UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA DANIEL PINI BOUABSI

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA DANIEL INI BOUABSI ESTUDO NUMÉRICO DE ESCOAMENTO EM MANCAIS DESLIZANTES CURITIBA 9

2 DANIEL INI BOUABSI ESTUDO NUMÉRICO DE ESCOAMENTO EM MANCAIS DESLIZANTES Relatório do Trabalo de Graduação IV, ara arovação na discilina Trabalo de Graduação do curso de Engenaria Mecânica da Universidade Federal do araná Orientador: rof. Dr. Carlos Henrique Marci CURITIBA 9

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA ESTUDO NUMÉRICO DE ESCOAMENTO EM MANCAIS DESLIZANTES Trabalo referente à discilina TRABALHO DE GRADUAÇÃO IV TM- defendido elo aluno DANIEL INI BOUABSI e arovado em 7 de dezembro de 9 ela banca examinadora: rof. CARLOS HENRIQUE MARCHI, Dr. Eng. rofessor Orientador rof. MARCIO AUGUSTO VILLELA INTO, Dr. Sc. LEANDRO ALBERTO NOVAK, M. Eng.

4 A meus ais, elo incansável aoio e incentivo em todos os momentos, ossibilitando mina trajetória até aqui, dedico este trabalo.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, or ter-me dado a condição umana de ensar, trabalar e discernir, ao rofessor Orientador Carlos Henrique Marci, or ter demonstrado interesse, semre esclarecendo dúvidas, incentivando e fornecendo suervisão à altura do trabalo roosto, ao rof. Andrew Torrance, or ter-se mostrado solícito, mesmo não nos conecendo, bem como elo excelente material enviado, ermitindo o enriquecimento do resente trabalo, o meu agradecimento.

6 RESUMO Os mancais idrodinâmicos são elementos de máquinas utilizados entre artes móveis e fixas de um sistema rotativo e sua finalidade é substituir o atrito metálico columbiano, gerado or seus esforços comartilados e suas rugosidades, elo atrito viscoso de um fluido, a artir da correta utilização de um elemento lubrificante. O lubrificante atua não só como reventivo de desgastes e erosão, como também serve de amortecedor quando as máquinas estão sujeitas a coques ou variações bruscas de carga, aumentando a eficiência e a vida útil desses equiamentos. O objetivo do resente trabalo é desenvolver um rograma comutacional, que ossibilite a solução aroximada dos camos de ressão e velocidade, utilizando-se ara isso, o Método de Volumes Finitos na resolução das equações governantes do roblema. Condições de Contorno comumente encontradas na literatura uderam ser alicadas através da técnica dos volumes fictícios. Dois roblemas foram estudados no transcorrer do trabalo. No rimeiro, aenas uma das equações governantes foi resolvida, obtendo-se resultados numéricos muito róximos dos analíticos exatos, que eram reviamente conecidos. Um estimador de erro numérico foi utilizado neste caso e conduziu a resultados confiáveis, uma vez que em todos os casos, a estimativa do erro foi suerior ao rório erro encontrado. No segundo roblema tratado, duas equações foram resolvidas, de forma que a solução numérica não necessitasse agora de arâmetros obtidos or meio da solução analítica exata, exceto de uma estimativa inicial, que somente or conveniência, foi escolida como sendo a da rória solução exata. ara este caso, ouve malas em que a convergência verificou-se e, em outras, o algoritmo numérico mostrou-se instável. Neste trabalo também foram aontadas as rinciais rováveis causas resonsáveis or este fenômeno, assim como algumas técnicas que oderiam contornar estes obstáculos em trabalos osteriores. ALAVRAS-CHAVE: Lubrificação Hidrodinâmica, mancais, atrito, modelo comutacional, volumes finitos.

7 LISTA DE FIGURAS FIGURA Mancal de deslizamento em figura esquemática...4 FIGURA Excentricidade do eixo devido a seu carregamento...5 FIGURA 3 Mancal de deslizamento de etroff...9 FIGURA 4 Distribuição de ressão resultante das condições de contorno de Renolds...3 FIGURA 5 Distribuição de ressão resultante das condições de contorno de Sommerfeld...3 FIGURA 6 Distribuição de ressão resultante da meia condição de contorno de Sommerfeld...3 FIGURA 7 Filme de lubrificante em sua forma desenrolada...33 FIGURA 8 erfil simétrico de ressões da solução de Sommerfeld...35 FIGURA 9 Exemlo de incerteza (U GCI ) confiável obtida com GCI...5 FIGURA Camo de ressão e altura do filme de óleo...56 FIGURA Distribuição de ressão ao longo do eixo...57 FIGURA Gradiente de ressão ao longo do mancal (N x e N )...58 FIGURA 3 Tensões de cisalamento nas suerfícies do eixo e do mancal (N x e N )...59 FIGURA 4 Variação da tensão de cisalamento no mancal e no eixo (N x e N )...59 FIGURA 5 Cisalamento na mala de base (N x e N )...6 FIGURA 6 Gráfico de erro versus dimensão da mala ()...6 FIGURA 7 Ordens de convergência do erro...6 FIGURA 8 erfil de velocidades na seção θ 3 (N x e N )...6 FIGURA 9 erfil de velocidades na seção θ 3 (N x e N )...6 FIGURA erfis de temeratura analíticos na seção θ 3 (N x e N )...63 FIGURA Camos de ressão ara várias malas utilizadas...7 FIGURA Camo de velocidades na seção φ FIGURA 3 Exemlo de uma mala mal comortada sem iterações...7 FIGURA 4 Mesma mala mal comortada aós algumas iterações...7 FIGURA 5 Gráfico de erro or dimensão da mala... 7 FIGURA 6 Suerfícies deslizantes...8

8 FIGURA 7 Mancal de deslizamento lano...85 FIGURA 8 Forças sobre um elemento de fluido lubrificante...85 FIGURA 9 Reresentação do escoamento de oiseuille...87 FIGURA 3 Reresentação do escoamento de Couette...87 FIGURA 3 erfil de velocidades no filme de óleo lubrificante...88 FIGURA 3 Curva de Stribeck...9 FIGURA 33 Lubrificação sólida...9 FIGURA 34 Mancais de rolamento...9 FIGURA 35 Lubrificação idrostática...9 FIGURA 36 Volumes de controle usados na discretização da equação governante FIGURA 37 Volumes de controle fictícios no mancal (a) e no eixo (b)...96 FIGURA 38 Volumes de controle fictícios ara equação da ressão...

9 LISTA DE TABELAS TABELA : Valores exerimentais do fator de atrito...38 TABELA : Constantes de ajustes de curva...39 TABELA 3: Coeficientes dos volumes de controles emregados no roblema...55 TABELA 4: arâmetros geométricos do mancal e eixo...56 TABELA 5: roriedades físicas do lubrificante...56 TABELA 6: Malas utilizadas nas simulações do roblema...6 TABELA 7: Coeficientes dos volumes de controles emregados no roblema...69 TABELA 8: Malas utilizadas nas simulações do roblema...7

10 LISTA DE SÍMBOLOS a, b, c constantes c folga radial do mancal [m] c caacidade térmica do lubrificante [Btu/lbm F], [J/kg C] D diâmetro do mancal [m] e excentricidade do mancal, face leste [m] f coeficiente de fricção g r vetor aceleração da gravidade esessura do filme [m] altura do filme de óleo nos ontos de ressão máxima e mínima (nula) [m] comrimento característico na direção z [m] J calor equivalente em joules, 9336 in lbf/btu L comrimento do mancal [m] l comrimento característico na direção x [m] M fluxo de massa or unidade de comrimento na direção x [kg/s] x M z fluxo de massa or unidade de comrimento na direção z [kg/s] N rotação do eixo [rev/s] ressão [N/m²] ressão característica [N/m²] m ressão adimensional m ressão máxima no filme de lubrificante [N/m²] Q taxa de fluxo volumétrico de óleo ara o mancal [in³/s] Q taxa volumétrica de vazamento lateral ara fora do mancal e s ara o reservatório [in³/s] Q vazão de lubrificante na direção x [m³/s] x r raio do eixo [m] b e c R número de Renolds de transição Re x número de Renolds-modificado na direção x T temeratura [ C, F] t temo [seg.] T temeratura de referência, 5 C [ C] U velocidade do eixo na direção x [m/s] u velocidade na direção x [m/s] u velocidade característica na direção x [m/s] V velocidade do eixo na direção [m/s] v velocidade na direção [m/s] V r vetor velocidade V velocidade média na direção x [m/s] x V z velocidade média na direção z [m/s] x direção circunferencial [m]

11 direção radial [m] w velocidade na direção z, face oeste [m/s] z direção axial [m] Letras gregas T τ x, τ z ε ς aumento de temeratura no óleo entre a entrada e saída no ânulo do mancal Variação da tensão de cisalamento nas aredes inferior e suerior [ F] [N/m²] razão de excentricidade, erro de troncamento variável genérica θ coordenada angular medida a artir do onto de esessura máxima do filme [rad] θ coordenada corresondente do onto de ressão máxima [rad] * θ coordenada corresondente do onto de altura [rad] µ viscosidade dinâmica (absoluta) [a.s, µren] µ viscosidade absoluta de referência [µren] ρ densidade [kg/m³] densidade média ao longo da esessura do filme de ρ A lubrificante [kg/m³] ρ t densidade à temeratura de 5 C [kg/m³] τ tensão de cisalamento viscosa [N/m²] Φ solução analítica φ ângulo em coordenadas cilíndricas ao longo do mancal (Equação de Renolds em coordenadas olares), solução numérica [rad] d φ m onto em que dφ [rad] ω b velocidade angular da suerfície do eixo [rad/s] r divergente (oerador nabla) lalaciano Subscritos, comonentes da velocidade ambas na direção x b do mancal m onto de máximo x,, z coordenadas cartesianas x no lano erendicular a x, na direção z no lano erendicular a z, na direção

12 SUMÁRIO INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DO ROBLEMA IMORTÂNCIA DO ROBLEMA OBJETIVOS ESTRUTURA DO TRABALHO... 8 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA METODOLOGIA GERAL HIÓTESES SIMLIFICADORAS Lista de Hióteses Utilizadas NÚMERO DE REYNOLDS EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Equação de Renolds Equação de Renolds -D CONDIÇÕES DE CONTORNO SOLUÇÕES EXATAS Solução de Sommerfeld Meia solução de Sommerfeld Solução de Ocvirk ELEVAÇÃO DA TEMERATURA CÁLCULO DE RORIEDADES TENSÕES DE CISALHAMENTO VELOCIDADE MÉDIA VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA ORDENS DO ERRO DE TRUNCAMENTO ORDEM EFETIVA E ORDEM AARENTE Ordem Efetiva Ordem Aarente ESTIMADOR GCI ROBLEMA... 5

13 4. MODELO MATEMÁTICO DO ROBLEMA VARIÁVEIS DE INTERESSE ROBLEMA NUMÉRICO RESULTADOS OBTIDOS CONCLUSÃO ROBLEMA MODELO MATEMÁTICO DO ROBLEMA VARIÁVEIS DE INTERESSE ROBLEMA NUMÉRICO RESULTADOS OBTIDOS CONCLUSÃO CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS GERAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AÊNDICE A: Equação Clássica de Renolds... 8 AÊNDICE B: Teoria da Cuna de Óleo de Renolds AÊNDICE C: Outros Regimes de Lubrificação... 9 AÊNDICE D: Discretização das Variáveis de Interesse do roblema AÊNDICE E: Discretização das Variáveis de Interesse do roblema... 98

14 3 INTRODUÇÃO A engenosidade do omem ré-istórico ossibilitou exerimentos que ao longo do temo mereceram estudos imortantes e que, nos dias atuais, ainda desertam interesse or arte de muitos esquisadores. Os eventos sem cuno científico, que culminaram com a descoberta do fogo, são exemlos onde os fenômenos de atrito entre duas suerfícies foram aroveitados de maneira ositiva ara gerar calor e rovocar faíscas. or sua vez, a invenção da roda, que revolucionou os transortes á milênios, assou or exaustivos ensaios até cegar-se à conclusão de que a suressão rogressiva do atrito entre as suerfícies, facilitava cada vez mais o deslocamento de essoas e bens elas diversas regiões. Historicamente, Leonardo da Vinci (45-59) com seus rimeiros estudos sobre lubrificação, Galileu (564-64) ao estabelecer o rincíio da Inércia e Newton (64-77), com a formulação das Leis Básicas da Mecânica Clássica, contribuíram de forma inquestionável ara o estudo científico da dinâmica dos movimentos e dos fenômenos do atrito. Entretanto, com a Revolução Industrial ocorrida a artir do século XVIII, a máquina a vaor substituiu a força umana, animal, do vento e das águas e fábricas foram construídas ara rodução em massa de rodutos manufaturados, trazendo rofundas mudanças na organização da economia e do trabalo, aumentando a divisão e esecialização da mão-deobra. A industrialização criou uma demanda or máquinas e ferramentas, fato que estimulou a mecanização, sobretudo no setor têxtil e de transortes. Uma extensa mala viária como canais, estradas de rodagem e ferrovias foi imlementada ara que nela udessem transitar navios, automóveis e locomotivas. Este sistema industrial exigiu arofundamento teórico e técnico sobre a adequada e eficiente manutenção dessas novas máquinas. O estudo do escoamento de fluidos e da transferência de calor tem contribuído ara o desenvolvimento de equiamentos cada vez mais sofisticados e com melores níveis de eficiência. A adequada seleção de elementos lubrificantes neste contexto, é de fundamental imortância, uma vez que as erdas energéticas nos rocessos industriais são minimizadas, bem como observa-se uma diminuição na temeratura dos acolamentos, visto que diminui o nível de atrito. O lubrificante atua não só como reventivo de desgastes e erosão, como também serve de amortecedor quando as máquinas estão sujeitas a coques ou variações bruscas de carga, aumentando a eficiência e a vida útil desses equiamentos.

15 ode-se listar alguns exemlos da alicação de mancais de deslizamento: a) nas usinas idrelétricas, largamente utilizadas em nosso aís ara a conversão da energia idráulica em energia elétrica, as diferentes máquinas rotativas utilizam rojetos esecíficos de mancais de lubrificação idrodinâmica; b) nos comressores erméticos utilizados nos sistemas de refrigeração comercial e doméstico, que junto a demais comonentes, realizam o rocesso de conversão de energia elétrica em energia térmica. O uso de mancais idrodinâmicos, neste caso, é indicado or roduzir um menor nível de ruídos; c) no camo de motores automotivos, visto que sistemas de mancais idrodinâmicos aresentam melor erformance e relativa longa vida de oeração, qualificando-os ara integrar estes motores que convertem energia térmica em energia mecânica. 4. DEFINIÇÃO DO ROBLEMA O mancal de deslizamento é uma categoria esecial de mancal, no quais suas suerfícies são aralelas à lina de rotação do eixo. Este tio de mancal é emregado visando suortar os eixos e seus carregamentos radiais com um mínimo de erdas de energia e com o menor grau de desgaste ossível. A Fig. mostra esquematicamente um mancal de deslizamento, o qual tem a configuração cilíndrica que envolve o eixo. Na realidade, os mancais odem ossuir diversos formatos, como o elítico, or exemlo. x z FIGURA - Mancal de deslizamento em figura esquemática [6]

16 O regime de lubrificação necessário ara suortar o eixo e suas cargas é denominado lubrificação idrodinâmica e deende da velocidade de rotação do eixo. A lubrificação idrodinâmica é um efeito da dinâmica dos fluidos, em que á a formação de um filme fluido de lubrificante, que seara comletamente as suerfícies deslizantes. Tal filme está comreendido numa equena folga entre duas suerfícies que ossuem movimento relativo entre si. O efeito da idrodinâmica gera no fluido uma onda de ressão idrodinâmica que resulta na caacidade de carregamento do mancal, uma vez que o fluido assa a ter ressão suficiente ara resistir aos carregamentos externos imostos elo eixo girante. Aenas os eixos girantes não carregados or forças externas, conseguem manter concentricidade com o mancal. Quando o eixo é submetido a um carregamento, a configuração do conjunto aresenta então excentricidade, onde o deslocamento do eixo na folga que ossui dentro do mancal, é diretamente roorcional ao carregamento externo, ois o ajuste da osição do eixo dá-se até que aja o equilíbrio entre os carregamentos imostos e a ressão gerada no filme de óleo na orção convergente do mancal, conforme é mostrado na Fig.. 5 FIGURA Excentricidade do eixo devido a seu carregamento [] Há orém, um limite rático sobre quanto o rojetista de mancais ode reduzir a esessura do filme. Semre que o filme idrodinâmico fica muito fino, as eças metálicas do acolamento acabam sofrendo contato, resultando em severo desgaste. O mesmo verifica-se nos eixos submetidos a vibrações mecânicas. A escola da adequada esessura de filme é uma imortante decisão do rojetista e deve-se buscar semre a esessura ótima de filme ara cada caso em questão.

