MECÂNICA APLICADA II. Apontamentos Teóricos. Mário Nuno Moreira Matos Valente

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA Escola Superior de Tecnologia e Gestão MECÂNICA APLICADA II Engenharia Civil 2º ANO Apontamentos Teóricos Mário Nuno Moreira Matos Valente Ano lectivo 2005/2006

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3 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão Conceito de Tensão Índice Breve Revisão dos Métodos da Estática 1 Tensões em Elementos Estruturais 2 Análise e Dimensionamento 3 Esforço Axial; Tensão Normal 4 Princípio de Saint-Venant 5 Tensão Tangencial 6 Tensão num plano inclinado sujeito a esforço axial 7 Exercício Resolvido 9 Bibliografia 9 Breve Revisão dos Métodos da Estática Considere a estrutura representada na figura que foi concebida para suportar uma carga de 30 kn. Esta estrutura é constituída por: - uma escora AB (barra bi-articulada sujeita a compressão) de secção transversal rectangular cujas dimensões são de 30x50 mm, - um tirante (barra bi-articulada sujeita à tracção) cuja secção circular tem 20 mm de diâmetro. A escora e o tirante encontram-se ligados por uma articulação no ponto B e são suportados por apoios fixos em A e C. O primeiro passo para análise desta estrutura é o traçado do diagrama de corpo livre da estrutura. Para tal isola-se a estrutura dos seus apoios em A e C, e representa-se a acção que estes apoios exercem sobre a estrutura (reacções de apoio). Note-se que a representação da estrutura foi simplificada omitindo-se todos os detalhes supérfluos. Nesta altura é possível inferir que as barras AB e BC estarão sujeitas apenas a esforço axial (pois trata-se de um sistema articulado plano). Mário Nuno Valente Setembro /9

4 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão + Este facto não será tomado em conta na determinação das reacções de apoio, assumindo-se que a direcção da reacção em cada ponto é desconhecida. Cada uma das reacções será então representada pelas suas componentes verticais e horizontais. Podem escrever-se três equações de equilíbrio: - M = 0 A = 0 A = 0 C x x - F = 0 A + C = 0 C = A C = 40kN x x x x x x - F = 0 A + C 30= 0 A + C = 30 y y y y y A quarta equação de equilíbrio será escrita para a articulação B: - M corpo AB = 0 A 0.8= 0 A = 0 B y y (Estes resultados poderiam ter sido obtidos de uma forma mais simples aplicando o Método dos Nós ao nó B) Conclui-se que para equilibrar uma carga vertical de 30 kn em B surge um esforço axial de tracção de 50 kn na barra BC e um esforço axial de compressão de 40 kn na barra AB. Estes resultados embora necessários, não fornecem qualquer informação acerca da segurança da estrutura face à carga aplicada. O facto de o tirante BC, por exemplo, ceder ou não sob a acção da carga aplicada depende não só do valor encontrado para o esforço axial F BC, mas também da área da secção transversal do tirante e do material que o constitui. Tensões em Elementos Estruturais O esforço F BC determinado anteriormente, representa, na verdade, a resultante das forças internas que se encontram distribuídas em toda a área A da secção transversal da barra BC, e a intensidade média dessas forças distribuídas é igual à força por unidade de área. A força por unidade de área, ou intensidade das forças distribuídas sobre uma dada secção, é designada por tensão nessa secção e é denotada pela letra grega σ (sigma). A tensão num elemento da área da secção transversal A sujeito a um esforço axial P é então obtida através do quociente do valor P do esforço pela área A: P σ = (sinal positivo indica tracção e sinal negativo compressão) A Mário Nuno Valente Setembro /9

5 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão Dado que foram utilizadas as unidades do Sistema Internacional com P expresso em newtons (N) e A em metros quadrados (m 2 ), a tensão σ é expressa em N/m 2 (Pa Pascal). Apresentam-se de seguida a conversão para o SI de outras unidades também utilizadas. - 1lb N 1psi = 6.895kPa in = m = (psi = pound per square inch) - 1bar = 100kPa Análise e Dimensionamento Considere-se novamente a estrutura anterior e assuma-se que o tirante BC é constituído por aço cuja máxima tensão admissível é σ adm = 165 MPa. Poderá o tirante BC suportar com segurança a carga a que vai estar sujeito? 0 valor da força F BC no tirante foi encontrado anteriormente e é igual a 50 kn. Recordando que o diâmetro do tirante é 20 mm: P + 50E3N σ = = = 159E6Pa= 159MPa A π ( ) / 2 m Dado que o valor obtido para σ é menor que o valor σ adm da tensão admissível do aço utilizado, conclui-se que o tirante BC pode suportar com segurança a carga a que vai ser submetido. Para ser completa, a análise desta estrutura deveria incluir, também: - a determinação da tensão de compressão na escora AB, - uma investigação das tensões desenvolvidas nas articulações, - determinar se as deformações induzidas pela solicitação são aceitáveis, - uma análise adicional, necessária para elementos sujeitos a compressão, envolvendo a estabilidade do membro, i. e., a sua capacidade para suportar uma dada carga sem que haja urna mudança súbita na sua configuração. Para além da análise de estruturas e máquinas existentes sujeitas a dadas condições de carregamento, é também importante o dimensionamento de novas estruturas e máquinas, ou seja, a selecção de componentes apropriados para desempenhar uma dada tarefa. Como exemplo de dimensionamento, considere-se novamente a estrutura anterior e admita-se que se pretende utilizar alumínio cuja tensão admissível é σ adm = 100 MPa. Dado que o esforço na barra BC é, ainda, P = F BC = 50 kn para o mesmo carregamento, tem-se: σ adm = P P 50E3N A 500E 6 m A = σ = 100E6Pa = adm 2 Mário Nuno Valente Setembro /9

6 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão A r = = 12.62E 3m= 12.62mm π Conclui-se que será adequado um tirante de alumínio com, pelo menos 26 mm de diâmetro. Esforço Axial; Tensão Normal Como já foi indicado anteriormente, o tirante BC do exemplo precedente é um elemento de treliça, logo a força F BC é dirigida segundo o eixo da barra. Diz-se então que a barra está sujeita a esforço axial. Voltando à barra BC, recorde-se que o plano de seccionamento através da barra para determinar o esforço axial no elemento e a tensão correspondente, é perpendicular ao eixo da barra. O esforço axial é portanto normal à secção transversal e a correspondente tensão é denominada por tensão normal. Então, a seguinte equação exprime a tensão normal num membro submetido a esforço axial: P σ = A Note-se que nesta equação, obtém-se σ dividindo o valor P (força resultante do esforço axial distribuído na secção transversal) pela área A. σ representa então o valor médio da tensão na secção transversal, e não a tensão num ponto específico da mesma. Para definir a tensão num dado ponto Q da secção Δ A. Δ F por Δ A obtém-se o transversal considere-se uma área elementar Dividindo o módulo de Δ A. Fazendo valor médio da tensão sobre tender para zero, obtém-se a tensão no ponto Q: ΔF σ = lim ΔA 0 ΔA Δ A De um modo geral, o valor obtido para a tensão σ no ponto Q é diferente do valor da tensão média dado pela equação σ = PA, e verifica-se que σ varia ao longo da secção transversal. Mário Nuno Valente Setembro /9

7 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão Na prática, assume-se que a distribuição de tensões normais em peças sujeitas a esforço axial é uniforme, excepto na vizinhança dos pontos de aplicação das cargas. O valor da tensão σ é então igual a σ médio. No entanto, chama-se a atenção para o facto de que quando é assumida uma distribuição uniforme de tensões na secção, i.e., quando é assumido que as forças internas estão uniformemente distribuídas sobre a secção transversal, resulta da estática elementar, que a resultante P das forças internas tem que ser aplicada no centróide C da secção. Isto significa que uma distribuição uniforme da tensão apenas é possível se a linha de acção das cargas concentradas P e P passar através do centróide da secção considerada. A este tipo de solicitação chama-se carregamento centrado e assume-se que ocorre em todas as barras de eixo recto existente em treliças, tal como a considerada. Princípio de Saint-Venant Se forem aplicadas cargas concentradas num modelo de borracha conforme ilustrado na figura, os elementos na vizinhança imediata dos pontos de aplicação das cargas estão submetidos a tensões muito elevadas, enquanto os outros elementos na proximidade da extremidades da barra praticamente não são afectados pelas cargas. Este efeito pode ser verificado observando-se que os maiores deslocamentos, e logo as maiores tensões e deformações ocorrem perto dos pontos de aplicação das cargas, enquanto que nos cantos não se observam deformações. No entanto, à medida que se consideram secções mais afastadas das extremidades nota-se uma progressiva igualização das deformações envolvidas, logo uma distribuição de deformações e tensões quase uniforme na secção transversal. Este fenómeno está ilustrado na figura seguinte, em que estão representadas as distribuições de tensões em várias secções transversais de um placa rectangular fina submetida a cargas concentradas, obtidas com métodos matemáticos baseados na teoria da elasticidade. Mário Nuno Valente Setembro /9

