Recordações de Cálculo Vetorial em Três

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1 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 31/7 Capítulo 4 Recordações de Cálculo etorial em Três Dimensões Conteúdo N 4.1 Alguns Operadores Diferenciais de Interesse Teoremas Clássicos sobre Integrais de olume e de Superfície O Laplaciano em Sistemas de Coordenadas Gerais Coordenadas Esféricas em n Dimensões este capítulo listamos, em parte na forma de exercícios, alguns resultados importantes sobre cálculo vetorial em três dimensões. As identidades aqui listadas são úteis em diversas áreas da Física, como no Eletromagnetismo e na Mecânica dos Fluidos. Todos os resultados que aqui apresentamos podem ser formulados com mais elegância e generalizados a mais dimensões na teoria das formas diferenciais. ide e.g., [38]. 4.1 Alguns Operadores Diferenciais de Interesse Os símbolos de Krönecker e de Levi-Civita O chamado símbolo de Krönecker 1 ou delta de Krönecker em três dimensões, denotado por δ ij, com i, j {1,, 3}, é definido por { 1, se i = j, δ ij := 4.1 0, se i j. O chamado símbolo de Levi-Civita ou tensor de Levi-Civita em três dimensões, denotado por ε ijk, com i, j, k {1,, 3}, é definido por 1, se i, j, k = 1,, 3,, 3, 1 ou 3, 1,, ε ijk := 1, se i, j, k = 1, 3,, 3,, 1 ou, 1, 3, 4. 0, de outra forma. Note as seguintes propriedades: 1. simetria o símbolo de Krönecker não se altera se os índices forem permutados, ou seja, δ ij = δ ji;. ε ijk é nulo se e somente se pelo menos dois dos índices são iguais; 3. antissimetria ε ijk troca de sinal se quaisquer dois dos índices forem permutados; 4. ciclicidade ε ijk não se altera se os índices forem permutados ciclicamente, ou seja, ε ijk = ε jki = ε kij. No que segue apresentamos algumas identidades úteis envolvendo o símbolo de Krönecker e o símbolo de Levi-Civita. E. 4.1 Exercício. Este Exercício contém uma série de identidades muito empregadas. a. Mostre que se M é uma matriz 3 3, valem δijmjk = Mik e b. Mostre que, para todos i, j e k, vale 1 Leopold Krönecker Tullio Levi-Civita Mijδjk = Mik. Em particular, vale δijδjk = δik. 4.3 εijk = δi1δjδk3 + δiδj3δk1 + δi3δj1δk δi1δj3δk δi3δjδk1 δiδj1δk Sugestão para o item b. Siga os seguintes passos: 1. Mostre que o lado direito não se altera por permutações cíclicas dos índices i, j e k.. Mostre que o lado direito anula-se se pelo menos dois dos índices são iguais. 3. Mostre que o lado direito vale 1 quando i, j, k = 1,, 3 e 1 quando i, j, k = 1, 3,. 4. Conclua dos passos anteriores que 4.4 é verdadeira comparando com a definição 4.. c. Mostre que vale a identidade εijkεlmn = δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm δilδjnδkm δinδjmδkl δimδjlδkn, 4.5 para todos i, j e k e para todos l, m e n, ou seja, δil δim δin εijkεlmn = det δjl δjm δjn. 4.6 δkl δkm δkn Sugestão para o item c. Siga os seguintes passos: 1. Constate que o lado direito de 4.5 reduz-se a 4.4 quando l, m, n = 1,, 3.. Constate que o lado direito de 4.5 não se altera por permutações cíclicas de l, m, n. Constate que o lado direito de 4.5 é nulo se e somente se pelo menos dois dos índices l, m, n são iguais. 3. Constate que o lado direito de 4.5 troca de sinal se quaisquer dois dos índices l, m, n são permutados. 4. Conclua dos passos anteriores a validade de 4.5. A identidade 4.5 é muito útil e implica as identidades 4.7 e 4.8, abaixo, cuja utilidade poderá ser constatada nos exercícios posteriores. d. Mostre que vale a identidade Sugestão: use 4.5. e. Mostre que vale a identidade Sugestão: use 4.7. f. Mostre que vale a identidade Sugestão: use 4.8. g. Mostre que vale a identidade Sugestão: use 4.7. A identidade 4.10 é denominada identidade de Jacobi 3 para os símbolos de Levi-Civita. εijkεlmk = δilδjm δimδjl. 