17 A teoria clássica da lubrificação, quando resolvida elas vias da matemática exata, utiliza uma série de ióteses simlificadoras adotadas ara ermitir a resolução do modelo matemático. Estas ióteses, muitas vezes não condizem com a realidade or serem consideradas imrecisas. Dessa forma, o uso do comutador ermite que se utilizem modelos comlexos que descrevem melor a realidade, não sendo mais necessária a utilização das referidas simlificações. 6. IMORTÂNCIA DO ROBLEMA O adequado rojeto e a correta seleção dos mancais de deslizamento são de fundamental imortância na sociedade moderna, tendo em vista o imenso camo de alicações destes elementos de máquinas. Na indústria, os mancais figuram no too da lista dentre os elementos mais suscetíveis a manutenções e substituições, quando se aresentam danificados ou desgastados. Até mesmo um mancal de deslizamento corretamente rojetado e oerando adequadamente dentro de sua faixa de velocidade, aresenta elevados níveis de atrito e desgaste, quando o eixo é colocado em oeração e acelera a artir de sua velocidade zero. Neste momento, a velocidade do eixo não é grande o suficiente ara manter o filme de lubrificante entre as suerfícies acolantes, ficando estas, sujeitas ao atrito estático, que no caso, é muito maior que o dinâmico. Muitos avanços na tecnologia dos mancais, como o desenvolvimento de novos materiais e lubrificantes, vêm ermitindo uma redução dos níveis de atrito, do desgaste e, consequentemente, a diminuição dos custos de manutenção. Isto traduz-se como um aumento do temo de vida útil das máquinas e equiamentos mecânicos. Na área da simulação comutacional, com base na teoria da lubrificação idrodinâmica e suas equações, o rojetista ode rever como se comortará o escoamento do fluido (seu camo de velocidades), a determinação do seu camo de ressões e temeraturas, bem como a resultante caacidade de carga. Estas informações são de vital imortância ara ter-se o conecimento de como o mancal comortar-se-á ao longo do temo, ou seus ossíveis desvios oeracionais. Sabe-se que o atrito friccional entre o fluido e os acolantes dissia calor. Calor este, que irá aumentar a temeratura do fluido. ara que as temeraturas não atinjam os limites dos

18 materiais, é necessário que o lubrificante seja semre renovado, ou que o mancal seja refrigerado externamente ara que se evite o sueraquecimento. A seleção do melor fluido lubrificante e a determinação das esessuras seguras do filme de lubrificante, de modo a não ermitir contato entre os materiais, são ontos de extrema imortância no anterojeto de um sistema idrodinâmico, ois sua seleção determinará a vida útil do equiamento, odendo então viabilizar ou não o rojeto. Todos estes ontos odem e devem ser exlorados elo analista numérico, ermitindo um melor aroveitamento dos recursos físico-financeiros, dos materiais utilizados e das fontes de energia disoníveis, ara o adequado desenvolvimento e manutenção dos equiamentos mecânicos. 7.3 OBJETIVOS O objetivo geral deste trabalo é construir um algoritmo comutacional com base no método dos Volumes Finitos que ermita a solução das equações diferenciais governantes ara roblemas de lubrificação em mancais deslizantes. Com isso, ode-se desenvolver uma metodologia de rojeto que ermita uma ágil e fácil análise e seleção dos elementos de mancais, bem como a definição de seus arâmetros fundamentais, como suas dimensões, seus materiais, etc. Os objetivos esecíficos desta análise numérica são: a) alicar as leis físicas do movimento dos fluidos ara o roblema em questão; b) determinar a distribuição de ressão no filme de lubrificante; c) obter os camos de velocidade do fluido lubrificante; d) descobrir a caacidade de carga do mancal; e) avaliar as tensões cisalantes e o torque viscoso. Desta forma esera-se contribuir com um recurso comutacional eficiente aos engeneiros de lubrificação, que les ermita o cálculo reciso dos já citados arâmetros. A grande vantagem deste recurso é tornar desnecessária a utilização das vias de soluções analíticas, nas quais as simlificações distanciam os resultados ráticos.

19 8.4 ESTRUTURA DO TRABALHO O caítulo aresenta a revisão bibliográfica que serve de suorte ao trabalo desenvolvido. O caítulo 3 descreve a metodologia utilizada no trabalo, enfatizando os modelos matemáticos, analítico e numérico, discorrendo sobre as ióteses da Teoria da Lubrificação Hidrodinâmica, as equações governantes, suas condições de contorno, a aresentação de algumas soluções exatas ara o roblema, bem como a questão das tensões de cisalamento nas suerfícies do mancal e do eixo. Trata ainda neste caítulo a verificação da solução numérica com a introdução do estimador de erro GCI (Grid Convergence Index). O caítulo 4 descreve o roblema, onde buscou-se a solução de aenas uma das equações governantes do modelo matemático. Este caítulo está ainda dividido em várias seções que descrevem a metodologia articular utilizada ara este roblema, os resultados obtidos e as conclusões a seu reseito. O caítulo 5 trata de um roblema mais elaborado matematicamente (roblema ), ois foram solucionadas duas equações ao invés de uma. Este caítulo segue a mesma estrutura feita ara o caítulo 4. No caítulo 6 são relatadas as conclusões gerais sobre o trabalo aresentado. Nele também encontram-se sugestões ara abordagens futuras a reseito do mesmo tema. As referências bibliográficas listam todos os livros, teses e demais documentos citados no desenvolvimento do trabalo. Os aêndices contêm o material adicional roduzido durante a realização do estudo aqui relatado, do qual a arte essencial está aresentada no coro do trabalo.

20 9 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os mancais de lubrificação idrodinâmica deslizantes são, dentre todos os mancais lubrificados, os que ossuem a mais longa istória de estudos científicos. Cameron [], diz que a istória desses mancais evidencia a imortância de se correlacionar a exerimentação com a análise teórica, ois quando estas duas vertentes não são analisadas conjuntamente, ode-se cegar a conclusões errôneas, as quais retardam o avanço do assunto como um todo, fato este que ocorreu com os mancais de deslizamento. O conceito inicial da lubrificação idrodinâmica deu-se a artir das esquisas do russo Nikolai etroff (836-9), que analisou o roblema do atrito em um mancal sob a ótica da Tribologia. Dando ênfase às roriedades dos fluidos e dos materiais, cegou à inédita conclusão de que o atrito em mancais deveria ser exlicado elo fenômeno idrodinâmico, ao invés da interferência entre as rugosidades, como acreditavam os esquisadores da éoca. ara seus estudos, etroff baseou-se na teoria de Margules citado em [], utilizando um aarato similar ao viscosímetro de oiseuille, como vê-se na Fig. 3. FIGURA 3 Mancal de deslizamento de etroff [] Os exerimentos de etroff foram de extrema imortância, ois ermitiram cegar-se a duas relevantes conclusões sobre o atrito. A rimeira, indica que a densidade não é a rincial roriedade que rege o fenômeno do atrito e sim, a viscosidade do fluido. A segunda, demonstrou que não avendo contato direto entre as suerfícies do eixo e do mancal, a fonte de atrito deve-se a uma força cisalante viscosa do fluido existente entre as suerfícies. As conclusões de etroff foram evidenciadas exerimentalmente or Beaucam Tower (845-94), um engeneiro que fora designado ara integrar um comitê, cujo objetivo era estudar o atrito em mancais deslizantes de ferrovias.

21 Segundo Sigle [], foi um acidente ou erro, durante o curso dessa investigação, que o levou a olar mais detaladamente o roblema. Tower, aós realizar um orifício na arte suerior de um mancal ara abastecê-lo com óleo, verificou que o mesmo começava a vazar semre que o eixo era osto em movimento. Nas várias tentativas de bloquear o orifício com tamões de cortiça ou madeira, verificou que os mesmos eram exelidos. Isto levou-o a concluir que existia uma grande ressão interna, que não oderia ser exlicada ela teoria tradicional. Tower, em seu trabalo ublicado em 883, conseguiu comrovar exerimentalmente as suas ióteses. or meio de diversas tomadas de ressão ao longo do mancal, rovou que o eixo estava mergulado num filme de óleo e, que neste meio, onde fora feito o orifício acidental, a ressão cegava a ser mais que o dobro da carga unitária. A grande contribuição do trabalo deste autor, segundo Cameron [], foi o fato de ter quebrado a tradição de simlesmente medir o atrito do fluido, como aviam feito todos os esquisadores até então. Os resultados obtidos or Tower, ermitiram ao rofessor Osborne Renolds (84-9), do Mancester College of Tecnolog, ublicar seu trabalo em 886, fornecendo a fundamentação teórica que a Teoria da Lubrificação Hidrodinâmica recisava. Renolds desenvolveu a equação diferencial que oje leva o seu nome. Nela, ele conseguiu redizer a distribuição de ressão no filme de fluido lubrificante e seus resultados foram comarados com os obtidos or Tower (883). Em seus estudos orém, a análise ficou restrita ao escoamento isoviscoso e incomressível, o que mais tarde foi generalizado or Harrison, citado em []. Segundo Santos [9] e Garcez [7], etroff, Tower e Renolds, são considerados os ais do conceito de lubrificação idrodinâmica, ois todos cegaram às mesmas conclusões, com trabalos indeendentes. Os dois rimeiros, elas vias exerimentais, enquanto que Renolds otou elo camino da fundamentação teórica. O trabalo de Renolds, mesmo servindo-se de certas ióteses simlificadoras, como ignorar os gradientes de ressão na direção axial (iótese válida no caso de mancais longos), aresentou uma concordância com a rática, antes nunca vista em estudos de mancais. Renolds introduziu ainda no seu trabalo novos conceitos, como o de folga radial que ossibilitou o desenvolvimento dos mancais, bem como a observação do fenômeno da cavitação nas artes divergentes do mancal. A fase seguinte verificada no estudo da lubrificação idrodinâmica, foi marcada elas tentativas de encontrar solução ara a equação de Renolds. Em 94, o matemático e físico Arnold Sommerfeld (868-95), a artir de um engenoso artifício matemático, conseguiu

22 integrar de forma exata o termo d θ ( ε cosθ ) 3. Isto, ainda não tina sido conseguido or Renolds, que avia aroximado a integral or uma exansão de série de termos []. Sommerfeld introduziu novas condições de contorno ara o roblema e obteve ara sua solução, uma distribuição de ressões negativas na arte divergente do escoamento onde, segundo Renolds, o filme de lubrificação não conseguiria manter-se contínuo, avendo rutura do fluido numa fase gasosa, devido à cavitação. Sommerfeld, orém, ignorou os comentários de Renolds e acreditou estar correto quando, or uma incrível coincidência, encontrou em seus exerimentos um valor mínimo de ressão, condizente com o obtido em sua formulação matemática, conforme citado or Cameron []. Entretanto, este valor não se devia ao efeito idrodinâmico, mas sim, ao escoamento bifásico. Andrés [] estudou o roblema da cavitação em mancais e defende que a equação de Renolds não é válida ara a orção em que este fenômeno ocorre, uma vez que nenuma consideração sobre mudança de fase foi tomada or Renolds quando deduziu sua equação. O grande restígio que teve a solução de Sommerfeld, tornou usual entre os esquisadores a alicação de suas condições de contorno modificadas, nas quais a cavitação é desrezada, or considerar-se a ressão nula na arte divergente do mancal, conforme exosto em []. Outra imortante contribuição à Teoria da Hidrodinâmica deu-se com os trabalos de Ocvirk e DuBois [6], em 95. Ambos rouseram uma solução comleta e detalada, que leva em consideração as erdas de lubrificante elas extremidades do mancal. Esta solução desconsidera, entretanto, o termo na equação de Renolds que leva em conta o fluxo circunferencial de lubrificante ao redor do mancal. Esta solução arte da remissa de que este é equeno em relação ao fluxo axial. Karamzin [] coloca que a solução de Ocvirk é baseada na iótese de que os gradientes de ressão na direção axial do mancal, são uma ordem de magnitude maiores do que os gradientes de ressão na direção radial. Este ressuosto teórico é válido ara mancais de comrimento finito que aresentem razões L/D (comrimento or diâmetro do mancal) inferior a,5. Outras soluções analíticas ara a equação de Renolds foram desenvolvidas ao longo dos anos e merecem destaque. orém, suas formas mais comlexas tornam difícil sua alicação direta. Dentre estas soluções, cabe mencionar os trabalos de Micell citados em [5], que em 95, com o auxilio das funções de Bessel, conseguiu obter uma forma fecada de solução ara o roblema de escoamento em um mancal de comrimento finito, que

23 considerava os fluxos de lubrificante nas direções circunferencial e axial. O mesmo foi feito anos mais tarde or Tao citado em [], que em 959 obteve uma solução exata ara o roblema, utilizando-se das ouco conecidas funções de Heun. Conforme Castro [3], o rimeiro uso dos comutadores modernos na solução da equação de Renolds, levando em conta as condições de contorno, foi feito or inkus (956), um engeneiro ligado à indústria. Nestas simulações, inkus obteve resultados não só ara mancais cilíndricos, como também ara mancais elíticos. ara isso, utilizou o método de diferenças finitas ara resolver as ressões de sustentação dos mancais idrodinâmicos. Em seu trabalo clássico, inkus [8] disonibiliza os resultados numéricos encontrados or ele, ara diversas geometrias comlexas, como os mancais de formato tri-lombado. Seu livro serve ortanto, como fonte ara verificação e validação de resultados comutacionais. Raimondi e Bod citados em [] também contribuíram de maneira imortante ara com todos os engeneiros ligados à área de rojetos de mancais, no camo da simulação numérica. Em seus trabalos (958), ublicados em três artes, constam um grande número de gráficos e diagramas que definem as diferentes variáveis de interesse ara o rojetista, em função de razões conecidas ara L/D. Sigle disonibiliza em seu livro [], arte dos gráficos de Raimondi e Bod, ara os casos em que o mancal é considerado de comrimento infinito. O camo de estudo da idrodinâmica que relaciona os efeitos da temeratura com a variação da viscosidade recebe o nome de termoidrodinâmica e, neste trabalo, seus conceitos básicos estão sendo amlamente utilizados. Segundo Harno [9], as erdas de energia dissiadas elo atrito viscoso, são resonsáveis ela diminuição da viscosidade do lubrificante, ois este, ao absorver o calor liberado elo mancal, eleva sua temeratura normal de oeração. Modelos reológicos que consideram a viscosidade do fluido deendendo aenas da temeratura, odem ser encontrados nas referências bibliográficas [] e [4]. ara a avaliação da roriedade inercial (ρ) e caacidade térmica do lubrificante (c ), Mauk [5], coloca no seu trabalo correlações emíricas. As faixas de ressão, temeratura dos lubrificantes e níveis de atrito ara as diferentes alicações são também encontradas nesta fonte de consulta. Segundo Fortuna [6], a Dinâmica dos Fluidos Comutacional é a área da comutação científica em que métodos comutacionais são utilizados ara simular fenômenos que envolvem fluidos em movimento, odendo aver transferência de calor entre os coros. ara Fortuna, o usuário de CFD (Comutational Fluid Dnamics) está basicamente interessado em determinar as distribuições de velocidade, ressões e temeraturas na região do escoamento.