8 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão Verifica-se que a uma distância b de cada extremidade, sendo b a largura da placa, a distribuição de tensões é quase uniforme na secção, podendo admitir-se que o valor da tensão σ y em qualquer ponto dessa secção é igual a σ médio. Por outras palavras, à excepção da vizinhança imediata dos pontos de aplicação das cargas, pode admitir-se que a distribuição das tensões é independente do modo de aplicação das cargas. Esta afirmação é conhecida pelo princípio de Saint-Venant ( ). Tensão Tangencial As forças internas e as correspondentes tensões discutidas anteriormente eram normais à secção transversal considerada. Quando duas forças P e P são aplicadas perpendicularmente ao eixo de uma barra AB, surgem tensões de um tipo distinto Seccionando a barra AB no ponto C, entre os pontos de aplicação das cargas, obtém-se o diagrama da parte AC. Conclui-se que têm de existir forças internas no plano da secção e que a sua resultante é igual a P. Estas forças internas distribuídas são denominadas tensões tangenciais ou tensões de corte e o valor da sua resultante, P, é a força de corte na secção. Dividindo a forca de corte, P, pela área A da secção transversal, obtém-se a tensão tangencial média na secção. Indicando a tensão tangencial pela letra grega τ (tau), tem-se: P τ medio = A Note-se que o valor obtido é o valor médio da tensão tangencial ao longo da totalidade da secção. Ao contrário do que foi assumido anteriormente para a tensão normal, a distribuição de tensões tangenciais ao longo da secção não pode admitir-se como sendo constante. O valor real da tensão tangencial, τ, varia Mário Nuno Valente Setembro /9

9 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão entre zero nas superfícies da peça até ao valor máximo, τ max, sobre uma determinada linha situada no interior da secção transversal, podendo ser significativamente superior ao valor médio. Ligação entre duas chapas com um parafuso sujeito ao corte Tensão num plano inclinado sujeito a esforço axial Foi visto anteriormente que: - forças axiais aplicadas numa barra originam tensões normais, - forças transversais exercidas sobre parafusos e cavilhas provocam aparecimento de tensões tangenciais nas ligações. A razão apontada para a dependência entre as forças axiais e as tensões normais por um lado, e as forças transversais e as tensões tangenciais, por outro, consistiu no facto de as tensões terem sido determinadas apenas em planos perpendiculares ao eixo da barra ou da ligação. Como será discutido neste capítulo, forças axiais provocam tanto tensões normais como tensões tangenciais em planos que não são perpendiculares ao eixo da peça. De modo análogo, forças transversais exercidas sobre um parafuso ou rebite originam tanto tensões normais corno tensões tangenciais em planos que não sejam perpendiculares ao eixo do parafuso ou rebite. Mário Nuno Valente Setembro /9

10 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão Considere a barra da figura ao lado, sujeita à acção das forças axiais P e P. Seccionando a barra por um plano que faz um ângulo θ com o plano normal ao eixo da peça (figura a) e desenhando o respectivo diagrama de corpo livre da parte esquerda (figura b) conclui-se, através das equações de equilíbrio, que as forças distribuídas que actuam na secção têm de ser equivalentes à força P. Decompondo a força P nas componentes F e V, normal e tangencial à secção, respectivamente (figura c), pode escrever-se: F = Pcosθ V = Psenθ A força F representa a resultante das forcas normais distribuídas sobre a secção e a força V a resultante das forças tangenciais. Os valores médios das correspondentes tensões normais e tangenciais são obtidos pela divisão de F e V pela área A θ da secção, e observando na figura c que A = A cos 0 θ, obtém-se: θ F Pcosθ P 2 σ = = = cos θ A A θ 0 A0 cosθ V Psinθ P τ = = = sinθcosθ A A θ 0 A0 cosθ Pode observar-se através da primeira equação, que a máxima tensão normal, ocorre para θ = 0, i.e., quando o plano da secção transversal é perpendicular ao eixo da peca, e que tende para zero quando θ tende para 90. A segunda equação mostra que a tensão tangencial é nula quando θ = 0º e θ = 90º, e que atinge o seu valor máximo para θ = 45º. Constata-se que o mesmo carregamento pode produzir tanto tensões normais sem gerar qualquer tensão tangencial ou provocar tensão normal e tangencial com o mesmo valor absoluto, dependendo da orientação da faceta considerada. Mário Nuno Valente Setembro /9

11 Mecânica Aplicada 2 Conceito de Tensão Exercício Resolvido Duas peças de madeira com uma secção transversal rectangular uniforme de 90 x 140 mm são unidas através de uma emenda simplesmente colada, como é indicado. Sabendo que a máxima tensão tangencial admissível na cola é de 500 kpa, determine o valor da máxima carga axial, P, que pode ser aplicada em segurança. A = 90x140 mm θ = 20º Resolução - Da decomposição da força P em componentes normais e tangenciais ao plano da emenda, sabe-se que V = Psenθ ; - Observando a figura sabe-se que A = A cos 0 ; V - A tensão tangencial provocada pela força P é de τ =. θ θ A θ Psinθ P τ = = sinθcosθ 500kPa P 500E3 P 19.6E3 N A0 A0 sin 20º cos 20º cosθ Bibliografia Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T., Mecânica dos Materiais, 3ª edição, McGraw-Hill, Portugal Mário Nuno Valente Setembro /9

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13 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Teoria do Estado de Tensão Índice 1 Introdução 1 2 Conceito de Meio Contínuo 2 3 Forças 3 4 Princípio da Objectividade 4 5 Princípio de Euler e Cauchy 4 6 Tensão devida a um carregamento genérico. Componentes de Tensão 6 7 Tensões numa faceta arbitrariamente orientada. Equação de Cauchy 8 8 Tensões em reservatórios de parede fina Reservatórios cilíndricos de parede fina sob pressão Reservatórios esféricos de parede fina sob pressão 13 9 Estados planos particulares definidos em tensões principais 14 1 Introdução A Mecânica dos Meios Contínuos tem por objectivo geral estudar a forma como evoluem, sob a acção de forças ou de calor, os sólidos, os líquidos e os gases. No âmbito do programa da disciplina de Mecânica Aplicada 2, apenas nos concentraremos no estudo da Mecânica dos Sólidos sob acção de forças. Este estudo incidirá então no comportamento dos sólidos submetidos a acções exteriores, do que diga respeito a: - Estudo de Tensões: distribuição e transferência de forças no interior dos corpos - Estudo das Deformações: caracterizar e medir as deformações (ou deslocamentos relativos entre partes do mesmo corpo) Na Mecânica Aplicada 2, trataremos de materiais com propriedades ideais. Todos os métodos de análise e equações estabelecidas daqui em diante são válidos apenas para estes materiais. - Materiais deformáveis - Materiais contínuos - Materiais homogéneos - Materiais isotrópicos Mário Nuno Valente Setembro /16