4.7 εijkεljk = δil. 4.8 εijkεijk = εijkεklm +εimkεkjl +εilkεkmj = E. 4. Exercício. Se S é uma matriz 3 3 simétrica, ou seja, satisfaz Sij = Sji para todos i, j {1,, 3}, mostre que para todo i {1,, 3}. Sugestão: convença-se que do símbolo de Levi-Civita. O produto escalar e o produto vetorial εijksjk = 0 εijksjk = εikjskj e em seguida use a simetria de S e a antissimetria Sejam ˆx, ŷ e ẑ três versores ortogonais dois a dois no espaço tridimensional R 3 tais que a tripla ˆx, ŷ, ẑ seja positivamente orientada. Cada vetor v do espaço tridimensional pode ser escrito na forma v = v 1ˆx + v ŷ + v 3ẑ, os números, i = 1,, 3, sendo as componentes de v na base {ˆx, ŷ, ẑ}. 3 Carl Gustav Jacob Jacobi

2 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 3/7 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 33/7 O chamado produto escalar de dois vetores quaisquer a e b, denotado por a b, é definido por a b := a ib i = a ib jδ ij O chamado produto vetorial de dois vetores quaisquer a e b, denotado por a b, é definido como sendo o vetor cuja i-ésima componente na base {ˆx, ŷ, ẑ}, a b i, é dada por a b := i ε ijka jb k, i {1,, 3}. 4.1 É importante notar as propriedades a b = b a e a b = b a, válidas para quaisquer vetores a e b. E. 4.3 Exercício. Este Exercício contém algumas identidades úteis sobre o produto vetorial. a. Demonstre as igualdades a b c = b c a = c a b, 4.13 válidas para quaisquer vetores a, b e c. Sugestão: use a ciclicidade do símbolo de Levi-Civita. b. Demonstre a identidade válida para quaisquer vetores a, b e c. Sugestão: use 4.7. a b c = a c b a b c, 4.14 c. Demonstre a identidade de Jacobi 4 para o produto vetorial: a b c + b c a + c a b = 0, 4.15 válida para quaisquer vetores a, b e c. Sugestão: use 4.14 ou 4.7, ou use diretamente d. Demonstre a identidade a b c d = a c b d a d b c, 4.16 válida para quaisquer vetores a, b, c e d. Sugestão: use 4.7. Mostre que a b c = 0 se e somente se a, b e c forem linearmente dependentes. Gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano Com as convenções de acima denotamos o vetor posição no espaço tridimensional R 3 em coordenadas Cartesianas 5 por x = x 1ˆx+x ŷ + x 3ẑ. Para um campo vetorial v = v 1ˆx+v ŷ + v 3ẑ, onde as coordenadas x 1, x, x 3 são funções diferenciáveis das coordenadas Cartesianas x 1, x e x, definimos o divergente de v, denotado por v, por v j v := = δ ij. x i x i Definimos o rotacional de v, denotado por v, como sendo o campo vetorial cuja i-ésima componente é dada por v := ε ijk v k. i x j Para um campo escalar φ φx 1, x, x 3, suposto uma função diferenciável das coordenadas Cartesianas x 1, x e x, definimos o gradiente de φ, denotado por φ, como sendo o campo vetorial dado por 4 Carl Gustav Jacob Jacobi René Descartes φ := φ x 1ˆx+ φ x ŷ + φ x 3 ẑ. Para um campo vetorial v = v 1ˆx+v ŷ +v 3ẑ denotamos por v o operador diferencial v :=. x i Assim, se φ é um campo escalar, v φ coincide com o produto escalar de v com o gradiente de φ: v φ = φ = v φ, enquanto que se u é um campo vetorial, v u denota o campo vetorial cuja j-ésima componente é ou seja, v u := v u := j E. 4.4 Exercício. Demonstre as seguintes identidades: u 1 ˆx+ u j, u ŷ + u 3 ẑ. φψ = φ ψ +ψ φ, 4.17 a b = a b + b a + a b+ b a, 4.18 φ a = φ a+ a φ, 4.19 φ a = φ a + φ a, 4.0 a b a b = b a a b, 4.1 = b a a b+ b a a b. 4. Acima φ e ψ são campos escalares e a e b são campos vetoriais, todos diferenciáveis. Sugestões: use a regra de Leibniz. Para 4.18 calcule a b + b a usando 4.7. Para 4., use 4.7. E. 4.5 Exercício. Mostre que se a é um campo vetorial duas vezes diferenciável vale a = Mostre que se φ é um campo escalar duas vezes diferenciável vale φ = Se φ é um campo escalar duas vezes diferenciável, o chamado Laplaciano 6 de φ, denotado por φ, por φ ou por φ, é definido como sendo o campo escalar dado por φ := φ Pierre-Simon Laplace

3 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 34/7 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 35/7 Assim, tem-se em coordenadas Cartesianas φ φ = x. 4.6 i Se v = v 1ˆx+v ŷ+v 3ẑ é um campo vetorial duas vezes diferenciável, define-se Laplaciano de v, denotado por v, como sendo o campo vetorial cuja i-ésima componente em coordenadas Cartesianas é Assim, v := = i x. j v = v 1 ˆx+ v ŷ x j x + v 3 ẑ j x. j E. 4.6 Exercício. a. Mostre que se φ e ψ são dois campos escalares duas vezes diferenciáveis, vale φψ = φψ + φ ψ +φ ψ. 4.7 Sugestão: use a definição 4.5 e as identidades 4.17 e 4.19 ou use 4.6 e a regra de Leibniz. b. Mostre que se a é um campo vetorial duas vezes diferenciável, vale a = a a. 4.8 Sugestão: use Teoremas Clássicos sobre Integrais de olume e de Superfície No que segue, listamos alguns teoremas clássicos importantes envolvendo integrais de volume e de superfície de campos em R 3. Teorema 4.1 Teorema de Gauss 7 Se v é um campo vetorial diferenciável definido em um volume compacto e conexo R 3, limitado por uma superfície fechada, retificável e orientável, então v d 3 x = v d σ, onde d σ x := ˆn xdσ x, ˆn x sendo um vetor unitário normal a em x, direcionado no sentido do exterior de e dσ x sendo a medida de área de. A demonstração desse resultado clássico pode ser encontrada em qualquer bom livro de Cálculo de funções de várias variáveis. Teorema 4. Teorema de Stokes 8 Se v é um campo vetorial diferenciável definido em uma superfície compacta, conexa, orientada e retificável S R 3, limitada por uma curva fechada, retificável e orientável S, então v d σ = v d l, S S onde d σ x := ˆn xdσ x, ˆn x sendo um vetor unitário normal a S em x S, direcionado no sentido positivo de S e d l x = ˆt xdl, ˆt x sendo um vetor tangente a S em x S orientado no sentido positivo de S e dl é a medida de comprimento de S. A demonstração desse resultado clássico pode ser encontrada em qualquer bom livro de Cálculo de funções de várias variáveis. Teorema 4.3 Identidades de Green 9 Sejam f e g funções definidas em um volume compacto e conexo R 3, limitado por uma superfície fechada, retificável e orientável, ambas as funções sendo duas vezes diferenciáveis no interior 0 de e diferenciáveis em. Então, valem as seguintes identidades: Primeira identidade de Green: Segunda identidade de Green: Terceira identidade de Green: [ ] f g+ f g d 3 x = f g g f d 3 x = f g d σ. 4.9 f g g f d σ f d 3 x = f d σ Prova. A expressão 4.9 segue imediatamente do Teorema de Gauss, Teorema 4.1, página 34, para v = f g, pois f g = f g + f g, como facilmente se constata por A expressão 4.30 segue imediatamente do Teorema de Gauss para v = f g g f, pois f g g f = f g g f, como facilmente se constata por A expressão 4.31 segue imediatamente do Teorema de Gauss para v = f. As identidades de Green são amplamente empregadas no estudo das equações de Poisson e Laplace. Teorema 4.4 Teorema do gradiente Se φ é um campo escalar diferenciável definido em um volume compacto