Análise do Campo Elétrico e da Taxa de Absorção Específica em um Modelo Simples da Cabeça Humana

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1 Análise do Campo Elétrico e da Taa de Absorção Específica em um Modelo Simples da Cabeça Humana Mariana Gen Moreira Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 667 Belo Horionte MG Brasil marianagen@gmail.com Resumo Este trabalho apresenta o cálculo numérico do campo elétrico e da distribuição da taa de absorção específica provenientes de uma antena dipolo de meio comprimento de onda em um domínio tridimensional constituído por três camadas dielétricas o qual simula um modelo simplificado da cabeça humana. Os cálculos foram realiados utiliando o método numérico Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD). Os valores analíticos de campo para esse modelo são apresentados e reconhecidos na literatura. Foram adotados seis pontos de teste no modelo descrito nos quais os valores de campo elétrico calculados no presente trabalho foram comparados com os respectivos valores analíticos. O erro médio apresentado na comparação foi de 8.% sendo que o menor erro 0.% se deu no segundo ponto (interface entre a segunda e terceira camadas) e o maior 5.6% no terceiro ponto (situado no interior da terceira camada). Os resultados apresentados permitem a validação do cálculo numérico realiado nesse trabalho. A partir dos valores de campo elétrico foi avaliada a taa de absorção específica cujo valor máimo encontrado não ultrapassa 0.5 W/kg estando abaio daqueles especificados por orgãos internacionais. análise do comportamento dos campos eletromagnéticos emitidos pelas antenas é complea e envolve solução numérica. Várias técnicas numéricas têm sido discutidas na literatura para calcular campos eletromagnéticos através de simulações computacionais como o método de elementos finitos (MEF) Zienkiewic and Talor 000 o método de linhas de transmissão (TLM) Christopoulos 997 o método dos momentos (MOM) Harrington 993 e o método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) Taflove 000. O FDTD destaca-se na solução de problemas que envolvem equações diferenciais parciais e no eletromagnetismo o método consiste em resolver diretamente a forma discretiada das equações de Mawell. No presente trabalho o método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) foi utiliado para realiar os cálculos de campo eletromagnético no domínio proposto. I. INTRODUÇÃO Este trabalho tem como objetivo calcular os valores de campo elétrico gerados por uma antena dipolo de meio comprimento de onda e a distribuição da taa de absorção específica (SAR) num domínio composto por três camadas dielétricas cujos materiais simulam as propriedades físicas do ar osso e cérebro humanos. Esse domínio simula um modelo simplificado da cabeça humana na presença de uma antena de telefone celular. A preocupação com os efeitos causados por eposição à rádio frequência (RF) vem crescendo nos últimos anos. Uma grande parte dessa preocupação refere-se à utiliação de telefones celulares justificada pela proimidade da antena junto à cabeça e pelo crescente número de pessoas que o utiliam (09 milhões até o final do mês de abril de 007 apenas no Brasil)ANATEL web. A taa de absorção específica é utiliada como medida de referência pelas principais normas e diretries internacionais de eposição segura às radiações não-ioniantes (ICNIRP ANSI/IEEE) para estabelecer o limiar fisiológico de risco INIRC 988 C A antena linear do tipo dipolo é uma das mais antigas simples de baio custo e em muitos casos a mais versátil em muitas aplicações Balanis 989. Este fato justifica a escolha dessa antena como objeto de estudo desse trabalho. Porém a II. DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO O Método das Diferenças Finitas do Domínio do Tempo (FDTD) vem se destacando na solução de problemas termo e eletrodinâmicos. No eletromagnetismo o método consiste em resolver diretamente a forma discretiada das equações de Mawell apresentadas abaio