ( n - )! n (n -)! c) = 6 (n - )! d) (n - )! = 0 6) Efetuando a) b) c) (n + )! n! n! ( n + )! n - n! n, obtém-se: (n + )! d) e) 0 n + (n + )! 7) Resolva as equações: a) A x, = 8A x, b) A x, =. ( x - ) 8) Obtenha n, que verifique 8n! = (n + )! + (n + )! n + 9) O número n está para o número de seus arranjos a como está para 40, obtenha n. PERMUTAÇÕES SIMPLES Introdução: Consideremos os números de três algarismos distintos formados com os algarismos, e. Esses números são : A quantidade desses números é dada por A, = 6. 55

56 Esses números diferem entre si somente pela posição de seus elementos. Cada número é chamado de permutação simples, obtida com os algarismos, e. Definição: Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples dos n elementos de l a toda a sequência dos n elementos. O número de permutações simples de n elementos é indicado por P n. Devemos também permutar as letras T, R, E, pois não foi especificada a ordem : OBSERVA ÇÃO: P n = A n,n. Fórmula: Aplicações ) Considere a palavra ATREVIDO. a) quantos anagramas (permutações simples) podemos formar? b) quantos anagramas começam por A? c) quantos anagramas começam pela sílaba TRE? d) quantos anagramas possuem a sílaba TR E? e) quantos anagramas possuem as letras T, R e E juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e terminam em consoante? Solução: a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições disponíveis. Assim: Ou então, P 8 = 8! = 40.0 anagramas b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; assim, devemos distribuir as 7 letras restantes em 7 posições, Então: c) Como as primeiras posições ficam ocupadas pela sílaba TRE, devemos distribuir as 5 letras restantes em 5 posições. Então: d) considerando a sílaba TRE como um único elemento, devemos permutar entre si 6 elementos, e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo considerado as letras T, R, E como um único elemento: Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E podem ser dispostas de P maneiras. Assim, para P 6 agrupamentos, temos P 6. P anagramas. Então: P 6. P = 6!.! = = 4 0 anagramas f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 consoantes. Assim: Exercícios ) Considere a palavra CAPITULO: a) quantos anagramas podemos formar? b) quantos anagramas começam por C? c) quantos anagramas começam pelas letras C, A e P juntas e nesta ordem? d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas e nesta ordem? e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e terminam em consoante? ) Quantos anagramas da palavra MOLEZA começam e terminam por vogal? ) Quantos anagramas da palavra ESCOLA possuem as vogais e consoantes alternadas? 4) De quantos modos diferentes podemos dispor as letras da palavra ESPANTO, de modo que as vogais e consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem? 5) obtenha o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as vogais se mantenham nas respectivas posições. PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS RE- PETIDOS Dados n elementos, dos quais : α são iguais a a a,a,..., α são iguais a α r são iguais a a a α a, a,..., a a r r r α a,a,..., a αr r 56

57 sendo ainda que: α + α α = n, e indicandose por pn( α, α,... αr ) o número das permutações simples dos n elementos, tem-se que: Aplicações ) Obter a quantidade de números de 4 algarismos formados pelos algarismos e de maneira que cada um apareça duas vezes na formação do número. Solução: os números são r A quantidade desses números pode ser obtida por: ( ) 4! 4! P, 4 = = = 6 números!!! ) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMADA? solução: Temos: Assim: A, A, (,, ) 5! p =!!! A M D 5 = 4!! 5 = 0 anagramas ) Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam pela sílaba RA? Solução: Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5 letras para serem permutadas, sendo que: G { A, A R F { { Assim, temos: (,, ) 5 4! p5 = = 60 anagramas! Exercícios ) O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA é: a) 0 c) 0 e) 0 b) 60 d) 0 ) O número de permutações distintas possíveis com as oito letras da palavra PARALELA, n! pn( α, α,... αr ) = α! α!... α! começando todas com a letra P, será de ; a) 0 c) 40 e) 60 b) 70 d) 4 ) Quantos números de 5 algarismos podemos formar com os algarismos e 4 de maneira que o apareça três vezes em todos os números? a) 0 c) 0 e) 6 b) 0 d) 4 r 4) Quantos números pares de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos,,, e, respeitadas as repetições apresentadas? a) 0 c) 0 e) 6 b) 4 d) 5) Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA terminam pela sílaba MA? a) c) e) 40 0 b) d) COMBINAÇÕES SIMPLES Introdução: Consideremos as retas determinadas pelos quatro pontos, conforme a figura. Só temos 6 retas distintas ( AB, BC, CD, CD e DC represen- AC,BD e AD) porque AB e BA,..., tam retas coincidentes. Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem subconjuntos do conjunto formado por A, B, C e D. Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combinação simples dos n elementos de /, tomados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos do conjunto l. Diferem entre si apenas pelos elementos componentes, e são chamados combinações simples dos 4 elementos tomados a. O número de combinações simples dos n elementos n tomados p a p é indicado por C n,p ou. p OBSERVAÇÃO: C n,p. p! = A n,p. Fórmula: C n, p = n!, p! ( n - p )! p n e { p, n } Aplicações ) calcular: a) C 7, b) C 7, c) C 7, d) C 7,4 Solução: 7! 7 6! a) C 7, = = = 7! 6! 6! 7! 7 6 5! b) C 7, = = =! 5! 5! ln 57

58 7! ! c) C 7, = = = 5!4! 4! 7! ! d) C 7,4 = = = 5 4!! 4! ) Quantos subconjuntos de elementos tem um conjunto de 5 elementos? 5! 5 4! C 5, = = = 0 subconjuntos!!! ) obter n, tal que Solução: n!! ( n - )! = n!! ( n - )! 4 C C n, = n, 4 n!! ( n - ) ( n - ) ( n - )! = ( n - )! n = 6 convém 4! ( n - )! 4 = n! n - = 4 comissão, não importa a ordem. Sendo assim : 6! escolher rapazes: C 6, = = 0 modos!! 5! escolher moças: C 5, = = 0 modos!! Como para cada uma das 0 triplas de rapazes temos 0 pares de moças para compor cada comissão, então, o total de comissões é C 6,. C 5, = 00. 7) Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre uma outra reta, paralela á primeira, 4 pontos. a) Quantas retas esses pontos determinam? b) Quantos triângulos existem com vértices em três desses pontos? Solução: a) C 0, C 6, C 4, + = 6 retas onde C 6, é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por seis pontos C 4, é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por quatro pontos. 4) Obter n, tal que C n, = 8. Solução: n!!( n - )! n n 56 = 0 n ( n -) = 8 ( n )! n = 8 n = -7 (não convém) ( n - )! = 56 5) Numa circunferência marcam-se 8 pontos, a distintos. Obter o número de triângulos que podemos formar com vértice nos pontos indicados: b) C 0, C 6, C 4, = 96 triângulos onde C 6, é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados em uma das retas, pois pontos colineares não determinam triângulo. C 4, é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados da outra reta. 8) Uma urna contém 0 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 sejam pretas? Solução: As retiradas podem ser efetuadas da seguinte forma: 4 pretas e brancas C 6,4. C 0, = 800 ou 5 pretas e brancas C 6,5. C 0, = 70 ou 6 pretas e branca C 6,6. C 0, = 0 Solução: Um triângulo fica identificado quando escolhemos desses pontos, não importando a ordem. Assim, o número de triângulos é dado por: 8! ! C 8, = = = 56!5!.5! 6) Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5 moças. Quantas comissões de 5 pessoas, rapazes e moças, podem ser formadas? Solução: Na escolha de elementos para formar uma 58 Logo = 080 modos Exercícios ) Calcule: a) C 8, + C 9, C 7,7 + C 0,0 b) C 5, +P C 5, c) A n,p. P p ) Obtenha n, tal que : a) C n, = b) C n-, = 6 c) 5. C n,n - + C n,n - = A n, ) Resolva a equação C x, = x. 4) Quantos subconjuntos de 4 elementos possui

59 um conjunto de 8 elementos? 5) Numa reunião de 7 pessoas, quantas comissões de pessoas podemos formar? 6) Um conjunto A tem 45 subconjuntos de elementos. Obtenha o número de elementos de A Ap, 7) Obtenha o valor de p na equação: =. C 8) Obtenha x na equação C x, =. A x,. 9) Numa circunferência marcam-se 7 pontos distintos. Obtenha: a) o número de retas distintas que esses pontos determinam; b) o número de triângulos com vértices nesses pontos; c) o número de quadriláteros com vértices nesses pontos; d) o número de hexágonos com vértices nesses pontos. 0) A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de brasileiros e japoneses podem ser formadas? ) Uma urna contém 0 bolas brancas e 4 bolas pretas. De quantos modos é possível tirar 5 bolas, das quais duas sejam brancas e sejam pretas? ) Em uma prova existem 0 questões para que os alunos escolham 5 delas. De quantos modos isto pode ser feito? ) De quantas maneiras distintas um grupo de 0 pessoas pode ser dividido em grupos contendo, respectivamente, 5, e duas pessoas? 4) Quantas diagonais possui um polígono de n lados? p,4 c) pelo menos três sejam azuis 8) De quantos modos podemos separar os números de a 8 em dois conjuntos de 4 elementos? 9) De quantos modos podemos separar os números de a 8 em dois conjuntos de 4 elementos, de modo que o e o 6 não estejam no mesmo conjunto? 0) Dentre 5 números positivos e 5 números negativos, de quantos modos podemos escolher quatro números cujo produto seja positivo? ) Em um piano marcam-se vinte pontos, não alinhados a, exceto cinco que estão sobre uma reta. O número de retas determinadas por estes pontos é: a) 80 b) 40 c) 80 d) 90 e) 8 ) Quantos paralelogramos são determinados por um conjunto de sete retas paralelas, interceptando um outro conjunto de quatro retas paralelas? a) 6 b) 6 c) 06 d) 84 e) ) Uma lanchonete que vende cachorro quente o- ferece ao freguês: pimenta, cebola, mostarda e molho de tomate, como tempero adicional. Quantos tipos de cachorros quentes diferentes (Pela adição ou não de algum tempero) podem ser vendidos? a) b) 4 c) 6 d) 4 e) 0 5) São dadas duas retas distintas e paralelas. Sobre a primeira marcam-se 8 pontos e sobre a segunda marcam-se 4 pontos. Obter: a) o número de triângulos com vértices nos pontos marcados; b) o número de quadriláteros convexos com vértices nos pontos marcados. 6) São dados pontos em um plano, dos quais 5, e somente 5, estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos pontos? 7) Uma urna contém 5 bolas brancas, bolas pretas e 4 azuis. De quantos modos podemos tirar 6 bolas das quais: a) nenhuma seja azul b) três bolas sejam azuis 59 4) O número de triângulos que podem ser traçados utilizando-se pontos de um plano, não havendo pontos em linha reta, é: a) 468 b) 0 c) 48 d) 44 e) 80 5) O time de futebol é formado por goleiro, 4 defensores, jogadores de meio de campo e a- tacantes. Um técnico dispõe de jogadores, sendo goleiros, 7 defensores, 6 jogadores de meio campo e 5 atacantes. De quantas maneiras poderá escalar sua equipe? a) 60 b) c), d) 000

60 e) n.d.a. 6) Sendo 5. C n, n - + C n, n -, calcular n. 7) Um conjunto A possui n elementos, sendo n 4. O número de subconjuntos de A com 4 elementos é: [ n! ] a) c) ( n 4 )! e) 4! 4( n - 4 ) n! b) d) n! ( n - 4 ) 8) No cardápio de uma festa constam 0 diferentes tipos de salgadinhos, dos quais apenas 4 serão servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contenha sempre só dois tipos diferentes de salgadinhos frios e dois diferentes dos quentes. De quantos modos diversos pode o garçom, respeitando as instruções, selecionar os salgadinhos para compor a travessa? a) 90 d) 8 b) e) n.d.a. c) 40 9) Em uma sacola há 0 bolas de mesma dimensão: 4 são azuis e as restantes, vermelhas. De quantas maneiras distintas podemos extrair um conjunto de 4 bolas desta sacola, de modo que haja pelo menos uma azul entre elas? 0! 6! 0! 6! a) d) 6!! 4! 6!! 0! b) e)n.d.a. 4!6! 0! c) 6! 0) Uma classe tem 0 meninos e 9 meninas. Quantas comissões diferentes podemos formar com 4 meninos e meninas, incluindo obrigatoriamente o melhor aluno dentre os meninos e a melhor aluna dentre as meninas? a) A 0,4. A 9, c) A 9, A 8, e) C 9,7 b) C 0,4 - C 9, d) C 9, - C 8, ) Numa classe de 0 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão, De quantas maneiras distintas o grupo pode ser formado, sabendo que dos dez estudantes dois são marido e mulher e apenas irão se juntos? a) 6 b) 98 c) 5 d)65 e) RESPOSTAS Principio fundamental da contagem ) 6 4) 4 ) ) 0 4) 7 5) 90 pares e 0 ímpares 6) 8 5) ) ) 6 7) 48 8) 7 9) 680 8) 80 9) 60 0) 50 ) 0 ) 4 56 ) 60 0) 504 ) 0 ) 0 ) 70 4) 48 5) 7 6) 96 Arranjos simples ) a) 8 c) 6 b) 56 d) 680 ) a) 9 b) 89,6 ) a) s = {} b) S = {4} c) S = {5} Fatorial ) e ) e ) a) b) 4 c) 5 d) 0 4) a) n n + b) n + c) n + d) e) 5) n = 9 b) n = 5 c) n = d) n = 6 6) a 7) a) S = {0} b) S = {} 8) n = 5 9) n = 7 Permutações simples ) a) 40 0 d) 70 b) e) 4 0 c) 0 f) 50 ) 44 ) 7 4) 88 5) 0 Permutações simples com elementos repetidos ) d ) c ) a 4) d 5) b Combinações simples n!p! ) a) 44 c) (n p)! b) ) a) n = 7 b) n = 0 c) n = 4 ) S = {} 4) 70 5) 5 6) 0 7) p=5 8) S={0} 9) a) c) 5 b) 5 d) 7 0) 40 ) 80 ) 5 ) 50 n(n ) 4) 5) a) 60 b) 68 6) 0 7) a) 8 c) 5 b) 4 8) 70 9) 55 0) 05 ) e ) b ) c 4) b 5) d 6) n =4 7) a 8) a 9) d 0) d ) b PROBABILIDADE 5M M 60

61 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma bola branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha. Isto irão significa que não saia a bola branca, mas que é mais fácil a extração de uma vermelha. Os casos possíveis seu seis: A e B, chama-se intersecção de A e B ao evento formado pelos resultados de A e de B. Indica-se por A B. Cinco são favoráveis á extração da bola vermelha. Dizemos que a probabilidade da extração de uma bola Se A B =φ, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, a ocorrência de um deles elimina a possibilidade de ocorrência do outro. vermelha é 6 5 e a da bola branca, 6. Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a extração de uma vermelha seria certa e de probabilidade igual a. Consequentemente, a extração de uma bola branca seria impossível e de probabilidade igual a zero. Espaço amostral: Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito ás leis do acaso, chamamos espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrerem. Vamos indica-lo pela letra E. EXEMPLOS: Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima: E = {,,, 4, 5, 6} Lançamento de uma moeda e observação da face voltada para cima : E = {C, R}, onde C indica cara e R coroa. Lançamento de duas moedas diferentes e observação das faces voltadas para cima: E = { (C, C), (C, R), (R, C), (R, R) } Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Tomemos, por exemplo, o lançamento de um dado : ocorrência do resultado : {} ocorrência do resultado par: {, 4, 6} ocorrência de resultado até 6: E (evento certo) ocorrência de resultado maior que 6 : φ (evento impossível) Como evento é um conjunto, podemos aplicar-lhe as operações entre conjuntos apresentadas a seguir. União de dois eventos - Dados os eventos A e B, chama-se união de A e B ao evento formado pelos resultados de A ou de B, indica-se por A B. Intersecção de dois eventos - Dados os eventos Evento complementar Chama-se evento complementar do evento A àquele formado pelos resultados que não são de A. indica-se por A. Aplicações ) Considerar o experimento "registrar as faces voltadas para cima", em três lançamentos de uma moeda. a) Quantos elementos tem o espaço amostral? b) Escreva o espaço amostral. Solução: a) o espaço amostral tem 8 elementos, pois para cada lançamento temos duas possibilidades e, assim:.. = 8. b) E = { (C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R,C), (R, C, R), (C, R, R), (R, R, R) } ) Descrever o evento "obter pelo menos uma cara no lançamento de duas moedas". Solução: Cada elemento do evento será representado por um par ordenado. Indicando o evento pela letra A, temos: A = {(C,R), (R,C), (C,C)} ) Obter o número de elementos do evento "soma de pontos maior que 9 no lançamento de dois dados". Solução: O evento pode ser tomado por pares ordenados com soma 0, soma ou soma. Indicando o evento pela letra S, temos: S = { (4,6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} n(s) = 6 elementos 4) Lançando-se um dado duas vezes, obter o número de elementos do evento "número par no primeiro lançamento e soma dos pontos igual a 6

62 7". Solução: Indicando o evento pela letra B, temos: B = { (, 5), (4, ), (6, )} n(b) = elementos Exercícios ) Dois dados são lançados. O número de elementos do evento "produto ímpar dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima" é: a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 0 ) Num grupo de 0 pessoas, seja o evento ''escolher pessoas sendo que uma determinada esteja sempre presente na comissão". Qual o número de elementos desse evento? a) 0 b) 90 c) 45 d) 6 e) 8 ) Lançando três dados, considere o evento "obter pontos distintos". O número de elementos desse evento é: a) 6 b) 0 c) 6 d) 0 e) 6 4) Uma urna contém 7 bolas brancas, 5 vermelhas e azuis. De quantas maneiras podemos retirar 4 bolas dessa urna, não importando a ordem em que são retiradas, sem recoloca-las? a) 00 d) ! b) 4 04 e) 7! 5!! c) 4! PROBABILIDADE Sendo n(a) o número de elementos do evento A, e n(e) o número de elementos do espaço amostral E ( A E), a probabilidade de ocorrência do evento A, que se indica por P(A), é o número real: P ( A ) = OBSERVAÇÕES: ) Dizemos que n(a) é o número de casos favoráveis ao evento A e n(e) o número de casos possíveis. ) Esta definição só vale se todos os elementos do espaço amostral tiverem a mesma probabilidade. ) A é o complementar do evento A. Propriedades: n ( A ) n ( E ) Aplicações 4) No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos cara em ambas? Solução: Espaço amostral: E = {(C, C), (C, R), (R, C), (R,R)} n(e).= 4 Evento A : A = {(C, C)} n(a) = n ( A ) Assim: P ( A ) = = n ( E ) 4 5) Jogando-se uma moeda três vezes, qual a probabilidade de se obter cara pelo menos uma vez? Solução: E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R), (R. R, R)} n(e)= 8 A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R) n(a) = 7 n ( A ) 7 P ( A ) = P(A) = n ( E ) 8 6) (Cesgranrio) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é : a) /5 c) / e) / b) /5 d) / Solução: O número de elementos do espaço amostral é dado 6! por : n(e) = C 6, = = 0!! O número de casos favoráveis é dado por n (A) =.. = 8, pois em cada andar temos duas possibilidades para ocupa-lo. Portanto, a probabilidade pedida é: n ( A ) 8 P ( A ) = = = (alternativa a) n ( E ) 0 5 7) Numa experiência, existem somente duas possibilidades para o resultado. Se a probabilidade de um resultado é, calcular a probabilidade do outro, sabendo que eles são complementares. Solução: Indicando por A o evento que tem probabilidade, vamos indicar por A o outro evento. Se eles são complementares, devemos ter: P(A) + P( A ) = + P( A ) = P (A) = 8) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obtermos na face voltada para cima um número primo? Solução: Espaço amostral : E = {,,, 4, 5, 6} n(e) = 6 Evento A : A = {,, 5} n(a) = 6

63 n ( A ) Assim: P ( A ) = = P(A) = n ( E ) 6 9) No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter soma dos pontos igual a 0? Solução: Considere a tabela, a seguir, indicando a soma dos pontos: A B Da tabela: n(e) = 6 e n(a) = n ( A ) Assim: P ( A ) = = = n ( E ) 6 Exercícios ) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois é: 7 a) c) e) 6 6 b) 6 5 d) 6 ) A probabilidade de se obter pelo menos duas caras num lançamento de três moedas é; a) c) e) n(a B) n(a) n(b) n(a B) = + n(e) n(e) n(e) n(e) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) OBSERVA ÇÃO: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é: A B =φ, então, P(A B) = P(A) + P(B). Aplicações ) Uma urna contém bolas brancas, verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde? Solução: Número de bolas brancas : n(b) = Número de bolas verdes: n(v) = Número de bolas azuis: n(a) = 4 A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde é dada por: P( B V) = P(B) + P(V) - P(B V) Porém, P(B V) = 0, pois o evento bola branca e o evento bola verde são mutuamente exclusivos.. Logo: P(B V) = P(B) + P(V), ou seja: 5 P(B V) = + P(B V) = ) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par? Solução: O número de elementos do evento número 4 é n(a) = b) d) O número de elementos do evento número par é n(b) =. ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que: P(A B) = P (A) + P(B) P(A B) "A probabilidade da união de dois eventos A e B é i- gual á soma das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção de A com B." Observando que n(a B) =, temos: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = = P(A B) = 6 ) A probabilidade de que a população atual de um pais seja de 0 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 0 milhões ou menos é 8%. Calcular a probabilidade de ser 0 milhões. Solução: Temos P(A) = 95% e P(B) = 8%. Justificativa: Sendo n (A B) e n (A B) o número de elementos dos eventos A B e A B, temos que: n( A B) = n(a) +n(b) n(a B) A probabilidade de ser 0 milhões é P(A B). Observando que P(A B) = 00%, temos: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) 00% = 95% + 8% - P(A B) (A B) = % Exercícios ) (Cescem) Uma urna contém 0 bolas numeradas de a 0. Seja o experimento "retirada de uma 6

64 bola" e considere os eventos; A = a bola retirada possui um número múltiplo de B = a bola retirada possui um número múltiplo de 5 Então a probabilidade do evento A B é: 7 a) c) e) b) 5 4 d) 5 ) (Santa casa) Num grupo de 60 pessoas, 0 são torcedoras do São Paulo, 5 são torcedoras do Palmeiras e as demais são torcedoras do Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é: a) 0,40 c) 0,50 e) n.d.a. b) 0,5 d) 0,0 ) (São Carlos) S é um espaço amostral, A e B e- ventos quaisquer em S e P(C) denota a probabilidade associada a um evento genérico C em S. Assinale a alternativa correta. a) P(A C) = P(A) desde que C contenha A b) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) c) P(A B) < P(B) d) P(A) + P(B) e) Se P(A) = P(B) então A = B 4) (Cescem) Num espaço amostral (A; B), as probabilidades P(A) e P(B) valem respectivamente e Assinale qual das alternativas seguintes não é verdadeira. a) A B = S d) A B = B b) A B = φ e) (A B) (A B) = S c) A B = A B P(A B) = P(A). P(B/A) 5) (PUC) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um clube B, 0 a um clube C, 0 pertencem aos clubes A e B, aos clubes A e C, 8 aos clubes B e C e 0 pertencem aos três clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, a probabilidade de ela: a) Pertencer aos três Clubes é 5 ; b) pertencer somente ao clube C é zero; c) Pertencer a dois clubes, pelo menos, é 60%; d) não pertencer ao clube B é 40%; e) n.d.a. 6) (Maringá) Um número é escolhido ao acaso entre os 0 inteiros, de a 0. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é: 4 a) c) e) b) 5 d) 5 PROBABILIDADE CONDICIONAL Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu modifica a probabilidade que atribuímos a outro evento. Indicaremos por P(B/A) a probabilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A (probabilidade condicional de B em relação a A). Podemos escrever: Multiplicação de probabilidades: A probabilidade da intersecção de dois eventos A e B é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro. Em símbolos: Justificativa: P(B/ A) n (A B) = n (A) P (B / P (A B) P(B / A) = P (A) P(A B) = P(A). P(B/A) Analogamente: P(A B) = P(B). P(A/B) n (A B) A) = n(e) n (A) n(e) Eventos independentes: Dois eventos A e B são independentes se, e somente se: P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B) Da relação P(A B) = P(A). P(B/A), e se A e B forem independentes, temos: Aplicações: ) Escolhida uma carta de baralho de 5 cartas e sabendo-se que esta carta é de ouros, qual a probabilidade de ser dama? Solução: Um baralho com 5 cartas tem cartas de ouro, de copas, de paus e de espadas, tendo uma dama de cada naipe. Observe que queremos a probabilidade de a carta ser uma dama de ouros num novo espaço amostral modificado, que é o das cartas de ouros. Chamando de: evento A: cartas de ouros evento B: dama evento A B : dama de ouros Temos: P(B/ A) n (A B) = n (A) P(A B) = P(A). P(B) n (A B) P (B / A) = = n (A) 64

65 (AB).. SEMI-RETA Um ponto O sobre uma reta divide-a em dois subconjuntos, denominando-se cada um deles semireta. ) Jogam-se um dado e uma moeda. Dê a probabilidade de obtermos cara na moeda e o número 5 no dado. Solução: Evento A : A = {C} n(a) = Evento B : B = { 5 } n ( B ) = Sendo A e B eventos independentes, temos: P(A B) = P(A). P(B) P(A B) = 6 P(A B) =. SEGMENTO Sejam A e B dois pontos distintos sobre a reta AB. Ficam determinadas as semi-retas: AB e BA. A intersecção das duas semi-retas define o segmento AB. AB BA = AB ) (Cesgranrio) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho, e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é: a) b) c) d) e ) ÂNGULO A união de duas semi-retas de mesma origem é um ângulo. Solução: Evento A : cartão com as duas cores Evento B: face para o juiz vermelha e face para o jogador amarela, tendo saído o cartão de duas cores Temos: P(A B) = P(A). P(B/A), isto é, P(A B) = 5. ANGULO RASO É formado por semi-retas opostas. P(A B) = 6 (alternativa e) Respostas: Espaço amostral e evento ) b ) d ) b 4) a Probabilidade ) c ) b Adição de probabilidades ) d ) b ) a 4) b 5) b 6) e GEOMETRIA.POSTULADOS a) A reta é ilimitada; não tem origem nem extremidades. b) Na reta existem infinitos pontos. c) Dois pontos distintos determinam uma única reta ANGULOS SUPLEMENTARES São ângulos que determinam por soma um ângulo raso. 7. CONGRUÊNCIA DE ÂNGULOS O conceito de congruência é primitivo. Não há definição. lntuitivamente, quando imaginamos dois ângulos coincidindo ponto a ponto, dizemos que possuem a mesma medida ou são congruentes (sinal de congruência: ).

66 . ANGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE São ângulos formados com as semi-retas apostas duas a duas. Ângulos apostos pelo vértice são congruentes (Teorema). 8. ÂNGULO RETO Considerando ângulos suplementares e congruentes entre si, diremos que se trata de ângulos retos. 4. TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE RETAS PARALELAS Se uma reta transversal forma com duas retas de um plano ângulos correspondentes congruentes, então as retas são paralelas. 9. MEDIDAS reto 90 (noventa graus) raso retos 80 60' (um grau - sessenta minutos) ' 60" (um minuto - sessenta segundos) As subdivisões do segundo são: décimos, centésimos etc. 0. ÂNGULOS COMPLEMENTARES São ângulos cuja soma é igual a um ângulo reto.. REPRESENTAÇÃO x é o ângulo; (90 x) seu complemento e (80 x) seu suplemento.. BISSETRIZ É a semi-reta que tem origem no vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes. 90 o = 89 o ) ) a m ) ) b n ) ) c p ) ) d q ângulos correspondentes congruentes Consequências: a) ângulos alternos congruentes: ) ) d n = 80 ) ) c m = (alternos internos) ) ) a p (alternos ) ) b q externos) b) ângulos colaterais suplementares: ) ) o a + q = 80 ) ) ( colaterais externos) o b + p = 80 ) ) o d + m = 80 ) ) (colaterais internos) o c + n = EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Determine o complemento de 4 5'4". Resolução: 89 59' 60" - 4 5' 4" 55 44' 6" Resp.: 55 44' 6" ) As medidas x + 0 e 5x 70 são de ângulos opostos pelo vértice. Determine-as. Resolução: x + 0 = 5x = 5x x 90 = x

67 Resp. : os ângulos medem 80º ) As medidas de dois ângulos complementares estão entre si como está para 7. Calcule-as. Resolução: Sejam x e y as medidas de ângulos complementares. Então: x x x x = 0 + y = 90 x y + y = y = + y = o o o x + y = 90 x + = + y 7 x + o 90 y y = 90 = 9 7 x = 0 e y = 70 Resp.: As medidas são 0 e 70. o ABC = AB BC CA AB; BC; CA ) ) ) A; B; C ) ) ) A ; B ; C ex ex ex são os lados são ângulos internos são angulos externos LEI ANGULAR DE THALES: A ) + B ) + C ) = 80 4) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam 8 ângulos. Sendo 0 a soma dos ângulos obtusos internos, calcule os demais ângulos. Resolução: De acordo com a figura seguinte, teremos pelo enunciado: â + â = 0 â = 0 Sendo b a medida dos ângulos agudos, vem: a ) + b ) = 80 ou 60 + b ) = 80 b ) = 0 Resp.: Os ângulos obtusos medem 60 e os agudos 0. 5) Na figura, determine x. â = 60 Consequências: ) ) A + = 80 ) ) ) A ex ) ) ) A ex = B + C A + B + C = 80 Analogamente: ) B ex ) C ex ) = A ) = B ) + C ) + A Soma dos ângulos externos: ) ) ) A + B + C = 60 ex ex 6. Classificação ex Resolução: Pelos ângulos alternos internos: x + 0 = 50 x = 0 6. TRIÂNGULOS 6. Ângulos 67

68 G é o baricentro Propriedade: AG = GM BG = GN CG = GP b) A perpendicular baixada do vértice ao lado oposto é denominada ALTURA. O encontro das alturas é denominado ORTOCENTRO. Obs. : Se o triângulo possui os ângulos menores que 90, é acutângulo; e se possui um dos seus ângulos maior do que 90, é obtusângulo Congruência de triângulos Dizemos que dois triângulos são congruentes quando os seis elementos de um forem congruentes com os seis elementos correspondentes do outro. ) ) A A' ) ) B B' ) ) C C' ABC AB A'B' e BC B'C' AC A' C' A' B' C' Critérios de congruência LAL: LLL: Dois triângulos serão congruentes se possuírem dois lados e o ângulo entre eles congruentes. Dois triângulos serão congruentes se possuírem os três lados respectivamente congruentes. ALA : Dois triângulos serão congruentes se possuírem dois ângulos e o lado entre eles congruentes. LAA O : Dois triângulos serão congruentes se possuírem dois ângulos e o lado oposto a um deles congruentes Pontos notáveis do triângulo a) O segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto é denominado MEDIANA. O encontro das medianas é denominado BARICENTRO. c) INCENTRO é o encontro das bissetrizes internas do triângulo. (É centro da circunferência inscrita.) d) CIRCUNCENTRO é o encontro das mediatrizes dos lados do triângulo, lé centro da circunferência circunscrita.) 6.6 Desigualdades Teorema: Em todo triângulo ao maior lado se opõe o maior ângulo e vice-versa. Em qualquer triângulo cada lado é menor do que a soma dos outros dois EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Sendo 8cm e 6cm as medidas de dois lados de um triângulo, determine o maior número inteiro possível para ser medida do terceiro lado em cm. Resolução: x < x < 4 6 < x + 8 x > < x < 4 8 < x + 6 x > Assim, o maior numero inteiro possível para medir o terceiro lado é. 68

69 ) O perímetro de um triângulo é cm. Um dos lados é o dobro do outro e a soma destes dois lados é 9 cm. Calcule as medidas dos lados. Resolução: Resolução: a) 80 + x = 0 x = 40 b) x = 60 x = 80 a + b + c = a = b b = 9 a + b = 9 b = a = 6 e 5) Determine x no triângulo: Resolução: Portanto: c = 4 As medidas são : cm; 4 cm; 6 cm ) Num triângulo isósceles um dos ângulos da base mede 47 '. Calcule o ângulo do vértice. Resolução: ABC ) isósceles, vem: C ) B ) C ) ) ) ) = 50, pois + B + C = 80 Sendo B e portanto: A. Assim, x = x = 0 7. POLIGONOS O triângulo é um polígono com o menor número de lados possível (n = ), De um modo geral dizemos; polígono de n lados Número de diagonais x + 47 ' + 47 ' = 80 x ' = 80 x ' = 80 x = ' x = 84 56' rascunho: 79 60' 95 04' 84 56' Resp. : O ângulo do vértice é 84 56'. 4) Determine x nas figuras: a) b) De vértice saem (n ) diagonais. ( n = número de lados ) De n vértices saem n. (n ) diagonais; mas, cada uma é considerada duas vezes. n ( n - ) Logo ; d = 7. - Soma dos ângulos internos S i = 80 ( n ) d = n ( n - ) Soma dos ângulos externos S e = 60

70 7.4 Quadriláteros a) Trapézio: "Dois lados paralelos". AB // DC Obs: um polígono é regular quando é equiângulo e equilátero. SEMELHANÇAS b) Paralelogramo: Lados opostos paralelos dois a dois. AB // DC e AD // BC. TEOREMA DE THALES Um feixe de retas paralelas determina sobre um feixe de retas concorrentes segmentos correspondentes proporcionais. Propriedades: ) Lados opostos congruentes. ) Ângulos apostos congruentes. ) Diagonais se encontram no ponto médio c) Retângulo: "Paralelogramo com um ângulo reto". AB CD AC BC = = EF GH EG FG = = etc... MN PQ MP NP = = SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dada a correspondência entre dois triângulos, dizemos que são semelhantes quando os ângulos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Propriedades: ) Todas as do paralelogramo. ) Diagonais congruentes. d) Losango: "Paralelogramo com os quatro lados congruentes". Propriedades: ) Todas as do paralelogramo. ) Diagonais são perpendiculares. ) Diagonais são bissetrizes internas. e) Quadrado: "Retângulo e losango ao mesmo tempo". 70. CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA a) (AAL) Dois triângulos possuindo dois ângulos correspondentes congruentes são semelhantes. b) (LAL) Dois triângulos, possuindo dois lados proporcionais e os ângulos entre eles formados congruentes, são semelhantes. c) (LLL) Dois triângulos, possuindo os três lados proporcionais, são semelhantes. Representação: ABC ~ A' B' C' AB A' B' ) A ) B ) C = BC B' C' ) A' ) B' ) C' = AC A' C' e = k razão de semelhança