e conexo R 3, limitado por uma superfície fechada, retificável e orientável, então φ x d 3 x = φ x d σ, onde d σ x := ˆn xdσ x, ˆn x sendo um vetor unitário normal a em x, direcionado no sentido do exterior de e dσ x sendo a medida de área de. Prova. Basta aplicar o Teorema de Gauss para o campo v x = αφ x, α sendo um vetor constante arbitrário. Teorema 4.5 Teorema do rotacional Se v é um campo escalar diferenciável definido em um volume compacto e conexo R 3, limitado por uma superfície fechada, retificável e orientável, então v x d 3 x = v x d σ = v x ˆn x dσ, onde d σ x := ˆn xdσ x, ˆn x sendo um vetor unitário normal a em x, direcionado no sentido do exterior de e dσ x sendo a medida de área de. 9 George Green Johann Carl Friedrich Gauss George Gabriel Stokes

4 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 36/7 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 37/7 Prova. A demonstração pode ser feita componente a componente. Para a componente 1, definimos o campo vetorial w = 0ˆx+v 3ŷ v ẑ. Com isso, é fácil constatar que v = w. Assim, usando o Teorema de Gauss, Teorema 1 4.1, página 34, temos que v x 1 d3 x = w x d 3 x Gauss = w x d σ = v x d σ 1, como facilmente se constata. Para as demais componentes a prova é análoga. 4.3 O Laplaciano em Sistemas de Coordenadas Gerais Nesta seção apresentaremosuma identidade que permite, no espaço R n, expressarolaplaciano de uma função escalarem qualquer sistema de coordenadas 10, ao menos localmente. Isso é particularmente útil em duas e três dimensões espaciais, pois há muitos problemas em Física vide Capítulo 1, página 899 nos quais coordenadas polares, esféricas, cilíndricas ou outras se prestam melhor ao tratamento do que coordenadas Cartesianas, permitindo, por exemplo, explorar melhor as simetrias geométricas que se apresentam. No que segue, denotaremos por x 1,..., x n um sistema de coordenadas Cartesianas em R n e por y 1,..., y n um segundo sistema de coordenadas, não-necessariamente Cartesianas, em R n. Suporemos que as funções x k y 1,..., y n, k = 1,..., n, sejam definidas em algum aberto conexo Ω R n e sejam ao menos duas vezes diferenciáveis. Definimos a matriz Jacobiana 11, denotada por J Jy 1,..., y n, como sendo a matriz como sendo a matriz n n definida em Ω cujos elementos ab são dados por J aby 1,..., y n := xb y ay1,..., y n, a, b = 1,..., n. Definimos o tensor métrico, ou matriz métrica, g gy 1,..., y n como sendo a matriz n n definida em Ω dada por g := JJ T e, assim, para seus elementos de matriz g ab g aby 1,..., y n, temos n x g ab := c x c y a, a, b = 1,..., n. 4.3 yb c=1 Se A : R n R n é um campo vetorial, então o divergente de A pode ser expresso nas coordenadas y 1,..., y n por onde A j é a j-ésima componente de A no sistema y 1,..., y n. A 1 n = detga j detg y j, 4.33 Se f : R n R é um campo escalar, então seu Laplaciano pode ser expresso nas coordenadas y 1,..., y n por 1 n n detg f = g 1 f detg y j jk y k, 4.34 sendo g 1 a matriz inversa da matriz g. Observe-se que as expressões 4.33 e 4.34 só são válidas nos pontos em que detg 0 e observe-se também que detg = detj por que?. Assim, 4.33 e 4.34 não estão definidas nos pontos em que a transformação de coordenadas x 1,..., x n y 1,..., y n for singular ou seja, quando detj se anula. A demonstração das relações 4.33 e 4.34 é apresentada na Seção 36..4, página 173, e faz uso de noções de Geometria Riemanniana. Há também uma elegante maneira de obter essas expressões fazendo uso de formas diferenciais. ide para tal [38] ou qualquer outro bom livro sobre Geometria Diferencial. 