SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DO RS - SBEM - RS EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA RS. Ano n.10 - v.2

Transcrição

1 SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DO RS - SBEM - RS EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA RS Ano n.10 - v.2

2 SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DO RS SBEM-RS ISSN DIRETORIA SBEM RS Diretora Claudia Lisete Groenwald 1ª Secretária Cátia Maria Nehring 2º Secretário Maurício Rosa 1ª Tesoureira Tânia Elisa Seibert 2ª Tesoureira Carmen Mathias CONSELHO FISCAL Maria Cristina Kessler Tânia Michel Pereira Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes SUPLENTES Ednei Luis Becher Roberto Luis Tavares Bittencourt Luciana Muller Somavilla Sonia Beatriz Teles Drews Márcia Jussara Hepp Rehfeldt CONSELHO EDITORIAL Dr. José Carlos Pinto Leivas Dr. Maurício Rosa edição on-line CONSELHO CONSULTIVO Dr. Airton Carrião Machado Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Dra. Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) Dra. Arlete de Jesus Brito UNESP Rio Claro Dr. Arthur B. Powel Rutgers University USA Dra. Carmen Teresa Kaiber Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) Dra. Cátia Maria Nehring Universidade Regional do Noroeste do Estado do RS (UNIJUÍ) Dra. Claudia Lisete Oliveira Groenwald Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) Dra. Eleni Bisognin Universidade Franciscana (UNIFRA) Dra. Eliana Maria do Sacramento Soares Universidade de Caxias do Sul (UCS) Dr. Idemar Vizolli Universidade Federal do Tocantins (UFT) Dra. Irene Mauricio Cazorla Universidade Federal da Bahia (UFBA) Dra. Helena Noronha Cury Universidade Franciscana (UNIFRA) Dr. José Carlos Pinto Leivas Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) Dra. Maria Cecília Bueno Fischer Universidade do Vale do Rio dos Sinos (UNISINOS) Dra. Maria Cristina da Cunha Santos Loureiro Escola Superior de Educação de Lisboa Portugal Dra. Maria Cristina Kessler Universidade do Vale do Rio dos Sinos (UNISINOS) Dra. Maria Tereza Carneiro Soares Universidade Federal do Paraná (UFPR) Dra. Marilena Bittar Universidade Federal do Mato Grosso do Sul (UFMS) Dr. Maurício Rosa Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) Dra. Neiva Ignes Grando Universidade de Passo Fundo (UPF) Dra. Nilce Scheffer Universidade Regional do Noroeste do Estado do RS (URI) Dr. Pedro Borges Universidade Regional do Noroeste do Estado do RS (UNIJUÍ) Dr. Rômulo Marinho do Rêgo Universidade Estadual de Campina Grande (UEPB) Dra. Rute Elizabete de Souza Rosa Borba Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Dra. Silvia Dias Alcântara Machado Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUCSP) Dra. Tânia Cristina Baptista Cabral Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUCRS) Dra. Vanilde Bisognin Universidade Franciscana (UNIFRA) EDITOR: José Carlos Pinto Leivas EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA DO RS É UMA PUBLICAÇÃO SOB A RESPONSABILIDADE DA SBEM - RS E24 Educação matemática em revista / Sociedade Brasileira de Educação Matemática do Rio Grande do Sul (SBEM-RS). vol. 1, n. 1 (1999) Canoas: Ed. ULBRA, Anual ISSN Educação matemática - periódico. 2. Matemática ensino - periódico. I. Sociedade Brasileira de Educação Matemática do Rio Grande do Sul CDU

3 Educação Matemática em Revista RS é uma publicação semestral da Regional do Rio Grande do Sul da Sociedade Brasileira de Educação Matemática e tem por objetivo divulgar trabalhos científicos constituídos de relatos de experiências de professores e pesquisadores em Educação Matemática da região, do país e do exterior, bem como de pesquisas relativas ao ensino e à aprendizagem na área. As avaliações dos artigos submetidos são feitas por dois membros do Conselho Consultivo e, em caso de discordância, é indicado um terceiro, sem que os autores sejam identificados. INDEXADOR Sumarios.org (Sumários de Revistas Brasileiras) Código ÚLTIMA TIRAGEM: exemplares Dezembro de 2009

4 4 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

5 SUMÁRIO EDITORIAL...7 Claudia Lisete Oliveira Groenwald FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES E O CURSO DE PEDAGOGIA: REFLEXÕES SOBRE A FORMAÇÃO MATEMÁTICA NUM ESTUDO DE CASO Initial Teacher Training Course and Pedagogy: Reflections on Training in Mathematics Case Study...9 Marlisa Bernardi de Almeida, Maria Das Graças de Lima EDUCAÇÃO AMBIENTAL NA PRÁTICA DE SALA DE AULA: CONTRIBUIÇÕES DA MODELA- GEM MATEMÁTICA Environmental Education in the Practice of the Classroom: Mathematical Modelling Contributions...21 Kátia Luciane Souza da Rocha, Eleni Bisognin UMA ANÁLISE DO DOMÍNIO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS COM ESTUDANTES DA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL Domain Structures Additives: An Analyses with Students from 5 th Grade of Elementary School...29 Eurivalda R. dos S. Santana, Irene Maurício Cazorla, Antonio Marcelo Oliveira CÓDIGOS E SENHAS NO ENSINO BÁSICO Codes and Passwords in Basic Education...41 Claudia Lisete Oliveira Groenwald, Rosvita Fuelber Franke, Clarissa de Assis Olgin A ORGANIZAÇÃO DO ENSINO DE MATEMÁTICA COMO ELEMENTO FORMADOR NO CURSO PEDAGOGIA The Mathematics Education Organized to Promote Pre-Service Teachers Education...51 Anemari Luersen Vieira Lopes, Maria Teresa Ceron Trevisol, Patrícia Sandalo Pereira PARTES: UM MODO DE EFETUAR A PARTILHA DO PESCADO Parts: A Way to Effect the Fish Sharing...61 Idemar Vizolli EDUCAÇÃO ETNOMATEMÁTICA: TRÊS APROPRIAÇÕES DA TEORIA Ethnomathematical Education: Three Appropriations of the Theory...73 Rafael Montoito SESSÃO ESPECIAL À VISTA OU A PRAZO SEM JUROS: QUAL DESSAS MODALIDADES DE PAGAMENTO É MAIS VANTAJOSA? Cash or in Installments without Interests: Which is the Best Way for a Payment?...93 Lilian Nasser NORMAS PARA PUBLICAÇÃO EMR-RS - ANO número 10 - v.2 5

6

7 EDITORIAL Educação Matemática em Revista RS é uma publicação da Regional Sul da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, cuja distribuição é feita aos associados do Rio Grande do Sul, de forma gratuita, bem como a outros que manifestarem interesse e a solicitarem. Seu objetivo principal é chegar ao professor em sala de aula, quer com contribuições práticas, por meio de relatos de experiência ou trabalhos que possam ser aplicados, quer por meio de fundamentação teórica a partir de publicações de pesquisas realizadas no Brasil e no exterior. A partir da edição 2009, a revista é editada em dois volumes e também estará disponível no formato on-line, sob a responsabilidade do professor Dr. Maurício Rosa, a fim de divulgar os trabalhos nela inseridos de uma forma mais ampla, inclusive a pesquisadores da área. Nesta revista constam sete artigos de pesquisadores em Educação Matemática. No primeiro artigo, Marlisa Bernardi de Almeida e Maria Das Graças de Lima apresentam uma investigação sobre a formação inicial em Matemática desenvolvida em um Curso de Pedagogia, mostrando que o currículo desses cursos é inchado e a formação matemática para esse nível é relegada a segundo plano. No segundo artigo, Kátia Rocha e Eleni Bisognin tratam da educação ambiental na prática de sala de aula, segundo a modelagem matemática, e, no terceiro, Eurivalda R. dos S. Santana, Irene Maurício Cazorla e Antonio Marcelo Oliveira fazem uma análise no domínio das estruturas aditivas com alunos da quinta série do ensino fundamental, segundo a teoria do Campos Conceituais de Vergnaud. No quarto artigo, Claudia Lisete Oliveira Groenwald, Rosvita Fuelber Franke e Clarissa de Assis Olgin mostram como a criptografia pode ser utilizada em processos eletrônicos, em transmissão digital de informações, entre outros, voltados ao ensino básico. Mais um trabalho envolvendo a formação em Pedagogia é discutido no quinto artigo, de Anemari Luersen Vieira Lopes, Maria Teresa Ceron Trevisol e Patrícia Sandalo Pereira, com relação à aprendizagem da docência dos futuros professores na organização do ensino em um processo de produção de material para as aulas de Matemática nessa formação. No artigo seis, Vizolli analisa como pescadores da região de Itajaí/SC efetuam a partilha do pescado, tendo concluído que a partilha é feita em partes e que o número de partes que compete a cada tripulante de uma embarcação é estabelecido de acordo com o tipo de pescado, além de estar associado com a atividade que o tripulante desempenha na pescaria, obedecendo ao critério de proporcionalidade, cujo coeficiente multiplicador é o número de partes. Por último, Rafael Montoito discute as diversas abordagens conceituais sobre o termo etnomatemática, a partir da literatura existente, desde a gestação de suas ideias até a contemporaneidade. Neste segundo volume, temos o artigo convidado: À vista ou a prazo sem juros: qual dessas modalidades de pagamento é mais vantajosa?, de Lílian Nasser, com atividades ilustrando esse importante tema para a escola básica. Desejo uma boa leitura a todos! Claudia Lisete Oliveira Groenwald Diretora da SBEM/RS

8 8 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

9 FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES E O CURSO DE PEDAGOGIA: REFLEXÕES SOBRE A FORMAÇÃO MATEMÁTICA NUM ESTUDO DE CASO Initial Teacher Training Course and Pedagogy: Reflections on Training in Mathematics Case Study Marlisa Bernardi de Almeida Maria Das Graças de Lima Resumo O presente artigo investiga a formação inicial matemática recebida pelos alunos concluintes do curso de Pedagogia para o exercício da docência em Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental, buscando levantar questionamentos e discussões referentes a essa formação. A metodologia utilizada privilegia a pesquisa qualitativa. Os resultados revelam que historicamente o curso de Pedagogia possui um currículo inchado, ficando a formação matemática relegada a segundo plano, sendo insuficiente para atender às necessidades da formação inicial. A investigação nos alerta que os organizadores do currículo do curso de Pedagogia precisam urgentemente repensar a forma como vem acontecendo a dinâmica de trabalho referente à formação Matemática de seus alunos ao longo do curso. Palavras-chave: Formação inicial de professores. Formação matemática. Curso de pedagogia. Abstract The present article to investigate the mathematical initial formation received by the students who are concluding pupils of the course of Pedagogic for the exercise of the eaching in Mathematics in the Initial Series of Basic School, searching to raise referring questionings and quarrels to this formation. The used methodology privileges the qualitative. The results disclose that historically the course of Pedagogic possess a swelled resume, being the mathematical formation relegated as the plain one being insufficient load to take care of the necessities of the initial formation. The inquiry in the alert one that the coordinate of the resume of the course of Pedagogic urgently need to rethink the form as comes happening the dynamics of referring work to the Mathematical formation of its pupils throughout the course. Keywords: Initial formation of Teacher. Mathematical formation. Course of Pedagogic. Introdução Atualmente, no Brasil, a responsabilidade pela formação do professor dos anos iniciais está centrada nos cursos de Pedagogia. Mas, historicamente, nem sempre foi assim. O curso de pedagogia, segundo Silva (1999), foi criado no Brasil em 1939 como consequência da preocupação com o preparo de docentes para a escola secundária e não para a escola primária, pois a formação desses professores fazia-se exclusivamente nas escolas normais. Ao longo de sua história, como aponta Silva (1999), o curso de Pedagogia teve definido como seu objeto de estudo e finalidade precípuos os processos educativos em escolas e em outros ambientes, sobremaneira a educação de crianças nos anos iniciais de escolarização, além da gestão educacional. Merece ser salientado que, EMR-RS - ANO número 10 - v.2 - pp. 9 a 20 9

10 nas primeiras propostas para esse curso, a ele se atribuiu o estudo da forma de ensinar, definido inicialmente como lugar de formação de técnicos em educação. O Parecer do Conselho Federal de Educação (CFE) nº. 252, de 11 de abril de 1969, foi um marco para o curso, pois manteve a formação de professores para o ensino normal e introduziu oficialmente as habilitações para formar os especialistas responsáveis pelo trabalho de planejamento, supervisão, administração e orientação, que se constituíram, a partir de então, como um forte meio de identificar o pedagogo. As habilitações foram amplamente difundidas, tornando-se nucleares para o curso ao longo de grande parte de sua trajetória. Em 1971, pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, a escola normal passou a se chamar Habilitação Específica para o Magistério, e os profissionais por ela formados tinham o direito de lecionar de 1ª a 4ª série. Em 1986, o Conselho Federal de Educação cria uma resolução que permite aos cursos de Pedagogia formar técnicos em Educação e ofertar habilitação para que o profissional pudesse lecionar de 1ª a 4ª série. Nesse momento, abre-se a nova porta para a formação inicial do professor das séries iniciais, que sai apenas da responsabilidade do ensino do 2º grau (nomenclatura utilizada a partir da Lei nº. 5692/71) para ser também responsabilidade do ensino superior. Na década de 80, segundo Silva (1999), receptora de inúmeras críticas, o curso de Pedagogia apontava a fragmentação de forte caráter tecnicista e a ênfase na divisão técnica do trabalho na escola. Nesse período foram intensos os movimentos pela reformulação dos cursos de formação dos profissionais da educação, levantando a bandeira de um curso de Pedagogia baseado na formação de professores para os anos iniciais do ensino fundamental. No entanto, há que se ressaltar que o debate, sempre crescente, nunca foi consensual. Apesar de prevalecer a concepção que tem a docência como o núcleo forte da Pedagogia, pelo menos duas outras tendências circulam no debate. Em síntese, segundo Kuenzer e Rodrigues (2007), as três concepções podem ser assim formuladas: pedagogia centrada na docência (licenciatura professor); pedagogia centrada na ciência da educação (bacharelado pedagogo); e pedagogia centrada nas duas dimensões, formando integradamente o professor e o pedagogo. A partir de 1996, com a promulgação da nova LDB 9.394/96, a responsabilidade de formação inicial dos professores dos anos iniciais passou a ser feita preferencialmente nos cursos de Pedagogia. A nova LDB 394/96 instituiu que era obrigatório o professor da educação básica ter nível superior, conforme estabelecido no artigo 62. E, de acordo com o Plano Nacional de Educação (1997), em dez anos todos os profissionais que atuavam na educação básica deveriam adaptar-se à nova legislação. Com essa exigência, começa uma corrida contra o tempo para que todos os profissionais que não tinham curso superior e que já estavam em sala de aula o fizessem. No entanto, muitos professores não conseguiram alcançar a formação conforme o prazo estabelecido pela Resolução do CNE/CEB n 01/2003, de 20/08/2003. Após a LDB 9.394/96, determinou-se a criação de Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN) para os cursos de graduação e a formação docente em nível superior. Todos os cursos de graduação tiveram suas DCNs definidas, com exceção do curso de Pedagogia, que, apesar de algumas tentativas junto ao Conselho Nacional de Educação (CNE), só em maio de 2006 teve uma resolução aprovada. Pode-se analisar que as Diretrizes Curriculares Nacionais para o curso de Pedagogia 2006 expressam, de acordo com Triches (2007), uma correlação de forças entre projetos distintos e antagônicos para a reformulação do curso de Pedagogia. De acordo com as DCNP de 2006, o curso de Pedagogia passa a ser exclusivamente uma licenciatura, que formará docentes para atuarem na educação infantil (EI) e anos iniciais do ensino fundamental (AIEF). Essas duas modalidades não se farão por opção das instituições de ensino por uma ou outra, e sim para as duas. Além dessas, o curso também formará docentes para o ensino médio na modalidade normal (EMN) (antigo curso de magistério) e para outros cursos de educação profissional (EP) voltados para a educação. Ou seja, de início, o formado nesse curso será docente (entendido como sinônimo de professor) para quatro modalidades diferentes. 10 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

11 Após a constatação do conteúdo do artigo 4º da resolução das DCNPs (BRASIL, 2006), incluem-se mais dois setores de atuação (gestão e produção de conhecimento) às quatro modalidades desse licenciado, apontadas anteriormente (EI, AIEF, EMN, EP). Atingindo, até aqui, seis campos de ação que não acabam por aí, pois no artigo 8º, item IV da mesma resolução, é incluída a modalidade de Jovens e Adultos para o estágio curricular obrigatório. Enfim, esse docente formado num curso de Pedagogia de, no mínimo, 3200 horas, conforme apontam as DCNPs (2006) e sem previsão de duração mínima em anos, passa a ter, no mínimo, oito possibilidades de atuação diferentes. Reforça-se que isso tudo num único curso. Muitos desafios deverão ser superados pelo curso de Pedagogia, entre eles o desafio da definição dos componentes de conteúdos necessários para abranger a imensa formação proposta. Com toda essa imensa bagagem de conteúdos pretendida para o curso de Pedagogia, o que pensar então em termos de conteúdos matemáticos para as séries iniciais, visto que o curso traz uma gama enorme de saberes? O conhecimento adquirido sobre a organização do curso de Pedagogia, conforme aponta Triches (2007), evidenciou que as reformas, pareceres, regulamentações, estabelecimentos de grades curriculares e a definição das disciplinas e seus conteúdos não foram suficientes para resolver os dilemas enfrentados ao longo dos anos em torno das especificidades do curso de Pedagogia, das questões entre bacharelado e licenciatura e dos esforços dos educadores no sentido de definir sua identidade. Com muitas imprecisões, não é surpreendente identificar que os conteúdos que fazem parte do conhecimento da matemática estão relegados a um segundo plano na formação do pedagogo, pois as horas tomadas com o grande número de habilitações oferecidas não comportam a organização necessária para a formação do professor, ou seja, do conhecimento das áreas específicas. Formação de professores e os conhecimentos necessários para ensinar matemática No atual modelo de educação, o processo de aprendizagem da Matemática, em seu aspecto formal e sistematizado, inicia-se na educação básica nos primeiros anos do ensino fundamental, do primeiro ao quarto ano de escolarização dos alunos, onde são construídas as bases para a formação Matemática. Nessas séries, em geral, tem-se, como professores de todas as áreas do conhecimento, os pedagogos, que são profissionais graduados em cursos de licenciatura em Pedagogia. São esses profissionais que iniciam o processo de alfabetização de estudantes das séries iniciais. Dessa forma, torna-se necessário que o Pedagogo tenha uma formação que o possibilite, pedagógico-didaticamente, desenvolver conhecimentos sólidos e eficazes, capazes de garantir aprendizagens minimamente satisfatórias quanto às áreas de conhecimento em que atua. Em decorrência de um dos objetivos do curso de Pedagogia, que é o de formar um professor para ensinar Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental, é preciso garantir espaços para uma formação que contemple os conhecimentos matemáticos abordados nos anos iniciais da escolaridade básica, preferencialmente numa perspectiva que inclua questões de ordem didática e curricular, mas deve orientar-se por e ir além de aquilo que os professores irão ensinar nas diferentes etapas da escolaridade. Segundo Ponte (2002), os conhecimentos do professor sobre os objetos de ensino devem incluir os conceitos das áreas de ensino definidos para a escolaridade na qual ele irá atuar tanto no que se refere à profundidade desses conceitos como à sua historicidade, sua articulação com outros conhecimentos e o tratamento didático, ampliando assim seu conhecimento da área. Shulman (1986) também trouxe importantes contribuições para o estudo dos conhecimentos profissionais que os professores devem possuir e que fundamentam sua prática. As investigações que esse autor realizou permitiram que ele identificasse três vertentes no conhecimento necessário ao professor: o conhecimento do conteúdo da disciplina, o conhecimento didático do conteúdo da disciplina e o conhecimento do currículo. O conhecimento do conteúdo da disciplina deve envolver o conhecimento para ensinar, ou seja, o professor deve saber, e muito bem, inclusive, o conteúdo que vai ensinar. Conhecimentos relativos à natureza e aos significados EMR-RS - ANO número 10 - v.2 11

12 dos conteúdos, o desenvolvimento histórico, os diversos modos de organizá-lo. Já o conhecimento didático do conteúdo apresenta uma combinação entre o conhecimento da disciplina e o conhecimento do modo de como ensiná-la. O conhecimento didático do conteúdo, ou o conhecimento de conteúdo pedagógico compreende [...] as formas mais úteis de representação de ideias, as analogias mais importantes, ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações, a forma de representar e formular a matéria para torná-la compreensível [...] (SHULMAN, 1986, p.9). O professor necessita, segundo Pires (2002), ter conhecimentos relativos aos conteúdos matemáticos e à natureza da Matemática, de modo a sentir-se à vontade quando a ensina; ser capaz de relacionar ideias particulares ou procedimentos dentro da Matemática, de conversar sobre ela e de explicar os juízos feitos e os significados e razões para certas relações e procedimentos. Para isso, o professor de Matemática de qualquer nível de ensino deve ter uma compreensão profunda da Matemática que ministrará, da sua natureza e da sua história, do papel que esta tem na sociedade e na formação do indivíduo. Entende-se, dessa forma, que o conteúdo específico de Matemática continua sendo um importante instrumento de trabalho do professor na construção das habilidades e competências matemáticas requeridas pelo aluno e pela sociedade. Além disso, a não aprendizagem dos conteúdos trabalhados nas séries iniciais do ensino fundamental tem grandes implicações ao longo de toda a vida escolar do aluno, podendo comprometer o aprendizado do saber matemático trabalhado ao longo dos últimos anos do ensino fundamental e do ensino médio. A consideração a respeito das especificidades do conhecimento matemático com as quais o professor vai trabalhar é, segundo Curi (2005), um desafio para os programas de formações de professores. As investigações sobre o conhecimento matemático nas três vertentes apontadas por Shulman (1986) devem exercer uma forte influência, principalmente pelo fato dos cursos de formação de professores (pedagogos) em nosso país não conferirem, segundo Curi (2005), destaque aos conhecimentos referentes às áreas de conhecimento. A conotação dada aos conteúdos da educação básica, segundo Pires, (2002), não deve ser tratada apenas como revisão, pois isso acaba causando desinteresse por parte dos futuros professores. Para a autora, faz-se necessário construir conhecimento aprofundado e consistente para a ampliação do universo de conhecimentos matemáticos em relação a outras disciplinas e adaptá-las às atividades escolares próprias das diferentes etapas do ensino fundamental. Pires (2002) destaca ainda que os cursos de formação de professores de Matemática devem dar um tratamento especial aos conteúdos matemáticos com ênfase no processo de construção desses conhecimentos, sua origem, seu desenvolvimento de forma articulada com sua didática, em que os futuros professores possam consolidar e ampliar os conteúdos com os quais trabalharão no ensino básico. Considerando as ideias desses autores, é certamente consensual a ideia de que qualquer professor de Matemática deve saber mais Matemática do que aquela que se vai ensinar. Para isso, a formação inicial do professor deverá providenciar uma compreensão profunda da Matemática que irá trabalhar em sua prática educativa. Acredita-se, a partir das ideias descritas, que a competência básica de todo e qualquer professor é o domínio do conteúdo específico, haja vista que o conteúdo específico de Matemática continua sendo um importante instrumento de trabalho do professor na construção das habilidades e competências matemáticas requeridas pelo aluno e pela sociedade. Somente a partir desse domínio, segundo Mello (2000), é possível construir a competência pedagógica. Ao defender a importância da formação no conteúdo específico (o que ensinar) e a sua íntima articulação com o conteúdo pedagógico (como ensinar), consideramos que a licenciatura não pode abrir mão de discutir por que ensinar e para quem ensinar. Somente articulando esses elementos (o que ensinar, como ensinar, por que ensinar e para quem ensinar), a licenciatura dará ao futuro professor as condições mínimas necessárias para que ele desenvolva um trabalho com os saberes matemáticos que esteja em sintonia com as novas demandas que a sociedade vem exigindo da educação escolar. Metodologia Tomando como base essas discussões sobre a formação inicial de professores, desejase acrescentar a seguinte questão: a formação 12 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

13 inicial de professores ofertada no curso de Pedagogia analisado auxilia os futuros docentes a trabalhar com os conteúdos disciplinares de Matemática? Nessa direção, este trabalho tem como objetivos: a) analisar como vem acontecendo a formação inicial dos docentes realizada pelo curso de Pedagogia para o trabalho com os conteúdos disciplinares de Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental; b) saber como os alunos que estão concluindo o curso de Pedagogia avaliam as contribuições da formação inicial para o trabalho com a Matemática em sua prática educativa. Para isso, é tomado como objeto de análise o curso de Pedagogia oferecido por uma universidade pública do estado do Paraná. A metodologia utilizada privilegia a pesquisa qualitativa, composta inicialmente por dois tipos de análise: bibliográfica e documental. O estudo bibliográfico referiu-se ao tema formação de professores, em especial ao curso de Pedagogia e formação inicial matemática para atuar nas séries iniciais do ensino fundamental, na busca de referenciais teóricos que pudessem nortear a análise dos dados coletados na pesquisa. Para a coleta de dados, optou-se pela utilização dos seguintes instrumentos: questionário misto e ficha contendo problemas para serem resolvidos. Neste artigo, utilizaremos, para a análise dos dados, apenas o questionário. Para análise dos dados coletados a partir do questionário, procedeu-se da seguinte forma: as questões fechadas foram tabuladas calculando-se o percentual das respostas. Portanto, a análise das informações ocorreu, primeiramente, de forma quantitativa. A sistematização e análise dos dados contidos no questionário, referente às questões abertas, pautou-se na análise de conteúdo (BARDIN, 1979). Para os fins deste trabalho, verificou-se a frequência das respostas e procurou-se relacionar as variáveis, de forma que fosse possível prosseguir com uma análise qualitativa dos dados. O critério de categorização adotado foi o semântico, por categorias temáticas, de acordo com seus significados, a partir das significações que a mensagem fornece. Foram sujeitos dessa pesquisa os alunos da única turma do 4º ano (concluintes) do curso de Pedagogia (ano 2008) de uma universidade estadual localizada no Centro Oeste do Paraná. Análise dos resultados O curso de Pedagogia investigado está voltado para a formação de pedagogos com habilitação para atuação em escolas de educação infantil, educação básica, educação superior e gestão escolar. No projeto do curso, declara-se a intenção de tomar como referência as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Curso de Graduação em Pedagogia (DCNPs) e as Diretrizes Curriculares Nacionais para Formação de Professores da Educação Básica (DCNs), em nível superior, bem como outros dispositivos legais que se referem ao curso de Pedagogia e aos cursos de ensino superior no que diz respeito às licenciaturas. Observa-se que a questão do domínio de conteúdos referentes às áreas do conhecimento do ensino fundamental não aparece em nenhum dos objetivos do curso, evidenciando que se as Diretrizes Curriculares do Curso de Pedagogia não deixam isso claro, o projeto dessa instituição também falha nesse aspecto. O que foi identificado através da organização curricular do curso corrobora a análise de Curi (2005), pois a autora verifica que os cursos de graduação em Pedagogia elegem as questões metodológicas como essenciais à formação de professores, sendo que isso não garante uma formação adequada em termos de conhecimentos para se ensinar Matemática na educação infantil e nas séries iniciais do ensino fundamental. O curso de graduação em Pedagogia deveria propiciar a instrumentação pedagógica específica para a docência, mas também favorecer a necessária formação teórica do pedagogo. Porém, isso não está acontecendo através da análise do Projeto Político Pedagógico do curso confrontado com a literatura em Educação Matemática. A única disciplina destinada à Matemática é oferecida em quatro aulas durante o segundo semestre do terceiro ano do curso, totalizando 68 horas. Em um curso de Pedagogia, cujos Componentes Curriculares são compostos de uma carga horária equivalente a horas, 68 horas equivalem a apenas 2% de toda a formação inicial. Considerando a ementa e a programação proposta para a disciplina de Metodologia do EMR-RS - ANO número 10 - v.2 13

14 Ensino da Matemática e o número de horas destinadas a essa disciplina, evidencia-se que essa formação é muito inexpressiva e não atinge as três vertentes do conhecimento do professor destacadas por Shulman (1986): o conhecimento do conteúdo, o conhecimento didático do conteúdo e o conhecimento curricular. Kuenzer e Rodrigues (2007) entendem que, da maneira como o curso de Pedagogia está organizado, ele representa uma totalidade vazia. Para as autoras, é impossível o curso dar conta de uma formação de qualidade com um perfil demasiadamente ampliado, que prevê a formação de um profissional para atuar nas diversas áreas da docência, na gestão e na produção de conhecimento. O ideal seria rever a quantidade de habilitações oferecidas a esse profissional. Ou bem se forma o professor para atuar na educação infantil e séries iniciais do ensino fundamental ou o pedagogo gestor educacional. Querer formar os dois profissionais ao mesmo tempo é, no mínimo, desastroso, como se observa no curso de Pedagogia ora analisado. Analisando as DCNP 2006 e o Projeto Político Pedagógico do curso, concorda-se com Libâneo (2002) quando este afirma que é uma incongruência formar em horas, num mesmo curso, três ou quatro profissionais. Para Curi (2005), os conhecimentos constituídos pelo futuro professor em sua trajetória pré-profissional vão influenciar sua ação docente. Serrazina (2002) considera o conhecimento da Matemática, o interesse e o gosto por ensinar Matemática como sendo os fatores que influenciam a forma como os professores das séries iniciais encaram o ensino da Matemática. No entanto, as informações levantadas através do questionário expressaram, em sua maioria, essa relação com o conhecimento matemático: A 10 : Nunca tive um bom relacionamento com a Matemática. A 17 : Nunca consegui aprender Matemática. Para mim ela é muito difícil. A 20 : A Matemática sempre foi pra mim um bicho de sete cabeças. A 25 : Não sou nem um pouco fã da Matemática. Considerando, através de dados levantados, que a maioria desses alunos nunca trabalhou como professor, seria preciso, segundo Curi (2005), a reflexão sobre as formas de constituição dos conhecimentos do professor nessa etapa de sua trajetória profissional. Ou seja, os cursos de graduação em Pedagogia deveriam pensar formas de atender a esse público que está acessando os cursos de Pedagogia sem a atuação profissional no ensino normal médio. E, mais grave, sem saber conhecimentos básicos sobre Matemática. Esses depoimentos alertam que, nos cursos de formação inicial de professores, é possível proporcionar legalmente ao futuro professor a aquisição de uma das polivalências, como por exemplo, a de Matemática, sem que seja, efetivamente, removido o muro de desafeto que o distancia dessa área de conhecimento. A relação com o conhecimento matemático deve ser libertadora do medo gerado pelo desconhecimento, e não, exatamente, o contrário, como podemos observar nos depoimentos desses alunos. O agravante diante dessas revelações é que esses graduandos do curso de Pedagogia iniciam ou vão iniciar a criança num conhecimento pelo qual eles têm desafeto ou indiferença. O pressuposto básico que move o empenho que se tem com essa questão da formação inicial de professores é de que esses concluintes do curso de Pedagogia são ou serão professores de Matemática. Precisam, portanto, estabelecer um relacionamento com essa área de conhecimento que os satisfaça. Sem que isso ocorra, é provável que estejam desenvolvendo nas crianças as mesmas dificuldades que tiveram quando aprenderam Matemática. Logo, em se tratando de formação inicial, tema da pesquisa, a experiência que o estudante tem com relação ao ensino de Matemática é, em grande parte, aquela decorrente de sua vivência como aluno da educação básica. Ponte (2001) enfatiza que o professor, para ensinar Matemática, deve ter uma boa relação com a Matemática que vai lecionar. Talvez seja urgente a necessidade em se pensar na formação inicial do professor e processos que lhe permitam um convívio de reaproximação com a Matemática. Serrazina (2005, p.307) afirma que: quando os futuros professores chegam à sua formação inicial possuem um modelo implícito, um conhecimento dos conteúdos matemáticos que têm de ensinar, adquiridos durante a sua escolarização, bem como um conheci- 14 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

15 mento didático vivido durante a sua experiência como alunos. Tendo em vista os apontamentos de Ponte (1998) e Serrazina (2005), a formação inicial de professores deve favorecer o desenvolvimento de concepções, sentimentos, atitudes e capacidades positivas em relação à Matemática, até para ajudá-los a superar os problemas anteriores. Essa formação deve encorajar os futuros professores a refletir, questionando seus conhecimentos e dificuldades, de forma que possam vir a alterá-las. Entretanto, após terem passado pelo curso de Pedagogia, a maioria dos graduandos continua não gostando de matemática: acha difícil, apesar de a encararem como necessária e importante para a vida. Os graduandos pesquisados comentaram que: A 21 : Continuo tendo dificuldades e não gosto da disciplina. A 17 : Continuo não gostando. Não me identifico com a disciplina. A 03 : Continuo não gostando, mas tenho plena consciência de que é necessária para minha formação. Em relação a esse aspecto, Gómez Chacón (2002) distingue duas categorias de atitudes em relação à Matemática: atitude sobre a Matemática e atitude matemática. As atitudes sobre a Matemática dizem respeito à valorização e apreciação dessa disciplina e ao interesse por ela e por sua aprendizagem. Nesse caso, predomina o aspecto afetivo mais do que o cognitvo e manifesta-se através de interesse, satisfação, curiosidade, valorização. Levando em consideração os apontamentos de Gómez Chacon (2002), verifica-se que os graduandos não manifestaram interesse em relação aos conhecimentos matemáticos, devido às suas atitudes sobre a Matemática, mesmo nessa etapa da formação. Além disso, podemos auferir, através do estudo feito com 95% dos concluintes do curso de Pedagogia, que a graduação analisada não os auxiliou nesse aspecto afetivo em relação à Matemática, o que poderá ter consequências negativas para o processo ensino e aprendizagem dessa disciplina. Considerando a representação negativa da Matemática presente nos graduandos pesquisados, acredita-se ser necessário que o curso de Pedagogia mude essa situação e evite que os futuros professores voltem a ensinar uma nova geração a detestar Matemática, assim como eles detestaram durante sua passagem pela educação básica. Por isso, é fundamental que o curso de Pedagogia ora analisado redimensione sua maneira de trabalhar a formação matemática desses futuros professores. Segundo Ponte (2004), quando o tema da formação matemática inicial de professores é colocado em discussão, existe uma predominância na abordagem da questão do ponto de vista didático-metodológico; o conhecimento da Matemática fundamental sempre fica relegado a segundo plano. E foi isso que se verificou estar acontecendo nesse curso. As informações obtidas através da análise do Projeto Político Pedagógico do curso e dos depoimentos dos concluintes revelaram que o conhecimento matemático não foi trabalhado e aprofundado de modo que dele houvesse uma aprendizagem significativa, e que os graduandos pesquisados sentem a falta desse conteúdo em sua formação. Por isso, mediante os dados levantados e estudados até agora, pode-se constatar que o curso de Pedagogia investigado ainda não conseguiu articular adequadamente a relação entre os conhecimentos específicos da matemática e os conhecimentos pedagógicos. Para a maioria dos graduandos pesquisados, o curso de Pedagogia não atendeu às expectativas em relação à Matemática e ao seu ensino. As reclamações giram em torno do pouco contato e aprofundamento do conhecimento matemático necessário para a formação dos professores que atuarão nas séries iniciais. Alguns depoimentos podem ilustrar melhor esses dados. A 19 : Não conseguiu, é muito superficial. A 26 : Deixou a desejar quanto a conteúdos específicos, pois na verdade aprendemos apenas as metodologias de como ensinar, mas não aprendemos o que ensinar. A 05 : O ensino da Matemática teria de ser uma matéria que fosse estudada de maneira detalhada e não superficial, porque muitos de nós temos dificuldades nessa disciplina. A 17 : Dentro de Pedagogia, tem-se aprendido com relação à Educação como um todo, porém com relação à Matemática infelizmente praticamente nada. A 10 : Aprendi a usar os materiais lúdicos, mas não aprendi como aplicar os conteúdos. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 15