71 Exemplo: calcule x Consequências: (I) + (II) vem: c + b c 4. - TEOREMA c DE + bpitágoras = a + b = am + an = a ( m + n) a Resolução : ABC ~ MNC AB MN = AC MC x 4 = 9 6 x = 6 4. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO a + b = c Exemplo: Na figura, M é ponto médio de BC, Â = 90 e Mˆ = 90. Sendo AB = 5 e AC =, calcule Al. Na figura: Resolução: a) Teorema de Pitágoras: BC = AB + AC BC = 5 + A é vértice do ângulo reto (Â = 90 ) B ) + C ) = 90 m = projeção do cateto c sobre a hipotenusa a n = projeção do cateto b sobre a hipotenusa a H é o pé da altura AH = h. 4. Relações a) AHB ~ CAB AB CB HB AB AB = CB HB ou (I) c = a. m AC HC AHC ~ BAC = BC AC AC = BC HC BC = 9 5,8 b) ABC ~ MBI = ou = BI = BI e AB MB 9 =,9 0 BC BI Logo, sendo AI = AB - BI, teremos: AI = 5 -,9 MB = 5. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 9 AI =, ou b = a. n (II) Cada cateto é média proporcional entre a hipotenusa e a sua projeção sobre a mesma. b) AH AHB ~ CHA = CH AH = CH HB HB HA ou h = m. n (III) A altura é média proporcional entre os segmentos que determina sobre a hipotenusa 7 Nas figuras valem as seguintes relações: δ =PA. PB=PM. PN

72 AO = OH R = a (o raio é o dobro do apótema) l = R o número δ é denominado Potência do ponto P em relação à circunferência. δ = d R 6. POLÍGONOS REGULARES a) Quadrado: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. (lado em função do raio) Área: S = l 4 (área do triângulo equilátero em função do lado) c) Hexágono regular: AB = l 6 (lado do hexágono) OA = OB = R (raio do círculo) OM = a (apótema) AB = lado do quadrado (l 4 ) OM = apótema do quadrado (a 4 ) OA = OB = R = raio do círculo Relações: AB = R + R AB OM = Área do quadrado: b) Triângulo equilátero: a S 4 l 4 = = 4 l 4 Relações: OAB é equilátero OM é altura OAB Área: S = 6 S ABC R a = R S = 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Num triângulo retângulo os catetos medem 9 cm e cm. Calcule as suas projeções sobre a hipotenusa. Resolução: AC = l (lado do triângulo) OA = R (raio do círculo) OH = a (apótema do triângulo) Relações: AC = AH + HC h = l (altura em função do lado) 7 a) Pitágoras: a = b + c a = + 9 b) C = a. m 9 = 5. m c) b = a. n = 5. n a = 5 cm m = 5,4 cm n = 9,6 cm ) As diagonais de um losango medem 6m e 8m. Calcule o seu perímetro:

73 Resolução: ao ângulo reto são chamados catetos. Teorema de Pitágoras Enunciado: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Exemplo: l = 4 + l = 5 m O perímetro é: ) Calcule x na figura: P = 4 X 5 m = 0 m Exemplo numérico: Exercícios: ) Num triângulo retângulo os catetos medem 8 cm e 6 cm; a hipotenusa mede: Resolução: PA. PB = PM. PN. ( + x ) = 4 X x = 40 x = 6 4) Calcule a altura de um triângulo equilátero cuja área é 9 m : Resolução: l l S = 9 = l = 6 m h = l h = h = m A = πr R = 4πR A l T = πr V = πr x=8 + 4πR R = πr = 6πR TEOREMA DE PITÁGORAS Relembrando: Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo interno reto. ( = 90º) a) 5 cm b) 4 cm c) 00 cm d) 0 cm ) Num triângulo retângulo os catetos medem 5 cm e cm. A hipotenusa mede: a) cm b) 7 cm c) 69 cm d) 7 cm ) O valor de x na figura abaixo é: Respostas: ) d ) a ) x = RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TRIÂNGU- LO RETÂNGULO Vamos observar o triângulo retângulo ABC (reto em A). Nos estudos que faremos nesta unidade, se faz necessário diferenciar os dois catetos do triângulo. Usamos para isso a figura que acabamos de ver. Obs: Num triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os lados adjacentes 7 Tomando como referência o ângulo E. dizemos que: AC é o cateto oposto de B:

74 AB é o cateto adjacente ao ângulo B. No triângulo da figura destacamos: h : medida de altura relativa ao lado BC: h : medida da altura relativa ao lado AB, no retângulo ABH ( H é reto): h sen B = h = c senb c Tomando como referência o ângulo C, dizemos que: AC o cateto adjacente ao ângulo C; AB é o cateto oposto ao ângulo C. Razões trigonométricas Num triângulo retângulo, chama-se seno de um ângulo agudo o número que expressa a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. No retângulo ACH ( H é reto): h sen C = h = b senc b Comparando e. temos: c c. sen B = b. sen C = sen C b sen B O seno de um ângulo o indica-se por sen α. medida do cateto oposto a B sen B = sen B = medida da hipotenusa medida do cateto oposto a C sen C = sen C = medida da hipotenusa Num triângulo retângulo, chama-se cosseno de um ângulo agudo o número que expressa a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa. O cosseno de um ângulo a indica-se por cos α. medida do cateto adjacente a B cos B = cos B = medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a C cos C = cos C = medida da hipotenusa Num triângulo retângulo chama-se tangente de um ângulo agudo o número que expressa a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. A tangente de um ângulo a indica-se por tg α cateto oposto a C c tg C = tg C =. cateto adjacente a C b RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂN- GULO QUALQUER b a c a c a b a No retângulo BCH ( H é reto): h sen B = h = a. sen B a No retângulo ACH (H é reto): h sen A = h = b. sen A b Comparando 4 e 5, temos: a a. sen B = b. sen A = sen A Comparando e 5. temos: a b c = = sen A sen B sen C b sen B Observação: A expressão encontrada foi desenvolvida a partir de um triângulo acutângulo. No entanto, chegaríamos à mesma expressão se tivéssemos partido de qualquer triângulo. Daí temos a lei dos senos: a b c = = sen A sen B sen C Exemplo: No triângulo da figura calcular a medida x: 74

75 Resolução: Pela lei dos senos: 8 x 8 = = sen 45 sen 60 x Substituindo em, temos: b = a + c +. a.( c. cos B ) b = a + c a c. cos B Dai a lei dos cosenos: 8 x = x = 8 6 ` x = x = 4 8 LEI DOS COSENOS. No triângulo acutângulo ABC, temos b = a + c - am 6. a = b + c b. c. cos A b = a + c a. c. cos B c = a + b a. b. cos C Exemplo: No triângulo abaixo calcular a medida de b Resolução: Aplicando ao triângulo dado a lei dos cosenos: b = cos 60 º b = No triângulo retângulo ABH. temos: cos B = c m m = C. cos b Substituindo em : b = a + c - ac. cos B A expressão foi mostrada para um triângulo acutângulo. Vejamos, agora, como ela é válida, também. para os triângulos obtusângulos: No triângulo obtusângulo ABC, temos: b = a + c + am b = 76 b = 76 b = 9 Exercícios Resolva os seguintes problemas: ) Num triângulo ABC, calcule b e c, sendo  = 0 º, Bˆ = 45 º e a = cm ) Num triângulo ABC, calcule  e Ĉ, sendo Bˆ = 05 º, b = 6 cm e c = cm. ) Calcule o perímetro do triângulo abaixo: No triângulo retângulo AHB. temos: cos ( 80 º B) = c m 4) Calcule x na figura: Como cos (80 º B) = cos B, por uma propriedade não provada aqui, temos que: cos B = c m m = c. cos B 75

76 5) Calcule  e Ĉ num triângulo ABC onde b =, c = + e Bˆ = 5 º. 6) Calcule a num triângulo ABC, onde b = 4 cm, c = cm e  = 0 º. 7) Calcule as diagonais de um paralelogramo cujos lados medem 6cm e 45 º. cm e formam um ângulo de 8) Calcule a área de um triângulo ABC, sabendo que o lado AB mede cm, o lado BC mede 5cm e que esses lados formam entre si um ângulo de 0 º. 9) Calcule a medida da diagonal maior do losango da figura abaixo: Qual a área de um retângulo cuja altura é cm e seu perímetro cm? Solução: A = b. h h = cm + b + + b = b + 4 = b = - 4 b = 8 b = 8 =4 b =4cm A = 4. A = 8 cm QUADRADO PERÍMETRO: L + L + L + L = 4L Área do quadrado: A = l l = l Respostas ) b = cm, c = 6 + cm )  = 0 º ; Ĉ = 45 º ) ( + 6 ) cm 4) x = 00 cm 5) Ĉ = 45 º ;  = 0 º 6) a = 7 cm 7) d = 6 ; d = 50 8),5 cm 9) 08 cm ÁREA DAS FIGURAS PLANAS RETÂNGULO Exemplo Qual a área do quadrado de 5 cm de lado? Solução: A = l l = 5 cm A = 5 A = 5 cm PARALELOGRAMO A = área do paralelogramo: A = B. H A = b. h A = área b = base h = altura Perímetro: b + h Exemplo Perímetro: b + h Exemplo A altura de um paralelogramo é 4 cm e é a metade de sua base. Qual é suá área? Solução: A = b.h h = 4cm 76

77 b =. h b =. 4 = 8cm A = 8. 4 A = m LOSANGO TRIÂNGULO Perímetro: é a soma dos três lados. Área do triângulo: Exemplo 4: A altura de um triângulo é 8 cm e a sua base é a metade da altura. Calcular sua área. Solução: A = b h h = 8cm b = h 8 = = 4 cm TRAPÉZIO A = b 8 4 A = A = 6 m Perímetro: B + b + a soma dos dois lados. Área do trapézio: B = base maior b = base menor h = altura h Exemplo 5: Calcular a área do trapézio de base maior de 6 cm, base menor de 4 cm. e altura de cm. Solução: ( B + b ) h A = B = 6 cm b = 4 cm h = cm ( 6 + 4) A = A = 5 cm D= diagonal maior d = diagonal menor Perímetro = é a soma dos quatro lados. Área do losango: Exemplo 6: Calcular a área do losango de diagonais 6 cm e 5 cm. Solução: A = D d A = 6 5 A = 5 cm CIRCULO Área do círculo: A = área do círculo R = raio π =,4 Exemplo 7 O raio de uma circunferência é cm. Calcular a sua área. A = π R A =,4. A =,4. 9 A = 8,6 cm. PRISMAS A = D d A = π R Geometria no Espaço São sólidos que possuem duas faces apostas paralelas e congruentes denominadas bases. a l = arestas laterais h = altura (distância entre as bases) 77

78 D = a + b + c (diagonal). PIRÂMIDES São sólidos com uma base plana e um vértice fora do plano dessa base. Cálculos: A = área do polígono da base. b A = soma das áreas laterais. l A A T = l + A b V = A b. h. Cubo (volume) (área total). O cubo é um prisma onde todas as faces são quadradas. A T = 6. a (área total) Para a pirâmide temos: A = área da base b A = álea dos triângulos faces laterais l (área total) V = A A A + T = l A b b h (volume) V = a a = aresta (volume). - Tetraedro regular É a pirâmide onde todas as faces são triângulos equiláteros. Para o cálculo das diagonais teremos: d = a (diagonal de uma face) Tetraedro de aresta a : D = a (diagonal do cubo). - Paralelepípedo reto retângulo a 6 h = ( altura ) A T = a (área total) a V = ( volume ) dimensões a, b, c A T = ( ab + ac + bc ) (volume) V = abc (área total). CILINDRO CIRCULAR RETO As bases são paralelas e circulares; possui uma superfície lateral. 78

79 A b = πr A l = πr h ( área da base) ( área lateral ) g = h + R A = πrg l (área lateral) A b = πr (área da base) A T = A b + A l ( área total ) ( volume ) A A + = l (área total) T A b v = A b h V = A h b 4. - Cone equilátero (volume). - Cilindro equilátero Quando a secção meridiana do cilindro for quadrada, este será equilátero. Se o ABC for equilátero, o cone será denominado equilátero. Logo: A A l T = πr R = 4πR = πr V = πr + 4πR R = πr = 6πR 4. CONE CIRCULAR RETO g é geratriz. ABC é secção meridiana. h = R (altura) A b = πr (base) A = π R R = πr l A T = πr (área total) V = πr (área lateral) (volume) 5. ESFERA 79

80 Perímetro do círculo maior: π R Área da superfície: 4π R Volume: 4 π R Área da secção meridiana: π R. a) bicentro b) baricentro c) incentro d) metacentro e) n.d.a. 0) As medianas de um triângulo se cruzam num ponto, dividindo-se em dois segmentos tais que um deles é: a) o triplo do outro b) a metade do outro c) um quinto do outro d) os do outro e) n.d.a. ) Entre os.critérios abaixo, aquele que não garante a congruência de triângulos é: a) LLL b) ALA c) LAA O d) AAA e) LAL ) O menor valor inteiro para o terceiro lado de um triângulo, cujos outros dois medem 6 e 9, será: a) 4 b) 0 c) 6 d) 7 e) EXERCICIOS PROPOSTOS ) Os /4 do valor do suplemento de um angulo de 60 são: a) 0 b) 70º c) 60º d) 90º e) 00º ) A medida de um ângulo igual ao dobro do seu complemento é: a) 60 b) 0º c) 5º d) 40º e) 50 ) O suplemento de 6 '8" é: a) 40º 7 b) 4 47'" c) 4 57'4" d) 4 0'0" e) n.d.a. ) Num paralelogramo de perímetro cm e um dos lados0cm, a medida para um dos outros lados é: a) 6 cm b) cm c) 0 cm d) cm e) 5 cm RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS ) d ) a ) b 4) c 5) b 6) e 7) d 8) a 9) c 0) b ) d ) a ) a EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4) número de diagonais de um polígono convexo de 7 lados é: a) 6 b) 8 c) 4 d) e) 7 5) O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a) quadrado b) pentágono c) hexágono d) de5 lados e) não existe 6) O número de diagonais de um polígono convexo é o dobro do número de vértices do mesmo. Então o número de lados desse polígono é: a) b) c) 4 d) 6 e) 7 7) A soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a: a) 80 b) 90 c) 60 d) 540 e) 70 8) Um polígono regular tem 8 lados; a medida de um dos seus ângulos internos é: a) 5 b) 45 c) 0 d) 90 e) 0 9) O encontro das bissetrizes internas de um triângulo é o: ) Na figura AB = 4 cm BC = 6 cm MN = 8 cm Então, NP vale: a) 0 cm b) 8 cm c) cm d) 6 cm e) 9 cm ) Com as retas suportes dos lados (AD e BC) não paralelos do trapézio ABCD, construímos o ABE. Sendo AE = cm; AD = 5 cm; BC = cm. O valor de BE é: a) 6,4cm b) 7, cm c),8 cm d) 5, cm e) 8,cm ) O lado AB de um ABC mede 6 cm. Pelo ponto D pertencente ao lado AB, distante 5 cm de A, constróise paralela ao lado BC que encontra o lado AC em E a 8 cm de A. A medida de AC é: a) 5,8 cm b),9 cm c),6 cm d) 5,6 cm e) 4 cm 80

81 4) A paralela a um dos lados de um triângulo divide os outros dois na razão /4. Sendo cm e 4 cm as medidas desses dois lados. O maior dos segmentos determinado pela paralela mede: a) 9cm b) cm c) 8 cm d) 5 cm e) 4 cm 5) Num trapézio os lados não paralelos prolongados determinam um triângulo de lados 4 dm e 6 dm. O menor dos lados não paralelos do trapézio mede 0 dm. O outro lado do trapézio mede: a) 6 dm b) 9 dm c) 0 dm d) dm e) 5 dm 6) Num triângulo os lados medem 8 cm; 0 cm e 5 cm. O lado correspondente ao menor deles, num segundo triângulo semelhante ao primeiro, mede 6cm. O perímetro deste último triângulo é: a) 60 cm b) 6 cm c) 66 cm d) 70 cm e) 80 cm 7) Dois triângulos semelhantes possuem os seguintes perímetros: 6 cm e 08 cm. Sendo cm a medida de um dos lados do primeiro, a medida do lado correspondente do segundo será: a) 6 cm b) 48 cm c) 7 cm d) cm e) 5 cm 8) A base e a altura de um retângulo estão na razão 5. Se a diagonal mede 6cm, a base medida será: a) cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 5 cm 9) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo mede 4,4 dm e a projeção de um dos catetos sobre a mesma 0,8 dm. O perímetro do triângulo é: a) 5 dm b) dm c) 60 dm d) 7 dm e) 8 dm 0) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 5 cm e cm, mede: a) 4,6cm b), cm c) 8, cm d), cm e) 4 cm ) Duas cordas se cruzam num círculo. Os segmentos de uma delas medem cm e 6 cm; um dos segmentos da outra mede cm. Então o outro segmento medirá: a) 7 cm b) 9 cm c) 0 cm d) cm e) 5 cm RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS ) c ) b ) d 4) e 5) e 6) c 7) a 8) b 9) d 0) a ) b ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESTATÍSTICA Estatística Descritiva é o nome dado ao conjunto de técnicas analíticas utilizado para resumir o conjunto de todos os dados coletados numa dada investigação a relativamente poucos números e gráficos. Ela envolve basicamente: Distribuição de Freqüência: É o conjunto das freqüências relativas observadas para um dado fenômeno estudado, sendo a sua representação gráfica o Histograma (diagrama onde o eixo horizontal representa faixas de valores da variável aleatória e o eixo vertical representa a freqüência relativa). Por uma conseqüência da Lei dos Grandes Números, quanto maior o tamanho da amostra, mais a distribuição de freqüência tende para a distribuição de probabilidade. Testes de Aderência: São procedimentos para a identificação de uma distribuição de probabilidade a partir de um conjunto de freqüências usando a Lei dos Grandes Números. Essencialmente, calcula-se a chance da diferença entre uma distribuição de freqüência observada e aquela que seria de se esperar a partir de uma determinada distribuição de probabilidade (geralmente a Curva Normal). Uma distribuição de freqüência pode ser tida como pertencente a um dado tipo de distribuição se o teste de aderência mostrar uma probabilidade de mais de 5% da diferença entre as duas ser devida ao acaso Medidas da Tendência Central: São indicadores que permitem que se tenha uma primeira idéia, um resumo, de como se distribuem os dados de um experimento, informando o valor (ou faixa de valores) da variável aleatória que ocorre mais tipicamente. Ao todo, são os seguintes três parâmetros: A idéia básica é a de se estabelecer uma descrição dos dados relativos a cada uma das variáveis, dados esses levantados através de uma amostra. Média: É a soma de todos os resultados dividida pelo número total de casos, podendo ser considerada como um resumo da distribuição como um todo. Moda: É o evento ou categoria de eventos que ocorreu com maior freqüência, indicando o valor ou categoria mais provável. Mediana: É o valor da variável aleatória a partir do qual metade dos casos se encontra acima dele e metade se encontra abaixo Medidas de Dispersão: São medidas da variação de um conjunto de dados em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade dos resultados obtidos. Elas permitem se identificar até que ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de observações. Incluem a amplitude, o desvio médio, a variância, o desvio padrão, o erro padrão e o coeficiente de variação, cada um expressando diferentes formas de se quantificar a tendência que os resultados de um experimento aleatório tem de se concentrarem ou não em determinados valores (quanto maior a dispersao, menor a concentração e vice-versa). A idéia básica é a de se estabelecer uma descrição dos dados relativos a cada uma das variáveis, dados esses levantados através de uma amostra. Fonte: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA A primeira tarefa do estatístico é a coleta de dados. Torna-se então necessário um pequeno planejamento, no qual se irá decidir: Quais são os dados a coletar? A coleta de dados será feita utilizando toda a população ou recorrendo a amostragem? Onde serão coletados os dados? Que tipo de fonte será utilizada? 8

82 Como organizar os dados? Vejamos como essas questões são resolvidas numa situação prática: Exemplo : Um repórter do jornal A Voz da Terra foi destacado para acompanhar a apuração de votos da eleição da diretoria do clube da cidade, à qual concorrem os candidatos A, B, C e D. O objetivo da pesquisa é a publicação da porcentagem de votos obtidos pelos candidatos. O repórter já tem explícitas na proposta de trabalho que recebeu algumas respostas para seu planejamento: os dados a coletar são os votos apurados; a população envolvida é o conjunto de todos os eleitores (não será utilizada amostragem, pois os eleitores serão consultados, através da votação); a coleta será direta, no local da apuração. Falta resolver o último item do planejamento: como organizar os dados? Os dados obtidos constituem os dados brutos. O repórter poderá recorrer a uma organização numérica simples, registrada através de símbolos de fácil visualização: O valor que representa um elemento qualquer de um conjunto chama-se variável. No caso dos votos, a variável assume valores resultantes de uma contagem de O a 50. Quando se tomam, nesse conjunto de valores, dois números consecutivos quaisquer, não é possível encontrar entre um e outro nenhum valor que a variável possa assumir. Por exemplo, entre 0 e não existe nenhum valor possível para a variável. Estamos, portanto, diante de uma variável discreta. Uma tabela associa a cada observação do fenômeno estudado o número de vezes que ele ocorre. Este número chama-se freqüência. Na tabela do exemplo dado, a freqüência de votos do candidato A é 9, a do candidato B é, a do C é 4 e a do D é 6. Estas freqüências, representadas na segunda coluna, são as freqüências absolutas (F). Sua soma é igual a 50 que é o número total de observações. Na coluna % de votos, obtida a partir do cálculo de porcentagem de votos de cada candidato, estão representadas as freqüências relativas (Fr). Candidato A Candidato B 9 = 0,8 = 8% 50 = 0, = % 50 Candidato C 4 = 0,8 = 8% 50 Agora, ele poderá fazer o rol desses dados, organizandoos em ordem crescente (ou decrescente): Candidatos D B A C Votos Deste modo, ele terá iniciado o trabalho de tabulação dos dados. Apesar de as anotações do repórter trazerem todas as informações sobre os cinqüenta votos, provavelmente o jornal não irá publicá-los dessa forma. Ë mais provável que seja publicada uma tabela, com o número de votos de cada candidato e a respectiva porcentagem de votos: Candidatos Numero % de votos de Votos D B A C Total Este é um exemplo de distribuição por freqüência. VARIÁVEIS E FREQÜÊNCIAS No caso que estamos estudando, cada voto apurado pode ser do candidato A, do B, do C ou do D. Como são cinqüenta os votantes, o número de votos de cada um pode assumir valores de a 50. O número de votos varia. Ë uma variável. 8 Candidato D 6 = 0, = % 50 A freqüência relativa (Fr) ou freqüência porcentual (F%) é a relação entre a freqüência absoluta e o número total de observações. Sua soma é ou 00%: , + 0,8 + 0, =,00 8% + % + 8% + % = 00% Exemplo : Dada a tabela abaixo, observe qual a variável e qual a freqüência absoluta e calcule as freqüências relativas. DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL 97 Faixa de renda Habitações Até salário mínimo De a salários mínimos De 4 a 8 salários mínimos Mais de 8 salários mínimos Total Fonte: Brasil em dados. Apud: COUTINHO, M.. C. e CU- NHA, S. E. Iniciação à Estatística. Belo Horizonte, Lê, 979, p. 40. Solução: A variável é a renda, em salários mínimos por habitação. As freqüências absolutas são os dados da tabela: em moradias a renda é de até salário mínimo; em é de a salários; em está entre 4 e 8 salários; em é maior que 8 salários mínimos.

83 Para obter as freqüências relativas, devemos calcular as porcentagens de cada faixa salarial, em relação ao total de dados: Li + Ls Pm = até salário mínimo 4740 = 0,8 = 8% O ponto médio da classe entre 4 e 8 salários é 6 salários mínimos. de a salários de 4 a 8 salários mais de 8 salários Organizando os dados numa tabela: 6860 = 0,46 = 46% = 0,0 = 0% = 0,06 = 6% DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL 97 Faixa de renda F Fr(F%) Até salário mínimo De a salários mínimos De 4 a 8 salários mínimos Mais de 8 salários mínimos Total Observe que, nesse exemplo, a variável é uma medida: quantos salários mínimos por habitação. Podemos encontrar salários correspondentes a qualquer fração do salário mínimo. Entre dois valores quaisquer sempre poderá existir um outro valor da variável. Por exemplo, entre e salários poderá existir a renda de salário e meio (,5 salário); entre,5 e poderá existir,7 salário etc. Trata-se então de uma variável contínua. Para representá-la na tabela houve necessidade de organizar as faixas de renda em classes. Portanto, uma variável que pode teoricamente assumir qualquer valor entre dois valores quaisquer é uma variável contínua. Caso contrário ela é discreta, como no exemplo. Em geral, medições dão origem a variável contínua, e contagens a variável discreta. AGRUPAMENTO EM CLASSES Como vimos no exemplo, para representar a variável contínua renda foi necessário organizar os dados em classes. O agrupamento em classes acarreta uma perda de informações, uma vez que não é possível a volta aos dados originais, a partir da tabela. Quando isso se torna necessário, uma maneira de obter resultados aproximados é usar os pontos médios das classes. Ponto médio de uma classe é a diferença entre o maior e o menor valor que a variável pode assumir nessa classe. Esses valores chamam-se, respectivamente, limite superior e limite inferior da classe. No exemplo que acabamos de estudar, na classe de 4 a 8 salários temos: limite inferior: 4 salários Li = 4 limite superior: 8 salários Ls = 8 ponto médio: = 6 8 A diferença entre os limites superior e inferior chama-se amplitude da classe: h = Ls Li Nem sempre a amplitude é um número constante para todas as classes. Há casos em que a desigualdade das amplitudes de classe não prejudica, mas favorece a disposição do quadro de freqüência. Ë o que ocorre no exemplo, em que os salários acima de 8 mínimos foram agrupados em uma única classe, impedindo o aparecimento de freqüências muito baixas. Exemplo : A partir das idades dos alunos de uma escola, fazer uma distribuição por freqüência, agrupando os dados em classes. Idades (dados brutos): Organizando o rol, temos: São 9 observações. As idades variam de 5 a 5 anos; logo, o limite inferior da primeira classe é 5 e o limite superior da última classe é 5. A diferença entre o Ls da última classe o Li da primeira classe chama-se amplitude total da distribuição. A amplitude total é: 5 5 = 0 Organizando os dados, por freqüência, temos: Idade F Total 9 Estando os dados organizados nessa disposição, é fácil agrupá-los em classes. Como a amplitude total é 0 e o número de observações é pequeno, nossa melhor opção é amplitude h =, que nos dará cinco classes com amplitudes iguais a. h = Classes F

84 9 5 Total 9 A representação 5 7 significa que 5 pertence à classe e 7 não pertence; 7 está Incluído na classe seguinte. Poderíamos também pensar em dez classes com amplitude h = ou em duas classes com h = 5. Mas com li = os dados não seriam agrupados, e a tabela continuaria a mesma, e com h = 5 teríamos apenas duas classes, perdendo muitas informações. 8 5 h = 5 Classes F Total 9 Para amplitudes, 4, 6 ou 7 não conseguiríamos classes com amplitudes iguais. Observemos como ficariam os quadros: Classes Total 9 F 9 6 Com h = temos quatro classes, mas a última tem amplitude (h = ) diferente das demais. Classes Total 9 F 4 4 Com h = 4 ficamos com três classes, sendo a última com amplitude (h = ) diferente das demais. Classes 5 5 Total 9 F 7 Temos agora duas classes com amplitudes 6 e 4. Classes 5 5 Total 9 F 5 4 Ficamos, neste caso, com duas classes com amplitudes 7 e. Podemos notar que, quanto maior a amplitude, menor é o número de classes. É regra geral considerarmos amplitudes iguais para todas as classes, mas há casos em que a desigualdade, em vez de prejudicar, favorece a disposição dos dados no quadro. Quando, por exemplo, estamos estudando determinado assunto, muitas vezes surgem dados desnecessários; podemos desprezá-los ou então reduzir a tabela, agrupando-os numa classe. Exemplo 4: Levantamento, segundo faixas etárias, do número de casamentos realizados na cidade X, durante determinado ano. Classes F de a 5 anos ( classes) De a 5 anos foram agrupadas três classes, e ainda assim a freqüência é zero. De 6 a 00 anos os casamentos não costumam ser freqüentes: foram agrupadas oito classes, sendo registrada a freqüência de 6 casamentos. Estabelecimento do número de classes e da amplitude Devemos escolher o número de classes, e consequentemente a amplitude, de modo que. possamos verificar as características da distribuição. Ë lógico que, se temos um número reduzido de observações, não podemos utilizar grandes amplitudes; e também que, se o número de observações é muito grande, as amplitudes não devem ser pequenas. Para o estabelecimento do número de classes, o matemático Sturges desenvolveu a seguinte fórmula: n = +, logn N é o número de observações, derivado do desenvolvimento do Binômio de Newton. Waugh resumiu as indicações na seguinte tabela: Casos observados Número de classes a usar (De acordo com a regra de Sturges)

85 Nem sempre, porém, temos à mão essa tabela. Devemos, então, procurar a amplitude total da distribuição. Com este dividendo fixado, consideraremos como divisor um número de classes razoável, e o quociente nos indicará qual amplitude escolher. Exemplo 5: Suponhamos uma distribuição onde o menor valor da variável é e o maior é 80. Temos: Li (primeira classe) = Ls (última classe) = 80 H (amplitude total) = 80 - = 77 Dois números razoáveis de classes seriam 7 ou (divisores de 77). Se desejarmos classes, a amplitude de cada uma será: h = 77 : ou h = h = (Ls -Li) : n Onde: h = amplitude de classe Ls Li = amplitude total n = número de classes 80 h=7 Exemplo 6: Em uma escola, tomou-se a medida da altura de cada um de quarenta estudantes, obtendo-se os seguintes dados (em centímetros): Fazer a distribuição por freqüência. Solução: Podemos organizar o rol de medidas a partir dos dados brutos, dispondo-os em ordem crescente (ou decrescente) A menor estatura é 50 cm e a maior 78 cm. A amplitude total é 8 cm. Poderíamos pensar em 4 ou 7 classes. O primeiro é um número pequeno para quarenta observações. Com 7 classes, as duas últimas teriam freqüência. Para agrupá-las, podemos reduzir o número de classes para 6, e, para facilitar o cálculo, arredondar 78 cm para 80 cm. Assim, a amplitude total a considerar será: = 0 Logo: h = 0 : 6 = 5 Organizando os dados em 6 classes de amplitude 5, teremos: Classes Alturas (cm) Representando as classes por intervalos fechados à esquerda, não teremos dúvidas quanto a seus limites inferiores e superiores. Podemos agora fazer a tabulação dos dados, registrando na tabela as classes e seus pontos médios, e as freqüências. Além da freqüência absoluta (F) e da relativa (Fr), podemos representar a freqüência acumulada (Fa). Acumular freqüências, na distribuição, significa adicionar a cada freqüência as que lhe são anteriores. ALTURAS (CM) DE ESTUDANTES DA ESCOLA X Classes Pm F Fa Fr , , , , , , Total Observando a tabela podemos responder a questões como: Quantos são os estudantes com estatura inferior a 60 cm? Que porcentagem de estudantes tem estatura igual ou superior a 75 cm? Quantos são os estudantes com estatura maior ou igual a 60 cm e menor que 75 cm? Qual a porcentagem de estudantes com estatura abaixo de 70 cm? Respostas: a)6 b)% c) d)90% Finalizando, uma observação: o agrupamento em classes muito grandes poderá levar a uma perda de pormenores; podemos, então, optar pelo agrupamento em classes menores e, conseqüentemente, por um maior número delas, desde que isso não prejudique o estudo. Com a possibilidade do uso de computadores, esta alternativa torna-se bastante viável. PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS :. GRÁFICOS LINEARES OU DE CURVAS São gráficos em duas dimensões, baseados na representação cartesiana dos pontos no plano. Servem para representar séries cronológicas ou de localização (os dados são observados segundo a localidade de ocorrência), sendo 85

86 que o tempo é colocado no eixo das abscissas (x) e os valores observados no eixo das ordenadas (y). Vendas da Companhia Delta 97 a 977 Ano Vendas (Cr$.000,00) Fonte: Departamento de Marketing da Companhia Vendas (Cr$.000,00) Vendas da Companhia Delta Anos. GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS São representados por retângulos de base comum e altura proporcional à magnitude dos dados. Quando dispostos em posição vertical, dizemos colunas; quando colocados na posição horizontal, são denominados barras. Embora possam representar qualquer série estatística, geralmente são empregados para representar as séries específicas ( os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência). A) Gráfico em Colunas População Brasileira ( ) Ano População Fonte: Anuário Estatístico População População do Brasil 0 B) Gráfico em Barras ANOS Produção de Alho Brasil (988) ESTADOS QUANTIDADES (t) Santa Catarina.97 Minas Gerais.89 Rio Grande do Sul 6.89 Goiás 6.0 São Paulo 4.79 Fonte: IBGE Estados PRODUÇÃO DE ALHO - BRASIL- 988 São Paulo Rio Grande do Sul Santa Catarina toneladas GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS ESTE TIPO DE GRÁFICO É GERALMENTE EMPREGA- DO QUANDO QUEREMOS REPRESENTAR, SIMULTÂNEA MENTE, DOIS OU MAIS FENÔMENOS ESTUDADOS COM O PROPÓSITO DE COMPARAÇÃO. ESPECIFI- CAÇÃO Fonte: Ministério das Economia US$ MILHÃO BALANÇA COMERCIAL BRASIL VALOR (US$ ) BALANÇA COMERCIAL BRASIL ANOS GRÁFICO EM SETORES exportação É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores circulares. É empregado sempre que se pretende comparar cada valor da série com o total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Para construí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionais aos valores da série. Essa divisão poderá ser obtida por meio de uma regra de três simples e direta. 86