para meios lineares homogêneos e isotrópicos. H J i J c ε E () E µ H () B 0 (3) D q ev. (4) Nas equações acima E denota o vetor intensidade de campo elétrico H é o vetor intensidade de campo magnético B é o vetor indução magnética D é o vetor densidade de fluo elétrico J i a densidade de corrente elétrica J c é a densidade de corrente de condução σ é a perda magnética equivalente e q ev é a densidade volumétrica de carga elétrica. As propriedades do meio no qual a onda eletromagnética se propaga são descritas por ε a permissividade elétrica do material e por µ a permeabilidade magnética do material. Vale dier que cargas e correntes magnéticas não foram incluídas nas

2 equações acima pois não são utiliadas nos modelos presentes neste trabalho. As equações () e () podem ser re-escritas de modo a separar para cada componente as derivadas temporais e espaciais obtendo (5) a (0). ( µ E E ) σ (5) H ( µ E E ) σ H (6) H ( µ E E ) σ H (7) E E E ( ε H H ) σe J i (8) ( ε H H ) σe J i (9) ( ε H H ) σe J i. (0) Esse sistema de seis equações diferenciais acopladas é a base do algoritmo numérico FDTD para interações de ondas eletromagnéticas com objetos tridimensionais em geral Taflove 000. O Algoritmo de Yee representado na Figura descreve a relação geométrica para a amostragem dos componentes dos campos elétrico e magnético que representam as equações de Mawell na forma dada pelas equações. (5) a (0). Na Fig. é possível observar a representação gráfica do rotacional dos campos elétrico (E) e magnético (H) na célula clássica de Yee. O algoritmo de Yee (definido pela célula clássica ou cubo de Yee) posiciona tridimensionalmente os componentes de E e H de modo que todo componente de E esteja circulado por componentes de H e todos os componentes de H estejam circulados por componentes de E. Dessa forma o algoritmo é capa de atender às leis de Farada e Ampère generaliadas e representar geometricamente tanto a forma diferencial quanto a forma integral das equações de Mawell. H E H H no espaço diretamente através das equações acopladas de Mawell sem recorrer à resolução de apenas um dos campos separadamente através da equação de onda. Uma malha formada pelas células de Yee possui atributos importantes como: i) capacidade de atribuir a cada célula propriedades eletromagnéticas diferentes representando regiões constituídas ou preenchidas por materiais diferentes; ii) manutenção da continuidade dos campos tangenciais E e H entre interfaces de materiais diferentes desde que tais interfaces sejam paralelas aos eios coordenados. Assim não há necessidade de eplicitar condições de contorno especiais entre as interfaces; iii) na ausência de cargas elétricas (e magnéticas) os campos E e H não divergem. Designando por e os incrementos (espaçamentos) no espaço nas direções e respectivamente e por t o passo no tempo usamos a seguinte notação (i j k) (i j k ) () u (i j k n t) u n. () A equação () define um ponto no espaço e () representa o valor de uma função u (que serão os componentes de E ou H) num determinado ponto () em um determinado instante (t n t). Yee Yee 966 utilia epressões com diferenças finitas centrais tanto para derivações no espaço quanto no tempo obtendo até segunda ordem u un i (i j k n t) jk un i jk O( ) (3) u n u (i j k n t) un t O( t). (4) E Figura. H E Representação gráfica do Algoritmo de Yee H A principal vantagem do algoritmo de Yee é ser capa de solucionar os campos elétrico e magnético no tempo e H A equação (3) representa a derivada primeira parcial espacial de u na direção enquanto (4) é a epressão para a derivada primeira parcial temporal de u calculadas para o ponto (i j k) no instante n. Esta notação foi utiliada por Yee Yee 966 para possibilitar a intercalação dos componentes E e H no tempo em intervalos de t/ e facilitar a implementação do algoritmo. Utiliando () a (4) pode-se re-escrever as equações (5) a (0). Para eemplificar serão detalhadas apenas as passagens envolvendo a derivada temporal do componente E dado pela equação (0).