16 Por meio dos dados coletados e analisados, verificou-se que, da forma como o curso de Pedagogia vem abordando os conteúdos e as metodologias referentes à Matemática e ao seu ensino, o curso está imprimindo nesses futuros professores uma identidade pedagógica esvaziada de conteúdos, na qual se aprende a prática do ensino, mas não o momento de seu uso. Haja vista que a preparação, como foi constatado, reduz-se a um conhecimento pedagógico abstrato porque é esvaziado do conteúdo a ser ensinado. Isso se revelou nos depoimentos dos alunos concluintes do curso. Outro fator que merece destaque é o número de disciplinas destinadas ao ensino de Matemática: apenas uma, em apenas um semestre. Segundo os alunos pesquisados, isso é insuficiente diante das necessidades reais de uma formação que atenda às novas demandas educacionais para um ensino de Matemática com qualidade. Uma das críticas mais frequentes aos cursos de formação de professores é a desarticulação quase total entre conhecimentos específicos e conhecimentos pedagógicos. Nos cursos de formação de professores polivalentes, a crítica que pode ser feita é a da ausência de conhecimentos específicos relativos às diferentes áreas do conhecimento com as quais o futuro professor irá trabalhar. (CURI, 2005, p.160) As análises dos depoimentos vêm indicar que há um conhecimento a ser construído pelos futuros professores, que é mais do que mera justaposição do aspecto de conteúdo e do aspecto pedagógico. As observações giram em torno da superficialidade na abordagem do conhecimento matemático e no pouco tempo disponível para a aprendizagem desse conhecimento. A 13 : Foi vista pouca coisa. É muito superficial. A 24 : Aprendemos jogos e brincadeiras, mas como trabalhar os conteúdos matemáticos não vimos. A 11 : A formação que tivemos não foi boa. Terei que correr atrás para dominar os conteúdos. A 15 : Foi boa, nós aprendemos que para não causar traumas nas crianças deve-se trabalhar de forma lúdica. Como se pode observar, muitos graduandos pesquisados afirmam que o curso poderia ter aprofundado mais os conteúdos matemáticos; e aqueles que acreditam que o curso ajudou reportam-se ao aspecto lúdico da aprendizagem matemática. Pelos depoimentos dos concluintes do curso também observamos que essa disciplina não conseguiu articular os conteúdos matemáticos e os conhecimentos didáticos. Há graduandos que percebem a necessidade de ir buscar um aprofundamento maior dos conteúdos matemáticos quando forem lecionar, entretanto não se pode negar a responsabilidade ímpar que a instituição de formação deve exercer quanto à formação básica do professor das séries iniciais do ensino fundamental. Segundo Mello (2000, p.98): [...] ninguém facilita o desenvolvimento daquilo que não teve oportunidade de aprimorar em si mesmo. Ninguém promove a aprendizagem daquilo que não domina, é preciso que o professor experimente, enquanto aluno aquilo que ele deverá ensinar a seus próprios alunos [...]. Desse modo, deseja-se deixar claro que não é suficiente acrescentar ao currículo dos cursos de Pedagogia disciplinas que se limitem a abordar os saberes disciplinares de matemática. É fundamental que essas disciplinas procurem promover uma integração entre os saberes disciplinares de Matemática e os saberes pedagógicos necessários ao trabalho com esses conteúdos nas séries iniciais do ensino fundamental. Considerações finais Conforme a discussão apresentada neste texto, é inegável a importância do papel desenvolvido pelo pedagogo quanto ao ensino da Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental. Assim justifica-se a importância de se discutir a formação desse profissional na área da Matemática durante o seu processo de formação no curso de Pedagogia. Na realização desta pesquisa, ganham realce alguns problemas que precisam ser urgentemente enfrentados no âmbito da formação docente. Precisam ser tratados tanto no nível de políticas públicas como no cotidiano das instituições formadoras, por meio de seus projetos político-pedagógicos. 16 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

17 Considera-se necessário e fundamental entender, também, que não é possível abranger na formação inicial o conjunto das necessidades do professor. E nem ser ingênuo em crer que só mudanças na formação inicial dos professores, isoladamente, garantiriam uma melhoria significativa do aprendizado escolar em matemática. À formação inicial não se pode atribuir toda a responsabilidade sobre o fracasso escolar em matemática, pois se trata de um dos fios que compõem uma trama muito complexa. Assim como nos diz Arroyo (1996), a boa formação de professores não pode ser entendida e nem equacionada como um remédio milagroso contra todos os males da educação. Mas, por outro lado, não se pode desconsiderar o peso significativo dessa formação, ao pensar em estratégias para conseguir melhorias na formação matemática dos alunos. Ela deve ocupar lugar de importância no processo formativo, desde que proporcione um bom suporte para o ingresso e atuação inicial na profissão. Como principais constatações decorrentes das análises feitas ao longo do trabalho, destacam-se a precariedade da formação oferecida no curso de Pedagogia, em parte devido à inexistência (apenas 2% de toda carga horária do curso) da formação específica para o ensino de matemática nas séries iniciais, nesse curso. Cumpre ressaltar que a ênfase dada aos conteúdos disciplinares não implica a defesa de um ensino centrado nos conteúdos. Deseja-se apenas destacar a importância do domínio consistente desses saberes, por parte do professor, pois é a partir desse saber que se pode ir além. Acredita-se que, com o domínio dos conteúdos que vai ensinar, o professor poderá estar criando métodos e técnicas diferenciadas que venham ao encontro das necessidades de aprendizagem dos alunos. Verifica-se, pela análise da ementa e dos depoimentos dos concluintes do curso de Pedagogia, que a formação pedagógica para o ensino de matemática parece ser, em geral, restrita à exploração dos materiais concretos, observando-se, com pouca frequência, uma diversidade maior de recursos de formação. Além disso, foi constatado também que o curso de Pedagogia investigado dá prioridade à metodologia de jogos e brincadeiras a serem utilizadas em sala de aula, em detrimento de outras metodologias apontadas pelos PCN e de uma abordagem mais profunda dos conteúdos de Matemática que serão trabalhados pelos professores na sua futura prática educativa. Acredita-se que o domínio de novas estratégias de ensino é fundamental para a construção de aprendizagens significativas, bem como para a superação das dificuldades apresentadas por alunos com deficiências de aprendizagem. Mas questiona-se: como esses professores poderão adotar metodologias diversificadas que atendam, de fato, à aprendizagem dos alunos sem conhecer nem ao menos ter domínio dos conteúdos que irão ensinar? O estudo dos depoimentos e das resoluções dos problemas propostos indica que os concluintes do curso de Pedagogia ora analisado apresentam dificuldades nos conteúdos que terão que ensinar a seus alunos, e que a formação Matemática recebida durante o curso não foi suficiente para sanar as lacunas referentes à disciplina de Matemática decorrentes de sua educação na escola básica. A constatação de que muitos dos conteúdos de Matemática, que deveriam ser trabalhados ao longo da sua formação inicial, não estão sendo discutidos na licenciatura, aliada ao fato de os alunos apresentarem dificuldades em resolver problemas envolvendo alguns dos saberes que terão de lecionar, mostra a fragilidade com que essa questão vem sendo tratada, justificando o fato de que a maioria dos alunos considera que o curso de Pedagogia não os preparou para o trabalho com os saberes disciplinares de Matemática. Dessa forma, o curso de Pedagogia imprime a esse profissional uma identidade pedagógica esvaziada de conteúdos, sendo que se aprende a prática do ensino mas não a sua substância, pois a preparação, como foi constatado, reduz-se a um conhecimento pedagógico abstrato porque esvaziado do conteúdo a ser ensinado. Os resultados da pesquisa apontam que há problemas gravíssimos na forma como o curso de Pedagogia está organizado no que diz respeito à formação Matemática, pois se verifica que não consegue dar suporte tanto teórico quanto prático para esses futuros professores. Este estudo levou a percepção de que as propostas de formação inicial dos pedagogos (professores das séries iniciais do ensino fundamental) historicamente não têm sido adequadas, principalmente no que se refere à formação inicial para ensinar Matemática. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 17

18 Os referenciais curriculares para os cursos de Pedagogia, que destacam como objetivo geral da formação de professores a profissionalização por meio do desenvolvimento de suas competências, de modo a permitir que no cumprimento de suas funções estejam contempladas as dimensões técnicas, sociais e políticas que são igualmente importantes e imprescindíveis ao desenvolvimento de nosso país, apresentam-se amplos e não aprofundam as questões disciplinares e pedagógicas de cada uma das áreas. Por isso, a necessidade dos organizadores do currículo do curso, diante dos dados levantados, repensarem e reorganizarem a dinâmica de trabalho que se refere à formação Matemática de seus alunos. Considera-se urgente que se pense em relações estreitas entre o perfil necessário a um professor para ensinar matemática e sua formação para os anos iniciais. Ou seja, o perfil do professor a ser formado deve guiar a formação e ser a referência para se traçarem ações efetivas que possam superar as deficiências desses cursos. Nesse sentido, a formação deve orientar os futuros professores de acordo com o que se espera dele como professor: aprender a pensar, a refletir criticamente, a identificar e resolver problemas, a investigar, a aprender, a ensinar (MIZUKAMI, 2003, p.42). Não se deseja concluir este trabalho prescrevendo receitas que poderiam resolver os problemas inerentes à formação inicial do professor que atua nas séries iniciais do ensino fundamental cujos reflexos fazem-se presentes na qualidade do ensino de Matemática e vêm à tona nas avaliações de desempenho desenvolvidas pelo MEC, mas apresentar algumas questões cuja reflexão pode auxiliar os responsáveis pelo curso de Pedagogia a encontrarem um caminho para melhorar a formação inicial do futuro professor para o trabalho com os saberes disciplinares de Matemática. Em primeiro lugar, é importante ressaltar que os professores do curso de Pedagogia e os demais envolvidos com essa licenciatura devem tomar conhecimento dos resultados dela e de outras pesquisas que dizem respeito ao tratamento dos conhecimentos disciplinares de Matemática, bem como conhecer o trabalho dos professores dessas séries e suas dificuldades no trabalho com esses conhecimentos, pois só conhecendo a realidade em que atuam esses profissionais a licenciatura poderá desenvolver estratégias de trabalho que ajudem a modificar positivamente os números caóticos apresentados neste estudo. Em segundo lugar, os responsáveis pela licenciatura em pedagogia devem refletir se é aceitável que os seus alunos continuem concluindo a formação inicial apresentando tantas dificuldades no tratamento de problemas envolvendo os conhecimentos elementares de Matemática, bem como procurar conhecer quais são os motivos que os desencadeiam. Em terceiro lugar, deve-se levar em conta que o número de disciplinas destinadas à formação matemática, bem como a forma como se vem trabalhando o ensino de Matemática ao longo do curso, é insuficiente e inadequado, visto que se nota não estar sendo bem aproveitado o pouco tempo disponibilizado para essa disciplina, dando-se prioridade apenas às questões metodológicas, em detrimento de um trabalho mais aprofundado com os conteúdos de Matemática propriamente ditos. Por último, questiona-se até que ponto os próprios professores universitários (formadores de professores) têm conhecimento e domínio dos conteúdos elementares de Matemática, bem como das questões relativas à aprendizagem lógico-matemática da criança, as vertentes do conhecimento propostas por Shulman (1986), os estudos atuais sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, as diversas metodologias de ensino que podem ser utilizadas no ensino de Matemática, as tendências da Educação Matemática que auxiliam na aprendizagem e outras questões pertinentes que são de suma importância para a formação de professores, as quais foram brevemente abordadas especialmente na seção dois deste trabalho. Dada a resposta negativa, a inserção de educadores matemáticos no curso de Pedagogia seria uma ação importante e imprescindível para a melhoria significativa da formação matemática dos seus graduandos. É importante deixar claro que a reflexão acerca desses elementos não esgota as discussões acerca da temática em questão, configurando-se apenas como um ponto de partida para que se promova uma melhoria efetiva na qualidade da formação do professor para o trabalho com os conhecimentos disciplinares de Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental. 18 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

19 Tem-se clareza de que a formação inicial é apenas a base da formação do professor. Torna-se, entretanto, imprescindível que a formação inicial possibilite ao futuro professor uma apropriação consistente dos diversos saberes necessários a sua prática profissional, o que, certamente, será um passo fundamental para a superação das deficiências que, há muito tempo, vêm fazendo-se presentes no ensino de Matemática. Entretanto, acredita-se que a licenciatura é o espaço destinado à formação inicial do professor, e essa formação deve ocorrer nos diversos saberes necessários a sua atuação. O fato de o aluno já ter estudado esse conteúdo em outra etapa da sua formação não retira a responsabilidade do curso de Pedagogia no tratamento dessa questão. Considera-se fundamental que o curso de Pedagogia prepare o professor das séries iniciais de forma que ele seja matematicamente competente, já que nas séries iniciais da escolarização as crianças constroem e desenvolvem conceitos e formam certos hábitos de raciocínio e pensamento matemático. Nacarato et al. (2004) discorrem sobre a necessidade de se repensar a formação matemática dos estudantes de Pedagogia. Assim, destacam a importância da disciplina de Fundamentos e Metodologia do Ensino da Matemática como instigadora de inúmeras reflexões. Asseguram que, sem a presença de disciplinas voltadas à Educação Matemática, com uma carga horária compatível, será impossível contemplar questões fundamentais que envolvem o ensino da Matemática. É preciso uma discussão profunda acerca do que deve ser tratado, em matemática e seu ensino, considerando-se a realidade de tempo que se tem e as questões nodais do ensino e aprendizagem de matemática, estabelecendo efetivas relações entre a formação dos professores e sua futura prática em matemática, nos anos iniciais. É possível que um forte investimento na formação de formadores e o compromisso do formador com a própria formação, junto a uma discussão profunda acerca do que deve ser tratado na formação inicial de professores para o ensino de matemática nos anos iniciais, possam contribuir para superar os problemas trazidos no decorrer do texto desta dissertação. Salienta-se que as pesquisas na área de educação precisam dedicar-se a acompanhar os professores egressos de diferentes cursos e modalidades de formação. O desempenho em matemática nos anos iniciais, diante das questões da prática, se confrontado com estudos como este, pode contribuir para a melhoria da formação inicial dos professores e para a qualidade do trabalho docente em matemática, nos anos iniciais. O estudo dos concluintes do curso de Pedagogia configura-se como uma questão relevante para as pesquisas no campo da educação matemática, as quais devem ser intensificadas. Tendo em vista os resultados obtidos neste trabalho, não se pode ignorar que repensar o modelo de formação do professor é um passo indispensável para a melhoria da qualidade do ensino de forma geral e para o ensino da Matemática em particular. Referências ARROYO, Miguel. Ofício de mestre. Petrópolis: Vozes, BARDIN, Laurence. Análise de conteúdo. Lisboa: Edições 70, BRASIL. Ministério da Educação. Lei 9.394, de 24 de dezembro de Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Brasília, Disponível em < Leis/L9394.htm> Acesso em: 15 dez Resolução do CNE/CEB n 01, de Dispõe sobre os direitos dos profissionais da educação com formação de nível médio, na modalidade Normal, em relação à prerrogativa do exercício da docência, em vista do disposto na lei 9394/96, e dá outras providências. Brasília, Disponível em: < Acesso em: 30 mar Resolução CNE/CP n.º 1, de Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para o curso de graduação em Pedagogia, licenciatura. Brasília, Disponível em: < gov.br/cne> Acesso em: 30 mar BRZEZINSKI, Iria. Pedagogia, pedagogos e formação de professores. 5.ed. Campinas: Papirus, CURI, Edda. A matemática e os professores dos anos iniciais. São Paulo: Musa, FREITAS, Helena Costa Lopes de. Formação de professores no Brasil: 10 anos de embate entre projetos de formação. In: Políticas públicas para a Educação: olhares diversos sobre o período 1995 a Educação e Sociedade, Campinas, v.23, n.80, p , set GÓMEZ-CHACÓN, Inês Maria. Matemática emocional. Porto Alegre: Artmed, EMR-RS - ANO número 10 - v.2 19

20 KUENZER, Acácia Zeneida; RODRIGUES, Marli de Fátima. As Diretrizes Curriculares para o Curso de Pedagogia: uma expressão da epistemologia da prática. Revista Olhar do Professor. Paraná: Universidade Estadual de Ponta Grossa, v.1, n.1, jan./.jul Disponível em: < br/olhardeprofessor/pdf/revista101.pdf> Acesso em: 15 fev LIBÂNEO, José Carlos; PIMENTA, Selma Garrido. Formação de profissionais da educação: visão crítica e perspectiva de mudança. In: PIMENTA, Selma Garrido (org.). Pedagogia e pedagogos: caminhos e perspectivas. São Paulo: Cortez, MELLO, Guiomar Nano de. Formação inicial de professores para educação básica: uma (re) visão radical. Revista São Paulo em Perspectiva. São Paulo: SEADE, v.14, n.1, p , jan./mar MIZUKAMI, M. G. N. Formação de professores, tendências atuais. São Carlos: EdUFSCar, NACARATO, Adair Mendes. et al. Os graduando em pedagogia e suas filosofias pessoais frente à matemática e seu ensino. ZETETIKÉ. São Paulo: Cempem, Unicamp, v.12, n.21, jan./jun PIRES, Célia Maria Carolino. Reflexões sobre os cursos de Licenciatura em Matemática, tomando como referência as orientações propostas nas Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores da educação básica. Educação Matemática em Revista. São Paulo, ano 9, n.11, p.44-56, PONTE, João Pedro da. A vertente profissional da formação inicial de professores de Matemática. Educação Matemática em Revista, p.3-8, Disponível em: < jponte/docs-pt/02-ponte%20(sbem).pdf>. Acesso em: 15 abr SERRAZINA, Lurdes. A formação para o ensino da Matemática. Perspectivas futuras. In:. (org.). A formação para o ensino da Matemática na Educação Pré-Escolar e no 1º Ciclo do Ensino Básico. Lisboa: Porto, 2002, p A formação matemática dos professores das séries iniciais. APM, v.14, n.1, p , Disponível em: < PT> Acesso em: 25 maio SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational, v.15, n.2, p.4-14, SILVA, Carmem Silvia Bissoli da. Curso de Pedagogia no Brasil: história e identidade. Campinas: Autores Associados, Marlisa Bernardi de Almeida aluna do Programa de Mestrado em Educação para a Ciência e o Ensino da Matemática da Universidade Estadual de Maringá (UEM). marlisabernardi@yahoo.com.br Maria das Graças de Lima Doutora em Geografia Humana. Professora orientadora do Programa de Mestrado em Educação para a Ciência e o Ensino da Matemática, da Universidade Estadual de Maringá (UEM), no estado do Paraná. mglima@uem.br Recebido em: 02/04/2009 Concluído em: 13/10/ EMR-RS - ANO número 10 - v.2

21 EDUCAÇÃO AMBIENTAL NA PRÁTICA DE SALA DE AULA: CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA Environmental Education in the Practice of the Classroom: Mathematical Modelling Contributions Kátia Luciane Souza da Rocha Eleni Bisognin Resumo Neste artigo são apresentados resultados parciais de uma investigação que tem como objetivo analisar a contribuição do uso da Modelagem Matemática no estudo de funções envolvendo a exploração de questões ambientais. A pesquisa foi desenvolvida numa perspectiva qualitativa, cujos dados foram obtidos por meio de observações e entrevistas, com o propósito de melhor compreender os fatos descritos. A experiência foi realizada com alunos de 8ª série de uma escola pública do município de São Gabriel/RS e envolveu o tema Plantação de Eucaliptos. Foram construídos modelos matemáticos que descrevem as situações estudadas, bem como foram analisadas as vantagens e desvantagens do plantio de eucaliptos para o Bioma Pampa. A questão ambiental mostrou-se um campo propício para o ensino de Matemática na perspectiva da Modelagem Matemática. Palavras-chave: Modelagem Matemática. Educação Ambiental. Ensino de Matemática. Abstract This article presents partial results of an investigation that has as objective to analyze the contribution of the use of the Mathematical Modeling in the study of functions involving the exploration of environmental subjects. The research was developed in a qualitative perspective, whose data were obtained through observations and interviews, with the purpose of best comprehension of the described facts. The experience was accomplished with students of 8th series, of a public school in the municipal district of São Gabriel, RS, and it involved the theme Plantation of Eucalyptuses. Mathematical models were built, that described the studied situations, as well as the advantages and disadvantages of the planting of eucalyptuses, for Bioma Pampa. The environmental subject was shown a favorable field for the teaching of Mathematics in the perspective of the Mathematical Modeling. Keywords: Mathematical Modeling. Environmental Education. Teaching Mathematics. Introdução A partir da década de 50, a preocupação com os efeitos ou impactos decorrentes da ação do homem, na natureza, passou a merecer maior atenção, pois a qualidade de vida de algumas regiões do planeta estava aquém do que se almejava. Surgiram, assim, movimentos ambientalistas em vários países, e a questão ambiental passou a ser discutida com maior ênfase em conferências nacionais e internacionais. Neste enfoque, a conscientização das comunidades locais sobre seus problemas e potencialidades fez emergir a necessidade de uma nova forma de os educadores tratarem as questões ambientais. Essa preocupação tem direcionado os especialistas responsáveis pelas EMR-RS - ANO número 10 - v.2 - pp. 21 a 27 21

22 políticas educacionais a reorientarem os profissionais da educação básica, tendo como base os novos questionamentos socioambientais. Esse foi um novo desafio posto aos professores, de um modo geral, e aos professores de Matemática, em particular. Muitos trabalhos têm sido realizados com a temática do meio ambiente e de questões ambientais, como tópicos importantes de pesquisa em Educação Matemática no Brasil e exterior. Neste trabalho, tem-se como objetivo focalizar o tema Plantio de Eucaliptos utilizando-se a metodologia da Modelagem Matemática. A escolha desse tema, para o trabalho de sala de aula, deu-se em virtude de a escola estar localizada em uma região em que o plantio de eucaliptos é uma das principais atividades para as quais se empregam trabalhadores neste caso, os familiares dos alunos. Considerando-se a relevância do tema, elaboraram-se as seguintes questões: pode a Modelagem Matemática contribuir para a análise de questões ambientais e para o ensino de funções para alunos de uma 8ª série do ensino fundamental? De que modo pode ocorrer essa contribuição? Essas questões direcionaram o presente trabalho. Dois anos de debates e discussões foram necessários para que o Conselho Nacional de Educação aprovasse, em 1997, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), os quais se constituem num subsídio para auxiliar a escola na elaboração do seu projeto educativo, permitindo-lhe a inserção de procedimentos, atitudes e valores no convívio escolar. Além disso, permitiu que alguns temas sociais, denominados temas transversais, como meio ambiente, ética, pluralidade cultural, trabalho, consumo e outros, eleitos pelas escolas e/ou comunidades, também viessem a ser discutidos na escola. No Brasil, a regulamentação da Educação Ambiental ocorreu em 1999, com o propósito de desenvolver ações a partir de diretrizes definidas por lei, cuja regulamentação definiu que a coordenação da Política Nacional de Educação ficaria a cargo de um órgão gestor, dirigido pelos ministros de Estado do Meio Ambiente e da Educação. Na regulamentação da Educação Ambiental, encontra-se a seguinte definição: Entende-se por educação ambiental os processos por meio dos quais o indivíduo e a coletividade constroem valores sociais, conhecimentos, habilidades, atitudes e competências voltados para a conservação do meio ambiente, bem de uso comum do povo, essencial à sadia qualidade de vida e sua sustentabilidade. (BRASIL, Lei 9.795/99) Tendo em vista essa definição, a preocupação do professor e da escola deixa de ser apenas a formação de indivíduos isoladamente, mas sim a transformação coletiva, capaz de proporcionar mudanças na sociedade e oportunizar aos educandos uma visão crítica das questões ambientais. A proposta de inserir o tema Plantio de Eucaliptos na região fronteira-oeste do Estado do Rio Grande do Sul, local onde o Bioma Pampa tem grande valor para a biodiversidade regional, pretende oportunizar aos alunos participantes desta pesquisa a participação nas discussões sobre a polêmica socioambiental, a qual envolveu a região nos últimos anos, visto que os efeitos ambientais da plantação de eucaliptos ainda são indefinidos, controversos e passíveis de muitas especulações. As discussões sobre o plantio de eucaliptos decorrem de três aspectos: a) a polêmica sobre a demanda de água da espécie; b) se a demanda por nutrientes da espécie desestabiliza ou não o ciclo de nutrientes do ecossistema da região, e c) se a fertilidade do solo é afetada pela liberação de substâncias químicas que podem prejudicar o plantio de outras árvores. Dessa forma, o eucalipto, apesar de ter se tornado uma espécie comum na zona rural da maioria dos países de clima quente, nem todos apoiam seu plantio entusiasticamente. Na realidade, o debate se intensifica mais acirradamente à medida que aumenta a área plantada. A escola onde esta pesquisa foi desenvolvida abriga muitos alunos oriundos de famílias inseridas no quadro de funcionários de empresas que cuidam do plantio de eucaliptos nas fazendas do município e região. Diante disso, o tema em questão gerou polêmica e despertou o interesse dos alunos em participar das discussões sobre o assunto, em sala de aula. Desse contexto, surgiu a seguinte proposição: como conjugar as discussões sobre o tema e o ensino e a aprendizagem de Matemática? 22 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

23 O percurso da pesquisa e análise da experiência A pesquisa foi realizada em uma turma de 24 alunos, da 8ª série do ensino fundamental, de uma escola pública do município de São Gabriel, no Rio Grande do Sul, e foi desenvolvida na perspectiva qualitativa. Os instrumentos utilizados para obtenção dos dados foram: a observação direta da professora, o diário de campo da professora e a análise dos trabalhos elaborados pelos alunos, configurando a pesquisa em um estudo de caso. A pesquisa desenvolveu-se no segundo semestre de 2008, em períodos extraclasse, durante dois meses, ao mesmo tempo em que a professora desenvolvia o conteúdo de funções, utilizando a Modelagem Matemática como metodologia de ensino. Neste trabalho é relatada uma das atividades desenvolvidas com os alunos em sala de aula. O processo de modelagem desenvolvido em sala de aula seguiu as etapas sugeridas por Burak (2004), conforme segue: 1º) a escolha do tema foi eleita pelos alunos a partir da curiosidade e da preocupação com o plantio de eucaliptos no município e arredores, visto que alguns de seus familiares estavam diretamente envolvidos no plantio, pois trabalham para as companhias produtoras de celulose; 2º) a pesquisa exploratória foi realizada a partir da visita a uma empresa responsável pela maioria das plantações de eucalipto do município e, também, através de palestra informativa, proferida por um engenheiro florestal convidado pela professora; 3º) a pesquisa exploratória propiciou a elaboração de situações-problema levantadas pelos alunos e pela professora; 4º) a solução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático foram feitos a partir dos dados coletados pelos alunos e foram organizados em tabelas e gráficos a fim de serem explorados mais atentamente, construindo um modelo que representasse a situação pesquisada; 5º) por último, foi feita a análise crítica das atividades e soluções, bem como foram analisadas as vantagens e desvantagens do plantio de eucaliptos para o Bioma Pampa. A primeira pergunta feita pelos alunos, na visita à fazenda, foi sobre a altura máxima de um eucalipto. Para responder à questão, a professora orientou os alunos a buscarem dados referentes à altura e o tempo de vida de um eucalipto. Os alunos, então, consultaram seus familiares, conversaram com os técnicos agrícolas e engenheiros florestais das empresas responsáveis pelo plantio de eucaliptos da região para obterem as informações. A seguir, a professora orientou-os na elaboração da tabela dos dados obtidos, conforme expresso na Tabela 1. Tabela 1: altura de uma árvore de eucalipto. Tempo de vida (anos) Altura (metros) 0, Fonte: empresa Aracruz. Esses dados elencados na Tabela 1 foram obtidos pelos alunos a partir do procedimento elaborado pela indústria produtora de celulose, que efetua o corte da planta aproximadamente sete anos após o plantio, porém os alunos comentaram que um eucalipto tem uma vida média muito maior do que sete anos. Analisando os dados da Tabela 1, observase que há um aumento da altura em relação ao tempo de vida de uma árvore de eucalipto. Para melhor analisar o comportamento dos dados, traçou-se um gráfico onde no eixo x representouse o tempo e, no eixo y, a altura do eucalipto. Figura 1: altura de uma árvore de eucalipto. Pelo gráfico traçado, pode-se considerar que o crescimento do eucalipto aproxima-se de uma função linear. A professora desafiou os alunos a descobrirem uma função que descrevesse esse fato a partir da pergunta: quanto o eucalipto cresceu a cada ano? Os alunos efetuaram os cálculos e encontraram a altura do eucalipto subtraindo a altura do ano anterior da altura do ano correspondente. Considerando que, no plantio, a muda de eucalipto já tem uma altura de 40cm, os alunos construíram a Tabela 2. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 23

24 Tabela 2: crescimento anual de um eucalipto. Ano Altura (m) 0,40 5, Fonte: dados calculados pelos alunos. Como, em cada ano, o crescimento foi diferente, a professora solicitou aos alunos que fizessem uma média entre as alturas do eucalipto nos 7 anos de vida. Ao fazerem o cálculo, eles determinaram o valor 4,2, isto é, verificaram que o eucalipto cresceu anualmente, em média, 4 metros e 20 centímetros. Ao traçar o gráfico com esses valores, alguns alunos desenharam a reta, partindo da origem. Outros grupos, mais atentos, comentaram que a reta não poderia começar da origem, pois, na hora do plantio, a muda já mede 40cm de altura. A professora ainda indagou: é possível descobrir a função que descreve esse crescimento? Alguns alunos analisaram o gráfico para tentar descobrir a função. Um grupo comentou que a equação deveria ser y = 4,2x, pois, a cada ano, o eucalipto crescia 4,2m. A professora desenhou no quadro o gráfico da reta. Ao verificarem que o gráfico passava pela origem, os alunos salientaram que não era essa a função, pois não foi considerada a altura do eucalipto na hora do plantio. Dessa forma, questionouse: como podemos modificar essa função para que o gráfico indique ter sido a muda plantada com 40cm de altura? A resposta a essa pergunta foi obtida pelos alunos juntamente com a professora, analisando o gráfico e com a explicação sobre o significado das variáveis. A partir disso, concluíram que a equação que descrevia o crescimento do eucalipto podia ser y = 4,2x + 0,40. Essa atividade permitiu explorar uma das propriedades fundamentais da função linear e dar um significado aos coeficientes da equação da reta. De acordo com os dados fornecidos pelo engenheiro florestal em sua palestra, os alunos obtiveram a informação que um eucalipto tem uma vida média de cem anos. Assim, eles propuseram descobrir a altura de um eucalipto com 50 anos. Mas, com o modelo construído, os alunos verificaram que, aos 50 anos, a altura do eucalipto seria muito grande. Então concluíram que o modelo obtido não era adequado para descrever a altura da árvore em qualquer tempo. Por meio do modelo linear encontrado, a altura do eucalipto com esse tempo de vida seria de aproximadamente 210,40 metros, quando, na verdade, de acordo com as informações do engenheiro florestal, essa altura não ultrapassa, em média, 50 metros. A professora sugeriu, então, revisar o modelo construído e buscar mais dados para construir um modelo que melhor descrevesse o crescimento de um eucalipto. Para tanto, os alunos buscaram dados reais na Internet e em revistas especializadas sobre a altura atingida por um eucalipto. Os dados obtidos constam na Tabela 3. Tabela 3: crescimento do eucalipto. Tempo (anos) Altura (metros) 0, Fonte: informações fornecidas pela empresa Aracruz. Com essas informações, a professora estimulou-os a usarem um programa computacional para representar graficamente os dados coletados. Optou-se pelo uso do software Excel para traçar o gráfico mostrado na Figura 2. Figura 2: altura de uma árvore de eucalipto. A busca de uma função que representasse o gráfico construído fugia aos propósitos do estudo de funções de uma turma de 8ª série, por isso o modelo, nesse caso, não foi expresso por meio de uma função, e sim por meio de um gráfico. Com o propósito de explorar o modelo construído graficamente, a professora solicitou aos alunos analisarem a sequência dos valores da Tabela 3, correspondentes à altura do eucalipto. Vários questionamentos foram feitos aos alunos, tais como: a) a sequência dos valores que representam a altura é crescente? b) o eucalipto cresce igualmente a cada ano? 24 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