87 Total 60º Parte x º REBANHOS BRASILEIROS 988 ES- QUANTIDADE (milhões de cabeças) PÉCIE BOVINOS 40 Suínos Ovinos 0 Caprinos Total 0 Fonte: IBGE Temos: Para Bovinos: º x x = 48,º x = 48º Para Suínos: º PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA MUNICÍPIO DE RECIFE 989 ME- PRECIPITAÇÃO (mm) SES Janeiro 74,8 Fevereiro 6,9 Março 8,9 Abril 46,7 Maio 48, Junho 48,4 Julho 58,7 Agosto,8 Setembro 9,7 Outubro 66, Novembro 8, Dezembro 0, Fonte: IBGE PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA MUNICÍPIO DE RECIFE y Para Ovinos: º y = 56,7º y = 57º Dezembro Novembro Outubro Janeiro Fevereiro Março Abril z z = 5,4º z = 5º Para Caprinos: º Setembro Agosto Julho Maio Junho w w = 9,5º w = 0º REBANHOS BRASILEIROS % 6% 5% 69% Bovinos Suínos Ovinos Caprinos. traçamos uma circunferência de raio arbitrário (em particular, damos preferência ao raio de comprimento proporcional à média dos valores da série; neste caso, x = 4,5);. construímos uma semi-reta ( de preferência na horizontal) partindo de O (pólo) e com uma escala (eixo polar);. dividimos a circunferência em tantos arcos quantas forem as unidades temporais; 4. traçamos, a partir do centro O (pólo), semi-retas passando pelos pontos de divisão; 5. marcamos os valores correspondentes da variável, iniciando pela semi-reta horizontal (eixo polar); 6. ligamos os pontos encontrados com segmentos de reta; 7. se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos uma linha interrompida. 5. GRÁFICO POLAR É a representação de uma série por meio de um polígono. É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, isto é, séries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade, como, por exemplo, a variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia, a arrecadação da Zona Azul durante a semana, o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano, o número de passageiros de uma linha de ônibus ao longo da semana, etc. O gráfico polar faz uso do sistema de coordenadas polares. 6. CARTOGRAMA O cartograma é a representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. Distinguimos duas aplicações: Representar dados absolutos (população) neste caso, lançamos mão, em geral, dos pontos, em número proporcional aos dados. Representar dados relativos (densidade) neste caso, lançamos mão, em geral, de Hachuras. 87

88 POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO SUL DO BRASIL 990 ES- POPULAÇÃO Á D TADO (hab.) REA (km ) ENSIDA- DE Paraná ,8 Santa Catarina ,8 Rio Grande do ,6 Sul Fonte: IBGE GRÁFICOS ANALÍTICOS Os gráficos analíticos são usados tipicamente na representação de distribuições de freqüências simples e acumuladas.. HISTOGRAMA É a representação gráfica de uma distribuição de freqüências por meio de retângulos justapostos, onde no eixo das abscissas temos os limites das classes e no eixo das ordenadas os valores das freqüências absolutas (f i). POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS É um gráfico de linhas que se obtém unindo-se os pontos médios dos patamares dos retângulos do HISTOGRAMA. 7. GRÁFICOS PICTÓRICOS SÃO GRÁFICOS ATRAVÉS DE FIGURAS QUE SIMBO- LIZAM FATOS ESTATÍSTICOS, AO MESMO TEMPO QUE INDICAM AS PROPORCIONALIDADES. Por serem representados por figuras, tornam-se atraentes e sugestivos, por isso, são largamente utilizados em publicidades. Regras fundamentais para a sua construção: Os símbolos devem explicar-se por si próprios; As quantidades maiores são indicadas por meio de um número de símbolos, mas não por um símbolo maior; Os símbolos comparam quantidades aproximadas, mas detalhes minunciosos; Os gráficos pictóricos só devem ser usados para comparações, nunca para afirmações isoladas. PRODUÇÃO BRASILEIRA DE VEÍCULOS (dados fictícios) Classes PM f i f r f % f a f ra f %a , , , 0 0, , , ,6 6 0, , , , 46 0, , ,00 00 Σ 50, ANOS 975 A PRODU- NO ÇÃO OBSERVAÇÕES: a) O HISTOGRAMA e o POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS, em termos de f i, f r e f% têm exatamente o mesmo aspecto, mudando apenas a escala vertical; b) Observe que, como o primeiro valor da tabela é bem maior que zero, adotamos aproxima-lo do zero através da convenção: PRODUÇÃO = unidades. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS OU OGIVA DE GALTON É a representação gráfica que tem no eixo das abscissas os limites das classes e no eixo das ordenadas as freqüências acumuladas (f a ou f %a ) 88

89 NOTA: Para obtermos o valor da mediana de uma série de valores em dados agrupados usamos uma fórmula, porém, através do gráfico de freqüências acumuladas (OGIVA DE GALTON) podemos obter esse valor. EXEMPLO: Seja a distribuição: Classes f i f a CONSTRUIR A OGIVA DE GALTON E, A PARTIR DOS DADOS, DETERMINE O VALOR DA MEDIANA DA SÉRIE. I) Cálculo da média : PM. fi 80 x = = 6,9 x = 6,9 n 6 II) Cálculo da mediana: a) posição da mediana : P = n/ = 6/ P = ª posição obtida na coluna f a que corresponde à ª classe; b) Li = 6, f a = 8, f i = 0, h = 8 6 = c) Md = (P - ' f ) ( - 8) Li + a.h = 6 +. = 6 + fi 0 Md = 7 III) Cálculo da moda pela fórmula de CZUBER: Classe modal = Classe de freqüência máxima = ª classe ( ) Li = 6, = 0 5 = 5, = 0 6 = 4, h = 8 6 = Para obtermos a mediana, a partir da OGIVA DE GALTON, tomamos em f a = 6 a freqüência percentual que irá corresponder à 00% ou seja, f %a = 00. Como a mediana corresponde ao termo central, localizamos o valor da f a que corresponde à 50% da f %a, que neste caso, é f a =. A mediana será o valor da variável associada a esse valor no eixo das abscissas ou seja, Md = 7 CÁLCULO DA MODA PELA FÓRMULA DE PEARSON M o. Md. x Segundo PEARSON, a moda é aproximadamente igual à diferença entre o triplo da mediana e o dobro da média. Esta fórmula dá uma boa aproximação quando a distribuição apresenta razoável simetria em relação à média. Exemplo: Seja a distribuição: Classes PM f i f a PM. f i M o = Li +. h = = 6 +,... 7, M o 7, IV) Cálculo da moda pela fórmula de PEARSON: M o.md. x M o =. 7. 6,9 =,84 = 7,6 M o 7,6 MEDIDAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO Há certas medidas que são típicas numa distribuição: as de tendência central (médias), as separatrizes e as de dispersão. MÉDIAS Consideremos, em ordem crescente, um rol de notas obtidas por alunos de duas turmas (A e B): Turma A: Turma B: Observemos para cada turma: valor que ocupa a posição central: Classe Modal e Classe Mediana Determine a Moda pela fórmula de CZUBER e pela fórmula de PEARSON. 89

90 A média aritmética (Ma) é a medida de tendência central mais conhecida. Já sabemos que ela é o quociente da soma dos valores ( x) pela quantidade deles (n). Exemplo : Consideremos os dados abaixo: A quantidade de dados é: O valor que aparece com maior freqüência: O quociente da somatória ( ) dos dados (x) pela quantidade de dados (n): Turma A: = Turma B: = n X = 5,45 = 5,6 Colocando estes três valores lado a lado, temos: Turma Posição Maior freqüência X central n A 6 7 5,45 B 5 4 5,6 Observando os resultados, podemos afirmar que a turma A teve melhor desempenho que a turma B. Esses três valores caracterizam as distribuições. São chamados valores típicos. Eles tendem a se localizar em um ponto central de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, o que justifica a denominação medidas de tendência central ou médias. O valor que ocupa a posição central chama-se mediana (Md): Para a turma A, a mediana é 6: Md = 6. Para a turma B, a mediana é 5: Md = 5 O valor que aparece com maior freqüência chama-se moda (Mo): Para a turma A, a moda é 7: Mc = 7. Para a turma B, a moda é 4: Mc = 4. O quociente da soma dos valores pela quantidade chamase média aritmética (Ma): Para a turma A, a média aritmética é Ma =5,45 Para a turma B, a média aritmética é Ma =5,6. Portanto, mediana, moda e média aritmética são medidas de tendência central ou médias da distribuição. Existem outros tipos de média, como a média geométrica e a harmônica, que não constarão deste capítulo por não serem muito utilizadas neste nível de ensino. Média aritmética 90 n = 0 A soma dos dados é: x = = 80 A média aritmética é: X 80 Ma = = Ma = 4 n 0 Exemplo : Consideremos os mesmos dados do exemplo dispostos em uma distribuição por freqüência: x F Total 0 Veja que o número de observações é igual ao da soma das freqüências: n = F = 0. x = = x = Os fatores que multiplicam os dados são as freqüências que aparecem na tabela da distribuição. Logo: X Fx Ma = = n F As relações se eqüivalem: X Ma = e Ma = n Na prática, quando temos a distribuição por freqüência, acrescentamos à tabela uma coluna com os produtos Fx de cada valor pela sua freqüência: Fx x F Fx F

91 Ma = 6 Total Ma = 4 Muitas vezes, são associados aos dados certos fatores de ponderação (pesos), que dependem do significado ou da importância que se atribui ao valor. No exemplo acima, a cada dado está associada sua freqüência. Ë comum nas escolas obter-se a média do aluno pela ponderação das notas das provas. Exemplo : Numa determinada escola, no primeiro semestre, o prol ~sor de aplicou a seus alunos três provas: a primeira de álgebra, a segunda de geometria e a terceira exigindo toda a matéria. Considerou peso para a última prova e peso para as duas primeiras. Um aluno obteve as seguintes notas: primeira prova 8,0 segunda prova 5,0 terceira prova 7,0 Qual é a média do aluno? Solução: (8,0.) + (5,0.) + (7,0.) 7 média é: = = 6, Temos então um exemplo de média aritmética ponderada (Mp). No exemplo, os fatores de ponderação são as freqüências dos dados. No exemplo, são os pesos atribuídos às provas. A média ponderada é usada quando já temos os dados dispostos em tabelas de freqüência ou quando a ponderação dos dados já é determinada. Cálculo da média aritmética para dados agrupados em classes Quando, numa distribuição por freqüência, os dados estão agrupados cm classes, são considerados coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Para o cálculo da Ma, usaremos os produtos dos pontos médios pelas freqüências de cada classe (Pm. F). Acrescentamos, então, à tabela dada a coluna Pm. F. Exemplo 4: Seja a tabela que nos dá a altura (x) dos estudantes de uma classe de primeiro grau: h = 5 x (cm) Pm F , , , , , ,5 Total 40 Queremos, a partir da tabela, calcular a média aritmética. Solução: Completando a tabela, com a coluna Pm. F. temos: h = 5 x (cm) Pm F Pm.F ,5 6 95, ,5 9 47, , , ,5 5 87, ,5 57, ,5 77,5 0 Total F=40 Pm.F=6465, 0 Pm = F Ma F Ma = Ma = 6,65 cm Este é o cálculo da média aritmética pelo chamado processo longo. Podemos, no entanto, calcular a Ma, sem cálculos demorados, utilizando o processo breve. Para isso, devemos compreender o conceito de desvio (d), que é a diferença entre cada dado e a Ma. O desvio também pode ser chamado de afastamento. No exemplo que acabamos de ver, os dados estão agrupados em classes; são, portanto, considerados coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Os desvios são: d = α. F, onde α = Pm Ma. Neste exemplo: (α) (α.f) 5,5 6,65 = 9,5 54,75 57,5 6,65 = 4,5 7,5 6,5 6,65 = 0,875 4,0 67,5 6,65 = 5,875 9,75 7,5 6,65 = 0,875,65 77,5 6,65 = 5,875 5,875 A soma algébrica dos desvios é: αf= 9, ,875=0 Esta propriedade pode ser usada para o cálculo da Ma pelo processo breve: A soma algébrica dos desvios dos valores de uma série em relação à Ma é nula. Podemos, então, calcular a média aritmética sem recorrer a cálculos demorados. Primeiro, indicamos o ponto médio de uma das classes como uma suposta média aritmética (Ms). Em geral, escolhemos o da classe que apresenta a maior freqüência, para que o desvio (Ma Ms) seja o menor possível. Calculamos, a seguir, esse fator de correção (C = Ma Ms). 9

92 Se C = 0 Ma = Ms. Caso contrário, estaremos dependendo de um fator de correção para mais ou para menos. Se os intervalos de classe têm a mesma amplitude h, todos os desvios Pm Ms podem ser expressos por c.h, onde h é a amplitude e c pode ser um número inteiro negativo (se o Pm considerado está abaixo da Ms) ou um inteiro positivo (se o Pm está acima da Ms). Consideremos a tabela do exemplo 4, e calculemos a Ma pelo processo breve. Vamos escolher o Pm da classe de maior freqüência como a suposta média: Ms = 6,5 Os desvios em relação à Ms são: 5,5-6,5= -0 = -.5 = -. h c = - 57,5-6,5= -5 = -.5 = -. h c = - 6,5-6,5= 0 = 0.5= 0. h c = 0 67,5-6,5= 5 =.5=. h c = 7,5-6,5= 0=.5=. h c = 77,5-6,5= 5=.5=. h c = Os valores obtidos para c são: -, -, 0,,,. Esses números seriam iguais a α se Ms fosse a média aritmética. Acrescentando à tabela os valores de c e de c. F: x Pm F c c.f , , , , , ,5 0 Total F=40 cf=-7 A linha obtida equilibra o histograma, dividindo-o em duas partes de áreas iguais. Todos os histogramas de distribuições normais são mais ou menos simétricos em relação à Ma. Os dados de maior freqüência se aproximam da Ma. Você deve ter notado que a média aritmética é um valor que engloba todos os dados. Se houver dados discrepantes, eles influirão no valor da Ma. Exemplo 5: A média aritmética de :,,,,, 4, 5 é: = 7 7 = 4,57 Podemos notar aqui que a discrepância entre os dados, levou a uma media aritmética maior do que os seis primeiros valores; maior, portanto, do que a maioria deles. Mediana Mediana é o valor que divide a distribuição ao meio de tal modo que 50% dos dados estejam acima desse valor e os outros 50% abaixo dele. Exemplo 6: Sejam as nove observações: Considerando-se os quarenta dados, o erro verificado é 7. A soma algébrica dos desvios deveria ser nula se Ms = 7 Ma. Logo, o fator de correção é C = ou seja, C = 40 0,75. Se: Ma Ms = 0 Ma 6,5 = 0,75 Ma = 6,5 + ( 0,75) Ma = 6,65 Vamos construir o histograma da distribuição e traçar uma perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto correspondente à Ma. ou Mediana é o número que tem antes e depois de si a mesma quantidade de valores. Quando a quantidade de observações é um número par, a mediana é a média aritmética dos valores centrais. Exemplo 7: Sejam as seis observações: Nesse caso, a mediana e: = 6 Md = 6 Você já sabe encontrar a mediana pelo processo gráfico, pela construção da ogiva porcentual. Agora veremos outro modo de obtê-la. A mediana é o valor central; sua posição é definida por: P = n + 9

93 = Nessa expressão n é o número de observações. No exemplo 6, n = 9; portanto, a posição da mediana é P Calculando a mediana, P = P =, verificamos que ela é o.0 termo. Está, portanto, na terceira clas- se. ou P = 5: a mediana é o quinto termo. 6 + No exemplo 7, n = 6 P = =,5. A mediana está, assim, entre o terceiro e o quarto termos. Em geral, a média aritmética de uma distribuição não coincide com a mediana. A mediana é um valor que não sofre influência dos valores extremos e a média aritmética envolve todos os dados. Cálculo da mediana de uma distribuição por freqüência A freqüência acumulada imediatamente superior a é 6, que corresponde à terceira classe, em que a freqüência é 0. O.º termo está entre os 0 da terceira classe. Logo, a mediana está entre 0 e 5. Os 0 elementos estão na amplitude 5 (h = 5 0). A diferença (a) entre P e a Fa da classe imediatamente anterior à terceira é 6 = 7 a = 7. Veja o esquema: Exemplo 8: Consideremos a seguinte distribuição: Diária (Cz$) 00,00 50,00 00,00 50,00 Número de operários Fa Determinar a mediana dessa distribuição, em que temos as diárias dos operários de uma fábrica. Solução: Procuremos a posição da mediana pela fórmula: n + P = São 8 operários: n = ; logo: P = 8 + P = 9,5 A mediana está entre o nono e o décimo dado (operários). Observemos que a Fa imediatamente superior a 9,5 é, e corresponde à diária de R$50,00. A mediana está entre os oito operários que recebem essa diária. A diária mediana é: Md = R$50,00 De fato, se colocássemos os operários em fila, por ordem de diária, teríamos: 5 operários com diárias de R$00,00 8, com diárias de R$50,00 À distância entre 0 e a mediana chamaremos x. Na distância x, temos 7 elementos. Na amplitude 5, temos 0 elementos. Podemos armar a proporção: x 7 = 0 5 Logo: Md = 0 +,5 Md =,5 x =,5 Se os dados estão agrupados em classes, podemos verificar a que classe pertence a mediana calculando o valor P = n +. A mediana pertence à classe cuja Fa é imediatamente superior a P. Se Fa = P, a mediana é o limite superior da classe com essa freqüência acumulada. Se P Fa, calculamos d P Fa (Fa imediatamente superior à P). Armamos então a proporção: x h = d F F é a freqüência da classe à qual pertence a mediana; h é a amplitude da classe; x é o número que somado ao limite inferior da classe em questão nos dará a mediana. Exemplo 9: Consideremos a distribuição: h = 5 Classe F Fa Total 5 9 d h x = F d h Md = Li + F

94 Essa é a fórmula usada para o cálculo da mediana de uma distribuição por freqüência com dados acumulados em classes. Exemplo 0: Consideremos a tabela do exemplo 4, deste capítulo, e calculemos a mediana. Solução: P = n + 4 P = P = 0,5 A mediana está entre o 0.º e o.º termos. A freqüência acumulada imediatamente superior a 0,5 é a da terceira classe. A Md é um valor entre 60 e 65 cm. último caso, ela é chamada classe modal, e seu ponto médio é a moda bruta, que representa uma aproximação da moda. Pode-se obter a moda de uma distribuição a partir de seu histograma. Exemplo 4: Considerando os dados do exemplo 4, vamos encontrar a moda: Solução: A Md está entre os 6 dados: A Fa está entre 5 e : d = 0,5 5 d = 5,5 A amplitude da classe é h = 5 d h Md = 60 + F 5,5 5 Md = Md = 60+,7 Md = 6,7 cm Vamos construir o histograma da distribuição, localizando a Ma e a Md: Considera-se a abscissa do ponto de intersecção dos segmentos CA e BD. Numa distribuição com dados agrupados, para a qual se construiu uma curva de freqüência, a moda é o valor (ou os valores) que corresponde ao ponto de ordenada máxima (ponto mais alto da curva). Moda Exemplo 5: Seja a distribuição do exemplo 4, deste capítulo, que nos dá a altura dos estudantes de uma classe de primeiro grau. Calculamos Ma = 6,65 cm (no exemplo 4), Md = 6,7 cm (no exemplo 0) e encontramos a Mo pelo processo gráfico (exemplo 4). Representemos os três valores no mesmo gráfico: A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência. A moda pode não existir, e se existir pode não ser única. Exemplo : O conjunto de números,, 5, 7, 9, 9, 9, 0,,, 8 tem moda 9. Exemplo : No conjunto, 5, 7, 9, 0, li, todos os dados têm a mesma freqüência. Não existe nenhum valor que apresente maior freqüência do que os outros. Ë um caso em que a moda não existe. Exemplo : Seja o rol de dados:,, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Os números 4 e 7 apresentam freqüência, maior que a dos demais. Nessa distribuição há, portanto, duas modas: 4 e 7. Uma distribuição com duas modas é denominada bimodal. A rigor, a moda não é uma medida empregada para um pequeno número de observações. Existem fórmulas para o cálculo da moda, mas, na prática, ela é determinada pelo valor ou pela classe que apresenta maior freqüência. Neste As medidas que acabamos de estudar (Ma, Md e Mo) têm a tendência de se localizar no centro da distribuição. Em distribuições em que as curvas são simétricas, as três são coincidentes (distribuição normal). Para curvas assimétricas, o matemático Pearson verificou que a distância entre a Ma e a Mo é três vezes maior que a distância entre a Ma e a Md: 94

95 Ma Mo = (Ma Md) Isolando Mo: Mo = Md Ma Essa é a fórmula empírica de Pearson. Exemplo 6: Na distribuição do exemplo anterior, Ma = 6,65 e Md = 6,7. Calcular o valor da Mo. Mo = Md Ma Mo =.6,7.6,65 = 6,88 Mo = 6,88 DESVIO PADRÃO O desvio padrão é a medida mais usada na comparação de diferenças entre grupos, por ser a mais precisa. Ele determina a dispersão dos valores em relação à média. Exemplo 7: Consideremos os pesos de 0 crianças recém-nascidas, numa cidade X: 0 meninos e 0 meninas. Meninos Peso (g) Meninas Peso (g) As médias aritméticas dos pesos são: meninas: 50g meninos: 40g Podemos observar que o peso dos meninos é em média maior que o das meninas. Calculemos os desvios e seus quadrados: Meninos Peso d d Meninas Peso d d A média aritmética dos quadrados dos desvios chama-se variância. Calculemos as variâncias das duas distribuições. Para os meninos: = Para as meninas: = = 000 A raiz quadrada da variância é o desvio padrão. Calculemos os desvios padrões de cada uma das distribuições: para os meninos s = = 4,5 g para as meninas s = 000 = 04,9g Comparando os dois valores, notamos que a variabilidade no peso dos meninos é maior que no das meninas (s > s ). O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada em casos de distribuições simétricas. Lembramos que, graficamente, distribuições desse tipo se aproximam de uma curva conhecida como curva nórmal ou curva de Gauss: O desvio padrão tomado com os sinais - e + ( - s e +s) define em torno da média aritmética uma amplitude (s) chamada zona de normalidade. Processos matemáticos indicam que 68,6% dos casos se situam nessa amplitude. Exemplo 8: Considerando os resultados do exemplo 7 a respeito do peso das meninas: Ma = 50 g e s = 04,9 g, calcular a zona de normalidade. Solução: Devemos encontrar um intervalo de amplitude s, em torno da Ma: Ma + s = ,9 = 54,9 g Ma - s = 50-04,9 = 005, g Serão consideradas dentro da normalidade todas as meninas com pesos entre 005, g e 54,9 g. Exemplo 9: Consideremos a seguinte tabela: NOTAS DE MATEMÁTICA DE UMA CLASSE X Notas Pm F 0,0,0 4,0 4,0 6,0 6,0 8,0 8,0 0,0 Calcular:,0,0 5,0 7,0 9, F = 40 a média aritmética; o desvio padrão; a zona de normalidade (e representá-la em um polígono de freqüência). Solução: 95

96 a) Para o cálculo da Ma, vamos construir uma tabela que nos auxilie: h = Notas Pm F α α.f 0,0,0 - -6,0 4,0, ,0 6,0 5, ,0 8,0 7, ,0 0,0 9,0 4 8 F=40 αf= Ma = Pm + h. α Ma = 5, Ma = 5,0 + 0,050 Ma = 5,05 F F Para o cálculo do desvio padrão, vamos calcular os desvios (d = Pm Ma) e acrescentar à tabela dada as colunas d, d, d F: h = notas Pm F d d d F Ma = 5,05 0,0.0-6,40 49,,0 4,0,0 9 4,05 4, ,0 6-0,005 7,8 6,0 8,0 7,0 8,05,80 0 8, ,60 0,04 0,0 0,05,95,95 0,4 0 6,4 0 F=40 d F= 79,84 s = s = s = d F F 79, ,50 s =, Cálculo da zona de normalidade: Ma - s = 5,05 -, Ma - s =,9 Ma + s = 5,05 +, Ma + s = 7,7 A zona de normalidade inclui, portanto, notas de,9 a 7,7. BIBLIOGRAFIA Estatística Fácil Editora Ática Introdução à Estatística Editora Saraiva Introdução à Estatística Editora Ática RACIOCÍNIO LÓGICO Introdução O raciocínio lógico é uma ferramenta indispensável para a realização de muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas, pois é fundamental para a estruturação do pensamento na resolução de problemas. Assim, é imprescindível selecionar atividades que incentivem os alunos a resolver problemas, tomar decisões, perceber regularidades, analisar dados, discutir e aplicar idéias. Para desenvolver o raciocínio é fundamental deixar o aluno escolher livremente o método que vai utilizar. De nada adianta ensinar-lhes a resolver um problema, porque, se eles não pensam por si mesmos, os próximos já não saberão fazer. O raciocínio necessário para resolvê-los precisa ser exigido em situações novas e variadas, para que seja exercitado e se desenvolva. As atividades propostas devem estar sempre relacionadas com situações que tragam desafios e levantem problemas que precisam ser resolvidos, ou que dêem margem à criação e devem permitir que os alunos se sintam capazes de vencer as dificuldades com as quais se defrontam e de tomar a iniciativa para resolvê-las de modo independente. Nesse tipo de atividade, os alunos são tratados como indivíduos capazes de construir, modificar e integrar idéias. Para tanto, precisam ter a oportunidade de interagir com outras pessoas, com objetos e situações que exijam envolvimento, dispondo de tempo para pensar e refletir acerca de seus procedimentos. Percebendo o próprio progresso, eles se sentem mais estimulados a participar ativamente das atividades propostas. Objetivos Ensinar através de desafios; Motivar o interesse e a curiosidade; Ampliar o raciocínio lógico; Desenvolver a criatividade; Melhorar a interpretação de texto; Propor idéias criativas; Observar e perceber coisas que não são percebidas pelos demais; Aumentar a atenção e a concentração; Desenvolver antecipação e estratégia; Trabalhar a ansiedade; Praticar as habilidades; Melhorar o relacionamento aluno-aluno e alunoprofessor; Estimular a discussão e o uso de estratégias matemáticas; Reduzir a descrença na autocapacidade de realização. Justificativa O ensino de vem se tornando cada vez mais defasado em propostas que motivem o crescimento intelectual do aluno. E cada vez mais é exigido dele que pense e apresente soluções para os mais variados problemas do cotidiano. Em decorrência disso, faz-se necessário propor atividades periódicas que permitam que o aluno aprenda a pensar, desenvolvendo e ampliando, assim, a sua habilidade de raciocínio. Michele Pereira Reis -o0o- Antes de aprender sobre raciocínio lógico, vamos conferir o significado das palavras em separado. Veja a seguir o que é lógica. 96

97 O que é a lógica? A palavra vem do grego logos e significa razão, pensamento. Há muitas definições para a lógica, sendo que a considerada mais adequada para nosso estudo é a de Irving Copi: A lógica é uma ciência do raciocínio. A lógica estuda as formas ou estruturas necessárias para um raciocínio perfeito. É aplicada em diversas áreas, como matemática, filosofia, informática e linguística. O que é raciocínio lógico? Raciocínio lógico é a ligação de proposições, ou seja, é o processo pelo qual o pensamento de duas ou mais relações conhecidas infere uma outra relação, decorrente lógica das anteriores. O raciocínio lógico serve para analisar, argumentar, justificar ou provar hipóteses. É exato, baseia-se em dados que se podem confirmar. É um tipo de pensamento que segue regras, divide os objetos de análise em partes e é linear para chegar à conclusão. Nosso aprendizado sobre raciocínio lógico é baseado na lógica clássica ou lógica aristotélica, a mesma usada por filósofos e matemáticos. A metodologia adotada é adaptada de forma diferente para cada área de conhecimento que se utiliza do raciocínio lógico. Princípios do raciocínio lógico Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. Princípio da não-contradição: Uma proposição não poderá ser ao mesmo tempo falsa e verdadeira. Princípio do Terceiro excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira. Conceitos do raciocínio lógico Proposição Proposição é o conjunto de palavras ou símbolos que representam um pensamento completo. Quando palavras, devem ser sentenças declarativas fechadas. Não são interrogações, exclamações ou frases no imperativo. As proposições transmitem pensamentos que poderão ser considerados verdadeiros ou falsos. Das proposições com palavras, podem-se extrair símbolos. As proposições podem ser simples ou compostas: Proposição simples: menor parcela que pode ser estudada dentro da lógica. Não tem nenhuma outra proposição como parte integrante. Geralmente é representada por uma letra minúscula. Proposição composta: combinação de duas ou mais proposições interligadas por meio de conectivos. Regra (ou condicional): É a constante lógica que conecta duas proposições. Valor lógico: Um dos dois possíveis juízos a ser atribuído às proposições: ou são verdadeiras, ou são falsas. Premissa: Cada uma das duas proposições de um silogismo. Uma proposição só é premissa quando faz parte de um argumento. Argumento: Todo argumento é formado por premissas e proposições. É um conjunto com uma estrutura lógica, originando consequentemente uma outra proposição (conclusão). É a expressão verbal do raciocínio. Conclusão: É a proposição final do silogismo, resultado das premissas. Silogismo: Tipo de argumento formado de três proposições: a maior, a menor e a conclusão deduzida da maior, por intermédio da menor (silogismo regular). Inferência: É o ato de extrair conclusões com base nas premissas que compõe o argumento. Métodos de raciocínio lógico Existem três métodos de raciocínio lógico através de inferência: Dedução: A conclusão é totalmente derivada das premissas. Exemplo: Roger é engenheiro. Todo engenheiro é bom em cálculo. Logo, Roger é bom em cálculo. Indução: A conclusão tem abrangência maior que as premissas. Exemplo: Roger é engenheiro. Roger é bom em cálculo. Logo, todo engenheiro é bom em cálculo. Abdução: A conclusão e a regra são usadas para determinar as premissas. Exemplo: Roger é bom em cálculo. Todo engenheiro é bom em cálculo. Logo, Roger é engenheiro. Conectivos lógicos Conectivos são palavras usadas para ligar proposições simples, criando novas proposições. Vamos aprender três formas pelas quais os conectivos podem ser expressos: a forma como aparece nas proposições (ou a ideia implícita), seu nome e a forma como é simbolizado. E = conjunção (^). Uma conjunção só será verdadeira se todas as proposições componentes forem verdadeiras, ou seja, se uma proposição for falsa, todas são falsas. OU = disjunção (v). Uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõe forem falsas, nos demais casos a disjunção é verdadeira, ou seja, basta que uma das proposições componentes seja verdadeira para que toda a proposição seja verdadeira. OU OU = disjunção exclusiva (v). Uma disjunção exclusiva só será verdadeira se houver a mútua exclusão das sentenças, ou seja, só será verdadeira se uma das sentenças for verdadeira e outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. SE ENTÃO = condicional (->). Uma proposição condicional somente terá valor falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa. Nos outros casos, será verdadeira. Há várias formas de representação da condicional: Se A, B; B, se A; Quando A, B; A implica B; A é condição suficiente para B; B é condição necessária para A; A somente se B; Todo A é B. 97

98 SE E SOMENTE SE = bicondicional (<->). A bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes. Ou seja, só será verdadeira se o valor das duas proposições for igual (as duas verdadeiras ou falsas). Se forem diferentes, a bicondicional será falsa. As formas de representação podem ser: A se e somente se B; se A então B e se B então A; A somente se B e B somente se A; A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. Todo A é B e todo B é A. NEGAÇÃO = (~). Representa a negação de uma proposição. Se a sentença negativa já contiver a palavra não, então é afirmativa. Conceito de raciocínio lógico Raciocínio Lógico Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema. É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se. Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver problemas difíceis. Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando. Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico. Nova teoria científica A ciência é bàsicamente a combinação do raciocínio lógico bom com o conhecimento prático bom de fenômenos naturais reais. Todos os seres humanos fazem algum raciocínio lógico e têm algum conhecimento prático de alguns fenômenos naturais reais, mas na maior parte têm que combinar ciência com sobrevivência. Alguns povos puderam devotar muito de seu tempo ao raciocínio e/ou a ganhar o conhecimento melhor da natureza e com isso nos legaram contribuições pequenas ou grandes ao desenvolvimento da ciência. Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio lógico: dedução, indução e abdução. Dada uma premissa, uma conclusão, e uma regra segundo a qual apremissa implica a conclusão, eles podem ser explicados da seguinte forma: Dedução corresponde a determinar a conclusão. Utilizase da regra e sua premissa para chegar a uma conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada." É comum associar os matemáticos com este tipo de raciocínio. Indução é determinar a regra. É aprender a regra a partir de diversos exemplos de como a conclusão segue 98 da premissa. Exemplo: "A grama ficou molhada todas as vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama ficará molhada." É comum associar os cientistas com este estilo de raciocínio. Abdução significa determinar a premissa. Usa-se a conclusão e a regra para defender que a premissa poderia explicar a conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. A grama está molhada, então pode ter chovido." Associa-se este tipo de raciocínio aos diagnosticistas e detetives. Lógica Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos: Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 0 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 0 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente. Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do réu? E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentremos na argumentação subjacente. A lógica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. "Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a ciência do raciocínio.. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATE- MÁTICA. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciência do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes correntes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal. Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em processos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo. Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas. A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbolismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na instância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico.. CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: A Lógica é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais.