24 Maliska [] aonta em seu livro, a existência de três métodos tradicionais ara a solução numérica de equações diferenciais, os quais são: o Método de Diferenças Finitas (MDF), o Método de Volumes Finitos (MVF) e o Método de Elementos Finitos (MEF). Historicamente, o Método de Diferenças Finitas foi semre emregado na solução de roblemas na área de Mecânica dos Fluidos, ou seja, roblemas fortemente influenciados elas não-linearidades causadas elos termos advectivos. O Método de Elementos Finitos (MEF), or sua vez, teve seu desenvolvimento fundamental na área estrutural, mais esecificamente, no camo da elasticidade, cuja formulação matemática mais simles ermitiu um maior desenvolvimento deste método, na solução de roblemas com geometria comlexa. Maliska [] define ainda, que o Método dos Volumes Finitos (MVF), ao utilizar uma formulação onde as equações aroximadas são obtidas or meio de balanços de conservação da roriedade ao longo de volumes de controles elementares, ermite cegar a resultados conservativos, mesmo em nível discreto, o que já não é ossível ara os métodos MDF e MEF, uma vez que estes não trabalam com volumes, mas sim, aenas com ontos da mala. ara atankar [7], o asecto mais atraente do MVF, é que ara qualquer volume da mala, as quantidades das roriedades (como massa, momentum, energia, etc.), são satisfeitas integralmente, ou seja, não existe a ossibilidade de aver gerações ou sumidouros dessas quantidades. Como isto ocorre ara qualquer volume genérico da mala, conclui-se que a conservação das quantidades é mantida ara todo o domínio da mala. Desta forma, é ossível observar que mesmo ara malas grosseiras, suas soluções aresentam um balanço correto das roriedades listadas. 3

25 4 3 METODOLOGIA GERAL O objetivo deste trabalo é desenvolver um código comutacional em linguagem Fortran 9, que se resalde nos conceitos da Teoria dos Volumes Finitos e que ermita resolver as equações governantes do fenômeno em estudo. As equações resolvidas neste trabalo são a Equação de Conservação da Massa e a Equação da Quantidade de Movimento Linear, escritas em formas mais convenientes ara a solução do roblema. Estas equações são resolvidas conjuntamente or meio de um rocesso iterativo. Neste trabalo, são fixados alguns dos arâmetros geométricos e oeracionais básicos de um mancal, tais como seu diâmetro, sua folga radial e a velocidade angular do eixo girante. Estes dados geométricos e oeracionais são estiulados a artir dos valores usuais encontrados em uma das alicações de mancais em Engenaria Mecânica. A região or onde escoa o fluido lubrificante, entre o mancal e o eixo, é discretizada or meio de uma mala quase unidimensional, ou seja, na qual a área da seção de escoamento varia onto a onto. ara isto são emregadas malas uniformes na direção radial e também na direção circunferencial. As simulações numéricas são então comaradas com as formas fecadas de solução, que já estão amlamente difundidas na literatura. Isto ermite a verificação dos resultados numéricos. A cada simulação, o rograma comutacional aresenta como resultado, o camo de ressão e os erfis de velocidades, ois estes são as variáveis rimárias. São também controladas a cada simulação, as seguintes variáveis secundárias: a) a caacidade de carga do mancal, obtida a artir da integração numérica do camo de ressão; b) tensões de cisalamento máximas e tensões normais máximas, que devem satisfazer os limites imostos elos materiais da alicação em questão; c) a velocidade média do camo de velocidades na seção de interesse. Com a finalidade de analisar o efeito que a viscosidade e o gradiente de ressão exercem sobre o camo de temeraturas, no caítulo 4 é feita uma comaração entre as soluções exatas dos camos de temeratura de Couette e Couette-oiseuille. Nos caítulos 4 e 5 busca-se simular o mesmo roblema em diversas malas, de forma que no final ossam ser determinadas as ordens de erros efetivas das diversas variáveis.

26 5 3. HIÓTESES SIMLIFICADORAS Uma imortante iótese da teoria da lubrificação idrodinâmica é que o escoamento dá-se de forma laminar, ou seja, as forças viscosas de cisalamento tendem a amortecer qualquer instabilidade que ossa levar à turbulência. Na maioria dos casos ráticos, o número de Renolds é suficientemente equeno e o seu cálculo será mostrado osteriormente. A relação entre tensão e deformação dos fluidos usados em lubrificação é linear. Tais fluidos são também denominados fluidos Newtonianos. Esta iótese é uma aroximação bastante válida ara um grande número de lubrificantes, como os óleos minerais, sintéticos, o ar e a água utilizada em casos excecionais, como certas alicações em mancais de bombas e barcos. orém, ara certos fluidos como as graxas ou óleos minerais contendo aditivos oliméricos esados, o modelo Newtoniano não consegue descrever adequadamente o comortamento do fluido. Outros modelos reológicos, que levam em consideração a deendência da viscosidade com taxa de cisalamento, devem então ser adotados ara estes casos. Neste estudo, os fluidos odem ser admitidos ainda como incomressíveis, ois a variação de suas massas esecíficas é desrezível ara as ressões usuais de trabalo. O fluido é considerado ainda como sendo contínuo em todo o domínio de cálculo, o que significa que as variáveis físicas de interesse do escoamento, como as tensões e o camo de ressões, são reresentadas or meio de funções contínuas. Há que se considerar, orém, que semre existem equenas bolas de ar misturadas ao fluido que escoa, causando descontinuidade na fase líquida. Este efeito, no entanto, foi desrezado, ois torna-se significativo somente quando á acentuada formação de esumas ou cavitação do fluido. 3.. Lista de Hióteses Utilizadas Nesta subseção estão listadas dez ióteses simlificadoras ara o roblema de escoamento em filmes finos. Estas ióteses mostram-se justificáveis, ois os desvios observados entre a teoria e a exerimentação rática, são desrezíveis:

27 a) o escoamento é laminar e se dá em regime ermanente; b) o fluido lubrificante é contínuo, de Newton e incomressível; c) o fluido adere às suerfícies do volume de controle (aredes do eixo e do mancal) e não á escorregamento do fluido nestas fronteiras; d) a comonente da velocidade na direção radial ( v ) ao longo do filme fino é desrezível se comarada com as outras duas comonentes do vetor velocidade V r ; e) os gradientes de velocidade ao longo do filme de fluido nas direções x e z são equenos e desrezíveis, se comarados aos gradientes ao longo de uma seção, ou seja: du d >> du dx e dw d >> dw dz. Isto decorre do fato do filme ser muito fino; f) o efeito da curvatura do eixo e do mancal ode ser desrezado, uma vez que o filme de esessura é muito menor que o raio de curvatura destes elementos; g) a ressão ao longo do filme (na direção ) é constante, o que faz com que suas variações ao longo desta direção sejam equenas e seu efeito seja desrezado nas equações do movimento; ) as forças de gravidade no fluido são desrezadas, se comaradas às forças viscosas; i) os efeitos inerciais também odem ser desrezados, quando comarados às forças viscosas; j) a viscosidade do fluido não varia com a temeratura. Verifica-se na rática que a viscosidade dinâmica ( µ ) diminui com o aumento da temeratura, desta forma ara a sua avaliação, são utilizados modelos reológicos que levam em consideração a influência da temeratura NÚMERO DE REYNOLDS A imortância relativa entre as forças inerciais e as forças viscosas, ode ser descrita através da definição do número de Renolds, onde u é uma velocidade característica e L k é um comrimento característico: ρ u L µ ReL k k () A forma desta exressão é usualmente encontrada em livros de Dinâmica dos Fluidos, orém ara estudos de lubrificação, a seguinte modificação na exressão se faz necessária,

28 onde é um comrimento característico na direção z e l é um comrimento característico na direção x: 7 Re x ρ u µ l () Na rática, estima-se que a transição entre o escoamento laminar e o turbulento ara roblemas idrodinâmicos em mancais, inicie or volta de Re, e atinja a comleta turbulência com Re 6. Estes limites são valores de referência, uma vez que o número de transição ode ser menor, caso as suerfícies do mancal aresentem rugosidade elevada, ou mesmo em casos que os níveis de vibração durante a oeração sejam elevados. A iótese de escoamento laminar é geralmente verificada, uma vez que as esessuras do filme são muito equenas. 3.3 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO As equações emregadas ara resolver o roblema do escoamento no mancal de deslizamento são resectivamente, a Equação de Conservação de Massa (3) e a Equação da Quantidade de Movimento Linear (4), conforme vê-se a seguir : r ρ V Dt r (3) ρ ( ) ρv r t r r ρg µ r ( V ) D (4) Neste trabalo, são analisados somente os casos em que o regime é ermanente. Assim, eliminando-se os termos transientes da Equação da Conservação de Massa, tem-se: ( ρu) ( ρv) ( ρw) x z (5)

29 Fazendo-se a mesma simlificação ara a eq. 4, desrezando-se o escoamento ao longo de (observar eixos de referência na fig. ), cega-se a: 8 u d dx µ (6) w d dz µ (7) 3.3. Equação de Renolds A Equação de Renolds dá suorte teórico e fundamenta a Teoria da Lubrificação Hidrodinâmica. Esta equação é um caso articular da Equação de Navier-Stokes e em seu caso geral, ode-se cegar a sua dedução combinando as equações (5), (6) e (7) (ver AÊNDICE A): ( ρ) ( ρu ) t x 3 ρ x µ x z 3 ρ µ z (8) A Equação de Renolds é uma equação diferencial elítica de difícil solução exata. Uma vez obtido seu camo de ressão, é ossível obter os erfis de velocidade or meio da seguinte exressão, onde U é a velocidade do eixo na direção x: u w µ µ x z { } U { } (9) () 3.3. Equação de Renolds -D

30 ara os casos em que a relação L/D for muito maior que a unidade, os gradientes de ressão na direção axial (direção z) são desrezíveis e o escoamento ao longo do eixo ode ser considerado bidimensional. Assim, fazendo-se as devidas simlificações (listadas na seção 3..) na eq. 8, cega-se a: 9 d dx µ u () Alicando-se as condições de contorno de não escorregamento do fluido, cega-se ao camo de velocidades do filme de lubrificante: u µ d dx ( ) U () A obtenção da eq. ode ser vista no AÊNDICE B, onde é demonstrado que este camo de velocidades é a combinação de dois outros imortantes camos de velocidade atribuídos a oiseuille e Couette. Substituindo a solução () na equação da continuidade, é ossível cegar à forma integrada da Equação de Renolds -D, onde máxima: é a altura de filme no onto de ressão d dx µ 6 U (3) 3 A eq. 3, quando também combinada com a Equação de Conservação de Massa, ermite cegar-se a uma nova forma ara a Equação de Renolds: d dx 3 µ d dx 6 d( U) dx (4) Renolds, ao resolver sua clássica equação, utilizou-se de condições de contorno que também receberam seu nome. orém, é ossível cegar-se a soluções exatas, utilizando-se de outras condições de contorno, além da que foi or ele roosta, como mostra-se a seguir.

31 3 3.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO Uma limitação ara a resolução da Equação de Renolds, or muito temo, foi o desconecimento das condições de contorno necessárias ara sua integração, que estão relacionadas ao conecimento da ressão do filme de lubrificante nas extremidades do mancal. Renolds roôs inicialmente, que a ressão fosse nula na seção de entrada do fluido lubrificante do mancal (onto de alimentação), aumentava seu valor na orção do escoamento convergente e voltava a diminuir na arte divergente. d No onto em que a derivada se igualava a zero, a altura foi definida e, a este dx onto, corresonde a coordenada θ. O onto na arte divergente que ossui a mesma altura * (condição necessária devido à simetria do roblema) ossui ainda a coordenada θ. As condições de contorno de Renolds consideram que, a artir do onto * θ, a ressão do filme retorna a zero e se mantém nula em toda a arte divergente restante do mancal, conforme observa-se na Fig. 4. π FIGURA 4 Distribuição de ressão resultante das condições de contorno de Renolds [] A solução ara a equação de Renolds, usando estas condições de contorno, conduzem a excelentes resultados, em conformidade com os dados exerimentais. Do onto de vista

32 teórico, orém, observa-se a descontinuidade da conservação de massa no onto em que a ressão retorna a seu valor zero. Sommerfeld, contextualizado istoricamente no caítulo, roôs, anos aós os trabalos de Renolds, uma solução exata ara o roblema de lubrificação no mancal deslizante. Esta foi a rimeira solução analítica exata ara o roblema, onde Sommerfeld, aoiando-se em novas condições de contorno, admite que a ressão do fluido é nula na entrada do mancal ( θ ) e, retorna a zero neste mesmo onto ( θ π ) seu valor no fim da arte divergente, de acordo com a Fig. 5. 3, aós ter aumentado π vvvvvvvvvvvvvv FIGURA 5 Distribuição de ressão resultante das condições de contorno de Sommerfeld [] Aesar da solução de Sommerfeld ser facilmente alicada, aresenta uma grande desvantagem do onto de vista físico, uma vez que os fluidos não conseguem resistir a grandes tensões trativas sem que se romam numa fase de vaor. O grande restígio da solução de Sommerfeld levou, no entanto, à adoção de suas condições de contorno modificadas. A meia condição de Sommerfeld, como é camada, é mais condizente com a realidade, ao admitir que a ressão mantém-se nula na região divergente do mancal, ou seja, inicia-se em θ e termina em θ π, conforme mostra a Fig. 6.

