Caderno de Exercícios no. 1 (Modelização de Incerteza) A. Representação de Problemas em Árvores de Decisão e em Diagramas de Influência

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1 MODELOS DE APOIO À DECISÃO 2008/2009 Caderno de Exercícios no. 1 (Modelização de Incerteza) A. Representação de Problemas em Árvores de Decisão e em Diagramas de Influência Exercício 1 Antes de conceder crédito a um cliente, um banco compra um relatório com a história de crédito desse cliente a empresas especializadas em rating. Para justificar a concessão de crédito, o banco deve considerar esse relatório satisfatório. Descreva a decisão do banco. Quais são os objectivos do banco? Qual o risco que o banco enfrenta? Qual o papel do relatório? Desenhe um diagrama de influência para representar esta situação. Exercício 2 Quando um produtor de filmes analisa iniciar a produção de um grande filme, a principal incerteza reside no montante de receitas que o filme gerará. Desenhe uma árvore de decisão para esta situação assumindo que só existe um objectivo fundamental, a maximização de receitas. Exercício 3 Um jovem vai comprar um fato por 250. Ao sair de casa, o jovem pondera levar um guardachuva. Com o guarda chuva, o fato estará protegido no caso de chuva. Sem o guarda chuva o fato que comprar poderá danificar se. Por outro lado, se não chover, será aborrecido carregar o guarda chuva. a) Desenhe uma árvore de decisão para esta situação. b) Desenhe um diagrama de influência para esta situação. c) Antes de decidir, o jovem decisor considera ouvir a previsão do tempo na rádio. Represente um diagrama de influência que tenha em conta a previsão do tempo. Exercício 4 Suponha que está a pensar em organizar uma festa em sua casa no próximo fim de semana. Um churrasco no jardim seria para si o melhor tipo de festa no caso de estar um dia solarengo; CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 1

2 contudo a chuva poderia tornar a festa num fiasco. Por outro lado, podia planear uma festa dentro de casa. Isto seria uma boa festa (não tão boa como no caso do churrasco), mas melhor que no caso de fazer o churrasco e chover. Ao analisar a organização da festa, considera sempre a possibilidade de desistir da mesma! a) Construa um diagrama de influência e uma árvore de decisão para este problema. b) Ao pensar em organizar a festa, vai naturalmente consultar a previsão de tempo que lhe dirá se o tempo vai estar chuvoso ou solarengo. A previsão não é perfeita. Se a previsão for de sol, então o sol vai ser mais provável que a chuva, mas haverá sempre uma pequena probabilidade que chova. A previsão de chuva implica que será mais provável chover, mas o sol ainda poderá brilhar. Desenhe o diagrama de influência para a decisão, incluindo a previsão de tempo. Desenhe adicionalmente a árvore de decisão para este problema com consulta da previsão do tempo. Exercício 5 Imagine que foi diagnosticada uma doença cardiovascular a um amigo seu. O médico recomenda ao seu amigo uma cirurgia de bypass, e a cirurgia deverá resolver o problema. Quando questionado sobre os riscos, o médico responde que alguns indivíduos morrem na operação cirúrgica, mas muitos recuperam e a cirurgia é um sucesso completo. Deste modo o seu amigo poderá (muito provavelmente) antecipar uma vida mais longa e com saúde depois da cirurgia. Sem a cirurgia, o seu amigo terá uma menor esperança de vida e a sua qualidade de vida piorará. a) Assumindo que o objectivo do seu amigo é maximizar a esperança e qualidade de vida, represente esta situação num diagrama de influência e numa árvore de decisão. b) O seu amigo decidiu consultar outro médico para pedir uma segunda opinião. O segundo médico sugere que há uma terceira possibilidade de ocorrência: complicações da cirurgia podem ocorrer, e esta situação exigiria um tratamento (adicional) longo e doloroso. Se isto acontecer, os resultados possíveis da operação serão: recuperação total, ou recuperação parcial (o que implicará o uso de cadeira de rodas até à morte), ou morte em poucos meses. Esta informação altera a árvore de decisão e o diagrama de influência representados em a)? Desenhe uma árvore de decisão e um diagrama de influência que represente a situação depois de consultados ambos os médicos. Dada esta nova estrutura, a cirurgia parece mais ou menos atractiva que em a)? B. Representação de Problemas usando o Software PrecisionTree Exercício 6 Em 1984 a companhia petrolífera Pennzoil fez uma oferta de aquisição sobre a Getty Oil. Mas foi outra companhia petrolífera a Texaco que conseguiu adquirir a Getty Oil, alegadamente de CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 2

