TENSÃO CRÍTICA DE CISALHAMENTO NA SUPERFÍCIE DE UM LEITO DE CASCALHOS

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1 TENSÃO CRÍTICA DE CISAHAMENTO NA SUPERFÍCIE DE UM EITO DE CASCAHOS uciana Mançor acerda Universidade Estadual Norte Fluminense, aboratório de Engenharia de Petróleo Rodovia Amaral Peixoto, km Macaé, RJ, Brasil luciana@lene.uenf.br Wellington Camos Petrobrás Petróleo Brasileiro S.A, CENPES Ilha do Fundão, Quadra 7 Cidade Universitária Rio de Janeiro, RJ, Brasil camos@cenes.etrobras.com.br uiz Carvalho Braga CEFET Camos / UNED Macaé Rodovia Amaral Peixoto, km Macaé, RJ, Brasil luiz@lene.uenf.br Resumo. O transorte de cascalhos durante a erfuração de oços altamente inclinados e horizontais fica rejudicado ela formação de um leito no anular. Neste trabalho, mostra-se que a altura de equilíbrio deste leito ode ser determinado a artir da tensão cisalhante atuando na suerfície do mesmo. Este fato ermite a formulação de uma metodologia de cálculo da altura de equilíbrio do leito, introduzindo o conceito de tensão cisalhante crítica. Esta é a tensão cisalhante que atua na suerfície do leito na iminência do movimento de uma artícula na suerfície do mesmo. A alicação da metodologia requer a determinação da tensão atuante e da tensão crítica requerida. A tensão atuante é calculada resolvendo numericamente (diferenças finitas) a equação diferencial do movimento do fluido no esaço anular, cobrindo os casos do escoamento laminar e turbulento. A tensão atuante é função da vazão e da geometria do anular na resença de leito, bem como das roriedades físicas do fluido. A tensão crítica requerida, or outro lado, é inicialmente determinada a artir de dados exerimentais. Para suerar a falta de uma exressão analítica ara a tensão crítica, uma modelagem mecanicista, em função do diâmetro das artículas, roriedades físicas do fluido e da artícula é aresentada. Palavras-chaves: Transorte de Cascalhos, Tensão Crítica, Altura do eito. 1. INTRODUÇÃO Na indústria do etróleo, o uso de fluidos como agentes carreadores de artículas sólidas, tanto durante as oerações de cimentação, deslocando a asta de cimento, quanto durante a erfuração, transortando o cascalho até a suerfície, é de fundamental imortância. Durante a erfuração, o fluido de erfuração é bombeado através da coluna de erfuração, assa ela broca e retorna à suerfície elo esaço anular entre coluna de erfuração e o

2 revestimento. Neste rocesso, o fluido transorta o material resultante da ação da broca sobre a rocha (cascalhos), refrigera e lubrifica a broca, lubrifica a coluna, evita o influxo de fluidos das formações (mantendo a ressão do oço ligeiramente acima da ressão da formação, imedindo o colaso do oço), e transorta os cascalhos resultantes da erfuração. Vários fatores, tais como: taxa de bombeamento, densidade do fluido, velocidade de rotação da coluna de erfuração, taxa de enetração, natureza da rocha, inclinação do oço, etc., interferem no transorte dos cascalhos, odendo acarretar a formação de um leito de cascalhos no anular ( Figura ). A coluna de erfuração e de revestimento são caracterizadas ela excentricidade do anular (Figura ). A situação é mais crítica em oços horizontais e de grande extensão horizontal (oços ERW ou extended reach wells ). Na cimentação o escoamento de fluidos surge na deosição da asta de cimento no esaço anular entre a formação e o revestimento do oço. A crescente necessidade de se erfurar oços de altas inclinações e de grandes afastamentos, decorrente da descoberta de camos gigantes e da exloração em águas rofundas, tem motivado estudos no sentido de otimizar a limeza de oços, fator crítico ara o sucesso das oerações. Na erfuração de oços horizontais e de longo alcance, há a tendência da formação de um leito de cascalhos na arte inferior do anular excêntrico, entre a coluna de erfuração e a arede do oço, devido à tendência destes cascalhos se sedimentarem ela ação da gravidade, reduzindo assim o diâmetro efetivo do oço e restringindo a área de fluxo. O acúmulo de cascalhos no esaço anular é uma das causas do torque e arraste excessivo a que fica submetida a coluna de erfuração.