33 3 π bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb FIGURA 6 Distribuição de ressão resultante da meia condição de contorno de Sommerfeld [] Desta forma, ao desrezar-se o roblema da cavitação, obtém-se soluções ara o camo de ressão muito róximas das obtidas or meio das condições de Renolds. A meia condição de Sommerfeld aresenta, em relação às condições de contorno de Renolds, a vantagem de ser facilmente imlementada, uma vez que não á a necessidade de realizar cálculos iterativos ara sua determinação. Neste trabalo, as simulações são realizadas utilizando-se as condições de contorno de Sommerfeld e a meia condição de contorno de Sommerfeld. 3.5 SOLUÇÕES EXATAS Atualmente os rojetos de mancais deslizantes com geometrias cada vez mais comlexas são ossíveis or meio dos comutadores. As soluções numéricas obtidas nestas análises, ara escoamentos tridimensionais, conduzem a resultados realísticos e recisos, quando alicados os rocedimentos de verificação numérica adequados. orém, ara certas condições, é ossível o engeneiro utilizar-se de modelos analíticos simlificados que ermitem obter uma visão geral do roblema e até fornecer boas aroximações ara os casos em estudo. Duas soluções exatas ara o roblema de lubrificação idrodinâmica em mancais, encontram-se oje bem difundidas na literatura, às quais têm acesso engeneiros e rojetistas (ara conecimento de outros regimes de lubrificação, consultar AÊNDICE C). Assumindo-

34 se o mancal como sendo infinitamente longo ou infinitamente curto, consegue-se simlificar a análise do roblema tridimensional, ara o caso bidimensional. A recisão destas soluções verifica-se ara quanto maiores ou menores resectivamente, forem as larguras dos mancais. Na rática, os mancais longos, em que se verifica a relação L>D, são assumidos como infinitamente longos e, os curtos em que L<D, são resolvidos como sendo mancais infinitamente curtos. Os casos em que L D, resultam em aroximações destoantes nos dois casos, o que serve de motivação ara a busca da solução comutacional Solução de Sommerfeld No início do século XX, somente mancais de deslizamento longos (L>D) eram rojetados. A vantagem deste tio de mancal é sua maior caacidade de carga or área de mancal, sendo largamente utilizado no sistema de transorte ferroviário, que estava em leno desenvolvimento nessa éoca. ara o desenvolvimento das soluções aresentadas a seguir, é conveniente desenrolar o filme de lubrificante ao longo do eixo, o qual ode ser observado como um erfil eriódico de comrimento π r, em que b b r é o raio do eixo, de acordo com a Fig. 7. FIGURA 7 Filme de lubrificante em sua forma desenrolada [8] A mudança do sistema de coordenadas cartesianas ara coordenadas olares, faz-se através da transformação φ x r b (conforme mostrado na Fig. 7). Introduz-se também a

35 variável razão de excentricidade (ε ) como sendo a razão entre a excentricidade ( e ) e a folga radial (c): ε e c 34 (5) Assim, a altura do filme ode ser deduzida como sendo: ( ε cosφ ) c (6) A integração da Equação de Renolds neste novo sistema de coordenadas (olares), a artir da alicação das condições de contorno de Sommerfeld, junto com a introdução destas novas variáveis na equação resultante, ermitem aós várias maniulações, cegar a: 6µωb onde é a ressão característica de alimentação. ( rb c) ε senφ ( ε cosφ ) ( ε )( ε cosφ ) (7) Esta é a solução de Sommerfeld ara mancais de comrimento infinito, que ode ser escrita na forma adimensional como sendo: 6 ε senφ ( ε cosφ ) ( ε )( ε φ) c µωb rb cos (8) d A artir da eq. 7 é ossível determinar a osição em que : dx φ cos m 3ε ε (9) Substituindo-se a eq. 9 na eq. 8, é ossível a avaliação da ressão máxima adimensional. m 3ε 4 ( 4 5ε ε ) ( 4 ε ) ( ε )( ε ) ()

36 35 A Fig. 8 mostra a distribuição de ressões simétricas, obtidas or Sommerfeld. ressão adimensional, FIGURA 8 erfil simétrico de ressões da solução de Sommerfeld [8] 3.5. Meia solução de Sommerfeld Segundo [8], os óleos minerais comumente emregados como elementos lubrificantes, aresentam entre 8 a % de ar dissolvido em sua comosição. O fato de que, na maioria dos casos, a ressão de vaor dos gases contidos no ar estão situados dentro da faixa de ressão verificada nos mancais, leva à liberação de vaores na arte divergente do escoamento. A solução simétrica de Sommerfeld, ortanto, já não satisfaz com recisão a realidade do roblema. A meia solução de Sommerfeld aroveita os resultados que o mesmo obtivera ara a região convergente do escoamento (eq. 8) e considera nulas as ressões negativas da arte divergente. 6 ε senφ ( ε cosφ ) ( ε )( ε cosφ ) / φ π () / π φ π ()

37 Solução de Ocvirk As máquinas rotativas modernas são geralmente construídas com relação L/D <, tendo em vista as reconecidas vantagens que esta configuração ossui, em comaração com os mancais longos. Dentre elas ode-se destacar: a) melores taxas de resfriamento ela circulação mais ráida de lubrificantes; b) menor sensibilidade a desalinamento, seja or montagem ou devido a vibrações; c) o formato comacto, que facilita sua embalagem, armazenamento e transorte. Face a esta imosição tecnológica, outras soluções exatas ara o roblema ainda recisavam ser desenvolvidas, uma vez que a solução de Sommerfeld conduz a resultados obres ara relações r b /L <,5. Coube a Ocvirk e Dubois a resolução de uma arte da Equação de Renolds, que inclui agora, as erdas nas extremidades: z 3 6µ U z x (3) cuja solução é: 3µωbε senφ L z / φ π 3 c 4 ( ε cosφ ) onde ω b é definida como a velocidade angular do eixo. (4) Nesta solução roosta or Ocvirk, também conecida como solução ara mancais curtos, ressuõe-se que a ressão seja zero sobre a segunda metade do mancal ( π φ π ). Nela, observa-se que o termo arabólico governa a variação axial da ressão, enquanto o termo trigonométrico, dita o comortamento da ressão na direção circunferencial. A ressão máxima do lubrificante ode ser deduzida a artir da eq. 4, cegando-se a: m 3µω ε L sinφ 4c b ε cosφ ( ) 3 m m (5)

38 37 onde φ m é dado or: φ m cos ( 4ε ) 4ε (6) A solução de mancal curto aresentada, ode ser utilizada neste trabalo ara comaração dos resultados numéricos obtidos nas simulações com mancais de relação L/D <. 3.6 ELEVAÇÃO DA TEMERATURA Mediante o cisalamento do fluido, a temeratura do lubrificante aumenta até que a taxa na qual o trabalo realizado elo eixo, seja a mesma daquela na qual o calor é transferido ara os arredores maiores. Uma análise térmica em que se considerem as temeraturas dos fluidos entrando e saindo do ânulo do mancal (onto de menor esessura de filme), além da temeratura do fluido que vaza ara fora, ermite cegar à seguinte equação: J ρ c 4π T rb f c Q s,5 Q rb Q c N Nela, f é definido como fator de atrito, J é o calor equivalente, Q é a vazão do óleo que escoa ara o mancal, Q s é a vazão de óleo que escoa elas laterais, N é a rotação do eixo e T o aumento de temeratura do lubrificante recebe ao assar elo ânulo (onto de filme mínimo). A vazão de fluido que escaa do mancal ode ainda ser calculada or: L (7) Q s w d (8) Enquanto que o fator de atrito (f) ode ser estimado a artir dos valores exerimentais, encontrados ara os diversos materiais, conforme mostra a tabela.

39 38 TABELA : Valores exerimentais do fator de atrito [5] Coeficiente de atrito f Materiais Atrito de artida Atrito misto Atrito fluido Mancais radias Com lubrificação a graxa Com lubrificação or meca ou almofada Mancal ara eixo ferroviário Mancal com lubrificação or anel " " " " " " " " " " " " " " " Bronze,,5, Bronze,4,4,7 Metal Branco, Metal Branco, Bronze, Ferro fundido cinzento,4,, Material rensado,4,,3 ----,4,6,7,3,3,5,4,8,3,6 3.7 CÁLCULO DE RORIEDADES Dentre todas as roriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior consideração no estudo dos escoamentos. Segundo Streeter e Wlie [], a viscosidade é a roriedade ela qual um fluido oferece resistência ao cisalamento. O universo de fluidos lubrificantes analisado neste estudo, é o dos óleos minerais. Tais fluidos satisfazem as ióteses simlificadoras listadas, no que diz reseito à indeendência que aresentam entre a viscosidade e a tensão de cisalamento. ara estes fluidos (Newtonianos) verifica-se então que: τ µ du d (9) Entretanto, observa-se na rática, que a viscosidade destes lubrificantes é extremamente sensível às variações de temeratura que surgem durante oeração. Muitos modelos reológicos têm sido roostos, levando em conta esta deendência física. Dentre os mais utilizados, estão: a) modelo de Renolds; b) modelo de Slotte; c) modelo de Voguel.

40 O modelo de Renolds foi um dos rimeiros modelos roostos e tem a vantagem de deender aenas de duas constantes a serem avaliadas ara determinação da viscosidade (nas equações abaixo, as constantes são designadas elas variáveis a, b e c). orém, verifica-se sua recisão deste modelo somente em casos em que á equenas variações de temeratura do lubrificante. A forma de sua equação é: at µ b e (3) 39 Outro modelo bem difundido na literatura é o de Slotte. A equação deste modelo exige que três constantes sejam determinadas antes de sua alicação: µ a (3) ( b T ) c O modelo de Vogel é o mais reciso e mais utilizado em cálculos de engenaria. A sua forma, no entanto, leva a um termo exonencial que ode dificultar o cômuto numérico []: µ a e b T c (3) Sigle [] roõe este modelo ara alguns lubrificantes do tio SAE (Societ of Automotive Engineers). Na equação abaixo, a temeratura é dada em [ o F] e a viscosidade em [µren]. As constantes ara os lubrificantes são dadas na tabela. µ b T 95 µ e (33) TABELA : Constantes de ajustes de curva [] Grau do óleo, Viscosidade Constante SAE µ, ren b, o F,58( -6 ) 57,5,36( -6 ) 7,6 3,4( -6 ) 36, 4,( -6 ) 474,4 5,7( -6 ) 59,6 6,87( -6 ) 564, ara este trabalo, é adotado inicialmente o modelo de Vogel. Caso se verifique dificuldades de convergência das soluções, os modelos mais simles já citados, odem ser usados ara substituir o modelo de Vogel.

41 Observa-se que além da viscosidade, a densidade e o calor esecífico dos óleos minerais são também sensíveis à temeratura. As equações abaixo ermitem o cálculo destas roriedades: 5 ( 65 ( T )) ρ ρt (34) c c T ( > ) ( ) ρ 4, 65T ρ kg/m, (35) 9 9ρ 4, 65T ρ kg/m, (36) nelas, ρ t é a densidade do lubrificante a temeratura ambiente (5 C) TENSÕES DE CISALHAMENTO Streeter e Wlie [] definem que uma força de cisalamento é a comonente tangencial da força que age sobre uma suerfície. Sua divisão ela área da suerfície, dá or definição a tensão de cisalamento média sobre a área. Uma vez resolvido o escoamento e, de osse das variáveis rimárias, é de extrema imortância conecer quais são as tensões cisalantes ( τ x, τ z ) atuando nas aredes inferior e suerior. A forma geral das tensões cisalantes que atuam no fluido [] são: u µ τ µ x x ( ) U (37) w µ z ( ) τ z (38) Nas aredes em e, estas tensões valem, ortanto: u µ τ µ U x x (39)

42 u µ τ µ U x x (4) w z τ µ z (4) w z τ z µ (4) 4 desta forma: É ossível também obter as variações de tensão ( τ x, τ z ) ao longo de uma seção, τ τ x τ x z τ z x z (43) (44) 3.9 VELOCIDADE MÉDIA A velocidade média em uma dada seção transversal de um escoamento incomressível ode ser definida or meio da integral média da velocidade: V A A u da (45) onde A é seção normal ao escoamento do fluido. No caso do escoamento em um mancal longo, tem-se ainda que a dimensão do comrimento do mancal é muito maior que a altura do filme de óleo e ode, ortanto, ser assumida como sendo igual à unidade. Desta forma é ossível, neste caso, simlificar a eq. 45, cegando-se a:

43 4 V u d (46) roblema. A velocidade média é uma imortante variável secundária, a qual será utilizada neste 3. VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA ara a verificação de uma solução numérica, faz-se necessário comarar a solução analítica ( Φ ) da variável de interesse, com sua resectiva aroximação (φ ), or meio da diferença: ( φ) Φ φ E (47) n Observa-se que em qualquer aroximação numérica, o erro semre estará resente, sendo necessário comreender as razões do surgimento do erro, quais são as diversas fontes e o que interfere na sua magnitude. Segundo Marci [4], o erro numérico deve-se a comonentes de erro de arredondamento ( ε π ), de erro de iteração ( ε n ), de erro do usuário ( ε u ), de erro de rogramação ( ε ) e de erro de truncamento ( ε t ). Definições ara cada uma destas fontes de erro estão abaixo aresentadas: a) erro de arredondamento ( ε π ): é o erro devido à recisão finita dos comutadores, ois sua aritmética de onto fixo e de onto flutuante, inevitavelmente, trunca a reresentação numérica, armazenando-a conforme o número de bits disoníveis. Este erro ode, entretanto, ser minimizado com a utilização de um maior número de bits, ou seja, uma recisão dula; b) erro de iteração ( ε n ): é definido como a diferença entre a solução exata das equações discretizadas e a solução numérica em uma dada iteração. Solvers iterativos contribuem,

44 ortanto, como fonte deste tio de erro. As não-linearidades das equações governantes, como or exemlo, os termos advectivos nas equações de balanço de quantidade de movimento, tornam o sistema de equações discreto mais suscetível ao erro de discretização quando resolvidos elos métodos iterativos. O desacolamento das equações a serem resolvidas também contribui da mesma forma. ara diminuir este erro, existem maneiras que vão desde a escola da norma de erro mais indicada (caso quando se utilizam solvers iterativos ara sistemas de equações algébricas), até o aumento do número de iterações, de forma a reduzi-lo ao nível de recisão da máquina (se não existirem roblemas com o erro de arredondamento). Sabe-se que o refinamento da mala tende a dificultar a redução do erro iterativo e, ara contornar este roblema relativo à dimensão do sistema de equações a resolver, novas técnicas como o Multigrid e o Multibloco têm sido desenvolvidas extensivamente; c) erro do usuário ( ε u ): é aquele introduzido elo usuário quando os resultados de saída do rograma comutacional, são mal lidos ou mal interretados or quem oera o comutador; d) erro de rogramação ( ε ): ode ter como ossíveis causa uma má imlementação do modelo comutacional, um algoritmo aresentando falas ou uma discretização incorreta das equações governantes do roblema; e) erro de truncamento ( ε t ): é o resíduo que resulta quando se substitui a solução exata da variável deendente, na equação discretizada do modelo matemático. Se a variável deendente (for substituída em termos da série de Talor, ara os nós que estão envolvidos na equação discretizada e levando-se o tamano dos elementos da mala ara, cega-se a: 43 ε t c (48) onde c é um coeficiente admitido como constante e é definido como sendo a ordem do erro de truncamento. Tendo em vista que os erros oriundos das diversas fontes já citadas odem assumir valores ositivos e negativos, o efeito global do somatório destas fontes ode ser cancelativo, ou seja, ele não é necessariamente acumulativo. Admitindo-se que neste trabalo não existam erros de rogramação nem do usuário, bem como ao emregar-se o método TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algoritm), os erros de iteração sejam minimizados e ainda que o uso de uma recisão dula conduza a erros de arredondamento aceitáveis, cega-se à conclusão de que a fonte de erro dominante é a do tio de erro de truncamento.

45 Quando o erro da solução numérica é gerado aenas elo erro de truncamento ( ε t ), ou quando todos os outros são desrezíveis em relação a ele, o erro numérico assa a ser definido como sendo o rório erro de truncamento e a eq. 47 fica reduzida a: 44 ε ( φ) Φ φ (49) notando-se agora a queda do sub-índice referente à fonte do erro. No seguimento deste trabalo, ortanto, o erro de truncamento assa a ser definido somente or ε. Uma vez conecida a solução analítica exata ( Φ ) e a solução numérica (φ ) da variável de interesse, o erro de truncamento ode ser determinado diretamente or meio da eq. 49, ou então substituindo nesta equação a exressão exata ( Φ ), obtida da série de Talor e a exressão usada na aroximação numérica (φ ). Obtém-se assim uma exressão onde coeficientes multilicam otências do tamano dos elementos da mala e, a artir dos exoentes de, surgem os conceitos de ordens verdadeiras e assintóticas do erro de truncamento definidas na seção seguinte. 3. ORDENS DO ERRO DE TRUNCAMENTO Alicando-se a série de Talor sobre o erro de discretização ode-se cegar, ortanto, à seguinte equação: L 3 4 ( φ) c c c c... ε (5) 3 4 Na eq. 5, os coeficientes c i (onde i,, 3...) odem assumir valores ositivos e negativos, odendo ser função da variável indeendente ou de suas derivadas, mas ela indeende do tamano dos elementos da mala. A eq. 5 foi denominada em [3] de equação geral do erro de truncamento e receberá a mesma denominação neste trabalo.