3 forma ilegal. A Pennzoil sentiu se fortemente penalizada com a situação e iniciou uma batalha legal contra a Texaco. A primeira decisão que a Penzzoil teve de efectuar foi a de optar entre aceitar um valor de indemnização de 2 mil milhões de dólares que lhe era proposto pela Texaco e assim finalizar a disputa, ou efectuar uma contra proposta de indemnização no valor de 5 mil milhões de dólares. Se a Pennzoil se decidisse pela segunda alternativa a Texaco poderia aceitar indemnizá la naquele valor, e terminar a disputa; alternativamente poderia rejeitar a contraproposta da Penzzoil e deixar o caso ser resolvido pelo tribunal, ou poderia efectuar uma contraproposta à Penzzoil com um valor de 3 mil milhões de dólares, situações que se estimava poderem ocorrer com probabilidades de 0,17, 0,5 e 0,33, respectivamente. Subsequentemente, a Penzzoil poderia aceitar a contra oferta de indemnização da Texaco no valor de 3 mil milhões de dólares e assim terminar a disputa ou rejeitá la e passar o caso para o tribunal. Se o caso acabar em tribunal, a Texaco terá de pagar à Pennzoil um dos seguintes montantes: 10,3 mil milhões de dólares, 5 mil milhões de dólares, e 2,5 mil milhões de dólares; com probabilidades de ocorrência de 0,2, 0,5 e 0,3, respectivamente. a) Construa a árvore de decisão que ilustra o problema reportado. b) Qual deveria ser o curso de acção a seguir pela Pennzoil e que valor esperado resultaria das opções tomadas? Exercício 7 Quando decide comprar uma viatura, pode considerar comprar uma viatura nova ou uma viatura usada. No caso de compra de uma viatura usada, o trade off fundamental reside no nível de gastos de manutenção serem incertos no momento em que compra o carro, como alternativa a um conjunto de pagamentos que são certos (no caso de uma viatura nova). Considere a compra de uma de duas viaturas: uma nova que custa 15,000 e uma usada com 75,000 kms e que custa 5,500. Assumindo que a viatura que possui e que pode dar em troca vale 5,500, poderá comprar a viatura usada sem um pagamento extra, ou pode comprar a viatura nova pagando uma entrada de 5,500. O seu sindicato está disposto a conceder lhe um empréstimo por 5 anos à taxa de juro de 10% para os 9,500 de diferença que terá que pagar pela viatura nova; este empréstimo requer pagamentos mensais de por mês durante 5 anos. Os custos de manutenção esperados para uma viatura nova são de 100 para o primeiro ano, e 300 para o segundo e terceiro anos. Depois de levar a viatura usada a um mecânico para uma avaliação, obtém a seguinte informação. Em primeiro, a viatura necessita de algumas reparações menores nos próximos meses, incluindo uma bateria nova, mudança na suspensão e na direcção, e substituição do tubo da bomba de água. O mecânico estimou que estas reparações custem 150. Os pneus poderão durar mais um ano, e necessitarão de ser substituídos no próximo ano por cerca de 200. A acrescer, o mecânico avisa que o sistema de refrigeração poderá necessitar de ser reparado ou substituído no próximo ano e o sistema de reparações poderá necessitar de reparação. Estas e outras reparações de uma CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 3