25 Os alunos responderam afirmativamente à primeira questão. Alguns alunos, mais atentos, comentaram que o eucalipto crescia, mas que não ultrapassava 51 metros. Quando o eucalipto atingia aproximadamente essa altura, ele parava de crescer ou crescia mais lentamente. Para responder à segunda questão, os alunos analisaram o gráfico e perceberam que, nos dez primeiros anos, o eucalipto cresce mais rapidamente. Cada grupo calculou quantos metros o eucalipto cresceu, a cada ano, na primeira década e compararam com a altura atingida nas demais décadas até 100 anos. Esses cálculos favoreceram a compreensão sobre a velocidade de crescimento e concluíram também porque a indústria efetua o corte dos eucaliptos aproximadamente aos 7 anos, pois, após esse período, o crescimento não é tão acentuado. Essa atividade permitiu responder à indagação feita por alguns alunos sobre quantos anos, após o plantio, os eucaliptos são cortados para a produção de celulose. Na verdade, os alunos queriam saber qual o tempo ótimo para o corte das árvores pela indústria. Eles analisaram as informações obtidas de seus familiares e dos técnicos da indústria e compararam com os dados do gráfico representativo do crescimento do eucalipto para verificar se os dados do gráfico correspondiam à realidade. Outras questões foram colocadas pela professora, tais como: c) observando o gráfico, é possível descobrir o domínio e o conjunto imagem da função mesmo sem conhecer sua lei? d) que relação há entre o tempo de vida e a altura do eucalipto com o domínio e o conjunto imagem? Esses questionamentos tinham como propósito dar um significado aos conceitos de domínio e imagem de uma função. Ao indagar se o número 300 poderia pertencer ao domínio da função, os alunos responderam que não, pois nunca viram um eucalipto durar 300 anos. Essas respostas confirmam que, quando o problema está relacionado à vida dos alunos, a aprendizagem tem significado para eles. A professora continuou a desafiá-los e pôs a seguinte questão: e) tentem descobrir no gráfico quanto o eucalipto cresceu, a cada ano, na última década. Para descobrir esses valores, os alunos fizeram aproximações e obtiveram as alturas mostradas na Tabela 4. Tabela 4: aproximações da altura de um eucalipto dos 90 aos 100 anos. Tempo (anos) Altura (metros) ,2 50,3 50,4 50,5 50,6 50,7 50,8 50, Fonte: dados calculados pelos alunos. Observando os dados da Tabela 4, de que valor a altura do eucalipto está se aproximando? Ao analisarem os valores obtidos, os alunos chegaram à conclusão que 51m era a altura máxima do eucalipto. Eles comentaram: Aluno 1:... diminuiu o crescimento. O eucalipto pode viver mais alguns anos, mas ele não cresce muito mais do que isso... Aluno 2:... logo que planta ele cresce muito, depois cresce muito mais lento... A professora aproveitou a discussão dos alunos e analisou com a turma a convergência da sequência dos números representativos da altura do eucalipto. Aluno 1:... quer dizer que dá para traçar uma reta aqui em cima (do gráfico) que a altura não chega até lá? A professora solicitou que fizessem isso e, no laboratório de informática, auxiliou-os a traçar a reta com a ajuda do software Excel. Ela aproveitou a ocasião para explorar, nesse momento, a noção de assíntota horizontal. Figura 3: representação da assíntota horizontal. Esses conceitos não faziam parte dos conteúdos que deveriam ser desenvolvidos na 8ª série, mas as perguntas dos alunos propiciaram EMR-RS - ANO número 10 - v.2 25

26 essa abordagem, pois fazia parte da realidade deles. Sensível a essa realidade, a professora instigou-os a explorar os dados com mais profundidade e buscar respostas às indagações feitas. Villa-Ochoa et al. (2009) coloca que é necessário desenvolver o sentido de realidade, entendido como... la sensibilidad que un profesor debe tener frente a la realidad, que además incluye la intuición y la capacidad de detectar las situaciones y oportunidades del contexto sociocultural frente a las cuales se pueda movilizar el conocimiento de los estudiantes, dicho sentido incluye una buena dosis de imaginación y creatividad. (VILLA- OCHOA et al., 2009, p.169) A etapa da validação do modelo foi um momento significativo, pois os alunos conseguiram estabelecer relações entre o que observavam no seu dia a dia com o que estava sendo abordado em sala de aula. Após a análise e validação do modelo matemático construído, foi solicitado aos alunos que fizessem um levantamento das vantagens e desvantagens da instalação de uma indústria de produção de celulose na região. Muitas das respostas dos alunos apontaram, inicialmente, as vantagens da vinda da indústria, pois assim seus familiares tiveram a oportunidade de trabalhar. Mas, passados alguns meses do plantio de eucaliptos, a maioria dos trabalhadores foi dispensada, pois nesse momento não é mais necessária a mão-de-obra de vários trabalhadores, diminuindo os empregados mantidos no setor. Outro ponto levantado por alguns alunos foi em relação ao aproveitamento do solo. O modo como os eucaliptos foram plantados na região não permite a plantação de outra cultura, o que dificulta o sustento das famílias. As reflexões feitas em sala de aula, apontando as vantagens e desvantagens do cultivo de eucaliptos, evidenciam o caráter interdisciplinar propiciado pelo uso da Modelagem Matemática como metodologia de ensino. Em vários momentos, percebeu-se o quanto os alunos haviam se apropriado das informações recebidas enquanto pesquisavam, como se pode constatar nessas falas, num dos momentos do trabalho em grupo: Aluno 1:...no dia da visita à plantação de eucalipto, a gente aprendeu que se plantam eucaliptos para celulose, porque ele cresce muito mais rápido aqui no Brasil em relação a outros países... Aluno 2:...sim, e o agricultor pode vender suas árvores quando bem entender, se o preço não tá bom num ano, deixa a árvore lá e só vende no outro ano, e se a plantação for outra, isso não pode... Aluno 1:... a gente também viu que do eucalipto nada se perde, pois as folhas são vendidas separadamente para as indústrias de produtos farmacêuticos, higiene e alimentos... Aluno 2:...é... e da madeira se fazem postes para luz, lenha, carvão, celulose e móveis... Aluno 1: Professora, a gente não sabe se tem desvantagens no plantio de eucaliptos... Aluno 3:...nosso grupo encontrou, durante as pesquisas, que o eucalipto poderia transformar o pampa gaúcho num grande deserto verde, desequilibrando o meio ambiente e a água que tem no solo. Aluno 1:...isso não é bem assim... existem outras plantações que também prejudicam o solo... qualquer monocultura é prejudicial ao solo... meu pai disse que o importante seria trocar de cultivo após a primeira colheita para o solo se restabelecer... Percebeu-se, nessa atividade, o grau de envolvimento dos alunos nas discussões acerca do tema. Notou-se que a motivação dos alunos na busca por informações a respeito desse assunto ia além das aulas, ultrapassando os portões da escola. Os alunos continuavam conversando com seus familiares a respeito do tema, o que enriqueceu as discussões em sala de aula e propiciou um debate e, em alguns casos, a mudança de postura com relação ao que estava sendo abordado. Considerações finais Ensinar matemática através da Modelagem Matemática fez com que os alunos se sentissem mais motivados, pois estudavam Matemática utilizando informações advindas de sua realidade. Nessa tarefa, houve uma ruptura na sequência normalmente utilizada no ensino, onde primeiro se dá uma definição, depois um exemplo, logo mais os exercícios e a resolução de algum problema. 26 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

27 Concorda-se com Bassanezi (2004) quando diz que um teorema deveria ser ensinado a partir da motivação, capaz de fomentar a formulação de hipóteses, a validação dessas hipóteses, discussão e novos questionamentos e depois o enunciado. Segundo ele, estaríamos reinventando o resultado juntamente com os alunos, seguindo o processo de modelagem e conjugando verdadeiramente o binômio ensinoaprendizagem (BASSANEZI, 2004, p.36). Assim, constata-se que a Modelagem Matemática dá novo perfil ao trabalho do professor no momento em que ele deixa de ser detentor do conhecimento e transmissor do saber, e passa a ser percebido como aquele que está conduzindo, participando das atividades (BARBOSA, 2004). As análises feitas nessa investigação permitiram concluir que a Modelagem Matemática favoreceu a participação do aluno nas atividades da sala de aula e fora dela, a aprendizagem de conceitos matemáticos e a exploração do tema. Essa exploração propiciou uma discussão e uma integração entre os conteúdos matemáticos e as questões ambientais, permitindo que os alunos compreendessem a importância da preservação do meio ambiente e analisassem as vantagens e desvantagens do plantio de eucaliptos para o bioma pampa. Referências BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: uma perspectiva. In: ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCA- ÇÃO MATEMÁTICA, 1., 2004, Londrina. Anais... Londrina: UEL, CD-ROM. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 2.ed. São Paulo: Contexto, BRASIL. Lei 9.795, de 27 de abril de Dispõe sobre a Política Nacional de Educação Ambiental. Disponível em: < org/donloads/lei a.pdf> Acesso em: 08 ago BRASIL. Ministério da Educação (1998). Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Disponível em: < mec.gov.br/seb/arquivos/matematica.pdf> Acesso em: 10 out BURAK, D. Modelagem Matemática e a Sala de Aula. In: ENCONTRO PARANAENSE DE MO- DELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1, 2004, Londrina. Anais... Londrina: UEL, CD-ROM. VILLA-OCHOA, J. A. et al. Sentido de Realidad y Modelación Matemática: el caso de Alberto. In: Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p , jul Kátia Luciane Souza da Rocha Mestranda do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria/RS. Eleni Bisognin Doutora em Matemática e professora do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria/RS. Recebido em: 15/09/2009 Concluído em: 13/10/2009 EMR-RS - ANO número 10 - v.2 27

28 28 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

29 UMA ANÁLISE DO DOMÍNIO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS COM ESTUDANTES DA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL Domain Structures Additives: An Analyses with Students from 5 th Grade of Elementary School Eurivalda R. dos S. Santana Irene Maurício Cazorla Antonio Marcelo Oliveira Resumo O presente artigo tem como objetivo apresentar um estudo diagnóstico do domínio das Estruturas Aditivas à luz da Teoria dos Campos Conceituais, com estudantes da 5ª série do ensino fundamental de duas escolas públicas na região Sul da Bahia. Participaram da pesquisa 38 estudantes que responderam a um instrumento com 10 situações-problema de adição e subtração. Não foram encontradas diferenças significativas no desempenho médio por gênero e sim por idade, sendo que os estudantes na idade recomendada (11 e 12 anos) na série tiveram um desempenho superior aos que tinham defasagem série idade. Nas duas situações-problema em que ocorreram as menores taxa de acerto, observou-se que os estudantes não conseguem extrair a informação correta da situação, indicando uma falta de compreensão do enunciado. Situaçõesproblema com números no contexto espacial ou temporal (horas ou anos) também ofereceram dificuldades. Com os protótipos, que, segundo a teoria, são menos complexos, os estudantes não alcançaram o teto de 100% de acerto. Por fim, observou-se que a maior dificuldade reside no cálculo relacional, embora persistam erros no cálculo numérico, como, por exemplo, alguns não conseguiram distinguir as ordens e classes dos números. Esses resultados mostram que é preciso que os professores façam estudos no início do ano escolar, a fim de detectar as lacunas persistentes no domínio dos conceitos do Campo Aditivo e propor ações para reverter esse quadro. Não se pode continuar a ignorar essas lacunas, sob pena de comprometer o ensino de conteúdos matemáticos mais avançados, perpetuando o círculo vicioso da não aprendizagem da Matemática. Palavras-chave: Estruturas Aditivas. Estudo de caso. Ensino fundamental. Abstract This paper aims to reflect a diagnostic study of the domain of additive structures, the light of Conceptual Fields Theory, with students from 5th grade of elementary school, from two public schools in the South of Bahia. Thirty eight students participated, who answered an instrument with 10 problem situations of addition and subtraction. There were no significant differences in average performance by gender, but differences were found by age. The students with the right ages (11 and 12 years) in their respective grades performed better than those with no proportional agegrade. In two problem situations that with more incorrect answer, it was observed that the students can t extract the correct information of the situation, indicating a lack of understanding of the statement. Problem situations with numbers in the context of space or time (hours or years), also imposed difficulties. And the prototypes, which according to the theory are less complex, the students have not reached the ceiling of 100% hit. Finally, we observed EMR-RS - ANO número 10 - v.2 - pp. 29 a 39 29

30 that the greatest difficulty lies in the relational calculus, although there remain errors in the numerical calculation, for example, some could not distinguish between orders and classes of numbers. These results demonstrate the teachers need to conduct studies at the beginning of the school year in order to identify the existing gaps in the concepts of Additive Field and propose actions to reverse this situation. These gaps can t continue to be ignored, which can undermine the teaching of advanced mathematics, perpetuating the vicious circle of the no learning of mathematics. Keywords: Additive Structures. Case study. Elementary school. Introdução O Relatório do Sistema de Avaliação do Ensino Básico (SAEB) de 2005, publicado em Primeiros Resultados SAEB/2005 (2007), aponta, numa escala de 0 a 500, para a proficiência em Matemática uma média de 182,4 para os estudantes da 4ª série, 239,5 da 8ª série do ensino fundamental e 271,3 da 3ª série do ensino médio, não alcançando níveis satisfatórios na prova de Matemática. Na dimensão curricular Números e Operações, alunos com essas médias têm desenvolvidas as capacidades em níveis mais baixos da escala SAEB, como a de calcular resultados de subtrações mais complexas. Todavia, são níveis baixos, pois os estudantes não conseguem efetuar cálculos simples envolvendo as quatro operações, havendo diferenças significativas entre as regiões brasileiras. Não podemos deixar de levar em consideração que o fraco desempenho em Matemática na educação básica acaba por se refletir no desempenho nos cursos de nível universitário que demandam base matemática, ocasionando um elevado número de reprovações nas disciplinas de Cálculo. Muitos cursos são obrigados a oferecer disciplinas de revisão de conteúdos de Matemática, gerando prejuízos para o país. Estudos desenvolvidos no Sul da Bahia por Cazorla e Santana (2005) e Santana e Cazorla (2005), envolvendo 138 professores de escolas públicas de seis municípios, que lecionavam na educação infantil e nas quatro primeiras séries do ensino fundamental, mostram um quadro preocupante. Para a maioria desses professores, o ensino de Matemática até a 4 a série resume-se, basicamente, ao ensino das quatro operações que envolvem os números naturais. As razões mais apontadas para tal condição foram a falta de conhecimentos prévios e as sérias deficiências na leitura e escrita da língua materna por parte dos estudantes. Em consequência, esses professores passam boa parte do ano letivo tentando sanar as deficiências e lacunas da série anterior, sem tempo de trabalhar os conteúdos conceituais e procedimentais da série, formando-se um círculo vicioso e um efeito dominó, que se alastra série após série, acumulando deficiências e dificuldades. Essas deficiências se alastram para a 5ª série 1. Em tese, todo estudante da 5ª série deveria ter um considerável domínio das Estruturas Aditivas. Embora, pela própria Teoria dos Campos Conceituais, sabe-se que o domínio pleno de um Campo Conceitual tem um processo natural de maturação (VERGNAUD, 1982), isto é, mesmo no final da 4ª série, algumas situações-problema 2 mais complexas das Estruturas Aditivas ainda apresentarão dificuldades para alguns estudantes. Estudos realizados na região Sul da Bahia com estudantes de 5ª revelaram que muitos estudantes chegam à série com graves lacunas nas operações fundamentais (PEIXOTO; SANTANA; CAZORLA, 2006). Resultados que são vivenciados nas nossas salas de aula, como professores de Matemática. Esses fatores acabam comprometendo o desenvolvimento dos conteúdos conceituais e procedimentais próprios da 5ª série, tendo que dedicar parte do ano letivo à revisão desses conteúdos. Visando compreender as dificuldades e as lacunas ainda presentes no domínio das Estruturas Aditivas na 5ª série, foi desenvolvida a presente pesquisa, cujas questões norteadoras foram: qual é o nível de domínio das Estruturas Aditivas de estudantes da 5ª série? Que categoria de situações-problema apresenta maior dificuldade na sua solução? 1 5ª série corresponde ao 6º ano da nomenclatura da atual legislação. 2 Adotamos os termos situação-problema e situação como sinônimos. Usamos as duas formas durante todo o texto para nos referirmos aos problemas matemáticos em questão. 30 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

31 A teoria dos campos conceituais A Teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida por Gérard Vergnaud, fornece elementos que possibilitam a análise das dificuldades dos estudantes durante o processo de aquisição do conhecimento. Dessa forma, essa teoria apresenta um quadro coerente para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem de competências complexas. Segundo Vergnaud (1982), o conhecimento deve ser visto dentro de Campos Conceituais. O domínio de um dado Campo Conceitual ocorre dentro de um longo período de tempo por meio da experiência, maturação e aprendizagem. Considerando que as crianças normalmente constroem um Campo Conceitual através da experiência na vida diária e na escola, esses fatores perpassam necessariamente pela vida escolar delas. A aprendizagem é, por excelência, de responsabilidade escolar. Trata-se de um fator que atua na construção do conhecimento do estudante a partir da atuação do professor (suas escolhas, seu planejamento e desenvolvimento de experimentos didáticos). Para Vergnaud, um Campo Conceitual significa: Um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, conteúdos e operações de pensamento conectados um ao outro e provavelmente interligados durante o processo de aquisição. (VERGNAUD, 1982, p.40, tradução nossa) Os componentes de um Campo Conceitual podem ser apresentados aos estudantes através de determinadas situações-problema. Quando confrontados com essas situações, os estudantes mobilizam esquemas que são desenvolvidos de forma individual. Assim, a aquisição de um dado conceito ocorre por intermédio de situações. Quando confrontados com essas situações, os estudantes mobilizam esquemas, que variam de acordo com a experiência e com o desenvolvimento cognitivo do sujeito. Na Teoria dos Campos Conceituais, a construção de um conceito envolve uma terna de conjuntos. Segundo essa teoria, o conceito é chamado simbolicamente de C=(S, I, R), onde: S é um conjunto de situações que tornam o conceito significativo; I é um conjunto de invariantes (propriedades e relações) que podem ser reconhecidos e usados pelo sujeito para analisar e dominar essas situações; R conjunto de formas pertencentes e não pertencentes à linguagem que permitem representar simbolicamente o conceito, as suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (o significante). (VERG- NAUD, 1996, p.166) Pode-se destacar que o conjunto de situações é o referente do conceito; os invariantes são os significados do conceito, enquanto que as representações simbólicas são os significantes. É importante que o professor compreenda que um conceito não emerge de forma isolada ou num único tipo de situação, assim como uma simples situação envolve mais do que um conceito. Por essa razão, o professor precisa preparar e organizar suas atividades, em sala de aula, de forma a oferecer as mais diversas situações em que os conceitos, de um referido Campo Conceitual, estão envolvidos. As estruturas aditivas O Campo Conceitual das Estruturas Aditivas envolve uma grande diversidade de conceitos, tais como o conceito de número (natural, inteiro, racional, etc.), numeral, antecessor, sucessor; ações tais como seriar, ordenar, reunir, somar, acrescentar, subtrair, separar, afastar, transformar, comparar, etc. O conceito de número enquanto medida (maior que, menor que), o Sistema de Numeração Decimal, a base de um sistema de numeração; situações envolvendo esses números, entre outros. Por essa razão, o domínio desse campo ocorre a médio e longo prazo, pois, de um lado, requer a maturação do aprendiz e, de outro, o papel da escola no desenvolvimento, devendo ser proposto ao longo do ensino fundamental. De acordo com Vergnaud (1996), o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas é, ao mesmo tempo, o conjunto das situações cujo tratamento EMR-RS - ANO número 10 - v.2 31

32 implica uma ou várias adições ou subtrações e o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. Existem seis relações de base a partir das quais as situações-problema de adição e subtração podem ser classificadas. Isso tomando como base Vergnaud (1991) e uma releitura nossa: composição: nessa categoria, é possível relacionar parte todo; transformação: nessa categoria, é possível relacionar estado inicial, uma transformação que leva a um estado final; comparação: nessa categoria, é possível relacionar duas partes comparando-as, tendo sempre duas partes, as quais são denominadas de referente e referido, e uma relação fixa entre elas; composição de transformações: nessa categoria são dadas transformações e se busca uma nova, que será determinada através de uma composição; transformação de uma relação estática: nessa categoria, é dada uma relação estática, e busca-se uma nova, que é gerada a partir da transformação da relação estática dada; composição de relações estáticas: nessa categoria, é feita uma composição das relações estáticas dadas. Para entender melhor essa classificação, é preciso ver as considerações feitas nessa teoria para: transformação, relação e medida. Pode-se verificar que Vergnaud (1991) define o conjunto dos números naturais como um conjunto formado por números sem sinal, ou seja, não são nem positivos e nem negativos. N= {0, 1, 2, 3, 4,...} E o conjunto dos inteiros é chamado de conjunto dos números relativos, sendo um conjunto formado por números inteiros positivos ou negativos. Dessa forma, na Teoria dos Campos Conceituais, as medidas são representadas pelos números naturais, são números sem sinal, são chamadas de relações estáticas. As transformações e as relações são representadas pelos números relativos, ou seja, ou são positivas ou são negativas. Buscando uma síntese das situaçõesproblema envolvidas nas Estruturas Aditivas e da sua classificação por extensões desenvolvida por Magina et al. (2008), apresenta-se no Quadro 1 um resumo da classificação dos diferentes tipos de situações para as três primeiras categorias. Extensão Composição Transformação Comparação Protótipo CP Todo desconhecido: Ana tem 4 canetas brancas e 5 pretas. Quantas canetas ela tem ao todo? 1ª extensão C1 Uma das partes desconhecida: Pedro gastou R$12,00 para comprar uma bola e um caderno. O caderno custou R$ 8,00. Quanto custou a bola? TP Estado final desconhecido: Bete tinha 4 bonecas. Papai deu mais 3 bonecas a ela. Quantas bonecas Bete tem agora? T1 Transformação desconhecida: João tinha 6 bolas. Ganhou algumas e ficou com 10. Quantas bolas ele ganhou? 2ª extensão CA2 Referido desconhecido: Cláudio tem 9 figurinhas e Vinícius tem 5 figurinhas a mais que ele. Quantas figuras tem Vinícius? 3ª extensão CA3 Relação desconhecida: Maria tem 5 bonecas e Telma 8 bonecas. Quem que tem menos bonecas? Quantas a menos? 4ª extensão T4 Estado inicial desconhecido: Carla comprou 2 livros e ficou com 10 livros. Quantos livros ela tinha antes? CA4 Referente desconhecido: no final do jogo de gude, Artur ficou com 14 gudes. Sabendo que Artur tem 6 gudes a mais que Everton, com quantos gudes ficou Everton? Quadro 1: exemplos das extensões das três categorias simples das Estruturas Aditivas. Segundo Vergnaud, as situações-problema oferecem naturalmente mais dificuldades quando se tornam mais complexas. Por exemplo, os protótipos são muito intuitivos, e mesmo crianças pequenas conseguem resolver esse tipo de situação. Já as da 4ª extensão, que envolve inversão, são as mais complexas. 32 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

33 Procedimentos metodológicos Trata-se de uma pesquisa do tipo exploratória, que, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006), é utilizada quando o pesquisador, diante de uma problemática ou temática ainda pouco definida e conhecida, resolve realizar um estudo com o intuito de obter informações ou dados mais esclarecedores e consistentes sobre ela, mas também se trata de um estudo de caso, pois os sujeitos foram escolhidos em escolas por amostragem de conveniência. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p.110), o estudo de caso busca retratar a realidade de forma profunda e mais completa possível, enfatizando a interpretação ou análise do objeto, [...] e não favorece a generalização. Para os autores, o caso pode ser qualquer sistema delimitado; em nosso estudo, esse sistema foram as duas turmas de estudantes. Participaram da pesquisa 38 estudantes matriculados na 5ª série, de duas escolas públicas da cidade de Itabuna, localizada na região Sul da Bahia. Foi aplicado um instrumento, do tipo lápis e papel, contendo dez situações-problema de adição e subtração, que foram adaptadas dos livros didáticos da 5ª série. Contudo, a segunda situação tinha dois itens, e por essa razão a resposta foi considerada correta quando o estudante respondeu corretamente aos dois itens simultaneamente; caso o estudante tivesse respondido somente a um dos itens, mesmo que de forma correta, a resposta à situação seria considerada errada. Todavia, para análise do desempenho por situação-problema, a segunda foi desdobrada em duas, sendo o primeiro item uma situaçãoproblema de transformação, e o segundo, de composição. O instrumento foi aplicado nas escolas por um dos pesquisadores, de forma coletiva, durante uma única seção de duas horas/aula, no mês de novembro de As respostas dadas às situações-problema foram categorizadas como certas, atribuindo-se um ponto, e não certas (erradas ou deixadas em branco), atribuindo-se zero ponto; consequentemente, o número de respostas corretas variou de zero a dez. Para analisar as diferenças significativas no desempenho por sexo, foi utilizado o teste t-student, e, por idade, foi utilizada a técnica de análise de variância (ANOVA), por meio do teste F e, quanto este detectou diferenças significativas entre as médias, foi utilizado o teste de comparações múltiplas de Duncan. O nível de significância utilizado foi de 5%, porém em todos os casos as estatísticas foram acompanhadas do p-valor, dando ao leitor liberdade para extrair suas próprias conclusões. O tratamento dos dados foi realizado com o programa estatístico Statistical Package for Social Sciences (SPSS) (NORUSIS, 1993). Análise de resultados Ao todo, participaram da pesquisa 38 estudantes, sendo 23 da Escola A e 15 da Escola B, ambas conveniadas com a Secretaria Estadual de Educação. A idade variou de 10 a 14 anos, sendo que a maioria tinha entre 11 e 12 anos; a idade média foi de 11,9 anos, com desvio padrão 1,2 anos, conforme ilustra a Figura 1. A maioria (57,9%) era do gênero feminino. Figura 1: distribuição da idade dos estudantes. Desempenho dos estudantes O número de respostas corretas variou de zero a dez, com média igual a 5,6 e desvio padrão de 2,5 respostas corretas. A Figura 2 ilustra o desempenho dos estudantes, e nela se pode observar que 42,2% responderam corretamente entre 7 e 8 situações-problema. A mediana do número de respostas corretas foi seis; isso implica que 50% dos estudantes responderam a seis situações ou menos de forma correta. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 33

34 = 0,242). A Figura 3 ilustra o desempenho por gênero. Figura 2: distribuição das notas dos estudantes. O desempenho por gênero mostra que as meninas tiveram um desempenho médio ligeiramente superior, em uma resposta correta e um desempenho mais homogêneo do que os meninos. Essas diferenças, contudo, não foram estatisticamente significativas (t (36) = -1,189; p Figura 3: desempenho na prova por gênero. A diferença do desempenho por idade foi estatisticamente significativa (F (4,33) = 4,029; p = 0,009), conforme mostra a Tabela 1. Pode-se observar que os estudantes na idade certa, na série, foram os que obtiveram melhor desempenho. Tabela 1: desempenho na prova por idade. Nº de respostas corretas Idade Nº de estudantes Mínimo Máximo Média (*) Desvio padrão ,33 ab 1, ,50 a 2, ,45 a 1, ,00 b 2, ,60 b 2,608 Total ,55 2,457 (*) Média com letras iguais não diferem estatisticamente, segundo o teste de Duncan. Análise do desempenho dos estudantes nas situações-problema O Quadro 2 mostra o desempenho dos estudantes em cada tipo de situação-problema na ordem em que foram apresentados no instrumento, e a Figura 4 ilustra o desempenho dos estudantes ordenados pela porcentagem de acertos nas situações-problema. Observase que nenhuma das situações-problema alcançou uma taxa de 100% de acerto, e as duas melhores taxas de acerto aconteceram em protótipos de composição (P1) e de transformação (P4). 34 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

35 Nº Tipo Situação-problema P1 P2* P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Composição protótipo Transformação protótipo Uma empresa tem pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 trabalhando no escritório. Quantas pessoas trabalham nessa empresa? Fazendo seus exercícios diários, Beto correu metros no sábado. No domingo, ele correu 750 metros a mais. a) Quantos metros Beto correu no domingo? Porcentagem Certo Errado Em branco 84,2 13,2 2,6 81,5 13,2 5,3 Composição protótipo b) Quantos metros ele correu nos dois dias? 26,3 21,1 52,6 Transformação 4ª extensão Transformação protótipo Composição de relações estáticas Composição protótipo Comparação 3ª extensão Composição 1ª extensão Transformação 4ª extensão Composição protótipo Responderam corretamente os dois itens a e b. 26,3 68,4 5,3 Depois de gastar R$ 135,00 em uma loja, Gustavo ficou com R$ 265,00. Qual a quantia que ele tinha inicialmente? Quando Daniel nasceu, seu pai tinha 33 anos. Hoje Daniel tem seis anos. Qual a idade atual do pai de Daniel? Comprei três objetos. O primeiro custou R$ 205,00; o segundo custou R$ 123,00 a mais que o primeiro, e o terceiro custou R$ 187,00 mais do que o segundo. Quanto gastei ao todo? Dois amigos saíram da mesma casa, cada um foi para um lado. Marcelo andou 3km para um lado e Rose andou 5km para o outro lado. Qual é a distância que um teria de caminhar para chegar ao outro? Numa sala havia 36 estudantes e 14 cadeiras. Quantas cadeiras precisamos buscar para que todos possam sentar-se? Numa caixa de ovos cabem 36 ovos. A caixa está com 22 ovos. Quantos ovos devemos adicionar para completar a caixa? João completou 18 anos hoje. Em que ano ele nasceu? Logo que acorda, Maria gasta 20 minutos tomando banho, depois ela gasta 10 minutos para tomar café e, em seguida, caminha uma hora e meia para chegar à escola. Quanto tempo Maria gasta desde que acorda até chegar à escola? 71,1 28,9 0,0 79,0 18,4 2,6 10,5 79,0 10,5 34,2 52,6 13,2 73,7 18,4 7,9 76,3 18,4 5,3 42,1 47,4 10,5 57,9 34,2 7,9 * A segunda situação-problema tinha duas questões a e b. Para efeitos de contagem de respostas corretas, foram consideradas corretas apenas aquelas que os estudantes responderam corretamente aos dois itens. Quadro 2: desempenho dos estudantes nas situações-problema das Estruturas Aditivas. O fato de os estudantes não terem conseguido 100% de acerto nas situações-problema protótipos, que são os que oferecem menor dificuldade na sua solução, é preocupante, tendo em vista que se trata de estudantes da 5ª série. Segundo Magina et al. (2008) essas situações são intuitivas, pois as mesmas são tratadas pelas crianças em sua vida diária, mesmo antes de entrar na escola, levando-as a ter melhor desempenho em situações desse tipo. A seguir, apresenta-se uma análise do desempenho dentro das categorias seguindo a ordem decrescente da taxa de acerto. a) Desempenho nas situações-problema de composição A Figura 5 ilustra o desempenho nas situações de composição, que serão analisadas logo a seguir. Figura 5. Desempenho dos estudantes nas situações-problema de composição. Figura 4: desempenho dos estudantes nas situações-problema. A primeira situação-problema era um protótipo de composição: Uma empresa tem EMR-RS - ANO número 10 - v.2 35

36 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 trabalhando no escritório. Quantas pessoas trabalham nessa empresa?. São dadas as duas partes e se pede o valor do todo. A maior parte dos estudantes armou e somou corretamente, atingindo uma taxa de acerto de 84,2%, embora se esperasse que todos os estudantes conseguissem responder de forma correta. Entre os estudantes que não responderam à questão corretamente, foi observado que alguns escolheram a operação correta, porém operaram de forma incorreta, denotando falta de compreensão das ordens e classes dos números. Em estudo similar realizado por Magina et al. (ibid.), com estudantes da grande São Paulo, as autoras encontraram que 91% dos estudantes da 1ª série acertaram as situações de composição protótipo, resultado distante dos encontrados nesta pesquisa. Talvez essa diferença se deva às desigualdades socioconômicas das duas regiões. A oitava situação-problema: Numa caixa de ovos cabem 36 ovos. A caixa está com 22 ovos. Quantos ovos devemos adicionar para completar a caixa?, é uma situação de composição de 1ª extensão. É dado o todo, uma das partes e se pede a outra parte. Aqui os estudantes obtiveram 76,3% de acerto e 18,4% de erro. Todos os que erraram nessa situação somaram, ao invés de subtrair, denotando falta de compreensão do cálculo relacional. Como existe incongruência entre o verbo (adicionar) e a operação a ser realizada (subtração), os resultados levam-nos a acreditar que a expressão devemos adicionar induziu esses estudantes à operação de adição. Considerando que esse é o procedimento comumente observado nas salas de aula, os estudantes são conduzidos da seguinte forma: se o verbo é, por exemplo, adicionar, ganhar, aumentar, a operação a ser realizada é de adição. Essa maneira de conduzir o trabalho com a resolução de situações aditivas dificulta o desenvolvimento das relações de pensamento necessárias, pois o estudante deixa de realizar um cálculo relacional adequado para buscar uma dica que, muitas vezes, não conduz à compreensão da situação e, consequentemente, dos conceitos nela envolvidos. A décima situação-problema: Logo que acorda, Maria gasta 20 minutos tomando banho, depois ela gasta 10 minutos para tomar café e, em seguida, caminha uma hora e meia para chegar à escola. Quanto tempo Maria gasta desde que acorda até chegar à escola? é um protótipo de composição que traz três partes e se pede o todo. Porém, os números envolvidos eram de horas e minutos, isto é, base sexagesimal. Nessa situação, 57,9% acertaram e 34,2% erraram. Entre os estudantes que acertaram, a maior parte converteu as horas em minutos, operaram de forma correta e, depois transformaram os minutos em horas, isto é, utilizaram a base sexagesimal. Outros utilizaram a notação em minutos, sem fazer a conversão, operando corretamente. Já entre os estudantes que erraram, a maioria errou na obtenção da informação esquecendo a última parcela; outros se atrapalham com uma hora e meia, que representaram como 130 ou como 01:00, ou, ainda, como 35. Esses resultados mostram as dificuldades dos estudantes em resolver as situações-problema que envolvem unidades de tempo, indicando a necessidade do trabalho em sala de aula com os sistemas de medidas. A sexta situação-problema: Dois amigos saíram da mesma casa, cada um foi para um lado. Marcelo andou 3km para um lado e Rose andou 5km para o outro lado. Qual é a distância que um teria que caminhar para chegar ao outro?, um protótipo de composição, os números envolvidos estão no contexto espacial, no qual se conhecem as partes caminhadas e se busca o todo. Apenas 34,2% responderam de forma correta adicionando as duas distâncias. Magina et al. (2008) trabalharam com essa mesma situação-problema com estudantes das séries iniciais, e apenas a metade dos estudantes da 4ª série conseguiram responder corretamente à situação. Embora esperássemos que nessa situação os percentuais de acerto ficassem em baixos patamares, a média de acerto de 34,2%, ficou muito abaixo de nossas expectativas. A maioria (52,6%) dos estudantes subtraiu as distâncias ao invés de adicionar; esse esquema de resolução parece estar associado à própria situação, pois os estudantes podem ter imaginado a casa como um referencial, no caso um ponto zero, uma distância de 3km para um lado e outra de 5km para o outro. Assim as distâncias caminhadas estariam em sentidos opostos, o que pode ser associado à operação de subtração, ou seja, a diferença entre as distâncias percorridas seria o que faltava para chegar ao outro. Contudo, estas são apenas inferências sobre as verdadeiras relações de pensamento empregadas 36 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

