Esferas de Equilíbrio e Algumas Estimações de Processo de Contração Gravitacional

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1 SCIENTIA PLENA VOL., NUM Esfeas de Equilíbio e Algumas Estimações de Pocesso de Contação Gavitacional A. Sminov ;.M.M. Oliveia 2 Depatamento de Física, Univesidade Fedeal de Segipe,496-,Aacaju-Segipe, Basil 2 Depatamento de Física, Univesidade Fedeal de Segipe,496-,Aacaju-Segipe, Basil sminov@ufs.b, sminov.globe@gmail.com icadoxam@gmail.com (ecebido em 4 de novembo de 23; aceito em 6 de janeito de 25) Na pimeia pate do tabalho discutimos estados de copos sujeitos a ação da foça gavitacional usando um modelo hidodinâmico. Obtemos uma condição paa o estado de equilíbio de um copo na foma de uma equação difeencial que elaciona a distibuição de pessão e densidade de massa no copo.foam consideadas as distibuições de densidade de foma constante, potencial, exponencial e gaussiana. Foam obtidas as expessões exatas paa distibuição de massa e pessão. Os esultados também são apesentados gaficamente. Na segunda pate discutimos pocessos de contação de um copo esféico em temos de Mecânica Newtoniana usando modelo de poeia. Foi obtida a expessão paa estimação do tempo de contação até o aio gavitacional do copo. São apesentados valoes do tempo de contação paa os casos de copo inicial de tamanho estela e de tamanho de estela de nêutons. Palavas-chave: esfea de equilíbio, modelo hidodinâmico, contação gavitacional Equiliium Sphees and Some Estimates of Pocesses of Gavitational Contaction. In the fist pat of the wok we discuss states of objects subjected to the action of the gavitational foce using a hydodynamic model. We obtain a condition fo the state of equilibium of an object in the fom of a diffeential equation which elates the pessue distibution and mass density in the object. Thee wee consideed the density distibutions of the fom: constant, potential, exponential and Gaussian. Thee wee obtained exact expessions fo the distibutions of mass and pessue. The esults ae also pesented gaphically. In the second pat of the wok we discuss pocesses of contaction of a spheical body in tems of Newtonian Mechanics using dust model. Thee was obtained the expession fo estimate of the contaction time to the gavitational adius of the body. Figues of the contaction time fo initial body of a stella and neuton sta size ae shown. Keywods: equilibium sphee, hydodynamic model, gavitational contaction Intodução De acodo com uma visão modena uma estela é consideada como uma esfea massiva de gás (ou mais exato de plasma), mantida íntega pela foça de gavitação pópia. A estutua intena de estelas é bastante complicada e depende de massa estela. Paa estelas de massa sola (,5-,5 de massa sola) da sequência pincipal da diagama de Hetzspung-ussell a estutua intena inclui: um núcleo, uma zona de adiação e uma zona de convecção. As estelas massivas (com massa maio de,5 de massa de Sol) possuem núcleo convectivo acima de qual é localizada a zona de adiação (ou um envelope de adiação). Nas estelas de massa meno de,5 de massa de Sol a zona de adiação é ausente (diz-se que estelas possuem um envelope de convecção). Nas estelas da sequência pincipal a enegia está sendo geada pela queima de hidogênio em hélio atavés de fusão nuclea em seu núcleo. Na classificação de estelas foa da sequência pincipal são distinguidas estelas de tipos: subgigantes,gigantes, gigantes luminosas, supegigantes, hipegigantes, sub-anãs, estelas etadatáias azuis. Nas estelas destes tipos a enegia é geada pincipalmente pelo mecanismo de fusão nuclea. Além disso são consideadas as estelas pé-sequência pincipal. A fonte de enegia desses objetos é causada somente pela contação gavitacional em oposição à fusão nuclea em estelas de outos tipos. Estelas de 3483-