99 No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso. Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional... PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições: Quatro e maior que cinco. Ana e inteligente. São Paulo e uma cidade da região sudeste. Existe vida humana em Marte. A lua é um satélite da Terra Recife é capital de Pernambuco Exemplos de não proposições: Como vai você? Como isso pode acontecer!. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: A Lógica constitui um sistema científico regido por três leis principais, consideradas princípios fundamentais: Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois estados de verdade, isto é, a verdade e a não verdade. Portanto a Lógica é um sistema bivalente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda). Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica apresenta apenas dois estados de verdade ou será correspondente a verdade ou correspondente a falsidade não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente.. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTA- ÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL. CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ- MICO OU BIVALENTE: A Lógica constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a verdade ou a falsidade, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das denominadas primeiras verdades, primícias.. DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas). Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se verdade ou a falsidade. São exemplos de proposições em lógica: A filosofia é a lógica dos contrários Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz. Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racionais são homens solitários. No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real. Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o número de nomes e/ou predicados que constituem as sentenças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições compostas.. CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma proposição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como: p, q, r, s, u, v, w, p, p... pn... As quais são denominadas letras proposicionais ou variáveis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: A é atributo da lógica, adota-se a seguinte notação: p: A matemática é atributo da lógica. Observe que a estrutura: A matemática não é atributo da lógica não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição..4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo constituída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possuem como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição. As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como: P, Q, R, S, U, V, W, P, P... Pn... Considere as proposições simples: p: A filosofia é arte q: A dialética é ciência. Seja, portanto, a proposição composta A filosofia é arte embora a dialética é a ciência. Para se indicar que a dada sentença é designada pela letra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialética é a ciência. Observe que uma fórmula proposicional pode ser constituída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição 99

100 pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo. Sejam as proposições: p: A lógica condiciona a q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo. P (p, q): A lógica condiciona a, mas a dialética fundamenta o pensamento ambíguo. Q (p, q): A lógica condiciona a e/ou a dialética fundamenta o pensamento ambíguo. Sejam ainda proposições compostas: S (P, Q): Se a lógica condiciona a mas a dialética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pensamento ambíguo. De forma simbólica tem-se que; P (p, q): p mas q Q (p, q): p e/ou q S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q)..5 VERDADE E VALIDADE: (Valor lógico ou valor verdade das proposições) Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sistema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois estados de verdade capazes de gerar todos os resultados possíveis, a verdade corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a falsidade a contradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao verdadeiro ou falso, segundo o referencial teórico que institui as determinadas entidades proposições ou enunciados, de um dado universo relacional. Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido. Dada uma proposição simples qualquer, designar, por e- xemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, portanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simbolização: V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) = F. Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,..., p,..., pn componentes. Para indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula proposicional adotar-se-á as notações: V [ P ( p, q, r,..., p,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p,..., pn)] = F É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da analiticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de argumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados. De forma resumida, a validade esta associada à coerência ou a consistência do raciocínio analítico..6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: (ou conectivos proposicionais) Vejam os exemplos: A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a maturidade da matemática A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática e não ambos Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática. A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da matemática. Não é fato que a matemática é a juventude da lógica Designamos as proposições simples: p: A matemática é a juventude da lógica q: A lógica é a maturidade da matemática Tem-se que: P (p, q): p e q. Q (p, q): p ou q. R (p, q): p ou q, e não ambos. S (p, q): Se p, então q. W (p, q): p se, e somente se q. P (p): não p Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicionais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas. Prof.a Paula Francis Benevides Símbolos não e ou se... então se e somente se tal que implica equivalente existe 00

101 existe um e somente um qualquer que seja Símbolo Negação,, ~ ou ' Conjunção Disjunção Condicional Valor lógico Bicondicional Expressão não, é falso, não é verdade que e, mas, também, além disso ou se...então, implica, logo, somente se...se, e somente se...;...é condição necessária que... ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA António Aníbal Padrão Introdução Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objeto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina estuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, inferências e raciocínios são termos equivalentes. Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o interesse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sustentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, também temos de aceitar discutir os nossos argumentos. Os argumentos constituem um dos três elementos centrais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teorias. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procurado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em argumentos. Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é importante, isto é, por que é que a lógica é importante. É importante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correctamente. E isto é fundamental para a filosofia. O que é um argumento? Um argumento é um conjunto de proposições que utilizamos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A proposição que queremos justificar tem o nome de conclusão; as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justificam têm o nome de premissas. Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da "mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a razões, não é? Dirás qualquer coisa como: Os preços no bar da escola subiram; como eu lancho no bar da escola, o lanche fica me mais caro. Portanto, preciso de um aumento da "mesada". Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão? Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu argumento, são as razões que utilizas para defender a conclusão. Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte conjunto de proposições não é um argumento: Eu lancho no bar da escola, mas o João não. A Joana come pipocas no cinema. O Rui foi ao museu. Neste caso, não temos um argumento, porque não há nenhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um conjunto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já vimos, um conjunto de proposições em que se pretende que uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras o que não acontece no exemplo anterior. Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só pode ter uma conclusão. Exemplos de argumentos com uma só premissa: Exemplo Premissa: Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Logo, alguns europeus são portugueses. Exemplo Premissa: O João e o José são alunos do.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do.º ano. Exemplos de argumentos com duas premissas: Exemplo Premissa : Se o João é um aluno do.º ano, então estuda filosofia. Premissa : O João é um aluno do.º ano. Conclusão: Logo, o João estuda filosofia. Exemplo Premissa : Se não houvesse vida para além da morte, então a vida não faria sentido. Premissa : Mas a vida faz sentido. Conclusão: Logo, há vida para além da morte. Exemplo : Premissa : Todos os minhotos são portugueses. Premissa : Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Todos os minhotos são europeus. É claro que a maior parte das vezes os argumentos não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicidade, tal como é apresentado por Aires Almeida et al. (00b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar: 0

102 "De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicidade de cada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial e não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Dado que cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial." Neste argumento, a conclusão está claramente identificada ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto acontece. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perceber qual é a conclusão do argumento e quais são as premissas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa do argumento. Também há indicadores de conclusão: dois dos mais utilizados são "logo" e "portanto". Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta alguns indicadores de premissa e de conclusão: Indicadores de premissa pois porque dado que como foi dito visto que devido a a razão é que admitindo que sabendo-se que assumindo que Indicadores de conclusão por isso por conseguinte implica que logo portanto então daí que segue-se que pode-se inferir que consequentemente É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento: O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ganham mais de euros por mês. A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as premissas não têm nenhum indicador. Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expressões) podem aparecer em frases sem que essas frases sejam premissas ou conclusões de argumentos. Por exemplo, se eu disser: Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto. Admitindo que não morreu, onde estará? O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de nenhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não de forma automática. Proposições e frases Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento são proposições. Mas o que é uma proposição? Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente. Não deves confundir proposições com frases. Uma frase é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma" não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido gramatical. Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, imperativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas exprimem proposições. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor de verdade. Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposições, porque não têm valor de verdade, isto é, não são verdadeiras nem falsas:. Que horas são?. Traz o livro.. Prometo ir contigo ao cinema. 4. Quem me dera gostar de. Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ainda que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas:. Braga é a capital de Portugal.. Braga é uma cidade minhota.. A neve é branca. 4. Há seres extraterrestres inteligentes. A frase é falsa, a e a são verdadeiras. E a 4? Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verdadeira ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição. Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white". Ambiguidade e vagueza Para além de podermos ter a mesma proposição expressa por diferentes frases, também pode acontecer que a mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto pode querer dizer que existe um homem português (sempre o mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a sua). Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo" é uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. Quinhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o seguinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filosofia". 0

103 Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos evitar as frases vagas, pois, se não comunicarmos com exactidão o nosso pensamento, como é que podemos esperar que os outros nos compreendam? Validade e verdade A verdade é uma propriedade das proposições. A validade é uma propriedade dos argumentos. É incorrecto falar em proposições válidas. As proposições não são válidas nem inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou falsas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são verdadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são verdadeiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou inválidos. Quando é que um argumento é válido? Por agora, referirei apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedutivo é válido quando é impossível que as suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um argumento ser válido, não basta que as premissas e a conclusão sejam verdadeiras. É preciso que seja impossível que sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. Considera o seguinte argumento: Premissa : Alguns treinadores de futebol ganham mais de euros por mês. Premissa : O Mourinho é um treinador de futebol. Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de euros por mês. Neste momento (Julho de 004), em que o Mourinho é treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha muito acima de euros por mês, este argumento tem premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mourinho ganhasse menos de euros por mês (por exemplo, o Mourinho como treinador de um clube do campeonato regional de futebol, a ganhar 000 euros por mês), e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido. Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente apresentado: Premissa: O João e o José são alunos do.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do.º ano. Este argumento é válido, pois é impossível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrário do argumento que envolve o Mourinho, neste não podemos imaginar nenhuma circunstância em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em que o João não é aluno do.º ano. Bem, isto significa que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa. Repara, agora, no seguinte argumento: Premissa : Todos os números primos são pares. Premissa : Nove é um número primo. Conclusão: Logo, nove é um número par. Este argumento é válido, apesar de quer as premissas quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a noção de validade dedutiva anteriormente apresentada: é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. A validade de um argumento dedutivo depende da conexão lógica entre as premissas e a conclusão do argumento e não do valor de verdade das proposições que constituem o argumento. Como vês, a validade é uma propriedade diferente da verdade. A verdade é uma propriedade das proposições que constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a validade é uma propriedade dos argumentos (mas não das proposições). Então, repara que podemos ter: Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira; Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão falsa; Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira; Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira; Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e conclusão falsa; Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão falsa; e Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira. Mas não podemos ter: Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclusão falsa. Como podes determinar se um argumento dedutivo é válido? Podes seguir esta regra: Mesmo que as premissas do argumento não sejam verdadeiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar alguma circunstância em que, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento não é válido. Se não, então o argumento é válido. Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa. Argumentos sólidos e argumentos bons Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com conclusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa). Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras. Por isso, precisamos de argumentos sólidos. Um argumento sólido é um argumento válido com premissas verdadeiras. Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadeiras e conclusão falsa. O seguinte argumento é válido, mas não é sólido: Todos os minhotos são alentejanos. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são alentejanos. 0

104 Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o argumento ser válido. O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas verdadeiras): Todos os minhotos são portugueses. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são portugueses. Também podemos ter argumentos sólidos deste tipo: Sócrates era grego. Logo, Sócrates era grego. (É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo grego e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a secretário geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a conclusão são verdadeiras.) Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadeira e é impossível que, sendo a premissa verdadeira, a conclusão seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, porque a conclusão se limita a repetir a premissa. Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido persuasivo (persuasivo, do ponto de vista racional). Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um bom argumento: a razão que apresentamos a favor da conclusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o argumento não é persuasivo. Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argumentos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que imaginas. Com certeza, já viveste situações semelhantes a esta: Pai, preciso de um aumento da "mesada". Porquê? Porque sim. O que temos aqui? O seguinte argumento: Preciso de um aumento da "mesada". Logo, preciso de um aumento da "mesada". Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclusão) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja, "Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento muito mau, pois com um argumento deste tipo não consegues persuadir ninguém. Mas não penses que só os argumentos em que a conclusão repete a premissa é que são maus. Um argumento é mau (ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que a conclusão. É o que acontece com o seguinte argumento: Se a vida não faz sentido, então Deus não existe. Mas Deus existe. Logo, a vida faz sentido. Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, porque as premissas não são menos discutíveis do que a conclusão. Para que um argumento seja bom (ou forte), as premissas têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acontece no seguinte exemplo: Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário. Ora, não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico. Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário. Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis do que a conclusão. As noções de lógica que acabei de apresentar são elementares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porventura, noutras. Proposições simples e compostas As proposições simples ou atômicas são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t... As proposições compostas ou moleculares são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T... Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t. Exemplo: Proposições simples: p: O número 4 é múltiplo de. q: Brasília é a capital do Brasil. r: 8 + =. s: O número 7 é ímpar t: O número 7 é primo Proposições compostas P: O número 4 é divisível por e é o dobro de 4. Q: A raiz quadrada de 6 é 4 e 4 é múltiplo de. R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 7 é primo. Noções de Lógica Sérgio Biagi Gregório. CONCEITO DE LÓGICA Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade. Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um sistema de conhecimentos certos, baseados em princípios universais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica se apresenta como ciência normativa, uma vez que seu objeto não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, as normas do pensamento correto. 04

105 A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo que define os princípios universais do pensamento, estabelece as regras práticas para o conhecimento da verdade ().. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, devemos considerar a sua extensão e a sua compreensão. Vejamos, por exemplo, o conceito homem. A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de indivíduos aos quais se possa aplicar a designação homem. A compreensão do conceito homem refere-se ao conjunto de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero, bípede, racional. Esta última qualidade é aquela que efetivamente distingue o homem dentre os demais seres vivos ().. JUÍZO E O RACIOCÍNIO Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou negação entre duas idéias ou dois conceitos. Ao afirmarmos, por exemplo, que este livro é de filosofia, acabamos de formular um juízo. O enunciado verbal de um juízo é denominado proposição ou premissa. Raciocínio - é o processo mental que consiste em coordenar dois ou mais juízos antecedentes, em busca de um juízo novo, denominado conclusão ou inferência. Vejamos um exemplo típico de raciocínio: ª) premissa - o ser humano é racional; ª) premissa - você é um ser humano; conclusão - logo, você é racional. O enunciado de um raciocínio através da linguagem falada ou escrita é chamado de argumento. Argumentar significa, portanto, expressar verbalmente um raciocínio (). 4. SILOGISMO Silogismo é o raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premissas. Todo silogismo regular contém, portanto, três proposições nas quais três termos são comparados, dois a dois. Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade é uma virtude; logo, a caridade é louvável (). 5. SOFISMA Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com aparência de verdadeiro. Todo erro provém de um raciocínio ilegítimo, portanto, de um sofisma. O erro pode derivar de duas espécies de causas: das palavras que o exprimem ou das idéias que o constituem. No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; no segundo, os sofismas de idéias ou intelectuais. Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra com duplo sentido; tomar a figura pela realidade. Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial o que é apenas acidental; tomar por causa um simples antecedente ou mera circunstância acidental (). LÓGICA Lógica - do grego logos significa palavra, expressão, pensamento, conceito, discurso, razão. Para Aristóteles, a lógica é a ciência da demonstração ; Maritain a define como a arte que nos faz proceder, com ordem, facilmente e sem erro, no ato próprio da razão ; para Liard é a ciência das formas do pensamento. Poderíamos ainda acrescentar: É a ciência das leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na procura e demonstração da verdade. A filosofia, no correr dos séculos, sempre se preocupou com o conhecimento, formulando a esse respeito várias questões: Qual a origem do conhecimento? Qual a sua essência? Quais os tipos de conhecimentos? Qual o critério da verdade? É possível o conhecimento? À lógica não interessa nenhuma dessas perguntas, mas apenas dar as regrasdo pensamento correto. A lógica é, portanto, uma disciplina propedêutica. Aristóteles é considerado, com razão, o fundador da lógica. Foi ele, realmente, o primeiro a investigar, cientificamente, as leis do pensamento. Suas pesquisas lógicas foram reunidas, sob o nome de Organon, por Diógenes Laércio. As leis do pensamento formuladas por Aristóteles se caracterizam pelo rigor e pela exatidão. Por isso, foram adotadas pelos pensadores antigos e medievais e, ainda hoje, são admitidas por muitos filósofos. O objetivo primacial da lógica é, portanto, o estudo da inteligência sob o ponto de vista de seu uso no conhecimento. É ela que fornece ao filósofo o instrumento e a técnica necessária para a investigação segura da verdade. Mas, para atingir a verdade, precisamos partir de dados exatos e raciocinar corretamente, a fim de que o espírito não caia em contradição consigo mesmo ou com os objetos, afirmando-os diferentes do que, na realidade, são. Daí as várias divisões da lógica. Assim sendo, a extensão e compreensão do conceito, o juízo e o raciocínio, o argumento, o silogismo e o sofisma são estudados dentro do tema lógica. O silogismo, que é um raciocínio composto de três proposições, dispostos de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logicamente das duas primeiras chamadas premissas, tem lugar de destaque. É que todos os argumentos começam com uma afirmação caminhando depois por etapas até chegar à conclusão. Sérgio Biagi Gregório PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. > 0 Existe um número ímpar menor que dois. João foi ao cinema ou ao teatro. Não são proposições: ) frases interrogativas: Qual é o seu nome? ) frases exclamativas: Que linda é essa mulher! ) frases imperativas: Estude mais. 4) frases optativas: Deus te acompanhe. 05

106 5) frases sem verbo: O caderno de Maria. 6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): x é maior que ; x+y = 0 ; Z é a capital do Chile. PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA Proposição categórica faz uma afirmação da qual não ficaremos com duvidas. Por exemplo: O produto será entregue hoje. Temos certeza de que o produto será entregue hoje. Mas, se a frase fosse: Talvez o produto seja entregue hoje ou O produto poderá ser entregue hoje, toda a certeza se esvai. Essas não são proposições categóricas, e somos deixados na dúvida sobre quando o produto realmente será entregue. Um argumento categórico (formado por proposições categóricas) é, então, o mais efetivo dos argumentos porque nos fornece certo conhecimento. - PROPOSIÇÃO HIPOTÉTICA. A Hipótese (do gr. Hypóthesis) é uma proposição que se admite de modo provisório como verdadeira e como ponto de partida a partir do qual se pode deduzir, pelas regras da lógica, um conjunto secundário de proposições, que têm por objetivo elucidar o mecanismo associado às evidências e dados experimentais a se explicar. Literalmente pode ser compreendida como uma suposição ou proposição na forma de pergunta, uma conjetura que orienta uma investigação por antecipar características prováveis do objeto investigado e que vale quer pela concordância com os fatos conhecidos quer pela confirmação através de deduções lógicas dessas características, quer pelo confronto com os resultados obtidos via novos caminhos de investigação (novas hipóteses e novos experimentos). Não é possível provar ou refutar uma hipótese, mas confirmá-la ou invalidá-la: provar e confirmar são coisas diferentes embora divisadas por uma linha tênue. Entretanto, para as questões mais complexas, lembre-se, podem existir muitas explicações possíveis, uma ou duas experiências talvez não provem ou refutar uma hipótese. - TAUTOLOGIA A origem do termo vem de do grego tautó, que significa "o mesmo", mais logos, que significa "assunto".portanto, tautologia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes. Em filosofia diz-se que um argumento é tautológico quando se explica por ele próprio, às vezes redundante ou falaciosamente. Por exemplo, dizer que "o mar é azul porque reflete a cor do céu e o céu é azul por causa do mar" é uma afirmativa tautológica. Um exemplo de dito popular tautológico é "tudo o que é demais sobra". Ela é uma palavra usada na terminologia própria da Lógica e da Retórica. Tautologia é uma proposição dada como explicação ou como prova, mas que, na realidade, apenas repete o que foi dito. Exemplo clássico é o famoso 'subir para cima' ou o 'descer para baixo' (dizem que devemos evitar uso das repetições desnecessárias). ARGUMENTO Um argumento pode ser definido como uma afirmação acompanhada de justificativa (argumento retórico) ou como uma justaposição de duas afirmações opostas, argumento e contra-argumento (argumento dialógico). Na lógica, um argumento é um conjunto de uma ou mais sentenças declarativas, também conhecidas como proposições, ou ainda, premissas, acompanhadas de uma outra frase declarativa conhecida comoconclusão. Um argumento dedutivo afirma que a verdade de uma conclusão é uma consequência lógica daspremissas que a antecedem. Um argumento indutivo afirma que a verdade da conclusão é apenas apoiada pelas premissas. Toda premissa, assim como toda conclusão, pode ser apenas verdadeira ou falsa; nunca pode ser ambígua. Em funçao disso, as frases que apresentam um argumento são referidas como sendo verdadeiras ou falsas, e em consequência, são válidas ou são inválidas. Alguns autores referem-se à conclusão das premissas usando os termos declaração, frase, afirmação ou proposição. A razão para a preocupação com a verdade é ontológica quanto ao significado dos termos (proposições) em particular. Seja qual termo for utilizado, toda premissa, bem como a conclusão, deve ser capaz de ser apenas verdadeira ou falsa e nada mais: elas devem ser truthbearers ("portadores de verdade", em português). Argumentos formais e argumentos informais Argumentos informais são estudados na lógica informal. São apresentados em linguagem comum e se destinam a ser o nosso discurso diário. Argumentos Formais são estudados na lógica formal (historicamente chamada lógica simbólica, mais comumente referida como lógica matemática) e são expressos em uma linguagem formal. Lógica informal pode chamar a atenção para o estudo da argumentação, que enfatiza implicação, lógica formal e de inferência. Argumentos dedutivos O argumento dedutivo é uma forma de raciocínio que geralmente parte de uma verdade universal e chega a uma verdade menos universal ou singular. Esta forma de raciocínio é válida quando suas premissas, sendo verdadeiras, fornecem provas evidentes para sua conclusão. Sua característica principal é a necessidade, uma vez que nós admitimos como verdadeira as premissas teremos que admitir a conclusão como verdadeira, pois a conclusão decorre necessariamente das premissas. Dessa forma, o argumento deve ser considerado válido. Um raciocínio dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando as premissas e a conclusão estão de tal modo relacionados que é absolutamente impossível as premissas serem verdadeiras se a conclusão tampouco for verdadeira (COPI, 978, p.5). Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apresentam nenhum conhecimento novo. Como dissemos, a conclusão já está 06

107 contida nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica. Note que em todos os argumentos dedutivos a conclusão já está contida nas premissas. ) Só há movimento no carro se houver combustível. O carro está em movimento. Logo, há combustível no carro. ) Tudo que respira é um ser vivo. A planta respira. Logo, a planta é um ser vivo. ) O som não se propaga no vácuo. Na lua tem vácuo. Logo, não há som na lua. 4) Só há fogo se houver oxigênio Na lua não há oxigênio. Logo, na lua não pode haver fogo. 5) P=Q Q=R Logo, P=R Validade Argumentos tanto podem ser válidos ou inválidos. Se um argumento é válido, e a sua premissa é verdadeira, a conclusão deve ser verdadeira: um argumento válido não pode ter premissa verdadeira e uma conclusão falsa. A validade de um argumento depende, porém, da real veracidade ou falsidade das suas premissas e e de sua conclusões. No entanto, apenas o argumento possui uma forma lógica. A validade de um argumento não é uma garantia da verdade da sua conclusão. Um argumento válido pode ter premissas falsas e uma conclusão falsa. A Lógica visa descobrir as formas válidas, ou seja, as formas que fazer argumentos válidos. Uma Forma de Argumento é válida se e somente se todos os seus argumentos são válidos. Uma vez que a validade de um argumento depende da sua forma, um argumento pode ser demonstrado como inválido, mostrando que a sua forma é inválida, e isso pode ser feito, dando um outro argumento da mesma forma que tenha premissas verdadeiras mas uma falsa conclusão. Na lógica informal este argumento é chamado de contador. A forma de argumento pode ser demonstrada através da utilização de símbolos. Para cada forma de argumento, existe um forma de declaração correspondente, chamado de Correspondente Condicional. Uma forma de argumento é válida Se e somente se o seu correspondente condicional é uma verdade lógica. A declaração é uma forma lógica de verdade, se é verdade sob todas as interpretações. Uma forma de declaração pode ser mostrada como sendo uma lógica de verdade por um ou outro argumento, que mostra se tratar de uma tautologia por meio de uma prova. O correspondente condicional de um argumento válido é necessariamente uma verdade (verdadeiro em todos os mundos possíveis) e, por isso, se poderia dizer que a conclusão decorre necessariamente das premissas, ou resulta de uma necessidade lógica. A conclusão de um argumento válido não precisa ser verdadeira, pois depende de saber se suas premissas são verdadeiras.tal conclusão não precisa ser uma verdade: se fosse assim, seria independente das premissas. Exemplo: Todos os gregos são humanos e todos os seres humanos são mortais, portanto, todos os gregos são mortais. Argumento válido, pois se as premissas são verdadeiras a conclusão deve ser verdadeira. Exemplos Alguns gregos são lógicos e alguns lógicos são chatos, por isso, alguns gregos são chatos. Este argumento é inválido porque todos os chatos lógicos poderiam ser romanos! Ou estamos todos condenados ou todos nós somos salvos, não somos todos salvos por isso estamos todos condenados. Argumento válido,pois as premissas implicam a conclusão. (Lembre-se que não significa que a conclusão tem de ser verdadeira, apenas se as premissas são verdadeiras e, talvez, eles não são, talvez algumas pessoas são salvas e algumas pessoas são condenadas, e talvez alguns nem salvos nem condenados!) Argumentos podem ser invalidados por uma variedade de razões. Existem padrões bem estabelecidos de raciocínio que tornam argumentos que os seguem inválidos; esses padrões são conhecidos como falácias lógicas. Solidez de um argumento Um argumento sólido é um argumento válido com as premissas verdadeiras. Um argumento sólido pode ser válido e, tendo ambas as premissas verdadeiras, deve seguir uma conclusão verdadeira. Argumentos indutivos Lógica indutiva é o processo de raciocínio em que as premissas de um argumento se baseiam na conclusão, mas não implicam nela. Indução é uma forma de raciocínio que faz generalizações baseadas em casos individuais. Indução matemática não deve ser incorretamente interpretada como uma forma de raciocínio indutivo, que é considerado não-rigoroso em matemática. Apesar do nome, a indução matemática é uma forma de raciocínio dedutivo e é totalmente rigorosa. Nos argumentos indutivos as premissas dão alguma evidência para a conclusão. Um bom argumento indutivo terá uma conclusão altamente provável. Neste caso, é bem provável que a conclusão realizar-se-á ou será válida. Diz-se então que as premissas poderão ser falsas ou verdadeiras e as conclusões poderão ser válidas ou não válidas. Segundo John Stuart Mill, existem algumas regras que se aplicam aos argumentos indutivos, que são: O método da concordância, o método da diferença, e o método das variações concomitantes. Argumentação convincente Um argumento é convincente se e somente se a veracidade das premissas tornar verdade a provável conclusão (isto é, o argumento é forte), e as premissas do argumento são, de fato, verdadeiras. Exemplo: Nada Saberei se nada tentar. 07

108 Falácias e não argumentos Uma falácia é um argumento inválido que parece válido, ou um argumento válido com premissas "disfarçadas". Em primeiro Lugar, as conclusões devem ser declarações, capazes de serem verdadeiras ou falsas. Em segundo lugar não é necessário afirmar que a conclusão resulta das premissas. As palavras, por isso, porque, normalmente e consequentemente separam as premissas a partir da conclusão de um argumento, mas isto não é necessariamente assim. Exemplo: Sócrates é um homem e todos os homens são mortais, logo, Sócrates é mortal. Isso é claramente um argumento, já que é evidente que a afirmação de que Sócrates é mortal decorre das declarações anteriores. No entanto: eu estava com sede e, por isso, eu bebi não é um argumento, apesar de sua aparência. Ele não está reivindicando que eu bebi por causa da sede, eu poderia ter bebido por algum outro motivo. Argumentos elípticos Muitas vezes um argumento não é válido, porque existe uma premissa que necessita de algo mais para torná-lo válido. Alguns escritores, muitas vezes, deixam de fora uma premissa estritamente necessária no seu conjunto de premissas se ela é amplamente aceita e o escritor não pretende indicar o óbvio. Exemplo: Ferro é um metal, por isso, ele irá expandir quando aquecido. (premissa descartada: todos os metais se expandem quando aquecidos). Por outro lado, um argumento aparentemente válido pode ser encontrado pela falta de uma premissa - um "pressuposto oculto" - o que se descartou pode mostrar uma falha no raciocínio. Exemplo: Uma testemunha fundamentada diz Ninguém saiu pela porta da frente, exceto o pastor, por isso, o assassino deve ter saído pela porta dos fundos. (hipótese que o pastor não era o assassino). Retórica, dialética e diálogos argumentativos Considerando que os argumentos são formais (como se encontram em um livro ou em um artigo de investigação), os diálogos argumentativos são dinâmicos. Servem como um registro publicado de justificação para uma afirmação. Argumentos podem também ser interativos tendo como interlocutor a relação simétrica. As premissas são discutidas, bem como a validade das inferências intermediárias. A retórica é a técnica de convencer o interlocutor através da oratória, ou outros meios de comunicação. Classicamente, o discurso no qual se aplica a retórica é verbal, mas há também e com muita relevância o discurso escrito e o discurso visual. Dialética significa controvérsia, ou seja, a troca de argumentos e contra-argumentos defendendo proposições. O resultado do exercício poderá não ser pura e simplesmente a refutação de um dos tópicos relevantes do ponto de vista, mas uma síntese ou combinação das afirmações opostas ou, pelo menos, uma transformação qualitativa na direção do diálogo. Argumentos em várias disciplinas As declarações são apresentadas como argumentos em todas as disciplinas e em todas as esferas da vida. A Lógica está preocupada com o que consititui um argumento e quais são as formas de argumentos válidos em todas as interpretações e, portanto, em todas as disciplinas. Não existem diferentes formas válidas de argumento, em disciplinas diferentes. Argumentos matemáticos A base de verdade matemática tem sido objeto de um longo debate. Frege procurou demonstrar, em particular, que as verdades aritméticas podem ser obtidas a partir de lógicas puramente axiomáticas e, por conseguinte, são, no final, lógicas de verdades. Se um argumento pode ser expresso sob a forma de frases em Lógica Simbólica, então ele pode ser testado através da aplicação de provas. Este tem sido realizado usando Axioma de Peano. Seja como for, um argumento em, como em qualquer outra disciplina, pode ser considerado válido apenas no caso de poder ser demonstrado que é de uma forma tal que não possa ter verdadeiras premissas e uma falsa conclusão. Argumentos políticos Um argumento político é um exemplo de uma argumentação lógica aplicada a política. Argumentos Políticos são utilizados por acadêmicos, meios de comunicação social, candidatos a cargos políticos e funcionários públicos. Argumentos políticos também são utilizados por cidadãos comuns em interações de comentar e compreender sobre os acontecimentos políticos. FORMA DE UM ARGUMENTO Os argumentos lógicos, em geral, possuem uma certa forma (estrutura). Uma estrutura pode ser criada a partir da substituição de palavras diferentes ou sentenças, que geram uma substituição de letras (variáveis lógicas) ao logo das linhas da álgebra. Um exemplo de um argumento: () Todos os humanos são mentirosos. João é humano. Logo, João é mentiroso. Podemos reescrever o argumento separando cada sentença em sua determinada linha: () Todo humano é mentiroso. () João é humano. (4) Logo, João é mentiroso. Substituimos os termos similares de (-4) por letras, para mostrar a importância da noção de forma de argumento a seguir: (5) Todo H é M. (6) J é H. (7) Logo, J é M. O que fizemos em C foi substituir "humano" por "H", "João" por "J" e "mentiroso" por "M", como resultado dessas alterações temos que (5-7) é uma forma do argumento original (), ou seja (5-7) é a forma de argumento de (). Além disso, cada sentença individual de (5-7) é a forma de sentença de uma respectiva sentença em (). Vale enfatizar que quando dois ou mais argumentos têm a mesma forma, se um deles é válido, todos os outros também são, e se um deles é inválido, todos os outros também são. 08

109 A CONTRARIO A contrario (ou a contrario sensu ) é uma locução latina que qualifica um processo de argumentação em que a forma é idêntica a outro processo de argumentação, mas em que a hipótese e, por consequência, a conclusão são as inversas deste último. Tal como na locução "a pari", usavase originalmente, em linguagem jurídica, para se referir a um argumento que, usado a respeito de uma dada espécie, poderia ser aplicado a outra espécie do mesmo género. Tornou-se posteriormente um tipo de raciocínio aplicável a outros campos do conhecimento em que a oposição existente numa hipótese se reencontra também como oposição nas consequências dessa hipótese. Muito utilizado em Direito, o argumento "a contrario" tem de ser fundamentado nas leis lógicas de oposição por contrários, para que não se caia num argumentofalacioso.4 Assim, se duas proposições contrárias não podem ser simultaneamente verdadeiras, podem ser simultaneamente falsas, já que podem admitir a particular intermédia. Por exemplo, à proposição verdadeira "todos os portugueses têm direito à segurança social" opõe-se a proposição falsa "nenhum português tem direito à segurança social"; contudo, o contrário da proposição falsa "todos os portugueses têm direito de voto" continua a ser falsa a proposição "nenhum português tem direito de voto", já que existe um meio termo verdadeiro: "alguns portugueses têm direito de voto". Da mesma forma, ao estar consignado na Constituição Portuguesa que "a lei estabelecerá garantias efectivas contra a obtenção e utilização abusivas, ou contrárias à dignidade humana, de informações relativas às pessoas e famílias", pode-se inferir que "A lei poderá não estabelecerá garantias efectivas contra a obtenção e utilização abusivas, ou contrárias à dignidade humana, de informações relativas às pessoas e famílias". Inferência Inferência, em Lógica, é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de premissas conhecida ou decididamente verdadeiras. A conclusão também é chamada de idiomática. Definição O processo pelo qual uma conclusão é inferida a partir de múltiplas observações é chamado processo dedutivo ou indutivo, dependendo do contexto. A conclusão pode ser correta, incorreta, correta dentro de um certo grau de precisão, ou correta em certas situações. Conclusões inferidas a partir de observações múltiplas podem ser testadas por observações adicionais. Exemplos de Inferência Filósofos gregos definiram uma série de silogismos, corrigir três inferências de peças, que podem ser usados como blocos de construção para o raciocínio mais complexo. Começamos com o mais famoso de todos eles: Todos os homens são mortais Sócrates é um homem Portanto, Sócrates é mortal. Processo acima é chamado de dedutivo. O leitor pode verificar que as premissas e a conclusão são verdadeiras, mas a lógica segue junto com inferência: a verdade da conclusão segue da verdade das premissas? A validade de uma inferência depende da forma da inferência. Isto é, a palavra "válido" não se refere à verdade das premissas ou a conclusão, mas sim a forma da inferência. Uma inferência pode ser válida, mesmo se as partes são falsos, e pode ser nulo, mesmo se as peças são verdadeiras. Mas uma forma válida e com premissas verdadeiras sempre terá uma conclusão verdadeira. considere o seguinte exemplo: Todos os frutos são doces. A banana é uma fruta. Portanto, a banana é doce. Para a conclusão ser necessariamente verdadeira, as premissas precisam ser verdadeiras. Agora nos voltamos para um forma inválida. Todo A é B. C é um B. Portanto, C é um A. Para mostrar que esta forma é inválida, buscamos demonstrar como ela pode levar a partir de premissas verdadeiras para uma conclusão falsa. Todas as maçãs são frutas. (Correto) Bananas são frutas. (Correto) Portanto, as bananas são maçãs. (Errado) Um argumento válido com premissas falsas podem levar a uma falsa conclusão: Todas as pessoas gordas são gregas. John Lennon era gordo. Portanto, John Lennon era grego. Quando um argumento válido é usado para derivar uma conclusão falsa de premissas falsas, a inferência é válida, pois segue a forma de uma inferência correta. Um argumento válido pode também ser usado para derivar uma conclusão verdadeira a partir de premissas falsas: Todas as pessoas gordas são músicos John Lennon era gordo Portanto, John Lennon era um músico Neste caso, temos duas falsas premissas que implicam uma conclusão verdadeira. Inferência incorreta Uma inferência incorreta é conhecida como uma falácia. Os filósofos que estudam lógica informal compilaram grandes listas deles, e os psicólogos cognitivos têm documentado muitas vieses de raciocínio humano que favorecem o raciocínio incorreto. Inferência logica automática Os sistemas de IA primeiro providenciaram "inferência logica automática". Uma vez que estes já foram temas de investigação extremamente popular, levaram a aplicações industriais sob a forma de sistemas especialistas e depois "business rule engines". O trabalho de um sistema de inferência é a de estender uma base de conhecimento automaticamente. A base de conhecimento (KB) é um conjunto de proposições que representam o que o sistema sabe sobre o mundo. Várias técnicas podem ser utilizadas pelo sistema para estender KB por meio de inferências válidas. 09