14 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Material Isotrópico - Material com as mesmas características em todas as direcções ou, expresso de outra maneira, material com características simétricas em relação a um plano de orientação arbitrária. O aço e o betão constituem exemplos de materiais que podem ser considerados isotrópicos. Material monotrópico - Material com características simétricas relativamente a planos paralelos e a planos perpendiculares a um eixo, que constitui a direcção de monotropia do material. A madeira constitui um exemplo de material monotrópico, sendo a direcção de monotropia a direcção das fibras, pois apresenta propriedades simétricas relativamente a planos paralelos às fibras e a planos perpendiculares às mesmas. Outros exemplos são materiais constituídos por camadas alternadas de dois ou mais materiais desde que a sua espessura seja suficientemente pequena para que se possa considerar o material contínuo na direcção perpendicular às camadas. Material ortotrópico - Material com características simétricas relativamente a três planos ortogonais. Como por exemplo pode citar-se um material isotrópico reforçado por fibras dispostas ortogonalmente ou de maneira a terem-se três planos de simetria ortogonais. No âmbito desta cadeira, considerar-se-á ainda: - Comportamento linear material a relação entre forças e deslocamentos sofridos é constante - Comportamento linear geométrico as deformações dos corpos são lineares. 2 Conceito de Meio Contínuo Ao nível microscópico, a matéria é formada por partículas. Nas aplicações práticas, o engenheiro é confrontado com volumes de matéria cujas dimensões são muito superiores às das suas partículas constituintes. Diz-se que nos colocamos à escala macroscópica quando preferimos uma resposta global média em detrimento duma análise da estrutura particular da matéria. A matéria perde então o seu carácter descontínuo e admite-se uniformemente distribuída no domínio em estudo. Meio Contínuo - Material que não contem cavidades ou descontinuidades, isto é, enche completamente o espaço que ocupa sendo por outro lado as suas propriedades descritas através de funções contínuas. O conceito de meio contínuo deriva da matemática em que podemos dizer por exemplo que o corpo dos números reais é contínuo, ou seja, entre dois números reais distintos quaisquer existe sempre um número infinito de números reais. Podemos aqui generalizar o conceito para a matéria e suas partículas constituintes. Esta abstracção matemática é no entanto aplicável à mecânica dos sólidos se os fenómenos em estudo se passam a dimensões superiores à estrutura elementar (moléculas) da matéria, caso contrário tratar-se-á de um problema da física das partículas. Num meio contínuo, as forças, as tensões, as deformações e a energia são funções contínuas no domínio do corpo. Consideremos, por exemplo, um volume V de matéria de massa m, em volta de um ponto P de um corpo m Ω. Diminuamos V, se o limite ρ = lim for bem definido em todos os pontos P de Ω, a massa diz-se V 0 V distribuída continuamente em V. Mário Nuno Valente Setembro /16

15 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Figura 2-1 Pode-se definir da mesma forma outras quantidades tais como forças, tensões, deformações, energias, etc., que são também funções contínuas das coordenadas. A noção de meio contínuo conduz a teorias que fornecem resultados concordantes com as observações experimentais. Os corpos estudados devem ter dimensões largamente superiores às das suas partículas constituintes elementares. 3 Forças As forças interiores são forças que actuam entre as partes do corpo, por exemplo, esforços internos numa viga. Figura 3-1 Na mecânica dos meios contínuos, distinguem-se dois tipos de forças exteriores: - Forças de volume que actuam sobre os elementos de volume dv (ou de massa) de um corpo, tais como as forças gravíticas, electromagnéticas ou de inércia. Definem-se por unidade de volume. - Forças de superfície que são forças que actuam sobre a superfície A que limita o corpo, tais como a pressão da água ou a sucção do vento. Definem-se por unidade de área. É de notar que as forças concentradas são, em princípio, excluídas da mecânica dos meios contínuos, porque provocam singularidades no local de aplicação. No entanto, representam uma modelação prática de certos fenómenos, e por isso podem ser aceites se o seu efeito local for ignorado, mas devem ser ignoradas num estudo localizado (por exemplo no equilíbrio de um pequeno elemento). Mário Nuno Valente Setembro /16

16 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão 4 Princípio da Objectividade Ser objectivo, é ser invariante aquando de uma mudança de referencial, ser independente do sistema de eixos ou do observador. A massa, a energia e a lei de comportamento de um material devem ser objectivas. 5 Princípio de Euler e Cauchy Considere-se um corpo sólido sujeito à acção de forças em equilíbrio. Imagine-se esse corpo dividido em duas partes através do corte indicado na figura. Na superfície do corte que pertence à parte esquerda estão instalados esforços internos que traduzem a acção da parte direita sobre a parte esquerda. Da mesma maneira, e para que se verifique equilíbrio, actuam na superfície de corte pertencente à parte direita, forças que equilibram os referidos esforços. n % Figura 5-1 Na superfície de corte, designa-se por da um elemento de área, chamado faceta, e por n a sua normal % exterior unitária. A interacção entre a matéria da parte esquerda e a da parte direita manifesta-se pelo aparecimento de forças internas que se exercem através do conjunto das facetas da que compõem a superfície de corte. A natureza das forças internas, transmitidas através de uma superfície de corte por um fragmento do corpo sobre o outro é definida pelo seguinte conceito, aceite como um postulado: Princípio das tensões de Euler e Cauchy: em toda a secção de corte de um corpo existe um campo ( n) σ % de vectores tensão, semelhantes a forças de superfície, de modo a que a associação das forças r ( n) elementares df = σ da correspondentes a cada elemento de área da asseguram a % transmissão global das forças que uma parte do corpo exerce sobre a outra. A orientação da superfície infinitesimal (faceta) num sistema cartesiano de referência pode ser definida por um vector n, de comprimento unitário, perpendicular ao plano da faceta e com o sentido que aponta para % fora da parte considerada. Este vector designa-se por versor da faceta e fica completamente definido pelos cossenos directores dos ângulos que faz com os sentidos positivos dos eixos de referência, os cossenos directores da faceta, que são as componentes do vector n. % Mário Nuno Valente Setembro /16

17 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão ( n x) ( n y) ( n z) nx = cos, ny = cos, nz = cos, e como o vector tem comprimento unitário, tem-se n + n + n = x y z As componentes de ( n) σ % que contém da ), são chamadas tensão normal sobre n % (versor normal a da ), e sobre um plano que lhe é perpendicular (plano σ N e tensão tangencial τ. - Tensão normal σ N : componente do vector tensão na direcção da normal n r à superfície da faceta da. - Tensão tangencial τ : componente do vector tensão no plano da faceta da. n % da σ da τ da N σ % n da Figura 5-2 ( ) O vector tensão ( n) σ % varia de ponto para ponto: o conjunto dos vectores tensão caracteriza o estado de tensão ( da secção, do corpo...) e constitui um campo de tensões. Num determinado ponto o vector tensão varia igualmente com a orientação da faceta da, ou o que é equivalente, com a orientação de n %. Em consequência, o estado de tensão num ponto de um corpo sólido não pode ser definido unicamente através do vector tensão grandeza vectorial mas a um nível superior. ( n) σ %. O estado de tensão num ponto é uma Mário Nuno Valente Setembro /16

18 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão 6 Tensão devida a um carregamento genérico. Componentes de Tensão Considere-se um corpo sujeito a várias cargas P 1, P 2, etc. Para compreender o estado de tensão criado por estas cargas num ponto genérico Q localizado no interior do corpo, seccione-se este através de um plano paralelo ao plano yz e que inclua Q. A parte do corpo à esquerda da secção é sujeita a algumas das cargas originais e a esforços normal e transverso aplicados na secção. Figura 6-1 Denote-se por x Δ F e x Δ V as forças normal e Δ A na tangencial que actuam numa área elementar vizinhança do ponto Q. Note-se que o sobrescrito x é x x utilizado para indicar que as forças Δ F e Δ V actuam numa superfície perpendicular ao eixo x. Figura 6-2 Enquanto que a força normal x Δ F tem uma direcção perfeitamente definida, a força qualquer direcção no plano do seccionamento. Decomponha-se, então, e x Δ V z, nas direcções paralelas aos eixos y e z, respectivamente. x Δ V pode ter x Δ V nas duas componentes, x Δ V y Dividindo agora o módulo de cada força pela área componentes da tensão mostradas na figura anexa: Δ A e fazendo Δ A tender para zero, definem-se as três x ΔF σ x = lim ΔA 0 ΔA τ τ xy xz x ΔVy = lim ΔA 0 ΔA x ΔVz = lim ΔA 0 ΔA Note-se que o primeiro índice em σ x, τ xy e τ xz Figura 6-3 Mário Nuno Valente Setembro /16