4 viatura usada podem levar a pagamentos entre 500 e 2,500 em cada um dos três próximos anos. Se tiver sorte, estes gastos serão mais baixos e ocorrerão mais tarde. Contudo poderá ter que pagar bastante dinheiro quando menos esperar. Desenhe uma árvore de decisão para este problema. Para simplificar, analise temporalmente os gastos para cada um dos três anos. Se comprar a viatura nova, deverá antecipar pagamentos de 12* =2,422.2 mais custos de manutenção. Para a viatura usada, alguns dos custos de reparação são conhecidos (reparação imediata este ano, pneus no próximo ano), mas deverá modelar a incerteza associada às outras componentes. A acrescer a esta componente, assuma que em cada ano há uma possibilidade de 20% que estes eventos levem a pagamentos anuais de 500, 20% que levem a pagamento de 2,500, e 60% que levem a pagamento de 1,500. Para ser possível uma adequada comparação da situação de compra de viatura nova e da viatura usada, deverá também considerar os valores das viaturas ao fim dos três anos (i.e. o valor residual). Se comprar um carro novo, este valerá aproximadamente 8,000 ao fim de três anos, enquanto ainda terá uma dívida relativa ao carro no montante de 4,374. Deste modo, o carro terá um valor residual no montante de 3,626. Por outro lado, passados três anos a sua viatura usada não terá associada uma dívida (assumindo que tenha pago todas as reparações) e valerá 2,000. Inclua todas as probabilidades e fluxos de pagamentos e recebimentos (ex: valor residual) na árvore de decisão. Calcule o valor líquido no final de cada um dos ramos da árvore. Exercício 8 Don Newcomb estava perplexo. Tinham passado 5 anos desde que fundou a empresa Interplants INC, uma empresa de investigação e desenvolvimento que desenvolvia plantas geneticamente alteradas para voos espaciais interplanetários. Durante 5 anos a sua equipa de cientistas fez grandes avanços no desenvolvimento de plantas espaciais que podiam ser usadas para alimentação e para sistemas de limpeza de ar em estações espaciais e de transporte. No entanto, ao lançar se no negócio foi demasiado optimista. Ele foi um de vários investidores que se lançou no desenvolvimento desta tecnologia, e após 5 anos turbulentos, as expectativas eram agora menos optimistas. Em primeiro lugar, houve desilusões dado que nenhuma das superpotências tinha progredido no desenvolvimento de engenhos de iões para usar em veículos espaciais. O desenvolvimento deste tipo de engenhos era crucial para o sucesso dos voos espaciais interplanetários porque (em termos teóricos) tornaria as viagens 10 vezes mais rápidas que a tecnologia corrente. Quando a importância deste tipo de engenho foi descoberta, as superpotências financiaram um enorme projecto de investigação multinacional. O projecto fez progressos substanciais, mas muitas das barreiras mantiveram se. Os consultores de risco de Don estimaram que havia uma probabilidade de 15% de um engenho de iões não ser utilizável. Se isto acontecesse, Don e os outros investidores em tecnologia de viagem espacial não conseguiriam comercializar as suas plantas. CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 4

5 A acrescer havia um problema político. As superpotências poderiam não chegar a acordo quanto a uma política conjunta para o desenvolvimento do espaço interplanetário, incluindo nas políticas sobre a utilização de estações espaciais e de satélites. A United American Alliance exigia sigilo e um acordo de longo prazo, sugerindo que uma comissão multinacional fosse estabelecida para aprovar projectos individuais de cooperação. Pacificasia e Allied Slavic Economic Community exigiam que o espaço fosse dividido. Segunda estas instituições, isso implicava estabelecer direitos de propriedade e as superpotências poderiam desenvolver a sua economia especial óptima e determinar as relações comerciais com outras superpotências nos seus espaços. A discussão entre superpotências precedeu o aparecimento da Interplants. Quando a Interplants foi criada, parecia que um acordo estava eminente. Contudo, passados 18 meses o processo de negociação sofreu retrocessos. Os participantes nas negociações estabeleceram posições díspares e não faziam concessões. Don seguiu os acontecimentos, e foi nomeadamente consultado como expert na área de desenvolvimento da agricultura interplanetária. Don indicou que havia 68% de probabilidade das superpotências chegarem a um acordo. Sem acordo haveria pouca procura para as plantas que produzia. Para além destes problemas externos, Don ainda enfrentava o problema de desenvolver um processo produtivo de grande escala para as suas plantas. Ele e os seus engenheiros tinham algumas ideias sobre o custo do processo, mas neste momento só tinham uma distribuição de probabilidade para os seus custos: baixo custo, custo moderado e alto custo, com probabilidades de 0.185, 0.63 e respectivamente. O seu lucro (ou perda) dependeria dos custos do processo final. Don também pensou sobre os lucros que poderia antecipar em cada um dos cenários. Ele pensou sobre a incerteza em duas fases: definição dos custos, e resultado dos factores externos (no desenvolvimento da investigação dos engenhos de iões e nas negociações políticas). Se os custos fossem baixos, e no caso de as superpotências chegarem a acordo e o desenvolvimento do engenho ser bem sucedido, ele esperaria um lucro de 125 biliões de dólares. Ele perderia 15 biliões se o engenho ou as negociações falhassem. No caso de os custos serem moderados, ele poderia antecipar tanto um lucro de 100 biliões de dólares se ambos os factores externos tivessem um bom desfecho, ou perdas de 18 biliões se algum dos factores externos fosse negativo. Finalmente, os mesmos números para o caso de alto custo de produção seriam de 75 biliões de ganhos ou de 23 biliões de dólares de perdas. Esta situação é muito confusa, queixou se Don a Paul Fiester, o seu engenheiro chefe. Nunca esperei estar nesta posição. Há cinco anos nenhum destes riscos eram aparentes para mim, e agora tenho que enfrentá los. Após uma pausa, Paul sugeriu bem, talvez fosse de vender o negócio. Don considerou Sim, é uma possibilidade. Mas não conheço muitos loucos a quererem comprar este tipo de empresa. Alguns dos outros engenheiros e eu podemos ser suficientemente loucos, Paul replicou. Claro que isso dependeria do preço. Nós conhecemos esta área de negócio, assim como os riscos. CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 5