110 RACIOCÍNIO O Raciocínio (ou raciocinar) é uma operação lógica discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições, para concluir, através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Das premissas chegamos a conclusões. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Através da aplicação do raciocínio, as ciências como um todo evoluíram para uma crescente capacidade do intelecto em alavancar o conhecimento. Este é utilizado para isolar questões e desenvolver métodos e resoluções nas mais diversas questões relacionadas à existência e sobrevivência humana. O raciocínio, um mecanismo da inteligência, gerou a convicção nos humanos de que a razão unida à imaginação constituem os instrumentos fundamentais para a compreensão do universo, cuja ordem interna, aliás, tem um caráter racional, portanto, segundo alguns, este processo é a base do racionalismo. Logo, resumidamente, o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento. Lógica De Predicados Gottlob Frege, em sua Conceitografia (Begriffsschrift), descobriu uma maneira de reordenar várias sentenças para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças se relacionam em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a estrutura de sentenças compostas de outras sentenças, usando palavras como "e", "ou" e "não", mas não podia quebrar sentenças em partes menores. Não era possível mostrar como "Vacas são animais" leva a concluir que "Partes de vacas são partes de animais". A lógica sentencial explica como funcionam palavras como "e", "mas", "ou", "não", "se-então", "se e somente se", e "nem-ou". Frege expandiu a lógica para incluir palavras como "todos", "alguns", e "nenhum". Ele mostrou como podemos introduzir variáveis e quantificadores para reorganizar sentenças. "Todos os humanos são mortais" se torna "Para todo x, se x é humano, então x é mortal.". "Alguns humanos são vegetarianos" se torna "Existe algum (ao menos um) x tal que x é humano e x é vegetariano". Frege trata sentenças simples sem substantivos como predicados e aplica a eles to "dummy objects" (x). A estrutura lógica na discussão sobre objetos pode ser operada de acordo com as regras da lógica sentencial, com alguns detalhes adicionais para adicionar e remover quantificadores. O trabalho de Frege foi um dos que deu início à lógica formal contemporânea. Frege adiciona à lógica sentencial: o vocabulário de quantificadores (o A de pontacabeça, e o E invertido) e variáveis; e uma semântica que explica que as variáveis denotam objetos individuais e que os quantificadores têm algo como a força de "todos" ou "alguns" em relação a esse objetos; métodos para usá-los numa linguagem. Para introduzir um quantificador "todos", você assume uma variável arbitrária, prova algo que deva ser verdadeira, e então prova que não importa que variável você escolha, que aquilo deve ser sempre verdade. Um quantificador "todos" pode ser removido aplicando-se a sentença para um objeto em particular. Um quantificador "algum" (existe) pode ser adicionado a uma sentença verdadeira de qualquer objeto; pode ser removida em favor de um temo sobre o qual você ainda não esteja pressupondo qualquer informação. Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Lógica De Primeira Ordem A linguagem da lógica proposicional não é adequada para representar relações entre objetos. Por exemplo, se fôssemos usar uma linguagem proposicional para representar "João é pai de Maria e José é pai de João" usaríamos duas letras sentenciais diferentes para expressar idéias semelhantes (por exemplo, P para simbolizar "João é pai de Maria "e Q para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos captando com esta representação o fato de que as duas frases falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e Maria e entre José e João. Outro exemplo do limite do poder de expressão da linguagem proposicional, é sua incapacidade de representar instâncias de um propriedade geral. Por exemplo, se quiséssemos representar em linguagem proposicional "Qualquer objeto é igual a si mesmo " e " é igual a ", usaríamos letras sentenciais distintas para representar cada uma das frases, sem captar que a segunda frase é uma instância particular da primeira. Da mesma forma, se por algum processo de dedução chegássemos à conclusão que um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade, seria razoável querermos concluir que esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo. Porém, usando uma linguagem proposicional para expressar "um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade " e "esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo" usaríamos dois símbolos proposicionais distintos e não teríamos como concluir o segundo do primeiro. A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre indivíduos de um mesmo universo de discurso e a lógica de primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indivíduos de um universo de discurso, assim como derivar generalizações a partir de fatos que valem para um indivíduo arbitrário do universo de discurso. Para ter tal poder de expressão, a linguagem de primeira ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do que o da linguagem proposicional. Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo". Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a si mesmo) que vale para todos os indivíduos de um universo de discurso, sem identificar os objetos deste universo. Considere agora a sentença "Existem números naturais que são pares". Esta sentença fala de um propriedade (a de ser par) que vale para alguns (pelo menos um dos) indivíduos do universo dos números naturais, sem, no entanto, falar no número" 0" ou "" ou "4",etc em particular. 0

111 Para expressar propriedades gerais (que valem para todos os indivíduos) ou existenciais (que valem para alguns indivíduos) de um universo são utilizados os quantificadores (universal) e (existencial), respectivamente. Estes quantificadores virão sempre seguidos de um símbolo de variável, captando, desta forma, a idéia de estarem simbolizando as palavras "para qualquer" e "para algum". Considere as sentenças: "Sócrates é homem" "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda lógica" A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de um indivíduo distinguido ("Sócrates") de um domínio de discurso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "departamento de Ciência da Computação" e "lógica". Tais objetos poderão ser representados usando os símbolos, soc para "Sócrates", cc para "departamento de Ciência da Computação", lg para "lógica".tais símbolos são chamados de símbolos de constantes. As propriedades "ser aluno de ", "estuda" relacionam objetos do universo de discurso considerado, isto é, "ser aluno de " relaciona os indivíduos de uma universidade com os seus departamentos, "estuda" relaciona os indivíduos de uma universidade com as matérias. Para representar tais relações serão usados símbolos de predicados (ou relações). Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno que são símbolos de relação binária. As relações unárias expressam propriedades dos indivíduos do universo (por exemplo "ser par","ser homem"). A relação "ser igual a" é tratata de forma especial, sendo representada pelo símbolo de igualdade. Desta forma podemos simbolizar as sentenças consideradas nos exemplos da seguinte forma: - "Todo mundo é igual a si mesmo " por x x x; - "Existem números naturais que são pares" por xpar(x); - "Sócrates é homem" por Homem(soc); - "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda lógica" por x(aluno(x,cc) Estuda (x,lg)). Já vimos como representar objetos do domínio através de constantes.uma outra maneira de representá-los é atravez do uso de símbolos de função. Por exemplo podemos representar os números naturais "", "", "", etc através do uso de símbolo de função, digamos, suc, que vai gerar nomes para os números naturais "", "", "", etc. a partir da constante 0, e. g., "" vai ser denotado por suc(0), "" vai ser denotado por suc(suc(suc(0))), etc. Seqüências de símbolos tais como suc(0) e suc(suc(suc(0))) são chamadas termos. Assim, a frase "Todo número natural diferente de zero é sucessor de um número natural" pode ser simbolizada por x( x 0 ysuc(y) x). Fonte: UFRJ Lógica De Vários Valores Sistemas que vão além dessas duas distinções (verdadeiro e falso) são conhecidos como lógicas nãoaristotélicas, ou lógica de vários valores (ou então lógicas polivaluadas, ou ainda polivalentes). No início do século 0, Jan Łukasiewicz investigou a extensão dos tradicionais valores verdadeiro/falso para incluir um terceiro valor, "possível". Lógicas como a lógica difusa foram então desenvolvidas com um número infinito de "graus de verdade", representados, por exemplo, por um número real entre 0 e. Probabilidade bayesiana pode ser interpretada como um sistema de lógica onde probabilidade é o valor verdade subjetivo. O principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTI- VOS. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem." Conclusão : "João é mortal." ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado." As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste roteiro. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PRO- POSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). Exemplos: A lua é quadrada: p A neve é branca : q CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos: : e, : ou, : se...então, : se e somente se, : não Exemplos: A lua é quadrada e a neve é branca. : p q (p e q são chamados conjuntos) A lua é quadrada ou a neve é branca. : p q ( p e q são chamados disjuntos) Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p q (p é o antecedente e q o conseqüente) A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p q A lua não é quadrada. : p SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ), parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos; Exemplos: Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada.: ((p q) p) A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca.: (( p) q)) DEFINIÇÃO DE FÓRMULA :. Toda fórmula atômica é uma fórmula.. Se A e B são fórmulas então (A B), (A B), (A B), (A B) e ( A) também são fórmulas.. São fórmulas apenas as obtidas por. e..

112 Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. Exemplo: a fórmula p q r p q deve ser entendida como (((p q) ( r)) ( p ( q))) Paradoxo O frasco com auto-fluxo de Robert Boyle preenche a si próprio neste diagrama, mas máquinas de moto contínuo não existem. Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a verdade". A identificação de um paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliado significativamente o progresso da ciência, filosofia e matemática. A etimologia da palavra paradoxo pode ser traçada a textos que remontam à aurora da Renascença, um período de acelerado pensamento científico na Europa e Ásia que começou por volta do ano de 500. As primeiras formas da palavra tiveram por base a palavra latina paradoxum, mas também são encontradas em textos em grego como paradoxon (entretanto, o Latim é fortemente derivado do alfabeto grego e, além do mais, o Português é também derivado do Latim romano, com a adição das letras "J" e "U"). A palavra é composta do prefixo para-, que quer dizer "contrário a", "alterado" ou "oposto de", conjungada com o sufixo nominal doxa, que quer dizer "opinião". Compare com ortodoxia e heterodoxo. Na filosofia moral, o paradoxo tem um papel central nos debates sobre ética. Por exemplo, a admoestação ética para "amar o seu próximo" não apenas contrasta, mas está em contradição com um "próximo" armado tentando ativamente matar você: se ele é bem sucedido, você não será capaz de amá-lo. Mas atacá-lo preemptivamente ou restringi-lo não é usualmente entendido como algo amoroso. Isso pode ser considerado um dilema ético. Outro exemplo é o conflito entre a injunção contra roubar e o cuidado para com a família que depende do roubo para sobreviver. Deve ser notado que muitos paradoxos dependem de uma suposição essencial: que a linguagem (falada, visual ou matemática) modela de forma acurada a realidade que descreve. Em física quântica, muitos comportamentos paradoxais podem ser observados (o princípio da incerteza de Heisenberg, por exemplo) e alguns já foram atribuídos ocasionalmente às limitações inerentes da linguagem e dos modelos científicos. Alfred Korzybski, que fundou o estudo da Semântica Geral, resume o conceito simplesmente declarando que, "O mapa não é o território". Um exemplo comum das limitações da linguagem são algumas formas do verbo "ser". "Ser" não é definido claramente (a área de estudos filosóficos chamada ontologia ainda não produziu um significado concreto) e assim se uma declaração incluir "ser" com um elemento essencial, ela pode estar sujeita a paradoxos. Tipos de paradoxos Temas comuns em paradoxos incluem auto-referências diretas e indiretas, infinitudes, definições circulares e confusão nos níveis de raciocínio. W. V. Quine (96) distingüe três classes de paradoxos: Os paradoxos verídicos produzem um resultado que parece absurdo embora seja demonstravelmente verdadeiro. Assim, o paradoxo do aniversário de Frederic na opereta The Pirates of Penzance estabelece o fato surpreendente de que uma pessoa pode ter mais do que N anos em seu N-ésimo aniversário. Da mesma forma, o teorema da impossibilidade de Arrow envolve o comportamento de sistemas de votação que é surpreendente mas, ainda assim, verdadeiro. Os paradoxos falsídicos estabelecem um resultado que não somente parece falso como também o é demonstravelmente há uma falácia da demonstração pretendida. As várias provas inválidas (e.g., que = ) são exemplos clássicos, geralmente dependendo de uma divisão por zero despercebida. Outro exemplo é o paradoxo do cavalo. Um paradoxo que não pertence a nenhuma das classes acima pode ser uma antinomia, uma declaração que chega a um resultado auto-contraditório aplicando apropriadamente meios aceitáveis de raciocínio. Por exemplo, o paradoxo de Grelling-Nelson aponta problemas genuínos na nossa compreensão das idéias de verdade e descrição. Proposição Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos: Frases que não são proposições Pare! Quer uma xícara de café? Eu não estou bem certo se esta cor me agrada Frases que são proposições A lua é o único satélite do planeta terra (V) A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) O numero 7 é ímpar (F) Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) Composição de Proposições É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições, A = "Maria tem anos" B = "Maria é menor" Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 8 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos: "Maria não tem anos" (nãoa) "Maria não é menor"(não(b)) "Maria tem anos" e "Maria é menor" (A e B) "Maria tem anos" ou "Maria é menor" (A ou B) "Maria não tem anos" e "Maria é menor" (não(a) e B) "Maria não tem anos" ou "Maria é menor" (não(a) ou B) "Maria tem anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(b)) "Maria tem anos" e "Maria não é menor" (A e não(b)) Se "Maria tem anos" então "Maria é menor" (A => B) Se "Maria não tem anos" então "Maria é menor" (não(a) => B) "Maria não tem anos" e "Maria é menor" (não(a) e B) "Maria tem 8 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(b)) Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 8 anos. Assim, não(b) representa Maria não é

113 menor, uma vez que B representa Maria é menor. Algumas Leis Fundamentais Lei do Meio Excluido Lei da Contradição Lei da Funcionalidade Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo. Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F. O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pelos valores lógicos de suas proposições constituintes. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplo: a) a lua é um satélite da Terra; b) O sol é amarelo; c) Brasília é a capital do Brasil. Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento, na Lógica Princípio da não contradição - uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Valores Lógicos das Proposições Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Valor Lógico Símbolo de Designação Verdade Falsidade Toda proposição tem um e um só dos valores V, F (de acordo os dois princípios supracitados). Exemplo: a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da proposição: verdade (V) b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposição: falsidade (F) TIPOS DE PROPOSIÇÃO Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s..., chamadas letras proposicionais. Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto minúsculo para representar uma proposição simples. Exemplo: p: Oscar é prudente; q: Mário é engenheiro; r: Maria é morena. Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. São habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S..., também denominadas letras proposicionais. V F Exemplo: p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado. Observação: As proposições compostas são também denominadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples, escrevese: P ( p, q, r...); Conectivos - são palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Exemplo: P: 6 é par E 8 é cubo perfeito; Q: NÃO vai chover; R: SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; S: o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; T: o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é e- quilátero. São conectivos usuais em lógica as palavras que estão grifadas, isto é "e", "ou", "não", "se... então", "... se e somente se..." VERDADES E MENTIRAS Este item trata de questões em que algumas personagens mentem e outras falam a verdade. Trata-se de descobrir qual é o fato correto a partir das afirmações que forem feitas por eles, evidentemente, sem conhecer quem fala verdade ou quem fala mentira. Também não há uma teoria a respeito. A aprendizagem das soluções de questões desse tipo depende apenas de treinamento. Um dos métodos para resolver questões desse tipo consiste em considerar uma das afirmações verdadeira e, em seguida, verificar se as demais são ou não consistentes com ela. Isto significa verificar se há ou não contradição nas demais afirmações. Exemplo - (Fiscal Trabalho 98 ESAF) - Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso Vamos considerar que Armando foi quem mentiu. Neste caso ele é o culpado. Isto contradiz às palavras de Celso, pois se Armando mente, Celso teria dito uma verdade. Teríamos então dois culpados: Armando e Tarso. Portanto, Armando não mente. Passemos agora a considerar Celso o mentiroso. Isto é consistente. Pois, como já foi dito, Armando diz a verdade. Edu é inocente (Celso mente). Edu diz a verdade. Juarez também disse uma verdade. Tarso também foi verdadeiro. Portanto, o culpado é Tarso. Resposta: letra (e) Exemplo - (CVM 000 ESAF) - Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, ao serem interpelados:

114 Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria Façamos como no item anterior. Hipótese : Marcos é o mentiroso. Se Marcos é o mentiroso, então um dos dois entrou sem pagar. Mas como Manuel deve dizer a verdade (só um mente), Mara entrou sem pagar. Assim, seriam dois a entrar sem pagar Mara e Marcos ou Mara e Manuel. Conclusão Marcos fala a verdade. Hipótese : Mário é o mentiroso. Nesse caso, nem Maria e nem Manuel teria entrado sem pagar. Pois quando se usa o ou, será verdade desde que um deles seja verdadeiro. Estão eliminados Marcos, Manuel e Maria, de acordo com a verdade de Marcos. Seria então Mara pois Manuel não seria mentiroso. Mara teria dito a verdade pois, de acordo com a hipótese somente Mário é o mentiroso. Como Maria também não seria a mentirosa, nem Mara nem Marcos teria entrado sem pagar. Portanto: Marcos, Manuel, Mario e Maria são os que pagaram a entrada e Mara a que não pagou. Mas e se houver outra possibilidade? Devemos então tentar outras hipóteses. Hipótese : Manuel é o mentiroso. Como Marcos fala a verdade, não foi ele (Marcos) e nem o Manuel. Como Mário também fala a verdade, um dos dois Manuel ou Maria entrou sem pagar. Mas Marcos pagou. Então Maria entrou sem pagar. Maria também diz a verdade, Não teria pago a entrada, Marcos ou Mara. Mas, outra vez, Marcos pagou. Então Mara não pagou a entrada. Temos duas pessoas que entraram sem pagar: Maria e Mara. Isto é falso, pois somente uma pessoa não pagou a entrada. Hipótese 4: Mara é a mentirosa. Não foi Marcos e nem Manuel, segundo a afirmação de Marcos que é verdadeiro. Como não pode ter sido o Manuel, pela fala de Mário, teria sido Maria. Mas segundo Manuel, teria sido Mara. Novamente dois mentirosos. Hipótese que não pode ser aceita pois teriam duas pessoas entrado sem pagar. Hipótese 5: Maria é a mentirosa. Se Maria é mentirosa, Mário não poderia estar mentido. Então Mara estaria falando mentira. Seriam então, pelo menos, duas mentirosas. Maria e Mara. A única hipótese que satisfaz as condições do problema é a de número dois, da qual se conclui que Mara é a pessoa que não pagou a entrada. Assim, a resposta é: letra (c). Exemplo - (Fiscal Trabalho 98) Três amigos Luís, Marcos e Nestor são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina. b) Sandra, Regina, Teresa. c) Regina, Sandra, Teresa. d) Teresa, Regina, Sandra. e) Teresa, Sandra, Regina. Solução: Temos dois fatos a considerar: O marido de Teresa disse a verdade. O marido de Sandra mentiu. Todos os três fazem afirmações sobre a esposa de Marcos. Ora, somente um estará dizendo a verdade. Temos então: ª hipótese: Nestor fala a verdade. A esposa de Marcos é Teresa. Mas como o único a falar a verdade é Nestor, sua esposa deveria ser Tereza. Portanto, Nestor não fala a verdade. ª hipótese: Luís fala a verdade. A esposa dele seria a Teresa, pois o marido de Teresa fala a verdade. Marcos estando mentindo, a esposa de Marcos, não é Sandra e nem Teresa. É Regina. O que confirma a veracidade da afirmação de Luís. A esposa de Nestor será então Sandra. A esposa de Luís é Teresa. A esposa de Marcos é Regina. A esposa de Nestor é Sandra. Isto permite afirmar que a opção (d) está correta. Mas, vejamos se existe outra possibilidade, tentando a terceira hipótese. ª hipótese: Marcos fala a verdade. Isto é impossível, pois, se ele estivesse falando a verdade, sua esposa seria Teresa e não Sandra. A única hipótese possível é a segunda. O que confirma a resposta. Letra (d). Exemplo 4 - (MPU 004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Você é do tipo M? Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: Alfa respondeu que sim. Gama: Beta está mentindo. Delta: Gama está mentindo. Épsilon: Alfa é do tipo M. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a). b). c). d) 4. e) 5. Solução: Vejamos as informações: () Os andróides do tipo M sempre mentem. () Os andróides do tipo V sempre falam a verdade. Sendo feita a pergunta, você mente, a resposta só poderia ser uma: NÃO. Pois, o mentiroso iria negar dizendo NÃO e o verdadeiro também iria negar dizendo NÃO. Como a resposta tinha que ser NÃO e Beta disse que alfa respondeu SIM, Beta está mentindo. Como Gama disse Beta está mentindo, então Gama disse a verdade. Como Delta disse que Gama está mentindo, Delta é um mentiroso. Restam agora Alfa e Épsilon. Épsilon disse que Alfa é do tipo M. Isto é Alfa é mentiroso. Das duas uma: () se Épsilon fala a verdade, ele é do tipo V e Alfa é do tipo M; () se Épsilon é do tipo M ele mente. Então Alfa é do tipo V. Assim, um dos dois é do tipo V. Portanto, além do andróide Gama tem mais um andróide do tipo V. São então, dois andróides do tipo V. Resposta: letra (b) Aula 8 - internet 4

115 CONTINGÊNCIA Em filosofia e lógica, contingência é o status de proposições que não são necessariamente verdadeiras nem necessariamente falsas. Há quatro classes de proposições, algumas das quais se sobrepõem: proposições necessariamente verdadeiras ou Tautologias, que devem ser verdadeiras, não importa quais são ou poderiam ser as circunstâncias (exemplos: + = 4; Nenhum solteiro é casado).geralmente o que se entende por "proposição necessária" é a proposição necessariamente verdadeira. proposições necessariamente falsas ou Contradições, que devem ser falsas, não importa quais são ou poderiam ser as circunstâncias (exemplos: + = 5; Ana é mais alta e é mais baixa que Beto). proposições contingentes, que não são necessariamente verdadeiras nem necessariamente falsas (exemplos: Há apenas três planetas; Há mais que três planetas). proposições possíveis, que são verdadeiras ou poderiam ter sido verdadeiras sob certas circunstâncias (exemplos: + = 4; Há apenas três planetas; Há mais que três planetas). Todas as proposições necessariamente verdadeiras e todas as proposições contingentes também são proposições possíveis. LÓGICA MODAL Lógica modal se refere a qualquer sistema de lógica formal que procure lidar com modalidades (tratar de modos quanto a tempo, possibilidade, probabilidade, etc.). Tradicionalmente, as modalidades mais comuns são possibilidade e necessidade. Lógicas para lidar com outros termos relacionados, como probabilidade,eventualidade, padronização, poder, pod eria, deve, são por extensão também chamadas de lógicas modais, já que elas podem ser tratadas de maneira similar. Uma lógica modal formal representa modalidades usando operadores modais. Por exemplo, "Era possível o assassinato de Arnaldo" e "Arnaldo foi possivelmente assassinado" são exemplos que contêm a noção de possibilidade. Formalmente, essa noção é tratada como o operador modal Possível, aplicado à sentença "Arnaldo foi assassinado". Normalmente os operadores modais básicos unários são escritos como (ou L) para Necessário e (ou M) para Possível. Nas lógicas modais clássicas, cada um pode ser expresso em função do outro e da negação: Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. SENTENÇAS ABERTAS Sentenças Abertas No capítulo um, comentamos sobre as sentenças abertas, que são sentenças do tipo: 5 a) x + = 0 b) x > 5 c) (x+) 5 = x d) x y = 0 e) Em 004 foram registradas 800+z acidentes de trânsito em São Paulo. f) Ele é o juiz do TRT da 5ª Região. Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y, z,...). O pronome ele que aparece na última sentença acima, funciona como uma variável, a qual se pode atribuir nomes de pessoas. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: ª) atribuir valor às variáveis; ª) utilizar quantificadores. A primeira maneira foi mostrada no capítulo um, mas vejamos outros exemplos: Ao atribuir a x o valor 5 na sentença aberta x + = 0, esta transforma-se na proposição 5 + = 0, cujo valor lógico é F. Ao atribuir a x o valor na sentença aberta (x+) 5 = x, esta transforma-se na proposição (+) 5 =, que resulta em 4 = 4, tendo, portanto, valor lógico V. A seguir, veremos a transformação de uma sentença a- berta numa proposição por meio de quantificadores. Quantificadores Consideremos as afirmações: a) Todo sangue é vermelho. b) Cada um dos alunos participará da excursão. c) Algum animal é selvagem. d) Pelo menos um professor não é rico. e) Existe uma pessoa que é poliglota. f) Nenhum crime é perfeito. Expressões como todo, cada um, "algum", "pelo menos um", existe, nenhum são quantificadores. Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal e Existencial. São quantificadores: outro(s) pouco(s) quantos tanto(s) qualquer / quaisquer certo(s) todo(s) ambos algum / alguns vário(s) / vária(s) Na lógica de predicados, a quantificação universal é uma formalização da noção de que algumas coisas são verdadeiras para todas as coisas, ou para todas as coisas relevantes. O resultado é uma afirmação universalmente quantificada. Em símbolos lógicos, o quantificador universal (usualmente ) é o símbolo usado para denotar o universo de quantificação, informalmente lido como "para todo".

116 Na lógica de predicados, um quantificador existencial é a predicação de uma propriedade ou relação para, pelo menos, umel emento do domínio. QUESTÕES RACIOCÍNIO LÓGICO ) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De seu salário de R$ 408,00 você gastou /6 com alimentação, /6 com a farmácia e /6 com material escolar dos filhos. Nesse mês sobraram para as demais despesas. a) R$ 66,00 b) R$ 46,00 c) R$ 56,00 d) R$ 6,00 ) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) o cozinheiro e o mordomo são os culpados b) somente o cozinheiro é inocente c) somente a governanta é culpada d) somente o mordomo é culpado ) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor deparase com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: "Beta é mentimano" Beta: "Gama é mentimano" Gama: "Delta é verdamano" Delta: "Épsilon é verdamano" Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é: a) Delta b) Alfa c) Gama d) Beta 4) Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restaurante no período de segunda à sexta-feira e, em cada um destes dias, pelo menos um deles almoça nesse local. Consultados sobre tal hábito, eles fizeram as seguintes afirmações: - Antônio: "Não é verdade que vou às terças, quartas ou quintas-feiras." - Bento: "Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras." - Carlos: "Não é verdade que vou às segundas ou terçasfeiras." Se somente um deles está mentindo, então o dia da semana em que os três costumam almoçar nesse restaurante é: a) sexta-feira. b) quinta-feira. c) quarta-feira. d) terça-feira. 5) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Há cinco objetos alinhados numa estante: um violino, um grampeador, um vaso, um relógio e um tinteiro. Conhecemos as seguintes informações quanto à ordem dos objetos: - O grampeador está entre o tinteiro e o relógio. - O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último. - O vaso está separado do relógio por dois outros objetos. Qual é a posição do violino? a) Segunda posição. b) Terceira posição. c) Quarta posição. d) Quinta posição. 6) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 7) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Considere verdadeira a declaração: Se x é par, então y é ímpar. Com base na declaração, é correto concluir que, se: a) x é ímpar, então y é par. b) x é ímpar, então y é ímpar. c) y é ímpar, então x é par. d) y é par, então x é ímpar. 8) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 0 cm, então seu perímetro será igual a: a) 40 cm b) 5 cm c) cm d) 4 cm 9) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pessoa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respeito, assinale a afirmativa FALSA. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] 0) Numa avenida reta há cinco pontos comerciais, todos do mesmo lado da rua. A farmácia fica entre a padaria e o restaurante, a padaria fica entre o supermercado e a lotérica e o supermercado fica entre o restaurante e a farmácia. Nessas condições, qual das proposições abaixo é verdadeira? a) O supermercado fica entre a padaria e a lotérica. b) A lotérica fica entre a padaria e o supermercado. c) Para ir do supermercado à lotérica, passa-se em frente ao restaurante. d) A farmácia fica entre o supermercado e a padaria. ) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: a) Caio e Beto são inocentes b) André e Caio são inocentes c) André e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpados ) Qual das alternativas a seguir melhor representa a afirmação: Para todo fato é necessário um ato gerador? a) É possível que algum fato não tenha ato gerador. b) Não é possível que algum fato não tenha ato gerador. c) É necessário que algum fato não tenha ato gerador. d) Não é necessário que todo fato tenha um ato gerador. ) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Marcos que pesar três maçãs numa balança de dois pratos, mas ele dis- 6

117 pões apenas de um bloco de 00 gramas. Observando o equilíbrio na balança, ele percebe que a maçã maior tem o mesmo peso que as outras duas maçãs; o bloco e a maçã menor pesam tanto quanto as outras duas maçãs; a maçã maior junto com a menor pesam tanto quanto o bloco. Qual é o peso total das três maçãs? a) 00 gramas. b) 50 gramas. c) 00 gramas. d) 50 gramas. 4) Se João toca piano, então Lucas acorda cedo e Cristina não consegue estudar. Mas Cristina consegue estudar. Segue-se logicamente que: a) Lucas acorda cedo. b) Lucas não acorda cedo. c) João toca piano. d) João não toca piano. 5) Alice entra em uma sala onde há apenas duas saídas, uma que fica a Leste e outra a Oeste. Uma das saídas leva ao Paraíso, a outra ao Inferno. Na sala, também há dois homens, um alto e outro baixo. Um dos homens apenas fala a verdade, o outro apenas diz o falso. Então, Alice mantém o seguinte diálogo com um deles: - O homem baixo diria que é a saída do Leste que leva ao Paraíso? - questiona Alice. - Sim, o homem baixo diria que é a saída do Leste que levaria ao Paraíso - diz o homem alto. Considerando essa situação, pode-se afirmar que: a) o homem alto necessariamente disse algo falso, mas a porta Leste leva ao Paraíso. b) o homem alto necessariamente disse a verdade e a porta Leste leva ao Inferno. c) a porta Leste necessariamente leva ao Paraíso, mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. d) a porta Leste necessariamente leva ao Inferno, mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. 6) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) As irmãs Ilda, Ilma, Isabela e Isadora iriam ser fotografadas juntas por Flávio. O fotógrafo pediu para que elas se posicionassem lado a lado da seguinte maneira: - do ponto de vista do fotógrafo, Ilda deveria estar mais à direita do que Isabela; - Isadora não deveria ficar entre duas irmãs; - Ilda não deveria ficar imediatamente ao lado de Isabela, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Ilda e Isabela; - Isabela não deveria ficar imediatamente ao lado de Isadora, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Isabela e Isadora. As irmãs se posicionaram conforme as orientações de Flávio, a fotografia foi batida e revelada com sucesso. Assim, na foto, é possível ver que: a) Isabela está entre duas irmãs. b) Ilda não está entre duas irmãs. c) Ilma não está entre duas irmãs. d) Ilma está imediatamente ao lado de Ilda. 7) Se 0,06³, 0 m de óleo tem a massa de 8,8 Kg, podemos concluir que litro desse mesmo óleo tem a massa no valor de: a) 4,0 Kg b) 9,0 Kg c) 8,0 Kg d), Kg 8) A negação de "Se A é par e B é ímpar, então A + B é ímpar" é: a) Se A é ímpar e B é par, então A + B é par. b) Se A é par e B é ímpar, então A + B é par. c) Se A + B é par, então A é ímpar ou B é par. d) A é par, B é ímpar e A + B é par. 9) Hoje, a diferença entre as idades de Roberto Carlos e Carlos Roberto é de 5 anos. Qual será a diferença entre as idades quando Roberto Carlos tiver o dobro da idade de Carlos Roberto? a) 5 anos; b) 0 anos; c) 45 anos; d) 0 anos; 0) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente: a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. d) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela. ) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista ) A negação lógica da proposição "O pai de Marcos é pernambucano, e a mãe de Marcos é gaúcha" é: a) "O pai de Marcos não é pernambucano, e a mãe de Marcos não é gaúcha". b) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Marcos não é gaúcha". c) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Marcos é gaúcha". d) "O pai de Marcos é pernambucano, e a mãe de Marcos não é gaúcha". ) Em um orçamento foram acrescidos juros no valor de R$ 7,80 a fim de que o mesmo pudesse ser financiado em 5 prestações de R$ 78,50. O valor real (inicial) do serviço é de: a) R$.8,70 b) R$.9,70 c) R$ 976,70 d) R$.087,70 4) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De uma chapa que mede m por,5 m o serralheiro separou /6 dela para cortar quadrados que medem 0,5 m de lado. Com esse pedaço de chapa ele cortou exatamente: a) quadrados b) 0 quadrados c) 0 quadrados d) 6 quadrados 5) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Esta sequência de palavras segue uma lógica: - Pá - Xale - Japeri Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequên- 7

