Métodos Numéricos para a Engenharia I. Cynthia de O. Lage Ferreira ICMC-USP

Transcrição

1 Métodos Numéricos para a Engenharia I Cynthia de O. Lage Ferreira ICMC-USP cynthia@icmc.usp.br

2 Informações sobre o Curso Site do curso mecanica.html Horário das aulas 2a-feira 9h20 às 11h50, sala C2 Atendimento Agendamento via (cynthia@icmc.usp.br), sala Estagiária PAE Franciane Fracalossi Rocha - horário a definir

3 Objetivos da Disciplina Apresentar diversos métodos matemáticos para a resolução de problemas matemáticos, destacando ü a diferença em relação às soluções analíticas ü as situações em que eles devem ser aplicados ü suas vantagens e limitações Melhorar a intimidade do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático Apresentar ao aluno maneiras práticas de desenvolver e utilizar métodos numéricos na calculadora e no computador Desenvolver a capacidade do aluno de aprender outros métodos numéricos por conta própria

4 Ementa Introdução aos Algoritmos noções básicas de ponto flutuante programação em MATLAB /OCTAVE Solução de Sistemas Lineares: Métodos Diretos decomposição LU, eliminação de Gauss e Cholesky Solução de Sistemas Lineares: Métodos Iterativos métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e gradiente Autovalores e Autovetores decomposição QR, método das potências, Jacobi, Francis Solução de Equações e Sistemas Não Lineares métodos da bissecção, secante, iterativo linear e Newton

5 Avaliação e Média Final 2 provas P1: 08/05 P2: 19/06 Prova SUB: 26/06 (solicitação via recuperação do aprendizado) REC: 11/07 Média Final MF = (P1+P2)/2

6 Considerações Importantes Atrasos de no máximo 10 minutos Fiquem atentos ao número de faltas Proibido o uso de celular durante as aulas e nas provas Trazer calculadora para as provas, exceto calculadoras do tipo HP-48G ou semalhantes

7 Organização do Estudo Cronograma das aulas Aula Data Tópicos 1 06/03 Apresentação do curso/introdução ao MATLAB 2 13/03 Revisão álgebra linear/noções básicas de ponto flutuante 3 20/03 Decomposição LU 4 27/03 Decomposição de Cholesky 5 03/04 Eliminação de Gauss/ Cálculo da matriz inversa 6 17/04 Método de Jacobi/Método de Gauss-Seidel 7 24/04 Método do gradiente 8 08/05 P1 9 15/05 Decomposição QR/ Método de Francis 10 22/05 Método das potências 11 29/05 Método da bissecção/método do ponto fixo 12 05/06 Método de Newton 13 12/06 Método iterativo linear/método Newton para sistemas 14 19/06 P /06 SUB

8 Organização do Estudo Estudo em casa ü Listas de exercícios ü Implementação dos métodos no computador. IMPORTANTE! ü Leitura de bibliografia complementar

9 Motivação Google Pagerank (Brin & Page 1998) ü É um algoritmo utilizado pela ferramenta de busca do Google para posicionar os sites entre os resultados das buscas ü Ele mede a importância de um site contabilizando a quantidade e qualidade dos links apontando pra ele

10 Exemplo

11 Tornando a matriz A estocástica

12 Resolvendo o problema dos "becos sem saída"

13 Evitando ciclos no grafo

14 Método das Potências Dada uma distribuição inicial p (0), A (k) p (0) à v O vetor v é chamado vetor estacionário de A

15 Outras Aplicações Nas ciências aplicadas, precisamos frequentemente resolver sistemas da forma Ax=b Como resolver este sistema linear?

16 Exemplo Considere uma placa sujeita a diferentes temperaturas x 1 x 2 x 3 x Qual a temperatura no interior da placa depois de atingida a distribuição de equilíbrio?

17 Contexto Histórico A análise numérica se tornou uma disciplina matemática independente apenas no século 20. Até o século 19 não havia distinção entre matemática e ciências naturais, incluindo filosofia, física, química, astronomia etc. Em 1687, Isaac Newton ( ), propôs o problema abaixo na sua obra Mathematical Principles of Natural Philosophy Dado quaisquer número de pontos, encontrar uma linha curva (polinômio) que passe por tais pontos. Este problema, depois de solucionado, foi utilizado por Newton para estudar a localização dos cometas.

18 Contexto Histórico (continuação) Na segunda metade do século 19, métodos numéricos foram desenvolvidos para resolver problemas de astronimia, físca e engenharia. A análise numérica moderna começa em torno de 1940 devido à participação de matemáticos, principalmete americanos, alemães e russos na segunda guerra mundial e devido ao desenvolvimento dos primeiros computadores.

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20 Métodos Diretos X Métodos Iterativos Considere a equação 3x = 28 Iterativo f (x) = 3x 3 24 a = 0, b = 3, c =1.5 f (a) = 24, f (b) = 57, f (c) = a =1.5, b = 3, c = 2.25 f (c) = a =1.5, b = 2.25, c =1.875 f (c) = Direto 3x = 28 3x 3 = 24 x 3 = 8 x = 2 a =1.875, b = 2.25,c = f (c) =

21 Referências BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D., Análise Numérica, Cengage Learning, QUARTERONI, A.; SALERI, F., Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, CHAPMAN, S. J., Programação em MATLAB para Engenheiros, Cengage Learning, Sites Interessantes A história da Análise Numérica e do Cálculo Científico ( MATLAB ( OCTAVE ( Numerical Computing with MATLAB by Cleve Moler (