10 Naturalmente, o leitor mais avançado sabe que certas condições tem de ser supostas sobre o sistema de coordenadas e que tipicamente garantam a não-singularidade e um grau suficiente de diferenciabilidade. 11 Carl Gustav Jacob Jacobi amos agora tratar de exemplos simples de aplicação de Algumas das expressões que obteremos serão usadas neste texto, notadamente no Capítulo 1, página 899. Coordenadas polares em duas dimensões Em R, além das coordenadas Cartesianas usuais x 1, x x, y, podemos definir também coordenadas polares y 1, y ρ, ϕ, com 0 ρ < e π < ϕ π e tem-se x = ρcosϕ, y = ρsenϕ. É elementar constatar que a matriz Jacobiana é dada nesse caso por J = cosϕ senϕ. ρsenϕ ρcosϕ Note-se que detj = ρ e, portanto, Ω = R \{0} é a região onde a transformação de coordenadas x, y ρ, ϕ é não-singular. A matriz métrica g e sua inversa g 1 são dadas por g = e g 1 =, 0 ρ 1 0 ρ verifique! sendo que detg = ρ. De posse dessas informações é elementar obter de 4.34 a expressão f = 1 ρ f + 1 f ρρ ρ ρ ϕ, 4.35 que fornece o Laplaciano de f em duas dimensões em coordenadas polares, expressão essa válida para ρ > 0. Coordenadas esféricas em três dimensões Em R 3, além das coordenadas Cartesianas usuais x 1, x, x 3 x, y, z, podemos definir também coordenadas esféricas y 1, y, y 3 r, θ, ϕ, com 0 r <, 0 θ π e π < ϕ π e tem-se x = rsenθcosϕ, y = rsenθsenϕ, z = rcosθ A coordenada r [0, é denominada coordenada radial, a coordenada θ [0, π] é denominada coordenada longitudinal a coordenada ϕ π, π] é denominada coordenada azimutal. A matriz Jacobiana J pode ser facilmente calculada e obtém-se senθcosϕ senθsenϕ cosθ J = rcosθcosϕ rcosθsenϕ rsenθ. rsenθsenϕ rsenθcosϕ 0 É fácil constatar que detj = r senθ e, portanto, a transformação de coordenadas x, y, z r, θ, ϕ é não-singular na região Ω = R 3 \Z, onde Z é o eixo z : Z = {x, y, z R 3, x = y = 0}. A matriz métrica g e sua inversa g 1 são dadas por g = 0 r 0 e g 1 = 1 0 r 0, 0 0 r senθ r senθ verifique! e tem-se detg = r senθ. Com 4.34 obtém-se para o operador Laplaciano em três dimensões em coordenadas esféricas a expressão f = 1 [ r r f + 1 senθ f 1 ] f + r r senθ θ θ senθ ϕ, 4.37

5 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 38/7 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 39/7 que também pode ser escrita como f = 1 1 rf + r r r senθ θ senθ f θ 4.4 Coordenadas Esféricas em n Dimensões 1 f + r senθ ϕ Nesta seção sairemos dos limites do espaço tridimensional e descreveremos como podemos generalizar o sistema de coordenadas esféricas, que apresentamos acima vide 4.36 para os espaços R n com n 3. eremos que há nesse caso uma coordenada radial r [0, e n 1 coordenadas angulares, a saber, uma coordenada azimutal ϕ π, π] e n coordenadas longitudinais θ 3,..., θ n, com θ k [0, π], k = 3,..., n. Bolas e esferas em R n Aqui consideramos n N, com n > 1. A bola aberta de raio R > 0 centrada na origem { em R n é o conjunto de todos os pontos de R n que distam da x origem menos que R, ou seja, é o conjunto B 0R := 1, x,..., x n R n x 1 } + + x n < R. A esfera { unitária em R n, denotada por S n 1, é o conjunto dos pontos de R n que distam exatamente 1 da origem: x S n 1 := 1, x,..., x n R n x 1 } + + x n = 1. Observe que S n 1 é uma superfície uma variedade n 1-dimensional. Denotaremos por nr o volume n-dimensional da bola B 0R e por S n 1 o volume n 1-dimensional da esfera S n 1. No que segue determinaremos essas duas quantidades de duas meneiras. olumes de bolas e esferas em R n Em S n 1 