37 pelos estudantes para colocar 2km como resposta da situação, sendo necessário realizar outras pesquisas mais aprofundadas para entender os esquemas utilizados pelos estudantes. A segunda situação-problema, item b: Quantos metros ele correu nos dois dias? também era um protótipo de composição, porém acompanhava um primeiro item. A maior parte (52,6%) dos estudantes deixou em branco; 21,1% erraram e apenas 26,3% acertaram. Parece que os estudantes compreendem que responder o primeiro item é suficiente. b) Desempenho nas situações-problema de transformação O desempenho nas situações-problema de transformação pode ser apreciado na Figura 6. Sendo mais fácil a segunda, item (a) e, a mais difícil a nona, que é de 4ª extensão, com inversão. Figura 6: desempenho dos estudantes nas situações-problema de transformação. A segunda situação-problema, item a: Fazendo seus exercícios diários, Beto correu metros no sábado. No domingo, ele correu 750 metros a mais. a) Quantos metros Beto correu no domingo? Um protótipo de transformação. A maior parte dos estudantes respondeu corretamente (81,5%) e 13,2% erraram. Os erros mais frequentes foram: escolher a operação de subtração no lugar da adição, e, ao escolher a adição, errar ao efetuá-la. A expressão a mais é congruente com a operação a ser realizada (adição), talvez essa congruência tenha efeito direto no bom desempenho dos estudantes. Vale ressaltar, ainda, que uma parte dos estudantes que errou o fez no cálculo numérico, pois escolheu a operação de adição corretamente, porém teve dificuldades ao efetuar a operação. A quarta situação-problema um protótipo de transformação: Quando Daniel nasceu, seu pai tinha 33 anos; hoje, Daniel tem seis anos. Qual é a idade atual do pai de Daniel?. A informação da transformação é dada pela idade do filho. Nessa situação, 79,0% acertaram e 18,4% erraram. Os erros mais comuns foram: errar ao efetuar a operação (erro no cálculo numérico); extrair as informações de forma incorreta na situação (erro no cálculo relacional); errar na escolha da operação (erro no cálculo relacional). Observa-se que, entre os estudantes que erraram, os tipos de erro estão de certa forma mais ligados ao cálculo relacional do que ao cálculo numérico. A terceira situação-problema: Depois de gastar R$ 135,00 em uma loja, Gustavo ficou com R$ 265,00. Qual a quantia que ele tinha inicialmente?. Uma transformação de 4ª extensão com inversão. Os estudantes foram relativamente bem, uma vez que 71,1% responderam de forma correta e 28,9% erraram. Entre os erros, novamente os mais frequentes aconteceram no cálculo relacional, quando os estudantes erraram na escolha da operação e na obtenção dos dados da situação. A nona situação-problema: João completou 18 anos hoje. Em que ano ele nasceu?. Transformação de 4ª extensão com inversão, em que 42,1% acertaram, tendo 47,4% de erros. Sendo que os erros aconteceram tanto na operacionalização do algoritmo (no cálculo numérico) como na obtenção dos dados da situação e na escolha da operação (cálculo relacional). Observa-se que os estudantes apresentaram maior dificuldade na resolução dessa situação que na terceira. Os resultados mostram certa dificuldade dos estudantes para relacionar a idade de João hoje, com o ano atual do calendário. A omissão das informações, ou seja, as informações não serem colocadas de forma explícita parece ser um fator de interferência no desempenho. Mais uma vez um fator ligado ao cálculo relacional parece exercer forte influência no desempenho dos estudantes. c) Desempenho na situação-problema composição de relações estáticas A quinta situação-problema: Comprei três objetos. O primeiro custou R$ 205,00; o segundo custou R$ 123,00 a mais que o primeiro, e o ter- EMR-RS - ANO número 10 - v.2 37

38 ceiro, custou R$ 187,00 mais do que o segundo. Quanto gastei ao todo? é classificada na categoria composição de relações estáticas por causa das relações envolvidas em sua estrutura. Há três relações estáticas dispostas dentro da situação apresentada. Contudo, devemos considerar que para obter o valor das relações o estudante vai resolver duas comparações de 2ª extensão. Estamos, porém, analisando apenas a estrutura maior da situação, que é uma composição de relações estáticas. Já era esperado um baixo desempenho dos estudantes nessa categoria, visto sua complexidade e por ser uma categoria pouco trabalhada em sala de aula. Dessa forma, apenas 10,5% responderam de forma correta, e esses estudantes utilizaram o seguinte esquema de resolução: 1º objeto 2º objeto 3º objeto Os três objetos A maior parte dos estudantes (79,0%) errou no cálculo relacional, somando os três valores, o que correspondia ao preço do terceiro objeto, esquecendo de encontrar o valor do segundo objeto e o valor total da compra, como se mostra a seguir: Erra na soma dos três º º º 838 Erra na obtenção da informação Opera corretamente º º º 638 Soma os três valores de forma errada 205,00 123,00 187, Os estudantes não conseguiram compreender as relações de comparação estabelecida na situação. A tendência foi apenas repetir o valor a mais de cada objeto, indicando que o estudante toma apenas os valores numéricos, sem interpretar as relações apresentadas. Contudo, essas são apenas conjecturas sobre as verdadeiras relações de pensamento utilizadas pelos estudantes. d) Desempenho na situação-problema de comparação A sétima situação-problema: Numa sala havia 36 estudantes e 14 cadeiras. Quantas cadeiras precisamos buscar para que todos possam sentar-se?. A única de comparação sendo de 3ª extensão e houve uma boa taxa de acerto (73,7%), sendo 18,4% de erros. A seguir, dois tipos de erros registrados pelos estudantes na resolução dessa situação, sendo um apenas no cálculo relacional e outro no cálculo relacional e no numérico. Erra na escolha da operação, porém soma corretamente (cálculo relacional) Erra na escolha da operação e soma errado (cálculo relacional e numérico) Observa-se que a maioria dos estudantes que erraram fez o cálculo numérico corretamente, porém demonstrou certa falta de compreensão da situação tendo dificuldades para estabelecer as relações dos valores apresentados. Implicando uma concentração de erros no cálculo relacional. Parece que a palavra precisamos buscar induziu à adição, pois, ao aumentar o número de cadeiras, o estudante pode ter relacionado à operação de adição. Considerações finais Entre os principais resultados, podem ser destacados que mesmo em situações-problema protótipos, os estudantes não conseguem fechar 100% de acerto. Por outro lado, as situações nas quais a taxa de acerto é pequena, a razão é a falta de compreensão da situação, esquecendo de responder a todas as questões contidas em cada situação-problema, havendo uma concentração dos erros ligados ao cálculo relacional, ou seja, são apontadas lacunas na interpretação e compreensão das situações. Esses resultados nos permitem inferir que os estudantes da 5ª série envolvidos na presente pesquisa demonstraram ter um baixo nível de domínio do Campo Aditivo. A categoria composição de relações estáticas foi a que apresentou maior dificuldade na sua solução. Todavia, podemos afirmar que a taxa de acerto cai substancialmente quando: as situações são mais complexas; envolvem o contexto espacial; utilizam o significado do número na base sexagesimal (base 60), e usam o tempo em anos. Resultados similares foram encontrados por Magina et al. (2008), Magina e Campos (2004) e ratificados no Sul da Bahia por Santana, Cazorla e Campos (2006). Um agravante desses resultados é que se trata de estudantes da 5ª série, no final do ano letivo, isto é, quase concluintes da 5ª série. 38 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

39 A persistência dos erros ligados ao cálculo relacional indica que os estudantes ainda não sabem qual é a operação correta a ser escolhida. Além disso, ainda persistem erros sérios de armar e efetuar as operações, mostrando certo desconhecimento das propriedades do Sistema de Numeração Decimal. Há indícios de que os resultados aqui encontrados são uma realidade na escola pública da região. Contudo, para se verificar a validade dessa assertiva, seria necessário um estudo mais abrangente. Os resultados abrem novas interrogações, como, por exemplo: será que essas tendências se confirmariam em outras escolas públicas da região?; esse fenômeno ocorre também nas escolas particulares?; quais as categorias de situaçõesproblema e como os professores abordam o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas? Finalmente, recomenda-se aos os professores que no início do ano letivo façam uma sondagem para saber quais os conteúdos de Matemática que os estudantes têm domínio e, se preciso, fazer um nivelamento a fim de romper o círculo vicioso da não aprendizagem da Matemática. Referências CAZORLA, Irene. M.; SANTANA, Eurivalda. R. dos S. Concepções, atitudes e crenças em relação à Matemática na formação do professor da educação básica. In: Anais do 28ª Reunião Anual da ANPED. Caxambu/MG, CD-ROM. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em Educação Matemática: percursos metodológicos. Campinas/SP: Autores Associados, MAGINA, Sandra; CAMPOS, Tânia. M. M. As estratégias dos s na resolução de problemas aditivos: um estudo diagnóstico. Educação Matemática Pesquisa. São Paulo 6(1), p.53-71, MAGINA, Sandra. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. São Paulo: PROEM, NORUSSIS, M. J. SPSS for WINDOWS Base System User s Guide Release 6.0. Chicago, IL: SPSS Inc., PEIXOTO, Jurema. L. B.; SANTANA, Eurivalda. R. S.; CAZORLA, I. M. Soroban: uma ferramenta para compreensão das quatro operações. Itabuna: Via Litterarum, SAEB/2005. Primeiros resultados: médias de desempenho do SAEB/2005 em perspectiva comparada. Brasília, fev Disponível em: < SAEB1995_2005.pdf>. Acesso em 22 mar SANTANA, Eurivalda. R. dos S.; CAZORLA, Irene M. Encontros e desencontros no ensino de Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental. In: Anais III Congresso Internacional de Ensino de Matemática. Porto Alegre, SANTANA, Eurivalda. R. S.; CAZORLA, Irene. M.; CAMPOS, Tânia. M. M. Diagnóstico do desempenho de estudantes em diferentes situações no campo conceitual das estruturas aditivas. In: III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Águas de Lindoia, VERGNAUD, Gèrard. A classification of cognitive tasks and operations of thought involved in addition and subtraction problems. In: CARPENTER, T.; MOSER, J.; ROMBERG, T. (Eds.). Addition and subtraction. A cognitive perspective. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. p.39-59, El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. México: Trillas, A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didática das matemáticas. Tradução por Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, p Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana Professora da Universidade Estadual de Santa Cruz-BA. Rua Ana Moura, 75. Bairro Novo Itamarati. CEP: Camacan/BA. Fone (73) eurivalda@hotmail.com Irene Mauricio Cazorla Professora da Universidade Estadual de Santa Cruz/BA. Rua Rui Barbosa, 934. Centro. CEP Itabuna/BA. Fone: (73) icazorla@uol.com.br Antonio Marcelo Oliveira Professor da rede estadual, Escola Lions Clube de Itabuna/BA. Recebido em: 02/09/2009 Concluído em: 16/10/2009 EMR-RS - ANO número 10 - v.2 39

40 40 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

41 CÓDIGOS E SENHAS NO ENSINO BÁSICO 1 Codes and Passwords in Basic Education Claudia Lisete Oliveira Groenwald Rosvita Fuelber Franke Clarissa de Assis Olgin Resumo Criptografia é a arte de escrever mensagens cifradas que, nos dias atuais, é muito utilizada em processos eletrônicos, transmissão digital de informações, transações bancárias online, sistemas de compras eletrônicos, entre outras aplicações muito utilizadas na vida moderna. Neste artigo, apresentamos o tema criptografia utilizando códigos e senhas como motivadores e geradores de situações didáticas para o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem da Matemática no ensino básico. Esse tema pode contribuir para enriquecer as aulas de Matemática, pois coloca à disposição do professor atividades e jogos de codificação e decodificação envolvendo os conteúdos, sendo um material útil para exercícios e fixação dos conteúdos matemáticos trabalhados no ensino básico. Este artigo é fruto da pesquisa Teoria dos Números, que vem sendo desenvolvida na Universidade Luterana do Brasil, desde 2002, vinculada ao Grupo de Estudos Curriculares em Educação Matemática (GECEM). Palavras-chave: Criptografia. Ensino e Aprendizagem. Educação Matemática. Abstract Cryptography is the art of writing ciphered messages which, nowadays, is way too much used in electronic processes, digital information transmission, online banking transactions, purchasing electronic systems, among other applications extremely used in modern life. In this work we present the subject cryptography in a code-password-cipher use as a didactic situation motivator and creator for the development of the Mathematics Teaching/Learning process, in Basic Education. This subject can contribute to enrich the Mathematics classes, because it disposes to the teacher codification and decoding activities and games involving the contents, being a useful material for exercises and setting of the worked mathematical contents in Basic Education. This work is based on the research Theory of the Numbers that has been developed at Universidade Luterana do Brasil, since 2002, tied with the Group of Curricular Studies in Mathematics Education (GECEM). Keywords: Cryptography. Teaching and learning. Mathematics Education. 1 Introdução O ponto de referência do processo de ensino e aprendizagem da Matemática deve ser a abordagem de assuntos de interesse do aluno, que estimulem a curiosidade e que desencadeiem um processo que permita a construção de novos conhecimentos. A Matemática torna-se interessante e motivadora para a aprendizagem quando 1 Projeto inserido no convênio de pesquisa ULBRA/HP Calculadoras. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 - pp. 41 a 50 41

42 desenvolvida de forma integrada e relacionada a outros conhecimentos, trazendo o desafio de desenvolver competências e habilidades formadoras do pensamento matemático. Este artigo visa salientar a importância da utilização de atividades didáticas adequadas para o desenvolvimento do pensamento matemático, apresentando o tema criptografia, utilizando códigos e senhas, como motivador e gerador de situações didáticas que permitam o aprofundamento da compreensão dos conceitos matemáticos, possibilitando ao aluno perceber a utilização do conhecimento matemático em situações práticas. O trabalho é um recorte da pesquisa Teoria dos Números, que vem sendo desenvolvida na Universidade Luterana do Brasil, desde 2002, e está vinculada ao Grupo de Estudos Curriculares em Educação Matemática (GECEM). 2 Justificativa do tema O tema Criptografia tem um papel importante nos dias atuais, pois é utilizado nos recursos humanos (auditoria eletrônica e lacre de arquivos de pessoal e pagamentos), em compras e vendas (autenticação de ordens eletrônicas de pagamento), nos processos jurídicos (transmissão digital e custódia de contratos), na automação de escritórios (autenticação e privacidade de informações), no código de verificação do ISBN, nos navegadores de Internet, entre outras situações da vida cotidiana. Para Terada (1988), o meio de comunicação digital, controlado por computadores, trouxe flexibilidade e eficiência em gravação, recuperação e distribuição de informações, sendo utilizado em sistemas de transações bancárias on-line, sistema de compras a distância, saques e transferências de fundos com cartões eletrônicos. Porém, segundo o autor, à medida que se intensificam as transmissões de numerosas informações (como transferência de fundos, registros financeiros, médicos, militares etc.) através de meios eletrônicos (satélites, linhas telefônicas, fitas magnéticas etc.), as possibilidades de quebra de segurança e de privacidade aumentam, pois essas transações podem ser modificadas, gerando fraudes. A maneira mais segura de ter uma garantia de que informações transmitidas não serão copiadas, modificadas ou falsificadas é o uso da criptografia. Esse tema pode, também, servir como um instrumento de ensino e aprendizagem no ensino básico, contribuindo para enriquecer as aulas de Matemática, pois coloca à disposição do professor atividades e jogos de codificação e decodificação, envolvendo conteúdos que são trabalhados no ensino básico. De acordo com Cantoral et al. (2000), a criptografia pode ser um elemento motivador para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Para Tamarozzi (2001), exemplos elementares de processos criptográficos podem constituir, para os professores, um material útil para exercícios e fixação de conteúdos matemáticos. As atividades apresentadas neste artigo envolvem os conteúdos relativos às funções quadrática, exponencial e logarítmica, possibilitando ao aluno observar as relações e as propriedades algébricas dessas funções, abrindo espaço para discussões sobre os conceitos de domínio, contradomínio, imagem e função inversa. Há, também, atividades envolvendo códigos e senhas, que envolvem os conceitos aritméticos desenvolvidos no ensino básico. O desenvolvimento das atividades aqui propostas possibilita, também, o uso de calculadoras na sala de aula. Segundo Krist (1995), as calculadoras podem servir de laboratório para os alunos, pois, com esse instrumento, eles podem realizar experiências e desenvolver suas próprias ideias e estratégias. O professor de Matemática pode utilizá-la em sala de aula, de forma planejada, e, assim, ela pode tornar-se um recurso que contribui para o aprendizado dos conteúdos matemáticos, liberando tempo e energia gastos em operações repetitivas, possibilitando que o foco da aula seja a resolução de problemas. Para D Ambrosio (2009), a calculadora permite a primazia do raciocínio qualitativo (criatividade busca do novo) sobre o raciocínio quantitativo (rotina). Segundo Silva (1991), a calculadora deve fazer parte dos recursos que os professores devem utilizar em sala de aula, acompanhada da reflexão das suas potencialidades e de um profundo exame da Matemática que se ensina, por que ensinamos e a forma como ensinamos. 42 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

43 3 Criptografia e sua história Criptografia vem do grego krypto, que significa secreto, oculto, e grapho, que significa grafia. Consiste em codificar informações usando uma chave antes que essas sejam transmitidas, e em decodificá-las, após a recepção, através de um processo de codificação. A criptografia torna possível o envio de mensagens incompreensíveis para uma terceira pessoa que, eventualmente, venha a interceptá-las, mas que poderão ser lidas pelo seu destinatário, que conhece o critério para decifrar o texto encriptado. (TERADA, 1988; TA- MAROZZI, 2001; SCHEINERMAN, 2003; ZATTI; BELTRAME, 2009). Para Tamarozzi (2001), o princípio básico da criptografia é encontrar uma transformação (função) injetiva f entre um conjunto de mensagens escritas em um determinado alfabeto (de letras, números ou outros símbolos) para um conjunto de mensagens codificadas. O desafio de um processo criptográfico é ocultar eficientemente os mecanismos (chaves) para a inversão de f, de modo que estranhos não possam fazê-lo. Na linguagem da criptografia, os códigos são denominados cifras, as mensagens não codificadas são textos comuns e as mensagens codificadas são textos cifrados ou criptogramas. O processo de converter um texto comum em cifrado é chamado cifrar ou criptografar, e o processo inverso, de converter um texto cifrado em comum, é chamado decifrar (ZATTI; BEL- TRAME, 2009). A criptografia é uma arte bastante antiga, presente desde o sistema de escrita hieroglífica dos egípcios. Os romanos utilizavam códigos secretos para comunicar planos de batalha. E, o mais interessante, é que a tecnologia de criptografia não mudou muito até meados deste século. Depois da segunda guerra mundial, com a invenção do computador, a área realmente floresceu, incorporando complexos algoritmos matemáticos. Durante a guerra, os ingleses ficaram conhecidos por seus esforços na decifração de códigos utilizados. Na verdade, esse trabalho criptográfico formou a base para a ciência da computação moderna. O citale espartano foi o primeiro aparelho criptográfico militar utilizado durante o século V a.c. Era um bastão de madeira em que se enrolava uma tira de couro e escrevia-se a mensagem em todo o comprimento desse bastão. Para enviar a mensagem, de forma despercebida, a tira de couro era desenrolada do citale e utilizada como um cinto, com a mensagem voltada para dentro. Como na tira de couro a mensagem ficava sem sentido, para decifrá-la era necessário que o receptor tivesse um citale de mesmo diâmetro para enrolar a tira de couro e ler a mensagem. Outro tipo de cifra foi utilizada por Júlio César, que consistia em substituir cada letra da mensagem original por outra que estivesse três casas à frente no mesmo alfabeto. César utilizava o alfabeto normal para escrever a mensagem e o alfabeto cifrado para codificar a mensagem que mais tarde seria enviada. Esse método de criptografia ficou conhecido como Cifra de César. Como as cifras de substituição monoalfabéticas eram muito simples e facilmente decifradas por criptoanalistas, através da análise de frequência de cada letra, no texto cifrado, surgiu a necessidade de criar novas cifras, mais elaboradas e mais difíceis de serem descobertas. A solução encontrada, no século XVI, pelo diplomata francês Blaise Vigenère, foi uma cifra de substituição polialfabética. Um exemplo de cifra de substituição polialfabética foi a Cifra de Vigenère, que utilizava 26 alfabetos cifrados diferentes para codificar uma mensagem. Alberti, citado por Singh (2003), foi o criador da primeira máquina criptográfica, o Disco de Cifras, um misturador que pega uma letra do texto normal e a transforma em outra letra no texto cifrado. Seu inventor, porém, sugeriu que fosse mudada a disposição do disco durante uma mensagem, o que iria gerar uma cifra polialfabética, o que dificultaria a sua decodificação, pois desse modo ele estaria mudando o modo de mistura durante a cifragem, e isso tornaria a cifra difícil de ser quebrada. Em 1918, o inventor Artur Scherbius e seu amigo Richard Ritter fundaram uma empresa. Um dos projetos de Artur Scherbius era substituir os sistemas criptográficos usados na Primeira Guerra Mundial. Então, utilizando a tecnologia do século XX, ele desenvolveu uma máquina criptográfica que era uma versão elétrica do disco de cifras. Essa máquina recebeu o nome de Enigma. Para decifrar uma mensagem da Enigma, o destinatário precisaria ter outra Enigma e uma cópia do livro de códigos contendo o ajuste inicial dos misturadores para cada dia. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 43

44 Em 1943, foi projetado o Colossus, computador utilizado durante a Segunda Guerra Mundial para decodificar os códigos criados pela Enigma. O Colossus deu início a uma era moderna da criptografia, em que os computadores eram programados com chaves de codificação muito mais complexas do que as utilizadas pela Enigma. Essa nova técnica de criptografia era de uso exclusivo do governo e de militares para guardar informações. Como as cifras de substituição sofriam constantes ataques dos criptoanalistas, começaram a utilizar os computadores, os quais utilizavam criptografias complexas, mas não apresentavam, ainda, a segurança necessária para não serem invadidos por pessoas que não deveriam tem acesso aos códigos de criptagem neles contidos. Para solucionar esse problema, foram criados dois algoritmos de codificação: o DES (sistema de chave secreta) e o RSA (sistema de chave pública). 4 Objetivo da investigação O objetivo geral deste trabalho foi investigar o tema criptografia e suas aplicações para o desenvolvimento de atividades didáticas aplicáveis no currículo de Matemática do ensino básico. 5 Metodologia da investigação Este trabalho foi desenvolvido em duas etapas. A primeira, desenvolvida através de reuniões de estudos, foi um estudo exploratório em torno dos conceitos de criptografia e sua utilização na vida das pessoas. A segunda etapa foi o desenvolvimento de atividades didáticas para o ensino básico que possam ser utilizadas pelos professores de Matemática como exercícios de revisão e fixação dos conteúdos. Foi realizada uma ampla revisão bibliográfica em livros, revistas da área de Educação Matemática, anais de congressos e documentos on-line. 6 Atividades didáticas com o tema criptografia 6.1 Código ISBN Será você capaz de descobrir o dígito verificador do padrão ISBN cujo código é ? O código é escrito como quatro blocos de dígitos separados por hífens ou por espaços em branco. Lendo da esquerda para direita, o primeiro bloco identifica o país, a área ou a área da língua entre os participantes; o segundo bloco identifica as editoras daquele grupo e o terceiro bloco é o número atribuído pela editora para a obra. O último bloco consiste em um único dígito de 0 a 9 ou um x, que representa 10. Sendo a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9 os 9 primeiros dígitos do ISBN, para calcular o dígito verificador usamos 9 a seguinte fórmula: i( a i ) m i= 1 mod 11 Por exemplo: com o número de ISBN X, o dígito de verificação X é calculado por: X= [ mod11 X= [ ] mod11 X= 119 mod 11 X= Código de César Esse método de criptografia ficou conhecido como Cifra de César. O alfabeto da Cifra de César está apresentado na Figura 1: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Figura 1: quadro do método de substituição utilizado por Júlio César. Utilizando a Figura 1 e considerando como texto original a frase A vida é bela, teremos o seguinte texto cifrado DYLGDHEOD. Na Cifra de César, para dificultar a decodificação, caso a mensagem seja interceptada por um inimigo, é comum remover os espaços entre as letras no texto cifrado. 6.3 A Cifra de Vigenère A Cifra de Vigenère utiliza 26 alfabetos, cifrados diferentes, para codificar uma mensagem. A Figura 2, a seguir, é conhecida como o Quadro de Vigenère. 44 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

45 Alfabeto normal a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t U v w x y z 1 B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A 2 C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B 3 D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C 4 E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D 5 F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E 6 G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F 7 H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G 8 I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H 9 J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I 10 K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J 11 L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K 12 M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L 13 N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M 14 O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N 15 P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O 16 Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P 17 R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q 18 S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R 19 T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S 20 U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 21 V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 22 W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V 23 X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W 24 Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X 25 Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y 26 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Figura 2: quadro de Vigenère conforme Singh No Quadro de Vigenère, temos o alfabeto normal, seguido de 26 alfabetos cifrados. Cada alfabeto tem um deslocamento de uma casa à frente no mesmo alfabeto, seguindo o princípio do Código de César. Para escrever uma mensagem codificada pelo Quadro de Vigenère, o codificador e a pessoa que recebem o texto combinam uma palavrachave, por exemplo: MATEMÁTICA. A frase a ser codificada será OS NÚME- ROS DOMINAM O MUNDO. Para codificar a mensagem, temos que escrever a palavra-chave quantas vezes for necessário, pois cada letra da palavra MATEMÁTICA equivale a uma letra na frase, apresentada na Figura 3. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 45

46 M A T E M A T I C A M A T E M A T I C A M A O S N U M E R O S D O M I N A M O M U N D O Figura 3: exemplo do uso do quadro de Vigenère. Para codificar as letras da frase, é necessário usar a linha correspondente à letra da palavrachave relacionada. Para M, por exemplo, usa-se o alfabeto da linha 12. Assim, o primeiro O da frase será traduzido como A. Para A, usamos a linha 1 e o S seria traduzido como S. A frase codificada ficará conforme a Figura 4. Palavra-chave M A T E M A T I C A M A T E M A T I C A M A Mensagem O S N U M E R O S D O M I N A M O M U N D O Mensagem codificada A S G Y Y E K W U D A M B R M M H U W N P O Figura 4: exemplo do uso da cifra de Vigenère. Para decodificar as letras da frase, é necessário verificar, na mesma coluna, a letra da palavra-chave e a letra da mensagem codificada. Na linha da letra codificada, a intersecção com a segunda coluna, encontramos a letra resultante. Por exemplo, na coluna da letra M, procuramos a letra A na intersecção com a segunda coluna e encontramos a letra O. 6.4 Atividades com códigos: a cifra do chiqueiro Este código não substitui uma letra por outra, mas por um símbolo, de acordo com o seguinte padrão: Por exemplo, para codificar a palavra ALE- GRIA, localizamos a letra A no padrão acima e substituímos pelo símbolo onde ela se localiza. Veja:, a letra L será representada pelo símbolo e assim obtemos a seguinte mensagem cifrada:. 6.5 Atividade didática com letras que viram números Sabendo que cada letra representa um algarismo distinto e que existe apenas uma resposta, que adição é essa? AMOR + AMOR + AMOR = ÓDIO. Para a realização dessa atividade, é necessário que o aluno procure sistematizar as informações relevantes, formular hipóteses, prever os resultados e elaborar estratégias de enfrentamento das questões. Informação relevante: 3A 9 A 3. Hipóteses: A=1 ou A=2 ou A=3. Prevendo resultados: i) se A = 1, então O = 3 ou O = 4 ou O = 5; ii) se A = 2, então O = 6 ou O = 7 ou O = 8; iii) se A = 3, então O = 9. Verificação das hipóteses (enfrentamento das questões). O raciocínio lógico leva a testar iii primeiramente, porque dado A=3 só há uma possibilidade para O, a saber, O = 9. Verificamos que essa possibilidade é falsa: se A = 3, então 3R = 9 ou 3R = 19. 3R = 9 R = 3: é falso, porque R deve ser um valor diferente de A; 3R = 19 é falso, porque R é um valor inteiro. Além disso, é importante que o aluno se dê conta de que 3R > 27 não ocorre; logo, não é possível 29, 39, etc. Todas as hipóteses devem ser verificadas com esse tipo de raciocínio. Por exemplo, a hipó- 46 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

47 tese de que A=1 e O = 3 é facilmente descartada, porque leva a concluir que 3R = 3 implicando R = 1, o que é impossível, porque A não é igual a R. Então, a verificação da hipótese verdadeira é: se A = 2 e O = 8, então 3R = 18, pois é o único múltiplo de 3 entre 0 e 27 que termina em 8; logo, R = 6. Sabemos que 3O = 24, então I = 5 e M = 7 e D = 3. Logo, a conta esperada é: = ou = Código com função quadrática Primeiro, relacionamos cada letra do alfabeto a um número, conforme a Figura 5. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Figura 5: valor numérico de cada letra utilizada na criptografia para função. A seguir, escolhemos uma função cifradora, que pode ser, por exemplo, a função: f(x) = ax 2 + bx + c. Escolhemos então um texto qualquer para ser criptografado: Liberdade. A sequência numérica que corresponde ao texto é: A mensagem a ser transmitida ao receptor deve ser a sequência numérica obtida pela imagem da função. A seguir apresentamos um exemplo: depois de relacionar para cada letra do alfabeto um número, escolhemos uma função chave: f(x) = x 2 + 2x + 6, com 1 x 26. O texto a ser criptografado é: O livro é uma caixa mágica. A sequência numérica é: Para criptografar a mensagem a ser transmitida, substituímos cada número da sequência numérica na função escolhida. Por exemplo: A letra O corresponde ao número 15, portanto, calculamos f(15) = f(15) = f(15) = 261 Sendo a sequência numérica a imagem da função, isto é: Para decodificar a mensagem, o receptor recebe a mensagem e calcula a imagem dos elementos, utilizando a função inversa: então., como x Z e 9 x 734, 6.7 Código com funções exponenciais e logarítmicas Considere a Figura 5, combine com o seu colega uma função exponencial, que será a função cifradora. Crie uma mensagem a ser enviada: MA- TEMÁTICA. Cifre essa mensagem utilizando a função escolhida. Entregue a mensagem cifrada para que seu colega a decifre. Seja a função f(x) = 2 x, calculamos a imagem da função para cada algarismo da sequência numérica, conforme a Figura 6. Letra Sequência numérica Imagem da função f(x) = 2 x M 13 f(x) = 2 x = 2 13 = 8192 A 1 f(x) = 2 x = 2 1 = 2 T 20 f(x) = 2 x = 2 20 = E 5 f(x) = 2 x = 2 5 = 32 I 9 f(x) = 2 x = 2 9 = 512 C 3 f(x) = 2 x = 2 3 = 8 Figura 6: quadro do processo de codificação da mensagem. Decifrando o texto, conforme Figura 7. Sequência numérica recebida Imagem da inversa da função codificadora x = log2 y Letra encontrada no alfabeto inicial x = 8192 x = 13 M 2 2 x = 2 x = 1 A x = x = 20 T 32 2 x = 32 x = 5 E x = 8192 x = 13 M 2 2 x = 2 x = 1 A x = x = 20 T x = 512 x = 9 I 8 2 x = 8 x = 3 C 2 2 x = 2 x = 1 A Figura 7: quadro do processo de decodificação da mensagem. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 47

48 Considere a Figura 5 e a função cifradora f(x) = 2 x.2 1. Utilize a propriedade (a x. a y = a x + y ) na função dada e codifique e decodifique a palavra ALEGRIA. Seja a função f(x) = 2 x.2 1, calculamos a imagem da função para cada algarismo da sequência numérica, conforme Figura 8. Letra Sequência numérica Imagem da função f(x) = 2 x.2 1 A 1 f(x) = 2 x + 1 = = 2 2 = 4 L 12 f(x) = 2 x + 1 = = 2 13 = 8192 E 5 f(x) = 2 x + 1 = = 2 6 = 64 G 7 f(x) = 2 x + 1 = = 2 8 = 256 R 18 f(x) = 2 x + 1 = = 2 19 = I 9 f(x) = 2 x + 1 = = 2 10 = 1024 Figura 8: quadro do processo de codificação da mensagem. Decifrando o texto, como segue na Figura 9. Sequência numérica recebida Imagem da inversa da função codificadora x + 1= log 2 y Letra encontrada no alfabeto inicial 4 2 x + 1 = 4 x = 1 A x + 1 = 8192 x = 12 L 64 2 x + 1 = 64 x = 5 E x + 1 = 256 x = 7 G x + 1 = x = 18 R x + 1 = 1024 x = 9 I 4 2 x + 1 = 4 x = 1 A Figura 9: quadro do processo de decodificação da mensagem. Considere a Figura 5 e a função cifradora f(x) = 3 x :3 2 Utilize a propriedade (a x : a y = a x y ) na função dada e codifique e decodifique a palavra LIBERDADE. Seja a função f(x) = 3 x :3 2, calculamos a imagem da função para cada algarismo da sequência numérica, conforme Figura 10. Letra Sequência numérica Imagem da função f(x) = 3 x :3 2 L 12 f(x) = 3 x 2 = = 3 10 = I 9 f(x) = 3 x 2 = = 3 7 = 2187 B 2 f(x) = 3 x 2 = = 3 0 = 1 E 5 f(x) = 3x x 2 = = 3 3 = 27 R 18 f(x) = 3 x 2 = = 3 16 = D 4 f(x) = 3 x 2 = = 3 2 = 9 A 1 f(x) = 3 x 2 = = 3-1 = 3 1 Figura 10: quadro do processo de codificação da mensagem. Decifrando o texto, como observamos na Figura 11. Sequência numérica recebida Imagem da inversa da função codificadora x 2= log 3 y Letra encontrada no alfabeto inicial x 2 = x = 12 L x 2 = 2187 x = 9 I 1 3 x 2 = 1 x = 2 B 27 3 x 2 = 27 x = 5 E x 2 = x = 18 R 9 3 x 2 = 9 x = 4 D x 2 = 3 1 x = 1 A 9 3 x 2 = 9 x = 4 D 27 3 x 2 = 27 x = 5 E Figura 11: quadro do processo de decodificação da mensagem. Considere a Figura 5 e a função cifradora f(x) = (2 x ) 2. Utilize a propriedade ((a x ) y = a xy ) na função dada e codifique e decodifique a palavra FELICIDADE. Seja a função f(x) = (2 x ) 2, calculamos a imagem da função para cada algarismo da sequência numérica observada na Figura 12. Letra Sequência numérica Imagem da função f(x) = (2 x ) 2 F 6 F(x) = 2 2x = = 2 12 = 4096 E 5 F(x) = 2 2x = 22.5 = 2 10 = 1024 L 12 F(x) = 2 2x = = 2 24 = I 9 F(x) = 2 2x = = 2 18 = C 3 F(x) = 2 2x = = 2 6 = 64 D 4 F(x) = 2 2x = = 2 8 = 256 A 1 F(x) = 2 2x = = 2 2 = 4 Figura 12: quadro do processo de codificação da mensagem. Decifrando o texto, como observamos na Figura 13. Sequência numérica recebida Imagem da inversa da função codificadora 2x = log 2 y Letra encontrada no alfabeto inicial x = 4096 x = 6 F x = 1024 x = 5 E x = x = 12 L x = x = 9 I x = 64 x = 3 C x = x = 9 I x = 256 x = 4 D 4 2 2x = 4 x = 1 A x = 256 x = 4 D x = 1024 x = 5 E Figura 13: quadro do processo de decodificação da mensagem. Considere a Figura 5 e a função cifradora f(x) = log 2 x 48 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