3 3 É possível obter E n E n t ε H n i jk H n i jk n ij k n ij k σ E n J i n. (5) Observe na equação acima que as quantidades relativas ao meio ε e σ estão vinculadas ao ponto (i j k) do espaço enquanto as derivadas de E e de H foram epressas seguindo (3) e (4). No entanto como o cálculo dos campos é feito de maneira intercalada o valor de E no tempo n ainda não foi obtido. Admite-se então que E n seja aproimado pela média simples dos valores de E no tempo n / (já calculado) e no tempo n / (que aparece no lado esquerdo da equação) ou seja E n E n E n. (6) Assim substituindo (6) em (5) obtém-se E n E n t ε H n i jk H n i jk n ij k n ij k E n σ E n J i n. Pode-se então isolar o componente desejado E n escrevendo ( σ ) t E n ε ( σ ) t E n ε ( ) t ε (7) obtém-se para o componente E a epressão ( σ t ) E n ε σ E t n ε ( ) t H n ε i σ. jk H n i jk t ε n ij k n ij k J i n (9) Os demais componentes inclusive para o campo magnético são obtidos de forma análoga e podem ser deduidas sem muita dificuldade. III. ANTENA DIPOLO Antena é um dispositivo cuja função principal é irradiar e receber energia eletromagnetica Harrington 993. Uma antena dipolo pode ser representada por dois condutores retilíneos (filamentares) alinhados contendo em seu comprimento total o tamanho desejado da onda que se deseja captar ou transmitir com a corrente orientada em uma direção - convencionalmente na direção - e alimentada por uma linha de transmissão balanceada isto é a corrente em cada fio tem a mesma amplitude mas oposta em fase Balanis 997. A Fig. apresenta a descrição geométrica de um dipolo finito de meio comprimento de onda alimentado por uma fonte de corrente elétrica I onde L/ representa o tamanho de cada braço do dipolo e P o ponto de observação. L/ L/ I ~ â r I r P H n i jk H n i jk n ij k n ij k J i n. (8) Finalmente dividindo ambos os lados por ( σ t ε ) Figura. Representação geométrica do dipolo finito Para um dipolo como o da Fig. a corrente deve ser igual a ero nas etremidades simétricas em e contínua na fonte ( 0). Dessa forma define-se a corrente I como I() I 0 sin k ( L ). (0)

4 4 Nesses termos os componentes de campo radiado por um dipolo de meia onda no espaço livre são representados pelas equações () a (3). E r jωµi 0e jkr 4πr E θ jωµi 0e jkr 4πr H φ jωµi 0e jkr 4πηr cos(θ) cos ( kl cos(θ)) cos ( ) kl k sin(θ) () cos(θ) cos ( kl cos(θ)) cos ( kl k sin(θ) ) () sin θ cos ( kl cos(θ)) cos ( ) kl.(3) k sin(θ) Para simular antenas dipolo através do método FDTD há de se considerar modelos de antenas filamentares. Os modelos de antenas filamentares são baseados na imposição de uma fonte de corrente em uma das etremidades da geometria normalmente posicionada no mesmo eio da antena. Nesse conteto eistem dois modelos de implementação bastante difundidos: i) Antenas Ideiais: infinitesimalmente fina com condutividade infinita; ii) Antenas Reais: raio pequeno porém finito condutividade finita. No caso do método FDTD a fonte de corrente é inserida através da definição da componente de campo elétrico na direção do eio da antena. Para ambos os casos se considerarmos o eio como sendo o de posicionamento da antena a equação (4) pode ser utiliada para definir a fonte de ecitação. No caso do dipolo a imposição de campo deverá ser feita na região de separação em ambos os braços. A Fig.3 ilustra a alimentação de um dipolo de meia onda (comprimento igual a meio comprimento de onda). E n i gap j gap k gap V i gap j gap k gap R gap I o cos(ωt) (4) onde igap j gap k gap representa a região de separação entre os braços do dipolo V representa a tensão de alimentação R gap a resistência de entrada da antena I o a corrente inicial e ω a frequência angular. A interação de ondas eletromagnéticas com antenas contituídas por materiais condutores elétricos perfeitos mesmo que com raios pequenos requer representações matemáticas diferentes daquelas apresentadas pelo método FDTD para um domínio composto apenas de materiais dielétricos Taflove 000. Os componentes de campo magnético e de campo elétrico imediatamente adjacentes à antena necessitam de epressões especias que consideram por eemplo distribuições estáticas de campo e efeitos de acúmulo de carga ao longo