2 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 2 váios tipos possuem caacteísticas específicas de estutua, mecanismos da podução e tanspote de enegia. Paa alguns tipos de estelas são constuídos os bons modelos que descevem adequadamente as caacteísticas obsevadas das estelas, paa outos tipos os modelos estão em pocesso de constução e discussão. O modelo mais simples de estutua estela é a apoximação quase-estática de simetia esféica.uma discussão desse modelo é apesentada em efs. [], [2]. O modelo assume que a estela possui simetia esféica e está em estado de equilíbio hidostático. O modelo é baseado em um conjunto de equações difeenciais odináias. Duas equações descevem vaiação de matéia e pessão na dieção adial. Outas equações descevem vaiação da luminosidade e tanspote de enegia. Paa deteminação da luminosidade, pecisa da caacteística taxa de podução de enegia. Esta caacteística é deteminada atavés de um mecanismo pincipal de tanspote de enegia: adiação ou convecção.o conjunto das equações do modelo compõe um sistema das equações não lineaes, que pode se esolvido em geal po métodos numéicos. De fato nesse modelo as duas equações paa matéia e pessão são desacopladas das outas equações, pois elas não contém paâmetos como tempeatua, taxa de podução de enegia, luminosidade, potanto podem se consideadas sepaadamente. Impondo uma função da distubuição de densidade da matéia na estela, é possível obte a distibuição de pessão. Adicionando uma equação de estado paa paâmetos temodinâmicos, como po exemplo a equação de estado de um gás pefeito, é possível calcula a tempeatua na estela. Adicionando ainda uma elação apopiada paa taxa de podução de enegia, é possível estima a luminosidade da estela. De tal maneia pode se constuído um modelo analítico. Clao que esse modelo é simplificado, mas pemite faze estimações de algumas caacteísticas pincipais de estela, tais como: densidade cental, tempeatua cental, luminosidade em temos de aio e massa de estela. Tal foma de constução de modelo analítico foi discutida em ef. [3], onde foi usada a distibuição de densidade na foma linea,chamado modelo linea de estela. Entetanto, o uso da densidade na foma linea não paece muito ealístico. Nesse pequeno tabalho usamos os modelos analíticos com váias distibuições de densidade com aspectos mais ealísticos. Uma peculiaidade dos modelos popostos no tabalho é a possibilidade de esolve as equações difeenciais analiticamente. No tabalho focalizamos na obtenção da distibuição de pessão na dieção adial e pessão cental, ignoando a deteminação de outos paâmetos. Discutimos os modelos com distibuições de densidade das fomas potencial, exponencial e gaussiana. No início discutimos também um modelo com densidade constante paa demonsta tanspaentemente os passos ealizados nos cálculos, e paa intoduzi notações usadas posteiomente. As distibuições de massa e de pessão obtemos na foma analítica. Paa ealiza os cálculos foam usados váios métodos de física matemática disponíveis na liteatua, po exemplo [4], [5], [6]. Paa visualização e compaação dos esultados apesentamos também os esultados gaficamente. Na conclusão discutimos os esultados obtidos e suas aplicações possíveis. Na segunda pate do tabalho apesentamos na foma bem detalhada estimação de tempo de contação gavitacional de um copo esféico em modelo de poeia na abodagem da Mecânica Newtoniana. Paa desceve o pocesso na foma mais ealística foi discutida a contação do copo até o seu aio gavitacional. O poblema é levada a estimação de uma integal impópia com um limite vaiável. A estimação da integal foi ealizada com uso de decomposição em séie da função na integal. 2. Esfeas de Equilíbio Consideamos uma esfea de gás esfeicamente simético de aio em estado de equilíbio. A coodenada adial dento vaia como < <. Escolhemos um fagmento infinitesimal de volume dv dento da esfea. As foças que atuam no fagmento de volume dv são foças de pessão e foça gavitacional. Em estado de equilíbio a foça esultante é nula (foça gavitacional é equilibada pela foça de pessão), potanto (Ve Fig. ).

3 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 3 F g + F p + F p2 = () onde: F g = G M dm 2, F p = p Δs, F p2 = p 2 Δs (2) dm = ρdv = ρdδs é a massa do fagmento infinitesimal consideado, ρ é a densidade da substância de gás, p = p(), p 2 = p( + d) são pessões nos pontos indicados, Δs é um elemento infinitesimal de áea pependicula a dieção adial, M é a massa dento da esfea de aio. M = 4 πρ() 2 d (3) Levando em conta os sentidos das foças temos: G M ρdδs 2 + p()δs p( + d)δs = (4) Apesentando a difeença das pessões nos pontos póximos p() p( + d) = dp d d (5) Chegamos à equação difeencial odináia dp d = G M ρ (6) 2 que elaciona a função de distibuição de densidade da substância de gás ρ() e pessão p(). Na supefície da esfea a pessão é nula. Obtemos assim a condição de contono no ponto = p() = (7) Mostaemos váias fomas de distibuição de densidade da substância na esfea que faz com que obtenhamos soluções exatas paa distibuição de pessão. 2. Densidade Constante Escolhemos que a densidade da substância dento da esfea seja constante ρ() = ρ = const (8) Pela Eq. (3) temos paa M M = 4πρ 2 d = 4π 3 ρ 3 = 4πρ 3 ( 3 ) 3 (9)