3 O resente estudo aborda a modelagem do escoamento laminar e turbulento de fluidos Newtonianos e não-newtonianos em anulares excêntricos. O comortamento reológico do fluido é reresentado elo modelo Power-aw. Devido aos contornos irregulares do anular excêntrico, a região onde ocorre o fluxo não ode ser descrita recisamente em um sistema de coordenadas clássico (cartesiano, olar ou cilíndrica). O uso de qualquer dessas coordenadas irá, inevitavelmente requerer interolação entre ontos da malha de diferenças finitas ara imlementar as condições de contorno. Esse roblema ode ser eliminado, usando coordenadas curvilíneas ajustadas ao contorno ( Boundary-fitted coordinates ). O tensor de Reynolds ou das tensões turbulentas é modelado ela teoria do comrimento de mistura de Prandtl e ela exressão de Van Driest ara o comrimento da mistura. Este trabalho aresenta uma metodologia ara a determinação da altura de equilíbrio de um leito de cascalhos, tendo como base um critério envolvendo a tensão de cisalhamento crítica atuante na suerfície deste leito. Este método ode ser usado na otimização da limeza de oços de etróleo horizontais e de longo alcance durante a erfuração dos mesmos. A exectativa deste trabalho é mostrar a ossibilidade de utilização de uma metodologia ráida que ermita avaliar a altura de equilíbrio do leito de cascalhos. A tensão atuante no leito é determinada de modelos de escoamento na seção, enquanto a tensão crítica é determinada, ou exerimentalmente, ou de modelos mecanicistas na seção 3.. MODEOS DE ESCOAMENTO.1 Escoamento aminar O modelo roosto ara o escoamento ermanente, comletamente desenvolvido, em um anular excêntrico, na resença de um leito de cascalhos, conduz, no caso turbulento, a uma equação diferencial não-linear de segunda ordem do tio elítica. No caso laminar, o sistema é comosto aenas or uma equação diferencial, que é linear ara o caso do fluido ser Newtoniano, e não-linear, ara o caso do fluido ser não-newtoniano. Esta equação diferencial é transformada de um domínio físico irregular ara um domínio comutacional, onde é ossível definir uma malha regular. A finalidade de uma malha comutacional adequada é reresentar o escoamento no anular excêntrico or meio de uma série de ontos esaçados uniformemente. As equações são discretizadas, nesta malha, elo método de diferenças finitas. Um método de relaxação é usado ara resolver iterativamente o sistema de equações discretizadas. No escoamento, os maiores gradientes de velocidade são observados nas regiões róximas aos contornos sólidos, aredes dos tubos ou suerfície do leito de cascalhos, e, or isso é conveniente refinar a malha nesses locais or meio de uma deformação do sistema de coordenadas [Tannehill, 1984,.47].. Resultados A figura 3 mostra um erfil de velocidade num anular com resença de um leito de cascalhos, e excentricidade igual a 0.6. Pode-se observar o onto de máximo da velocidade localizado na região mais larga do anular, o que acarreta um rejuízo a erosão do leito de cascalhos, situado na arte inferior do anular. O valor da tensão cisalhante na suerfície do leito é tanto menor quanto maior for a excentricidade.