49 Crie uma mensagem a ser enviada ao seu colega. Cifre essa mensagem, utilizando a função dada. Entregue a mensagem cifrada juntamente com a função, para que seu colega a decifre. Foi possível decifrar a mensagem? Por quê? Seja a função cifradora f(x) = log 2 x. Crie uma mensagem a ser enviada, por exemplo, A CASA É BELA. A sequência numérica do texto, conforme a Figura 14, é: A C A S A É B E L A Figura 14: quadro da sequência numérica do texto. Cifre essa mensagem utilizando a função dada. Seja a função f(x) = log 2 x, calculamos a imagem da função para cada algarismo da sequência numérica. Para que o aluno chegue mais próximo de um número inteiro na resolução das atividades, optamos por trabalhar com números de até três casas decimais, após a vírgula, conforme a Figura 15. Letra Sequência numérica Imagem da função x = log 2 y A 1 x = log x = 1 x = 0 C 3 x = log x = 3 x = 1,585 S 19 x = log x = 19 x = 4,248 E 5 x = log x = 5 x = 2,322 B 2 x = log x = 2 x = 1 L 12 x = log 2 12 v 2 x = 12 x = 3,585 Figura 15: processo de codificação da mensagem. Entregue a mensagem cifrada juntamente com a função, para que seu colega a decifre. Decifrando o texto, conforme Figura 16. Sequência numérica recebida Imagem da inversa da função codificadora x = 2 y Letra encontrada no alfabeto inicial x 1 A 1, ,585 x 3 C 4, ,248 x 19 S 2, ,322 x 5 E x 2 B 3, ,585 x 12 L Figura 16: processo de decodificação da mensagem. 6.8 Atividade de código Qual é o número de telefone com sete dígitos em que todos os dígitos são distintos e, formando arranjos de três dígitos seguidos, resulta em um número divisível por 17? Para resolver essa atividade, escrevemos as cifras dos números com as 7 primeiras letras do alfabeto: A, B, C, D, E, F, G. A seguir, escreveremos todos os múltiplos de 17 que possuem 2 e 3 dígitos, conforme Figura Figura 17: quadro dos divisores de 17 com três algarismos. Eliminamos os números que têm dois dígitos iguais, que são: 119, 221, 255, 272, 323, 442, 544, 595, 646, 663, 799, 833, 884, 969. Como ABC não pode começar por zero, é possível eliminar os números 037, 034, 051, 068, 085. Eliminamos, também, os números 102, 136, 153, 170, 187, 204, 238, 289, pois os dígitos ABC não podem ser da forma 02d. Concluímos que B não pode ser nenhum dos números: 2, 3, 5, 7, 8, 0, mas pode ser: 1, 4, 6, 9. Listando todos os números que tenham como B 1, 4, 6 e 9, temos: 510, 612, 714, 816, 918, 340, 748, 561, 867, 391, 493, 697. Quando chegamos ao número 306, podemos utilizar como dígito D o número 8, porque 068 aparece na lista. Podemos continuar utilizando como dígito E o número 0, porque 680 é múltiplo de 17, mas não serve, porque os dígitos seriam 30680, que repete o 0. Formando a lista dos números restantes, tirando os números que formam a lista ABC, temos: 102, 136, 153, 170, 187, 204, 238, 289, 306, 357, 374, 408, 425, 459, 476, 527, 578, 629, 680, 731, 765, 782, 850, 901, 935, 952 e 986. Concluímos, então, que o número de telefone com 7 dígitos é Porque: resulta em 4935; resulta em 49357; resulta em ; resulta em EMR-RS - ANO número 10 - v.2 49

50 Conclusão As atividades apresentadas neste artigo são sugestões que o professor pode utilizar para revisar, exercitar e aprofundar os conteúdos desenvolvidos no ensino médio (funções quadrática, exponencial e logarítmica) e conceitos de aritmética básica, bem como uma oportunidade de incentivar o desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas (sistematizar os dados relevantes no problema, formular hipóteses, prever resultados, analisar as hipóteses levantadas e revisar os resultados). Outro ponto importante a ser ressaltado é a utilização da calculadora na sala de aula, pois as atividades com exponencial e logaritmo apresentam cálculos longos e desnecessários de serem realizados sem o uso de calculadora. É uma oportunidade de incentivar a utilização desse recurso desenvolvendo atividades didáticas que incentivam o seu uso. Smole e Diniz (2004) destacam que a utilização da calculadora permite aos alunos ganharem mais confiança para trabalhar com problemas e buscarem novas experiências de aprendizagem. Referências CANTORAL, Ricardo et al. Desarrollo del pensamiento matemático. México: Trillas, D AMBROSIO, Ubiratan. O uso da calculadora. Disponível em: pdf. Acesso em 26 ago KRIST, Betty J. Logaritmos, Calculadoras e o Ensino de Álgebra Intermediária. In: COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, SCHEINERMAN, Edward R. Matemática discreta: uma introdução. São Paulo: Thompson, SILVA, A. V. A calculadora no percurso de formação de professores de Matemática. Portugal: APM, SINGH, Simon. O livro dos códigos: a ciência do sigilo do Antigo Egito à criptografia quântica. Rio de Janeiro: Record, SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino médio. 4.ed. São Paulo: Saraiva, 2004, v.1. TAMAROZZI, Antônio Carlos. Codificando e decifrando mensagens. Revista do Professor de Matemática (RPM), São Paulo, n.45, 41-43, TERADA, Routo. Criptografia e a importância das suas aplicações. Revista do Professor de Matemática (RPM), São Paulo, n.12, 1-6, ZATTI, Sandra Beatriz; BELTRAME, Ana Maria. A presença da álgebra linear e da teoria dos números na criptografia. Disponível em: <www. unifra.br/eventos/.../2006/matematica.htm> Acesso 26 ago Claudia Lisete Oliveira Groenwald Dra. em Ciências da Educação pela Pontifícia de Salamanca (Espanha) e professora do curso de Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Ensino e Ciências e Matemática da Universidade Luterana do Brasil. claudiag@ulbra.br Rosvita Fuelber Franke Mestre em Matemática pela UFRGS e professora do curso de Matemática da Universidade Luterana do Brasil. rosvitafranke@ig.com.br Clarissa de Assis Olgin Formada em Matemática pela Universidade Luterana do Brasil, mestranda do Programa de Pós- Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da ULBRA e professora da E. E. de Ensino Fundamental, no Bairro Santo Afonso. clarissa_olgin@yahoo.com.br Recebido em: 02/07/2009 Concluído em: 20/10/ EMR-RS - ANO número 10 - v.2

51 A ORGANIZAÇÃO DO ENSINO DE MATEMÁTICA COMO ELEMENTO FORMADOR NO CURSO PEDAGOGIA The Mathematics Education Organized to Promote Pre-Service Teachers Education Anemari Luersen Vieira Lopes Maria Teresa Ceron Trevisol Patrícia Sandalo Pereira Resumo Esse artigo tem como principal objetivo discutir aspectos relativos à aprendizagem da docência de futuros professores na organização do ensino em um processo de produção de material para aulas de matemática. É parte de uma proposta metodológica desenvolvida em um curso de formação inicial de professores para a educação infantil e os anos iniciais do ensino fundamental e foi elaborado para ser aplicado nas atividades de estágio. Sua dinâmica ocorreu ao longo de um semestre, em três momentos básicos: o planejamento do grupo; o planejamento coletivo, e a apresentação, avaliação e discussão compartilhada dos materiais produzidos. O texto apresenta observações sobre alguns episódios ocorridos durante esse terceiro momento, a partir das falas das futuras professoras que motivaram reflexões acerca do tema proposto. Os resultados evidenciaram que a organização do ensino, a partir da preocupação com a aprendizagem do aluno, pode oportunizar a aprendizagem da docência por parte do futuro professor. Palavras-chave: Formação inicial de professores que ensinam matemática. Aprendizagem da docência. Prática pedagógica. Abstract This article has as main objective discuss some aspects about how to learn to be a teacher through learning how to organize educational process producing material for mathematics classes. This approach is part of a methodological plan applied in a Teaching Education Course, which aims to prepare teachers for kindergarten and elementary school. This work was developed during one semester and it was divided in three basic moments: the planning of the small group; the collective planning; and the presentation, evaluation and cooperative discussion about produced materials. This text presents observations about some episodes occurred during the third moment, the observations was based on pre-service teachers utterances, which generate some reflections about how and to what extent teaching education could prepare pre-service teacher for a conscious pedagogical practice. The results demonstrate a need of organize the teaching education process taken into account a student learning objective, what may provide a pre-service teacher development. Keywords: Math pre-service teachers education. Teaching Education. Pedagogical practice. Introdução Esse artigo traz alguns apontamentos desencadeados a partir do desenvolvimento de uma proposta metodológica originada de discussões realizadas nas aulas de Metodologia do Ensino da Matemática de um curso de formação inicial de professores para a educação infantil e os anos iniciais do ensino fundamental. Seu principal objetivo é discutir aspectos relativos à aprendiza- EMR-RS - ANO número 10 - v.2 - pp. 51 a 59 51

52 gem da docência de futuros professores na organização do ensino em um processo de produção de material para aulas de Matemática. A proposta metodológica, organizada para ser utilizada nas atividades de Estágio Supervisionado, constituía-se da utilização de livros de literatura infantil no ensino de Matemática. Para isso, as futuras professoras, todas do sexo feminino, organizadas em grupos de pesquisa e trabalho, analisaram obras disponíveis no mercado que apresentassem possibilidade de exploração de conceitos matemáticos e, posteriormente, produziram livros destinados a se comporem como material pedagógico para o ensino de Matemática. Os dados aqui apresentados foram obtidos a partir das gravações em áudio das reuniões de apresentação, avaliação e discussão coletiva dos materiais produzidos. Neste trabalho, partimos da premissa de que se o professor aprender a organizar seu ensino num movimento constante e contínuo de planejar, interagir com diferentes recursos e refletir sobre suas ações, ele terá melhores condições de desenvolver suas atividades na prática docente. Portanto, se não existem fórmulas prontas para aprender a ensinar, acreditamos que existem modos de aprender a buscar encaminhamentos para organizar e desenvolver a docência de modo a oportunizar a aprendizagem do aluno. Daí a importância de que, ainda na formação inicial, sejam constituídos espaços de aprendizagem que permitam ao futuro professor apropriar-se de conhecimentos necessários para o exercício da profissão. Buscamos, então, observar nos encaminhamentos do trabalho das acadêmicas do curso de Pedagogia as possibilidades da constituição de aprendizagem da docência na perspectiva de envolver os seus diferentes conhecimentos num processo de iniciação à docência, percebendo a formação inicial como uma das etapas importantes de sua formação. Pois a entendemos como um movimento contínuo em que a aprendizagem, enquanto estudantes no curso de licenciatura e em serviço, representa momentos de um mesmo processo de desenvolvimento do profissional da educação. Compactuamos com a ideia de Lopes (2009) de que a aprendizagem da docência configura-se como uma transformação da prática. O futuro professor, ao se apropriar de novos conhecimentos, atribui outro caráter para a ação docente, que, ao ser colocada novamente em prática, já está transformada, assumindo outra qualidade, caracterizando uma nova prática educativa. Alguns pressupostos teóricos Tentar entender como o sujeito aprende, como se constitui e desenvolve a atividade docente é um processo complexo e que vem preocupando um grande número de pesquisadores. Sacristán (1995) escreve que o ofício de quem ensina é constituído pela disponibilidade e utilização de esquemas práticos que conduzem a ação e que, ao serem ordenados, de forma consciente, reorganizam-se em esquemas estratégicos. O professor, no exercício da docência, faz uso de rotinas orientadas para o desenvolvimento de suas ações diárias (preparação de exercícios, avaliação, correção de provas). São esquemas práticos que não requerem, necessariamente, saberes específicos, pois podem resumir-se a habilidades desenvolvidas no quotidiano e podem não ser exclusivas da docência. O desenvolvimento ordenado da ação pedagógica é facilitado por esses esquemas práticos. Para Sacristán (1995), a prática é o somatório de esquemas práticos que se encontram enraizados na cultura e na prática dos professores e, apesar das diferenças pessoais dos sujeitos, acabam assemelhando-se, pois a profissão docente apresenta-se como um ofício que é partilhado ao nível de repertórios de esquemas práticos. Mas esses esquemas podem ser alterados. O professor que realiza uma ação por meio de determinados esquemas práticos, ao fazê-lo por diversas vezes, acaba combinando-os de forma diferente, modificando-os ou substituindo-os e ordenando-os numa determinada sequência: organiza-os por esquemas estratégicos. Enquanto um esquema prático é uma rotina, um esquema estratégico é um princípio regulador em âmbito intelectual e prático: é uma ordem consciente na ação. A articulação entre esses esquemas está vinculada à capacidade do professor em desenvolver e avaliar suas atividades, possibilitando a busca de alternativas para solução de possíveis problemas relacionados à prática. Nesse sen- 52 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

53 tido, o desenvolvimento dessa capacidade na formação inicial pode se tornar um importante componente para a aprendizagem da docência. Isso se torna possível na medida em que se constituem espaços para tal. A oportunidade de exercitar ações que constituem o educador na formação inicial é importante para que o aluno possa compreender seu futuro papel como professor. Daí a relevância da prática profissional de professor: como escolher os conteúdos ou organizar as atividades de ensino, aprendendo a constituir-se como sujeito com certas qualidades para exercer sua profissão. O que, no nosso entender, é aprender a organizar o ensino. (LOPES, 2009, p.80) Sabemos que o aprender a ser professor é um processo contínuo no qual o sujeito se apropria de diferentes conhecimentos. Vários autores vêm abordando a questão dos saberes e conhecimentos da profissão docente, embora com diversidades conceituais e metodológicas, fazendo uso de diferentes tipologias e classificações. Entre estes, pode-se citar: Shulmann (1986), que foi um dos precursores desses estudos, Tardif (2002), Fiorentini, Souza e Melo (1998), Gauthier et al. (1998). Ao buscar a contribuição de Gauthier et al. (1998), observamos que esses autores fazem referência aos conhecimentos: disciplinares, curriculares, das ciências da Educação, da tradição pedagógica, experienciais e da ação pedagógica. Esse último da ação pedagógica é característico da função de professor e distingue essa profissão das outras, sendo constituído na prática docente e determinado mediante o estudo do trabalho do professor. Ressaltamos que conhecimentos e saberes relativos à docência não podem ser considerados como acabados nem imutáveis, uma vez que são apropriados e reconfigurados ao longo da vida do docente, nas inúmeras relações que ele estabelece. Essa perspectiva permite-nos entender que a aprendizagem da docência pode ser constituída em diferentes contextos, sendo que, como lembra Mizukami (2006, p.214), conhecimentos teóricos diversos, assim como aqueles que têm como fonte a experiência pessoal e profissional, são objetos de aprendizagem constantes. A partir dessa idéia, podemos buscar compreender as possibilidades de aprendizagem da docência na organização do ensino. De acordo com Moura (1996), a profissão docente implica organizar situações cujos resultados são as modificações do sujeito a quem se destinam, no caso, o aluno. Esse autor defende que a organização do ensino é uma das importantes etapas da Atividade Orientadora de Ensino, definida como: A atividade de ensino que respeita os diferentes níveis dos indivíduos e que define um objetivo de formação como problema coletivo é o que chamamos de atividade orientadora de ensino. Ela orienta um conjunto de ações em sala de aula a partir de objetivos, conteúdos e estratégias de ensino negociado e definido por um projeto pedagógico. (MOURA, 1996, p.32) Podemos entender a Atividade Orientadora de Ensino como um processo que possui uma dupla função formadora: oportuniza a aprendizagem do aluno que é o objetivo do professor bem como a aprendizagem do professor que, ao desenvolvêla, se apropria de diferentes conhecimentos. Dessa forma, a ação primeira do educador deve ser a de transformar o ensino em atividade de aprendizagem para o aluno, tendo o conhecimento como referência no processo de humanização. Especificamente em relação à formação inicial, lembramos que a necessidade de organizar o ensino para o Estágio Supervisionado ou a Prática de Ensino pode constituir-se num momento importante para a aprendizagem do futuro professor, como ressaltam Fiorentini e Castro (2003, p.122): A prática de ensino e o estágio supervisionado podem ser caracterizados como um momento especial do processo de formação do professor em que ocorre de maneira mais efetiva a transição ou a passagem de aluno a professor. Essa inversão de papéis não é tranquila, pois envolve tensões entre o que se sabe ou idealiza e aquilo que efetivamente pode ser realizado na prática. Contudo, a aprendizagem da docência não acontece de forma individual e independente do contexto em que se encontra o professor. Para que EMR-RS - ANO número 10 - v.2 53

54 se efetive, faz-se necessário que os conhecimentos e as ações educativas sejam compartilhados, discutidos e ressignificados a partir de um coletivo, uma vez que a Educação também não é composta de ações isoladas. Desenvolvimento Como já ressaltamos, este trabalho decorre da organização de uma proposta metodológica que propunha a utilização de livros de literatura infantil em aulas de Matemática a serem ministradas nos anos iniciais em escolas públicas, como atividade de Estágio Supervisionado. A dinâmica de seu desenvolvimento, que aconteceu ao longo de um semestre, dava-se em três momentos básicos: planejamento do grupo de trabalho: quando os componentes dos grupo organizava-se em atividades específicas para a produção do seu material; planejamento coletivo: organização das atividades comuns relativas ao planejamento do estágio supervisionado, que envolvia todos os grupos; apresentação, avaliação e discussão compartilhada dos materiais produzidos: momento em que cada grupo apresentava as atividades e materiais organizados até aquele momento, que eram avaliados e recebiam as contribuições dos outros grupos. Também se constituía no momento em que eram apresentadas as dificuldades e conquistas em relação ao trabalho desenvolvido. Apresentaremos a seguir algumas observações acerca de episódios ocorridos durante a apresentação, avaliação e discussão coletiva dos materiais produzidos, a partir das falas das futuras professoras envolvidas, que julgamos pertinentes ao tema proposto neste trabalho: a aprendizagem da docência na organização do ensino. Ressaltamos que, como forma de preservar a identidade dos sujeitos, os nomes utilizados são fictícios. Como atividade inicial, foi realizada uma pesquisa e análise de obras da literatura infantil disponíveis no mercado que apresentassem de forma implícita ou explícita possibilidade de exploração de conceitos matemáticos. Nesse momento, o que mais ficou evidente foi a expectativa das acadêmicas em encontrar livros que tivessem números ou explicitamente apresentassem problemas ou operações para que os alunos pudessem resolver. Tal preocupação demonstrou a presença da concepção de que, para sanar as dificuldades em Matemática, faz-se necessário realizar muitos e exaustivos exercícios. É provável que muitas ideias relacionadas a essa concepção fossem oriundas da vivência escolar dessas estudantes, nem sempre muito agradáveis em relação à Matemática. Isso pode ser observado nos relatos a seguir: O que me lembro em relação à minhas aulas de Matemática, no ensino fundamental, pois no magistério não tinha Matemática, é que fazíamos muitas contas e às vezes resolvíamos problemas. Do resto não lembro nada.(...) Aliás, lembro que tinha dificuldades. Por isso acho que nossos alunos devem estar bem firmes em Matemática e saber resolver problemas. (Maria) Normalmente os alunos têm dificuldades em Matemática. Eu também tive. Por isso que é importante o professor trabalhar mais concretamente as operações. (Carla) A afirmação da necessidade de os alunos estarem firmes em relação ao conteúdo matemático e que as possíveis dificuldades podem ser sanadas através da intensificação de atividades, demonstrou a necessidade de organizarmos um momento de discussão acerca do processo de ensino e aprendizagem em Matemática, recorrendo aos conhecimentos das ciências da educação (GAUTHIER et al, 1998), estudados por elas, mas que, nesse momento não lhes pareciam estar relacionados à Matemática. Acreditamos que se esse espaço de reflexão sobre essas concepções carregadas, inclusive, de dúvidas sobre o ensinar não fosse constituído nesse momento, muito provavelmente a proposta de organizar uma atividade diferenciada das tradicionalmente utilizadas não se concretizaria em aprendizagem do aluno, mesmo que fosse usado um material diferente. Pois o direcionamento metodológico dado pelo educador, bem como os recursos utilizados em sala de aula, contribui significativamente para a aprendizagem. Contudo, o material instrucional em si não é o responsável pela aprendizagem. 54 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

55 Mizukami (2006, p.218) alerta para o fato de que: Os cursos de formação inicial devem levar em conta que os futuros professores já chegam às instituições formadoras com pré-concepções sobre ensino e aprendizagem, que são construídas em seus processos de aprendizagem por observação. Tais pré-concepções condicionam o que irão aprender em seus processos formativos. Caso não sejam explicitadas, trazidas à tona, discutidas, compreendidas e problematizadas essas aprendizagens podem comprometer a aprendizagem de novos conceitos ou mesmo possibilitar a tradução equivocada dos novos conceitos de forma que se conformem às aprendizagens por observação anteriores, servindo o curso de formação, sob essa perspectiva para reafirmar teorias pessoais dos professores. Esse momento concretizou-se como uma importante reflexão sobre o que as futuras professoras acreditavam ser importante no ensino de Matemática. O principal ponto discutido foi o papel das operações e sua forma de encaminhamento, a partir da crença da grande maioria de que sua maior importância está no desenvolvimento do algoritmo. Após a seleção, análise de algumas obras e a elaboração de atividades a partir delas, as futuras professoras organizaram e produziram livros destinados a se comporem como material pedagógico para o ensino de Matemática. As orientações eram de que, em grupo, deveriam escolher um conteúdo matemático que iriam desenvolver em seus estágios nas escolas, elaborar um enredo literário e construir o livro com os recursos materiais que julgassem mais convenientes, bem como o encaminhamento das atividades a serem desenvolvidas com os alunos a partir dele. Nessa etapa, diferente da anterior, elas não tinham que analisar um material, mas sim deixar seus lugares de alunas, colocarem-se no lugar de professoras e organizar o seu ensino a partir de um material específico. Compactuamos com Fiorentini e Castro (2003), que afirmam que o professor vai se constituindo e reconstituindo continuamente ao longo de sua existência, pois sua formação não é um movimento isolado do restante de sua vida. Portanto, oferecer oportunidades para que o licenciando possa sair de sua posição de aluno pode ser um momento importante para inserir-se numa viagem por um caminho o de professor ainda pouco conhecido e vivido (FIORENTINI; CASTRO, 2003, p.125). Os autores, porém, alertam que isso pode não acontecer de uma forma muito tranquila. No nosso caso, a produção do livro foi uma etapa de conflitos caracterizada por diversas mudanças nos encaminhamentos do texto. Na organização do ensino e na prática pedagógica, o professor que inicialmente faz uso de esquemas práticos precisa ir modificando-os, combinando-os de formas diversas, substituindo-os e reordenando-os. Em nossas atividades, um dos grupos tinha como proposta organizar um livro para trabalhar com as operações fundamentais. Para isso, escreveu um enredo que envolvia uma família de ratos, mais especificamente a mãe e três filhotes, que usariam um cacho de bananas para sua alimentação. A partir daí, após muitas discussões e mudanças de encaminhamentos, exploraram diferentes situações em que se encontrava essa família, de modo a que as decisões iam concretizando-se com o envolvimento de operações matemáticas. Era o caso do momento em que a Mamãe Rata percebeu que no cacho havia três pencas com quatro bananas cada, que permitia a continuação da história através da exploração do conceito de multiplicação e sua propriedade comutativa. Ou ainda na hora da organização da refeição, quando ela verificou que, como as bananas eram grandes e seus filhos pequenos, cada ratinho comeria uma banana por dia, e para ela uma por dia também bastaria; oportunizando o encaminhamento da operação da divisão. Ou mesmo no problema que possibilitava trabalhar com a ideia de fração que foi a constatação por parte de Dona Rata que, no terceiro dia, duas bananas estavam estragadas: e agora, como ela faria para alimentar igualmente a todos?. Mas a história organizada como descrevemos anteriormente não foi a primeira versão do trabalho. Na fala apresentada a seguir, de uma componente desse grupo, podemos observar como o encaminhamento inicial direto foi dando lugar EMR-RS - ANO número 10 - v.2 55

56 a outros, a partir da reflexão do grupo sobre o mesmo: Primeiro a gente começou fazendo um livro com uma pequena introdução e aí fomos direto para as contas que os alunos deveriam fazer, afinal, Matemática envolve contas. Só que depois a gente refletiu e viu que não estávamos fazendo nada diferente dos livros didáticos e estávamos esperando que os nossos alunos fossem aprender do jeito que a gente aprendeu... ou não aprendeu (...) se eu lembro do meu tempo...que pavor. E, desse jeito, será que iam aprender alguma coisa? Aí resolvemos começar tudo de novo. Pensamos, então, que tínhamos que encontrar uma forma agradável do aluno aprender. (Joana) O que esse grupo iniciou fazendo foi baseado em conhecimentos da tradição pedagógica, apontado por Gauthieret et al. (1998) como aquele baseado em representações prévias que o professor tem antes de iniciar sua formação pedagógica e que atribuem certas características ao ensino ou às disciplinas, podendo ser passadas de geração para geração. Como no caso de que a Matemática é a ciência dos números e a tal se resume. Esse conhecimento, proveniente das relações estabelecidas em sua vivência, pode tornar-se um princípio regulador de sua prática esquemas práticos. A organização das ações estratégicas deve estar direcionada a melhorar a capacidade de operar o conhecimento e a investigação pedagógica, sendo que nesse caso partiu da possibilidade de o conhecimento ampliar a consciência sobre a organização do material, que deveria ter o objetivo de conduzir um processo de aprendizagem Matemática, levando a um novo encaminhamento. A capacidade de conseguir articular os esquemas práticos em estratégicos está relacionada com a capacidade do professor de não só desenvolver suas atividades práticas mas também refletir e avaliar suas ações, no sentido de buscar alternativas para resolver os problemas que encontra (SACRISTÁN, 1995). É provável que o momento anteriormente descrito, quando se discutiu sobre o que é importante no ensino de Matemática, possa ter contribuído para que refletissem acerca do encaminhamento inicial. Para esse grupo de futuras professoras, a organização do ensino, concretizada na elaboração de um livro para ensinar Matemática, foi se constituindo como aprendizagem na medida em que foram descobrindo a complexidade da atividade docente. Foram entendendo que o ensinar exige mais do que apresentar o conteúdo para os alunos, mais do que colocar os esquemas práticos em ação. Mas a simples constatação da complexidade não levou à aprendizagem. Indícios de que as ações podem ser formadoras apareceram quando os modos de ação foram retomados e reencaminhados. Ou seja, houve a necessidade de refazer o material. Além disso, o relato de que precisavam encontrar uma forma agradável do aluno aprender mostra uma preocupação que é comum entre professores dos anos iniciais: apresentar a Matemática de uma forma diferente daquela que eles encontraram enquanto alunos. Ou seja, demonstram a necessidade de ensinar de maneira que seus alunos não passem pelas dificuldades que elas passaram. Outro grupo propôs-se a organizar um livro com o intuito de trabalhar com a tabuada do dois. A opção foi por uma história narrada através de poesia como forma de aproximar esse tipo de texto da linguagem utilizada nas aulas de matemática. Os personagens eram os componentes de uma família que, cada um por sua vez, iam chegando em casa e trazendo duas flores e colocando-as uma em cada um de dois vasos. Nesse caso, os dois vasos estavam representando o dois fixo da tabuada, na medida em que cada vez que alguém chegava em casa o número de flores de cada vaso aumentava em um e o total aumentava em dois. Uma das componentes assim relata a organização desse grupo, que inicialmente julgava que não iria encontrar dificuldades, pois era um conteúdo simples: Na verdade um conteúdo simples como a multiplicação do dois jamais poderia ser considerado um problema para um aluno que estivesse num curso superior, independente da área, mesmo para nós da pedagogia que temos pouca Matemática, pois é conteúdo dos primeiros anos do ensino fundamental. Contudo, embora soubéssemos o resultado de duas vezes qualquer coisa e que na tabuada era só ir aumentando 56 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

57 o dois, eu não sabia exatamente o que era, porque ia aumentando. Ao começarmos a história com dois vasos de flores aos quais iam sendo acrescentadas duas flores por vez é que me caiu a ficha: que o dois fixo eram os vasos, como na tabuada, que sempre fica dois, e vai aumentando a quantidade de flores em cada vaso, que são os resultados. (Adriana). Podemos perceber nesse relato a necessidade do grupo de organizar o enredo da história de modo que os alunos compreendessem o conceito de multiplicação implícito na tabuada. Esse fato, que exigia uma aprendizagem relativa à ação pedagógica como fazer oportunizou a aprendizagem de conhecimento disciplinar, que é citado por Gauthieret al. (1998) como o conjunto de conhecimentos da disciplina. Nesse caso, da Matemática. Todas as acadêmicas do grupo sabiam realizar a operação de multiplicação, contudo, a compreensão do que significava o multiplicando e o multiplicador no contexto do enredo da história do livro atribuiu um novo sentido a esse conhecimento matemático. A fala anterior indica a possível relação entre a organização do ensino e a mobilização do conhecimento disciplinar visando à ação docente. Pois na organização do ensino um novo conhecimento apropriado com o objetivo de ensinar pode levar à apropriação de um novo conhecimento importante para a ação pedagógica. Dessa forma, esse conhecimento acaba conferindo novas qualidades às ações que serão desenvolvidas, uma vez que se origina de mudanças ocorridas nos modos de lidar com o objeto do professor (LOPES, 2009, p.166). Nesse caso o objeto era o conhecimento matemático. Lembramos de Moura (1996) que faz referência à questão da aprendizagem do professor na atividade orientadora de ensino ao citar a organização do ensino como um dos seus principais elementos, caracterizando-a com dupla função formadora. Ela oportuniza aprendizagem tanto do aluno que é o objetivo do professor quanto do próprio professor. Outro grupo, cuja proposta era trabalhar com a sequência numérica na educação infantil, apresentou dúvidas em relação ao encaminhamento do conteúdo. Como nós vamos fazer para que os alunos entendam que depois do um, vem o dois, depois o três,... pois não adianta só a gente fazer eles decorarem os números. Achamos que teria que também relacionar com a quantidade (...) a ideia era trabalhar a sequência a partir da quantidade, mas como conseguir isso? (Ana) Nossa preocupação é se da forma como a gente fizer, eles vão entender (...) O que tem que fazer para eles entenderem? (Carina) Nesse grupo, as futuras professoras tinham conhecimento disciplinar em relação ao conteúdo sequência numérica, mas angustiavalhes a forma como encaminhar esse conteúdo e como ele seria recebido pelo aluno. Lembrando que esse grupo não tinha experiência de docência, a constatação anteriormente apresentada demonstra que não tinham se apropriado de conhecimentos da ação pedagógica, oriundos da prática docente (GAUTHIER et al, 1998). No caso de uma primeira experiência na organização do ensino, deparamo-nos com uma inversão de lugares: o aluno, que até então tinha como atividade a aprendizagem, passa à condição de professor, cuja atividade é o ensino. Essa alteração exige mais do que uma simples troca de papéis, pois implica mudança de postura. E, nesse movimento, o professor, ao assumir seu espaço de ensinar, apropria-se de conhecimentos importantes para o seu processo de formação. Optaram por organizar uma história em que os numerais de 1 a 10 fossem os personagens. Inicialmente a preocupação única estava em ir trazendo-os cada um com uma característica que pudesse ser marcante para a criança, de modo a permitir que ela gravasse sua posição na série numérica. Contudo, após diversos momentos de discussão no grupo e compartilhamento das ideias com os demais, perceberam que esse encaminhamento não contribuiria, uma vez que os alunos iam associar o signo numérico simplesmente a uma imagem arbitrária, deliberada pelos autores do livro. Decidiram, então, que a entrada de cada um deles na história estaria relacionada à quantidade que representam, de forma que o aluno entendesse essa diferença entre eles e não de uma imagem estilizada. Ou seja, a diferença entre os números não estaria no signo, mas no que eles representam. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 57