4 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 4 Sendo que a massa total da esfea é M = 4πρ 3 3 () Paa deteminação de p() da Eq. (6) temos a equação difeencial ou dp d = G 4πρ 3 3 ( 3 ) ρ 2 2 dp d = 4πGρ 3 () com a condição de contono (7). esolvendo a Eq. (), temos p() p = 4πGρ d ( ) = 4πGρ ( ) onde p = p() é a pessão no ponto =. Aplicando a condição de contono (7), obtemos p = 2 4πGρ (2) As distibuições de ρ(), M (), p() são mostados na Fig. 2. p() = 4πGρ 2 2 ( 3 2 2) (3) Figua : Esquema das foças. 2.2 Função de Distibuição da Densidade na Foma Potencial

5 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 5 Escolhemos a distibuição de densidade da substância na foma potencial ρ() = ρ ( n n) (4) Pela Eq. (3) temos paa M M = 4πρ ( n n) 2 d = 4πρ 3 ( n = 4πρ 3 [ 2 2 d ( ) n+2 n+2 d ( ) ] n) 2 2 d ( ) = 4πρ 3 [ n+3 4πρ3 3 n + 3 n+3] = 3 3 [ 3 n (5) n + 3 n] Figua 2: Distibuição de ρ, M, p paa ρ = const. sendo que a massa da esfea é M = 4πρ 3 [ 3 3 n + 3 ] = 4πρ 3 3 n n + 3 (6) Paa deteminação de p() da Eq. (6) temos a equação difeencial

6 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 6 dp d = G 4πρ ( 3 n n + 3 n) 2 = 4πρ 2 3 n + 6 n ( n + 3 n + 3 2n (7) n + 3 2n) esolvendo a Eq. (7), temos p() p = 4πρ n + 6 n ( n + 3 n + 3 n + 3 2n 2n) d ( ) 4πρ [ d ( ) n + 6 n + 3 n+ n+ d ( ) + 3 n + 3 2n+ 2n+ d ( ) ] Figua 3: Distibuição de ρ, M, p paa ρ na foma potencial com n = 2,5,8 (M são funções cescentes). = 4πρ [ n + 6 n+2 (n + 3)(n + 2) 2n+2 (n + 3)(2n + 2) n+2 3 2n+2] = 4πρ [ 2(n + 6) n (n + 3)(n + 2) n + 3 2n (8) (n + 3)(n + ) 2n] Aplicando a condição de contono (7), obtemos p = 4πρ [ 2(n + 6) (n + 3)(n + 2) + 3 (n + 3)(n + ) ] (9)

7 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 7 potanto p() = 4πρ 2 2n 2n) {( 2(n + 6) (n + 3)(n + 2) + 3 (n + 3)(n + ) 2 2 ( 2(n + 6) n (n + 3)(n + 2) n + 3 (n + 3)(n + ) 2n 2n)} (2) As distibuições de ρ(), M (), p()são mostadas na Fig. 3 paa n = 2,5,8. No gáfico as distibuições de M () são funções cescentes. Obsevamos também que na função de distibuição de densidade (4) a potência n não é necessaiamente um númeo inteio e pode se qualque eal n >. 2.3 Função de Distibuição da Densidade na Foma Exponencial Figua 4: Distibuição de ρ, M, p paa ρ na foma exponencial ( M é uma função cescente). Escolhemos a distibuição de densidade da substância na foma ρ() = ρ [ 3 ] e (2) sendo que ρ() = ρ [ 3 ] e = 2 3e ρ (22)

8 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 8 Pela Eq. (3) temos paa M M = 4πρ [ 3 ] e 2 d = 4πρ 3 [ 3 ] e ( 2 ) d ( ) (23) Na Eq. (23) e ( ) 3 d ( ) = ( ) 3 e + 3 e ( ) 2 d ( ) (24) Potanto M = 4πρ 3 3 ( ) 3 e (25) sendo que a massa total da esfea é M = 4πρ 3e que pemite também esceve M como 3 M = M ( ) 3 e Paa deteminação de p() da Eq. (6) temos a equação difeencial dp d = 4πGρ 3 3 ( ) 3 e ρ [ 3 ] e 2 2 = 4πGρ 3 ( 3 ) e 2 (26) (27) (28) esolvendo a Eq. (28), temos Na Eq. 29 p() p = 4πGρ ( 3 ) e 2 d ( ) = 4πGρ [ ( ) e 2 d ( ) 2 3 ( ) e 2 d ( ) ] (29) potanto A integal ( ) 2 e 2 d ( ) = 2 ( ) 2 e 2 + ( ) e 2 d ( ) p() p = 4πGρ 2 2 [ ( ) e 2 d ( ) ( ) e 2 ] ( ) e 2 d ( ) = 2 e 2 ( + 2 ) + 4 (3) (3) (32)