4 .3 Escoamento Turbulento Na erfuração, a turbulência, é de esecial imortância orque aumenta a disersão dos cascalho resultantes da erfuração do oço, resultando numa melhor limeza do oço durante a oeração de erfuração. O tensor de Reynolds ou das tensões turbulentas é aqui modelado ela teoria do comrimento de mistura de Prandtl e ela exressão de Van Driest ara o comrimento de mistura. Os modelos desenvolvidos até agora são baseados em hióteses emíricas, as quais tentam estabelecer uma relação entre as tensões de Reynolds e os valores médios das comonentes das velocidades através de adequadas hióteses concernentes à transferência de massa. Prandtl ( 190 ), desenvolveu uma exressão ara a transferência de momentum em um fluido na qual o comrimento de mistura é análogo ao do caminho médio livre na teoria cinética dos gases. A equação de Prandtl tem tido sucesso quando alicada ao estudo do movimento turbulento ao longo de aredes (tubos, canais, lacas, camadas limites). O modelo de comrimento da mistura descreve a tensão or meio de uma simles fórmula algébrica ara µ t como uma função do gradiente de velocidade. A hiótese desse modelo é que a viscosidade turbulenta ( µ t ) é isotróica, isto é, a taxa entre tensões de Reynolds e taxa média de deformação é a mesma em todas direções. O modelo de Van Driest é aroriado ara o estabelecimento do comrimento de mistura em toda a região do escoamento, desde a suerfície da arede até o núcleo turbulento leno.

5 3. TENSÃO CRÍTICA DE CISAHAMENTO A tensão crítica é aqui ostulada como o valor da tensão de cisalhamento na suerfície do leito de cascalhos, a artir da qual ocorre a erosão do mesmo. Esta tensão é or si só um arâmetro de grande interesse no estudo do carreamento de cascalhos em oços de etróleo. A alicação de uma metodologia com base nesta hiótese requer a determinação da tensão atuante e da tensão crítica requerida. A tensão atuante é calculada or meio de um rograma de comutador que resolve a equação diferencial do movimento do fluido no esaço anular. Este rograma cobre os casos do escoamento laminar e turbulento. A tensão atuante é função da vazão e da geometria do anular na resença de leito, bem como das roriedades físicas do fluido. A tensão crítica requerida, or outro lado, é inicialmente obtida a artir de dados exerimentais e, osteriormente, modelada em função das condições locais em torno da artícula. A curva abaixo ilustra a alicação da metodologia roosta. Com ela ode-se obter a altura do leito de cascalhos relacionada a valores de vazão e tensão de cisalhamento na suerfície do leito, arâmetros que são obtidos durante a oeração de oços, a vazão obtida de maneira direta através de medidas exerimentais e a tensão cisalhante através de algum software que considere os arâmetros de fluido e geometria de oço no tratamento do escoamento analisado. Os dados exerimentais foram extraídos da figura 6 do aer de Camos et al. (1994) Modelo Figura 4- Altura de leito relacionada à vazão e tensão de cisalhamento Uma modelagem mecanicista da tensão crítica, em função do diâmetro das artículas, roriedades físicas do fluido e da artícula é aresentada. A magnitude da tensão crítica é função das condições locais em torno da artícula, or exemlo, diâmetro médio, eso aarente e forma da artícula, roriedades reológicas do fluido, não deendendo da vazão ou da geometria do anular O objetivo em questão é, considerando fluidos Newtonianos e não-newtonianos, obter exressões analíticas aroximadas ara a tensão crítica em função de arâmetros característicos do escoamento, roriedades de fluidos e roriedades da artícula.