19 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão indica que as tensões consideradas actuam numa superfície perpendicular ao eixo x. O segundo índice em τ xy e τ xz identifica a direcção da componente da tensão. A tensão σ x será positiva se a direcção em que actua coincidir com a direcção positiva do eixo x, isto é, se o corpo estiver traccionado, e negativa se estiver comprimido. Do mesmo modo, as componentes da tensão tangencial τ e τ xz serão positivas se a direcção em que actuam coincidir com as direcções positivas dos xy eixos y e z, respectivamente. A mesma análise pode ser feita tomando a parte do corpo localizada à direita do plano vertical que passa em Q. As mesmas magnitudes, mas com direcções opostas, são obtidas para as forças normal e transversais. Por conseguinte, são obtidos valores idênticos para as correspondentes componentes da tensão, mas, dado que a secção está agora voltada para o lado negativo do eixo x, o sinal positivo de σ x indicará que a direcção positiva é segundo a direcção oposta ao eixo x. De modo análogo, τ xy e τ xz serão positivas se a direcção em que actuam coincidir com as direcções negativas dos eixos y e z, respectivamente, como se mostra na figura ao lado. Figura 6-4 Passando uma secção paralela ao plano xz através do ponto Q, poder-se-ão definir de modo semelhante as componentes σ y, τ yz e τ yx. Finalmente ao seccionar o corpo com um plano paralelo a xy através do ponto Q resultarão as componentes da tensão σ z, τ zx e τ zy. Figura 6-5 A fim de facilitar a visualização do estado de tensão no ponto Q, considere-se o cubo elementar de lado a, com centro no ponto Q, solicitado pelas respectivas tensões em cada uma das seis faces do cubo. As Mário Nuno Valente Setembro /16

20 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão componentes da tensão indicadas na figura são σ x, σ y e σ z, que representam a tensão normal em faces perpendiculares aos eixos x, y e z, e as seis componentes da tensão tangencial τ xy, τ xz, τ yz, τ yx, τ zx e τ zy. Recorde-se que de acordo com a definição de componente da tensão tangencial, τ xy representa a componente segundo y da tensão tangencial exercida sobre a face perpendicular ao eixo x, enquanto representa a componente segundo x da tensão exercida sobre a face perpendicular ao eixo y. τ yx Note-se que apenas três faces do cubo são visíveis na figura e que nas três faces invisíveis actuam componentes da tensão iguais mas opostas. As tensões que actuam nas faces do cubo são ligeiramente diferentes das tensões que actuam no ponto Q, mas o erro envolvido é pequeno, anulando-se quando a dimensão do lado a do cubo tende para zero. 7 Tensões numa faceta arbitrariamente orientada. Equação de Cauchy Vimos anteriormente que para descrever o estado de tensão num ponto é necessário conhecer o vector tensão em três facetas paralelas aos planos coordenados que passem pelo ponto. Recapitulando, a descrição do estado de tensão num ponto faz-se através da identificação de nove componentes. Estas componentes podem ser guardadas numa matriz onde cada linha corresponde a um vector tensão numa faceta. σ σ σ σ ij σ [ ] [ 1 2 3] σ σ22 σ = = XX XX X X3 σ 31 σ32 σ 33 Os termos σ ij são as componentes dos três vectores tensão num ponto em três facetas ortogonais duas a duas. Esta matriz é designada por tensor das tensões e identifica o estado de tensão num ponto em estudo, descrito no referencial 0 XX 1 2X 3. Figura 7-1 σ ij - Tensão actuante na faceta perpendicular ao eixo i segundo a direcção j Mário Nuno Valente Setembro /16

21 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Mas como determinar, num ponto Q de um sólido, o vector tensão que actua sobre uma faceta de orientação qualquer relativamente aos eixos coordenados? x 3 Δ A 2 Δ A 1 Para o efeito consideremos um tetraedro infinitesimal, no qual três faces são paralelas aos planos coordenados e a quarta é inclinada relativamente a estes. Δ A 3 x 2 Seja n a normal exterior unitária à faceta oblíqua [ ABC ] de área % As suas componentes ( ; ; ) Δ A. n n n são co-senos directores. Assim, a x 1 Figura 7-2 área de uma faceta paralela a um plano coordenado pode ser obtida através da relação: i i Δ A =ΔA n sabendo que n cos ( n, x ) i =. i Com efeito, o ângulo formado entre dois planos é definido pelo ângulo entre os respectivos vectores normais. Utilizando o conceito de corpo livre aplicado ao corpo é sempre possível considerar apenas forças exteriores no equilíbrio de qualquer das suas partes, pois as forças interiores não alteram o estado de movimento ou de repouso do corpo. No estabelecimento das equações de equilíbrio do tetraedro infinitesimal não são consideradas as acções das forças de massa, porque são da ordem do volume e, portanto, desprezáveis face às forças de superfície. Além disso supomos que as dimensões do tetraedro são tão pequenas que o vector das tensões se pode considerar constante em todos os pontos da mesma face. Nestas condições, as densidades de força a considerar no equilíbrio são as representadas na figura: Forças superficiais. x 3 r σ ( n1 ) r σ ( n2 ) r ( n) σ x 2 x 1 r σ ( n3 ) Figura 7-3 Mário Nuno Valente Setembro /16

22 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão O equilíbrio obtém-se multiplicando as tensões em cada face pela respectiva área e constituindo a seguinte equação vectorial: r( n) r( n1) r( n2 ) r( n3 ) σ ΔA σ ΔA σ ΔA σ Δ A = r Atendendo a que: Δ A =ΔA n i i Substituindo na equação anterior: r( n) r( n1) r( n2 ) r( n3 ) σ ΔA σ ΔA n σ ΔA n σ ΔA n = r Donde resulta finalmente: r r r r = n n n ( n) ( n1) ( n2 ) ( n3 ) σ σ 1 σ 2 σ 3 ou ( n) σ = σ n % % ou (Fórmula de Cauchy) σ σ σ n = σ σ σ n ( n) σ σ21 σ22 σ23 n2 % A fórmula de Cauchy é uma relação vectorial pela qual se conclui que o vector das tensões relativo a uma direcção genérica se pode obter como uma combinação linear dos vectores das tensões relativas a três facetas que passem pelo ponto de normais paralelas aos eixos. Mais uma vez se conclui que a condição necessária e suficiente para definir completamente o estado de tensão num ponto qualquer é o conhecimento das nove componentes σ ij. 8 Tensões em reservatórios de parede fina Os reservatórios de parede fina sob pressão constituem uma importante aplicação da análise de estados planos de tensão. Atendendo que as paredes têm uma rigidez de flexão desprezável, pode assumir-se que as forças internas exercidas sobre um elemento da parede são tangentes à superfície do reservatório. Figura 8-1 A presente análise de tensões em reservatórios de parede fina sob pressão será limitada aos dois tipos de reservatórios mais frequentemente encontrados: reservatórios cilíndricos sob pressão e reservatórios esféricos sob pressão. Mário Nuno Valente Setembro /16

23 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão 8.1 Reservatórios cilíndricos de parede fina sob pressão Considere-se o reservatório cilíndrico de raio interior r e espessura da parede t contendo um fluido sob pressão. O objectivo da presente análise será a determinação das tensões exercidas num pequeno elemento da parede com lados paralelos e perpendiculares ao eixo do cilindro, respectivamente. Figura 8-2 Devido à axissimetria do reservatório e do seu conteúdo, é evidente que não se exerce qualquer tensão tangencial sobre o elemento. As tensões normais σ 1 e σ 2 mostradas na figura acima são por conseguinte as tensões principais. A tensão σ 1 é conhecida por tensão circunferencial, e a tensão σ 2 é denominada tensão longitudinal. A fim de determinar a tensão circunferencial σ 1, destaque-se uma parte do reservatório de parede fina e do seu conteúdo, delimitada pelo plano xy e por dois planos paralelos ao plano yz a uma distância Δ x entre si. As forças paralelas ao eixo z actuantes no diagrama de corpo livre definido desta forma consistem nas forças internas elementares σ1 Δ A nas secções da parede e nas forças de pressão elementares p Δ A exercidas na porção de fluido incluída no corpo livre. Note-se que p denota a pressão interna do fluido, isto é, o excesso da pressão no interior relativamente à pressão atmosférica exterior. Figura 8-3 A resultante das forças internas σ1 Δ A é igual ao produto de σ 1 pela área da secção transversal 2tΔ x da parede, enquanto que a resultante das forças de pressão pδ A é igual ao produto de p pela área 2rΔ x. Escrevendo a equação de equilíbrio F z = 0, tem-se F z = 0 : σ1 ( 2tΔx) p ( 2rΔ x) = 0 E resolvendo para a tensão circunferencial σ 1, σ = 1 pr t Mário Nuno Valente Setembro /16