9 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 9 potanto p() p = 4πGρ 2 2 [ ( ( ) (33) ) e 2 ] Aplicando a condição de contono (7), obtemos potanto p = G 4πρ ( 6 3e 2) (34) p() = 4πGρ 2 2 [( 3 6 3e 2) ( 6 + ( ( ) ) e 2 )] = 4πGρ e 2 [( ( ) ) e 2( ) ] (35) As distibuições de ρ(), M(),p(), São mostadas na Fig Função de Distibuição da Densidade na Foma Gaussiana Figua 5: Distibuição de ρ, M, p paa ρ na foma gaussiana ( M é uma função cescente). Escolhemos a distibuição de densidade da substância na foma gaussiana sendo que Pela Eq. (3) temos paa M ρ() = ρ [ e 2] 2 (36)

10 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) M = 4πρ [ 2 3 = 4πρ 3 [ e 2] 2 2 e 2] 2 2 d 2 ( ) 2 d ( ) = 4πρ 3 [ e 2 2 ( 2 ) d ( ) 2 3 e 2 2 ( 4 ) d ( ) ] (37) (38) Obsevando que de x2 = 2xe x2 dx (39) temos paa a integal e 2 2 ( ) 4 d ( ) = 2 ( ) 3 de 2 2 = 2 [( ) 3 e 2 2 = 3 2 [( ) e e 2 2 ( 2 ) d ( ) ] e 2 2 d ( 3] ) (4) que dá M = 4πρ 3 [ e 2 2 ( 2 ) d ( ) ( ) e 2 2 e 2 2 ( 2 ) d ( ) ] (4) Potanto M = 4πρ 3 3 ( ) 3 e 2 2 (42) Sendo que a massa total da esfea é M = 4πρ 3e 3 (43) Que pemite também esceve M como M = M ( ) 3 e 2 2 (44) Paa deteminação de p() da Eq. (6) temos a equação difeencial dp d = 4πGρ 3 3 ( ) 3 e 2 2 ρ [ e 2] 2 2 = 4πGρ 2 3 [ e 2 2] 2 (45)

11 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) esolvendo a Eq. (), temos p() p = 4πGρ [ 2 3 = 4πGρ [ 2 2 e 2 2] 2 d e 22 2 d e 2 2 d ] (46) Na Eq. (46) a integal e 2 2 d = 4 2 [ 2 = 4 [2 2 e 2 de 22 2 ] = 4 [2 2 e e 22 2 d (e 22 2 )] = 4 [( ) 2 e ] ] (47) E a integal e 22 2 d = 2 e 22 2 d ( 2 2) = 4 e 22 2 d ( 22 2 ) = 4 (e 22 2 ) (48) Potanto p() p = 4πGρ 2 2 [ 3 4 (e 22 2 ) + 6 [( ) 2 e ]] = G 4πρ [ + (2 ) e ] (49) Aplicando a condição de contono (7), obtemos p = G 4πρ (5) Potanto p() = 4πGρ ( 2 2 e 2 2) 2 (5) 3. Contação Gavitacional de um Copo Esféico Efetuamos algumas estimações de contação gavitacional de um copo em temos da mecânica Newtoniana. Supondo que o copo é esféico de massa M e de aio. Usaemos um modelo de poeia do copo, tal que as patículas do copo não poduzem pessão. Sob ação de foça gavitacional o copo sofe contação do aio inicial até o aio gavitacional g

12 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 2 g = 2GM c 2 (52) Supomos que a massa do copo é acima do limite Tolman-Oppenheime-Volkoff, que po estimações modenas tem valo em intevalo de.5 a 3. massas solaes. Escolhemos M = km com k = 3, onde M é a massa sola. Na supefície do copo uma patícula de pova sofe atação gavitacional pela massa total incluída na esfea. A foça que atua na patícula de pova de massa m é F g = G Mm 2 (53) Figua 6: Esquema paa dedução da equação de contação gavitacional. onde G é a constante gavitacional. Escevemos a equação de Newton paa a patícula de pova na supefície do copo m dv Mm (54) = G dt 2 onde é o aio atual da esfea, o sinal " " é poque o sentido da foça gavitacional é oposto ao sentido positivo da coodenada adial (ve Fig. 6). Supomos também que o pocesso de contação começa do estado de epouso, tal que em um instante temos ou paa velocidade da patícula na supefície Apesentando v() = (55) v() = (56) dv dt = dv d dv = v d dt d = dv 2 2 d (57) chegamos a equação difeencial paa v 2