da antena Mäkinen et al. 00. A Fig.4 mostra os componentes de campo H E e E situados do lado direito de uma antena linear. A disposição dos componentes respeita fielmente a Lei de Fadara e está colocada de acordo com o método FDTD. A idéia básica do modelo de antenas filamentares descrita por Umashankar et al. 987 é assumir a eistência de Figura 3. L/ L/ E E Alimentação de um dipolo de meia onda E / E i/jk H E i/jk E i/jk/ Figura 4. Representação integral da Lei Fadara para componentes de campo adjacentes à uma antena filamentar uma distribuição espacial de campo estático para os componentes de campo elétrico e magnético adjacentes. Assumiuse que o comportamento dos componentes era tal como se estivessem sendo alimentados pela corrente local da antena Taflove 000: cada componente H próima à antena varia com /r onde r é a distância radial a partir do eio da antena (como por eemplo H i/jk/ da Fig.4); cada componente E próima à antena também varia com /r (E i/jk da Fig.4); cada componente E pertencente ao mesmo eio da antena

5 5 H Figura 5. I S C H H I H S C Lei de Ampère aplicada a um campo magnético tangencial à antena O C P P H C h u P h P u / C e a dependência de /r na direção radial permitem afirmar que a amplitude do campo magnético decresce segundo OP OP. A direção do campo h θu θ em P é tangencial ao caminho C. Projetando o campo tangencial na direção h h θ u θ u h θ cos θ. Integrando ao longo de C e dividindo pelo comprimento desse mesmo caminho tem-se: / / / cos θ d (7) 0 ( /) arctan( ). (8) O fator é obtido de forma similar e é dado por: arctan( ). (9) Considerando o modelo proposto por Umashankar et al. 987 e as modificações propostas por Mäkinen et al. 00 as epressões para os campos adjacentes à uma antena linear no eio como a da Fig.4 são dadas por: Figura 6. Seção transversal de uma célula é definida nula (por eemplo E / da Fig.4). Essas definições devem ser aplicadas para todos os componentes de campo no entorno da antena. Nos outros pontos do domínio em estudo as equações são aquelas usuais descritas pelo método FDTD. Algumas modificações forma propostas por Mäkinen et al. 00 afim de melhorar a precisão do modelo são elas: cada componente H próima à antena deve ser projetada em seu respectivo plano Cartesiano quando utiliada para atualiar os componentes E radiais; cada componente E próima à antena deverá ser projetada do plano Cartesiano à superfície cilíndrica ocupada pelo componente H a ser atualiado. Consideremos o cálculo dos componentes de campo magnético mostrados na Fig.5. Para faer a projeção dos campos no plano cartesiano utilia-se a Lei de Ampère e dessa forma tem-se: I H dl H dl. (5) C C O fator presente na Fig.5 é determinado pelo comprimento relativo dos caminhos de integração C e C : C dl. (6) C dl Eaminemos a Fig.6 a fim de calcular o fator relativo ao componente H o componente de campo magnético ao longo do círculo C a uma distância de / do eio da antena é projetado na célula (em coordenadas caratesianas) C. Devido à simetria do problema pode-se considerar apenas a metade na célula como mostrado na figura. A projeção do componente no ponto P em C em P ao longo de E n i/jk E n i/jk t ɛ 0 H n/ i/jk/ H n/ i/jk/ t ɛ 0 H n/ i/j/k H n/ i/j/k H n/ i/jk/ H n/ i/jk/ tk E µ 0 E n i/jk E n i/jk t µ 0 ln( /a) E n ijk/ E n / (30) onde a é o raio da antena arctan e k E. Para calcular os componentes E e as equações são análogas basta inverter as relações espaciais e. IV. TAXA DE ABSORÇÃO ESPECÍFICA Em 998 a ICNIRP organiação independente e reconhecida em todo o mundo anunciou as diretries que recomendam os limites de eposição à rádio-frequência (RF) fornecendo grandes margens de proteção para toda a população. As diretries do ICNIRP vêm sendo amplamente adotadas em muitos países e se tornaram padrões de segurança. Essas diretries são aplicadas a telefones celulares estações rádio-base e outros dispositivos sem fio. Todos os efeitos estabelecidos de eposição à RF nas frequências utiliadas pela telefonia móvel relacionam-se ao aquecimento (efeitos térmicos). Quando a energia da onda de rádio é absorvida pelos nossos corpos um efeito de produ ao de calor pode ocorrer dependendo da intensidade de eposição.