58 Assim, quando, por exemplo, aparecia o personagem quatro, ele vinha acompanhado de um brinquedo a mais que o três, e o encaminhamento do texto visava analisar as quantidades correspondentes a cada um deles e o que isso significava. Embora se saiba que socialmente os números não representam somente quantidades (como, por exemplo, número de telefone), faz-se importante que na educação escolar essa seja uma de suas representações a ser trabalhada, acompanhando sua constituição histórica relacionada à correspondência biunívoca. O que não impede, contudo, que se façam outras explorações, também importantes para o aluno. A ansiedade desse grupo, na verdade, só terminou completamente com a aplicação da atividade com os alunos. Contudo, a oportunidade de discutir com seus pares e com as professoras orientadoras suas dúvidas e angústias possibilitou um reencaminhamento na organização do material. Algumas considerações finais No desenvolvimento desse trabalho, encontramos possíveis evidências de que a necessidade de organizar o ensino visando à aprendizagem do aluno pode oportunizar a aprendizagem da docência por parte do futuro professor. E essa aprendizagem refere-se tanto à relativa ao conhecimento da ação pedagógica quanto ao conhecimento disciplinar da Matemática. Nos momentos de discussão e escolhas por parte das acadêmicas de encaminhamentos que entendiam ter possibilidade de oportunizar a aprendizagem dos conteúdos por parte dos alunos, pudemos perceber a reconfiguração de algumas concepções sobre a Matemática e seu ensino. Tais reconfigurações permitiram uma melhor compreensão não só da importância da organização do ensino, mas também das ideias do que é preciso saber para ser um professor que ensina Matemática. Da mesma forma, a organização do material pôde proporcionar a apropriação dos conhecimentos relacionados aos conteúdos matemáticos e seus significados. Ou seja, a aprendizagem desses conhecimentos pôde subsidiar a ação pedagógica. Cabe aqui lembrar que a Matemática é uma das disciplinas que mais dificuldades apresentam para alunos e professores. Diante da especificidade da formação do pedagogo, é comum a mesma mostrar-se frágil em relação aos conhecimentos dessa disciplina. A busca de alternativas para esse problema passa pela possibilidade de desenvolvimento de um processo que permita tanto a aprendizagem de novos conteúdos quanto a atribuição de novos sentidos aos já conhecidos. Ressaltamos que, no processo aqui apresentado, foi de fundamental importância a organização do trabalho constituído de forma compartilhada. Poder expor angústias, incertezas ou mesmo conquistas proporciona ao futuro professor não só segurança em relação aos encaminhamentos dados, mas principalmente uma oportunidade de refletir acerca de suas ações. Isso nos leva a reafirmar a necessidade de se constituir espaços de aprendizagem da docência ainda na formação inicial, pautados no compromisso de oportunizar a apropriação de conhecimentos necessários para a ação pedagógica. Pois, como coloca Mizukami: Ao se considerar aprendizagem e desenvolvimento profissional da docência como processos que se desenvolvem ao longo da vida, a formação inicial do professor deve ser destacada como um momento formal em que processos de aprender a ensinar e aprender a ser professor começam a ser construídos de forma mais sistemática, fundamentada e contextualizada. (MIZUKAMI, 2006, p.216) Finalizando, ressaltamos nossa crença de que a possibilidade de se inserir em um movimento que exija a organização do ensino e que oportunize a discussão e a reflexão de suas dificuldades e suas ações propicia ao professor a apropriação de conhecimentos importantes para o desenvolvimento de sua atividade docente. E o ideal é que esse processo também aconteça na formação inicial. Referências FIORENTINI, Dario (org.). Formação de professores de Matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas: Mercado de Letras, ; CASTRO, Franciana Carneiro. Tornandose professor de Matemática: o caso de Allan em 58 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

59 prática de ensino e estágio supervisionado. In: FIORENTINI, Dario (org.). Formação de professores de Matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas: Mercado de Letras, 2003, p ; SOUZA Jr, Arlindo José de; MELO, Gilberto Francisco Alves. Saberes docentes: um desafio para acadêmicos e práticos. In: GERALDI, Corinta Maria Crisolia et al. (orgs.). Cartografias do trabalho docente: professor(a)-pesquisador(a). Campinas: Mercado de Letras, p , GAUTHIER, Clermont et al. Por uma teoria da pedagogia: pesquisa contemporânea sobre o saber docente. Tradução: Francisco Pereira. Ijuí: Ed.UNIJUÍ, LOPES, Anemari Roesler Luersen Vieira. A aprendizagem da docência em matemática: o clube de matemática como espaço de formação de professores. Passo Fundo: Editora UPF, MIZUKAMI, Maria das Graças Nicoletti. Aprendizagem da docência: conhecimento específico, contextos e práticas pedagógicas. In: NACARA- TO, Adair Mendes; FIORENTINI, Dario (org.). A formação do professor que ensina matemática: perspectiva e pesquisas. Belo Horizonte/MG: Autêntica, MOURA, Manoel Oriosvaldo de. A atividade de ensino como unidade formadora. Bolema, Rio Claro, v.12, p.29-43, SACRISTÁN, J. Gimeno. Consciência e ação sobre a prática como libertação profissional dos professores. In: NÓVOA, Antônio. Profissão professor. Portugal: Porto, 1995, p SHULMAN, L. Those who understand: The knowledge growths in teaching. In: Education Researcher, p.4-14, Feb., TARDIF, Maurice. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, Anemari Luersen Vieira Lopes Docente da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM). Doutora em Educação pela USP. anemari.lopes@gmail.com Maria Teresa Ceron Trevisol Docente da Universidade do Oeste de Santa Catarina (UNOESC). Doutora em Psicologia Escolar e do Desenvolvimento Humano pela USP. mariateresa.trevisol@unoesc.edu.br Patrícia Sandalo Pereira Docente da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS. Doutora em Educação Matemática pela UNESP. patriciasandalop@uol.com.br Recebido em: 20/08/2009 Concluído em: 22/10/2009 EMR-RS - ANO número 10 - v.2 59

60 60 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

61 PARTES: UM MODO DE EFETUAR A PARTILHA DO PESCADO Parts: A Way to Effect the Fish Sharing Idemar Vizolli Resumo O presente estudo tem como objetivo analisar o modo como os pescadores da região de Itajaí/ SC efetuam a partilha do pescado. Como muitos alunos da educação básica utilizam-se dos conhecimentos de seu cotidiano (nesse caso, a partilha do pescado) para solucionar problemas de matemática propostos em sala de aula, entrevistou-se um pescador e o representante do Sindicato dos Pescadores para melhor compreender essa relação estabelecida pelos alunos. As análises dos dados indicam que, para efetuar a partilha do pescado, os pescadores organizam as quantidades em partes. O número de partes que compete a cada tripulante de uma embarcação é estabelecido de acordo com o tipo de pescado e a atividade que o tripulante desempenha na pescaria. A partilha obedece ao critério de proporcionalidade, cujo coeficiente multiplicador é o número de partes. Os dados e informações permitiram elaborar um modelo matemático que representa a partilha do pescado. Este estudo encontra eco nas pesquisas que refletem sobre os conhecimentos matemáticos produzidos nos contextos socioculturais. Palavras-chave: Matemática. Pescadores. Partilha do pescado. Partes. Modelo matemático. Abstract The present study aims to analyze the form how the fishermen of Itajaí region, SC, do the fish sharing. How many students of Primary Education use their quotidian knowledges (in this case, the fish sharing) to resolve mathematic problems proposed in the classrooms, it was interviewed a fisherman and the Fishermen Syndicate President to understand better this relation that is stabilished by the students. In the analyses was observed that the fishermen organize the quantities in parts. The numbers of parts that each crew member of a fishing boat receive is established according with the performance acting in the fishing, attending the criteria of proportionality, whose Multiplier coefficient is the number of parts. The results of this study are supported by researches that reflect about the Mathematic knowledges produced in the sociocultural contexts. Keywords: Mathematic. Fishermen. Fish sharing. Parts. Mathematical model. Entendendo a problemática Ao realizar tarefas cotidianas, muitas vezes as pessoas fazem uso de conhecimentos matemáticos para solucionar uma série de problemas, principalmente aquelas que dizem respeito a atividades profissionais e/ou que envolvem transações financeiras. De acordo com os autores Carvalho (1995), Fonseca (2001), Piconez (2002), Fantinato (2003) e Vizolli (2006), entre outros, mesmo as pessoas que não frequentaram a escola, ou que a tenham frequentado por período muito curto, fazem uso de conhecimentos matemáticos bastante elaborados, os quais, muitas vezes, são mobilizados para solucionar uma série de problemas de matemática que são propostos em sala de aula. Pode-se dizer que se trata de conhecimentos adquiridos e difundidos por meio EMR-RS - ANO número 10 - v.2 - pp. 61 a 71 61

62 da interação entre as pessoas em suas atividades diárias. Isso significa que, no contexto sociocultural, as pessoas se apropriaram de conhecimentos matemáticos que lhes possibilitam solucionar uma série de problemas, e que esses conhecimentos devem servir como ponto de partida para a proposição de atividades em sala de aula. Segundo esses autores, os elementos presentes no contexto social precisam ser levados em consideração quando do processo de ensino e aprendizagem, o que exige dos professores o conhecimento da cultura presente na comunidade em que a escola está inserida. Nas palavras de Monteiro e Pompeu Júnior (2001, p.24) a escola precisa embeber-se da cultura e dos valores de seus alunos, professores e comunidade. Isso significa que as escolhas pedagógicas dos professores devem ser construídas de forma colaborativa entre os responsáveis pelo processo de educação: pais, alunos, professores e comunidade. A cultura, segundo os autores, é entendida como o conjunto dos valores, condutas, crenças, saberes que permitem aos homens orientar e explicar seu modo de sentir e atuar no mundo (idem, p.50). D Ambrosio (1990) indica a etnomatemática como uma possibilidade para que os professores reflitam sobre os conhecimentos produzidos pelas pessoas em seu convívio social e que passem a ser objetos de estudo nas atividades propostas em sala de aula, sobretudo nas aulas de Matemática. A etnomatemática é compreendida como um programa que visa explicar os processos de geração, organização e transmissão de conhecimento em diversos sistemas culturais e as forças interativas que agem nos e entre os três processos (D AMBROSIO, 1990, p.7). Nessa perspectiva, a etnomatemática toma como referência a produção dos sujeitos em seus contextos culturais, o que exige, em grande parte, a compreensão do que é a cultura e das relações da matemática presente nos currículos escolares e a matemática da vida cotidiana. O que se tem observado é que nem sempre a escola, e mais especificamente os professores que ensinam matemática, tem dado a devida atenção aos conhecimentos matemáticos produzidos e difundidos no contexto social em que a escola está inserida e que, por vezes, se manifestam nas soluções de problemas resolvidos por alunos em sala de aula. De outro modo, pode-se dizer que a escola não tem prestado atenção nos modos utilizados pelas pessoas para solucionar uma série de problemas com que se deparam diariamente. Muitas vezes, no contexto social, as pessoas efetuam operações matemáticas de formas diferentes daquelas que são ensinadas na escola. O mesmo ocorre com os pescadores residentes nos municípios do Vale do Itajaí, ao efetuarem a partilha do pescado. Em estudos anteriores, pode-se perceber que, no decorrer das aulas de Matemática, dificilmente os professores conseguem auscultar a forma como os alunos organizam seu pensamento para solucionar um dado problema de matemática e que, por vezes, não conseguem perceber as relações que os alunos estabelecem entre a Matemática da vida prática e a Matemática ensinada na escola. Muitas vezes as necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática (BRASIL, 1997, p.37). O exercício de identificar o modo como os pescadores efetuam a partilha do valor monetário pescado e de elaborar modelos matemáticos que os representem mostra que é possível respeitar os conhecimentos oriundos dos contextos culturais e que também se manifestam no fazer pedagógico. De acordo com Bassanezi (1994), um modelo matemático é obtido por meio de relações que se estabelecem entre as variáveis presentes na situação e pode ser representado por meio de sistemas de equações ou inequações algébricas, diferenciais, integrais, entre outros. Para Moreira e David (2005, p.51-52), a matemática escolar não se reduz a uma versão elementar e didatizada da matemática científica; a prática profissional do professor de matemática da escola básica é uma atividade complexa, cercada de contingências, e que não se reduz a uma transmissão técnica e linear de um conteúdo previamente definido. Nas palavras de Freire (1991), trata-se de nos formarmos como educadores, permanentemente, na prática e na reflexão sobre a prática. Muitas vezes os professores preferem restringir suas aulas ao conteúdo do livro didático, pois é mais fácil e ocupa menos tempo de preparo (MONTEIRO; POMPEU JUNIOR, 2001, 62 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

63 p.60). Sugere-se fortemente que os professores passem a refletir sobre os modos como as pessoas solucionam problemas que enfrentam em seu contexto cultural e os problematizem em sala de aula. Independentemente da forma como o professor trabalha a matemática, faz-se necessário, sim, dispensar um tratamento adequado aos conhecimentos oriundos das práticas sociais e organizá-los, se for o caso, de outro modo. Não que esse seja o melhor, mas que agregue novos conhecimentos, novas possibilidades, novas informações, que, ao se fundirem aos conhecimentos anteriores, gerem outros saberes, outros conceitos. Aqui reside o sentido da escolarização. Talvez essa seja uma forma de fazer com que a problemática da comunidade seja refletida na escola e que esta reflita sobre a comunidade. Apelamos aqui à especificidade e a complexidade dos saberes docentes, especialmente como os saberes são apropriados/aplicados e elaborados/reelaborados pelos professores em sua prática. Para Fiorentini, Souza Jr. e Melo (1998), o conhecimento cultural vai além dos limites da especialidade do professor e não se restringe à formação intelectual que pode acontecer na formação inicial. Esse tipo de conhecimento assume os saberes produzidos pelas pessoas em seu contexto social imediato, como ingredientes que fazem o diferencial no processo de ensinar e aprender, tanto dos professores quanto dos alunos. Para esses autores, os saberes da experiência dos professores são construídos ao longo dos anos no trabalho docente. Não se trata de um saber que se aprende na academia, mas resulta da reflexão do professor sobre a prática e sobre as influências da história de vida privada e profissional de cada um. Eles são saberes práticos que se integram à prática. Para Fiorentini, Souza Jr. e Melo (1998, p.319), o referencial da prática, além de fundamental para a significação dos conhecimentos teóricos, contribui para mostrar que os conhecimentos em ação são impregnados de elementos sociais, ético-políticos, culturais, afetivos e emocionais. Fiorentini (2003) e Ponte (1996) apontaram para a necessidade de serem estudadas as condições e os processos do desenvolvimento profissional dos professores, atentando para o modo como, em diferentes contextos, o professor pode aperfeiçoar sua competência sobre sua prática, sobre sua responsabilidade como educador, como agente no processo de organização escolar, ampliando sua gama de conhecimentos relativos à sua área de atuação. O desenvolvimento profissional ocorre por meio de múltiplas formas e processos, o que inclui a frequência a cursos e outras atividades como, por exemplo, projetos, trocas de experiências, leituras, reflexões, grupos de estudos. Neles, o movimento deve ser de dentro para fora, uma vez que a tomada de decisões sobre as questões a considerar, os projetos a se empreender, o modo como se quer executá-los é de competência do professor. Aqui, o professor é sujeito. De acordo com Ponte (2000), o conhecimento profissional está estritamente ligado à ação do professor, baseando-se sobretudo na experiência e na reflexão sobre ela. Esse conhecimento tem forte relação com o conhecimento usado na vida cotidiana, o qual ganha consistência quando articulado com o conhecimento acadêmico. Identificando o problema O ensino da matemática pode ter uma importante contribuição na reafirmação e, em numerosos casos, na restauração da dignidade cultural das crianças. O essencial do conteúdo dos programas atuais repousa sobre uma tradição estrangeira aos alunos. De outro lado, eles vivem em uma civilização dominada pela matemática e por meios de comunicação sem precedentes, mas as escolas lhes apresentam uma visão de mundo baseada em dados. (D AMBROSIO, 200[5], p.7) Ao ministrar aulas de Matemática na educação básica, mais precisamente em uma Escola Pública localizada na periferia do município de Navegantes/SC, e nos cursos de Educação de Jovens e Adultos (EJA) oferecidos pela Universidade do Vale do Itajaí (UNIVALI), percebeu-se que alguns alunos utilizam modos diferentes para organizar dados e informações presentes em determinados problemas propostos em sala de aula. Muitas vezes, na organização dos dados e informações, assim como nos procedimentos adotados no processo de solução de determinados problemas, os alunos utilizam modos dife- EMR-RS - ANO número 10 - v.2 63

64 rentes daqueles que os professores conhecem ou que são apresentados nos livros didáticos. Entre as experiências vividas no exercício da docência, dois episódios são reveladores da utilização do modo como os pescadores efetuam a partilha do pescado e que foram utilizados na solução de problemas de matemática propostos em sala de aula. Um deles diz respeito à solução de um problema que envolvia o conceito de proporcionalidade (regra de sociedade), cuja atividade foi proposta aos alunos de uma classe de 7ª série ou 8º ano (segundo segmento do ensino fundamental 5ª a 8ª séries ou 6º ao 9º ano) da referida Escola Pública, e o outro consistia na solução de um problema de proporção-porcentagem propostas a alunos do curso de EJA. - Três amigas fizeram uma sociedade e abriram uma empresa. Uma delas, a mais velha, entrou na sociedade com R$ 5.000,00; a outra, com R$ 4.000,00, e a mais nova, com R$ 2.000,00. Depois de um determinado tempo, obtiveram um lucro de R$ ,00. Proporcionalmente, qual é o valor do lucro que compete a cada uma? Ao serem questionados sobre o modo como solucionaram o problema, um dos alunos informou que organizou as quantidades em partes. Assim, R$ 5.000,00 corresponde a 5 partes; R$ 4.000,00 corresponde a 4 partes, e R$ 2.000,00 corresponde a 2 partes, perfazendo um total de 11 partes. O lucro, R$ ,00, corresponde a 35,2 partes. A quantidade de partes do lucro, dividido pela quantidade total das partes com que cada uma entrou na sociedade, resultou no valor de uma parte (35,2 : 11 = 3,2), isso significa que cada parte corresponde a R$ 3.200,00. Como a mais velha entrou na sociedade com 5 partes, tem-se, 3.200,00 x 5 = ,00 (do lucro); a segunda entrou na sociedade com 4 partes, tem-se, 3.200,00 x 4 = ,00 (do lucro), e à mais nova compete 3.200,00 x 2 = 6.400,00 (do lucro). O problema sobre o cálculo de salário: - Um trabalhador recebe um salário de R$ 500,00 e está defasado em R$ 200,00. Expresse essa defasagem na forma de taxa percentual. Ao explicar como havia solucionado o problema, o aluno de EJA mencionou que transformou as quantidades em partes. Assim, 500 divididos por 100, resultam em 5 partes, isto é, R$ 500,00 correspondem a 5 partes, da mesma forma que R$ 200,00 correspondem a 2 partes. 100 : 5 = 20, o que significa 20%. Como a defasagem é de R$ 200,00, tem-se uma taxa de 40%. Tanto o aluno de 7ª série como o aluno do curso de EJA fizeram uso do termo partes para encontrar a solução dos problemas. Esse termo é bastante usual pelos pescadores da região do Vale do Itajaí ao efetuarem a partilha do valor monetário do pescado. O modo como esses alunos solucionaram os problemas indica que eles lançaram mão de conhecimentos usuais em seu cotidiano extraescolar. Nos termos de Schliemann e Carraher (1998, p.14), na vida diária classificamos situações de acordo com critérios práticos e evidentes. Assim, interpretamos as situações a partir de uma organização das experiências vividas, ou, ainda, fazemos uso de conhecimentos de que já dispomos. Somando-se ao exposto, tem-se o fato de que muitos alunos que frequentam as escolas públicas da região de Itajaí/SC são filhos de pescadores, e isso colocou aos professores o desafio de empreenderem uma investigação para responder à seguinte pergunta de pesquisa: Como os pescadores da região do Vale do Itajaí/SC efetuam a partilha do pescado? A pesquisa teve como objetivo geral descrever os procedimentos utilizados pelos pescadores ao efetuar a partilha do valor monetário resultante de uma pescaria, e como objetivos específicos identificar os procedimentos utilizados pelos pescadores ao efetuar a partilha do valor monetário e refletir sobre os procedimentos utilizados pelos pescadores no processo da partilha. Muitas vezes, a Matemática é vista como uma disciplina abstrata e separada das situações cotidianas, e seu ensino ancora-se na verbalização e memorização de regras, macetes e fórmulas. Essa constatação encontra eco nas palavras de Britto (2001) quando afirma que na prática pedagógica das escolas ainda predominam os métodos tradicionais (memorização) e que o professor acredita que a aprendizagem ocorre apenas pela prática e repetição de exercícios ou no momento da prova. O resultado dessa prática faz com que os alunos não trabalhem conceitos matemáticos de modo significativo, gerando, muitas vezes, medo ou mesmo aversão à matemática. Ao ensinar matemática que propicie a solução de problemas que as pessoas encontram em 64 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

65 seu dia a dia, os professores precisam ensiná-la de modo que os alunos compreendam os conceitos, estabeleçam relações com as demais áreas do conhecimento e a utilizem, quando necessário, na solução de outros problemas. Nas palavras de Monteiro e Pompeu Júnior (2001, p.56), o educador interessado em compreender os saberes presentes na vida cotidiana não deve olhar apenas para a multiplicidade de uso e entendimentos dos diferentes tipos de saber, mas também para os processos pelos quais qualquer campo do conhecimento chega a ser socialmente estabelecido como realidade. Conhecer o modo como os pescadores efetuam a partilha do valor monetário do pescado pode constituir-se numa estratégia importante à sensibilização dos alunos para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Nesse contexto, a matemática deve ser vista como uma forma de preparação dos cidadãos para inclusão na sociedade em que vivemos. Nesse sentido, a Modelagem Matemática pode ser vista como uma possibilidade metodológica. Biembengut (1999, p.20) entende a modelagem matemática como uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias. Procedimentos metodológicos O desenvolvimento deste estudo foi possível a partir de uma pesquisa financiada pela FAPESC/2006, da literatura que versa a sobre a pesca em Santa Catarina e sobre o processo de ensino e da aprendizagem da Matemática. A literatura forneceu elementos teóricos que subsidiaram a escolha do objeto a ser investigado. Para elucidar o objeto de investigação, conversou-se informalmente com pescadores, o que forneceu elementos para conhecer o modo que eles operam com os dados e informações para efetuar a partilha do pescado. Pode-se dizer que se trata de uma aproximação com o tema/assunto/objeto a ser investigado. Essa aproximação permitiu identificar o problema e elaborar a pergunta e estabelecer os objetivos da pesquisa. Definido o objeto de investigação, elaborou-se um roteiro de questões com vistas a responder à pergunta da pesquisa. Esse roteiro foi organizado em quatro blocos de perguntas: dados pessoais e profissionais; captura do pescado; despesas com a pescaria; partilha do pescado. O roteiro também serviu como instrumento para as entrevistas na coleta de dados. Os diálogos com o dirigente do Sindicato dos Pescadores e com um pescador foram registrados (escritos) em papel pelo pesquisador. De posse dos registros, fez-se a análise dos dados procurando identificar os procedimentos utilizados pelos pescadores na partilha do pescado. Esta pesquisa consiste de um estudo exploratório em que os pesquisadores procuram compreender as circunstâncias e o contexto da pesquisa levando em consideração os sentidos, os sentimentos e as emoções dos atores envolvidos no processo. Considera-se, portanto, os sujeitos da pesquisa como seres produtores de conhecimentos e práticas (CHIZOTTI, 1991). Trata-se de uma pesquisa qualitativa em que se estuda o fenômeno em seu estado natural, levando-se em conta todos os componentes de uma dada situação em suas interações (ANDRÉ, 1995). De acordo com Alves-Mazzotti (2002), existe uma grande variedade de procedimentos e instrumentos de coleta de dados, característicos às pesquisas qualitativas (observação participante ou não, entrevistas, análise de documentos, entre outros). No caso desse estudo, fez-se uso da revisão da literatura, conversas formais e informais cujos dados foram anotados pelo pesquisador e entrevistas semiestruturadas. Participaram da pesquisa o presidente do Sindicato dos Pescadores da região de Itajaí e um pescador. O pescador é um senhor de 59 anos, natural de Canto Grande (Bombinhas/SC), filho de pescadores, e iniciou seu trabalho na pesca artesanal com 14 anos de idade. Posteriormente passou a atuar na pesca industrial. Aposentou-se há 5 anos como mestre de barco. Frequentou a escola primária alguns anos e aprendeu a ler e escrever o básico. Um pouco sobre a história da pesca em Santa Catarina Os imigrantes que deram início à colonização do estado de Santa Catarina sobreviviam da exploração da mandioca, da cana de açúcar EMR-RS - ANO número 10 - v.2 65

66 e do algodão agricultura de subsistência. O fabrico rudimentar de cordas permitia-lhes a confecção de redes e espinhéis destinados à captura do pescado. O excedente de sua produção e a comercialização dos instrumentos de pesca que fabricavam era feita junto aos navios que aportavam na região. Em meados do século XVIII, iniciou-se a pesca da baleia, que durou pouco tempo, envolvendo grande capital e mão de obra escrava. Já no final da era colonial, a atividade pesqueira desempenhava um papel de relativa importância na economia. A pesca era feita artesanalmente e comercializada diretamente pelo pescador. Essa atividade mercantil durou até meados de 1940, e as comunidades combinavam a agricultura e pesca. A pesca artesanal foi crescendo até as décadas de 1950 e 1960, e tinha como finalidade a subsistência da família. Retirado o pescado destinado à alimentação da família dos pescadores, o excedente era comercializado. O valor do dinheiro arrecadado com a venda do excedente era destinado à compra de suprimentos alimentícios que não eram produzidos no cultivo da lavoura. A profissão de pescador artesanal passava de pai para filho. Nesse tipo de pesca, a captura dos peixes era feita em pequenas embarcações, e se utilizavam instrumentos simples, como o barco a vela ou canoa a remo. Normalmente eram os próprios pescadores que construíam os barcos e demais instrumentos necessários à captura do pescado. Sozinhos ou em parceria, permaneciam pouco tempo no mar (quando muito, um dia). Em meados da década de 1960, a atividade pesqueira passou a ser industrializada, e muitos pescadores artesanais passaram a ter vínculo empregatício com a indústria. O processo de industrialização exigiu uma nova dinâmica na organização das embarcações. Introduziram-se barcos de maior porte (motorizados e com guinchos). Houve um aumento do número de homens na pescaria, os quais passaram a desempenhar funções específicas e de acordo com o tipo de pescado. Nesse novo tipo de pescaria, o número de tripulantes de uma embarcação pode variar dependendo da capacidade/tamanho do barco e do tipo de pescado. Na Tabela 1, a seguir, apresentam-se alguns dados e informações sobre o número de tripulantes que atua na captura de diferentes tipos de pescado. Tabela 1: número de tripulantes na captura do pescado. Tipo de pescado Nº de tripulantes Atum 18 Camarão 9 a 15 Sardinha 18 a 20 Fonte: Informações prestadas pelo pescador. Faz mister registrar que o pescador entrevistado vivenciou grande parte dessa história, principalmente o período de transição da pesca artesanal para a pesca industrial. A partilha do pescado Com a implantação de empresas ou indústrias, passam a fornecer as embarcações para que os pescadores as utilizassem na captura do pescado. Assim, o dono do barco detém o domínio sobre a captura e a comercialização do produto. Essas empresas e/ou indústrias também determinam o valor monetário a ser pago pelo quilo do pescado. De acordo com as informações prestadas pelo presidente do Sindicato dos Pescadores e confirmadas pelo pescador, o fornecimento dos barcos para a captura confere ao dono metade da produção líquida do pescado. A outra metade é distribuída aos tripulantes da embarcação, de acordo com a atividade (função) que o tripulante exerce na pescaria e o tipo do pescado. Para fazer essa distribuição, os pescadores organizam as quantidades em partes, o que pode ser entendido como um modo próprio que esses trabalhadores encontraram para efetuar a partilha do pescado e se estende para o cálculo do valor monetário que compete a cada um com a venda do produto. O aspecto matemático no modo como os pescadores efetuam a partilha do pescado pode ser visto como a etnomatemática, de que fala D Ambrosio (1990), ou seja, trata-se de conhecimentos que estão presentes nas práticas cotidianas dos pescadores. O modo utilizado por eles não tem uma preocupação disciplinar como aparece no contexto escolar, mas consiste em atribuir significado ao que estão fazendo. Nesse sentido, organizar as quantidades em partes constitui-se num modo de atribuir um significado matemático à partilha do pescado. Acredita-se que o modo de organizar a partilha do pescado em partes originou-se com a pesca artesanal. Nela, a unidade de medida bastante usual era o cesto (vasilha de corda, cipó ou bambu) onde se colocavam os peixes, cuja 66 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

67 distribuição era feita de um para um (um cesto de peixe para cada pescador). Daí pode ser a origem do termo partes: cada pescador recebe um cesto, que equivale a uma parte do pescado. Como esse modo ou forma de distribuição era conhecido dos pescadores, acredita-se que ele passou a ser utilizado também na pesca industrial, inclusive para efetuar o cálculo do valor monetário que cada tripulante de uma embarcação tem direito de receber. O montante (salário) que o pescador tem a receber pelo seu trabalho depende: do valor do que é pago pelo quilo do pescado; do tipo do pescado; do número de partes que lhe compete na pescaria. De acordo com o pescador entrevistado, para saber a quantidade total de partes, basta somá a parte de cada um de nóis e depois somá tudo mais uma vez. A fala do pescador indica o uso da operação de adição para efetuar a soma das partes correspondentes aos pescadores e na união destas com a quantidade correspondente à empresa ou indústria dona do barco. Somar tudo mais uma vez significa duplicar o número de partes, incluindo-se assim os 50% correspondentes à empresa ou indústria dona do barco. Na duplicação do número de partes, implicitamente aparece a operação de multiplicação, qual seja pelo critério da soma de parcelas iguais, o que parece que o pescador utiliza, ou, ainda, o coeficiente multiplicador nesse caso, dois (2). Nas Tabelas 2, 3, e 4 a seguir, constam o tipo de pescado, as atividades que são desempenhadas na pescaria, o número de tripulantes destinados a cada atividade, o número de partes destinadas ao desempenho das atividades e o total geral do número de partes. Informa-se também o número de partes que compete ao dono da embarcação. Tabela 2: partilha do pescado na captura do atum. Atividade do tripulante Nº de tripulantes Nº de partes Cada tripulante Total Mestre/proeiro 1 3,5 3,5 Motorista 1 2,0 2,0 Cozinheiro 1 1,5 1,5 Gelador 1 1,5 1,5 Pescadores 14 1,0 14 TOTAL 18-22,5 TOTAL GERAL Fonte: informações prestadas pelo pescador. Observando os dados apresentados, verifica-se que o dono do barco fica com a mesma quantidade do pescado, que é igual à somatória das partes que compete aos tripulantes. Assim, se a somatória das partes que compete à tripulação de uma pescaria é 22,5, o dono do barco também fica com 22,5 partes. Isso significa que a partilha foi feita em 45 partes. Nas tabelas, essa informação é indicada pelo total geral. Tabela 3: partilha do pescado na captura do camarão 1. Atividade do tripulante Nº de tripulantes Nº de partes Cada tripulante Total Patrão de pesca 1 6,0 6,0 Motorista 1 4,0 4,0 Cozinheiro 1 2,0 2,0 Gelador 1 2,0 2,0 Pescadores 9 1,0 9,0 TOTAL TOTAL GERAL Fonte: informações prestadas pelo pescador. Tabela 4: partilha do pescado na captura da sardinha 2. Atividade do tripulante Nº de tripulantes Nº de partes Cada tripulante Total Mestre/proeiro 1 10,0 10,0 Motorista 1 4,0 4,0 Cozinheiro 1 2,0 2,0 Gelador 2 2,0 4,0 Caiqueiro 1 2,0 2,0 Ajudante de motorista 1 2,0 2,0 Pescadores 13 1,0 13,0 TOTAL TOTAL GERAL Fonte: informações prestadas pelo pescador. O modo como as informações foram apresentadas pelo pescador indica que metade da produção fica com a empresa ou indústria dona do barco. No entanto, há que se considerar que, ao efetuar os cálculos sobre valor monetário, primeiramente são deduzidas as despesas com a pescaria. Essa informação pode ser vista na fala do pescador, transcrita a seguir. Tem dois jeitos prá fazê as contas: um jeito é reparti tudo e o outro jeito é primeiro tirá as despesas com a pescaria. Pra nóis o primeiro jeito é melhor, mas as empresas primero tiram as despesas e depois repartem. Eles dizem que fazem isso porque senão não dá certo. Porque daí é eles que tem que pagá as despesas com a pescaria. 1 O número de tripulantes na captura do camarão pode variar entre 9 e 15 pessoas. 2 Na pesca da sardinha a tripulação pode variar entre 18 a 20 homens. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 67

68 A fala do pescador indica que ele compreende que se as despesas fossem deduzidas do total geral das partes ou mesmo do montante do valor monetário obtido com a venda do pescado, a empresa ou indústria arcaria com metade do valor das despesas e a outra metade seria rateada entre a tripulação. Isso indica também que o sujeito estabelece relação de relação, princípio fundamental para se compreender o conceito de proporcionalidade. Sistematizando a matemática presente na partilha do pescado Ao observar a quantidade relativa ao número de partes de pescado a que cada tripulante tem direito, é possível perceber a existência do critério de proporcionalidade, cujo cálculo pode ser efetuado por meio de uma multiplicação simples. Dado que na multiplicação duas variáveis entram em cena, o número de partes e o valor (quantidade) de cada parte, pode-se identificar outro conceito matemático como o de função, por exemplo. Nas variáveis presentes na distribuição do número de partes entre os tripulantes de uma embarcação e o montante que compete a cada um, tem-se uma relação de dependência, o que caracteriza uma relação de função, a qual pode ser expressa da seguinte maneira: f(x) = ax, onde: f(x) = montante; a (coeficiente angular) = número de partes que compete a cada um, dependendo da atividade que exerce na pescaria; x quantidade (em kg) do pescado. O f(x) representa a variável dependente, e x, a variável independente. Isso significa que, fazendo-se variar x, f(x) se altera. Tomando como referência a distribuição das partes na pesca do atum (Tabela 2), pode-se estabelecer as funções a seguir: Tabela 5: função estabelecida na partilha da pesca do atum. Ativ. do tripulante Nº de trip. Nº de partes f de cada tripulante fptrip Mestre/proeiro 1 f(x)1 = 3,5x f(x)1 = 3,5x Motorista 1 F(x)2 = 2x f(x)2 = 2x Cozinheiro 1 f(x)3 = 1,5x f(x)3 = 1,5x Gelador 1 f(x)4 = 1,5x f(x)4 = 1,5x Pescadores 14 f(x)5 = x f(x)5 = 14x Empresa 18 - f(x)n = 22,5x Metade da produção = 22,5 partes = g(x) = 22,5x Função geral das partes g(x) = 22,5x f(n) = f(x)n + g(x) = 22,5x + 22,5x = 45x Fonte: elaborada a partir dos dados coletados nas entrevistas. O conceito de função encontra grande aplicabilidade em diferentes áreas do conhecimento, como na estatística, na solução de problemas de ordem financeira, na elaboração de programas computacionais, nas áreas da Engenharia, na Biologia, na Química, na Física, entre outras. A função geral das partes da pesca do atum f(n) = 45x e as funções que representam a partilha do pescado na tripulação de um barco podem ser vistas como modelos matemáticos. Para Biembengut (1999, p.20), um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real denomina-se modelo matemático. O modelo matemático provém de aproximações realizadas para entender melhor um fenômeno, o que não significa que as aproximações condizem com a realidade. Ainda segundo a autora, o processo que envolve a obtenção de um modelo denominase modelagem matemática. Assim, a modelagem é um processo dinâmico que pode ser utilizado para compreender situações do mundo real. Biembengut (1999) esclarece que na elaboração de um modelo matemático há que se seguir alguns procedimentos, os quais podem ser agrupados em três etapas, a saber: interação, etapa em que o modelador faz o reconhecimento da situação-problema e familiariza-se com o assunto a ser modelado; matematização, etapa em que o modelador formula o problema (levanta hipóteses) e o soluciona em termos do modelo; modelo matemático, etapa em que o modelador interpreta a solução encontrada e valida o modelo matemático obtido (fazendo uso do modelo elaborado). Retomando a fala do pescador, basta somá a parte de cada um de nóis e depois somá tudo mais uma vez, e, aplicando-a a exemplo da captura do atum, temos um modelo matemático efetuado pela soma das parcelas iguais. Vejamos. Quantidade relativa aos pescadores: 3, ,5 + 1, = 22,5 Quantidade total: 3, ,5 + 1, , ,5 + 1, = 45 Para se obter o total geral das partes, pode-se fazer uso do modelo matemático por meio de uma multiplicação simples : 2. (3, ,5 + 1,5 + 14) = 2. 22,5 = EMR-RS - ANO número 10 - v.2