13 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 3 dv 2 2 d = G M 2 ou dv 2 d = 2GM 2 (58) com a condição de contono (56). esolvendo a equação difeencial (58) v 2 () v 2 () = 2GM 2 d = 2GM = 2GM = 2GM ( ) = 2GM ( ) = 2GM (59) obtemos v() = 2GM (6) Na solução (6) é escolhido o sinal " " poque o sentido do veto de velocidade é oposto ao sentido positivo da coodenada adial (ve Fig. 6). Paa posição local da patícula de pova na supefície do copo temos a equação difeencial d dt = 2GM (6) com a condição inicial () = (62) Escevendo a Eq. (6) como 2GM d = dt (63) temos (64) t = 3 2GM d ( )

14 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 4 ou t = 3 2GM d ( ) (65) Intoduzindo uma vaiável x = (66) eescevemos a Eq. (65) na foma t = 3 2GM x x dx (67) Efetuamos uma estimativa do tempo t g de contação do copo do aio inicial até o aio gavitacional g que é dado pela expessão t g = 3 2GM x x dx = c 3 x g x dx g g (68) Supondo que o pocesso de contação começa paa um copo com densidade típica estela, obtemos estimação paa o limite infeio da integal na Eq. (68) g S (69) Paa um copo com densidade típica de estela de nêutons temos a estimação g N (7) Vemos que g (7) potanto aceitamos uma apoximação mais gosseia g (72) Apoximação mais exata apesentaemos mais a fente. Na apoximação (72) temos a integal

15 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 5 x x dx A integal (73) pode se calculada usando as funções Beta e Gama (73) x x dx = x 2( x) 2dx = B ( 3 2, 2 ) = Γ (3) Γ 2 () 2 Γ ( 3 + ) 2 2 = Γ ( 2 + ) Γ ( 2 ) Γ(2) = 2 [Γ ( 2 )] = 2 ( π)2 = π 2 (74) Ou po mudança de vaiável x = sin 2 t, x = cos 2 t, dx = 2 sin t cos t dt = x x dx = sin t 2 sin t cos t dt = 2 sin 2 t dt = ( cos 2t) dt cos t π 2 = π 2 2 sin 2t 2 = π 2 π π 2 π 2 (75) Então, obtemos a seguinte estimação paa t g t g = π c 3 g 2 (76) Paa um copo de tamanho estela temos t gs 29 min (77) Paa um copo de tamanho de uma estela de nêutons t gn s (78) Apesentaemos uma estimação mais exata paa a integal na Eq. (68) usando a apoximação (7) x x dx = x x dx x x dx g g (79) Na segunda integal na Eq. (79) temos paa a função x x dx = x x x x x9 2 + Ο (x 2 ) (8) potanto

16 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 6 g x x dx (8) = ( g ) ( g ) ( g ) 2 g + Ο (( ) 3 ) Então paa integal (79) obtemos a estimação x x dx = π 2 ( g ) g 3 2 ( ( g ) ( g ) 2 + Ο (( g ) 3 )) (82) Paa o tempo de contação podemos esceve t g = c 3 [ π 3 g 2 ( g ) 2 2 ( ( g ) ( g ) + Ο (( 3 g ) )] (83) A estimativa (83) de fato é bem gosseia, poque o campo gavitacional de um copo de aio bem póximo ao seu aio gavitacional é muito fote e ao invés da mecânica Newtoniana deve se aplicada a teoia da elatividade Geal. 4 Conclusão Neste tabalho foam discutidos modelos estelaes analíticos simplificados que incluem duas equações básicas: a equação de equilíbio hidostático e a equação de consevação de massa. Usando distibuição de densidade da massa na estela como uma deteminada função obtemos analiticamente a coespondente distibuição de pessão dento da esfea e deteminamos a pessão cental. Discutimos as distibuições de densidade da foma constante, potencial, exponencial e gaussiana. As distibuições popostas no tabalho são até um deteminado gau convencionais. Entetanto elas são mais ealísticas (exceto o exemplo de densidade constante) compaando, po exemplo, com o modelo estela linea. Paa modelagem de estelas com um núcleo extenso é mais apopiada a distibuição da foma potencial; Vaiação do gau da função potencial possibilita modela a extensão do núcleo estela.paa modelagem de alguns tipos de estelas é mais apopiado utiliza um modelo com densidade na supefície não nula. As distibuições exponencial e gaussiana ealizam esse mesmo cenáio. Em alguns casos pode se conveniente faze estimações, utilizando a condição de contono no infinito.os modelos com as distibuições exponencial e gaussiana podem se facilmente efomulados paa a condição de contono no infinito: p() = quando. No caso da distibuição exponencial a coespondente solução toma à foma: p() = 4 πg ρ ( ( ) ) e 2 p = 4πGρ No caso da distibuição gaussiana a solução tem a mesma foma das Eqs.(5), (5) p() = 4πGρ ( e ) 2, p = G 4πρ