24 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Para determinar a tensão longitudinal σ 2, seccione-se o cilindro perpendicularmente ao eixo x e considerese o diagrama de corpo livre da parte do reservatório de parede fina e do seu conteúdo localizada à esquerda da secção. Figura 8-4 As forças que actuam sobre o corpo livre consistem nas forças internas elementares σ 2 Δ A na parede e nas forças de pressão elementares pδ A exercidas na porção de fluido incluída no corpo livre. Notando-se 2 que a área da secção de fluido é π r e que a área de secção de parede pode ser obtida multiplicando o perímetro da circunferência do cilindro, 2π r, pela espessura da sua parede, t, escreve-se a equação de equilíbrio: 2 F x = 0 : σ2 ( 2πrt) p ( πr ) = 0 E resolvendo para a tensão longitudinal σ 2, pr σ 2 = 2t Conclui-se que a tensão circunferencial σ 1 é o dobro da tensão longitudinal σ 2, σ1 = 2σ 2. Figura 8-5 Desenhando a circunferência de Mohr que passa nos pontos A e B, os quais correspondem, respectivamente, às tensões principais σ 1 e σ 2 e sabendo que a máxima tensão tangencial no plano é igual ao raio desta circunferência, tem-se: 1 pr τmax ( no plano) = σ2 = 2 4t Esta tensão corresponde aos pontos D e E e é exercida sobre um elemento obtido através de uma rotação do elemento original igual a 45º contida no plano tangente à superfície do reservatório. Mário Nuno Valente Setembro /16

25 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão A máxima tensão tangencial na parede do reservatório é, no entanto, superior a esta. É igual ao raio do círculo OA e corresponde a uma rotação de 45º em torno de um eixo longitudinal e fora do plano da tensão. Tem-se: pr τmax = σ2 = 2t Deve ser observado que, enquanto a terceira tensão principal é nula na superfície exterior do reservatório, é igual a p na superfície interior, e é representada por um ponto C (-p,0) no diagrama do círculo de Mohr. Assim, junto à superfície interior do reservatório, a tensão tangencial máxima é igual ao raio do círculo CA, e tem-se: τ 1 ( ) 1 pr r t pr p p 1 t = σ + = + = t t r 2t r max 1 Para um reservatório de parede fina, no entanto, o termo t r é pequeno, e pode ser negligenciada a variação de τ max ao longo da espessura da secção de parede. Esta conclusão também se aplica a reservatórios esféricos sob pressão. 8.2 Reservatórios esféricos de parede fina sob pressão Figura 8-6 Considere-se agora um reservatório esférico de parede fina de raio interior r e parede de espessura t, contendo um fluido submetido a uma diferença de pressão interna p. Por razões de simetria, as tensões exercidas sobre as quatro faces de um pequeno elemento de parede têm de ser iguais. Por conseguinte: σ = σ 1 2 Para determinar o valor dessas tensões, seccione-se o reservatório através de um plano que passe através do seu centro C, e considere-se o diagrama de corpo livre que consiste na parte do reservatório e do seu conteúdo localizado à esquerda da secção. Figura 8-7 A equação de equilíbrio deste corpo livre é a mesma que a equação respeitante à figura 8-4. Conclui-se assim que para um reservatório esférico, pr σ1 = σ2 = 2t Mário Nuno Valente Setembro /16

26 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Atendendo a que as tensões principais σ 1 e σ 2 são iguais, a Figura 8-8 circunferência de Mohr para a transformação de tensões no plano tangente à superfície do reservatório reduz-se a um ponto; conclui-se que a tensão normal no plano é constante e que máxima tensão tangencial no plano é zero. A máxima tensão tangencial nas paredes do reservatório, no entanto, não é zero; é igual ao raio do círculo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45º fora do plano da tensão. Assim, τ 1 pr = σ = 2 4t max 1 9 Estados planos particulares definidos em tensões principais Se σ 1 e σ 2 são tensões de compressão, o círculo de Mohr situa-se inteiramente à esquerda do eixo dos τ, este caso é ideal para materiais que resistem mal à tracção (pedra, betão, etc.). Se σ 1 é uma tracção e σ 2 uma compressão, o círculo é atravessado pelo eixo dos τ, existem duas facetas para as quais σ = 0 (pontos E e F). Mário Nuno Valente Setembro /16

27 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Tem-se um estado de tracção pura se σ 1 > 0 e σ 2 = 0. Tem-se um estado de compressão pura se σ 2 < 0 e σ 1 = 0. Tem-se um estado de tensão esférico ou hidrostático se σ1 = σ2 = σ, o círculo reduz-se a um ponto, o seu centro e todas as suas facetas encontram-se submetidas a uma única tensão puramente normal σ. Mário Nuno Valente Setembro /16

28 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Finalmente, se as tensões principais são iguais e de sinais contrários σ1 = σ2 = σ, o círculo é centrado na origem dos eixos e trata-se de um estado de corte puro. Nas facetas inclinadas a 45º a partir das direcções principais (pontos E e F), as tensões normais são nulas e as tensões tangenciais valem τ = ± σ. Mário Nuno Valente Setembro /16

29 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Introdução à Mecânica dos Materiais Índice Comportamento reológico dos materiais...1 Relação Tensão-Deformação...2 Extensão longitudinal sob acção de carregamento axial...2 Materiais dúcteis...4 Materiais frágeis...5 Características de cedência de materiais dúcteis...5 Ensaios de compressão...6 Lei de Hooke...7 Comportamento elástico e comportamento plástico de um material...8 Tipos de avaria de materiais...9 Deformações elásticas...10 Deformações plásticas...10 Deformação por fluência...11 Rotura por Fadiga...11 Rotura de elementos fendilhados...12 Bibliografia...13 Comportamento reológico dos materiais Os materiais têm uma natureza discreta, pois são constituídos por átomos e moléculas, se se tratar de líquidos ou gases, ou, se se tratar de sólidos, também por fibras, cristais, grânulos, associação de diferentes materiais, etc.. As interacções físicas entre estes constituintes determinam o comportamento dos materiais. À Mecânica dos Materiais interessa fundamentalmente o comportamento reológico, isto é, a maneira como o material se deforma quando sujeito à acção de forças. A influência das referidas interacções no comportamento macroscópico do material é estudada por ciências como a Física do Estado Sólido e está em grande parte esclarecida, pelo menos qualitativamente. O esclarecimento quantitativo, depara porém com dificuldades até agora inultrapassadas, que se prendem com a complexidade dos fenómenos físicos envolvidos. Por este motivo, a quantificação do comportamento reológico dos materiais por via dedutiva, isto é, a partir do comportamento dos constituintes, só tem sido possível nos materiais compostos, que resultam da associação de dois ou mais materiais, como o betão armado, em que a reologia do compósito pode ser deduzida a partir do comportamento reológico dos materiais constituintes. Nos outros materiais o comportamento reológico é idealizado através de modelos físicos e matemáticos, que reproduzem os resultados obtidos por via experimental. É a chamada via fenomenológica. Mário Nuno Valente Setembro /13

30 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Relação Tensão-Deformação Um aspecto da análise e do dimensionamento de estruturas está relacionado com as deformações que as cargas aplicadas provocam na estrutura. Percebe-se facilmente que se devem evitar deformações de tal forma elevada que se torne impossível à estrutura cumprir os objectivos para que foi concebida. Mas a análise da deformação pode também ser útil na determinação das tensões. De facto, nem sempre é possível determinar os esforços nos elementos estruturais aplicando exclusivamente os princípios da estática. A estática baseia-se na hipótese de que as estruturas não se deformam, isto é, são rígidas. Considerando as estruturas deformáveis e analisando as deformaçóes nos seus elementos é possível calcular forças que são estaticamente indeterminadas. A distribuição de tensões num dado elemento também é estaticamente indeterminada, mesmo quando se conhecem as forças que sobre ele actuam. Para determinar a distribuição de tensões num elemento, tornase necessário analisar as deformações que nele ocorrem. Extensão longitudinal sob acção de carregamento axial Considere-se uma barra BC, de comprimento L e secção transversal uniforme de área A, suspensa na extremidade B. Ao aplicar-se uma carga P à extremidade C, a barra aumenta de comprimento. Representando graficamente a evolução da carga P com o alongamento δ, obtém-se um determinado diagrama carga-alongamento. Este diagrama apesar de conter informação útil para a análise da barra em consideração não pode ser usado directamente para obter o alongamento de uma barra do mesmo material mas de diferentes dimensões. De facto pode observar-se que, se a carga P der origem a um alongamento δ na barra BC, é necessário introduzir uma carga 2P para causar o mesmo alongamento numa barra B C, com o mesmo comprimento L, mas com área da secção transversal 2A. (note-se, no entanto, que nos dois casos o valor da tensão é o mesmo σ = PA). Mário Nuno Valente Setembro /13