69 A fala do pescador, relativa aos dois jeitos para efetuar os cálculos do valor monetário, também pode ser organizada na forma de modelos matemáticos. Para esclarecer, utilizemos como exemplo a seguinte situação: supondo que o valor monetário relativo a uma pescaria de atum tenha sido de R$ ,00 e que as despesas tenham sido de R$ ,00. - Reparti tudo Receita Valor total: pelo número total das partes: ,00 : 45 = 1.222,22 = valor de cada parte Despesas: ,00 : 45 = 222,22 = valor proporcional a cada parte Receita menos despesa: 1.222,22 222,22 = 1.000,00 = valor líquido correspondente a cada parte - Primeiro tirá as despesas Valor total despesas com a pescaria , ,00 = , ,00 : 45 = 1.000,00 = valor de cada parte Os cálculos mostram que repartir tudo (receitas e despesas) não altera o valor líquido de cada parte (R$ 1.000,00). Isso ocorre porque tanto a receita como as despesas são proporcionais ao número de partes. Na fala do pescador, Pra nóis o primeiro jeito é melhor..., indica que se as despesas fossem pagas pela empresa ou indústria dona do barco, o valor de cada uma das partes que cada tripulante receberia seria maior (R$ 1.222,22). Considerações finais O exposto mostra a riqueza de conhecimentos matemáticos que são utilizados pelos pescadores para solucionar problemas de seu contexto cultural. É interessante perceber que se trata de conhecimentos aplicados, o que não significa que as pessoas que os utilizam tenham consciência dos conceitos matemáticos que mobilizam na solução de tais problemas. O modo como solucionam os problemas revela que eles não têm preocupação com o uso da matemática utilizada na academia. Embora, muitas vezes, os alunos reconheçam a utilidade e a aplicabilidade da matemática ensinada na escola, ao se depararem com situações desafiadoras, organizam os dados e informações tendo como base os conhecimentos de que já dispõem. Ao observarmos explicações dadas pelos alunos quando da solução dos problemas, percebe-se que, para eles, os conhecimentos oriundos dos contextos culturais são mais significativos e úteis que aqueles ensinados pela escola. Cabe então aos professores o desafio de identificar o modo como as pessoas organizam e operam matematicamente com os dados e informações presentes em situações de seu dia a dia e, em sala de aula, propor problemas que permitam aos alunos ampliarem seus conhecimentos, de forma a tomarem consciência dos objetos matemáticos que mobilizam. Talvez essa seja uma forma de respeitar os conhecimentos presentes no contexto cultural de que fala D Ambrosio (1996). Insiste-se, pois, que não se trata de sobrepor modos de operar matematicamente com os dados e informações, como se a forma que a academia adota seja melhor, mas sim de fazer com que esta tome consciência da importância desses conhecimentos para a preservação e difusão do patrimônio cultural da comunidade em que a escola está inserida. Trata-se de um processo de recuperar e incorporar, no fazer de sala de aula, a matemática presente no cotidiano das pessoas e articulá-la aos saberes oficiais de forma crítica e consciente. Nos termos de D Ambrosio (1996), organizar as quantidades em partes constitui-se num modo de atribuir significado ao que está sendo feito. Compreender esse significado exige do professor uma tomada de consciência de seu papel de agente no processo de ensino e aprendizagem, o que não é nada fácil quando se é fruto de um sistema que não propicia as condições para que se reflita sobre o que se está fazendo, sobre o modo como se está fazendo e sobre o significado do que se está fazendo. Ao mostrar que os modelos matemáticos originam-se de uma situação real vivida por um grupo de pessoas com as quais os alunos têm relação, propicia condições para que estes compreendam que uma equação ou uma função, por exemplo, resultam de um processo de generalização de uma dada situação de uma abstração, portanto. O fato de os alunos utilizarem, em sala de aula, modos diferentes de solucionar problemas, coloca aos professores o desafio de repensarem EMR-RS - ANO número 10 - v.2 69

70 não só os conteúdos a serem ensinados, mas, sobretudo, o modo como ensiná-los. Isso significa que, na prática cotidiana, as pessoas também fazem matemática, e esse modo de fazer precisa ser valorizado pela escola. Primeiro, porque aproxima a comunidade, os pais e os alunos da escola; segundo, porque incentiva os alunos a refletir de forma mais eficiente e consciente sobre o processo daquilo que estão fazendo; terceiro, porque é um modo de respeitar os saberes presentes no contexto escolar; quarto, porque incentiva os alunos a fazer e aprender matemática; quinto, porque os conhecimentos que os alunos já possuem servem como ponto de partida para a elaboração conceitual dos objetos matemáticos ensinados na escola. Este estudo resulta, em grande parte, da reflexão sobre a experiência de ser professor na educação básica e no ensino superior. Isso nos leva a insistir que os formadores de professores desafiem os alunos a refletir sobre suas experiências e analisar de forma crítica e sistemática a matemática que se faz presente na solução de problemas enfrentados pelas pessoas em seu dia a dia e, mais do que isso, que se desafiem a transpor, para a sala de aula, os modos como as pessoas resolvem situações que envolvem conceitos matemáticos. Referências ALVES-MAZZOTTI, A. J. O planejamento de pesquisas qualitativas. In: ALVES-MAZZOTTI, A. J.; GEWANDSZNAJDER, F. O método nas ciências naturais e sociais: pesquisa quantitativa e qualitativa. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learnig, Reimpressão da 2.ed. de 1999, pp ANDRÉ, M. E. D. A. Etnografia da prática escolar. Campinas: Papirus, BASSANEZI, R. Modeling as a teaching-learning strategy. For the Learning of Mathematics, Vancouver, v.14, n.2, p.31-35, BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática & implicações no ensino-aprendizagem de matemática. Blumenau/SC: Editora da FURB, BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3.ed. São Paulo: Contexto, BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/AEF, BRITO M. R. F. Aprendizagem significativa e a formação de conceitos na escola. In: BRITO M. R. F. (org). Psicologia da Educação Matemática: teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001, pp CARRAHER, T. N.; CARRAHER, D. W.; SCHLIE- MANN, A. D. Na vida dez, na escola zero. 2.ed. São Paulo: Cortez, CARVALHO, D. L de. A interação entre o conhecimento matemático da prática e o escolar. Campinas/SP: UNICAMP, 1995 (Tese de doutorado). CHIZOTTI, A. Pesquisa em ciências humanas e sociais. São Paulo: Cortez, D AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas/SP: Papirus, (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).. Etnomatemática. São Paulo: Ática, Volta ao mundo em 80 matemáticas: incas, egípcios, maias, celtas, inuítes, papuas, pigmeus, indianos, chineses, japoneses. Todos esses povos inventaram sua própria maneira de contar e medir. In: Cientific American Brasil. Edição Especial Etnomatemática. Pinheiros/SP: Ediouro. 200[5]. FANTINATO, M. C. de C. B. Identidade e sobrevivência no Morro de São Carlos: representações quantitativas e espaciais entre jovens e adultos. São Paulo: FEUSP, (Tese de doutorado). FIORENTINI, D. (org). Formação de professores de Matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas/SP: Mercado das Letras, FIORENTINI, D.; SOUZA JR., A.; MELO, G. F. A. de. Saberes docentes: um desafio para acadêmicos e práticos. In: GERALDI, C. G.; FIORENTINI, D.; PEREIRA, E. M. de A. (orgs.). Cartografias do trabalho docente: professor(a)-pesquisador(a). Campinas/SP: Mercado das Letras: Associação de Leitura do Brasil (ALB), 1998, pp (Coleção Leituras do Brasil). FONSECA, M. da C. F. R. Discurso, memória e inclusão: reminiscências da matemática escolar de alunos adultos do ensino fundamental. Campinas/ SP: FE/UNICAMP, (Tese de doutorado). FREIRE, P. A educação na cidade. São Paulo: Cortez, MONTEIRO, A.; POMPEU JÚNIOR, G. A matemática e os temas transversais. São Paulo: Moderna, (Educação Matemática em pauta: temas transversais). MOREIRA, P. C.; DAVID, M. M. M. S. O conhecimento matemático do professor: formação e prática docente na escola básica. In: Revista Brasileira de Educação. Rio de Janeiro: ANPED, n.28, jan./fev./mar./abr. 2005, pp Disponível em: < Acesso em: 08 jul PICONEZ, E. C. B. Educação escolar de jovens e adultos. Campinas/SP: Papirus, (Coleção Papirus Educação). 70 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

71 PONTE, J. P. da. A investigação sobre o professor de Matemática: problemas e perspectivas. In: Conferência realizada no I SIPEM/SBEM. Serra Negra/ SP, nov Disponível em: fc.ul.pt/jponte/docs.pt/00-ponte%20(duf-brasil). doc> Acesso em: 08 jul Investigação sobre concepções, saberes e desenvolvimento profissional de professores de Matemática. In: Actas do VII Seminário de Investigação em Educação Matemática. Lisboa: APM, Disponível em: < fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/97-siemvii.rtf> Acesso em: 08 jul SCHLIEMANN, A.; CARRAHER, D. Razões e proporções na vida diária. In: SCHLIEMANN et al. Estudos em psicologia da educação matemática. 2.ed. Recife: Ed. Universitária, 1997, pp Idemar Vizolli Professor adjunto no curso de Matemática da UFT, Campus de Arraias. idemar@uft.edu.br Recebido em: 20/09/2009 Concluído em: 27/10/2009 EMR-RS - ANO número 10 - v.2 71

72 72 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

73 EDUCAÇÃO ETNOMATEMÁTICA: TRÊS APROPRIAÇÕES DA TEORIA Ethnomathematical Education: Three Appropriations of the Theory Rafael Montoito Resumo Este artigo tem por objetivo discutir conceitos que aparecem de modo divergente na literatura sobre etnomatemática. Considerando-a desde a gestação de suas ideias até a contemporaneidade, veremos como a teoria tem sido apropriada por professores e pesquisadores e quais contribuições poderiam ser dadas para a educação matemática se a etnomatemática fosse assumida com uma nova disciplina. Palavra-chave: Etnomatemática. Matemática cultural. Programa etnomatemático. Etnomatemática como disciplina. Abstract The objective of this article is to discuss about the concepts that appear in a divergent way in literature related to ethnomathematics. Considering it since the elaboration of its ideas until contemporaneousness, we will see how theory has been appropriated for teachers and researchers and which contributions could be given for the education of mathematics if the ethnomathematics would be assumed as a new subject. Keywords: Ethnomathematics. Cultural mathematics. Ethnomathematical program. Ethnomathematics as a discipline. 1 Introdução: mais do que considerar o conhecimento prévio do aluno A primeira característica híbrida da etnomatemática a levar em conta é o seu empenho no diálogo entre identidade (mundial) e alteridade (local), terreno onde a matemática e a antropologia se intersectam. (VERGANI, 2007, p.14) Assim como outras áreas da atual Educação Matemática, a etnomatemática tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores, em diferentes partes do mundo. Os resultados desses trabalhos nem sempre chegam aos professores que estão atuantes nas salas de aula, os quais, algumas vezes, se apropriam da teoria de um modo simplista, utilizando-se do discurso trazer para a sala de aula o conhecimento prévio do aluno para justificar a opção de fazer atividades etnomatemáticas com eles. Essa sentença, que tem ao longo de muitos anos marcado várias gerações de professores e servido para justificar diferentes propostas curriculares governamentais, inserções de atividades em sala de aula e até mesmo a reelaboração de alguns livros didáticos, não resume, em absoluto, as práticas educativas que versam sobre a etnomatemática. A diferença de abordagens adotadas por alguns professores e pesquisadores pode estar enraizada na diferença de conceitos que tentam definir o que é etnomatemática. Pesquisadores da área expressam-se utilizando diferentes ideias, considerando diferentes valores, tendo distintas atuações. Se, no centro, todas as práticas partilham a visão de valorizar a cultura de um povo (o próprio modo de definir cultura e povo não é senão outro ponto divergente entre alguns autores), ao se afastar deste, temos várias visões distintas da teoria etnomatemática, com elementos bastante divergentes. Nosso intuito, com este artigo, não é unificar elementos que não podem ser assim agrupados. Ao contrário, pretendemos comentar as distintas EMR-RS - ANO número 10 - v.2 - pp. 73 a 92 73

74 abordagens teóricas que pesquisamos, as visões de etnomatemática que têm sido desenvolvidas na Educação Matemática e suas principais características práticas e teóricas. Para tal, abordaremos desde a gestação das ideias de etnomatemática até como ela tem sido vista atualmente pelos educadores matemáticos e o que alguns preveem para essa área no futuro da educação, com o intuito de construir um amplo panorama de discussão sobre o tema. 2 A gestação das ideias de etnomatemática: um longo processo Há uma crença generalizada que o ensino de matemática é diferente do ensino de história, ou sociologia, ou ciências ou políticas. Esta crença assegura que na matemática os fatos são independentes da cultura, do indivíduo ou do tempo (...). A matemática é considerada como uma ciência que não comete erros; e sua verdade é considerada eterna e absoluta.(fasheh apud GIONGO, 2009, p.2) Ao longo dos últimos séculos, a educação foi sendo institucionalizada. A mudança física (dos professores particulares que iam às casas dos alunos à atual ida dos alunos à escola) acabou, aos poucos, resultando num currículo comum que todos tinham de aprender quando presentes no mesmo lugar. A instituição Escola resumia-se na figura do professor que ensinava e dos distintos alunos que tinham de aprender. Essa discussão já difundida por muitos e conhecida por todos não necessita ser aprofundada agora; basta ressaltarmos que isso se deu porque as visões de cultura, de homem e de ensino eram alicerçadas pelo modo como o homem (dito ou autointitulado culto ) europeu via o mundo e o conhecimento como este vivia e desenvolvia sua ciência e as crenças absolutistas que depositava nela. Até o final do século passado, como um todo, esse panorama predominava, achatando as demais culturas e tomando como inferior o conhecimentos de grupos culturais que não eram talhados nesse modelo europeu. Nesse processo maldoso de nivelamento cultural, centrado na figura do professor, a matemática [ficou] uma matemática congelada rígida, fria e sem chamarizes. Ao invés da exploração, há o treino; ao invés da investigação, imitação. Da aritmética da escola elementar até o cálculo universitário, a matemática nas salas de aula é dramaticamente diferente da matemática prática (VOLMINK 1, 1994, p.58). A necessidade de se desenvolverem novos olhares para e sobre a educação não apareceu de repente, sozinha; pelo contrário, foi ao longo dos anos motivada pelas mudanças mundiais e novas maneiras que a sociedade passava a ver o outro e a se ver. Com as profundas transformações do sistema de comunicação, informatização e de produção, como causas e resultados da globalização, tem havido um repensar em muitos conceitos já fechados há séculos. Graças a este repensar, a ideia principal hoje é questionar de forma séria, e livre de medos e pré-conceitos, todos estes dogmas que temos a respeito de Homem, Sociedade, Cultura e Educação. (ESQUINCALHA, 2009, p.2) Nos ideais de tantas civilizações que lutaram por igualdade, estavam a igualdade social e as condições de vida, mas o olhar de a cultura do homem branco europeu ser superior às demais manteve-se até meados do século passado quando, por fim, se começou a pensar em valorizar igualitariamente a cultura dos diferentes povos. A chamada Ciência Moderna, que muito se desenvolveu ao entrar em contato com o Mundo Novo das Américas e ter seu imaginário impregnado por sensações naturais, culturais e sociais que lhe eram desconhecidas, as quais foram apropriadas, transformadas, ressignificadas e reapresentadas segundo suas bases culturais através de um processo que resultou em um genocídio humano e cultural, perpetrados nos anos difíceis da época colonial e durante a independência crioula (D AMBROSIO, 2009, p.10), hoje cede espaço à busca do valor do indivíduo, considerando não só seus conhecimentos, mas também sua existência, seu papel no mundo e as contribuições que pode dar para as novas gerações, para a formação de uma cultura de paz e para a manutenção do planeta. A antropologia e a sociologia, também influenciadas pelas transformações visíveis nas sociedades, no mundo, e no modo de o homem se relacionar com este, acabaram por reconhecer que de alguma forma, todas as culturas se 1 Todas as citações retiradas de artigos em inglês foram traduzidas por nós. 74 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

75 influenciam até mesmo aquelas que já foram extintas nos processos de colonização deixaram alguma marca na cultura de seus colonizadores (ESQUINCALHA, 2009, p.3) e que, devido a essas inter-relações, a cultura, entendida como o conjunto de relações, valores, condutas, crenças, saberes estabelecidos no interior de um grupo, uma ancoragem, uma referência existencial (MONTEIRO apud GIONGO, 2009, p.3) configura agora uma realidade multicultural, que representa bem a sociedade moderna, no seu intercâmbio de pensamentos, ações e visões de mundo. Uma sociedade reconhecidamente multicultural é o estopim para as primeiras ideias sobre etnomatemática, pois, acreditando-se que culturas diferentes não devem ser subjugadas umas às outras, mas valorizadas individualmente, faz-se imediatamente necessário reconhecer que a matemática deve agora ser entendida como um tipo de conhecimento cultural, o qual todas as culturas geram e que não necessariamente precisa ser parecido entre um grupo cultural e outro. Assim como a cultura humana gerou a linguagem, crenças religiosas, rituais, técnicas para produzir alimentos, etc., parece que todas as culturas humanas geraram matemática. (BISHOP apud BURTON, 1994, p.72-73) A partir dessa visão, além das danças e costumes, um povo passou também a ser identificado pela sua prática matemática: a matemática egípcia, babilônica e grega abandonaram o pedestal de perfeição e superioridade que ocupavam para se colocarem no mesmo patamar que a matemática indígena, maia, inca, etc. Diga-se, ainda, que nesse mesmo patamar encontramos a matemática de grupos sociais distintos e atuais, como a de grupo de pescadores, artesãos, grupos de trabalho, grupos de moradores e tantos outros (BORBA apud ESQUINCALHA, 2009). 3 Conceituando etnomatemática: um corpo culturalmente disforme Em qualquer sociedade, somente um grupo muito limitado de pessoas se empenha em produzir teorias, em ocupar-se de ideias e construir weltanschauungen 2, mas todos os homens na sociedade participam, de uma maneira ou de outra, do conhecimento por ela possuído. Dito de outra maneira, só muito poucas pessoas preocupamse com a interpretação teórica do mundo, mas todas vivem em um mundo de algum tipo. (BERGER; LUCKMANN apud MONTEIRO; JUNIOR, 2003, p.56) Considerar a matemática que grupos particulares praticavam, diferentemente da matemática europeia praticada nas escolas ao redor do mundo, foi um importante olhar que se começou a dirigir às diferentes culturas, colocando-as em pé de igualdade. Todos os grandes matemáticos que se dedicaram a estudar, sistematizar e aprofundar a matemática que conhecemos não perdem, com isso, o seu valor, mas passam a ser vistos como pessoas que construíram a sua visão de mundo, enquanto tantas outras culturas construíam outras e aplicavam a seus problemas e desafios cotidianos resoluções válidas. A matemática europeia, imposta às colônias conquistadas desde o tempo das navegações, e por outros tantos anos devido à crença em sua perfeição e finitude, não possui raízes em diversas culturas. Quem são os heróis da matemática? Se pensarmos no México, por exemplo, que têm Euclides ou Cardano ou Newton a ver com as raízes culturais do povo mexicano? E do Brasil? E do Senegal? E da Índia? E do Japão? Ou da nação Sioux? Na verdade, são raízes culturais de um processo civilizatório que tem no máximo cinco séculos, duração muito curta na história da humanidade. (D AMBROSIO apud GIONGO, 2009, p.2) Admitindo-se a fala anterior de Bishop, é possível perguntar, então, o que aconteceu com a matemática que todas as culturas produziram, ao longo de sua existência, se observamos que pouca ou nenhuma relação mantêm com a que conhecemos das nossas salas de aula? A resposta: foram dizimadas, postas de lado ou esquecidas. No seu lugar, tomou posse a matemática dominante : as organizações sociais das civilizações antigas eram tais que somente os ricos, os poderosos e os influentes tinham acesso ao 2 Concepção de mundo, em alemão. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 75

76 conhecimento matemático. Houve tempos em que quase existiram conspirações para manter o conhecimento matemático codificado tão secreto quanto possível (VOLMINK, 1994, p.51). Volmink ainda aponta que, mesmo que não vivamos mais nos dias em que os conhecimentos matemáticos eram passados quase que sigilosamente entre membros de uma organização que se assemelhava a uma irmandade, ainda se pode perceber que a matemática tem sido erroneamente olhada como a criação de alguns singulares indivíduos brilhantes (homens brancos). Isto coloca a matemática fora do setor de experiência da maioria das pessoas. Assim, faz-se uma distinção aguda entre poucos e muitos, conforme a suposição fundamental da organização social. Em outras palavras, tendo-se excluído a maioria, a prática da matemática agora dá um grande poder à minoria. Deste modo, fica claro que a má distribuição das experiências matemáticas não ocorre sem implicações políticas e consequências morais. (VOLMINK, 1994, p.51) Trabalhando com diferentes culturas, como diretor do programa de doutorado da UNESCO, em Mali, na África, o professor Ubiratan D Ambrosio contou, segundo Esquincalha (2009), em entrevista à Revista Nova Escola, em agosto de 1993, que começou a indagar-se sobre todas estas questões: o que via lá era uma matemática do Primeiro Mundo que não se relacionava, na origem, com a tradição do povo que a estudava: com os conhecimentos que acumularam ao longo de sua existência, aqueles habitantes haviam construído mesquitas típicas que estavam de pé há mais de 500 anos. Depois de muito tempo estudando Antropologia e História Comparativa para entender esse fenômeno, o professor D Ambrosio utilizou o termo etnomatemática, pela primeira vez, no V Congresso Internacional de Educação Matemática, realizado em 1984, na cidade de Adelaide, Austrália. Em sua fala, afirmou que questões sobre Matemática e Sociedade, Matemática para todos e mesmo a crescente ênfase na História da Matemática e de sua pedagogia, as discussões de metas da educação matemática subordinadas às metas gerais da educação e sobretudo o aparecimento da nova área etnomatemática, com forte presença de antropólogos e sociólogos, são evidências da mudança qualitativa que se nota nas tendências da educação matemática. (D AMBROSIO apud MONTEI- RO; JUNIOR, 2003, p.43) Nos anos que se sucederam, foi-se cunhando o termo e a necessidade de uma definição mais específica, novamente criada pela rigidez do saber acadêmico, fez-se sentir, pois muitos não gostariam de trabalhar com uma teoria que não estivesse bem definida e nomeada. Hoje, em suas obras, D Ambrosio é enfático ao afirmar que indivíduos e povos têm, ao longo de suas existências e ao longo da história, criado e desenvolvido instrumentos de reflexão, de observação, instrumentos materiais e intelectuais [que chamo de ticas] para explicar, entender, conhecer, aprender para saber e fazer [que chamo de matema] como resposta a necessidades de sobrevivência e de transcendência em diferentes ambientes naturais, sociais e culturais [que chamo etnos]. Daí a chamar o exposto acima de Programa etnomatemática. (D AMBROSIO, 2001, p.60) Seu conceito, assim defendido e formalizado, algumas vezes aparece atualmente na literatura na forma do organograma que se segue: Figura 1: definição de etnomatemática, por D Ambrosio. Fonte: D Ambrosio, 2001, p.2. O caminho dessa contextualização não foi simples e nem percorrido por somente uma pessoa. Em 1986, ocorreu um fato importante para a propagação das ideias sobre etnomatemática: a criação 76 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

77 do Grupo Internacional de Estudos em Etnomatemática (IGSEm), que congregava pesquisadores educacionais de todo o mundo, cujo objetivo era, principalmente, investir em propostas de trabalhos que se convergiam para o seu uso nas salas de aula. No primeiro boletim do grupo 3, é possível encontrar zona de confluência entre a matemática e a antropologia cultural (FERREIRA, 2009, p.4) como uma definição para etnomatemática, baseada ainda nas metáforas de Matemática-no-Contexto- Cultural ou Matemática-na-Sociedade. Segundo essa definição, seria possível pensarmos em etnomatemática como o diagrama seguinte: Figura 2: Zona de confluência entre a matemática e a antropologia cultural. Fonte: Ferreira, 2009, p.4 Outra definição, presente no mesmo boletim, é a de caminho que grupos particulares específicos encontram para classificar, ordenar, contar e medir (FERREIRA, 2009, p.4). Conforme as ideias etnomatemáticas iam se espalhando, diversos autores e pesquisadores tentaram arrumar uma terminologia explícita que as identificasse, antes de a teoria de D Ambrosio ganhar a notoriedade e a abrangência que tem hoje. De acordo com Ferreira (2009), alguns termos utilizados foram: Sociomatemática (Zaslawsky 1973) Matemática Espontânea (D Ambrosio 1982) Matemática Informal (Posner 1982) Matemática Oral (Caraher e Kane, respectivamente em 1982 e 1987) Matemática Oprimida (Gerdes 1982) Matemática Não-Estandardizada (Caraher, Gerdes e Harris, respectivamente em 1982, 1982 e 1987) Matemática Escondida ou Congelada (Gerdes 1982) Matemática Popular ou do Povo (Mellin- Olsen 1986) 3 Os boletins, em espanhol e em inglês, e outras informações, estão disponíveis no site Matemática Codificada no Saber-Fazer (Sebastiani 1987) Atualmente, é difícil encontrar esses termos na literatura de Educação Matemática. A expressão etnomatemática acabou por englobá-los, pois todos os acima representam manifestações de uma cultura ao apropriar-se ou produzir o conhecimento. Ainda assim, etnomatemática não possui um único significado. A etnomatemática emergiu, como uma nova categoria conceitual, do discurso da inter-relação entre matemática, educação, cultura e política, Naturalmente, há várias definições e perspectivas associadas; cada definição, perspectiva, e termos foram debatidos e depois rejeitados ou abraçados em periódicos científicos e outros fóruns acadêmicos. Entre os esforços recentes para definir e descrever o território da etnomatemática, duas posições dominantes são representadas pelas ideias de Ascher e Ascher e D Ambrosio. (POWELL; FRANKENSTEIN, 1997, p.5) Nas palavras da matemática Marcia Ascher e de seu marido, o antropólogo Robert Ascher, etnomatemática é o estudo de ideias matemáticas dos povos não-letrados. Reconhecemos como pensamento matemático noções que de algum modo correspondem às rotuladas em nossa cultura. Por exemplo, todos os humanos, letrados ou não, impõem ordens arbitrárias ao espaço (ASCHER; ASCHER, 1997, p.26). A expressão não-letrados substituiu primitivos, que era usada até então nos textos matemáticos, pois, de acordo com os autores, primitivo conota ideias da teoria evolucionista e traz à mente civilizações que não são aquelas consideradas por eles. Além disso, para eles, existem ideias matemáticas de povos não-letrados, mas não existe matemática, pois esta nasce do pensamento ocidental (FERREIRA, 2009, p.12). Essas abordagens não são excludentes. É fácil perceber que os estudos do casal Ascher se inserem na teoria de D Ambrosio, mas num campo com contornos mais bem definidos e rígidos. A visão de etnomatemática de D Ambrosio é mais ampla e demonstra sua crença numa transformação dialética do conhecimento com e entre sociedades, numa epistemologia que se aproxima da de Paulo Freire. Sendo assim, reco- EMR-RS - ANO número 10 - v.2 77

78 nhece o conhecimento matemático como sendo dinâmico e resultado da atividade humana, e não como estático e ordenado, mesma opinião partilhada por Powell e Frankenstein: Há noções de matemática de povos cuja história foi escondida, congelada ou roubada (...). Arguimos que a etnomatemática inclui as ideias matemáticas dos povos, manifestadas de forma escrita ou não-escrita, oral ou não-oral, muitas das quais têm sido ignoradas ou distorcidas por uma conveniente história das matemáticas. (POWELL; FRANKENS- TEIN, 1997, p.8-9) Essas duas vertentes têm sofrido apropriações corretas e equivocadas. No senso comum, muitos professores têm o conceito de etnomatemática como uma forma de se preparar jovens e adultos para um sentido de cidadania crítica, para viver em sociedade e ao mesmo tempo desenvolver sua criatividade ao enfocar situações em que a matemática é utilizada no cotidiano (OLIVEIRA, 2009, p.1) e que esta procura relacionar a matemática com a realidade do aluno (OLIVEIRA, 2009, p.1). Essa abordagem é simplista, alicerçada no texto do PCN, o qual atribui à pluralidade cultural a forma final de se trabalhar a etnomatemática, depositando nela grandes expectativas quanto à formação da visão de convivência e tolerância entre as culturas. Se a etnomatemática tiver como princípio e fim a sala de aula, o subconjunto de estudos correspondentes ao trabalho de Ascher e Ascher deixará de ser considerado ou servirá, apenas, como exemplo ilustrativo para a sala de aula. Consideramos que a etnomatemática pode ser encarada dessa maneira, tendo sua dimensão prática que se desdobra nas salas de aula, mas não pode ser vista somente como isso ou estruturada para isso. Os trabalhos de Knijnik, com grupos de sem-terra do estado do Rio Grande do Sul, corroboram nossa opinião de que as atividades etnomatemáticas não podem ser apenas um ponto de partida para a sala de aula (KNIJNIK, 2003, p.106). Para a pesquisadora, a escola tem por objetivo implementar uma forma de educação popular, compreendida como uma abordagem metodológica que deve contribuir para mudanças sociais (KNIJNIK, 1997, p.404). Além disso, sua pesquisa, que toma como etnomatemática a expressão cunhada por D Ambrosio, tenta estabelecer ligações concretas entre amplas questões da emancipação popular no Terceiro Mundo e o processo de aprender e ensinar matemática. Assim, lida com as inter-relações entre o conhecimento matemático acadêmico e o popular no contexto da luta pela terra, o que se insere no conceito mais amplo do movimento educacional chamado de etnomatemática. (KNIJ- NIK, 1997, p.405) Ferreira, distinguindo três visões desta (uma parte da antropologia, uma pesquisa de história da matemática ou uma abordagem educacional), alerta quanto à necessidade de prudência ao se utilizar o conceito de etnomatemática, uma vez que admite uma não-possibilidade de defini-la pelo fato de que esta ainda não se consolidou como uma teoria. Essas três visões colocam a etnomatemática como uma proposta aberta e flutuante que ora está mais voltada para os aspectos antropológicos, ora para os aspectos históricos, ora para os aspectos pedagógicos. Por exemplo: alguns trabalhos têm como objetivo reconstruir a trajetória de sistematização e de significados do saber matemático de um determinado grupo étnico ou social e assim se orientam numa perspectiva mais antropológica; do mesmo modo, existem trabalhos que buscam compreender o desenvolvimento histórico de certo conceito em determinado grupo ou em diversos grupos. Entretanto, cabe ressaltar que, apesar do caráter antropológico ou histórico dessas pesquisas, elas não deixam de abordar e trazer sua contribuição pedagógica. Na perspectiva pedagógica, ocorre o mesmo: tomá-la como eixo central do trabalho não significa excluir o caráter antropológico e o histórico, mas sim dar-lhes menos ênfase. (MONTEIRO; JUNIOR, 2003, p.44-45) Do que expusemos até agora, fica claro, pela própria característica de a etnomatemática abarcar o multiculturalismo e considerar que a cultura de um povo modifica-se por contatos diretos, entre as pessoas, e por indiretos, pela mídia (MONTEIRO; JUNIOR, 2003, p.52), a impossibilidade de se limitarem os conceitos e a teoria da etnomatemática, uma vez que não é possível chegar a uma teoria final das maneiras de saber e fazer matemática de um povo. Des- 78 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