existe uma medida de integração invariante pela ação do grupo de rotações On, a qual denotamos por dω n 1, e que é normalizada de sorte que S n 1 dω n 1 = S n 1. Logo adiante, quando apresentarmos o sistema de coordenadas esféricas em R n, apresentaremos também uma expressão explícita para essa medida em coordenadas esféricas eq. 4.45, página 41. Lema 4.1 Para todo n N com n valem e S n 1 π n/ = Γ n 4.39 nr = S n 1 Rn n = πn/ Γ Rn n n, 4.40 onde Γ é a Função Gama de Euler vide Capítulo 7, página 78. n Prova do Lema 4.1. A integral múltipla I n := e x 1 x n dx1 dx n é igual a e x dx = π n/ integral de Laplace. Por outro lado, podemos escrever I n = e r r n 1 drdω n 1 = S n 1 e r r n 1 dr t=r = Sn 1 e t t n 1 dt = Sn 1 n Γ, 0 S n onde Γ é a Função Gama de Euler, estudada no Capítulo 7, página 78. Assim, S n 1 = π n/ /Γn/. É também claro que R R nr = 1 r n 1 drdω n 1 = S n 1 r n 1 dr = S n 1 Rn 0 S n 1 0 n. Note-se que S n 1 = d dr nr R=1. Nota. A relação 4.39 pode ser obtida, com menos elegância e simplicidade, por integração direta em coordenadas esféricas em n-dimensões. ide adiante, e particularmente, vide 4.47, página 41. É um fato notável que, contrariando talvez a intuição, a relação 4.40 diz-nos que para qualquer R 0 vale lim n nr = 0, ou seja, o volume da bola n-dimensional vai a zero quando a dimensão n vai ao infinito, e isso para qualquer R 0. Isso se deve ao rápido crescimento da função gama de Euler. Por 4.39, tem-se também lim n S n 1 = 0. E. 4.7 Exercício. erifique que nos casos n = e n = 3 as fórmulas 4.40 e 4.39 reproduzem os resultados bem-conhecidos: R = πr, S 1 = π e 3R = 4 3 πr3, S = 4π. Coordenadas esféricas em n dimensões O conhecimento de coordenadas esféricas em n dimensões é útil para vários propósitos, por exemplo, para o estudo de generalizações das funções harmônicas esféricas usualmente definidas na esfera unitária bidimensional, S para a esfera unitária S n, com n. Essas coordenadas serão úteis também no estudo da transformada de Fourier de funções esfericamente simétricas, assunto tratado na Seção , página Consideremos n N com n 3. Seja { e 1,..., e n } um conjunto de n vetores ortonormais em R n. Se x R n, podemos escrever x = n xk e k, com x k = e k x = e k, x R, o produto escalar dos vetores e k e x. Consideremos x 0 e seja θ n o ângulo entre x e e n, medido a partir deste último. Naturalmente, θ n [0, π] e x n = x cosθ n. Doravante vamos denotar x por r. Com isso, podemos escrever x = rcosθ ne n +x n 1, onde x n 1 é a componente de x no subespaço ortononal a e n, que vem a ser o subespaço gerado por {e 1,... e n 1}, subespaço este que denotaremos por [ e 1,..., e n 1 ]. É relavante observar que x n 1 = rsenθ n, pois x n 1 = r r cosθ n = r cosθ n, já que e n e x n 1 são ortogonais e já que senθ n 0 quando θ n [0, π]. Procedendo analogamente, podemos escrever x n 1 = xn 1 cosθn 1e n 1 +x n, onde θ n 1 [0, π] é o ângulo entre e n 1 e x n 1 e x n é a projeção de x n 1 no subspaço [ e 1,..., e n ]. Temos também xn = xn 1 senθn 1 = rsenθ nsenθ n 1. Com isso, obtivemos com x = rcosθ ne n +rsenθ ncosθ n 1e n 1 +x n. Repetindo o procedimento, teremos após j < n 3 passos com θ n j [0, π], com x n j [ e 1,..., e n j ] e com x n j = x n j cosθ n je n j +x n j 1, xn j 1 = xn j senθn j = rsenθ n senθ n j x = rcosθ ne n + j p=1 r senθ n senθ n p+1 cosθ n pe n p +x n j 1. Ao chegarmos ao passo j = n 3 o vetor x n j 1 = x será elemento do subespaço [ ] e 1, e, e poderemos escrever x = x cosϕe 1 + senϕe = rsenθ n senθ 3 cosϕe 1 + senϕe com ϕ π, π].