6 6 Os limites para eposição foram estabelecidos de acordo com parâmetros que consideram a quantidade energia absorvida por um volume de massa. Um desses parâmetros é a Absorção Específica e é dado por SA dw dm dw ρ dv. (3) A equação (3) define a Absorção Específica como o quociente da energia absorvida (dw ) por um elemento massa (dm). A massa por sua ve possui uma determinada densidade (ρ) e está contida num volume (dv ) C A Absorção Específica é dada em Joule por kilograma J/kg. Segundo C a SAR ou taa de absorção específica é a variação no tempo da energia absorvida num elemento de massa dm e densidade ρ e é dado por: SAR d dt (dw dm ) d dt ( dw ). (3) ρ dv Ou seja é a medida da taa de energia para cada RF absorvida pelo corpo humano (volume de massa) quando eposto a um campo eletromagnético. Outra equação que também define a SAR é dada por: SAR σ E ρ. (33) onde σ é a condutividade da massa do corpo na qual é absorvida a radiação INIRC 988. Observa-se a partir das equações acima que a SAR é diretamente proporcional ao aumento local de temperatura e por isso é responsável pelos efeitos térmicos ou seja: dt/dt (/Cp)SAR C/s onde T é a temperatura e Cp é o calor específico do tecido C V. RESULTADOS O modelo proposto é uma reprodução daquele utiliado por King 993 em seus cálculos analíticos dos campos elétrico e magnético de um dipolo de meia onda na presença de uma região composta por três camadas (ar osso e cérebro). Conforme dito o modelo construído mostrado na Figura 7 é composto por uma antena dipolo de meia onda com cm de comprimento imersa no ar e localiada a cm (na direção ) de duas camadas de material dielétrico a primeira com cm e a segunda com 5cm de espessura. Esses materiais dielétricos têm propriedades semelhantes respectivamente ao osso (ɛ r 5 98 e σ S/m) e ao cérebro (ɛ r 50 3 e σ 34 S/m) humanos. Nesse modelo a frequência de operação da antena dipolo é de 900 MH (λ 0 333m) e a corrente de alimentação é de 00mA. Para esse modelo foi utiliada uma célula irregular com 5 mm (0 05λ) nas direções e e de 93 mm (0 07λ) na direção. Assim a antena possui 3 células a distância entre a antena e a primeira camada (osso) possui 4 células a camada de osso possui células de espessura e a de cérebro 50 células. Como para este modelo os cubos da malha construída não são regulares possuem 5mm 5mm 93mm tem-se Figura 7. ar cérebro osso 5 Representação em D do Modelo de Camadas (em cm) aproimadamente 67 cubos por comprimento de onda nas direções e e 36 cubos na direção. O número de cubos presentes no modelo em todas as regiões satisfa as recomendações de Taflove 000 que sugere o uso de no mínimo 0 cubos por comprimento de onda na região de campo distante e um número bem maior de cubos por comprimento de onda para a região de campo próimo. Assim sendo podemos avaliar a malha construída como sendo de bom refinamento e que o critério de dispersão numérica está sendo respeitado. A simulação transcorreu por 0 ciclos senoidais a fim de garantir a convergência dos resultados. A solução analítica eata para esse problema é baseada na epansão dos campos do dipolo e em condições de contorno para interfaces planas estudadas por King 993. A Tabela I mostra os valores de campo elétrico calculados numericamente e analiticamente no domínio proposto. A Fig. Tabela I COMPARAÇÃO ENTRE OS VALORES DE CAMPO ELÉTRICO CALCULADOS NUMERICAMENTE PELO MÉTODO FDTD E ANALITICAMENTE PELAS EQUAÇÕES PROPOSTAS POR KING 993 Distância a partir da interface ar-osso cm Erro Campo elétrico V/m Analítico Numérico 0 7% % % % % % mostra a comparação entre os valores de campo elétrico calculados neste trabalho (linhas cheias) e aqueles calculados analiticamente (círculos) nos pontos de teste ilustrados na Fig.6. Pode-se observar pela Fig. 8 e pela Tabela I que a concordância entre os valores é boa e que os campos possuem o mesmo comportamento. Utiliando os valores do campo elétrico calculados via FDTD foi calculada a SAR para esse mesmo modelo através da equação (33). A Fig. 9 mostra a distribuição dos valores da SAR calculados para o modelo de camadas dielétricas ao longo do eio. Observando os valores apresentados na Figura 9 pode- 38