6 A geometria do modelo adotado ara a determinação da tensão crítica, figura 5, considera as artículas de diâmetro uniforme emacotadas hexagonalmente em oços horizontais. Considerando artículas em reouso, ortanto a velocidade da artícula em relação ao fluido será igual a velocidade média da distribuição triangular de velocidades ( ver figura 5) adotada ara o fluido nas roximidades da suerfície do leito de cascalhos, isto é; v V rel = (3.1) Para obtermos uma exressão ara a tensão crítica de cisalhamento, rimeiro analisamos as condições de equilíbrio de rotação da artícula, a saber, somatório dos momentos das forças atuando nas artículas, em relação a qualquer onto de referência, igual a zero. Por conveniência tomaremos esse balanço de forças em relação ao onto P. Dessa análise uma equação de grau ara a velocidade relativa, que odemos chamar velocidade relativa crítica, entre a artícula e o fluido é então obtida. Como último asso na determinação da tensão crítica devemos relacionar de alguma forma a velocidade, na equação obtida da análise de equilíbrio, com a tensão de cisalhamento suerficial. Para o caso Newtoniano essa relação é obtida a artir da lei de viscosidade de Newton e ara fluidos não Newtonianos ela relação emírica entre o tensor cisalhante e a taxa de deformação, conhecida como "Power-law". 3. Fluidos Newtonianos Neste estudo, estamos interessados em obter o valor limite ara a tensão de cisalhamento na direção do fluxo. No escoamento analisado, regime laminar, ermanente de fluidos incomressíveis, a única comonente não nula do tensor de cisalhamento na direção do escoamento é τ yx. Em fluidos Newtonianos, caracterizados or uma relação linear entre o tensor de cisalhamento e o tensor de deformação, a comonente τ yx, a qual doravante denotaremos aenas or τ, é dada or, v τ = µ ( 3. ) y onde µ é a viscosidade e v a velocidade do fluido na direção do fluxo (direção x). Usando a relação anterior, odemos estabelecer uma relação aroximada entre a velocidade do fluido no too da artícula e a tensão de cisalhamento na direção do fluxo, que será muito útil na determinação da tensão crítica. Isso é feito aroximando a derivada de v em relação a y ela razão entre suas variações. Observando a figura 5 e, em articular a distribuição triangular de velocidades, odemos reescrever, de forma aroximada, a equação ( 3. ) como; 3µ τ v ( 3.3 ) 3d

7 3.3 Balanço de Forças As rinciais forças atuando sobre a artícula de diâmetro d sujeito a um escoamento da esquerda ara direita são (ver figura 5): 1 F = C A ρvrel, ( 3.4 ) 1 FD = CD A ρvrel, ( 3.5 ) F = m g, ( 3.6 ) E = ρ V g, ( 3.7 ) onde F D e F são as forças hidrodinâmicas de arraste e de lift, resectivamente, F é a força eso e E o emuxo. C D e C são chamados coeficientes de arraste e de lift, resectivamente, ρ é a massa esecífica, A é a área rojetada da artícula, V rel é a velocidade relativa entre o fluido e a artícula, m é a massa da artícula, ρ a massa esecífica da artícula, V o volume da artícula e g a constante gravitacional. A origem da força de susensão da artícula ode ser vista de uma maneira simles alicando-se a fórmula de conservação de Bernoulli entre os dois ontos extremos da artícula, o rimeiro na arte inferior da artícula ( P 1 ), onde de acordo com a distribuição triangular de velocidades a velocidade da artícula é nula e o segundo ( P ) na arte suerior da artícula onde a velocidade é v. A variação de ressão entre os ontos 1 e é comosta or dois termos. O segundo termo está relacionado à força de emuxo de natureza hidrostática, que será considerado na exressão do eso aarente e o rimeiro de natureza hidrodinâmica é a força que estamos denominando neste trabalho de força de susensão da artícula. Considerando C indeendente do número de Reynolds, o coeficiente é determinado comarando as exressões ara a força de lift, equação (3.4), com o termo hidrodinâmico na equação ara a variação de ressão. Com este rocedimento chegamos ao valor C = 4. Assim a força de lift ode ser exressa or, 1 F = πρ d v. ( 3.8 ) 8 A força de arrasto ou arraste é uma força de natureza resistiva, na verdade uma força de reação do fluido sobre a artícula. A artícula em reouso, através do atrito, age no sentido de frear o fluido que reage e emurra a artícula ara frente. A força de arraste deende do número de Reynolds da artícula. Para número de Reynolds equenos ou da ordem de 0,1 odese usar a fórmula de Stokes, CD = 4 / Re. Assim a força de arraste (Bourgoyne, 1991), é exressa or; 1 FD = A ρvrel. ( 3.9 ) Re Substituindo na equação acima as exressões ara a área A, velocidade relativa V rel e ara o número de Reynolds da artícula Re = ρvreld µ, chegamos a exressão final ara a força de arraste.