118 cia poderia ser: a) Casa. b) Anseio. c) Urubu. d) Café. 6) A negação da sentença Todas as mulheres são elegantes está na alternativa: a) Nenhuma mulher é elegante. b) Todas as mulheres são deselegantes. c) Algumas mulheres são deselegantes. d) Nenhuma mulher é deselegante. 7) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 0 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80 b) 7 c) 90 d) 8 8) MMMNVVNM está para 96 assim como MMNNVMNV está para: a) 69 b) 69 c) 96 d) 69 9) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Uma colher de sopa corresponde a três colheres de chá. Uma pessoa que está doente tem que tomar três colheres de sopa de um remédio por dia. No final de uma semana, a quantidade de colheres de chá desse remédio que ela terá tomado é de: a) 6; b) 56; c) 8; d) ; 0) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pessoa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respeito, assinale a afirmativa FALSA. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] Gabarito.D.A.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.D 0.D.B.B.A 4.D 5.D 6.D 7.C 8.B 9.D 0.D.A.B.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.D 9.A 0.D Postado por cleiton silva LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM Elementos de Lógica sentencial. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predicados. A lógica sentencial estuda argumentos que não dependem da estrutura interna das sentenças. Por exemplo: () Se Deus existe, então a felicidade eterna é possível. Deus existe. Logo, a felicidade eterna é possível. A validade do argumento () depende do modo pelo qual as sentenças são conectadas, mas não depende da estrutura interna das sentenças. A forma lógica de () deixa isso claro: (a) Se A, então B. A. Logo, B. Diferentemente, a lógica de predicados estuda argumentos cuja validade depende da estrutura interna das sentenças. Por exemplo: () Todos os cariocas são brasileiros. Alguns cariocas são flamenguistas. Logo, alguns brasileiros são flamenguistas. A forma lógica de () é a seguinte: (a) Todo A é B. Algum A é C. Logo, algum B é A. A primeira premissa do argumento () diz que o conjunto dos indivíduos que são cariocas está contido no conjunto dos brasileiros. A segunda, diz que dentro do conjunto dos cariocas, há alguns indivíduos que são flamenguistas. É fácil concluir então que existem alguns brasileiros que são flamenguistas, pois esses flamenguistas que são cariocas serão também brasileiros. Essa conclusão se segue das premissas. Note, entretanto, que as sentenças todos os cariocas são brasileiros e alguns cariocas são flamenguistas têm uma estrutura diferente da sentença se Deus existe, a felicidade eterna é possível. Esta última é formada a partir de duas outras sentenças Deus existe e a felicidade eterna é possível, conectadas pelo operador lógico se...então. Já para analisar o argumento () precisamos analisar a estrutura interna das sentenças, e não apenas o modo pelo qual sentenças são conectadas umas às outras. O que caracteriza a lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo, algum e nenhum. É por esse motivo que a validade de um argumento como o () depende da estrutura interna das sentenças. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados ficará mais clara no decorrer desta e da próxima unidade. Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sentencial, e seguiremos esse caminho aqui. Nesta unidade vamos estudar alguns elementos da lógica sentencial. Na próxima unidade, estudaremos elementos da lógica de predicados.. Sentenças atômicas e moleculares Considere-se a sentença () Lula é brasileiro. A sentença () é composta por um nome próprio, Lula, e um predicado,... é brasileiro. Em lógica, para evitar o uso de..., usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que podemos completar um predicado. Aqui, expressões do tipo x é brasileiro designam predicados. Considere agora a sentença () Xuxa é mãe de Sasha. A sentença () pode ser analisada de três maneiras diferentes, que correspondem a três predicados diferentes que podem ser formados a partir de (): (a) x é mãe de Sasha; (b) Xuxa é mãe de x; (c) x é mãe de y. Do ponto de vista lógico, em (c) temos o que é chamado de um predicado binário, isto é, um predicado que, diferentemente de x é brasileiro, deve completado por dois nomes próprios para formar uma sentença. As sentenças () e () acima são denominadas sentenças 8

119 atômicas. Uma sentença atômica é uma sentença formada por um predicado com um ou mais espaços vazios, sendo todos os espaços vazios completados por nomes próprios. Sentenças atômicas não contêm nenhum dos operadores lógicos e, ou, se...então etc., nem os quantificadores todo, nenhum, algum etc. Sentenças moleculares são sentenças formadas com o auxílio dos operadores sentenciais. Exemplos de sentenças moleculares são () Lula é brasileiro e Zidane é francês, (4) Se você beber, não dirija, (5) João vai à praia ou vai ao clube.. A interpretação vero-funcional dos operadores sentenciais Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as partículas do português não, ou, e, se...então, se, e somente se. A lógica sentencial interpreta esses operadores como funções de verdade ou vero-funcionalmente. Isso significa que eles operam apenas com os valores de verdade dos seus operandos, ou em outras palavras, o valor de verdade de uma sentença formada com um dos operadores é determinado somente pelos valores de verdade das sentenças que a constituem. Os operadores sentenciais se comportam de uma maneira análoga às funções matemáticas. Estas recebem números como argumentos e produzem números como valores. Os operadores sentenciais são funções porque recebem valores de verdade como argumentos e produzem valores de verdade. Considere-se a seguinte função matemática: (4) y = x +. Dizemos que y = f(x), isto é, y é função de x, o que significa que o valor de y depende do valor atribuído a x. Quando x =, y = ; x =, y = ; x =, y = 4, e assim por diante. Analogamente a uma função matemática, uma função de verdade recebe valores de verdade como argumentos e produz valores de verdade como valores. As chamadas tabelas de verdade mostram como os operadores da lógica sentencial funcionam. No lado esquerdo da tabela de verdade temos as sentenças a partir das quais a sentença composta foi formada no caso da negação, uma única sentença. O valor produzido pela função de verdade está na coluna da direita. As letras V e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso. 4. A negação Comecemos pelo operador sentencial mais simples, a negação. A tabela de verdade da negação de uma sentença A é A não A V F F V A negação simplesmente troca o valor de verdade da sentença. Uma sentença verdadeira, quando negada, produz uma sentença falsa, e vice-versa. Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica em português. Considere a sentença verdadeira (5) Lula é brasileiro. As sentenças (6) Não é o caso que Lula é brasileiro, (7) Não é verdade que Lula é brasileiro e (8) É falso que Lula é brasileiro 9 são diferentes maneiras de negar (5). Como (5) é uma sentença atômica, podemos também negar (5) por meio da sentença (9) Lula não é brasileiro. A negação em (9) é denominada negação predicativa, pois nega o predicado, ao passo que em (6) há uma negação sentencial porque toda a sentença é negada. No caso de sentenças atômicas, a negação predicativa é equivalente à negação sentencial, mas veremos que isso não ocorre com sentenças moleculares e sentenças com quantificadores. Note que negar duas vezes uma sentença equivale a a- firmar a própria sentença. A negação de (5) Lula é brasileiro é (9) Lula não é brasileiro, e a negação de (9), (0) Não é o caso que Lula não é brasileiro, é a negação da negação de (5), que é equivalente à própria sentença (5). 5. A conjunção Uma sentença do tipo A e B é denominada uma conjunção. Considere-se a sentença () João foi à praia e Pedro foi ao futebol. A sentença () é composta por duas sentenças, () João foi à praia e () Pedro foi ao futebol conectadas pelo operador lógico e. Na interpretação verofuncional do operador e, o valor de verdade de () depende apenas dos valores de verdade das sentenças () e (). É fácil perceber que () é verdadeira somente em uma situação: quando () e () são ambas verdadeiras. A tabela de verdade de uma conjunção A e B é a seguinte: A B A e B V V V V F F F V F F F F Note que, na interpretação vero-funcional da conjunção, A e B é equivalente a B e A. Não faz diferença alguma afirmarmos () ou (4) Pedro foi ao futebol e João foi à praia. É importante observar que a interpretação vero-funcional da conjunção não expressa todos os usos da partícula e em português. A sentença (5) Maria e Pedro tiveram um filho e casaram não é e- quivalente a (6) Maria e Pedro casaram e tiveram um filho. Em outras palavras, o e que ocorre em (5) e (6) não é uma função de verdade. 6. A disjunção Uma sentença do tipo A ou B é denominada uma disjunção. Há dois tipos de disjunção, a inclusiva e a exclusiva. Ambas tomam dois valores de verdade como argumentos e produzem um valor de verdade como resultado. Começarei pela disjunção inclusiva. Considere-se a sentença (7) Ou João vai à praia ou João vai ao clube, que é formada pela sentenças (8) João vai à praia e (9) João vai ao clube combinadas pelo operador ou. A sentença (7) é verdadeira em três situações: (i) João vai à praia e também vai ao clube; (ii) João vai à praia mas não vai ao clube e (iii) João não vai à praia mas vai ao clube. A tabela de verdade da disjunção inclusiva é a seguinte: A B A ou B

120 V V V V F V F V V F F F No sentido inclusivo do ou, uma sentença A ou B é verdadeira quando uma das sentenças A e B é verdadeira ou quando são ambas verdadeiras, isto é, a disjunção inclusiva admite a possibilidade de A e B serem simultaneamente verdadeiras. No sentido exclusivo do ou, uma sentença A ou B é verdadeira apenas em duas situações: (i) A é verdadeira e B é falsa; (ii) B é verdadeira e A e falsa. Não há, na disjunção exclusiva, a possibilidade de serem ambas as sentenças verdadeiras. A tabela de verdade da disjunção exclusiva é A B A ou B V V F V F V F V V F F F Um exemplo de disjunção exnclusiva é (0) Ou o PMDB ou o PP receberá o ministério da saúde, que é formada a partir das sentenças: () o PMDB receberá o ministério da saúde; () o PP receberá o ministério da saúde. Quando se diz que um determinado partido receberá um ministério, isso significa que um membro de tal partido será nomeado ministro. Posto que há somente um ministro da saúde, não é possível que () e () sejam simultaneamente verdadeiras. O ou da sentença (0), portanto, é exclusivo. Na lógica simbólica, são usados símbolos diferentes para designar o ou inclusivo e o exclusivo. No latim, há duas palavras diferentes, vel para a disjunção inclusiva e aut para a exclusiva. No português isso não ocorre. Na maioria das vezes é apenas o contexto que deixa claro se se trata de uma disjunção inclusiva ou exclusiva. Assim como ocorre com a conjunção, sentenças A ou B e B ou A são equivalentes. Isso vale tanto para o ou inclusivo quanto para o exclusivo. 7. A condicional Uma condicional é uma sentença da forma se A, então B. A é denominado o antecedente e B o conseqüente da condicional. Em primeiro lugar, é importante deixar clara a diferença entre um argumento () A, logo B e uma condicional (4) se A, então B. Em () a verdade tanto de A quanto de B é afirmada. Note que o que vem depois do logo é afirmado como verdadeiro e é a conclusão do argumento. Já em (4), nada se diz acerca da verdade de A, nem de B. (4) diz apenas que se A é verdadeira, B também será verdadeira. Note que apesar de uma condicional e um argumento serem coisas diferentes usamos uma terminologia similar para falar de ambos. Em () dizemos que A é o antecedente do argumento, e B é o conseqüente do argumento. Em (4), dizemos que A é o antecedente da condicional, e B é o conseqüente da condicional. Da mesma forma que analisamos o e e o ou como funções de verdade, faremos o mesmo com a condicional. Analisada vero-funcionalmente, a condicional é denominada condicional material. Quando analisamos a conjunção, vimos que a interpretação vero-funcional do operador sentencial e não corresponde exatamente ao uso que dela fazemos na linguagem natural. Isso ocorre de modo até mais acentuado com o operador se...então. Na linguagem natural, geralmente usamos se...então para expressar uma relação entre os conteúdos de A e B, isto é, queremos dizer que A é uma causa ou uma explicação de B. Isso não ocorre na interpretação do se...então como uma função de verdade. A tabela de verdade da condicional material é a seguinte: A B se A, então B V V V V F F F V V F F V Uma condicional material é falsa apenas em um caso: quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso. A terceira e a quarta linhas da tabela de verdade da condicional material costumam causar problemas para estudantes iniciantes de lógica. Parece estranho que uma condicional seja verdadeira sempre que o antecedente é falso, mas veremos que isso é menos estranho do que parece. Suponha que você não conhece Victor, mas sabe que Victor é um parente do seu vizinho que acabou de chegar da França. Você não sabe mais nada sobre Victor. Agora considere a sentença: (5) Se Victor é carioca, então Victor é brasileiro. O antecedente de (5) é (6) Victor é carioca e o conseqüente é (7) Victor é brasileiro. A sentença (5) é verdadeira, pois sabemos que todo carioca é brasileiro. Em outras palavras, é impossível que alguém simultaneamente seja carioca e não seja brasileiro. Por esse motivo, a terceira linha da tabela de verdade, que tornaria a condicional falsa, nunca ocorre. Descartada a terceira linha, ainda há três possibilidades, que correspondem às seguintes situações: (a) Victor é carioca. (b) Victor é paulista. (c) Victor é francês. Suponha que Victor é carioca. Nesse caso, o antecedente e o conseqüente da condicional são verdadeiros. Temos a primeira linha da tabela de verdade. Até aqui não há problema algum. Suponha agora que Victor é paulista. Nesse caso, o antecedente da condicional (6) Victor é carioca é falso, mas o conseqüente (7) Victor é brasileiro é verdadeiro. Temos nesse caso a terceira linha da tabela de verdade da condicional. Note que a condicional (5) continua sendo verdadeira mesmo que Victor seja paulista, isto é, quando o antecedente é falso. Por fim, suponha que Victor é francês. Nesse caso, tanto (6) Victor é carioca quanto (7) Victor é brasileiro são falsas. Temos aqui a quarta linha da tabela de verdade da condicional material. Mas, ainda assim, a sentença (5) é verdadeira. Vejamos outro exemplo. Considere a condicional (8) Se Pedro não jogar na loteria, não ganhará o prêmio. Essa é uma condicional verdadeira. Por quê? Porque é 0

121 impossível (em uma situação normal) o antecedente ser verdadeiro e o conseqüente falso. Isto é, não é possível Pedro não jogar e ganhar na loteria. Fica como exercício para o leitor a construção da tabela de verdade de (8). Não é difícil perceber, em casos como (5) e (8) acima, por que uma condicional é verdadeira quando o antecedente é falso. O problema é que, sendo a condicional material uma função de verdade, coisas como (9) se + = 5, então a Lua é de queijo são verdadeiras. Sem dúvida, esse é um resultado contra-intuitivo. Note que toda condicional material com antecedente falso será verdadeira. Mas no uso corrente da linguagem normalmente não formulamos condicionais com o antecedente falso. Mas cabe perguntar: se a condicional material de fato não expressa todos os usos do se...então em português e, além disso, produz resultados contra-intuitivos como a sentença (9), por que ela é útil para o estudo de argumentos construídos com a linguagem natural? A resposta é muito simples. O caso em que a condicional material é falsa, a segunda linha da tabela de verdade, corresponde exatamente ao caso em que, no uso corrente da linguagem, uma sentença se A, então B é falsa. Considere-se a sentença (0) Se Lula conseguir o apoio do PMDB, então fará um bom governo. Em (0), o ponto é que Lula fará um bom governo porque tem o apoio do PMDB. Há um suposto nexo explicativo e causal entre o antecedente e o conseqüente. Suponha, entretanto, que Lula obtém o apoio do PMDB durante todo o seu mandato, mas ainda assim faz um mau governo. Nesse caso, em que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso, (0) é falsa. Abaixo, você encontra diferentes maneiras de expressar, na linguagem natural, uma condicional se A, então B, todas equivalentes. Se A, B B, se A Caso A, B B, caso A As expressões abaixo também são equivalentes a se A, então B: A, somente se B Somente se B, A A é condição suficiente para B B é condição necessária para A,mas elas serão vistas com mais atenção na seção sobre condições necessárias e suficientes. 8. Variantes da condicional material Partindo de uma condicional () Se A, então B podemos construir sua conversa, () Se B, então A sua inversa () Se não A, então não B e sua contrapositiva (4) Se não B, então não A. Há dois pontos importantes sobre as sentenças acima que precisam ser observados. Vimos que A e B e B e A, assim como A ou B e B ou A são equivalentes. Entretanto, se A, então B e se B então A NÃO SÃO EQUIVALENTES!!! Isso pode ser constatado facilmente pela construção das respectivas tabelas de verdade, que fica como exercício para o leitor. Mas pode ser também intuitivamente percebido. Considere as sentenças: (5) Se João é carioca, João é brasileiro e (6) Se João é brasileiro, João é carioca. Enquanto a sentença (5) é verdadeira, é evidente que (6) pode ser falsa, pois João pode perfeitamente ser brasileiro sem ser carioca. Uma condicional se A, então B e sua contrapositiva se não B, então não A são equivalentes. Isso pode ser constatado pela construção da tabela de verdade, que fica como um exercício para o leitor. Mas note que a contrapositiva de (5), (7) Se João não é brasileiro, não é carioca, é verdadeira nas mesmas circunstâncias em que (5) é verdadeira. A diferença entre (5) e (7) é que (5) enfatiza que ser carioca é condição suficiente para ser brasileiro, enquanto (7) enfatiza que ser brasileiro é condição necessária para ser carioca. Isso ficará mais claro na seção sobre condições necessárias e suficientes. 9. Negações Agora nós vamos aprender a negar sentenças construídas com os operadores sentenciais. Negar uma sentença é o mesmo afirmar que a sentença é falsa. Por esse motivo, para negar uma sentença construída com os operadores sentenciais e, ou e se...então, basta afirmar a(s) linha(s) da tabela de verdade em que a sentença é falsa. 9a. Negação da disjunção Comecemos pelos caso mais simples, a disjunção (inclusiva). Como vimos, uma disjunção A ou B é falsa no caso em que tanto A quanto B são falsas. Logo, para negar uma disjunção, nós precisamos dizer que A é falsa e também que B é falsa, isto é, não A e não B. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A ou B e não A e não B para constatar que são idênticas. () João comprou um carro ou uma moto. A negação de () é: () João não comprou um carro e não comprou uma moto, ou () João nem comprou um carro, nem comprou uma moto. Na linguagem natural, freqüentemente formulamos a negação de uma disjunção com a expressão nem...nem. Nem A, nem B significa o mesmo que não A e não B. (4) O PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP receberá o ministério da cultura. A negação de (4) é: (5) Nem o PMDB receberá o ministério da saúde, nem o PP receberá o ministério da cultura. Exercício: complete a coluna da direita da tabela abaixo com a negação das sentenças do lado esquerdo. DISJUNÇÃO NEGAÇÃO A ou B não A e não B A ou não B não A ou B não A ou não B 9b. Negação da conjunção Por um raciocínio análogo ao utilizado na negação da disjunção, para negar uma conjunção precisamos afirmar os casos em que a conjunção é falsa. Esses casos são a segunda, a terceira e a quarta linhas da tabela de verdade. Isto é, A e B é falsa quando: (i) A é falsa, (ii) B é falsa ou (iii) A e B são ambas falsas. É fácil perceber que basta uma das sentenças ligadas pelo e ser falsa para a conjunção ser falsa. A negação de A e B, portanto, é não A ou não B. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A e B e não A ou

122 não B para constatar que são idênticas. Exemplos de negações de conjunções: (6) O PMDB receberá o ministério da saúde e o ministério da cultura. A negação de (6) é (6a) Ou PMDB não receberá o ministério da saúde, ou não receberá o ministério da cultura. (7) Beba e dirija. A negação de (7) é (7a) não beba ou não dirija. Fonte: QUESTÕES I 0. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p " q e) p " (~q) 0. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 0. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q; b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q; c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa; d) p =>q é falsa, qualquer que seja q e) n.d.a. 04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = então y = 7". Pode-se concluir que: a) se x antão y 7 b) se y = 7 então x = c) se y 7 então x d) se x = 5 então y = 5 e) se x = 7 então y = 05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira: a) ( = ) => (. = 5) b) ( = ) => (. = 5) c) ( = ) e (. = 5) d) ( = ) ou (. = 5) e) ( = ) e (~ ( = )) 06. (UGF) A negação de x > - é: a) x > b) x #- c) x < - d) x < e) x # 07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo; b) existe gato pardo; c) existe gato não pardo; d) existe um e um só gato pardo; e) nenhum gato não é pardo. 08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia; b) o gato mia ou o rato chia; c) o gato não mia ou o rato não chia; d) o gato e o rato não chiam nem miam; e) o gato chia e o rato mia. 09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = então B = 5". Pode-se concluir que: a) se A antão B 5 b) se A = 5 então B = c) se B 5 então A d) se A = então B = e) se A = 5 então B 0. (VUNESP) Um jantar reúne pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: a) pelo menos uma delas tem altura superior a,90m; b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. Resolução: 0. a) Paulo não é paulista. b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca. d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca. e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca. 0. a) p ^ q b) (~p) v p c) q " p d) (~p) ^ (~q) 0. B 04. C 05. A 06. C 07. C 08. C 09. C 0. C JULGUE SE É PROPOSIÇÃO E JUSTIFIQUE:. Paulo é alto.. Ele foi o melhor jogador da copa.. x > y 4. Rossana é mais velha que Marcela? 5. Mário é pintor 6. x + = = 9 8. É um péssimo livro de geografia 9. Se x é um número primo então x é um número real 0. x é um número primo. GABARITO.proposição. vaga ou sentença aberta.sentença aberta 4. interrogativa 5. proposição 6. sentença aberta 7. proposição 8. proposição 9. proposição ( variável não livre ) 0. sentença aberta ou imperativa TESTES. Julgue se a afirmação a seguir é CERTA ou ERRADA. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: I O BB foi criado em 980. II Faça seu trabalho corretamente. III Manuela tem mais de 40 anos de idade.. Julgue com CERTO ou ERRADO: Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

123 a frase dentro destas aspas é uma mentira A expressão x + y é positiva O valor de + = 7 Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto?. Agente Fiscal de Rendas Nível I / SP 006 FCC Considere as seguintes frases: I Ele foi o melhor jogador do mundo em 005. II (x + y) / 5 é um número inteiro III João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 000. É verdade que APENAS a) I e II são sentenças abertas b) I e III são sentenças abertas c) II e III são sentenças abertas d) I é uma sentença aberta e) II é uma sentença aberta 4. Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I Que belo dia! II Um excelente livro de raciocínio lógico. III O jogo terminou empatado? IV Existe vida em outros planetas do universo. V Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I b) II c) III d) IV e) V 5. CESPE (Adaptado) JULGUE COM CERTO OU ERRADO: Das cinco (5) afirmações abaixo, três delas são proposições. I Mariana mora em Piúma. II Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. III A expressão algébrica x + y é positiva. IV Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. V A SEGER oferece 0 vagas em concurso público. GABARITO. certa. errada.a 4.D 5. certa ESTRUTURAS LÓGICAS As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por proposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensamento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo. Exemplo : João anda de bicicleta. Exemplo : Maria não gosta de banana. Tanto o exemplo quanto o caracterizam uma afirmação/proposição. A base das estruturas lógicas é saber o que é verdade ou mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposições SEMPRE tem que dar verdadeiro. Há alguns princípios básicos: Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico ( mais ou menos, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: Estudar é difícil. Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil). Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os Conectivos Lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja abaixo: (~) não : negação (Λ) e : conjunção (V) ou : disjunção ( ) se...então : condicional ( ) se e somente se : bicondicional Agora, vejamos na prática como funcionam estes conectivos: Temos as seguintes proposições: O Pão é barato. O Queijo não é bom. A letra P, representa a primeira proposição e a letra Q, a segunda. Assim, temos: P: O Pão é barato. Q: O Queijo não é bom. NEGAÇÃO (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos: Ex. : ~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógica de P) ~Q (não Q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de Q) Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação vira falsa. Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira verdadeira. Regrinha para o conectivo de negação (~): P ~P V F CONJUNÇÃO (símbolo Λ): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será FALSO. F V

124 Ex.: P Λ Q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom.) Λ = e Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ): DISJUNÇÃO (símbolo V): P Q PΛQ V V V V F F F V F F F F Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. Ex.: P V Q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = ou Regrinha para o conectivo de disjunção (V): P Q PVQ V V V V F V F V V F F F CONDICIONAL (símbolo ) Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. P será condição suficiente para Q e Q é condição necessária para P. Ex4.: P Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) = se...então Regrinha para o conectivo condicional ( ): P Q P Q V V V V F F F V V F F V BICONDICIONAL (símbolo ) O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). P será condição suficiente e necessária para Q Ex5.: P Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) = se e somente se Regrinha para o conectivo bicondicional ( ): P Q P Q V V V V F F F V F F F V Fonte: TABELA VERDADE Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto. As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros da década de 880, e tomaram a forma atual em 9 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico- Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas-verdade. Como construir uma Tabela Verdade Uma tabela de verdade consiste em: º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ((A B) C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas: { ((A B) C), (A B) C, A B, A, B, C} º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos. O número destas linhas é l = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre no caso do Cálculo Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F, F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F, V F V, F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F, F V F, F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F). Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Dei Negação A ~A V F A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e viceversa. Conjunção (E) A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros F V 4

125 Disjunção (OU) A B A^B V V V V F F F V F F F F A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido. Alguns argumentos válidos Modus ponens A B AvB V V V V F V F V V F F F Condicional (Se... Então) [Implicação] A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso A B A B V V V V F F F V V F F V Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência] A B A B V V V V F F F V V F F V Modus tollens A B A B A B V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V Silogismo Hipotético A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros A B A B V V V V F F F V F F F V DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU... OU XOR) A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro Adaga de Quine (NOR) A B A(B V V F V F V F V V F F F A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos A B A(B A B V V V F V F V F F V V F F F F V A B C A B B C A C V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V Algumas falácias Afirmação do conseqüente Se A, então B. (A B) B. Logo, A. A B A B V V V V F F F V V F F V 5 Comutação dos Condicionais

126 Fonte: Wikipédia A implica B. (A B) Logo, B implica A. (B A) A B A B B A V V V V V F F V F V V F F F V V DIAGRAMAS LÓGICOS História Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápida passada em sua origem. O suíço Leonhard Euler (707 78) por volta de 770, ao escrever cartas a uma princesa da Alemanha, usou os diagramas ao explicar o significado das quatro proposições categóricas: Todo A é B. Algum A é B. Nenhum A é B. Algum A não é B. Mais de 00 anos depois de Euler, o logicista inglês John Venn (84 9) aperfeiçoou o emprego dos diagramas, utilizando sempre círculos. Desta forma, hoje conhecemos como diagramas de Euler/Venn. Tipos Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois diferentes conjuntos: Indica que um conjunto está ompletamente contido no outro, mas o inverso não é verdadeiro. Indica que os dois conjuntos tem alguns elementos em comum, mas não todos. Indica que não existem elementos comuns entre os conjuntos. OBS: CONSIDERE QUE O TAMANHO DOS CÍRCULOS NÃO INDICA O TAMANHO RELATIVO DOS CONJUNTOS. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES.. Introdução Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de Aristóteles (84- a.c.) em diante, a lógica tornou-se um dos campos mais férteis do pensamento humano, particularmente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom raciocínio. Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas possibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico ou de qualquer outra esfera que constituam o ambiente do raciocínio. Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aquela motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influências das emoções ou não, se está de acordo com uma doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao considerar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc. Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas definições e outras referências à lógica: A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão o raciocínio (Jacques Maritain). A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto (Irving Copi). A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas como deve ser (Edmundo D. Nascimento). A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, sua história demonstra o poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico ocidental e, mais recentemente, a informática (Bastos; Keller)... Lógica formal e Lógica material Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os estudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: a da lógica formal, também chamada de lógica menor e a da lógica material, também conhecida como lógica maior. A lógica formal preocupa-se com a correção formal do pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o conteúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relativa. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é respeitada quando se preenchem as exigências de coerência interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocínio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos de realidade dos fatos. No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo das premissas que () todos os brasileiros são europeus e que () Pedro é brasileiro, 6

127 formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que () Pedro é europeu. Materialmente, este é um raciocínio falso porque a experiência nos diz que a premissa é falsa. No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria dos casos, processa formalmente informações nele previamente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o valor empírico de tais informações. Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das operações do pensamento à realidade, de acordo com a natureza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, interessa que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas que também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdo corresponda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondência entre pensamento e realidade. Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade material. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no primeiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, temse a verdade. Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Relacionando a lógica com a prática, pode-se dizer que é importante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, também, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, portanto, materialmente válida. A conexão entre os princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser denominada de lógica informal. Trata-se de uma lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana... Raciocínio e Argumentação Três são as principais operações do intelecto humano: a simples apreensão, os juízos e o raciocínio. A simples apreensão consiste na captação direta (através dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominação (as palavras ou termos, p. ex.: mesa, três e arcanjo ). O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas ou separadas dando origem à emissão de um julgamento (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições orais ou escritas. Por exemplo: Há três arcanjos sobre a mesa da sala O raciocínio, por fim, consiste no arranjo intelectual dos juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conteúdos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da coerência e do rigor. Por exemplo: Se os três arcanjos estão sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda Quando os raciocínios são organizados com técnica e arte e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a atividade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Argumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte de convencer mediante o discurso. Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem, de acordo com as circunstâncias da vida e as decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Muitas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argumento opiniões que, na verdade, não passam de preconceitos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argumentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão. Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou forte etc. De qualquer modo, argumentar não implica, necessariamente, manter-se num plano distante da existência humana, desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emoções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. Enfim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, sustentar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático... Inferência Lógica Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um raciocínio válido, visando à verdade. Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos de frases: as assertivas e as não assertivas, que também podem ser chamadas de proposições ou juízos. Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: a raiz quadrada de 9 é ou o sol brilha à noite. Já, nas frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verdadeiro, e, por isso, elas não têm valor de verdade. É o caso das interrogações ou das frases que expressam estados emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou ordens. A frase toque a bola, por exemplo, não é falsa nem verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo). As frases declaratórias ou assertivas podem ser combinadas de modo a levarem a conclusões conseqüentes, constituindo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: () Não há crime sem uma lei que o defina; () não há uma lei que defina matar ET s como crime; () logo, não é crime matar ET s. Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocutor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda 7

128 sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premissas) deve levar a conclusões óbvias..4. Termo e Conceito Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é fundamental que se respeite uma exigência básica: as palavras empregadas na sua construção não podem sofrer modificações de significado. Observe-se o exemplo: Os jaguares são quadrúpedes; Meu carro é um Jaguar logo, meu carro é um quadrúpede. O termo jaguar sofreu uma alteração de significado ao longo do raciocínio, por isso, não tem validade. Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamentos aos outros, empregamos palavras tais como animal, lei, mulher rica, crime, cadeira, furto etc. Do ponto de vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um conceito, que é o ato mental correspondente ao signo. Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo mulher rica, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota característica comum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a intencionalidade presente no ato mental. Como resultado, a expressão mulher rica pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou aquela cuja trajetóriaexistencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilíbrio. Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é preciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos empregados no discurso..5. Princípios lógicos Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos como princípios que se referem tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento deve respeitá-los. São eles: a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a realidade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a Antônio. b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são; c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o falso e o verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verdadeiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida. 8 A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolveram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, como também ao indeterminado.. Argumentação e Tipos de Raciocínio Conforme vimos, a argumentação é o modo como é exposto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocínios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor lógico do raciocínio empregado na argumentação. Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser dotado de duas características fundamentais: ter premissas aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropriadas. Dos raciocínios mais empregados na argumentação, merecem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bastante poderoso de convencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente empregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica formal. A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é adequadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o médico alemão Ludwig Büchner (84-899) apresentou como argumento contra a existência da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo humano; o astronauta russo Gagarin (94-968) afirmou que Deus não existe pois esteve lá em cima e não o encontrou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio indutivo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de ordem metafísica, não física... Raciocínio analógico Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No raciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência. Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do

129 empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No entanto, também é uma forma de raciocínio em que se cometem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecerlhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógicos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segundo Copi, deles somente se exige que tenham alguma probabilidade (Introdução à lógica, p. 4). A força de uma analogia depende, basicamente, de três aspectos: a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes; b) o número de elementos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo; c) não devem existir divergências marcantes na comparação. No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente seu papel. Aplicação das regras acima a exemplos: a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes.tc "a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes." Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as roupas de sua filha. Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e perfume francês e é um bom advogado; Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; logo, deve ser um bom advogado. b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo." Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida. Analogia fraca - T. Edison dormia entre e 4 horas por noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante / horas por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.." Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e tempestades; a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja muito. Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o salário mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, tal como os operários suíços, também recebe um salário mínimo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive bem, como os suíços. Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta considerar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admitido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, isto caso cumpram-se as exigências acima. Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão necessariamente válida. O esquema básico do raciocínio analógico é: A é N, L, Y, X; B, tal como A, é N, L, Y, X; A é, também, Z logo, B, tal como A, é também Z. Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analógico é precário, ele é muito importante na formulação de hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Contudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio analógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante procedimentos indutivos ou dedutivos. Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e professor de ciência da computação da Universidade de Michigan, lançou a hipótese (995) de se verificar, no campo da computação, uma situação semelhante à que ocorre no da genética. Assim como na natureza espécies diferentes podem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento genético - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informática, também o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa mais adequado para resolver um determinado problema. Se quisermos obter uma rosa mais bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma com forte perfume e outra que seja bela diz Holland. Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um programa que dê conta de uma parte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as várias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por várias gerações - sempre selecionando o melhor programa - até obter o descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, semelhante ao processo de seleção natural, em que só sobrevivem os mais aptos. (Entrevista ao JB, 9/0/95, º cad., p. ). Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averiguação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de raciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não... Raciocínio Indutivo - do particular ao geral Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma base mais ampla de sustentação. A indução consiste em partir de uma série de casos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibilidade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, na maioria dos casos, também da verificação experimental. Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. 9

130 Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo dependem das probabilidades sugeridas pelo número de casos observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enumeração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que sejam indicadores da validade das generalizações contidas nas conclusões. O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: B é A e é X; C é A e também é X; D é A e também é X; E é A e também é X; logo, todos os A são X No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos particulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. Aplicando o modelo: A jararaca é uma cobra e não voa; A caninana é uma cobra e também não voa; A urutu é uma cobra e também não voa; A cascavel é uma cobra e também não voa; logo, as cobras não voam. Contudo, Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar. Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do valor lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um caso particular discorde da generalização obtida das premissas: a conclusão nenhuma cobra voa tem grande probalidade de ser válida. Já, no caso do gato preto, não parece haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, há casos em que uma simples análise das premissas é suficiente para detectar a sua fraqueza. Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comportamento de alguns de seus componentes:. Adriana é mulher e dirige mal; Ana Maria é mulher e dirige mal; Mônica é mulher e dirige mal; Carla é mulher e dirige mal; logo, todas as mulheres dirigem mal.. Antônio Carlos é político e é corrupto; Fernando é político e é corrupto; Paulo é político e é corrupto; Estevão é político e é corrupto; logo, todos os políticos são corruptos. A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é tarefa simples, havendo muitos exemplos na história do conhecimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos para que caia por terra uma verdade por ela sustentada. Um exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acreditava-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra.... Procedimentos indutivos Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimentos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficiente e o da indução por enumeração completa. a. Indução por enumeração incompleta suficiente Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos como suficientes para serem tiradas determinadas conclusões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados são representativos do todo e suficientes para a generalização ( todas as cobras... ) b. Indução por enumeração completa Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio baseado na enumeração completa. Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela o- corre quando: b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas. Exemplos correspondentes às duas formas de indução por enumeração completa: b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada uma característica própria desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obtevese, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de cabeça é um dos sintomas da dengue. b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de xadrez: ao final da contagem, constata-se que são peças. Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, podendo-se classificá-los como formas de indução forte, mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa científica. O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou ordenada. Observem-se os exemplos: - Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a corrupção do cenário político brasileiro. Depois da série de protestos realizados pela população, depois das provas apresentadas nas CPI s, depois do vexame sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, depois do escárnio popular em festividades como o carnaval e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nação. - Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto alguns insinuavam a sua culpa, eu continuava seguro de sua inocência. Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sendo empregando o método indutivo porque o argumento prin- 0

131 cipal está sustentado pela observação de muitos casos ou fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclusão. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentativas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas conduzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, enquanto que, no segundo exemplo, da observação do comportamento do amigo infere-se sua inocência. Analogia, indução e probabilidade Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas não são sinônimas de certezas. Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a moral e a natural. a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partindo-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma de fração, a possibilidade de algo ocorrer na fração, o denominador representa os casos possíveis e o numerador o número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 50% e a de dar coroa também é de 50%. b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação alegre ou triste etc. Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o receba bem, mas... c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos naturais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. A previsão meteorológica é um exemplo particular de probalidade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevisibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns eventos naturais. Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia são passíveis de conclusões inexatas. Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, contudo, também revelam as limitações humanas no que diz respeito à construção do conhecimento... Raciocínio dedutivo - do geral ao particular O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos estudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as deficiências da analogia e da indução. No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a premissa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocínio: Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. universal Premissa menor: Pedro é homem. Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral podem-se tirar conclusões de cunho particular. Aristóteles refere-se à dedução como a inferência na qual, colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas. Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pedro é um mamífero. De certo modo, a conclusão já está presente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir a conclusão.... Construção do Silogismo A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride através da premissa menor e infere, necessariamente, uma conclusão adequada. Eis um exemplo de silogismo: Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor Logo, a concussão é punível Conclusão O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógica, as premissas são chamadas de proposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normalmente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concussão é o menor.... As Regras do Silogismo Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às relações entre os termos e as demais dizem respeito às relações entre as premissas. São elas:... Regras dos Termos ) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. Termo Médio: Mimi é um gato. Termo Menor: Mimi é um mamífero. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Toda gata() é quadrúpede. Termo Médio: Maria é uma gata(). Termo Menor: Maria é quadrúpede. O termo gata tem dois significados, portanto, há quatro termos ao invés de três. ) Os termos da conclusão nunca podem ser mais extensos que os termos das premissas. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todas as onças são ferozes. Termo Médio: Nikita é uma onça. Termo Menor: Nikita é feroz.