6 Don pensou sobre o assunto. Por quanto venderia a empresa? Detesto a ideia de deixar de perder a possibilidade de ganhar 125 biliões de dólares. Mas não gosto da possibilidade de perder 23 biliões também Ninguém quereria!. a) Desenhe uma árvore de decisão para o problema de Don Newcomb. b) Analise a árvore no software PrecisionTree. C. Cálculo do Valor da Informação Perfeita e do Valor da Informação Imperfeita usando o Software PrecisionTree Exercício 9 Reverta a seguinte árvore de probabilidades e represente a no software PrecisionTree: Exercise 10 Para a árvore de decisão da Figura 1, assuma que os nós de incerteza E e F como sendo independentes. a) Desenhe a árvore de decisão apropriada e calcule o valor esperado da informação perfeita para o evento E. b) Desenhe a árvore de decisão apropriada e calcule o valor esperado da informação perfeita para o evento F. c) Desenhe a árvore de decisão apropriada e calcule o valor esperado da informação perfeita para os eventos E e F, i.e. para o caso do decisor obter informação perfeita sobre os eventos E e F antes de uma decisão ser tomada. CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 6

7 d) Desenhe o diagrama de influência que corresponde à árvore de decisão da Figura 1. Como é que este diagrama de influência seria alterado de modo a responder às alíneas a), b) e c). e) É necessário assumir que os eventos E e F são independentes? Que outro pressuposto poderia ser escolhido? Figure 1 Exercício 11 Você possui os direitos minerais sobre um terreno que acredita ter petróleo no subsolo. Há somente 10% de probabilidade de encontrar petróleo se perfurar, sendo o resultado uma receita de $200,000. A prospecção custará $10,000. A alternativa será não perfurar, sendo nesse caso o seu lucro zero. a) Desenhe uma árvore de decisão para representar o problema. Deverá perfurar? b) Desenhe um diagrama de influência para representar o seu problema. c) Calcule o valor esperado da informação perfeita usando uma árvore de decisão, e usando o PrecisionTree. d) Antes de decidir sobre perfurar, poderá consultar um geólogo que poderá avaliar o preço do seu terreno. Ele poderá indicar que a possibilidade de encontrar petróleo poderá ser alta ou baixa, mas ele não tem conhecimento perfeito. Se houver petróleo, a probabilidade condicional é de 95% de ele dizer que o prospecto é alta. Se não houver petróleo, a probabilidade condicional é de 85% de ele dizer que a possibilidade é baixa. Desenhe uma árvore de decisão que inclua a alternativa de consultar geólogo. Calcule o valor esperado da informação imperfeita do geólogo. Se ele cobrar 7000, o que deverá fazer? Utilize o PrecisionTree para fazer estes cálculos. CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 7

8 Exercício 12 Um investidor pretende efectuar uma aplicação financeira e pondera fazê lo alternativamente em acções de alto risco, acções de baixo risco ou numa conta a prazo. Se optar pelas acções de alto risco e as cotações tiverem uma grande subida obterá um lucro de 1500, se as cotações subirem pouco obterá um lucro de 100, mas se as cotações descerem terá um prejuízo de Se optar pelas acções de baixo risco e as cotações tiverem uma grande subida obterá um lucro de 1000, se as cotações subirem pouco obterá um lucro de 200, mas se as cotações descerem terá um prejuízo de 100. Se optar pelo depósito em conta a prazo obterá um lucro de 500. Sabendo que as probabilidades de grande subida das cotações, pequena subida das cotações e de descida das cotações são respectivamente 0,5, 0,3 e 0,2: a) Construa a árvore de decisão e determine a respectiva solução. b) Qual era o valor máximo que o decisor deveria estar disposto a pagar a um adivinho pelo fornecimento da informação de evolução das cotações na bolsa (ou seja, qual era o Valor Esperado da Informação Perfeita)? c) Qual era o valor máximo que o decisor deveria estar disposto a pagar a um especialista da bolsa pelas previsões de evolução das cotações, tendo em consideração o histórico de previsões (desse especialista) que se apresenta na tabela seguinte (ou seja, qual era o Valor Esperado da Informação Imperfeita)? Verdadeiro estado do mercado Previsão do especialista Grande subida Pequena subida Descida Grande subida 80% 15% 20% Pequena subida 10% 70% 20% Descida 10% 15% 60% Exercícios adaptados de: Clemen, R. T. and T. Reilly (2003). Making Hard Decisions With Decision Tools Suite Update Duxbury. CBC & MO, Modelos de Apoio à Decisão 2008/2009 8