8 3 FD = πµ d v ( 3.10 ) onde µ é a viscosidade absoluta do fluido, d é o diâmetro médio das artículas e v é a velocidade máxima do fluido ao nível do too da artícula. A força gravitacional e o emuxo determinam o eso aarente da artícula, o qual é dado or, 3 π d Pa = ( ρ ρ) g ( 3.11 ) 6 onde ρ é a massa esecífica da artícula e ρ é a massa esecífica do fluido, d é o diâmetro da artícula e g é a aceleração da gravidade. A condição de equilíbrio de rotação da artícula, soma dos momentos das forças envolvidas igual a zero, é traduzida ela equação, F b F b P b = 0, ( 3.1 ) F + D FD a Pa onde, b F, b F e b D P são os braços de alavanca das forças lift, arraste e eso aarente, resectivamente, em relação ao onto P. a Substituindo na equação ara o balanço de forças os valores ara os braços de alavanca e as exressões ara as forças F, F D e P a, chegamos de maneira direta à seguinte exressão ara o balanço de forças. v + µ ρ 30.9 v = 0 ρ d d g ρ. ( 3.13 ) Observe que a equação acima, é uma equação do segundo grau ara a velocidade crítica. Usando a relação v = ( d µ ) τ, a equação reresentativa do balanço de forças é colocada em termos da tensão de cisalhamento τ. Como esta equação traduz uma condição física de equilíbrio, chamamos o valor esecífico da tensão de cisalhamento que a satisfaz de tensão de cisalhamento crítica ou simlesmente tensão crítica. µ ρ µ g τ crít τ = 0 crít ( 3.14 ) ρd ρ d resolvendo então ara τ crít, teremos, 3 µ ρ ρ d g τ = crít a b ( 3.15 ) ρd ρ µ onde a e b são constantes a serem determinadas a artir da comaração com exerimentos. 3.4 Fluido não-newtoniano De maneira análoga ao caso Newtoniano, ode-se chegar a uma exressão ara a tensão crítica ara fluidos não-newtonianos. Em termos ráticos, ara o roblema aqui considerado, as diferenças que surgem quando consideramos fluidos não-newtonianos são fatores de

9 correção que devem ser alicados ao coeficientes C D e C, associados às forças de arraste e de flutuação. As correções são naturalmente conseqüência da nova condição reológica do fluido. Substituindo as exressões corrigidas ara os coeficientes C e C D e a exressão ara a velocidade em função de τ na equação ara o balanço de momentos, chega-se à seguinte fórmula ara a tensão crítica ara fluidos não- Newtonianos. 1 + n n () n d ρ 1 k() n n + n Y τ n 3 4 X ()τ n ( ρ) g 0 d ρ =. (3.19) 4. CONCUSÕES E RECOMENDAÇÕES O modelo roosto ermite a avaliação do escoamento laminar e turbulento de fluidos Newtonianos e não-newtonianos em anulares excêntricos, com as hióteses simlificadoras de escoamento isotérmico, ermanente, totalmente desenvolvido, fluido incomressível e aredes do oço inexansíveis. O comortamento reológico do fluido é reresentado elo modelo Power-aw. A análise dos erfis mostram um achatamento do erfil quando o regime de escoamento assa do laminar ara o turbulento. Os gradientes de velocidade obtidos nas regiões róximas às aredes do anular aumentam com o aumento do número de Reynolds. No escoamento turbulento há uma melhor distribuição da quantidade de movimento, melhorando assim a limeza do oço. Neste trabalho, mostra-se que a altura de equilíbrio do leito correlaciona-se bem com um determinado valor constante da tensão cisalhante atuante na suerfície do mesmo, aqui definida como tensão crítica de equilíbrio. Este conceito de tensão cisalhante crítica é suerior ao de vazão crítica ou velocidade de deosição or se relacionar mais de erto com a erosão do leito. Como mostrado anteriormente, a metodologia aresentada ode ser útil em trabalhos de camo, na determinação ráida e com boa aroximação da altura de equilíbrio do leito ara diferentes fluidos de erfuração. Se a altura do leito é