31 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Por outro lado a uma barra B C, com a mesma área da secção transversal A mas com comprimento 2L, dá origem a um alongamento 2δ nessa barra. Estas observações conduzem à introdução do conceito de extensão: definese extensão longitudinal numa barra submetida a esforço normal como o alongamento por unidade de comprimento da barra. Denotando a extensão longitudinal por ε (letra grega epsilon) obtém-se: δ ε = L Representando graficamente a tensão σ = PA em função da extensão ε = δ L, obtém-se uma curva que é característica das propriedades do material e que não depende das dimensões do provete utilizado. Esta curva denomina-se diagrama tensão-deformação. Para obter o diagrama tensão-deformação, efectua-se habitualmente um ensaio de tracção num provete desse material. O provete é colocado numa máquina de ensaio onde se aplica uma carga centrada P. À medida que a carga P aumenta, o comprimento do provete também aumenta e o alongamento δ do provete é registado para vários valores de P. Para cada par de leituras P e δ, calcula-se a tensão σ dividindo P pela área inicial da secção transversal do provete, e a extensão longitudinal ε dividindo o alongamento δ pelo comprimento inicial do provete. Pode então obter-se o diagrama tensão-deformação representando ε em abcissas e σ em ordenadas. Os diagramas tensão-deformação de vários materiais apresentam diferenças consideráveis entre si, e diferentes ensaios de tracção efectuados com o mesmo material podem também dar origem a resultados diferentes, dependendo da temperatura do provete e da velocidade de carregamento. É possível, contudo, distinguir algumas características comuns entre os diagramas tensão-deformação de vários grupos de materiais, que se podem dividir em duas grandes categorias com base nessas características: os materiais dúcteis e os materiais frágeis. Esta máquina é utilizada para ensaiar provetes à tracção. Mário Nuno Valente Setembro /13

32 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Materiais dúcteis Os materiais dúcteis, nos quais se inclui o aço estrutural e outros metais, caracterizam-se por entrar em cedência a temperaturas ambientes. Quando o provete é submetido a uma carga crescente, o comprimento aumenta linearmente com a carga, a uma taxa reduzida. Em consequência, o troço inicial do diagrama tensão-deformação é constituído por uma linha recta com um declive elevado. No entanto, depois de se atingir um determinado valor da tensão, σ c, o provete sofre um grande aumento de deformação devido a um aumento relativamente pequeno da carga aplicada. Esta deformação é causada pelo escorregamento do material ao longo de superfícies inclinadas e deve-se, principalmente, a tensões de corte. 450 σ u Rotura 450 σ u Rotura 300 σ (Mpa) σ c 150 Endurecimento σ r 300 σ σ c (Mpa) 150 σ r Cedência Estricção (a) Aço com baixo teor de carbono (b) Liga de alumínio Como se pode verificar nos diagramas tensão-deformação de dois materiais dúcteis típicos, o alongamento do provete após ter entrado em cedência poder ser 200 vezes superior ao alongamento obtido antes de se atingir a cedência. Depois de se ter atingido um valor máximo de carga, o diâmetro de uma parte do provete começa a diminuir, devido a um fenómeno de instabilidade local. Este estrangulamento da secção transversal denomina-se estricção. Após o início deste estrangulamento são necessárias cargas menores para se dar o aumento do alongamento do provete, até que este finalmente rompe. Verifica-se que a rotura ocorre ao longo de uma superfície em forma de cone que faz aproximadamente um ângulo de 45º com a superfície original do provete. Mário Nuno Valente Setembro /13

33 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Este facto permite concluir que a rotura de materiais dúcteis se dá por corte, e que, sob a acção do esforço normal, as tensões de corte máximas actuam em superfícies que fazem um ângulo de 45º com a direcção da carga. σ - tensão de cedência ( σ - yield strength) tensão correspondente ao início da cedência c σ u - tensão última tensão máxima aplicada no provete σ r - tensão de rotura c Materiais frágeis Os materiais frágeis, nos quais se inclui o ferro fundido, o vidro e a pedra, caracterizam-se pelo facto da rotura ocorrer sem se observar nenhuma modificação prévia assinalável na variação do alongamento. Em consequência, para materiais frágeis, não existe diferença entre tensão última e a tensão de rotura. σ = σ u r Rotura Também se verifica que a deformação obtida na rotura é muito menor em materiais frágeis do que em materiais dúcteis. Na figura pode constatar-se a ausência de qualquer estrangulamento do provete no caso de um material frágil e observa-se que a rotura se dá segundo uma superfície perpendicular à direcção da carga. Desta observação conclui-se que a rotura de materiais frágeis é provocada por tensões normais. Características de cedência de materiais dúcteis Da observação dos diagramas tensão-deformação dos dois materiais apresentados, pode concluir-se que o aço estrutural e o alumínio, embora ambos sejam materiais dúcteis, exibem características de cedência diferentes. Fractura típica de um aço dúctil Mário Nuno Valente Setembro /13

34 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais No caso do aço estrutural, obtém-se um patamar de cedência em que a tensão se mantém constante para um grande intervalo de valores da extensão depois do início da cedência. A seguir, tem de se aumentar a tensão para poder continuar a deformar o provete, até se atingir o valor máximo de tensão σ u. Este facto resulta de uma propriedade do material denominada endurecimento. No caso do alumínio, e em muitos outros materiais dúcteis, a curva tensão-deformação não apresenta um patamar de cedência. Em vez disso, a tensão continua a aumentar embora não linearmente até se atingir a tensão última. Verifica-se então o início da estricção que acaba por conduzir à rotura. Para estes materiais admite-se que a tensão de cedência σ c é igual à tensão limite convencional de proporcionalidade a n%, que se define como a tensão que provoca uma extensão residual de n%. σ c Rotura Ensaios de compressão Até este momento só foram analisados ensaios de tracção. Se um provete constituído por um material dúctil for submetido a compressão, a curva tensão-deformação obtida é essencialmente a mesma que se obtém para a tracção, desde a parte inicial rectilínea até ao patamar de cedência e ao início da zona de endurecimento. Verifica-se igualmente que para um determinado aço a tensão de cedência à tracção e à compressão é a mesma. Para valores superiores da extensão, as curvas tensão-deformação à tracção e à compressão divergem, com a particularidade de não ocorrer a estricção no ensaio de compressão. Para a maioria dos materiais frágeis, obtém-se uma tensão de rotura à compressão muito superior à tensão de rotura à tracção. Este facto deve-se à presença de defeitos, tais como microfissuras ou cavidades, que tendem a enfraquecer o material quando traccionado, embora não afectem significativamente a sua resistência à compressão. O betão, cujo diagrama tensão-defomação se representa na figura ao lado, é um exemplo de um material frágil que exibe propriedades diferentes quando é submetido a tracção e a compressão. Note-se que o módulo de elasticidade, que é representado pela tangente da curva tensão-deformação na sua parte linear, é o mesmo para a tracção e para a compressão. Este resultado confirma-se para a maioria dos materiais frágeis. Mário Nuno Valente Setembro /13