46 Os exoentes de foram definidos como sendo as ordens verdadeiras ( v ). No caso geral, este número de ordens tende ao infinito, uma vez que o erro de truncamento (ε ) é constituído or uma quantidade infinita de termos não-nulos. As ordens verdadeiras obedecem a relação na qual < 45 L < < 3 < 4 < n. Estes são números inteiros ositivos, que geralmente seguem uma rogressão do tio aritmética. O menor exoente de na equação geral do erro de truncamento (rimeiro termo) é camado, or definição, de ordem assintótica ( L ), que or sua vez, deve obedecer à desigualdade. Geometricamente, L ode ser interretada como sendo a inclinação da L curva de erro em um gráfico log E versus log(), quando. Quanto maior for a inclinação desta reta, maior será a ordem assintótica e, consequentemente, maior será o decaimento do erro com o refinamento da mala. É ossível demonstrar que quando o tamano das malas tende a zero ( ), a eq. 5 acaba reduzindo-se à eq. 48, uma vez que o termo de ordem assintótica é dominante em relação aos demais, na comosição do erro de discretização. Quando o erro da solução numérica é rovocado aenas or erros de truncamento (ε ), a diferença entre a solução analítica exata ( Φ ) de uma variável qualquer e sua corresondente solução numérica (φ ) é denominada erro de discretização (E), definido or: ( φ) Φ φ E (5) É ossível também calcular o erro de discretização de forma análoga àquela feita à equação geral do truncamento (eq. 5): E L 3 4 ( ) C C C C... φ 3 4 (5) Esta equação é definida como sendo a equação geral do erro de discretização [3] e da mesma forma que no caso da equação geral de truncamento, odem ser definidas ara a eq. 5, as ordens verdadeiras e assintóticas, assim como foi feito ara a eq. 5.

47 46 3. ORDEM EFETIVA E ORDEM AARENTE Os cálculos feitos até então ara a determinação da ordem assintótica dos erros de truncamento, não necessitaram avaliar a solução numérica da variável de interesse, elo fato de que esta ordem é um resultado uramente teórico. As ordens de erros já aresentadas, ermitem estimar o comortamento assintótico do erro de discretização com relação ao refino da mala (), antes mesmo que a solução numérica (φ ) seja calculada, significando ortanto, que a ordem assintótica do erro numérico é obtida a riori das soluções numéricas. Neste onto, introduz-se os conceitos e exressões de duas novas ordens de erro, que são: a ordem efetiva do erro de discretização e a ordem aarente da incerteza de soluções numéricas. Estas novas ordens, diferente do que já foi aresentado, são calculadas a osteriori da solução numérica, ou seja, sua determinação só é ossível artindo-se da solução numérica, reviamente calculada. Estas novas ordens têm or objetivo, verificar se a ordem assintótica dos erros de truncamento (obtida teoricamente) é atingida. 3.. Ordem Efetiva A ordem efetiva ( E ) é definida como a inclinação local da curva do erro de discretização (E) da solução numérica (φ ) versus o tamano dos elementos da mala () num gráfico logaritmico e seu cálculo ermite verificar se à medida que é reduzido, a ordem do erro de discretização das soluções numéricas tende à ordem assintótica dos erros de truncamento. A ordem efetiva ode ser definida matematicamente como sendo: C E ( φ) E E (53) Nesta, C E é um coeficiente admitido como sendo indeendente de. A artir da definição de ordem de erro efetiva dada ela eq. 53 e conecendo-se a solução numérica (φ ) da variável de interesse em duas malas distintas ( e, or

48 exemlo), é ossível resolver o sistema não-linear formado elas duas equações e cegar, ortanto a: 47 E E log E log ( φ ) ( φ ) ( q) (54) Nesta equação, E ( φ ) é o erro de discretização na mala mais fina, e ( φ ) E é o erro de discretização obtido ara a mala mais grosseira. Tem-se ainda que q é definido como a razão de refino e sua exressão é dada or: q (55) 3.. Ordem Aarente ara a definição da ordem aarente ( U ) é necessário introduzir antes, o conceito de incerteza (U) da solução numérica. Nos casos aresentados até agora, a avaliação do erro de discretização odia ser feita tanto or meio da eq. 5, quanto da eq. 5, sendo necessário o conecimento da solução analítica da variável de interesse. orém, na maioria dos casos ráticos (roblemas de Engenaria), nos quais busca-se determinar a solução numérica, a solução analítica do roblema é desconecida, o que imossibilita a abordagem feita até então. Quando isto ocorre, faz-se necessário estimar qual é o valor da solução analítica. Assim, o erro de discretização torna-se uma estimativa de erro, uma vez que ossui uma incerteza em seu valor. Esta estimativa é definida ois, como incerteza da solução numérica (U): ( φ) φ φ U (56)

49 sendo que nesta equação, interesse. φ reresenta a solução analítica estimada ara a variável de O cálculo da incerteza numérica ode ser feita or meio de estimadores de erro. Na róxima seção será definido um estimador ara este fim. Uma vez claros os conceitos de incerteza da solução numérica, é ossível agora definir a ordem aarente como sendo a inclinação local da curva de incerteza (U) da solução numérica (φ ) versus o tamano dos elementos da mala () num gráfico logaritmico. Com o seu cálculo, é ossível verificar se à medida em que é reduzido, a ordem da incerteza das soluções tende à ordem assintótica dos erros de truncamento, lembrando que esta ordem é um resultado teórico obtido a riori da solução numérica. Assim como foi feito ara a ordem efetiva, é ossível introduzir o conceito de ordem aarente como sendo: 48 K U U ( φ) U (57) Substituindo-se a eq. 56, na eq. 57 e, definindo-se três soluções numéricas ara a variável de interesse ( φ, φ e φ 3 ) em um mesmo onto, sendo elas obtidas or meio de três malas (, e 3 ) em que a razão de refino é constante, é ossível montar um sistema de três equações onde as incógnitas são φ, K U e U. Resolvendo-se este sistema ara U, cegase ortanto: U φ φ3 log φ φ log ( q) (58) onde φ é a solução numérica obtida ara a mala mais fina ( ), φ é a solução numérica na mala intermediária ( ) e φ 3 é a solução numérica na mala mais grossa ( 3 ). A variável q é razão de refino constante da mala, já definida or meio da eq. 55. O valor de U ode ser interretado como a inclinação média das incertezas U, U e U 3 das soluções φ, φ e φ 3, entre e 3, num gráfico logaritmico U versus. Observa-se

50 que o cálculo de U, diferentemente de E, não necessita do conecimento da solução analítica, odendo ortanto, ser alicada ara qualquer roblema e variável de interesse (rimária, secundária, local, ou até mesmo global). Resolvendo agora o mesmo sistema ara a variável φ, é ossível cegar à relação: 49 φ φ ( φ φ ) U ( q ) (59) Convém ressaltar que ara obter tanto a ordem aarente, quanto a solução analítica estimada ( φ ), aresentadas acima, foi necessário o emrego de três malas diferentes com a mesma razão de refino. 3.3 ESTIMADOR GCI O estimador GCI (Grid Convergence Index) ermite definir um intervalo em torno da solução numérica, onde a solução analítica tem grande cance de estar contida. Matematicamente, este estimador é definido como sendo: U GCI ( φ ) F S q φ φ L (6) Nesta equação, F S reresenta um coeficiente de segurança, que normalmente é adotado com valor igual a três, o que roorciona 95% de confiabilidade de que a solução analítica esteja contida no intervalo de incerteza definido elo estimador. Este fator ortanto, é aceitável ara a maioria das alicações gerais na Engenaria. ara alicar o estimador, conclui-se através da eq. 6, a necessidade de avaliar a variável de interesse, calculada em duas malas distintas: mais refinada e grosseira, ara que as resectivas soluções numéricas φ e φ, ossam ser calculadas.

51 ode-se definir então, dois limites ara a solução numérica or meio do uso do GCI, um inferior e um suerior: 5 ( ) φ φ U φ GCI (6) ( ) φ φ U φ GCI (6) Na Fig. 4 abaixo, extraída de [3], é ossível visualizar um exemlo de estimativa confiável feita or meio do GCI, uma vez que a solução analítica da variável de interesse encontra-se contida dentro do intervalo estabelecido or φ e φ. FIGURA 9 Exemlo de incerteza (U GCI ) confiável obtida com GCI [3] ara que a incerteza advinda deste estimador ossa ser considerada confiável, é U GCI necessário analisar se a razão, sendo esta uma condição necessária ara que os E limites φ e φ englobem a solução analítica ( Φ ), com a confiabilidade desejada ara o cálculo.

52 5 4 ROBLEMA O rimeiro roblema estudado trata-se do escoamento de um óleo lubrificante em torno de um mancal longo. Nele, admitiu-se a viscosidade do fluido lubrificante como sendo constante e que a equação da velocidade fosse desacolada da equação da energia, com a finalidade de obter uma solução analítica do roblema inicial. O mancal e o eixo foram mantidos a temeraturas constantes e rescritas. Isto ermitiu que a viscosidade udesse ser avaliada numa temeratura média entre estas duas suerfícies. Os resultados numéricos são comarados com a solução analítica desenvolvida or Sommerfeld e os resectivos erros entre as duas soluções ermitem determinar as ordens de convergência dos vários arâmetros calculados numericamente, como também a verificação do rograma desenvolvido. 4. MODELO MATEMÁTICO DO ROBLEMA A equação que trata do escoamento unidimensional com viscosidade constante é a eq., a qual é utilizada neste roblema. ara uma dada geometria, isto é, ara um ε rescrito (eq. 5), é ossível determinar o ângulo φ m or meio da eq. 9, cuja osse ermite ainda, a determinação da resectiva altura do filme de fluido lubrificante, no onto de gradiente de ressão nulo or meio da eq. 6. ara o cálculo das velocidades analíticas e numéricas, o conecimento do gradiente de ressão faz-se necessário e, ara isso, sua determinação se dá or meio da eq. 3. As resectivas soluções analíticas da eq., ara o camo de ressão ao redor do eixo e ara o erfil de velocidades do óleo escoando em uma dada seção circunferencial do mancal, dão-se or meio das eq. 7 e eq.. A viscosidade global do óleo ode ser calculada utilizando-se o modelo de Vogel, onde a temeratura do fluido considerada é a temeratura média entre a do fluido e a do eixo. A relação reológica entre temeratura-viscosidade dá-se ela eq. 33. As constantes ( µ ) e (b) da eq. 33 odem ser determinadas em função do óleo lubrificante or meio da tabela. Foi determinado ara este roblema a utilização do óleo SAE.

53 5 A solução ara camo de temeraturas no caso do escoamento de um fluido entre lacas aralelas em que não á gradiente de ressão, é determinado ela equação abaixo, conforme []: ( ) ( ) T T U k T T L µ (63) A eq. 63 ode ser utilizada como uma boa aroximação ara o camo de temeratura quando a viscosidade uder ser considerada constante e o gradiente de ressão for considerado desrezível. Desta forma, este camo de temeratura analítico é calculado e comarado com o camo de temeraturas da eq. 64, em que o gradiente de ressão é não-nulo: ( ) k u k U u k U k U u T T T T max max max µ µ µ µ (64) onde u max é dado ela equação: dx d u max 8µ (65) A eq. 64 deduzida or inkus [8], é a solução analítica ara o caso do escoamento de um fluido entre duas lacas aralelas em que á gradiente de ressão, caso que se observa no escoamento em um mancal de deslizamento. A eq. 64 tem como eixo de referência o onto médio da altura e deve-se fazer uma translação de eixos coordenados ara que a sua origem coincida com a da eq. 63.

54 53 4. VARIÁVEIS DE INTERESSE ara o roblema, a rincial variável de interesse cuja avaliação se dá numericamente, é a velocidade do fluido lubrificante escoando or entre o eixo e o mancal. Assim, a eq. foi discretizada (ver AÊNDICE D) considerando que o gradiente de ressão ao redor do eixo foi rescrito or meio de sua solução analítica e a velocidade ôde então ser calculada numericamente de maneira mais simles (sem o acolamento ressão-velocidade) e comarada com a velocidade analítica. A velocidade média do fluido ermite que ossa ser feita uma descrição qualitativa de como o escoamento evolui. ara ontos em que á restrições ao escoamento (como menor altura ), é de se eserar que a velocidade média do fluido aumente obedecendo a Lei de Conservação de Massa. O camo de tensões de cisalamento do fluido é outro arâmetro de extremo interesse rático, uma vez que o seu cálculo ermite a avaliação das tensões cisalantes atuantes no eixo e no mancal devido seu escoamento do fluido. Isto leva ortanto ao conecimento do nível das solicitações mecânicas e do desgaste, aos quais os materiais emregados na seleção do eixo e do mancal estão sujeitos. 4.3 ROBLEMA NUMÉRICO ara a solução da velocidade do fluido, é necessário a riori, a determinação do camo de ressão, or meio de sua solução analítica. O rograma calcula então as ressões no fluido em todos os N x ontos que seccionam o eixo circunferencialmente em uma dada osição longitudinal genérica. Isto orque o modelo do Mancal Infinito de Sommerfeld revê que a ressão mantém-se invariável no sentido longitudinal do eixo fazendo, ortanto, com que os camos de velocidade sejam os mesmos em qualquer seção feita neste sentido. O fato de a ressão variar somente com a direção circunferencial é que torna ossível modelar o escoamento como sendo bidimensional (a velocidade varia ao longo da direção radial e circunferencial). orém ara fins de cálculo, as

55 simulações serão realizadas considerando um escoamento quase-unidimensioanal, ou seja, serão resolvidos vários escoamentos unidimensionais ao longo das várias seções do mancal. O registro das velocidades ermite obter a evolução das tensões de cisalamento no eixo e no mancal ao longo de toda a volta destas suerfícies. Esta análise leva à determinação dos ontos circunferenciais mais críticos em termos de tensão atuante. ara fins de visualização dos dados, é escolido elo usuário do rograma durante a simulação, um onto circunferencial θ (cujo valor está entre e 36 ) de modo que neste onto seja ossível observar como estão se comortando os erfis de velocidade, térmico e o cisalamento no fluido. O rograma utilizado nesta rimeira etaa do trabalo de graduação foi denominado Sommerfeld_. Ele foi desenvolvido em linguagem Fortran 9 or meio do alicativo Microsoft ower Station 4.. O tio de rojeto desenvolvido foi Console Alication. O algoritmo deste rograma é mostrado abaixo, seguindo os assos de a 8: 54 ) leitura dos dados de entrada; ) discretização da direção circunferencial e das seções radiais; 3) cálculo das viscosidades nas faces dos volumes (a viscosidade é constante); 4) cálculo do camo de ressão analítico e do gradiente de ressão analítico; 5) cálculo dos camos de velocidade e de temeratura analíticos; 6) resolução numérica da velocidade nos nós, com base nas etaas () e (4); 7) cálculo das variáveis secundárias de interesse; 8) visualização dos dados calculados or meio de tabelas e gráficos. ara o cômuto numérico elo Método de Volumes Finitos, foi escolida a técnica dos volumes fictícios ara alicar as condições de contorno e, elo fato do rimeiro roblema roosto ser D, o solver TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algoritm) foi julgado ser o mais conveniente ara a solução do sistema de equações lineares resultantes. A solução numérica do roblema é obtida ara cada conjunto de N ontos contidos entre o eixo e o mancal em uma dada coordenada circunferencial. Assim, o método numérico é alicado reetidamente a cada seção circunferencial até que todo o erímetro do eixo seja ercorrido e, ortanto solucionado elo método. ara cada novo onto circunferencial atingido elo algoritmo, atrela-se: um novo conjunto de ontos radiais e cujas velocidades são objetivos de cálculo, condições de contorno

56 de não-escorregamento (ver seção 3.4) e um novo valor de altura de filme de óleo devido à excentricidade do conjunto eixo-mancal. Os coeficientes dos termos utilizados elo Método de Volumes Finitos ara os volumes reais e fictícios odem ser observados na tabela TABELA 3: Coeficientes dos volumes de controle emregados no roblema Coeficientes a a w a e b Volumes Reais a e a w µ w D µ e D w e d D dx Volumes Fictícios Inferiores Sueriores - -.U Com base nestes coeficientes é ossível resolver o sistema de equações lineares cuja forma geral, ara alicação do método de volumes finitos, é a dada ela eq. 66: a u ae ue aw uw b (66) A velocidade média na seção definida ela coordenada φ foi considerada como sendo uma variável secundária relevante, uma vez que descreve o comortamento global do erfil de velocidades naquela seção. Foi então utilizada a regra do retângulo ara integração numérica desta variável secundária, com base nas velocidades locais calculadas elo rograma. 4.4 RESULTADOS OBTIDOS Foram realizadas diversas simulações onde a mala do domínio foi refinada tanto na direção radial quanto na direção circunferencial. Foi adotado ortanto, como base ara as simulações um conjunto eixo-mancal com características geométricas listadas na tabela 4.