79 se modo, é necessário que estejamos sempre abertos a novas metodologias e enfoques, a novas visões de ciência e de sua evolução, o que resultará numa historiografia dinâmica (D AMBROSIO, 2001). Ainda que o nome permaneça cercado dessa aura de indefinição, para Vergani (2007, p.24) foi sob esta designação que a nova área acedeu ao direito de cidadania : mais vale possuir um nome do que não ser nomeada e permanecer inexistente aos olhos dos que traçam hoje os grandes rumos das mudanças educacionais exigidas por uma sadia integração na contemporaneidade. As ideias da etnomatemática acabaram por vir ao encontro de vários novos conceitos e visões de mundo, homem, educação e sociedade que começaram a ser discutidos no final do século passado, o que a fez ser saudada por alguns profissionais da educação com verdadeira paixão, apontando-a como uma nova maneira de ensinar e resgatar valores culturais, sociais e humanos. Teresa Vergani, pesquisadora portuguesa, deixa transparecer isso na sua fala. Para ela, o século XXI deveria diferenciar-se do anterior através da valorização do indivíduo e da partilha das diferentes culturas no ambiente de escolarização: O valor utilitário é o único que tem se levado em conta neste século, em detrimento dos valores culturais, sociais, estéticos e formativos (no sentido do desenvolvimento da consciência/identidade pessoal). A escola não poderá continuar a ignorar/desprezar a indissociabilidade homem/cultura: é nela que a criança funda a sua dignidade, a confiança no seu saber, o valor da sua experiência e do seu processo singular de autonomia. (VERGANI, 2007, p.27) Sem que almejemos o status de sermos mais um grupo a definir etnomatemática, mas com a intenção de reorganizar as principais ideias da teoria em uma sentença mais ampla e adequada, somos compelidos a tomar, a fim de abarcar a visão de D Ambrosio e Ascher e a potencialidade social destacada por Knijnik, etnomatemática como sendo o estudo das diferentes técnicas desenvolvidas/aperfeiçoadas pelo homem, o que acaba formando uma gama de conhecimentos no intuito de transformar/relacionar-se com o meio em que vive, as quais podem ser identificadas na sua religião, filosofia, costumes, etc. Essas discussões acerca dos conceitos e ideias principais da etnomatemática deverão nos conduzir, posteriormente, à análise de como ela tem sido incorporada nas pesquisas atuais na área da Educação Matemática. 4 Matemática cultural e matemática dominante: a necessidade do diálogo Faz sentido, portanto, falarmos de uma matemática dominante, que é um instrumento desenvolvido nos países centrais e muitas vezes utilizado como instrumento de dominação. Esta matemática e os que a dominam se apresentam com postura de superioridade, com o poder de deslocar e mesmo eliminar a matemática do dia a dia. O mesmo ocorre com outras formas culturais (...). A cultura popular, embora seja viva e praticada, é muitas vezes ignorada, menosprezada, rejeitada, reprimida e, certamente, diminuída. Isto tem como efeito desencorajar e até eliminar o povo como produtor e mesmo como entidade cultural. (D AMBROSIO, 2009, p.21) A aceitação de outras matemáticas em pé de igualdade com a europeia não se deu da noite para o dia. Antes, reconhecidas, porém inferiorizadas pela sua falta de rigor, elaboração e cientificidade, passavam agora a ser valorizadas como desenvolvimento do pensamento matemático dos que se serviam dela. Assim, acirraram-se as discussões entre a matemática do dia a dia (aquela que servia para determinado povo resolver seus problemas) e a matemática formal europeia ensinada por muitos anos, a chamada matemática dominante. Assim como a Sociologia aponta a luta de classes na história humana, muitos pesquisadores referem-se a essas matemáticas com conotação equivalente, porém no ramo acadêmico, uma vez que a matemática dominante (europeia, institucionalizada, cientificada, rígida, etc.) não só se sobrepôs às matemáticas dos povos como sendo melhor do que elas como também foi utilizada para a confecção de armas de guerra, dominação de territórios e povos e dizimação de culturas. EMR-RS - ANO número 10 - v.2 79

80 Muitos dirão que isso também se passa com calças jeans, que agora começam a substituir todas as vestes tradicionais, ou com a Coca-Cola, que está por deslocar o guaraná, ou com o rap, que está se popularizando tanto quanto o samba. Mas as vestes tradicionais, o guaraná e o samba continuam sendo aceitos por muitos. Mas diferentemente dessas manifestações culturais, a matemática tem uma conotação de infalibilidade, de rigor, de precisão e de ser um instrumento essencial e poderoso no mundo moderno, o que torna a sua presença excludente de outras formas de pensamento. Na verdade, ser racional é identificado com dominar a matemática. Chega-se mesmo a falar em matematismo, como a doutrina segundo a qual tudo acontece segundo as leis matemáticas. A matemática se apresenta como um deus mais sábio, mais milagroso e mais poderoso que as divindades tradicionais e de outras culturas (D AMBROSIO, 2001, p.75) No entanto, queremos deixar claro que uma abordagem etnomatemática não tem (ou não deveria ter) o interesse de substituir ou excluir a matemática formal e acadêmica, a qual é, também, por sua vez, uma etnomatemática que se desenvolveu na Europa com influências das civilizações indiana e islâmica e que chegou à forma atual nos séculos XVI e XVII. A matemática que conhecemos é uma etnomatemática que hoje se apresenta universalizada devido ao predomínio da ciência e da tecnologia modernas (cf D AMBROSIO, 2001). Borba também concorda que a matemática profissional pode ser vista como uma forma de etnomatemática e critica sua pretensa universalidade ao afirmar que apesar de a matemática acadêmica ser internacional no que tange ao seu uso em diversas partes do mundo, não é internacional no sentido de que apenas uma pequena parte da população mundial é capaz de fazer uso da matemática acadêmica (BORBA apud POWELL; FRANKENSTEIN, 1997, p.8). Se nós, professores, nos percebermos como membros de um grupo que pratica sua própria etnomatemática, admitiremos que tecer pontes viáveis de comunicação implica que o mundo da matemática se reconheça etno (local), e que os mundos etno se reconheçam no domínio da matemática (universal). O vetor da comunicação tem dois sentidos e a linguagem da etnomatemática é uma linguagem de tradução, isto é, reciprocidade. (VERGANI, 2007, p.14) É preciso que a nossa matemática (cujo etno é representando pela academia científica, sem um corpus palpável) se comunique com as de outros grupos, num diálogo de respeito, aceitação e valorização. Poucos diálogos têm se operado entre essas áreas. Por sua vez, a sociedade, em suas atividades cada vez mais específicas, tem contribuído para que grupos distintos façam, da sua matemática própria, um conhecimento quase sigiloso. A etnomatemática não é só de grupos de minorias sociais : grupos de profissionais praticam sua própria etnomatematemática. Assistindo a inúmeras cirurgias, Tod L. Shockey identificou, em sua tese de doutorado, práticas matemáticas de cirurgiões cardíacos, focalizando critérios para tomadas de decisão sobre tempo e risco e noções topológicas na manipulação de nós de sutura. Maria do Carmo Villa pesquisou as maneiras como vendedores de suco de frutas decidem, por um modelo probabilístico, a quantidade de suco de cada fruta que devem ter disponíveis na sua barraca para atender, satisfatoriamente, as demandas da freguesia. N. M Acioly e Sergio R. Nobre identificaram a matemática praticada pelos bicheiros para praticar um esquema de apostas atrativo e compensador. A matemática do jogo do bicho já havia atraído o interesse de Malba Tahan. Marcelo de Carvalho Borba analisou a maneira como crianças da periferia se organizam para construir um campo de futebol, obedecendo, em escala, às dimensões oficiais. (D AMBROSIO, 2001, p ) O que fica claro nas pesquisas elencadas acima é a busca do diálogo entre a etnomatemática da academia e a de outros grupos sociais, numa visão despida de superioridade e precon- 80 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

81 ceitos. Elaborar intersecções entre esses grupos é fundamental para o que se entende como educação no mundo atual, uma educação que, além da cultura formal, propicie ao indivíduo uma nova visão sobre si mesmo e sobre o mundo que integra. Para se chegar a isso, é preciso desmistificar a matemática. Eu também acredito, talvez de um modo ingênuo, que a matemática pode ajudar-nos profundamente nas escolhas das nossas vidas e que o mundo seria um lugar muito melhor se as pessoas fossem capazes de participar daquelas que atingem as suas vidas. Até o ponto em que a matemática explica as coisas, isso pode ajudar-nos a examinar ideias que de outro modo não examinaríamos e criar outras novas. A matemática nos ajuda a colocar uma estrutura na nossa experiência de mundo, a articular nossas ideias e imagens acerca deste mundo e a ver as contradições que há nele. Saber e entender são direitos humanos básicos e, se estes são negados, ao menos em parte, pela maneira como a matemática é vista e ensinada, então há claramente a necessidade de se democratizá-la. Isto significa, em primeiro lugar, que a matemática precisa ser desmistificada. Desmistificá-la não quer dizer simplesmente torná-la acessível a todos, mas também que todos aqueles que têm sido marginalizados, renegados ou inferiorizados vejam que igualmente podem partilhar da sua criação e, portanto, da sua propriedade, beleza e poder. (VOL- MINK, 1994, p.52) A matemática feita pelas mulheres também foi desprezada durante muitos anos. Não estamos falando somente daqueles exemplos conhecidos na história da matemática, mas principalmente da matemática feita pelo grupo de mulheres que administra a casa, costura para fora, trabalha nas linhas de produção, etc. Para muitos, essas atividades poderiam não compor uma etnomatemática, mas é possível identificar padrões de pensamento e raciocínio nessas mulheres, segundo Harris (1997). Ainda que vivam em lugares e sociedades diferentes e não sejam todas da mesma etnia, as mulheres que estão acostumadas a fazer suas roupas e as de seus filhos desenvolvem atividades que são problemas não-formais os quais, uma vez propostos a professoras diplomadas, não puderam ser resolvidos. Muitas professoras não possuem familiaridade alguma com a construção, a forma e o tamanho de suas próprias roupas e por isso não percebem que tudo o que você precisa para fazer um suéter (colocando-se à parte as tecnologias e o material) é o entendimento do que é proporção, e tudo o que você precisa para fazer uma camisa é a compreensão acerca de ângulos retos e linhas paralelas, a ideia de área, alguma simetria, alguma otimização e a habilidade para produzir formas tridimensionais de bidimensionais. (HARRIS, 1994, p.215) Ao contrário de todos esses exemplos discutidos, o que percebemos é que se configurou, no senso comum, etnomatemática como sendo a matemática dos outros, a matemática que outras culturas produzem, a matemática daquele que é diferente de mim, e essa visão continua sendo, sob certa ótica, preconceituosa, pois admite uma cultura que vê a outra sem reconhecer a possibilidade de que ela possa estar, ao mesmo tempo, sendo olhada na direção inversa por quem estava sendo observado. Se já conseguimos reconhecer a matemática do outro, por que esquecemos, muitas vezes, que a nossa ainda não lhe é familiar? Uma das possíveis respostas, dada por Burton (1994), remete, novamente, à diferença de valores que se estabeleceu, ao longo dos anos, entre a matemática científica e a matemática realizada fora da academia. Além disso, para o autor, não só a matemática, mas toda a educação tem sido privilégio apenas da classe dominante, o que concebe formas prontas de se olhar o mundo. Por outro lado, como diz Volmink (1994), talvez seja porque o currículo tem sido ensinado de modo catequético, fazendo os estudantes acreditarem nas verdades eternas da matemática. O currículo, mesmo que considere a etnomatemática, não lhe confere o mesmo status da matemática acadêmica e não o fará enquanto esta for vista como perfeita e imutável. Do modo que ainda se apresenta, o currículo não incorpora a Declaração de Nova Delhi, assinada em 16 de dezembro de 1993 por vários países, inclusive o Brasil (cf. D AMBROSIO, EMR-RS - ANO número 10 - v.2 81

82 2009), no que tange à diversidade cultural, e a matemática dominante e elitizada acaba por criar desconforto nos estudantes. Por causa disso, um clima e uma cultura de resistência com relação à matemática têm sido gerados na sociedade. As pessoas geralmente não são neutras com relação aos seus sentimentos para com a matemática, mas sentem-se bastante alienadas quanto a ela, se não bastante hostis. De fato, tem-se tornado quase um símbolo de status exibir desdém ou desinteresse em matemática. (VOLMINK, 1994, p.52) Isso não quer dizer que devamos parar de ensinar a matemática dominante, mas o caminho da educação etnomatemática se faz numa via de respeito mútuo, analisando-se as situações individualmente. Em alguns casos, a etnomatemática da comunidade serve, é eficiente e adequada para muitas outras coisas, próprias àquela cultura, àquele etno, e não há por que substituí-la (D AMBROSIO, 2001, p.80), enquanto, em outros, fazer com que a comunidade entre em contato com a matemática acadêmica, através dos conhecimentos que já possui, é conscientizá-la da desvantagem em que vive e fazê-la desenvolver um olhar crítico quanto à exploração a qual lhe subordinam (cf. KNIJNIK, 1997). 5 Programa Etnomatemático: características principais Esquecendo-se desta disjunção infeliz, que opõe subjetividade/ objetividade e nos induz à concepção de ciências des-humanas, a etnomatemática atende à interdependência real das ciências matemáticas e das ciências antropológicas. E o faz de maneira inovadora (...). Trata-se de olhar a matemática como uma ciência profundamente humana. (VERGANI, 2007, p.36) A etnomatemática vê a matemática como não sendo produzida linearmente e não estando acabada, podendo modificar-se dentro de uma mesma cultura ou quando esta entra em contato com outra (apud D AMBROSIO, 2001). Mais do que isso, valoriza e reconhece a pluralidade cultural e intelectual do homem desde a Pré- História, pois este, na hora de escolher e lascar uma pedra cujo objetivo final seria seu uso para descarnar um osso, utilizou-se de conhecimentos matemáticos. Antes das tentativas de se conceituar ou estudar as manifestações etnomatemáticas, elas já existiam na humanidade, pois para selecionar a pedra, é necessário avaliar suas dimensões, e, para lascá-la o necessário e o suficiente para cumprir os objetivos a que ela se destina, é preciso avaliar e comparar dimensões. Avaliar e comparar dimensões é uma das manifestações mais elementares do pensamento matemático. Um primeiro exemplo de etnomatemática é, portanto, aquela desenvolvida pelos australopitecos. (D AMBROSIO, 2001, p.33) Apesar de estar disponível para todos os membros de uma determinada cultura, até mesmo a etnomatemática foi sendo incorporada por poucos e, assim como a matemática dominante, formou um conjunto social cuja prática etnomatemática apresenta elementos de exclusão, preconceito e dominação. Volmink (1997) aponta que a etnomatemática também foi, em muitas vezes, feita apenas pela elite: Tenho me voltado para a história da matemática na esperança de encontrar alguma evidência de que ela possa ser uma atividade para as massas, das massas. Mas esta questão me deixou inconfortável. Não importa para onde olhe, só me é possível encontrar confirmações de que apenas a elite, uns poucos escolhidos, estiveram e ainda estão envolvidos com a matemática. Agora, com o advento da etnomatemática, chega o reconhecimento de que a voz monolítica da matemática eurocentrista não pode permanecer inerte. Etnomatemática é, por isso, uma das vozes que nasce em revolta contra a supressão, a falta de reconhecimento e a exclusão das ideias matemáticas de outras culturas. Estranhamente, quando apelo para a literatura etnomatemática, vejo outra vez somente os ricos, os influentes, os poderosos e os privilegiados tendo direto acesso e controle das ideias matemáticas, em suas próprias culturas. Isto quer dizer, por 82 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

83 exemplo, que os padres e somente os favorecidos por eles adquiriram conhecimentos para projetar templos e altares com todo seu esplendor e complexidade matemática; significa também que os ricos donos de terras desenvolveram a linguagem para medi-la; os poderosos, apenas uns poucos entre os incas, sabiam como manter o código do quipo 4, e assim por diante. Obviamente, hoje em dia os atores mudaram, mas a má distribuição dos benefícios intelectuais e do acesso a estes, não. Quem são as pessoas, hoje, que tomam as decisões econômicas, controlam o modo de produção, possuem a expertise tecnológica? O fato de que são, na sua grande maioria, homens brancos, não é um acidente histórico. Isto é uma declaração clara de que nossa organização social tem sistematicamente tirado a especialidade de alguns e privilegiado outros. (VOLMINK, 1994, p.57) Falar em um programa etnomatemático, conforme concebido por D Ambrosio (2001), é, entre outras coisas, desnudar a matemática desse manto de poder e exclusão. Entre todos os teóricos, é ele quem se dedicou mais à sistematização de um programa etnomatemático e à divulgação das ideias cujo objetivo é entender o ciclo do conhecimento em distintos ambientes (D AMBROSIO, 2009, p.16). Para tal, um programa etnomatemático precisa ser entendido como um programa de pesquisa sobre a geração, organização intelectual, organização social e difusão do conhecimento. Na linguagem acadêmica, poder-se-ia dizer que se trata de um programa interdisciplinar, abarcando o que constitui o domínio das chamadas ciências da cognição, da epistemologia, da história, da sociologia e da difusão. (D AMBROSIO, 2009, p.16) Quando falamos, no início deste trabalho, que muitas pessoas possuem a concepção errônea 4 Quipos eram instrumentos utilizados como registros na civilização Inca. Feitos de cordões de lã ou algodão, podiam conter ou não nós. A quantidade ou ausência de nós, em que parte dos cordões estes eram dados e as cores dos próprios cordões configuravam mensagens que eram transportadas dos mensageiros até o imperador, no centro de Cuzco. de que Etnomatemática é somente valorizar os conhecimentos cotidianos dos alunos, estávamos antecipando essa discussão. Ainda que a teoria, como já foi dito, não tenha seus contornos bem delimitados, a teoria da etnomatemática e de um Programa Etnomatemático deixam clara a existência de dimensões conceitual, histórica, cognitiva, epistemológica, política e educacional, uma vez que a abordagem educacional a que se propõem é holística (cf. D AMBROSIO, 2001). Além disso, a etnomatemática não pode esquivar-se da Antropologia: A educação etnomatemática é um processo antropológico que veicula todas as componentes do nosso conceito de cultura: aspectos semióticos, simbólicos e comunicacionais; aspectos sociopolíticos, de organização do trabalho, de relações com o poder; aspectos cognitivos, modos de saber; aspectos teológicos (desde o domínio das condições naturais à criação de espaços de lazer). (VERGANI, 2007, p.34) Outro ponto que se choca com essa visão simplista de etnomatemática para e na sala de aula é a afirmação de que o programa etnomatemático como uma subárea da história da matemática e da educação matemática, com enfoque político (D AMBROSIO, 2001), que considera os contornos da educação e da antropologia de um povo. Colocar as etnomatemáticas de grupos distintos em situações conflitantes é uma atitude inadmissível. O resultado desse embate, que pode acabar por fazer desaparecer a matemática de uma das culturas, influencia também outras dimensões do homem daquele grupo, modificando sua história sem o seu consentimento, o que não deixa de ser uma forma velada de genocídio cultural, como relata o depoimento de um índio Sioux: Você deve ter notado que tudo que um índio faz é em círculo, e isto é porque o Poder do Mundo sempre trabalha em círculos, e tudo tenta ser redondo. Nos dias longínquos em que éramos um povo forte e feliz, todo o nosso poder vinha-nos do aro sagrado da nação, e enquanto este aro foi mantido, o povo prospe- EMR-RS - ANO número 10 - v.2 83

84 rou. A árvore que dava flores vivia no centro do aro, e o círculo de quatro quartos a alimentava. O leste lhe dava paz e luz, o sul lhe dava calor, o oeste lhe dava chuva e o norte, com seu vento forte e frio, dava-lhe força e resistência. Este conhecimento chegou-nos do mundo exterior com a nossa religião. Tudo que o Poder do Mundo realiza opera-se em círculo. O céu é arredondado, e ouvi dizer que a terra é arredondada como uma bola, e também assim o são todas as estrelas. O vento, em seu maior poder, rodopia. Pássaros fazem seus ninhos em círculos, eles vivem a mesma religião que nós. O sol nasce e se põe também em círculo. A lua faz o mesmo, e ambos são arredondados. Até mesmo as estações formam um círculo quando se intercalam e sempre voltam para onde estavam. A vida do homem é um círculo de infância à infância, e assim é em cada coisa movida pelo poder. Nossas moradias eram redondas como os ninhos dos pássaros, e estas eram sempre dispostas em um círculo, o aro da nação, um ninho de muitos ninhos, onde o Grande Espírito nos dizia para chocarmos nossos filhos. Mas os Waischus (homens-brancos) puseram-nos nestas caixas quadradas. Nosso poder se foi e estamos morrendo, pois o poder não está mais em nós. Você pode olhar para os garotos e ver como estão. Quando vivíamos pelo poder do círculo, da maneira que devíamos, os garotos tornavam-se homens com doze ou trezes anos. Mas agora é preciso muito mais tempo para que maturem. (apud ASCHER; ASCHER, 1997, p.35-36) Por considerar o desenvolvimento de conceitos e ideias matemáticas de determinadas culturas, visando a um equilíbrio mais estável entre inteligência e realidade (MARINA apud VERGANI, 2007, p.32), a etnomatemática não pode ser abordada quantitativamente: ela privilegia o raciocínio qualitativo e, através da análise e compreensão de como se dá este processo no indivíduo, deve ser cuidadosa com a passagem do conceito ao abstrato, sendo esta uma das suas principais características metodológicas (D AMBROSIO, 2001). É importante deixar claro que, na etnomatemática, há uma ética associada ao conhecimento matemático, cuja prática é guiada pelo conhecimento de nós próprios, pela diluição das barreiras entre indivíduos, pela construção de uma harmonia ancorada em respeito, solidariedade e cooperação. Daí que os estudantes sejam mais importantes do que os currículos ou métodos de ensino; que o conhecimento não possa ser dissociado da plenitude humana nem do aluno nem do formador; que tanto a paz pessoal como a paz ambiental, social e cultural sejam corolários de um posicionamento correto face à vida, face ao conhecimento e face ao cosmos. (VERGANI, 2007, p.32) Como todas as teorias que fazem eco no campo da educação, a etnomatemática não ficou imune a críticas. Segundo Ferreira (1999), as maiores foram proferidas por Milroy, Dowling e Taylor: Milroy fala que a etnomatemática possui um paradoxo ao pressupor que alguém que foi escolarizado através da matemática dominante seja capaz de ver qualquer outra forma de matemática que não se pareça com essa que lhe é familiar; Dowling refere-se ao discurso da etnomatemática que, segundo ele, é uma manifestação ideológica que favorece o discurso monoglóssico de uma comunidade cultural que compõe uma sociedade heteroglóssica, dando-lhe mais destaques que a outros de diferentes grupos; Taylor, por sua vez, afirma que a etnomatemática tem um discurso político pedagógico, mas não epistêmico, ou seja, ela tenta discutir epistemologicamente, mas seu discurso fica somente na relação políticopedagógica. 6 Três apropriações da teoria: algumas pesquisas e trabalhos Para se compreender o saber presente na vida cotidiana não se deve olhar apenas para a multiplicidade de usos e entendimento dos diferentes tipos de saber, mas também para os processos pelos quais este saber chega a ser socialmente estabelecido como realidade. (MON- TEIRO apud GIONGO, 2009) Nosso intuito, agora, depois de termos citado todos esses elementos, é discutir algumas abordagens que têm sido feitas tomando-se como 84 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

85 centro a teoria etnomatemática. Em nossos estudos, observamos que os trabalhos feitos em sala de aula ou em comunidades encaixam-se em um dos três grupos que apontaremos. Sem qualquer intenção de nomear esses grupos para que futuramente sejam assim referenciados, desejamos discutir suas principais características e darlhes uma configuração mais nítida, pois, como já vimos, alguns mal-entendidos, no que tange à etnomatemática, têm permanecido. Assim, professores e pesquisadores poderão ter maior clareza do que tem sido feito em pesquisa etnomatemática. Ressaltamos que a preocupação do professor e pesquisador não pode ficar somente no como o grupo faz, mas deve tentar entender, nos âmbitos social, cultural e antropológico, por que é feito de determinada maneira. 1º Grupo: etnomatemática para entender/ desvendar o pensamento matemático de um povo. A principal característica desse grupo é que a investigação que se faz nele não tem compromisso direto com a sala de aula, ou seja, não é pensada ou planejada para servir de apoio, posteriormente, às aulas de matemática. Isso não impede, claro, que os conhecimentos divulgados nessas pesquisas sejam, em outras situações, incorporados numa metodologia didática pelo mesmo pesquisador que os investigou ou por outros. Atentos à formação do pensamento matemático de um povo, as pesquisas desse grupo têm a Antropologia como o maior ingrediente da sua base pois, não raras vezes, seu interesse é desvendar e entender as relações matemáticas que civilizações já extintas travaram com o mundo em que viveram. Um exemplo de etnomatemática desse grupo é a elaboração de calendários pelos povos maias e astecas (D AMBROSIO, 2001). Nesse grupo, estão as pesquisas com os povos não-letrados de Ascher e Ascher. No entanto, consideramos essa classificação restringente e inserimos outras culturas nesse grupo. Isso ocorre porque, assim como Vergani (2007), reconhecemos outros povos cuja expressão escrita deu-se através de ideogramas ou símbolos, cunhados em tábuas de argila ou papiros, o que não os caracterizaria como um povo letrado, tal qual entendemos hoje, mas que acabaram por desenvolver uma linguagem própria para sua comunicação. Além disso, povos africanos, como os estudados por Gerdes (1992), são letrados, mas as pesquisas realizadas com eles mantêm as características desse grupo. Ao se trabalhar com esses povos, a abordagem é holística. Atenta às especificidades socioculturais, debruça-se sobre a alteridade dos processos cognitivos, psicoemocionais, comportamentais e práxicos. Essa inserção na antropologia cognitiva e sociocultural é uma fonte inesgotável de descoberta das intersecções reais entre diferentes disciplinas em cada situação vivencial, a partir da experiência e do saber matematizantes. A etnomatemática conhece e fala diversas linguagens humanas, Compreende, assim, aspectos linguísticos, semânticos e simbólicos envolvidos na prática da racionalidade, o que leva a etnomatemática a atender simultaneamente a processos heurísticos e a processos hermenêuticos. (VERGANI, 2007, p.36) Junto a isso, a pesquisadora ressalta as perspectivas tradicionais do saber integrativo que se relacionam global e harmoniosamente na relação sensação e sentimento-arte, intuição e sentimento-religião, razão e intuição-filosofia, sensação e razão-ciência. Conforme Ascher e Ascher (1997), apresentar os conhecimentos desses grupos para a sociedade matematicamente organizada em que vivemos, construída pela matemática dominante, põe por terra duas visões preconceituosas: a de que esses povos possuem uma cultura inferior à nossa e a de que a inteligência vive atrelada à tecnologia, numa relação diretamente proporcional. Alguns processos de construção do pensamento matemático para o domínio/relação com o mundo são bem complexos e ricos, sublinhando fortemente o fato de que as etnomatemáticas são diferentes. Os esquimós do Círculo Polar Ártico quando estão procurando se nutrir, não podem pensar em plantar e, portanto, não desenvolveram agricultura. Dedicaram-se então à pesca. Logo, eles têm que saber qual a boa hora de pescar. Devem pescar muito, talvez todo o dia. Mas o dia [claro] dura seis meses e a noite [escura] seis meses. Portanto, sua distribuição de tempo, e a percepção que têm dos céus EMR-RS - ANO número 10 - v.2 85

86 e das forças que influenciam seu dia a dia, é muito distinta daqueles que têm seu cotidiano na região do Mediterrâneo ou na faixa equatorial. Sua Astronomia e sua Religião são distintas daquelas que surgiram na região do Mediterrâneo ou na faixa equatorial, bem como as maneiras de lidar com seu cotidiano. (D AMBROSIO, 2001, p.36) Gerdes, com seu trabalho, assume como fonte de pesquisa a ciência construída e estabelecida por diferentes grupos, a qual se expressa em discursos orais ou práticas manuais, como a construção de esteiras, cestarias, bolsas, etc. O que muda na perspectiva etnomatemática é que, para ela, os diferentes discursos excluídos e renegados porque não [são] legitimados pelo saber acadêmico devem, também, ser conhecidos e valorizados (MONTEIRO; JUNIOR, 2003, p.47). Sua abordagem legitima outros saberes ao mostrar que, do material escolhido à prática na confecção dos objetos, ao exercerem atividades sociais importantes, os homens foram, paulatinamente, tendo seu raciocínio matemático incitado pelo que produziam. Por exemplo: no norte do Moçambique, pescadores colocavam os peixes à volta do fogo para secarem. Para que todos ficassem à mesma distância, amarravam uma corda a dois tacos, um fixado na terra e outro que girava em sua volta, mantendo a corda sempre esticada. Esse compasso representa o conceito, para aquele povo, de círculo e circunferência, enquanto que outros podem ter travado seus primeiros contatos com essa forma ao observarem teias de aranha e tentado reproduzir sua forma circular para a construção de cestos (GERDES, 1992). Desenvolvendo essas ideias cada vez mais, na prática cotidiana, para satisfazer suas necessidades, e passando a incorporar aos objetos produzidos elementos que os deixam belos, como tiras de cores diferentes dispostas de modo simétrico, o homem começou a construir bolsas, recipientes, carteiras, etc. Manipulando outras formas, novas noções foram sendo formadas: cascas de árvore cortadas em forma retangular pelos habitantes do norte de Moçambique eram enroladas sobre si mesmas para formar um recipiente cilíndrico; esteiras retangulares, ao serem viradas, demonstraram possuir eixos de simetria e, ao serem colocadas umas ao lado das outras, mostraram que é possível se formar retângulos maiores pela composição de outros menores, etc. Ou seja, atividades cotidianas, realizadas por diferentes povos ao redor do mundo, contribuíram, na opinião de Gerdes, para o desenvolvimento do seu pensamento geométrico, muito antes de estes frequentarem as escolas e estudarem propriedades geométricas que já eram, na prática, percebidas e conhecidas por eles. Até mesmo figuras mais complexas, como o pentágono, podem ter surgido da lida diária, ao se dar um nó numa mesma faixa (em torno de si mesma), com o objetivo de criar uma proteção para os dedos que debulhavam grãos. A diferença cultural também é verificada na relação dos povos com os números. A operação de adição, corriqueira para nós, e a sequência numérica que utilizamos na contagem, podem ser vivenciadas diferentemente por outras culturas, como bem mostram os estudos sobre as habilidades numéricas e aritméticas dos Kédang 5, os quais apresentam seu próprio tipo de substituição numérica. Seu uso de números em contextos aritméticos práticos e em contextos não-aritméticos não são contraditórios. Quando utilizados num contexto simbólico, números ímpares são associados com a vida e, os pares, com a morte. Substituições com essas classes são possíveis em circunstâncias que as requeiram. Se, por exemplo, um período cerimonial de quatro dias é estipulado, mas não pode ser alcançado, dois dias o farão, mas três seria uma infração muito séria. Quatro e dois são membros da mesma classe e são bastante equivalentes neste sentido e neste contexto. A formação desta classe de equivalência é, pensamos, um exemplo de ideia abstrata de número. (ASCHER; ASCHER, 1997, p.31) Nesse grupo que considera amplamente a cultura, na busca de indícios de pensamentos matemáticos, se reconhece que a Etnomatemática não é parte da história da matemática Ocidental apesar de que, por necessidade, precisaremos utilizar a terminologia Ocidental para discuti-la. Como ocidentais, estamos confinados 5 Um dos povos que vive na ilha de Lembata, uma das que compõe a Indonésia. 86 EMR-RS - ANO número 10 - v.2

87 ao que podemos ver e expressar em ideias que, tenham alguma conformidade com as nossas (ASCHER; ASCHER, 1997, p.43-44). Isso nos remete, outra vez, àquela necessidade de que haja uma linguagem de tradução, conforme Vergani expôs anteriormente, para formarmos a inter-relação entre as culturas. O exemplo seguinte mostra, de modo talvez ainda mais claro que os dois anteriores, como esse olhar de tradução percebe o pensamento matemático na composição familiar dos Warlpiri, na Austrália: a organização a que obedecem possui uma sequência lógica, mantida por anos e passada entre as gerações, cujo objetivo não é, obviamente, ressaltar as relações matemáticas que são possíveis identificar nelas. De acordo com estudos de Marcia Ascher (cf. VERGANI, 2007), o sistema de parentesco dos Warlpiri tem oito seções, e cada pessoa está ligada a uma delas. Os casamentos são feitos, preferencialmente, entre pessoas de seções distintas, e os filhos são ligados a uma terceira, a qual depende da mãe. Essa organização está apresentada nos diagramas abaixo, que são equivalentes, nos quais os sinais de igual ligam os esposos, e as setas vão da seção das mães para a dos filhos. ao longo de gerações, analisando primeiramente uma sequência de mulheres, partindo da seção 1, veremos que sua filha estará na 3, a da 3 estará na 2, a qual, por sua vez, terá uma filha na seção 4, cuja filha volta a pertencer à seção 1. Outra sequência ocorre na ordem 5, 8, 6, 7 e recomeça novamente. Estes dois círculos são disjuntos e cada um deles contém a metade das oito seções. Os antropólogos chamam metade a cada um desses dois grupos de quatro setores. Nesse caso, em razão de se ligarem ao grupo da mãe, trata-se de matrimetades (VERGANI, 2007, p.20). Se os ciclos das mulheres apresentam comprimento 4, os dos homens são sempre de comprimento 2: um homem da seção 1, ao casar-se com uma mulher da 5, terá seu filho na 8. Este, por sua vez, casará com uma mulher da seção 4, cujo filho pertencerá à 1. Nesse exemplo, a relação pai/filho se dá na ordem 1, 8 e já recomeça novamente. Existem outras relações de patriciclos que são 2 com 7, 3 com 5 e 4 com 6. A filiação de uma patrimetade determina as atividades no domínio político-religioso. As 8 seções dos Warlpiri podem ser agrupadas em dois outros conjuntos que são {1, 6, 2, 5} e {8, 4, 7, 3}. São metades ligadas às gerações; os membros de um grupo são considerados da mesma classe etária. Essas metades determinam, por exemplo, os matrimônios legais e os laços de cooperação em diferentes empreendimentos. (VERGANI, 2007, p.20) As relações de matriciclos e de patriciclos são traduzidas em conjuntos de mesma cardinalidade, respectivamente 4 e 2. Um olhar que relê essas relações nas suas características matemáticas é um olhar de tradução que relaciona culturas e saberes populares com saberes acadêmicos. Figura 3: relação de parentesco entre os Warlpiri. Fonte: Vergani, 2007, p.19. Nesses diagramas, por exemplo, um homem da categoria 1 se casa com uma mulher da categoria 5 e seus filhos pertencem à 7; um homem da 6 se casa com uma mulher da 2 e seus filhos pertencem à 3. Se seguirmos o processo 2º Grupo: etnomatemática como tema transversal (metodologia). Esse grupo utiliza-se da etnomatemática como uma proposta metodológica para o ensino de conceitos matemáticos na sala de aula, na maioria das vezes, através de atividades de modelagem. A abordagem não requer uma imersão antropológica na cultura de um grupo, mas observa como determinados grupos do EMR-RS - ANO número 10 - v.2 87