132 Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Antônio e José são poetas. Termo Médio: Antônio e José são surfistas. Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. Antonio e José é um termo menos extenso que todos os surfistas. ) O predicado do termo médio não pode entrar na conclusão. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei. A ocorrência do termo médio homem na conclusão é i- noportuna. 4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilidades. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Alguns homens são sábios. Termo Médio: Ora os ignorantes são homens Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios O predicado homens do termo médio não é universal, mas particular.... Regras das Premissas 5) De duas premissas negativas, nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero Premissa Menor: Lulu não é um gato. Conclusão: (?). 6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclusão negativa. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados. Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais não voam. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais voam. 8) De duas premissas particulares nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Mimi é um gato. Premissa Menor: Um gato foi covarde. Conclusão: (?) Fonte: estudaki.files.wordpress.com/009/0/logicaargumentacao.pdf A FUNDAÇÃO DA LÓGICA Anthony Kenny Universidade de Oxford Muitas das ciências para as quais Aristóteles contribuiu foram disciplinas que ele próprio fundou. Afirma-o explicitamente em apenas um caso: o da lógica. No fim de uma das suas obras de lógica, escreveu: No caso da retórica existiam muito escritos antigos para nos apoiarmos, mas no caso da lógica nada tínhamos absolutamente a referir até termos passado muito tempo em laboriosa investigação. As principais investigações lógicas de Aristóteles incidiam sobre as relações entre as frases que fazem afirmações. Quais delas são consistentes ou inconsistentes com as outras? Quando temos uma ou mais afirmações verdadeiras, que outras verdades podemos inferir delas unicamente por meio do raciocínio? Estas questões são respondidas na sua obra Analíticos Posteriores. Ao contrário de Platão, Aristóteles não toma como elementos básicos da estrutura lógica as frases simples compostas por substantivo e verbo, como "Teeteto está sentado". Está muito mais interessado em classificar frases que começam por "todos", "nenhum" e "alguns", e em avaliar as inferências entre elas. Consideremos as duas inferências seguintes: ) Todos os gregos são europeus. Alguns gregos são do sexo masculino. Logo, alguns europeus são do sexo masculino. ) Todas as vacas são mamíferos. Alguns mamíferos são quadrúpedes. Logo, todas as vacas são quadrúpedes. As duas inferências têm muitas coisas em comum. São ambas inferências que retiram uma conclusão a partir de duas premissas. Em cada inferência há uma palavra-chave que surge no sujeito gramatical da conclusão e numa das premissas, e uma outra palavra-chave que surge no predicado gramatical da conclusão e na outra premissa. Aristóteles dedicou muita atenção às inferências que apresentam esta característica, hoje chamadas "silogismos", a partir da palavra grega que ele usou para as designar. Ao ramo da lógica que estuda a validade de inferências deste tipo, iniciado por Aristóteles, chamamos "silogística". Uma inferência válida é uma inferência que nunca conduz de premissas verdadeiras a uma conclusão falsa. Das duas inferências apresentadas acima, a primeira é válida, e a segunda inválida. É verdade que, em ambos os casos, tanto as premissas como a conclusão são verdadeiras. Não podemos rejeitar a segunda inferência com base na falsidade das frases que a constituem. Mas podemos rejeitá-la com base no "portanto": a conclusão pode ser verdadeira, mas não se segue das premissas. Podemos esclarecer melhor este assunto se concebermos uma inferência paralela que, partindo de premissas verdadeiras, conduza a uma conclusão falsa. Por exemplo: )Todas as baleias são mamíferos. Alguns mamíferos são animais terrestres. Logo, todas as baleias são animais terrestres. Esta inferência tem a mesma forma que a inferência ), como poderemos verificar se mostrarmos a sua estrutura por meio de letras esquemáticas:

133 4) Todo o A é B. Algum B é C. Logo, todo o A é C. Uma vez que a inferência ) conduz a uma falsa conclusão a partir de premissas verdadeiras, podemos ver que a forma do argumento 4) não é de confiança. Daí a não validade da inferência ), não obstante a sua conclusão ser de facto verdadeira. A lógica não teria conseguido avançar além dos seus primeiros passos sem as letras esquemáticas, e a sua utilização é hoje entendida como um dado adquirido; mas foi Aristóteles quem primeiro começou a utilizá-las, e a sua invenção foi tão importante para a lógica quanto a invenção da álgebra para a matemática. Uma forma de definir a lógica é dizer que é uma disciplina que distingue entre as boas e as más inferências. Aristóteles estuda todas as formas possíveis de inferência silogística e estabelece um conjunto de princípios que permitem distinguir os bons silogismos dos maus. Começa por classificar individualmente as frases ou proposições das premissas. Aquelas que começam pela palavra "todos" são proposições universais; aquelas que começam com "alguns" são proposições particulares. Aquelas que contêm a palavra "não" são proposições negativas; as outras são afirmativas. Aristóteles serviu-se então destas classificações para estabelecer regras para avaliar as inferências. Por exemplo, para que um silogismo seja válido é necessário que pelo menos uma premissa seja afirmativa e que pelo menos uma seja universal; se ambas as premissas forem negativas, a conclusão tem de ser negativa. Na sua totalidade, as regras de Aristóteles bastam para validar os silogismos válidos e para eliminar os inválidos. São suficientes, por exemplo, para que aceitemos a inferência ) e rejeitemos a inferência ). Aristóteles pensava que a sua silogística era suficiente para lidar com todas as inferências válidas possíveis. Estava enganado. De facto, o sistema, ainda que completo em si mesmo, corresponde apenas a uma fracção da lógica. E apresenta dois pontos fracos. Em primeiro lugar, só lida com as inferências que dependem de palavras como "todos" e "alguns", que se ligam a substantivos, mas não com as inferências que dependem de palavras como "se, então ", que interligam as frases. Só alguns séculos mais tarde se pôde formalizar padrões de inferência como este: "Se não é de dia, é de noite; mas não é de dia; portanto é de noite". Em segundo lugar, mesmo no seu próprio campo de acção, a lógica de Aristóteles não é capaz de lidar com inferências nas quais palavras como "todos" e "alguns" (ou "cada um" e "nenhum") surjam não na posição do sujeito, mas algures no predicado gramatical. As regras de Aristóteles não nos permitem determinar, por exemplo, a validade de inferências que contenham premissas como "Todos os estudantes conhecem algumas datas" ou "Algumas pessoas detestam os polícias todos". Só séculos após a morte de Aristóteles esta lacuna seria colmatada. A lógica é utilizada em todas as diversas ciências que A- ristóteles estudou; talvez não seja tanto uma ciência em si mesma, mas mais um instrumento ou ferramenta das ciências. Foi essa a ideia que os sucessores de Aristóteles retiraram das suas obras de lógica, denominadas "Organon" a partir da palavra grega para instrumento. A obra Analíticos Anteriores mostra-nos de que modo a lógica funciona nas ciências. Quem estudou geometria euclidiana na escola recorda-se certamente das muitas verdades geométricas, ou teoremas, alcançadas por raciocínio dedutivo a partir de um pequeno conjunto de outras verdades chamadas "axiomas". Embora o próprio Euclides tivesse nascido numa altura tardia da vida de Aristóteles, este método axiomático era já familiar aos geómetras, e Aristóteles pensava que podia ser amplamente aplicado. A lógica forneceria as regras para a derivação de teoremas a partir de axiomas, e cada ciência teria o seu próprio conjunto especial de axiomas. As ciências poderiam ser ordenadas hierarquicamente, com as ciências inferiores tratando como axiomas proposições que poderiam ser teoremas de uma ciência superior. Se tomarmos o termo "ciência" numa acepção ampla, a- firma Aristóteles, é possível distinguir três tipos de ciências: as produtivas, as práticas e as teóricas. As ciências produtivas incluem a engenharia e a arquitectura, e disciplinas como a retórica e a dramaturgia, cujos produtos são menos concretos. As ciências práticas são aquelas que guiam os comportamentos, destacando-se entre elas a política e a ética. As ciências teóricas são aquelas que não possuem um objectivo produtivo nem prático, mas que procuram a verdade pela verdade. Por sua vez, a ciência teórica é tripartida. Aristóteles nomeia as suas três divisões: "física, matemática, teologia"; mas nesta classificação só a matemática é aquilo que parece ser. O termo "física" designa a filosofia natural ou o estudo da natureza (physis); inclui, além das disciplinas que hoje integraríamos no campo da física, a química, a biologia e a psicologia humana e animal. A "teologia" é, para Aristóteles, o estudo de entidades superiores e acima do ser humano, ou seja, os céus estrelados, bem como todas as divindades que poderão habitá-los. Aristóteles não se refere à "metafísica"; de facto, a palavra significa apenas "depois da física" e foi utilizada para referenciar as obras de Aristóteles catalogadas a seguir à sua Física. Mas muito daquilo que Aristóteles escreveu seria hoje naturalmente descrito como "metafísica"; e ele tinha de facto a sua própria designação para essa disciplina, como veremos mais à frente. Anthony Kenny ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS Desidério Murcho É comum falar em argumentos dedutivos, opondo-os aos indutivos. Este artigo procura mostrar que há um conjunto de aspectos subtis que devem ser tidos em linha de conta, caso contrário será tudo muito confuso. Antes de mais: a expressão "argumento indutivo" ou "indução" dá origem a confusões porque se pode ter dois tipos muito diferentes de argumentos: as generalizações e as previsões. Uma generalização é um argumento como Todos os corvos observados até hoje são pretos. Logo, todos os corvos são pretos. Numa generalização parte-se de algumas verdades acerca de alguns membros de um dado domínio e generaliza-se essas verdades para todos os membros desse domínio, ou pelo menos para mais. Uma previsão é um argumento como Todos os corvos observados até hoje são pretos. Logo, o próximo corvo que observarmos será preto. Uma pessoa imaginativa e com vontade de reduzir coisas uma síndrome comum em filosofia pode querer afirmar que podemos reduzir as previsões às generalizações via dedução: a conclusão da previsão acima segue-se dedutivamente da conclusão da generalização an-

134 terior. Não acho que isto capta de modo algum a natureza lógica ou conceptual da previsão, mas isso não é relevante neste artigo. O que conta é que, mesmo que a previsão seja redutível à generalização mais dedução, continua a ser um modo comum de falar e uma parte importante do nosso pensamento. Numa veia ainda reducionista, algumas pessoas poderão querer dizer que todos os outros tipos de argumentos não dedutivos se reduzem à generalização e à previsão. Assim, não valeria a pena falar de argumentos de autoridade, por exemplo, que são argumentos como o seguinte: Einstein afirmou que não se pode viajar mais depressa do que a luz. Logo, não se pode viajar mais depressa do que a luz. Uma vez mais: pode ser que este tipo de argumentos seja redutível à generalização e à previsão. Mas é útil compreender que este tipo de argumentos tem exigências próprias e portanto é útil falar deles explicitamente, ainda que se trate de um tipo de inferência redutível a qualquer outro tipo ou tipos. Dados estes esclarecimentos, importa agora esclarecer o seguinte: O que é um argumento dedutivo? E como se distingue tal coisa de um argumento indutivo? Vou começar por dizer o modo como não se deve entender estas noções. A primeira coisa a não fazer é pensar que um argumento dedutivo se caracteriza por ser impossível a sua conclusão ser falsa se as suas premissas forem verdadeiras. Pensar isto provoca confusão porque significaria que não há argumentos dedutivos inválidos. Porquê? Porque só nos argumentos dedutivos válidos é impossível a conclusão ser falsa se as suas premissas forem verdadeiras; nos argumentos dedutivos inválidos, nas falácias (como a afirmação da antecedente, por exemplo) é perfeitamente possível as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa. Em termos rigorosos, não há problem algum com esta opção; significa apenas que estamos a dar ao termo "dedução" força factiva, como damos ao termo "demonstração". Do mesmo modo que não há demonstrações inválidas, também não há, de acordo com esta opção, deduções inválidas. Se é uma dedução, é válida; se é uma demostração, é válida. Uma "demonstração" inválida nada demonstra; uma "dedução" inválida nada deduz. O primeiro problema desta opção é exigir a reforma do modo como geralmente se fala e escreve sobre argumentos dedutivos pois é comum falar de argumentos dedutivos inválidos, como as falácias formais (por oposição às informais). Este problema não é decisivo, caso não se levantasse outro problema: o segundo. O segundo problema é o seguinte: Dado que todos os argumentos são dedutivos ou não dedutivos (ou indutivos, se quisermos reduzir todo o campo da não dedução à indução), e dado que não faz muito sentido usar o termo "dedução" factivamente e o termo "indução" não factivamente, o resultado bizarro é que deixa de haver argumentos inválidos. O termo "argumento" torna-se factivo tal como os termos "dedução" e "indução". E isto já é demasiado rebuscado; as pessoas não usam mesmo o termo deste modo, nunca; passamos a vida a falar de argumentos inválidos. E faz todo o sentido que o façamos, pois se adoptarmos o entendimento factivo do termo um "argumento" inválido não é de todo em todo um argumento: é apenas um conjunto de proposições. 4 É sem dúvida possível aceitar o resultado bizarro, e passar a usar o termo "argumento" factivamente. Mas se tivermos a possibilidade de o evitar, de forma fundamentada e reflectida, estaremos a facilitar as coisas sobretudo ao nível do ensino. E temos possibilidade de evitar este resultado bizarro, e manter o uso de "argumento" de tal modo que faça sentido falar de argumentos inválidos, de deduções inválidas e de induções inválidas. Para o fazer temos de distinguir cuidadosamente a noção de argumento (dedutivo ou não) da noção de validade (dedutiva ou não). Podemos, claro, usar um termo diferente para a validade não dedutiva, e reservar o termo "validade" para a validade dedutiva, mas esta é uma mera opção terminológica: tanto faz. O que é crucial é poder dizer que um argumento é dedutivo, apesar de inválido, ou indutivo, apesar de inválido. E como se faz isso? Apresentando os argumentos dedutivos como argumentos cuja validade ou invalidade depende exclusivamente da sua forma lógica; e os argumentos não dedutivos como argumentos cuja validade ou invalidade não depende exclusivamente da sua forma lógica. Evidentemente, isto não se aplica a todos os argumentos dedutivos, mas esta é uma complicação que esclareceremos dentro de momentos. Para já, vejamos alguns exemplos: Se Sócrates era ateniense, era grego. Sócrates era grego. Logo, era ateniense. Se Sócrates era ateniense, era grego. Sócrates era ateniense. Logo, era grego. O primeiro argumento é inválido. Mas qualquer argumento indutivo, ainda que válido, sofre deste tipo de invalidade dedutiva. Devemos então dizer que os argumentos dedutivamente inválidos não se distinguem dos argumentos indutivos válidos? Claro que não, dado que eles se distinguem muito claramente uns dos outros. O primeiro argumento é dedutivamente inválido porque a sua invalidade pode ser explicada recorrendo unicamente à sua forma lógica. Mas seria uma enorme falta de sensibilidade lógica abandonar uma indução boa com base no facto de a sua forma lógica e a verdade das suas premissas não garantir a verdade da sua conclusão. Assim, um argumento é dedutivo ou indutivo em função da explicação mais adequada que tivermos para a sua validade ou invalidade. Um argumento dedutivo inválido explicase adequadamente recorrendo unicamente à sua forma lógica, no sentido em que a sua forma lógica é suficiente para distinguir os argumentos dedutivos inválidos dos válidos; o mesmo não acontece com os argumentos indutivos, pois a sua validade ou invalidade não depende exclusivamente da sua forma lógica. Deste modo, podemos manter a tradição de falar de argumentos dedutivos e indutivos; e podemos dizer que há argumentos dedutivos inválidos; e não somos forçados a aceitar que todo o argumento indutivo, por melhor que seja, é sempre um argumento dedutivo inválido. Isto não acontece porque os argumentos dedutivos nunca são indutivos, ainda que sejam inválidos. Porque o que conta é o tipo de explicação adequada para a sua validade ou invalidade. Em termos primitivos, pois, o que conta é a validade e invalidade; há diferentes tipos de validade e invalidade: a dedutiva e a indutiva. E os argumentos são dedutivos ou indutivos

135 consoante a sua validade ou invalidade for dedutiva ou indutiva. É agora tempo de esclarecer que nem todos os argumentos dedutivos dependem exclusivamente da sua forma lógica; há argumentos dedutivos de carácter conceptual, como "O João é casado; logo, não é solteiro". Não é difícil acomodar estas variedades de dedução não formal no esquema aqui proposto: tudo depende da melhor explicação disponível para a validade ou invalidade em causa. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas. Podemos assim continuar a falar de argumentos dedutivos e indutivos, validos ou inválidos. E os argumentos dedutivos inválidos nunca são uma subclasse dos argumentos indutivos. DIAGRAMAS LÓGICOS Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES Introdução a) Temos no grupo: = 5 motoristas. b) Dirigem somente carros motoristas. c) Dirigem somente motos 8 motoristas. No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela: Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica. Assim, se num grupo de pessoas há 4 que dirigem carro, 8 que dirigem moto e 0 que dirigem carro e moto. Baseandose nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços. Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa. Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. 5

136 . De um grupo de N auxiliares técnicos de produção, 44 lêem jornal A, 4 o jornal B e 8 lêem ambos os jornais. sabendo que todo auxiliar deste grupo é leitor de pelo menos um dos jornais, o número N de auxiliares é: R: c) 68. Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e % falam francês. Se 5% dos alunos não falam nenhuma duas línguas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não falam inglês é de: a) % b) 5% c) 7% d) 0% e) % Fora dos diagramas teremos 50 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais. Na região I, teremos: = 0 elementos. Na região II, teremos: = 5 elementos. Na região III, teremos: = 65 elementos. Na região IV, teremos: = 05 elementos. Na região V, teremos: = 5 elementos. Na região VI, teremos: = 70 elementos. Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos: 4. Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas consultadas, 00 ouviam a rádio A, 00 ouviam a rádio B, 0 ouviam as duas rádios (A e B) e 0 não ouviam nenhuma das duas rádios. Quantas pessoas foram consultadas? a) 50 b) 560 c) 640 d) 680 e) Em uma pesquisa, foram entrevistados 00 telespectadores. 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televisão de dia. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite? a) 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) 5 6. Em uma pesquisa, foram entrevistadas 00 pessoas. 00 delas iam regularmente ao cinema, 60 iam regularmente ao teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao teatro. Quantas dessas pessoas iam regularmente a ambos? a) 0 b) 0 c) 0 d) 40 e) 50 Com essa distribuição, poderemos notar que 05 pessoas lêem apenas o jornal A. Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES Verificamos que 500 pessoas não lêem o jornal C, pois é a soma Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma EXERCÍCIOS DE CONCURSOS Diagramas Lógicos. De um total de 0 agentes administrativos sabe-se que: I. 8 gostam de cinema II. 4 gostam de teatro III. não gostam de cinema, nem de teatro O número de agentes que gostam de cinema e de teatro corresponde a: a) b) 4 c) 6 d) 8 7. (NCNB_0) Uma professora levou alguns alunos ao parque de diversões chamado Sonho. Desses alunos: 6 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de montanha russa. 6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido ao parque Sonho. Ao todo, 0 já andaram de montanha russa. Ao todo, 8 nunca haviam ido ao parque Sonho. Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho: a) 60 alunos b) 48 alunos c) 4 alunos d) 66alunos e) alunos 8. (ICMS_97_VUNESP) Em uma classe, há 0 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 5. Ao todo, existem 7 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é: a) 0 b) 5 c) 7 d) 4 6

137 e) Suponhamos que numa equipe de 0 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O numero de estudantes que usa ao mesmo tempo, óculos e relógio é: a) exatamente 6 b) exatamente c) no mínimo 6 d) no máximo 5 e) no mínimo 4 0. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a produtos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 0 pessoas compram o produto A. 0 pessoas compram o produto N. 50 pessoas compram o produto C. 0 pessoas compram os três produtos. 00 pessoas não compram nenhum dos produtos. 60 pessoas compram o produto A e B. 70 pessoas compram os produtos A ec. 50 pessoas compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas: a) 670 b) 970 c) 870 d) 60 e) 50. No problema anterior, calcular quantas pessoas compram apenas o produto A; apenas o produto B; apenas o produto C. a) 0;0;50 b) 50;50;80 c) 00;0;50 d) 0;40;70 e) n.d.a.. (A_MPU_ESAF_04) Um colégio oferece a seus alunos à prática de um ou mais de um dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 0 alunos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; alunos não praticam nem futebol nem vôlei; o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 7 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 0, entre os 45, não praticam vôlei; O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 9 b) 4 c) 0 d) 0 e) 99. (ESAF_97) Uma pesquisa entre 800 consumidores - sendo 400 homens e 400 mulheres- mostrou os seguintes resultados: Do total de pessoas entrevistadas: 500 assinam o jornal X 50 têm curso superior 50 assinam o jornal X e têm nível superior Do total de mulheres entrevistadas: 00 assinam o jornal X 50 têm curso superior 50 assinam o jornal X e têm nível superior O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é, portanto, igual a: a) 00 7 b) 00 c) 0 d) 50 e) 5 4. No diagrama abaixo, considere os conjuntos A, B, C e U ( universo ). A região sombreada corresponde à seguinte operação: a) A B C b) (A B) C c) A B C d) (A B) C QUESTÕES CERTO / ERRADO (CESPE / UNB) 5. (UNB) Numa entrevista realizada pelo Departamento de Ciências Econômicas da UCG com 50 pessoas, da classe média de Goiânia, acerca de suas preferências por aplicações de seus excedentes financeiros, obteve-se o seguinte resultado: pessoas disseram que aplicam em fundos de renda fixa; 4 em cadernetas de poupança e 50 não aplicam em nenhuma dasmodalidades. Deste modo, 0 pessoas aplicam nas duas modalidades (obs.: uma mesma pessoa pode aplicar em mais de uma modalidade). 6. (MPU_99UNB) Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias foi constatada a presença de três tipos de vírus: A, B, C. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 0 moradores; o vírus B, em 0; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o numero de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. Com base nessa situação, julgues os itens abaixo: I. O número de pessoas contaminadas pelo três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas. II. O número de moradores que apresentam o vírus C é igual a 0. III. 45 moradores apresentam somente um dos vírus. IV. Mais de 40 moradores apresentaram pelo menos, dois vírus. V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa menos de 6% do total de pessoas examinadas. 7. Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas áreas de direito, administração e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de adminis-

138 tração fazem parte dos produtos nacionais. Alem disso, não há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas informações acima é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha: I. Encontrado um livro de administração de capa dura. II. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível. III. Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. IV. Comprado um livro importado de direito de capa flexível. Respostas exercícios: -C -A -A 4-B 5-B RESPOSTAS.B.C.D 4.E 5.B 6.A 7.B 8.E 9.E 0.D.C.E.A 4.C 5.C (certo) 6.C,E,C,C,E 7.E,C,E,C EQUIVALÊNCIA LÓGICA Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p = q e q = p. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo "conteúdo lógico". Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS NOTÁVEIS Negação da Negação (Dupla Negação) ~(~p) p p ~q ~(p) F V F V F V Como as tabelas-verdade são idênticas podemos dizer que ~(~p) p. Exemplo: "Não é verdade que Mario não é estudioso" é logicamente equivalente a "Mario é estudioso". Exemplos: a) p: Não tem ninguém aqui. ~p: Tem ninguém aqui. ~(~p): Tem alguém aqui. Logicamente falando, "Não tem ninguém aqui" é equivalente à "Tem alguém aqui". b) p: Não dá para não ler. ~p: Dá para não ler. ~(~p): Dá para ler. Logicamente falando, "Não dá para não ler" é equivalente à "Dá para ler". ARGUMENTOS VÁLIDOS E INVÁLIDOS Eduardo O C Chaves Conceituação de Argumento Um argumento é um conjunto de enunciados -- mas não um conjunto qualquer de enunciados. Num argumento os enunciados têm que ter uma certa relação entre si e é necessário que um deles seja apresentado como uma tese, ou uma conclusão, e os demais como justificativa da tese, ou premissas para a conclusão. Normalmente argumentos são utilizados para provar ou disprovar algum enunciado ou para convencer alguém da verdade ou da falsidade de um enunciado. Assim sendo, o seguinte conjunto de enunciados não é, na realidade, um argumento:. Todos os metais se dilatam com o calor. Todas os meses há pelo menos quatro domingos. Logo, a UNICAMP é uma boa universidade. Neste caso, embora todos os enunciados sejam (pelo menos à primeira vista) verdadeiros, e embora eles se disponham numa forma geralmente associada com a de um argumento (premissa, premissa, e conclusão, precedida por "logo"), não temos um argumento porque os enunciados não têm a menor relação entre si. Não devemos sequer afirmar que temos um argumento inválido aqui, porque mesmo num argumento inválido as premissas e a conclusão precisam ter uma certa relação entre si. Por outro lado, o seguinte é um argumento: 4. Todos os homens são mortais 5. Sócrates é homem 6. Logo, Sócrates é mortal. Neste caso, temos um argumento válido, em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão também -- ou pelo menos assim parecem à primeira vista. A Forma de um Argumento Argumentos têm uma certa forma ou estrutura. O argumento constituído pelo conjunto de enunciados () tem a seguinte forma: 7. Todos os x são y 8. z é x 9. Logo, z é y. Imaginemos o seguinte argumento, que tem a mesma forma do argumento constituído pelo conjunto de enunciados 4-6: 0. Todos os homens são analfabetos. Raquel de Queiroz é homem. Logo, Raquel de Queiroz é analfabeta. Este argumento, diferentemente do argumento constituído pelos enunciados 4-6, tem premissas e conclusão todas falsas. No entanto, tem exatamente a mesma forma ou estrutura do argumento anterior (forma explicitada nos enunciados 7-9). Se o argumento anterior (4-6) é válido (e é), este (0-) também é. Quando dois ou mais argumentos têm a mesma forma, se um deles é válido, todos os outros também são, e se um deles é inválido, todos os outros também são. Como o argumento constituído pelos enunciados 4-6 é válido, e o argumento constituído pelos enunciados 0- tem a mesma forma (7-9), este (0) também é válido. A Forma de um Argumento e a Verdade das Premissas O último exemplo mostra que um argumento pode ser válido apesar de todas as suas premissas e a sua conclusão serem falsas. Isso é indicativo do fato de que a validade de 8

139 um argumento não depende de serem suas premissas e sua conclusão efetivamente verdadeiras. Mas se esse é o caso, quando é um argumento válido? Argumentos Válidos e Inválidos Um argumento é válido quando, se todas as suas premissas forem verdadeiras, a sua conclusão tiver que, necessariamente, ser verdadeira (sob pena de auto-contradição). Considere os dois argumentos seguintes, constituídos, respectivamente, pelos enunciados -5 e 6-8 Primeiro:. Se eu ganhar sozinho na Sena, fico milionário 4. Ganhei sozinho na Sena 5. Logo, fiquei milionário Segundo: 6. Se eu ganhar sozinho na Sena, fico milionário 7. Não ganhei sozinho na Sena 8. Logo, não fiquei milionário Esses dois argumentos são muito parecidos. A forma do primeiro é: 9. Se p, q 0. p. Logo, q A forma do segundo é:. Se p, q. não-p 4. Logo, não-q O primeiro argumento é válido porque se as duas premissas forem verdadeiras a conclusão tem que, necessariamente, ser verdadeira. Se eu argumentar com e 4, e concluir que não fiquei milionário, estou me contradizendo. O segundo argumento é inválido porque mesmo que as duas premissas sejam verdadeiras a conclusão pode ser falsa (na hipótese, por exemplo, de eu herdar uma fortuna enorme de uma tia rica). Falácias e Argumentos Sólidos ou Cogentes Argumentos da forma representada pelos enunciados - 4 são todos inválidos. Dá-se o nome de falácia a um argumento inválido, mas não, geralmente, a um argumento válido que possua premissas falsas. A um argumento válido cujas premissas são todas verdadeiras (e, portanto, cuja conclusão também é verdadeira) dáse o nome de um argumento cogente ou sólido. Argumentos, Convicção e Persuasão Um argumento cogente ou sólido deveria convencer a todos, pois é válido e suas premissas são verdadeiras. Sua conclusão, portanto, segue das premissas. Contudo, nem sempre isso acontece. Em primeiro lugar, muitas pessoas podem não admitir que o argumento é cogente ou sólido. Podem admitir a verdade de suas premissas e negar sua validade. Ou podem admitir sua validade e negar a verdade de uma ou mais de suas premissas. Em segundo lugar, algumas pessoas podem estar certas da validade de um argumento e estar absolutamente convictas de que a conclusão é inaceitável, ou falsa. Neste caso, podem usar o mesmo argumento para mostrar que pelo menos uma de suas premissas tem que ser falsa. Um argumento inválido (falácia), ou um argumento válido com premissas falsas, não deveria convencer ninguém. No entanto, muitas pessoas são persuadidas por argumentos desse tipo. A questão da validade ou não de um argumento é inteiramente lógica. A questão da cogência ou solidez de um argumento é ao mesmo tempo lógica (porque depende da sua validade) e epistemológica (porque depende de suas premissas serem verdadeiras). A questão da força persuasiva de um argumento é uma questão psicológica, ou psicossocial. Contradição Diz-se que há contradição quando se afirma e se nega simultaneamente algo sobre a mesma coisa. O princípio da contradição informa que duas proposições contraditórias não podem ser ambas falsas ou ambas verdadeiras ao mesmo tempo.existe relação de simetria, não podem ter o mesmo valor de verdade. Por exemplo, imaginando-se que se tem um conjunto de bolas, a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a afirmação "Alguma Bola não é Vermelha" formam uma contradição, visto que: se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira, "Alguma Bola não é Vermelha" tem que ser falsa se "Toda Bola é Vermelha" for falsa, "Alguma Bola não é Vermelha" tem que ser verdadeira se "Alguma Bola não é Vermelha" for verdadeira, "Toda Bola é Vermelha" tem que ser falsa e se "Alguma Bola não é Vermelha" for falsa, "Toda Bola é Vermelha" tem que ser verdadeira Por outro lado, a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a afirmação "Nenhuma Bola é Vermelha", não formam uma contradição, visto que se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira, "Nenhuma Bola é Vermelha" tem que ser falsa mas se "Toda Bola é Vermelha" for falsa, "Nenhuma Bola é Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa e se "Nenhuma Bola é Vermelha" for verdadeira, "Toda Bola é Vermelha" tem que ser falsa mas se "Nenhuma Bola é Vermelha" for falsa, "Toda Bola é Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa E sendo uma negação total (ao nível da quantidade e da qualidade) a contraditória da afirmação "As contraditórias das grandes verdades são grandes verdades" seria: Algumas contraditórias das grandes verdades não são grandes verdades. A noção de contradição é, geralmente estudada sob a forma de um princípio: o «princípio de contradição» ou «princípio de não contradição». Com frequência, tal princípio é considerado um princípio ontológico e, neste sentido, enuncia-se do seguinte modo: «É impossível que uma coisa seja e não seja ao mesmo tempo, a mesma coisa». Outras vezes, é considerado como um princípio lógico, e então enunciado do modo seguinte: «não se pode ter p e não p», onde p é símbolo de um enunciado declarativo. O primeiro pensador que apresentou este princípio de forma suficientemente ampla foi Aristóteles. Várias partes da sua obra estão consagradas a este tema, mas nem sempre o 9