excessiva, a coluna de erfuração fica submetida a torque severo e resistência ao arraste, odendo ocorrer, inclusive, obstrução total do anular, o que imossibilitaria a circulação do fluido de erfuração. A artir dessa metodologia oder-se-ia esecificar uma vazão mínima de rojeto, comatível com a caacidade das bombas instaladas na sonda que garantisse uma altura de leito adequada. No modelo mecanicista desenvolvido aqui ara a determinação desta tensão crítica de cisalhamento, não têm influência as variáveis globais como diâmetro do oço, vazão, etc., tendo influência aenas as variáveis locais como diâmetro da artícula, massa esecífica do fluido e da artícula, etc. Sendo um modelo mecanicista aarecem algumas constantes a serem determinadas emiricamente. A roosta futura seria usar o rograma de comutador e os dados exerimentais da literatura ara gerar um banco de dados, a fim de ajustar o modelo mecanicista, determinando valores ara as constantes a e b, ara calcular a tensão atuante na suerfície de um leito de cascalhos em função de arâmetros geométricos, das roriedades dos fluidos e dos sólidos, e dos arâmetros oeracionais.

10 AGRADECIMENTOS À Fenorte - Fundação Estadual Norte Fluminense e à PETROBRAS elo aoio financeiro que ermitiram o desenvolvimento deste trabalho. REFERÊNCIAS Anderson, D. A. ; Tannehill, J. C. ; Pletcher, R. H., 1984, Comutational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Hemishere Publishing Co. Azouz, I., 1994, Numerical Simulation of aminar and Turbulent Flows of Wellbore Fluids in Annular Passages of Arbitrary Cross-Section, Ph.D. Thesis, The University of Tulsa, Tulsa, USA. Bird, R. B. ; Stewart, W. E. ; ightfoot, E. N. : Transort Phenomena, John Wiley & Sons. Camos, W.; Azar, J.J. ; Shirazi, S. A. and Pilehvari, A. A., 1994, Mechanistic Modeling of Cuttings Transort in Highly Inclined Wells, FED-Vol. 189, iquid-solid Flows, ASME. Camos, W., 1995, Mechanistic Modeling of Cuttings Transort in Directional Wells, Ph.D. Thesis, The University of Tulsa, Tulsa, USA. Prandtl,., 196, Turbulent Flow, NACA TM 435. Schlichting, H., 1979, Boundary-ayer Theory, McGraw-Hill, 7 a ed.. Siegel, M. R., 1973, Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Coleção Schaum, McGraw-Hill. Van Driest, E. R., 1956, On Turbulent Flow Near a Wall, Journal of Aeronautical Science, Vol. 3, White, F. M., 1974, Viscous Flow, McGraw Hill, Abstract. The cuttings transort during the drilling of highly inclined and horizontal wells is hindered by the creation of a cuttings bed in the annulus. In this work, it is shown that the equilibrium height of this bed can be determined from the shear stress on its surface. This fact enables the formulation of a methodology for evaluating the equilibrium height of the cuttings bed through the introduction of a new concet, that of critical shear stress. This is the shear stress that acts on the bed surface at the imminence of movement of the articles on the bed surface. The use of the methodology requires the determination of the acting shear stress and of the required critical shear stress. The acting shear stress is calculated by means of a comuter rogram that solve the motion differential equations in the annular sace; covering the cases of the laminar and turbulent flow regimes. The actuating shear stress is a function of flow rate and of the annular geometry in the resence of a cuttings bed; it is also a function of the hysical roerties of the fluid. On the other hand, the required critical shear stress is a function of the articles diameters and hysical roerties of the fluid and articles. A mechanistic model for the critical shear stress is also resented.