35 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Lei de Hooke A maioria das estruturas de engenharia é dimensionada para suportar deformações relativamente pequenas, envolvendo unicamente a parte linear do diagrama tensão-deformação correspondente. Para essa parte inicial do diagrama, a tensão é directamente proporcional à extensão e pode escrever-se σ = Eε. Esta relação é conhecida como lei de Hooke, em memória do matemático inglês Robert Hooke ( ). O coeficiente E é denominado módulo de elasticidade do material ou também módulo de Young, em memória do cientista inglês Thomas Young ( ). His name is somewhat obscure today, due in part to the enmity of his famous, influential, and extremely vindictive colleague, Sir Isaac Newton. Yet Hooke was perhaps the single greatest experimental scientist of the seventeenth century. His interests knew no bounds, ranging from physics and astronomy, to chemistry, biology, Robert Hooke and geology, to architecture and naval ( ) technology. Among other accomplishments, he invented the universal joint, the iris diaphragm, and an early prototype of the respirator; invented the anchor escapement and the balance spring, which made more accurate clocks possible; served as Chief Surveyor and helped rebuild London after the Great Fire of 1666; worked out the correct theory of combustion; devised an equation describing elasticity that is still used today ("Hooke's Law"); assisted Robert Boyle in studying the physics of gases; invented or improved meteorological instruments such as the barometer, anemometer, and hygrometer; and so on. He was the type of scientist that was able to contribute findings of major importance in any field of science. It is not surprising that he made important contributions to biology and to paleontology. Thomas Young was an English physician and physicist, with a brilliant mind and eclectic interests. By the age of fourteen it is said that he was acquainted with Latin, Greek, French, Italian, Hebrew, Arabic and Persian. He studied medicine in London, Thomas Young Edinburgh, and Göttingen and set ( ) up medical practice in London. He was the first to realize that the eye focusses by changing the shape of the lens. He discovered the cause of astigmatism, and was the initiator, with Helmoltz, of the three colour theory of perception, believing that the eye constructed its sense of colour using only three receptors, for red, green and blue. In 1801 he was appointed Professor of Physics at Cambridge university. His famous double-slit experiment established that light was a wave motion. He became very interested in Egyptology, and his studies of the Rosetta stone, discovered on one of Napoleon's expeditions in 1814, contributed greatly to the subsequent deciphering of the ancient Egyptian hieroglyphic writing. He did work in surface tension, elasticity (Young's modulus, a measure of the rigidity of materials, is named after him), and gave one of the earliest scientific definitions of energy. Dado que a extensão é uma quantidade adimensional, o módulo E é expresso nas mesmas unidades que a tensão. O maior valor da tensão para o qual a lei de Hooke se pode aplicar num dado material denomina-se tensão limite de proporcionalidade desse material. No caso de materiais dúcteis que possuem um ponto de cedência bem definido, a tensão limite de proporcionalidade coincide com a tensão de cedência. Para outros materiais, a tensão limite de proporcionalidade não pode ser definida tão facilmente, dado que é difícil determinar com precisão o valor da tensão relativamente ao qual a relação σ ε deixa de ser linear. Mário Nuno Valente Setembro /13

36 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais No entanto, desta mesma dificuldade conclui-se que, para esses materiais, a utilização da lei de Hooke para valores da tensão ligeiramente mais elevados que a verdadeira tensão limite de proporcionalidade não dá origem a erros significativos. Comportamento elástico e comportamento plástico de um material Diz-se que um material se comporta elasticamente se as deformações, provocadas num provete por uma dada carga, desaparecerem após a carga ser removida. O maior valor da tensão para a qual o material se comporta elasticamente denomina-se tensão limite de elasticidade do material. Se o material tiver um ponto de cedência bem definido: Tensão limite de elasticidade Tensão limite de proporcionalidade Tensão de cedência Por outras palavras, o material comporta-se linear e elasticamente desde que a tensão se mantenha inferior à tensão de cedência (AB). Contudo, se este valor da tensão (B) for atingido, dá-se início à cedência e quando a carga é removida, a tensão e a extensão diminuem linearmente ao longo de uma linha CD paralela à parte linear AB do diagrama tensão-deformação. O facto de ε não voltar a zero após a carga ter sido removida indica que o provete fica submetido a uma deformação plástica permanente. Para a maioria dos materiais, a deformação plástica não depende apenas do valor máximo atingido pela tensão, mas também do intervalo de tempo decorrido antes de se remover a carga. A parcela da deformação plástica dependente da tensão denomina-se escoamento e parcela dependente do tempo que também é influenciada pela temperatura denomina-se fluência. Alguns resultados obtidos na análise de estruturas têm por base a hipótese de uma relação tensãodeformação linear. Por outras palavras, admite-se que a tensão limite de proporcionalidade nunca é excedida. Esta hipótese é aceitável no caso de materiais frágeis, que rompem sem plastificar. Contudo, no caso de materiais dúcteis, esta hipótese implica que a tensão de cedência do material não é excedida. As deformações permanecem no domínio elástico e o elementro estrutural recupera a sua forma original após a remoção das cargas. Mário Nuno Valente Setembro /13

37 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Se as tensões em qualquer ponto do elemento excederem a tensão de cedência do material, ocorrem deformações plásticas. É possível modelar este comportamento plástico considerando um material elastoplásticco ideal para o qual o diagrama tensãodeformação consiste em dois segmentos de recta representados. σ c Note-se que o diagrama de tensão-deformação do aço macio nos domínios elástico e plástico é semelhante a esta idealização. Apesar de nenhum material exibir um comportamento exactamente igual ao representado na figura, este diagrama torna-se útil para analisar as deformações plásticas de materiais dúcteis, tais como o aço macio. Tipos de avaria de materiais Os projectistas de máquinas, veículos e estruturas devem conseguir níveis aceitáveis de performance e economia, guarantindo ao mesmo tempo que o objecto projectado seja seguro e durável. Para assegurar performance, segurança e durabilidade, é necessário evitar deformações em excesso, isto é, evitar que os componentes da máquina, veículo ou estrutura sejam flectidos, torcidos ou esticados. Para além disso, a abertura de fissuras nos componentes deve ser total ou rigorosamente limitada, de forma a não evoluir ao ponto da fractura completa. Os tipos básicos de avaria de materiais são classificados como deformação ou fractura: Dependente da duração de aplicação da carga: - Elástica - Plástica Carregamento Estático: - Frágil - Dúctil - Ambiental - Fluência Deformação Fractura Independente da duração de aplicação da carga: - Fluência Fadiga: Carregamento cíclico: - alta frequência - baixa frequência - crescimento de fissuras de fadiga - fadiga de corrosão Mário Nuno Valente Setembro /13

38 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Os átomos e moléculas dos sólidos ligam-se uns aos outros através de três tipos de ligações químicas primárias: ligações iónicas, covalentes e metálicas. As ligações covalentes são fortes e direccionais e por isso resistem à deformação, isto contribui para a grande resistência e fragilidade dos materiais cerâmicos e dos vidros. As ligações metálicas nos metais não tem essa direccionalidade e por isso deformam-se mais facilmente. Os polímeros são compostos por cadeias de moléculas de carbono formadas por ligações covalentes, contudo podem deformar-se facilmente por deslizamento relativo das cadeias moleculares (quando este deslizamento só é impedido por ligações secundárias). Deformações elásticas Deformações que aparecem rapidamente durante o carregamento podem ser classificadas como elásticas ou plásticas. A deformação elástica é recuperada imediatamente após o descarregamento. Quando é a única deformação presente, a relação entre a tensão e a extensão é normalmente proporcional. Um exemplo de avaria por deformação elástica é um edifício alto que oscila com o vento provocando desconforto para os seus ocupantes embora o colapso da estrutura não seja de todo iminente. Este tipo de deformação está associado com o alongamento (sem rotura) das ligações químicas entre os átomos de um sólido. Se for aplicada uma tensão externa a um material, a distância entre os seus átomos varia de uma pequena quantidade em função do material e da sua estrutura molecular. Estas variações de distância quando acumuladas numa amostra de material de dimensões macroscópicas, são chamadas deformações elásticas. Deformações plásticas As deformações plásticas não são recuperadas após descarregamento e são por isso permanentes. Quando a deformação plástica tem início, um pequeno aumento de tensão provoca um aumento relativamente grande de deformação. Este processo chama-se cedência. Materiais capazes de suportar grandes deformações plásticas comportam-se de forma dúctil, e aqueles que fracturam com pouca deformação plástica comportam-se de forma frágil. O resultado da deformação plástica (cedência) a nível da estrutura do material é que os átomos mudam de local, voltando a uma estrutura estável após o descarregamento onde o átomo vizinho é novo. De notar que este processo é fundamentalmente diferente da deformação elástica onde a posição relativa dos átomos não é alterada, tratando-se só de um alongamento das ligações químicas. Mário Nuno Valente Setembro /13