140 princípio é formulado do mesmo modo. Às vezes apresenta-o como uma das «noções comuns» ou «axiomas» que servem de premissa para a demonstração, sem poderem ser demonstradas. Noutras ocasiões, apresenta-o como uma «noção comum», usada para a prova de algumas conclusões. Apresenta ainda este princípio como uma tese segundo a qual se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e se uma proposição é falsa, a sua negação é verdadeira, quer dizer, como a tese segundo a qual, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas. Estas formulações podem reduzir-se a três interpretações do mesmo princípio: ontológica, lógica e metalógica. No primeiro caso o princípio refere-se à realidade; no segundo, converte-se numa formula lógica ou numa tautologia de lógica sequencial, que se enuncia do seguinte modo: (p Ù p) e que se chama geralmente de lei de contradição. No terceiro caso, o princípio é uma regra que permite realizar inferências lógicas. As discussões em torno do princípio de contradição têm diferido consoante se acentua o lado ontológico ou o lado lógico e metalógico. Quando se dá mais relevância ao lado ontológico, trata-se sobretudo de afirmar o princípio como expressão da estrutura constitutiva do real, ou de o negar supondo que a própria realidade é contraditória (Hereclito) ou que, no processo dialético da sua evolução, a realidade supera, transcende ou vai mais além do princípio de contradição (Hegel). Quando predomina o lado lógico e metalógico, trata-se então de saber se o princípio deve ser considerado como um axioma evidente por si mesmo ou como uma convenção da nossa linguagem que nos permite falar acerca da realidade. LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A A... An)c = Ac Ac... Anc. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc 4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A A... An)c = Ac Ac... Anc Tautologia Uma propriedade fundamental das tautologias é que existe um procedimento efetivo para testar se uma dada fórmula é sempre satisfeita (ou, equivalentemente, se seu complemento é insatisfatível). Um método deste tipo usa as tabelas-verdade. O problema de decisão de determinar se uma fórmula é satisfatível é o problema de satisfabilidade booleano, um exemplo importante de um problema NPcompleto na teoria da complexidade computacional. Tautologias e Contradições Considere a proposição composta s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s : Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano é uma proposição logicamente verdadeira. Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. Ex.: A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos: NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá n linhas. Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p q) r Teremos: Na lógica proposicional, uma tautologia (do grego ταυτολογία) é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. A negação de uma tautologia é uma contradição ou antilogia, uma fórmula proposicional que é falsa independentemente dos valores de verdade de suas variáveis. Tais proposições são ditas insatísfatíveis. Reciprocamente, a negação de uma contradição é uma tautologia. Uma fórmula que não é nem uma tautologia nem uma contradição é dita logicamente contingente. Tal fórmula pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores atribuídos para suas variáveis proposicionais. 40

141 Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição. Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verificá-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS: ) (p q) p ) p (p q) ) [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de modus ponens ) 4) [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de modus tollens ) Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. NOTAS: a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição. Álgebra das proposições Sejam p, q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades: Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. O SILOGISMO O silogismo é uma forma de inferência mediata, ou raciocínio dedutivo. São duas as espécies de silogismos que estudaremos aqui, que recebem a sua designação do tipo de juízo ou proposição que forma a primeira premissa: O silogismo categórico A natureza do silogismo, o elo de necessidade lógica que liga as premissas à conclusão, está bem patente no exemplo que daremos a seguir, e que servirá de ponto de partida para o nosso estudo desta forma de dedução: Se todos os homens são mortais e todos os franceses são homens, então todos os franceses são mortais. Em primeiro lugar, notemos que o silogismo categórico é composto de três proposições ou juízos: duas premissas "Todos os homens são mortais" e "Todos os franceses são homens" e uma conclusão "Todos os franceses são mortais". Neste caso as premissas e a conclusão são todas proposições universais afirmativas (A), mas cada uma poderia em princípio ser de qualquer outro tipo: universal negativa (E), particular afirmativa (I) ou particular negativa (O). Em segundo lugar, nas três proposições entram unicamente três termos: "mortais", "homens" e "franceses". Um destes termos entra nas premissas mas não na conclusão: é o chamado termo médio, que simbolizaremos pela letra M. Os outros dois termos são o termo maior, que figura na primeira premissa, que por isso é também designada de premissa maior; e o termo menor, que figura na segunda premissa ou premissa menor. Estes dois termos são simbolizados respectivamente pelas letras P e S. Assimilaremos melhor este simbolismo se tivermos em conta que, na conclusão, o termo maior, P, é predicado e o termo menor, S, é sujeito. Finalmente, embora a forma que utilizamos para apresentar o silogismo seja a melhor para dar conta da ligação lógica entre as premissas e a conclusão e esteja mais de acordo com a formulação original de Aristóteles, existem outras duas formas mais vulgarizadas, uma das quais será aquela que utilizaremos com mais frequência. 4

142 Todo o M é P. Todo o S é M. Logo todo o S é P. Todo o M é P. Todo o S é M. Todo o S é P. Regras do silogismo São em número de oito. Quatro referem-se aos termos e as outras quatro às premissas. Regras dos termos. Apenas existem três termos num silogismo: maior, médio e menor. Esta regra pode ser violada facilmente quando se usa um termo com mais de um significado: "Se o cão é pai e o cão é teu, então é teu pai." Aqui o termo "teu" tem dois significados, posse na segunda premissa e parentesco na conclusão, o que faz com que este silogismo apresente na realidade quatro termos.. Nenhum termo deve ter maior extensão na conclusão do que nas premissas: "Se as orcas são ferozes e algumas baleias são orcas, então as baleias são ferozes." O termo "baleias" é particular na premissa e universal na conclusão, o que invalida o raciocínio, pois nada é dito nas premissas acerca das baleias que não são orcas, e que podem muito bem não ser ferozes.. O termo médio não pode entrar na conclusão. 4. Pelo menos uma vez o termo médio deve possuir uma extensão universal: "Se os britânicos são homens e alguns homens são sábios, então os britânicos são sábios." Como é que podemos saber se todos os britânicos pertencem à mesma sub-classe que os homens sábios? É preciso notar que na primeira premissa "homens" é predicado e tem uma extensão particular. Regras das premissas 5. De duas premissas negativas, nada se pode concluir: "Se o homem não é réptil e o réptil não é peixe, então..." Que conclusão se pode tirar daqui acerca do "homem" e do "peixe"? 6. De duas premissas afirmativas não se pode tirar conclusão negativa. 7. A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A particular é mais fraca do que a universal e a negativa mais fraca do que a afirmativa. Isto significa que se uma das premissas for particular, a conclusão sê-lo-á igualmente; o mesmo acontecendo se uma das premissas for negativa: "Se os europeus não são brasileiros e os franceses são europeus, então os franceses não são brasileiros." Que outra conclusão se poderia tirar? 8. Nada se pode concluir de duas premissas particulares. De "Alguns homens são ricos" e "Alguns homens são sábios" nada se pode concluir, pois não se sabe que relação existe entre os dois grupos de homens considerados. Aliás, um silogismo com estas premissas violaria também a regra 4. Modo e figura do silogismo Consideremos os três silogismos seguintes, com os respectivos esquemas: Nenhum asiático é europeu. (Nenhum M é P.) Todos os coreanos são asiáticos. (Todo o S é M.) Portanto nenhum coreano é (Portanto nenhum S é europeu. P.) Ý Nenhum ladrão é sábio. (Nenhum P é M.) Alguns políticos são sábios. (Algum S é M.) Portanto alguns políticos não são (Portanto algum S não ladrões. é P.) Todos os jovens são alegres. (Todo o M é P.) Todos os jovens são travessos. (Todo o M é S.) Portanto alguns travessos são (Portanto algum S é alegres. P.) Estes silogismos são, evidentemente, diferentes, não apenas em relação às proposições concretas que os formam, mas igualmente em relação à quantidade e qualidade dessas proposições e à maneira como o termo médio nelas se apresenta, como no-lo indicam os esquemas que os acompanham. Assim, no primeiro silogismo temos uma proposição universal negativa (E), uma universal afirmativa (A) e mais uma universal negativa (E); no segundo, temos a sequência E, I, O; no terceiro, A, A, I. Quanto à posição do termo médio, verificamos que no primeiro silogismo ele é sujeito na premissa maior e predicado na premissa menor; no segundo, é predicado em ambas as premissas; e no terceiro silogismo é sujeito também tanto na maior como na menor. Fazendo variar todos estes factores de todas as maneiras possíveis obteremos provavelmente uma soma assustadora de silogismos diferentes. Modo do silogismo Assim, se considerarmos o modo do silogismo, que é a forma como os diferentes tipos de proposição A, E, I, O nele se dispõem, teremos 64 (sessenta e quatro) silogismos possíveis, número que é obtido quando fazemos todas as combinações possíveis das quatro letras em grupos de três, que é o número de proposições num silogismo categórico. Figura do silogismo Todavia, para além do modo, temos de ter em consideração a figura, que é definida pelo papel, sujeito ou predicado, que o termo médio desempenha nas duas premissas. Existem quatro figuras possíveis: ) sujeito-predicado, ) predicado-predicado, ) sujeito-sujeito e 4) predicado-sujeito, correspondendo as três primeiras aos exemplos dados. Se combinarmos estas quatro figuras com os sessenta e quatro modos encontrados acima, obtemos o bonito produto de 56 silogismos. Felizmente para nós muitos desses silogismos são repetições por exemplo, o modo AEE equivale a EAE, ou infringem diversas das regras do silogismo por exemplo, o modo IIO compõe-se de duas premissas particulares, pelo que, pela regra 8, não é válido, de maneira que não se conseguem mais do que dezanove silogismos concludentes. Modos válidos Assim, na primeira figura, em que o termo médio é sujeito na premissa maior e predicado na menor, apenas são válidos os modos seguintes: AAA, EAE, AII, EIO. Para memorizar melhor estes modos, os lógicos medievais associaram-nos a determinadas palavras, que se tornaram uma espécie de designação para os mesmos: são elas, respectivamente, Barbara, Celarent, Darii, Ferio. O primeiro exemplo que demos neste ponto, sobre os asiáticos e os coreanos, é um exemplo de silogismo na primeira figura, modo Celarent. Os modos válidos das outras figuras teriam também as suas designações mnemónicas próprias:.ª figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco..ª figura: Darapti, Felapton, Disamis, Bocardo, Ferison. 4.ª figura: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison. Existe uma particularidade importante em relação às diversas figuras. Através de diversos procedimentos, dos quais o mais importante é a conversão, é possível reduzir silogismos de uma figura a outra figura, ou seja, pegar, por exemplo, num silogismo na segunda figura e transformá-lo num silogismo na primeira figura. Nenhum ladrão é sábio. Alguns políticos são sábios. 4

143 Portanto alguns políticos não são ladrões. Nenhum sábio é ladrão. Alguns políticos são sábios. Portanto alguns políticos não são ladrões. Aqui o primeiro silogismo tem o termo médio na posição de predicado das duas premissas. Trata-se portanto de um silogismo da segunda figura, modo Festino. Através da conversão da premissa maior um processo simples neste caso, mas convém rever o que dissemos anteriormente sobre o assunto (cf. Inferência imediata ), transformámo-lo num silogismo categórico da primeira figura, em que o termo médio desempenha o papel de sujeito na premissa maior e predicado na menor. O modo do novo silogismo é Ferio. Tradicionalmente, a primeira figura tem sido considerada como a mais importante, aquela em que a evidência da dedução é mais forte. Reduzir os silogismos nas outras figuras a silogismos equivalentes na primeira figura seria uma maneira de demonstrar a validade dos mesmos. A utilidade de decorar os diversos modos válidos é relativa, uma vez que a aplicação das regras do silogismo permitem perfeitamente definir se um qualquer silogismo é ou não válido. O silogismo hipotético No silogismo categórico, estão em causa dois termos, o maior e o menor, que são comparados com um terceiro termo, o médio, daí se chegando a uma conclusão acerca da relação existente entre os dois primeiros: "Se todos os lagartos são répteis e alguns animais não são lagartos, então alguns animais não são répteis." No silogismo hipotético lidaremos, não com os termos, mas com as proposições em si. Vejamos um exemplo: Se João estuda então passa no exame; João estuda, Portanto passa no exame. Neste caso, a primeira premissa, ou premissa maior, é constituída por uma proposição composta por duas outras proposições: "João estuda" e "João passa no exame", ligadas entre si pelas partículas "se... então...", ou outras equivalentes; poder-se-ia dizer também, com o mesmo sentido: "Estudar implica, para João, passar no exame", ou "João passa no exame desde que estude". O importante é notarmos que uma das proposições surge como consequência da outra, constituindo aquilo que designamos por juízo hipotético ou condicional: daí designarmos uma delas como antecedente neste caso, "João estuda" e a outra como consequente "João passa no exame." A premissa menor limita-se a repetir, a afirmar, uma das proposições que compõem a primeira premissa neste caso, o antecedente, mas é precisamente dessa afirmação que decorre logicamente a conclusão que não é outra coisa senão o consequente. Se simbolizássemos a primeira proposição por "p" e a segunda por "q", poderíamos reduzir o silogismo anterior a este esquema: Se p, então q; ora p; logo q. Numa formulação mais intuitiva, o que isto quer dizer é que, face a uma condição como a que é estabelecida na premissa maior, afirmar a verdade do antecedente é afirmar simultaneamente a verdade do consequente. Poderíamos substituir as letras "p" e "q" por outras proposições verdadeiras que o raciocínio continuaria válido. O silogismo hipotético possui duas figuras válidas ou modos: Modus ponens Modus ponens, que corresponde ao exemplo dado, e que poderíamos sintetizar nas seguintes regras:. Num juízo hipotético, a afirmação do antecedente o- briga à afirmação do consequente.. Da afirmação do consequente nada se pode concluir. Modus tollens Modus tollens, que corresponde ao seguinte esquema: "se p, então q; ora não q; logo não p", e cuja mecânica poderíamos sintetizar nas seguintes regras:. Num juízo hipotético, a negação do consequente torna necessária a negação do antecedente.. Da negação do antecedente nada se pode concluir. Formas muito vulgarizadas, mas não válidas, de silogismo hipotético, são aquelas que quebram as regras atrás expostas. Por exemplo, afirmar o consequente para afirmar o antecedente, como em: "Se chovesse, o chão estaria molhado; ora o chão está molhado, logo choveu." Evidentemente, é provável que o chão esteja molhado por causa da chuva, mas também o pode estar outros motivos, como o facto de alguém o ter regado, etc. Outro exemplo: "Se Roberto tomasse veneno ficaria doente; ora Roberto não tomou veneno, portanto não ficou doente". Quem nos garante isso? Podia ter apanhado uma gripe. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Por meio do princípio fundamental da contagem, podemos determinar quantas vezes, de modo diferente, um acontecimento pode ocorrer. Se um evento (ou fato) ocorre em n etapas consecutivas e independentes, de maneira que o número de possibilidades: Na a etapa é k, Na a etapa é k, Na etapa é k,... Na enésima etapa é kn, então o número total de possibilidades de ocorrer o referido evento é o produto k, k, k... kn. O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, tipos de impressora e tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções: x 4 x x = 7 Então, têm-se 7 possibilidades de configurações diferentes. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível tipos de arroz, de feijão, de macarrão, tipos de cervejas e tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: x x = 8, somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas 4

144 somar essas possibilidades: ( x x ) x ( + ) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas? Primeiro, temos de saber que existem 6 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 6 x 6 x 6 = > parte das letras 0 x 0 x 0 x 5 = > parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0,, 4, 6, 8). Agora é só multiplicar as partes: x = Resposta para a questão: existem placas onde a parte dos algarismos formem um número par. PRINCÍPIO DA ADIÇÃO Suponhamos um procedimento executado em k fases. A fase tem n maneiras de ser executada, a fase possui n maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem n + n nk maneiras de ser realizado. Exemplo Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + = 8 caminhos possíveis. PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO Suponhamos um procedimento executado em k fases, concomitantes entre si. A fase tem n maneiras de ser executada, a fase possui n maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. A fase poderá ser seguida da fase até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há n. n..... nk maneiras de executar o procedimento. Exemplo Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há rotas possíveis. Portanto, há x 4 x = 4 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C. processo composto de fases excludentes entre si. Fixando o zero como último algarismo do número, temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos: º algarismo: 9 possibilidades (,,,4,5,6,7,8,9) º algarismo: 8 possibilidades (,,,4,5,6,7,8,9), porém excluímos a escolha feita para o º algarismo; º algarismo: possibilidade (fixamos o zero). Logo, há 9 x 8 x = 7 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo. Sem fixar o zero, temos: º algarismo: 4 possibilidades (,4,6,8) º algarismo: 8 possibilidades (,,,4,5,6,7,8,9), excluindo a escolha feita para o último algarismo; º algarismo: 8 possibilidades (0,,,,4,5,6,7,8,9), porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos. Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 56 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo. Ao todo, temos = 8 formas de escrever o número. Exercícios Princípio Fundamental da Contagem Professores: Jorge e Lauro ) (FGV/005) Em uma gaveta de armário de um quarto escuro há 6 camisetas vermelhas, 0 camisetas brancas e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para que: a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de cores diferentes. b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma cor. c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor. ) (Enem/004)No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação. Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar? Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo (0,, 4, 6, 8). Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um 44 O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas

145 cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 0. ) (UFES/00) Num aparelho telefônico, as dez teclas numeradas estão dispostas em fileiras horizontais, conforme indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de números de telefone com 8 dígitos, que começam pelo dígito e terminam pelo dígito zero, e, além disso, o o e o o dígitos são da primeira fileira do teclado, o 4o e o 5o dígitos são da segunda fileira, e o 6o e o 7o são da terceira fileira. ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: a) 9. b) 0. c). d) 5. e) 0. 0)(UECE/99) Quantos números ímpares, cada um com três algarismos, podem ser formados com os algarismos,,4,6 e 7, se a repetição de algarismos é permitida? a) 60 b) 50 c) 40 d) 0 GABARITO: ) a) b)4 c)8 )B )D 4)A 5)A 6)C 7)D 8)D 9)B 0)B PROVA SIMULADA I EXERCÍCIOS PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS Prof. Weber Campos O valor de N é a) 7 b) 6 c) 5 d) 79 e). 4) (UFC/00) A quantidade de números inteiros, positivos e ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre os algarismos 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a: a) 0 b) c) 48 d) 60 e) 84 5)(UFAL/00) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A={0,,,,4}? a) 60 b) 48 c) 6 d) 4 e) 8 6)(UFPI/000) Escrevendo-se em ordem decrescente todos os números de cinco algarismos distintos formados pelos algarismos, 5, 7, 8 e 9, a ordem do número 7589 é: a) 54 b) 67 c) 66 d) 55 e) 56 7)(UFAL/99) Com os elementos do conjunto {,,, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5? a) 5 b) 0 c) 4 d) 70 e) 840 8)(ITA/00) Considere os números de a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas,, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? a) 75 b) 465 c) 545 d) 585 e) 65 9)(UNESP/000) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para 0. (TCE/PB 006 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:. Três mais nove é igual a doze.. Pelé é brasileiro.. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 5 é maior do que 0. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números (A), e 6. (D),, 5 e 6. (B), e 4. (E),, 4 e 5. (C), 4 e (TRF ª Região 007 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:. A terça parte de um número.. Jasão é elegante.. Mente sã em corpo são. 4. Dois mais dois são Evite o fumo. 6. Trinta e dois centésimos. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças APE- NAS os itens de números (A), 4 e 6. (D) e 5. (B), 4 e 5. (E) e 4. (C), e (PM-Bahia 009 FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças :. Tomara que chova.. Que horas são?. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números A), e 5. D) 4 e 6. B), e 5. E) 5 e 6. C), 5 e 6. 45

146 04. (ICMS/SP 006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a (A) I. (C) III. (E) V. (B) II. (D) IV. 05. (ICMS/SP 006 FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 005. II. (x + y)/5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 000. É verdade que APENAS (A) I e II são sentenças abertas. (B) I e III são sentenças abertas. (C) II e III são sentenças abertas. (D) I é uma sentença aberta. (E) II é uma sentença aberta. 06. (MRE 008 CESPE) Julgue os itens a seguir.. Considere a seguinte lista de sentenças: I. Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II. O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III. As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV. O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. V. Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. 07. (SEBRAE-008/CESPE) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: () Você sabe dividir? perguntou Ana. () Claro que sei! respondeu Mauro. () Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? perguntou Ana. (4) O resto é dois. respondeu Mauro, após fazer a conta. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem.. A frase indicada por () não é uma proposição.. A frase () é uma proposição. 08. (ICMS/SP 006 FCC) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é (A) disjunção inclusiva. (B) conjunção. (C) disjunção exclusiva. (D) condicional. (E) bicondicional. 09. (TRT 9ª Região 004 FCC) Leia atentamente as proposições simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal. Q: João foi aprovado em um concurso. Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é: (A) Se não Q, então P. (B) Se não P, então não Q. (C) Se P, então Q. (D) Se Q, então P. 46 (E) Se P, então não Q. 0. (BACEN 006 FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central; q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica em q, então (A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. (B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (C) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. (D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.. (TRT-SP Anal Jud 008 FCC) São dadas as seguintes proposições: - p: Computadores são capazes de processar quaisquer tipos de dados. - q: É possível provar que + =. Se p implica em q, então o fato de (A) ser possível provar que + = é uma condição necessária e suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (B) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados não é condição necessária e nem suficiente para que seja possível provar que + =. (C) ser possível provar que + = é uma condição suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (D) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados é condição necessária para que seja possível provar que + =. (E) ser possível provar que + = é condição necessária para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados.. (MRE 008 CESPE) Julgue o seguinte item: Item. Considerando que A e B simbolizem, respectivamente, as proposições A publicação usa e cita documentos do Itamaraty e O autor envia duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty, então a proposição B A é uma simbolização correta para a proposição Uma condição necessária para que o autor envie duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a publicação use e cite documentos do Itamaraty.. (PETROBRAS 007 CESPE) Julgue o seguinte item: Item. A proposição O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado pode ser corretamente lida como O carro estar bem preparado é condição necessária para que o piloto vença a corrida. 4. (TRF ª Região Técnico Jud 006 FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) Todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) Todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) Todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) Alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa

147 5. (TRT-SP Anal Jud 008 FCC) Considere as seguintes premissas: "Se todos os homens são sábios, então não há justiça para todos." "Se não há justiça para todos, então todos os homens são sábios." Para que se tenha um argumento válido, é correto concluir que: (A) Todos os homens são sábios se, e somente se, há justiça para todos. (B) Todos os homens são sábios se, e somente se, não há justiça para todos. (C) Todos os homens são sábios e há justiça para todos. (D) Todos os homens são sábios e não há justiça para todos. (E) Todos os homens são sábios se há justiça para todos. 0. (ICMS/SP 006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é 6. (TRT-SP Téc. Jud. Área Administrativa 008 FCC) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas: Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? (A) Nenhuma. (D) Apenas três. (B) Apenas uma. (E) Quatro. (C) Apenas duas. 7. (TRT 9ª Região 004 FCC) Leia atentamente as proposições P e Q: P: o computador é uma máquina. Q: compete ao cargo de técnico judiciário a construção de computadores. Em relação às duas proposições, é correto afirmar que (A) a proposição composta P ou Q" é verdadeira. (B) a proposição composta P e Q é verdadeira. (C) a negação de P é equivalente à negação de Q. (D) P é equivalente a Q. (E) P implica Q 8. (Petrobrás 006 Cesgranrio) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, assinale a opção que apresenta valor lógico falso nas proposições abaixo. 9. (Téc Controle Interno RJ 99 ESAF) Dadas as proposições A que tem valor lógico FALSO é a (A) IV (B) V (C) III (D) II (E) I. (Tec da Fazenda Estadual de SP 00 FCC) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: O trabalho enobrece. A afirmação Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente é, com certeza, FALSA quando: (A) p é falsa e q é verdadeira. (D) p é falsa e q é falsa. (B) p é verdadeira e q é falsa. (E) p é verdadeira e q é verdadeira. (C) p é falsa ou q é falsa.. (TRT-SP Tec Jud 008 FCC) Considere que são verdadeiras as seguintes premissas: Se o professor adiar a prova, Lulu irá ao cinema. Se o professor não adiar a prova, Lenine irá à Biblioteca. Considerando que, com certeza, o professor adiará a prova, é correto afirmar que a) Lulu e Lenine não irão à Biblioteca b) Lulu e Lenine não irão ao cinema. c) Lulu irá ao cinema. d) Lenine irá à Biblioteca. e) Lulu irá ao cinema e Lenine não irá à Biblioteca.. (TCE-SP 00 FCC) Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de telefonia. Após a reunião, alguns funcionários fizeram os seguintes comentários: Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou ; Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou ; Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou ; Esmeralda não participou da reunião. Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião (A) Amarilis e Benivaldo. (B) Amarilis e Divino. (C) Benivaldo e Corifeu. (D) Benivaldo e Divino. (E) Corifeu e Divino. 4. (Metrô-SP 009 FCC) Entre outros, três enfermeiros Abigail, Benício e Clóvis foram incumbidos de acompanhar um Programa de Vacinação contra o vírus da dengue, a ser 47

148 executado em uma mesma estação de trens metropolitanos da cidade de São Paulo. Sabedor de que, no dia estipulado para a execução do programa, pelo menos um desses três enfermeiros não havia comparecido ao local designado, o Coordenador do Programa convocou-os a prestar esclarecimentos, ouvindo deles as seguintes declarações: Abigail: Benício faltou e Clóvis faltou. Benício: Clóvis compareceu ou Abigail faltou. Clóvis: Se Benício compareceu, então Abigail faltou. Considerando que as três declarações são falsas, é correto afirmar que, apenas, (A) Abigail faltou. (B) Benício faltou. (C) Clóvis faltou. (D) Abigail e Benício faltaram. (E) Benício e Clóvis faltaram. 5. (Analista BACEN 005 FCC) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto: - Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. - Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. - Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por (A) Aldo. (C) Caio. (E) Aldo e Caio. (B) Benê. (D) Aldo e Benê. 6. (Câmara dos deputados 007 FCC) Relativamente a uma mesma prova de um concurso a que se submeteram, três amigos fizeram as seguintes declarações: Ariovaldo: Benício foi reprovado no concurso e Corifeu foi aprovado. Benício: Se Ariovaldo foi reprovado no concurso, então Corifeu também o foi. Corifeu: Eu fui aprovado no concurso, mas pelo menos um dos outros dois não o foi. Admitindo-se que as três declarações são verdadeiras, então (A) Ariovaldo foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (B) Benício foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (C) Corifeu foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (D) Benício foi o único dos três que foi reprovado no concurso. (E) Ariovaldo foi o único dos três que foi reprovado no concurso. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 7. Dê a negação de cada uma das proposições abaixo. a) Todos os corvos não são negros. Algum corvo é negro. b) Nenhum gato não sabe pular. Algum gato não sabe pular. c) Algum sapo é príncipe. Nenhum sapo é príncipe. d) Alguma planta não é venenosa. Toda planta é venenosa. 8. (TRT 9ª Região 004 FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário é: (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. 9. (Escriturário Banco do Brasil 0 FCC) Um jornal publicou a seguinte manchete: Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: (A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. (B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. (C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. (D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. (E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo. 0. (Prominp 009 Cesgranrio) A negação de Todos os filhos de Maria gostam de quiabo é (A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. (B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo. (D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (E) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo.. (Metrô-SP 00 FCC) A negação da proposição Existem Linhas do Metrô de São Paulo que são ociosas. é: (A) Nenhuma Linha do Metrô de São Paulo é ociosa. (B) Nenhuma Linha ociosa é do Metrô de São Paulo. (C) Nem toda Linha do Metrô de São Paulo é ociosa. (D) Algumas Linhas do Metrô de São Paulo não são ociosas. (E) Toda Linha do Metrô de São Paulo é não ociosa.. (Oficial de Justiça TJ-PE 006 FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que: (A) nenhum funcionário público é eficiente. (B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. (C) todo funcionário público é eficiente. (D) nem todos os funcionários públicos são eficientes. (E) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.. (TRT 9ª Região 004 FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: "No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime. Embora a dupla negação seja utilizada com certa freqüência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que (A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. 4. (Fiscal Recife 00 ESAF) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 48

149 c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 5. (Especialista em Políticas Públicas SP 009 FCC) A sentença a seguir foi dita pelo chefe da manutenção de determinada indústria durante uma reunião: Não é verdade que todos os funcionários do meu setor deixaram de cumprir a meta de atender a 00% das chamadas dentro do prazo recomendado. Mais tarde, na mesma reunião, os dados apresentados pelos outros setores da indústria mostraram que o chefe da manutenção se equivocara, sendo falsa sua sentença. Nessas condições, é necessário concluir que (A) nenhum funcionário da manutenção conseguiu atende a qualquer chamada dentro do prazo recomendado. (B) pelo menos um funcionário da manutenção não conseguiu atender nenhuma chamada dentro do prazo recomendado. (C) todos os funcionários da manutenção tiveram pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado. (D) apenas um funcionário da manutenção teve pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado. (E) 00% das chamadas feitas a funcionários da manutenção deixaram de ser atendidas dentro do prazo recomendado. 6. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo. a) X > Y e Z = W. b) X Y ou Z < W. c) Se o tempo está chuvoso, então não faz calor. d) João é bom médico se e só se estudou muito. 7. (Metrô-SP 00 FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ~q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. (E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. 8. (ANEEL Analista 006 ESAF) A negação da afirmação condicional se Ana viajar, Paulo vai viajar é: a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 9. (Prominp 008 Cesgranrio) Sejam p, q e r proposições simples e ~p, ~q e ~r as suas respectivas negações. A negação de é EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES 40. (ICMS/SP 006 FCC) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p q é (TRF ª Região 007 FCC) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: (A) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. (B) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. (C) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. (D) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. (E) Se Lucia é pintora, então ela não é feliz. 4. (Assembléia Legislativa/SP 00 FCC) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo- se às galerias da casa: Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação (A) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação. (B) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. (C) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. (D) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. (E) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação. 4. (TCE MG 007 FCC) São dadas as seguintes proposições: () Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. () Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. () Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números (A) e 4 (B) e (C), e 4 (D), e (E), e (ISS São Paulo 007 FCC) Considere a seguinte proposição: Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira. Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição: (A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele progride na carreira. (C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira. (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira. 45. (TRE-PI Téc Jud 009 FCC) Um dos novos funcionários de um cartório, responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução:

150 Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhea ao setor verde. Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, pode-se concluir que, necessariamente, (A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. (B) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. (C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. (D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. (E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. 46. (TRF ª Região Analista Judiciário 007 FCC) Considere que as sentenças abaixo são verdadeiras. Se a temperatura está abaixo de 5 C, há nevoeiro. Se há nevoeiro, os aviões não decolam. Assim sendo, também é verdadeira a sentença: (A) Se não há nevoeiro, os aviões decolam. (B) Se não há nevoeiro, a temperatura está igual a ou acima de 5 C. (C) Se os aviões não decolam, então há nevoeiro. (D) Se há nevoeiro, então a temperatura está abaixo de 5 C. (E) Se a temperatura está igual a ou acima de 5 C os aviões decolam. 47. (ICMS/SP 006 FCC) Se p e q são proposições, então a proposição p (~q) é equivalente a TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 50. (TRT9 004 FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo. (D) uma contingência. (B) uma tautologia. (E) uma contradição. (C) uma equivalência. RESPOSTAS 0. A. E. B A 0. E. C. C. C 4. C 0. C. C. B. C 4. E 04. D 4. C 4. C 4. C 44. D 05. A 5. B 5. B 5. C 45. E 06. E 6. C 6. D B 07. CC 7. A A 47. B 08. B 8. D 8. B 8. C 48. C 09. C 9. B 9. C 9. A 49. A 0. C 0. C 0. D 40. A 50. B 7. a) Algum corvo é negro. b) Algum gato não sabe pular. c) Nenhum sapo é príncipe. (Todo sapo não é príncipe.) d) Toda planta é venenosa. (Nenhuma planta não é venenosa.) 6. a) X Y ou Z W. b) X > Y e Z W. c) O tempo está chuvoso e não faz calor. d) Ou João é bom médico ou estudou muito, mas não ambos. QUESTÕES RESOLVIDAS 48. (ICMS/SP 006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. (A) As proposições ~(p q) e (~p ~q) não são logicamente equivalentes. (B) A negação da proposição Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom, é a proposição Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom. (C) A proposição ~[ p ~(p q)] é logicamente falsa. (D) A proposição Se está quente, ele usa camiseta, é logicamente equivalente à proposição Não está quente e ele usa camiseta. (E) A proposição Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular é falsa. 49. (Especialista em Políticas Públicas SP 009 FCC) Um fornecedor do governo apresentou, no mês de abril, um contrato para realização de um serviço que seria pago somente em maio. O contrato trazia a seguinte cláusula: Se o IPCA de abril for menor do que %, então os valores constantes no contrato não sofrerão qualquer correção. De acordo com essa cláusula, é correto concluir que, necessariamente, se (A) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de %, então o IPCA de abril foi, no mínimo, %. (B) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de %, então o IPCA de abril ficou entre % e %. (C) o IPCA de abril foi %, então os valores do contrato sofreram algum tipo de correção. (D) o IPCA de abril foi %, então os valores do contrato sofreram correção de, no mínimo, %. (E) os valores constantes no contrato não sofreram qualquer correção, então o IPCA de abril foi, no máximo, % 50 Questão : FUNIVERSA/0 - Concurso PC-DF Perito Criminal Odontologia Pergunta: Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 00,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 60,00, apenas, formados por uma nota de R$ 00,00, uma de R$ 0,00 e quatro de R$ 0,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras: Antônio: Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 0,00. Basílio: Aquela nota de R$ 00,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa. Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a: a) Antônio b) Basílio c) Carlos d) Danton e) Eduardo