57 56 TABELA 4: arâmetros geométricos do mancal e eixo roriedades Valor Razão de excentricidade (E ),5 Comrimento do mancal (L ) mm Diâmetro do mancal (D ) mm Diâmetro do eixo (D b ) mm Temeratura do mancal (T o ) C Temeratura do eixo (T ) 3 C Velocidade ângular (N ) 478 rm As roriedades físicas utilizadas ara o óleo SAE- e comumente encontradas na literatura [9, ] foram comiladas na tabela 5. TABELA 5: roriedades físicas do lubrificante roriedades (a C) Condutividade térmica Massa esecífica Viscosidade cinemática Valor,45 W/mK 88,8 kg/m³ 4,4 cst ara uma mala mais refinada (N x e N ) as resectivas alturas do filme de óleo e camo de ressão encontram-se ilustrados na Fig 'ressão' 'altura' ressão (Ka) e altura (mm) teta (graus) FIGURA - Camo de ressão e altura do filme de óleo

58 57 Observa-se na Fig., que o camo de ressões da solução de Sommerfeld ode ser descrito or meio de uma função ímar, ermitindo que aenas uma de suas metades (θ de a 8, or exemlo) seja calculada e armazenada na memória do comutador. Desconsiderando-se a ressão negativa na arte divergente do escoamento, como é o caso da meia-solução de Sommerfeld e reresentando este camo de ressões sobre um corte transversal ao eixo, é ossível visualizar na Fig. o comortamento da onda de ressão sobre o eixo. 5 'eixo' 'distribuição de ressão' x FIGURA - Distribuição de ressão ao longo do eixo Conforme ode ser observado na Fig., a meia solução de Sommerfeld não se reocua com a ossibilidade do fluido lubrificante sofrer cavitação, já que a ressão é assumida nula na orção divergente do escoamento (de θ 8 a θ 36 ). Sommerfeld roôs que o gradiente de ressão no mancal fosse calculado ela eq. 3 e na Fig., é ossível acomanar a evolução do gradiente de ressão nas várias seções circunferenciais, obtidas or esta equação.

59 'derivada da ressão' derivada da ressão: a/mm teta (graus) FIGURA - Gradiente de ressão ao longo do mancal (N x e N ) Ainda na Fig., é ossível observar que nos ângulos comreendidos entre a 4, o gradiente de ressão manteve-se ositivo, mas aroximadamente constante, odendo ser interretado que nesta faixa, a ressão aumentou de maneira mais moderada. Numa segunda arte do escoamento convergente (θ 4 a ) a ressão cresceu de maneira mais ráida, visto que o gradiente de ressão aumentou seu valor. Finalmente, numa terceira etaa do escoamento convergente (θ a 8 ), o crescimento da ressão assou a ser freado devido ao gradiente de ressão nulo. Verifica-se que isto ocorre até o momento em que o gradiente de ressão atinge seu valor mínimo. Nota-se ainda que ela inércia do sistema, o onto de ressão máxima ocorreu na coordenada θ 4, onto este, onde o gradiente é nulo, o que ode ser confirmado or meio da Fig.. As tensões de cisalamento analíticas e numéricas que atuam no mancal e no eixo estão reresentadas na Fig. 3 ao longo de todo o erímetro. As variações máximas destas tensões ao longo de uma mesma seção estão mostradas na Fig. 4.

60 'cisalamento analitico mancal' 'cisalamento numérico mancal' 'cisalamento analitico eixo' 'cisalamento numérico eixo' tensão viscosa (a) ercurso em x: teta (graus) FIGURA 3 - Tensões de cisalamento nas suerfícies do eixo e do mancal (N x e N ) 6 4 'cisalamento analitico variação' 'cisalamento numérico variação' tensão viscosa (a) ercurso em x: teta (graus) FIGURA 4 - Variação da tensão de cisalamento no mancal e no eixo (N x e N ) Nas Fig. 3 e Fig. 4 observa-se que até θ 9 as tensões que atuam no eixo e no mancal ossuem sentidos contrários e que em θ 8 ambas as tensões ossuem seus maiores valores em módulo, o que torna a variação das tensões mínima neste onto. ara a avaliação das ordens efetivas de erro das diversas variáveis calculadas numericamente, iniciou-se as simulações com uma mala grosseira de volumes (N x e N ), conforme mostrado na Fig. 5.

61 'cisalamento analitico mancal' 'cisalamento numérico mancal' 'cisalamento analitico eixo' 'cisalamento numérico eixo' tensão viscosa (a) ercurso em x: teta (graus) FIGURA 5 - Cisalamento na mala de base (N x e N ) Observou-se que ara esta mala base, os maiores erros numéricos, tanto ara a variável tensão no mancal quanto ara a tensão no eixo, ocorriam no nó número 7, onto este que corresonde à coordenada θ 3. Sabe-se que elo método do Volumes Finitos, ao se trilicar o número de volumes adotados numa direção, é ossível semre manter um nó do meio discreto, coincidindo com uma determinada osição de interesse do meio contínuo. Desta forma, a mala base foi refinada até o limite da caacidade de armazenamento de memória RAM do sistema utilizado nas simulações. Na tabela 6 foram listadas todas as malas utilizadas na determinação das variáveis de interesse no roblema. TABELA 6: Malas utilizadas nas simulações do roblema Mala N x N O comortamento do erro numérico em função do refinamento da mala é melor reresentado num gráfico bi-log. Desta forma é aresentada na Fig. 6 a relação do erro versus a dimensão da mala (). Nesta figura é aresentada ainda a estimativa do erro numérico que seria utilizada caso não se tivesse à disosição a solução analítica exata.

62 6 erro FIGURA 6 - Gráfico de erro versus dimensão da mala () Com o auxílio do rograma Ricardson_3, é ossível a artir dos dados de saída numéricos e de seus resectivos erros, determinar a ordem de erro efetiva das diversas variáveis calculadas. Estas ordens do erro odem ser observadas or meio da Fig. 7 ara cada uma das variáveis de interesse. FIGURA 7 - Ordens de convergência do erro Considerando ainda o mesmo onto θ 3, é ossível observar nesta seção, como se comorta o erfil de velocidades. A Fig. 8 mostra este camo de velocidades calculado

63 numericamente ara uma mala de volumes (N x e N ) e a sua solução analítica exata. 6 6 'analitico' 'numérico' 5 4 altura (mm) velocidade (m/s) FIGURA 8 - erfil de velocidades na seção θ 3 (N x e N ) Com base nas velocidades calculadas, é ossível determinar a tensão de cisalamento no lubrificante que ocorre neste onto do escoamento (θ 3 ), conforme mostrado na Fig 'cisalamento analitico' 'cisalamento numérico' 4 altura (mm) tensão viscosa (a) FIGURA 9 - erfil de velocidades na seção θ 3 (N x e N ) A influência do gradiente de ressão sobre o camo de temeraturas foi avaliada or meio da comaração entre as soluções analíticas de Couette sem gradiente de ressão e Couette-oiseuille, na qual as viscosidades são consideradas constantes. Estas duas soluções

64 odem ser observadas no gráfico da Fig. onde ode-se analisar os erfis de temeratura na seção θ FIGURA - erfis de temeratura analíticos na seção θ 3 (N x e N ) ara este caso, ode ser observado que róximo do mancal, o fluido que escoa sem gradiente de ressão, ou seja, sem o eixo estar carregado, consegue manter sua temeratura um ouco mais elevada que a de um fluido escoando or gradiente de ressão e movimento de fronteira. róximo do eixo esta temeratura diminui, já que o gradiente de ressão influi de forma a somar temeratura ao fluido lubrificante. 4.5 CONCLUSÃO Observa-se na mala-base reresentada na Fig. 5, que o erro numérico está fortemente deendente do gradiente de ressão ao longo da direção circunferencial, uma vez que certos ontos têm erros maiores. ara um adequado refinamento da mala é ortanto, reciso um aumento do número de volumes tanto na direção (N ), quanto na direção x (N x ). Este fato mostra que o roblema, aesar de ser um escoamento D (quase-unidimensional), é fortemente influenciado elos arâmetros de entrada na direção circunferencial.

65 A Fig. 6 mostra que a estimativa do erro feita elo estimador GCI, através do rograma Ricardson_3, é confiável e ode ser alicada neste roblema, já que em todos os ontos avaliados a estimativa do erro é suerior ao rório erro. Quanto aos camos de cisalamento vê-se na Fig. 7, que a aroximação numérica é mais recisa quando avaliada na suerfície do mancal, uma vez que o erro numérico é de ordem neste onto. Conforme o onto se afasta do mancal e se aroxima do eixo, a ordem efetiva do erro assa a ser de ordem. Este fato ode ser exlicado ela condição de contorno de não-escorregamento na suerfície do eixo ser agora não-nula, ao asso que na suerfície do mancal sua velocidade nula levava a erros numéricos menores. A utilização de aenas seis malas ara a avaliação das ordens efetivas de erro mostra que o número de variáveis armazenadas no rograma é muito grande, dificultando que uma análise com refinamento elevado da mala em ambas as direções seja concretizada sem que alguma modificação na estrutura interna do rograma seja feita. orém mesmo com o equeno número de malas emregadas no roblema, o gráfico da Fig. 6, mostra que o erro diminui conforme refina-se a mala, o que é um forte indicativo de que as revisões de ordem de erros da Fig. 7 estejam corretas. 64

66 65 5 ROBLEMA Neste segundo roblema, a viscosidade ainda foi admitida como constante e as equações de conservação de massa e de quantidade de movimento desacoladas da equação da energia. orém, buscou-se neste momento, a resolução numérica de duas equações, uma ara a massa e outra ara a ressão, sem que fosse necessário rescrever arâmetros de entrada da solução analítica. O eixo e o mancal foram mantidos sob as mesmas condições iniciais e a geometria do conjunto foi considerada a mesma. A solução dos camos de ressão e velocidade foram ainda comaradas com suas soluções analíticas. Neste roblema será novamente utilizada a estratégia de resolver o escoamento bidimensional do fluido lubrificante como sendo um escoamento quase-unidimensional, onde o erfil de velocidade de cada uma das seções circunferências é resolvido unidimensionalmente. 5. MODELO MATEMÁTICO DO ROBLEMA A equação da ressão (eq. ) utilizada no roblema anterior, é novamente emregada neste roblema. or meio de algumas maniulações matemáticas, conforme está mostrado no AÊNDICE B, é ossível cegar a artir da eq., à eq. 3, que descreve de forma equivalente o roblema em questão. Nesta equação, ao substituir-se a altura do filme de lubrificante (eq. 6), calculado em função do ângulo φ, é ossível calcular o gradiente de ressão nas várias seções circunferenciais, obtendo desta forma, a segunda equação governante do roblema. Este rocedimento é ossível graças ao fato da geometria do conjunto eixo-mancal, ser um dos arâmetros rescritos no início do roblema. A investigação da eq. 3, leva orém, à conclusão de que este rocedimento ara o cálculo ressão-velocidade, ocorre de maneira iterativa, uma vez que a coordenada é desconecida e deve ser corrigida a cada nova iteração. No dimensionamento de um mancal, é imerativo saber se o conjunto cilindro-mancal conseguirá resistir às cargas imostas. Com a solução de Sommerfeld, ode-se cegar então

67 aos carregamentos ao longo da lina de centro do eixo e do mancal (W ) e na sua direção erendicular (W x ). 66 W π µ ω r rb c ε ( ε )( ε ) x b b (67) W (68) A força reacionária devido aos carregamentos (67) e (68) atua na direção oosta à força alicada sobre eixo e, como W é zero, esta força assume o valor: W rb π µ ω ε r Wx W b rb (69) c ( ε )( ε ) A solução de Sommerfeld traz como consequência, que um eixo inteiramente lubrificado, quando submetido a um carregamento, deslocar-se-á no sentido erendicular à direção do carregamento resultante. A meia solução de Sommerfeld, ao desconsiderar o camo de ressões negativas na região divergente do mancal, determina que W não ode mais ser nulo. Assim, ara o caso da meia solução de Sommerfeld, viu-se que as comonentes do carregamento resultante são: W W 6µ ω r rb c πε ( ε )( ε ) x b b (7) µ ω r rb c ε ( ε )( ε ) (7) b b A viscosidade global do lubrificante foi calculada da mesma forma que no roblema, ou seja, elo modelo de Vogel, considerando-se a temeratura do filme de óleo constante e igual à média das temeraturas do eixo e do mancal.

68 67 5. VARIÁVEIS DE INTERESSE No roblema, reocuou-se mais com a determinação dos carregamentos que se devem à configuração do conjunto eixo-mancal, ou seja, ela excentricidade resultante do conjunto e, ara tal, fêz-se necessária a determinação do camo de ressão ao longo do eixo. Uma vez resolvida a eq. 3, artiu-se ara a solução da eq. e a velocidade foi assim determinada da mesma forma que no roblema. As variáveis de interesse serão ortanto, os carregamentos na direção da lina de centro, na direção normal à lina de centro, o carregamento resultante destas duas arcelas, bem como as variáveis de interesse já definidas no roblema. Comarou-se as soluções analíticas ara o carregamento, com as soluções numéricas, que foram integradas numericamente or meio da regra de Simson, ara os casos da solução de Sommerfeld e da meia solução de Sommerfeld. 5.3 ROBLEMA NUMÉRICO O rograma utilizado ara resolver o roblema, atua da mesma maneira daquele utilizado na resolução do roblema. A diferença é que neste novo roblema, o camo de ressão foi calculado e não mais rescrito or sua solução analítica. O algoritmo abaixo, seguindo os assos de a, ilustra o funcionamento do rograma: ) leitura dos dados de entrada; ) discretização da direção circunferencial e das seções radiais; 3) estimativa da _ com a eq. 6 (or exemlo com φ θ analítico ); 4) cálculo da variável l 6µ U ; 3 5) montagem dos coeficientes de or meio da discretização da equação d l dx esquema íbrido entre CDS e UDS e resolução com o TDMA; 6) verificação da ressão máxima e seu φ ; com

69 68 7) recálculo da _ com a eq. 6; 8) volta ao item (4), até que a ressão máxima não varie mais com as iterações; 9) cálculo dos coeficientes de u or meio de esquema CDS da equação d u µ l e d resolução de u com TDMA; ) cálculo das variáveis secundárias de interesse; ) visualização dos dados calculados or meio de tabelas e gráficos. ara a discretização da eq. 3, ensou-se em três abordagens, as quais conduziram aos seguintes resultados: a) discretização com CDS-: levou a um erro fatal, ois no cálculo do último termo do TDMA, ocorreu uma divisão or zero; b) discretização com UDS: os resultados obtidos logo na rimeira iteração, conduziram a dois ontos de máxima ressão global, introduzindo erros ara as iterações seguintes e levando ortanto à não convergência do método; c) CDS com correção adiada: esta foi a forma de discretização que conduziu a resultados mais recisos. Observou-se, orém, que ara algumas malas com determinados números de volumes, a solução numérica tornava-se instável, oscilando em torno da solução exata. Desta forma, com base nas três discretizações, referiu-se otar ela discretização de CDS com correção adiada. O método dos volumes fictícios foi novamente utilizado ara alicar as condições de contorno nas seções de entrada e saída do mancal. Estas ressões nos contornos foram consideradas nulas, ortanto, as ressões calculadas elo TDMA são ressões efetivas. Os coeficientes dos termos utilizados elo Método dos Volumes Finitos ara os volumes reais e fictícios, na montagem do sistema de equações lineares do roblema odem ser encontrados na tabela 7. Estes coeficientes foram deduzidos a artir da discretização das equações governantes e odem vistas no AÊNDICE E.