6 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 40/7 JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. ersão de 8 de maio de 017. Capítulo 4 41/7 Temos, portanto, n 3 x = rcosθ ne n + r senθ n senθ n p+1 cosθ n pe n p p=1 +rsenθ n senθ 3senϕe +rsenθ n senθ 3cosϕe E. 4.9 Exercício. Convença-se geometricamente ou algebricamente da validade dessas afirmações! Por 4.3, o k-ésimo elemento da diagonal de g n é dado por n, x j y expressão cujo cômputo, ainda que um k tanto maçante, pode ser feito com relativa facilidade. O resultado é g n = diag 1, r senθ n senθ 3, r senθ n senθ 4,..., r senθ n, r. Consequentemente, para as coordenadas de x na base { } e 1,..., e n, x 1 = rsenθ n senθ 3cosϕ, x = rsenθ n senθ 3senϕ, x 3 = rsenθ n senθ 4cosθ 3, x 4 = rsenθ n senθ 5cosθ 4, 4.4 E Exercício. erifique! Como detg n = detj n, temos detj n = r n 1 senθ n n senθn 1 n 3 senθ4 senθ3. Assim, a mudança do elemento de volume de integração quando da passagem do sistema Cartesiano x 1, x,..., x n para o sistema de coordenadas esféricas n-dimensionais r, ϕ, θ 3,..., θ n é dx 1 dx n r n 1 senθ n n senθn 1 n 3 senθ4 senθ3 drdϕdθ 3 dθ n x n 1 = rsenθ ncosθ n 1, x n = rcosθ n. As relações 4.4 representam as transformações de coordenadas esféricas r, ϕ, θ 3,..., θ n em coordenadas Cartesianas x 1, x,, x n em R n. As transformações inversas poder ser facilmente inferidas daí, e podem ser expressas de diversas formas, por exemplo. como x r = x n, ϕ = arctan x /x 1 = arccos x 1 x 1, + x θ j = arccos x j x 1, j = 3,..., n. + + x j E. 4.8 Exercício. erifique! O Jacobiano e o elemento de volume de integração Denotando as variáveis esféricas r, ϕ, θ 3,..., θ n por y 1, y,, y n a matriz Jacobiana da transformação 4.4 é J n x 1, x,..., x n x 1 y x n 1 y 1 =. r, ϕ, θ 3,..., θ n..... x 1 y x n n y n Estamos interessados em calcular o determinante de J n, o determinante Jacobiano. Este pode ser obtido por indução em n, a ordem de J n, mas esse procedimento é um tanto complexo, de sorte que sugerimosum seguinte raciocínioalternativo. O sistema de coordenadas esféricas em n dimensões é um sistema ortogonal de coordenadas. Isso significa que as linhas coordenadas obtidas fixando-se n 1 coordenadas e variando a restante em seu domínio de definição são ortogonais em cada o ponto de R n. Isso implica que a matriz métrica g n = J njn T é uma matriz diagonal As coordenadasangularesϕ, θ 3,..., θ n podem ser reconhecidascomo coordenadaspara os pontos da superfícia S n 1. Reconhecemos disso que a medida invariante dω n 1 sobre a esfera unitária S n 1 é explicitamemte dada em coordenaas esféricas por dω n 1 = senθ n n senθn 1 n 3 senθ4 senθ3 dϕdθ 3 dθ n A medida de volume da bola n-dimensional e da esfera unitária n-dimensional Usando 4.44 vamos determinar o volume de uma bola de raio R 0 em R n centrada na origem. Esse volume é dado por R π π π nr := r n 1 senθ n n 3 n senθn 1 senθ4 senθ3 drdϕdθ 3 dθ n 0 π 0 0 = π Rn n π π n senθn dθn 0 0 senθn 1 n 3 dθn 1 π senθ3 dθ 3. 0 Por 7.115, página 315, vale para todo m N, π mdθ π Γ m+1 senθ = 0 m Γ m, onde Γ é a função gama de Euler, à qual dedicamos o Capitulo 7, página 78. Assim, nr = π Rn π Γ n 1 π n n Γ Γ n n n 3 Γ n 3 π Γ1 Γ 1 = n 1 π n 1/Γ n 1 R n n! n. Acima, usamosγ1/ = π vide7.18,página85. Escrevendon! = Γn 1eusandoafórmuladeduplicaçãode Legendre para Γ, relação 7.53, página 94, com a identificação z = n 1/, temos Γ n 1 /n! = π n /Γ n e com isso obtemos, finalmente, nr = πn/ Γ Rn n n O volume n 1-dimensional da esfera unitária em R n é dado por S n 1 d = dr nr = πn/ R=1 Γ n No Lema 4.1, página 38, mostramos como obter esse resultado de forma mais simples e elegante.