39 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais A deformação elástica é um processo essencialmente independente da deformação plástica, assim quando uma tensão que causa cedência é retirada, a extensão elástica é recuperada tal como se não tivesse havido cedência, mas a extensão plástica é permanente. Deformação por fluência Para além dos dois tipos de deformação instantânea já discutidos, os materiais deformam-se com comportamentos dependentes do tempo de aplicação das cargas, chamados fluência. Sob tensão constante, a deformação varia com o tempo. Existe uma deformação elástica inicial que aumenta lentamente enquanto a tensão for mantida. Se a tensão for retirada, a deformação elástica é recuperada rapidamente, uma parcela da deformação de fluência pode vir a ser recuperada com o tempo, mas a parcela restante será permanente. As deformações por fluência assumem grande importância a temperaturas próximas da fusão do material. Os mecanismos físicos que a influenciam variam com o material e a temperatura. Rotura por Fadiga A fadiga é a rotura por carregamentos cíclicos. Em geral, uma ou mais micro-fissuras aparecem no material e crescem até ocorrer a rotura. Um exemplo simples é a rotura de um arame ao ser dobrado repetidas vezes em sentidos opostos. A rotura por fadiga é frágil, mesmo em materiais que se comportam habitualmente como dúcteis. A fadiga deve ser considerada no dimensionamento de elementos estruturais e de máquinas submetidos a cargas repetidas ou flutuantes. O número de ciclos de carregamento que pode ocorrer durante a vida útil de um componente varia imenso. Por exempo: - uma viga que suporta uma grua industrial pode ser carregada dois milhões de vezes em 25 anos (cerca de 300 carregamentos por dia de trabalho), - o veio do motor de um automóvel é solicitado cerca de 500 milhões de vezes após ter percorrido quilómetros e - uma lâmina de uma turbina pode ser solicitada várias centenas de milhar de milhão de vezes durante a sua vida útil. Alguns carregamentos são do tipo flutuante. Por exemplo, a passagem de tráfego numa ponte dá origem a níveis de tensão que oscilam em torno de do nível de tensão resultante do peso da ponte. Uma condição mais severa ocorre quando se verifica uma inversão total do sentido da carga durante o ciclo de carregamento. Por exempo, as tensões num eixo de uma carruagem de caminho de ferro são completamente invertidas após cada meia rotação da roda. Mário Nuno Valente Setembro /13

40 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais σ n típica para o Na figura está representada uma curva aço. Observe-se que, se a tensão máxima aplicada for elevada, é suficiente um número relativamente pequeno de ciclos para provocar a rotura. À medida que o valor da tensão máxima diminui, o número de ciclos necessário para causar a rotura aumenta, até se atingir um valor denominado tensão limite de fadiga. Esta é a tensão para a qual não se verifica a rotura, mesmo que se considere um número indefinidamente grande de ciclos de carregamento. Para um aço com baixo teor de carbono, como o aço estrutural, a tensão limite de fadiga corresponde a cerca de metade da correspondente tensão de rotura. Rotura de elementos fendilhados A presença de uma fissura num componente de uma máquina, veículo ou estrutura pode enfraquecê-la ao ponto de provocar a rotura por fracturação em dois ou mais pedaços. Isto pode ocorrer a tensões inferiores às de cedência, onde a rotura não é normalmente atingida. Para além das fissuras, outro tipo de defeitos podem rapidamente transformar-se em fissuras, e devem ser tratados como se destas se tratassem. Exemplos como arranhões profundos, vazios em soldas, inclusões de substâncias externas em materiais fundidos e forjados e delaminações em materiais constituídos por camadas. O estudo e utilização da Mecânica da Fractura é de grande importância dada Fractura catastrófica de um depósito de combústivel de foguetão. O invólucro fissurou numa imperfeição na soldadura durante um teste a elevada frequência com que as de pressão hidrostático. A ruína ocorreu a cerca de 57% da tensão de fissuras ocorrem, por exemplo, teste pretendida. As setas indicam a origem da fissura. inspecção periódica de aviões comerciais é frequente a detecção de várias fissuras que devem ser reparadas. Falhas deste tipo são também comuns em navios, pontes, tubagens e veículos. Mário Nuno Valente Setembro /13

41 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais A construção da barragem de Malpasset (60 m de altura, rio Reyran, França) terminou em Foram vistas fissuras Em projecto, os materiais e os pormenores de projecto podem ser escolhidos de forma a ser na base da barragem do lado jusante, relativamente tolerantes à mas estas não foram investigadas. presença de fissuras, e o Semanas depois, a 2/12/1959 ocorreu o dimensionamento pode incluir desastre, matando cerca de 500 redundância de forma a que a pessoas. Pouco restou da barragem, a fractura de um um componente ruína foi repentina. Se se tivessem investigado as fissuras, poder-se-ia ter evitado o desastre? Esta não cause a rotura de toda a estrutura. foi a principal lição retirada deste Por exemplo em reservatórios de Ruínas do encontro direito acidente. parede fina (tubagens sob pressão, reservatórios de água, caldeiras) que apresentem fissuras, existem duas possibilidades: - a fissura pode crescer gradualmente transformando-se numa fenda que atravessa a parede provocando fugas antes da rotura; - a rotura frágil ocorre antes do reservatório apresentar fugas. Como a rotura frágil num reservatório de parede fina pode envolver a libertação explosiva do seu conteúdo, uma fuga é de longe o cenário mais desejável. Note-se que uma fuga é facilmente detectada por uma perda de pressão ou pela presença do conteúdo do reservatório num local indevido. Por isto, os reservatórios de parede fina devem ser dimensionados de forma a apresentar fugas antes de fracturar. Bibliografia Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T., Mecânica dos Materiais, 3ª edição, McGraw-Hill, Portugal Dias da Silva, V., Mecânica e resistência dos materiais, Ediliber, Coimbra, Portugal Dowling, Norman E., Mechanical behavior of materials: engineering methods for deformation, fracture and fatigue, 2 nd edition, Prentice-Hall, NJ, USA Wulpi, Donald J., Understanding how components fail, American Society for Metals, USA Mário Nuno Valente Setembro /13

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43 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Tensões em reservatórios de parede fina Pode assumir-se que as forças internas exercidas sobre um elemento da parede são tangentes à superfície do reservatório. 1.1 Reservatórios cilíndricos de parede fina sob pressão Considere-se o reservatório cilíndrico de raio interior r e espessura da parede t contendo um fluido sob pressão. A tensão σ 1 é conhecida por tensão circunferencial, e a tensão σ 2 é denominada tensão longitudinal. Mário Nuno Valente Outubro /4

44 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão F z = 0 F x = 0 Mário Nuno Valente Outubro /4

45 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão 1.2 Reservatórios esféricos de parede fina sob pressão Considere-se agora um reservatório esférico de parede fina de raio interior r e parede de espessura t, contendo um fluido submetido a uma diferença de pressão interna p. Por razões de simetria, as tensões exercidas sobre as quatro faces de um pequeno elemento de parede têm de ser iguais. σ = σ 1 2 Mário Nuno Valente Outubro /4

46 Mecânica Aplicada 2 Teoria do Estado de Tensão Exercício Uma conduta de aço tem 900 mm de diâmetro exterior e liga a albufeira em A à turbina hidráulica em B. Sabendo que o peso específico da água é 9800 N/m 3, determine a tensão normal máxima e a tensão tangencial máxima na conduta em condições estáticas. Exercício O tanque de ar comprimido indicado é fabricado a partir de uma chapa de 6 mm de espessura e soldada ao longo de uma hélice que forma um ângulo β = 30º com a horizontal. Sabendo que a tensão normal admissível no cordão de soldadura é 75 MPa, determine a máxima pressão interna a que o tanque pode ser submetido. Mário Nuno Valente Outubro /4

47 Mecânica Aplicada 2 Tensões Principais numa Viga Encastrada Tensões Principais numa Viga Encastrada Mário Nuno Valente Outubro /2

48 Mecânica Aplicada 2 Tensões Principais numa Viga Encastrada As curvas representadas por linhas a cheio definem a direcção das tensões máximas de tracção em cada ponto, e as curvas representadas por linhas a tracejado definem a direcção das tensões máximas de compressão em cada ponto. Estas curvas designam-se trajectórias de tensão ou isostáticas. Um material frágil, tal como o betão, atinge a rotura por tracção ao longo de planos que são perpendiculares às isostáticas de tracção. Por este motivo, os varões de aço de reforço, para serem efectivos, deverão ser dispostos de forma a intersectarem estes planos. Mário Nuno Valente Outubro /2

49 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Extensão longitudinal sob acção de carregamento axial ε = δ L σ = P A σ = E ε Mário Nuno Valente Setembro /5

50 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Materiais dúcteis 450 σ u Rotura σ (Mpa) 300 σ c σ r 150 Endurecimento Cedência Estricção (a) Aço com baixo teor de carbono 450 σ u Rotura 300 σ σ c (Mpa) σ r 150 (b) Liga de alumínio σ c - tensão de cedência ( σ c - yield strength) tensão correspondente ao início da cedência σ u - tensão última tensão máxima aplicada no provete σ r - tensão de rotura Mário Nuno Valente Setembro /5

51 ESTIG Mecânica Aplicada 2 Introdução à Mecânica dos Materiais Materiais frágeis σ = σ u r Rotura Mário Nuno Valente Setembro /5