70 69 TABELA 7: Coeficientes dos volumes de controles emregados no roblema Coeficientes Volumes Reais Volumes Fictícios Inferiores Sueriores a a w - a e b - * * * ( ) β Dx l E W ara a integração numérica da ressão, utilizou-se a regra de Simson, or julgar-se que esta daria uma maior recisão aos resultados, ao invés de utilizar-se a regra do retângulo. Em todos os resultados obtidos ara este roblema foi utilizado um coeficiente β, ois sabe-se que utilizando este valor, os erros numérico introduzidos elo esquema são menores do que qualquer outra comosição de valores ara β. 5.4 RESULTADOS OBTIDOS ara o roblema a geometria do conjunto e os arâmetros oeracionais foram considerados os mesmos do roblema e ara tal as tabelas 4 e 5 devem ser consultadas. Durante a solução da eq. 3, com o intuito de otimizar a memória do comutador a ser alocada elas variáveis, aroveitou-se da forma anti-simétrica da função ara resolver aenas o escoamento na orção convergente do mancal. A arte divergente foi aenas reescrita com a o solução numérica de φ [,8 ]. o Observou-se orém, que ara o onto φ 8 estar situado sobre um onto nodal, o número de volume de controle a ser emregado na discretização da direção circunferencial o deveria ser ímar. Caso contrário, a coordenada φ 8 encontrar-se-ia entre dois ontos nodais e não se conseguiria dividir o domínio de cálculo em duas regiões idênticas entre si.

71 A mala base adotada ara o roblema foi escolida então tendo 5 volumes em ambas as direções discretizadas. Da mesma maneira que no roblema, as malas discretizadas tiveram um grau de refinamento constante e igual a três, até que o limite da memória comutacional fosse atingido. A tabela 8 mostra as malas utilizadas neste roblema. 7 TABELA 8: Malas utilizadas nas simulações do roblema Mala N x N Com base em alguns resultados obtidos ara estas malas é ossível construir a Fig. que mostra a acurácia da solução numérica com o refinamento da mala 'ressão numerica - Nx, N 5' 'ressão numerica - Nx, N 45' 'ressão numerica - Nx, N 35' 'ressão exata' ressão (ka) teta (graus) FIGURA - Camos de ressão ara várias malas utilizadas Mesmo ara a mala mais grosseira (N x 5 e N 5) é ossível observar ela Fig. a concordância entre a velocidade calculada numericamente e a sua solução analítica. O onto de seção escolido foi o mesmo definido no roblema anterior ( φ 3 ).

72 7 6 'analitico' 'numérico' 5 4 altura (mm) velocidade (m/s) FIGURA - Camo de velocidades na seção φ 3 Observou-se orém, que excetuadas as malas já descritas, ara muitas outras ouve uma instabilidade no método de cálculo, o que levou a não convergência da solução da ressão numérica. A investigação do roblema levou à conclusão que esta instabilidade devese ao valor de, que ao ser re-iterado conduz a soluções com erros cada vez maiores até a comleta divergência nas iterações futuras. Na Fig. 3 é mostrado um exemlo de mala roblemática em que a solução numérica é obtida or meio de um estimado como sendo igual ao analítico exato (dado ela eq. 6). or estar sendo emregado o esquema CDS com correção adiada, ara o cálculo da ressão, faz-se necessário estimar uma solução inicial ao roblema, dando início ao cálculo iterativo. Neste caso a solução estimada foi considerada igual à solução analítica da ressão. 5 4 'ressão analitica' 'ressão numérica' 3 ressão (ka) teta (graus) FIGURA 3 - Exemlo de uma mala mal comortada sem iterações

73 Aós algumas iterações com o corresondente ao onto de máxima ressão calculada, a solução numérica converge ara aquela mostrada na Fig 'ressão analitica' 'ressão numérica' 4 ressão (ka) teta (graus) FIGURA 4 - Mesma mala mal comortada aós algumas iterações Este exemlo ilustra o caso em que se artindo de uma estimativa boa, cega-se a um resultado numérico ior. Na Fig. 4 vê-se, no entanto, que a solução numérica oscila em torno da solução analítica, levando a crer que com a introdução de alguma forma de amortecimento à eq. 6, de forma a cegar numa exressão equivalente, orém mais suave, oderia levar à diminuição dos erros observados. Com base nas soluções analíticas conecidas ara as variáveis de interesse, na Fig. 5 é mostrado um gráfico do erro ela dimensão da mala (), conforme já feito no caítulo 4. FIGURA 5 - Gráfico de erro or dimensão da mala

74 Observa-se desta figura que a solução numérica, diferentemente do roblema, não consegue manter-se comortada e que ara qualquer variável de uma dada mala, a ordem de magnitude do erro aumentou quando comarada com a mala corresondente do roblema. Fica claro que a inclusão de uma nova equação no roblema, levou à roagação e crescimento dos erros, mas que mesmo assim, a tendência global ara todas as variáveis é de que o erro diminua com o refinamento da mala, o que aumenta a exectativa de que o rograma conduza a resultados confiáveis CONCLUSÃO Os resultados obtidos com as seis malas em análise levou à conclusão de que a solução numérica do roblema é mal comortada, uma vez que o erro não decresce de maneira revisível com o refino da mala. Este fato indica que as ordens aarentes não uderam ser calculadas, uma vez que nem mesmo as ordens de erro efetivas conseguiram ser determinadas. O mal comortamento da solução numérica torna ainda que a estimativa GCI não é mais confiável ara este roblema. Devido este roblema ter uma solução exata (assim como ossuía o roblema ) otouse or não utilizar estimadores de erro neste momento, orém ressalta-se que em um roblema real, o uso de tais estimadores, faz-se necessário ara a validação dos resultados numéricos obtidos. O aarecimento das instabilidades na solução numérica, conforme mostrado na Fig. 4, o teve início em todos os casos a artir dos ontos nodais róximos de φ 8. Conforme as iterações evoluíram, ouve uma erturbação dos ontos nodais mais afastados desta coordenada e o aumento da amlitude dos erros em torno da solução analítica. Conforme já foi mencionado, acredita-se que a introdução de uma forma de amortecimento nas equações do roblema, com o uso or exemlo de métodos de relaxação, oderia levar à convergência total do método, uma vez que esta convergência arece estar fortemente deendente do arâmetro escolido na iteração. Excetuadas as malas que aresentaram roblemas de convergência, todas as que ossuíam número de volumes múltilos de 5, forneceram resultados satisfatórios, mostrando que o refino da mala levou à diminuição do erro numérico, orém não de forma tão ráida como no roblema.

75 74 6 CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS GERAIS O resente trabalo desenvolveu um estudo analítico e numérico de escoamentos em mancais deslizantes, que são elementos de máquinas comumente encontrados dentro de ambientes industriais. A realização deste trabalo ermitiu a alicação de vários conceitos e Leis Físicas básicas e mais esecificamente, utilizou-se de ciências fundamentais como a Mecânica dos Fluidos e a Transferência de Calor. Com a conclusão deste trabalo, foi ossível vislumbrar o enorme otencial que tem este novo camo da área térmica e de fluidos, denominado Dinâmica dos Fluidos Comutacional (CFD). Muitos dos resultados alcançados foram devidos rincialmente, à aroriação dos conecimentos, na discilina Dinâmica dos Fluidos Comutacional, ministrada elo rof. Marci no ano de 8. Em se tratando de um trabalo intimamente ligado à área comutacional, foi indisensável o domínio de alguma linguagem de rogramação e, ara tal, foi utilizado o mundialmente conecido Fortran-9, linguagem esta, que se mostra muito atual ara alicação de métodos numéricos, já que ossui uma enorme flexibilidade graças a seus comandos articulares (functions, subroutines e modules), facilitando sua imlementação. A resente monografia teve um eríodo de realização de aroximadamente 8 meses, sendo que o trabalo foi dividido em duas fases. Na rimeira fase (TG ), buscou-se um estudo arofundado sobre a Teoria da Lubrificação Hidrodinâmica, o conecimento da tecnologia vigente sobre mancais, bem como a revisão de alguns tóicos caves ara a realização do trabalo, tais como Elementos de Máquinas, Mecânica de Fluidos, rogramação Científica e outros tantos, não menos imortantes. Nesta fase, extensa literatura sobre estes assuntos foi encontrada não só em livros esecíficos de Lubrificação, mas também em dissertações de mestrado e teses de doutorado que contemlavam esta área de interesse. orém, mesmo assim existem escassos trabalos que tratam da resolução das equações básicas de lubrificação, em nível de Trabalo de Graduação. As oucas fontes que areciam ter alguma comatibilidade, infelizmente não uderam ser contatadas, fazendo com que a imlementação do modelo comutacional artisse da estaca zero, na segunda etaa da monografia. Muitos dos artigos encontrados em eriódicos técnicos consultados, não uderam ser incluídos na Revisão Bibliográfica, ois a grande maioria trata de roblemas esecíficos do escoamento em mancais, como a otimização do método numérico, inclusão de cavidades e

76 reentrâncias na geometria do domínio de cálculo, roblemas de fronteira livre e modelos matemáticos de cavitação. A artir do trabalo já realizado, muitos conceitos que anteriormente não estavam claramente entendidos, assaram a ter uma melor comreensão e alguns oderiam até ser imlementados em novas versões do rograma comutacional desenvolvido. Inicialmente, ensou-se em imlementar um rograma comutacional que tivesse caráter geral, ou seja, que resolvesse roblemas de escoamento em mancais de quaisquer geometrias, como os mancais curtos e longos. orém, devido à exiguidade do temo, o escoo do trabalo final contemlou somente aqueles mancais cuja largura fosse suerior ao seu diâmetro (mancais longos), ara os quais a solução de Sommerfeld oferece uma boa recisão. O roblema, definido e abordado no Caítulo 4, tratou então da simulação do escoamento de um fluido or meio da solução de Sommerfeld. Com base nos resultados da ressão e nos gradientes de ressão do filme de óleo obtidos, ambos or meio da solução analítica de Sommerfeld, ode-se discretizar uma forma da equação do movimento, cegandose a resultados numéricos ara a variável velocidade do fluido lubrificante, condizentes com a solução analítica. ara tal fim, utilizou-se o esquema CDS-. A artir da determinação da velocidade, variáveis de interesse secundárias como a tensão de cisalamento no filme de óleo, uderam ser calculadas numericamente. O refinamento da mala nas direções circunferencial e radial levou à diminuição do erro numérico em todas as variáveis, orém, a variável que reresenta a tensão de cisalamento do fluido em contato com a suerfície do eixo, foi a que aresentou maiores erros. A ordem efetiva do erro dessa variável foi determinada como sendo de ordem elo estimador GCI, enquanto que todas as demais variáveis foram de ordem. Isto ode ser exlicado elo fato de que na suerfície do eixo, á movimento de fronteira, o que ode ter levado ao aumento destes erros. No roblema, o uso do mesmo estimador utilizado no roblema, conduziu a resultados não confiáveis, uma vez que nem mesmo a ordem efetiva do erro não foi ossível ser determinada. O fato que ossibilitou a avaliação das ordens de erro efetivas no roblema, foi o comortamento monotônico do erro numérico, como ode ser observado nas retas traçadas no gráfico da Fig. 6 em escala bi-log. Como sugestão ara trabalos futuros e que oderiam ser incororados à estrutura do resente trabalo, ficam as seguintes roostas: a) uma análise do efeito da viscosidade variável sobre as variáveis de interesse, or meio das equações analíticas do escoamento Couette-oiseulle com viscosidade variável; 75

77 b) a substituição das condições de contorno de Sommerfeld elas condições de contorno de Renolds; c) a comaração dos diversos modelos reológicos na avaliação das variáveis de interesse; d) a introdução da Equação da Energia e da Equação de Estado, ara uma análise mais comleta. ara tal, oder-se-ia utilizar um esquema de acolamento ressão-velocidade como o Simlec, Simle ou Simler, os quais não estiveram resentes neste trabalo; e) a introdução da solução de Ocvirk, que contemla os mancais curtos e a modificação do modelo matemático, de maneira que considere agora um gradiente de ressão na direção axial. Isto levaria à extensão das ossíveis geometrias a serem utilizadas no domínio de cálculo. Cegar-se-ia então, a novas variáveis de interesse tais como, a velocidade do fluido na direção axial (averia duas equações do movimento), o nível de vazamento de óleo na direção axial, dentre outras. O atual estágio do rograma desenvolvido ermite obter e determinar a altura mínima do fluido de óleo, os níveis de ressão e a ressão máxima do lubrificante, assim como as tensões cisalantes no fluido e nas suerfícies do mancal e do eixo. ode-se conjecturar que numa simulação de um roblema real, o carregamento resultante devido à configuração do conjunto eixo-mancal, obtido ela integração do camo de ressões, camaria a atenção do rojetista, se, nesta geometria do conjunto, o mesmo seria caaz de resistir às solicitações mecânicas imostas or sua alicação de interesse. Com base nestes oucos e simles arâmetros calculados, observa-se que se tem em mãos, um rograma comutacional ainda inciiente, mas cuja alicação já ermite que sejam feitas análises que conduzam a imortantes conclusões sobre o funcionamento e alicabilidade dos mancais, atuando desta forma, como uma ferramenta válida ara um rédimensionamento ou uma ré-seleção de tais comonentes mecânicos. 76

78 77 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] ANDRÉS, L.S. Moderns Hdrodnamic Lubrification Teor. Class Notes, Note : Derivation of te Classical Renolds Equation for Tin Film Flows. ~35. [] CAMERON, A. Te rinciles of Lubrification. 3 rd ed. Londres: Longmans Green, [3] CASTRO, H. F. Análise de Mancais Hidrodinâmicos em Rotores sob Instabilidade Fluido-Induzida. 7.. Tese de Doutorado Faculdade de Engenaria Mecânica, UNICAM, Caminas 7. [4] FARSHID, S. Toics About Lubrification, Newtonian, non-newtonian, Units, Grades, ressure and Temerature Deendence, Class Notes. Disonível em: <tts://engineering.urdue.edu/me556>. Acesso em: jun. de 9. [5] FINZI, D. Mecânica Alicada as Máquinas. São Carlos, S: Universidade de São aulo Escola de Engenaria de São Carlos, [6] FORTUNA, A. O. Técnicas Comutacionais ara Dinâmica dos Fluidos. ª Ed. São Carlos: Edus,. 46. [7] GARCEZ, L. N. Elementos de Máquina dos Fluidos Hidráulica Geral. São aulo: Edgard Blücer Editora, 96. v. 459.