7 7 E V/m FDTD Analítico Distância a partir da interface arosso cm Figura 8. Comparação entre o campo elétrico calculado neste trabalho e o calculado analíticamente por King 993 SAR W/kg Figura Distância a partir da interface arosso cm Distribuição da SAR no modelo de camadas se perceber que o valor máimo de SAR em g de tecido é de aproimadamente 05 W/kg. As normas internacionais sugerem que o valor máimo da SAR deve estar abaio de 6 W/kg. É importante ressaltar que o modelo implementado é bastante simples e possui apenas dois materiais. VI. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO Foram calculados num domínio constituído por camadas dielétricas os campos eletromagnéticos emitidos por uma antena dipolo de meio comprimento de onda operando na frequência de 900 MH e a distribuição da SAR proveniente desse campo. O domínio é constituído por materiais com propriedades semelhantes ao osso e cérebro humanos afim de simular de forma simplificada a cabeça humana. Os valores da amplitude do campo elétrico nas camadas que simulam osso e cérebro humanos foram comparados com valores analíticos calculados pelas equações sugeridas em King 993. Os resultados obtidos apresentaram boa concordância com uma média de 8.% de erro relativo. No terceiro ponto de teste (primeiro ponto dentro da camada de cérebro) houve uma maior discrepância entre os resultados que acredita-se dever-se ao fato da mudança brusca de meios. No entanto considera-se que os resultados da comparação foram satisfatórios. A SAR obtida por meio dos valores de campo foi calculada para o mesmo modelo. Os valores encontrados são inferiores àqueles recomendados pelas instituições internacionais em todos os pontos. O ponto que apresentou maior intensidade de absorção foi o ponto situado na interface ar-osso conforme esperado já que encontra-se mais próimo à antena (fonte de radiação). Entretanto mesmo no ponto mais crítico o valor da taa de absorção específica não ultrapassou 0.5W/Kg. Os órgãos de saúde e proteção internacionais sugerem uma taa de.6w/kg para as mesmas condições. Ressalta-se que o modelo proposto nesse trabalho é simples e não simula com fidelidade as condições a que seres humanos estão epostos ao se submetrem à radiação proveniente de antenas de telefones celulares. VII. AGRADECIMENTOS Este trabalho foi financiado parcialmente pela CAPES e é parte da avaliação da disciplina Tópicos Especiais no Método de Diferenças Finitas no Domínio do Tempo ministrada pelo professor Jaime Arturo Ramire no primeiro semestre do ano de 008 junto ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFMG. REFERÊNCIAS ANATEL web ANATEL (web). Balanis 989 Balanis C. A. (989). Advanced Engineering Electromagnetics. J. W. and Sons New York NY. Balanis 997 Balanis C. A. (997). Antenna Theor - Analsis and Design. J. W. Sons - nd Edition New York NY. C C95. I. S. (999). Ieee standard for safet levels with respect to human eposure to radio frequenc electromagnetic fields 3 kh to 300 gh. IEEE Standards Coordinating Committee 8 on Non-Ioniing Radiation Haards. Christopoulos 997 Christopoulos C. (997). The transmission-line modeling method: Tlm. Antennas and Propagation Magaine IEEE 39. Harrington 993 Harrington R. F. (993). Field Computation b Moment Methods. Wile-IEEE Press. INIRC 988 INIRC (988). Guidance on limits of eposure to radiofrequenc electromagnetic fields in the frequenc range 00kh to 300gh. Health Phs. 54:5 3. King 993 King R. W. P. (993). The electromagnetic field of a horiontal eletric dipole in the presence of a three-laered region: Supplement. J. Appl. Phs. 74(8): Mäkinen et al. 00 Mäkinen R. Juntunen J. and Kivikoski M. (00). An improved thin-wire model for fdtd. IEEE Transactions on Microwave Theor and Techniques 50(5): Taflove 000 Taflove A. (000). Computational Electrodnamics - The Finite-Difference Time-Domain Method. Artech House Norwood MA. Umashankar et al. 987 Umashankar K. Taflove A. and Beker B. (987). Calculation and eperimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrar shaped cavit. IEEE Trans. on Antennas and Propagation 35: Yee 966 Yee K. (966). Numerical solution of initial boundar value problems involving mawells equations in isotropic media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation 4: Zienkiewic and Talor 000 Zienkiewic O. and Talor R. (000). The Finite Element Method. Butterworth-Heinemann Oford.