17 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 7 Paa da um exemplo de uma distibuição da densidade dento de estelas eais apesentamos na figua (7) a distibuição de densidade dento do Sol obtida pelo Bimingham Sola Oscillations Netwok (BiSON-3) da ef. [7]. Pestamos atenção que os dados na ef. [7] iniciam do valo de / =,58884 ( é o aio do Sol). Potanto paa constui o modelo de qualque foma é necessáio aplica uma hipótese sobe o intevalo cental < < in Paa estelas distantes é impossível obte a infomação tanta detalhada. Usando os dados obsevacionais dietos e indietos,fazem conclusões sobe as caacteísticas mais geais: luminosidade, massa, aio, caacteísticas espectais, etc.. Então, modelagem física matemática tona-se o único método de investigação da estutua intena das estelas.as funções popostas neste tabalho a título de distibuições da densidade podem se consideadas como funções de teste. Intodução de um paâmeto (ou váios paâmetos) na função possibilita ajusta a função a um aspecto mais apopiado pela vaiação do paâmeto. Se ainda satisfaze a popiedade de obtenção de soluções das equações do modelo na foma analítica podemos chega a um modelo (de fato a um classe de modelos) analítico exatamente solúvel com possibilidade de escolha e ajuste da função de distibuição da densidade. Tanta discussão de modelos analíticos exatamente solúveis vemos como uma das possíveis continuações deste tabalho. Na segunda pate do tabalho apesentamos estimação de tempo de contação gavitacional de um copo esféicamente simético em modelo de poeia em temos da Mecânica Newtoniana. Paa desceve o pocesso na foma mais ealística foi discutida a contação do copo até o seu aio gavitacional. O poblema é desenvolvido até a estimação de uma integal impópia com um limite vaiável. A estimação da integal foi ealizada com uso de decomposição em séie da função na integal. Pocesso de contação de um copo até o aio gavitacional em temos da Mecânica Newtoniana de fato é bem gosseia. Mais ceto tanto pocesso deve se consideado em temos da elatividade Geal. Entetanto em temos da elatividade Geal o poblema também pode se levada a estimação de uma integal impópia com um limite vaiável. Um modo de estimação da integal impópia demonstado nesse tabalho é possível usa paa um cálculo em temos da elatividade Geal. Tanta análise petendemos ealiza análise em um outo tabalho. Figua 7: Distibuição da densidade de massa no Sol segundo os dados de BiSON-3 [7]; a densidade ρ é apesentada em g/cm 3.

18 A.Sminov;.M.M. Oliveia., Scientia Plena, 3483 (25) 8 [] Clayton DD. Pinciples of Stella Evolution and Nucleosynthesis. New Yok: McGaw-Hill; 968. [2] Hansen CJ, Kawale SD, Timble V. Stella Inteios. New Yok: Spinge-Velag; 24. [3] Stein F. Stella Evolution: a Suvey with Analitic Models, in Stella Evolution. New Yok: Plenum Pess; 966. p [4] Boas ML. Mathematical Methods in the Physical Sciences. New Yok: John Wiley; 25. [5] Landau LD, Lifshitz EM. Couse of Theoetical Physics 2, The Classical Theoy of Fields. Oxfod: Pegamon Pess; 97. [6] Schutz BF. A Fist Couse in Geneal elativity. Cambidge: Cambidge Univesity Pess; 29. [7] Basu S, Chaplin WJ, Elswoth Y, New, Seenelli AM. Fesh insights on the stuctue of the sola coe. The Astophysical Jounal. 29; 699:43-47.