79 [8] HAMROCK, B. J. et al. Fundamentals of Fluid Film Lubrification. nd ed. Nova York: Marcel Dekker, Inc, [9] HARNOY, A. Bearing Design in Maciner. 5 t ed. Nova York: Marcel Dekker, Inc, [] INCROERA, F.. e WITT, D.. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 5ª Ed. Rio de Janeiro: LTG Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., [] KARAMZIN, V. A. Stud of Lubrificants Flow Rates Troug a Bearing Deending Uon te Location of te Lubrificant Inlet. Wrigt: FTD Foreign Tecnolog Division: [] MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Comutacional. ª Ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., [3] MARCHI, C. H. Verificação de Soluções Numéricas Unidimensionais em Dinâmica dos Fluidos Tese de Doutorado rograma de ós-graduação em Engenaria Mecânica UFSC, Florianóolis,. [4] MARCHI, C. H. Dinâmica de Fluidos Comutacional. Notas de Aula. Universidade Federal do araná, Curitiba, 8. [5] MAUK,. J. Class Notes about Journal Bearings. Essen: Universität Duisburg, [ca. ]. Disonível em: <tt:// Acesso em: 3 jun. 9.

80 [6] NORTON, R. L. rojeto de Máquinas: Uma Abordagem Integrada. Trad. João Batista de Aguiar [et al]. o ed. orto Alegre: Bookman, [7] ATANKAR, S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. st ed. New York: Hemisere ublising Cororation, [8] INKUS, O. et al. Teor of Hdrodnamic Lubrification. st ed. Nova York: McGraw-Hill Book, Inc, [9] SANTOS, M. F. Efeitos Térmicos em Mancais Segmentados Tese de Doutorado Faculdade de Engenaria Mecânica UNICAM, Caminas, 997. [] SHIGLEY, J. E. et al. rojeto de Engenaria Mecânica. Trad. João Batista de Aguiar, José Manuel de Aguiar. 7 o ed. orto Alegre: Bookman, [] STREETER, V. L. e WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. Trad. Milton Gonçalves Sances [et al]. 7ª ed. São aulo: Editora McGraw-Hill do Brasil,Ltda., [] TORRANCE, A. A. Tribolog Class Notes do Curso de Tribologia da TCD. Dublin: arson/ rentice,

81 8 AÊNDICE A: Equação Clássica de Renolds Considere o escoamento reresentado na Fig. 6, em que a esessura do filme variável é uma função (x, z, t) e onde ara o escoamento, são válidas as mesmas ióteses já listadas. Velocidades Suerficiais FIGURA 6 Suerfícies deslizantes [] Na região de interesse, a laca inferior se mantém estacionária, enquanto a suerfície suerior move-se com velocidade U e V nas direções x e resectivamente. Considerando que o fluido adere às suerfícies, têm-se as seguintes condições de contorno: em em : u, : u U, v, v V, w, w. (A-) Através do simles movimento cinemático da laca, ode ser facilmente inferido que a velocidade normal V da suerfície suerior é dada elo Stokiano: V D Dt t x dx dt x dz dt (A-)

82 V U t x (A-3) O escoamento isoviscoso ( µ cte ), newtoniano e onde as forças inerciais são desrezíveis, ( Re < Rec ) ode ser modelado elas seguintes equações: 8 - Equação da Conservação de Massa: r ρv r ρ ( ) t ( ρu) ( ρv) ( ρw) x z (A-4) (A-5) - Equação da Quantidade de Movimento Linear: - Du - na direção x: ρg u u u x µ Dt x x z - na direção : ρ (A-6) Dw - na direção z: ρg w w w z µ Dt z x z ρ (A-7) As equações (A-6) e (A-7) reduzem-se a: d u d d dx µ (A-8) d w d d dz µ (A-9) Integrando-se as equações do momentum em relação a e alicando-se as condições de contorno conecidas (A-), cega-se a :

83 u µ d dx w µ { } U d dz { } 8 (A-) (A-) As vazões mássicas ao longo da esessura de filme e as velocidades médias nas direções x e z são definidas resectivamente or: M x ( ρu) d M ( ρv) d, z V x M x M z, Vz ρ ρ A A (A-) (A-3) onde, ρ A ρ d é a densidade média ao longo da esessura de filme. ( ρ( ) ) Observa-se que, se a densidade do fluido for uma função exclusiva da ressão ρ, como esta não varia ao longo da seção do filme, ρ mantém-se constante: ρ ρa. Líquidos barométricos, cujas roriedades deendem unicamente da ressão e a maioria dos gases que evoluem de forma isotróica, ou em rocessos adiabáticos ou isotérmicos, mostram este tio de relação. Substituindo os erfis de velocidade (A-) e (A-) nas equações (A-) e (A-3), obtém-se ara um fluido isoviscoso e barométrico, os seguintes fluxos de massa (or unidade de comrimento) e as velocidades médias: M 3 ρ µ x ρu ρ x, z µ z V U µ x M x, z µ z V 3 (A-4) (A-5) Integrando agora a equação de conservação de massa, ao longo da direção :

84 83 ( ) ( ) ( ) d z w d v d x u d t ρ ρ ρ ρ (A-6) E, usando a relação de Leibniz: ( ) ( ) ( ) ζ ζ ζ ζ g d g d g, ζ ζ (A-7) Obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z w d w z v v x u d u x t d t ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ (A-8) Alicando as condições de contorno (A-) e (A-3) junto com as equações deduzidas ara o fluxo de massa (A-4), a equação de conservação da massa fica: ( ) z M M x z x ρ (A-9) Ou, em termo das velocidades médias: ( ) ( ) ( ) z V V x z x ρ ρ ρ (A-) E, finalmente, substituindo as exressões das velocidades x V e z V, obtidas elas equações do fluxo de massa ao longo do filme de lubrificante, na equação (A-) cega-se: ( ) ( ) z z x x x U t µ ρ µ ρ ρ ρ 3 3 (A-)

85 84 Esta é a equação clássica de Renolds, da Teoria de Lubrificação Hidrodinâmica. Nesta equação não foi reciso admitir que a relação << L c, o que revela o caráter muito mais geral desta equação. Quando o escoamento é incomressível, ode-se simlificar (A-) a: ( ) z z x x x U t µ µ 3 3 (A-)

86 85 AÊNDICE B: Teoria da Cuna de Óleo de Renolds Considere-se a saata inclinada movendo-se com velocidade U em relação a uma laca fixa (Fig. 7), onde o ângulo de inclinação δ relativo à laca é muito equeno. U FIGURA 7 Mancal de deslizamento lano [7] O escoamento é suosto viscoso, incomressível e laminar ( Re < Rec ). Considerando um elemento infinitesimal de lubrificante de dimensões dx, d e (dz ) e comutando-se as tensões que atuam nos lados desse elemento, cega-se ao seguinte diagrama de forças ara o elemento mostrado na Fig. 8. óleo FIGURA 8 Forças sobre um elemento de fluido lubrificante [] O somatório das forças de ressão (normais) que atuam sobre os lados esquerdo e direito, com a das forças de cisalamento, devido à viscosidade e à velocidade sobre a arte suerior e inferior no elemento, deduz-se: F x dxdz... τ τ d dxdz d dx dx ddz τ dxdz... (B-)

87 86 Que se reduz a: d dx A artir da eq. 9 (em módulo), obtém-se: τ (B-) d dx µ u (B-3) A derivada arcial em u foi conservada, ois a velocidade u deende de ambos x e. A eq. (B-) é definida como a equação do movimento do fluido e ode ser resolvida ara obter a distribuição de velocidade. Ao integrar-se a equação (B-3), obtém-se: u d µ dx f (x) (B-4) E, com nova integração: d u f( x) f( x) µ dx (B-5) Onde f e f são funções de integração que odem ser determinadas elas condições de contorno: ara ara u u U (condições de não escorregamento) (B-6) Sendo a esessura da camada corresondente à abscissa x. Alicando as condições de contorno (B-6), cega-se a f e Tem-se então que: f d U µ dx. u µ d dx ( ) U (B-7)

88 Assim, a velocidade em um onto de coordenadas x e ode ser considerado como a soma de duas arcelas u e u : 87 u d µ dx ( ) (B-8) u U (B-9) A rimeira arcela dá lugar a uma distribuição arabólica de velocidade (Fig. 9), onde observa-se que u, ara e ara. O escoamento é semelante ao que ocorre em duas lacas lanas aralelas e estacionárias, em conseqüência de um gradiente de ressão d, diminuindo ao longo de x. dx u d µ dx ( ) u d µ dx ( ) FIGURA 9 Reresentação do escoamento de oiseuille [7] A segunda arcela u dá lugar a uma distribuição linear de velocidades, do tio que decorre do escoamento laminar de um fluido contido entre suerfícies searadas ela distância, onde á um movimento relativo de velocidade U, conforme a Fig. 3. U u U u U FIGURA 3 Reresentação do escoamento de Couette [7]

89 A artir da equação (B-7), conclui-se que o termo arabólico ode ser aditivo ou subtrativo ao termo linear, deendendo do sinal do gradiente de ressão. Além do que, d quando a ressão é máxima ( ), a velocidade do fluido constitui-se de uma relação dx linear. A Fig. 3 exibe a suerosição das comonentes u e u, ara obter a velocidade u, d ara valores articulares de x e. dx 88 FIGURA 3 erfil de velocidades no filme de óleo lubrificante [] Uma vez definida a distribuição de velocidades, é ossível determinar a vazão de lubrificante fluindo na direção x: Q x ud (B-) Substituindo (B-7) em (B-) e integrando, obtém-se: Q x U 3 d µ dx (B-) d Logo, isolando : dx

90 89 d dx 6 µ U Qx 3 U (B-) d Ainda, no onto em que, a seguinte igualdade se verifica: dx Qx 3 U (B-3) Qx (B-4) U Onde reresenta a esessura do filme no onto em que a ressão é máxima. Com osse de (B-3), é ossível ainda reescrever (B-) como: d dx µ U 3 Esta equação é a forma integrada da Equação de Renolds. 6 (B-5) Outra forma da Equação de Renolds, é a que decorre de igualar a zero a derivada dq da eq. (B-), em consequência da equação de continuidade: dx d dx 3 µ d dx 6 d( U) dx (B-6) As eq. (B-5) e (B-6) descrevem o comortamento do fluido lubrificante quando analisado do onto de vista unidimensional. Não foi considerado o escoamento de fluido que escaa elos lados da saata, devido ao fato do movimento relativo entre o fluido e a saata gerar um camo de ressões, no sentido da largura finita da saata. Será aresentada osteriormente uma solução analítica deste roblema, com a ressalva de que a geometria do roblema justifique tal alicação. Como este é somente um caso esecífico do roblema idrodinâmico, uma teoria mais geral deve ser desenvolvida de forma a contemlar todo o universo de ossíveis geometrias (domínios de cálculo).

91 9 AÊNDICE C: Outros Regimes de Lubrificação Neste trabalo de graduação foi exosto e dado ênfase ao regime de lubrificação idrodinâmica, no entanto, existem três formas de lubrificação que odem ocorrer num mancal: lubrificação de filme comleto, de filme misto e lubrificação de contorno. Verifica-se que o regime de lubrificação idrodinâmica é uma subdivisão da categoria de filme comleto, a qual ossui ainda os regimes de lubrificação idrostática, elastoidrodinâmica e lubrificação sólida. A lubrificação de contorno descreve uma situação na qual, or razões de geometria, asereza das suerfícies, cargas excessivas ou falta de lubrificante suficiente, as suerfícies do mancal acabam contatando-se fisicamente e ode ocorrer, ortanto, desgastes abrasivo. orém, antes que este contato íntimo entre as aserezas dos materiais ocorra, verifica-se a existência de um regime de lubrificação intermediário, no qual um fluido escoando or entre o conjunto eixo-mancal forma um filme de óleo de dimensões moleculares, mas cujo camo de ressão idrodinâmica, ainda consegue sustentar seu eixo e a carga externa. Caso o comortamento do coeficiente de atrito seja traçado contra uma variável que contemle os três arâmetros básicos utilizados or etroff, na descrição do comortamento idrodinâmico do filme de lubrificante, cega-se a um gráfico conforme o mostrado na Fig. 3. Nela é ossível observar orque é atrativo que os mancais de deslizamento trabalem sobre a faixa de oeração corresondente ao regime de lubrificação idrodinâmica, já que neste camo, os índices de atrito são mais baixos, gerando ortanto, menores erdas energéticas. FIGURA 3 Curva de Stribeck [9]

92 O gráfico reresentado na Fig. 3, é denominado de curva de Stribeck, em omenagem a este cientista que estudou a estabilidade dos filmes de lubrificante nos mancais. Deste gráfico é ossível concluir que a lubrificação de filme comleto é muito mais estável ara as alicações gerais do que o filme gerado na lubrificação de filme misto e de contorno, que são tidas também como instáveis. A estabilidade do filme comleto ode ser exemlificada na situação em que, á um aumento da temeratura do fluido lubrificante, devido a variações oeracionais. Desta nova temeratura, resultaria uma viscosidade inferior e, consequentemente, em um valor menor de µ N. Na Fig. 3, vê-se então que o coeficiente de fricção decresce ara esta nova situação, gerando menos calor ao cisalar o lubrificante e, or conseguinte, a temeratura deste cai, retornando aos valores originais. Quando os mancais oeram em temeraturas extremas, o uso de lubrificantes sólidos como o grafite ou o dissulfeto de molibdênio (MoS ) são necessários, uma vez que nestes casos, o comortamento de óleos minerais não é mais satisfatório. A Fig. 33 mostra alguns mancais que oeram segundo este tio de lubrificação. Os materiais dos mancais emregados neste fim têm como característica os baixos índices de desgaste, bem como equenos índices friccionais. 9 FIGURA 33 Lubrificação sólida. Extraída de: tt:// Na lubrificação elasto-idrodinâmica, as suerfícies de contato do ar cinemático gerado, são do tio não-conformantes e, verifica-se neste caso, uma maior dificuldade de se formar um filme de óleo comleto, uma vez que estas suerfícies não-conformantes tendem a exulsar o óleo lubrificante, ao invés de rendê-lo. Exemlos de casos em que se dá este tio de lubrificação de filme comleto são vistos em mecanismos do tio came-seguidor, entre os dentes de engrenagens e em suerfícies que ossuem contato rolante, como os mancais de

93 rolamentos mostrados na Fig. 34. A exlicação matemática desta forma de lubrificação requer conecimento sobre a teoria ertziana de tensão de contato e mecânica de fluidos. 9 FIGURA 34 Mancais de rolamento. Extraída de: tt:// ara casos em que os mancais devem ser rojetados a oerarem com equenas velocidades (ou quase nulas) e, o camo de ressão gerado elo movimento relativo de suas suerfícies, ode não ser grande o bastante ara sustentar os carregamentos externos, é necessário gerar no filme de lubrificante uma ressão origem estática. Esta ressão estática deve-se à ressurização de lubrificante or meio de uma bomba externa e conduzido ara dentro do mancal or meio de um conjunto de tubulações. Esta categoria de mancais, onde o movimento entre as fronteiras não é mais condição necessária ara a manutenção do filme de lubrificante, é denominada de mancais de lubrificação idrostática. Uma reresentação esquemática do funcionamento deste tio de mancal é mostrado na Fig. 35. FIGURA 35 Lubrificação idrostática. Extraída de: tt://