MÉTODO DE MOMENTOS APLICADO À SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO

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1 MÉTODO DE MOMENTOS APLICADO À SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO por Fábio Gonçalves Pereira Dissertação submetida à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós- Graduação em Modelagem Matemática Computacional do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção de título de mestre. Orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso Co-orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder Belo Horizonte 00

2 Aos meus pais, irmãos e amigos.

3 Agradecimentos Gostaria de expressar, primeiramente, meus profundos agradecimentos ao Professor Márcio Matias Afonso, meu orientador, pelos enriquecedores conselhos e sugestões, pelo encorajamento, pelo apoio, pela paciência, pela infinita disponibilidade de atendimento e, principalmente, pela competência com que conduziu este trabalho. Agradeço ao Professor Marco Aurélio de Oliveira Schroeder, meu co-orientador, por sua paciência, pelo encorajamento, pelas proveitosas discussões e por ter me despertado, ainda na graduação, o interesse pelo maravilhoso mundo do eletromagnetismo. Agradeço aos professores, amigos e colegas do CEFET-MG pelas discussões técnicas que muito contribuíram para este trabalho. Agradeço também a SUDECAP, em nome de Maria Célia Lamounier de Oliveira e Augusto César Santiago e Silva Pirassinunga, pela compreensão e apoio na realização deste trabalho. Agradeço minha família pelo auxílio e encorajamento durante esses anos de estudo. Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos a Nicole Patricia Silva, minha namorada, pela compreensão ao longo deste processo, pela cumplicidade, pelos inúmeros e sábios conselhos e pelo companheirismo incondicional. Gostaria de agradecer a todos os amigos que encontrei pela vida e que, de alguma maneira, contribuíram na construção de mais uma etapa da minha vida. 3

4 Resumo Este trabalho trata da aplicação do Método de Momentos a problemas de espalhamento eletromagnético. A solução desses problemas por meio de técnicas numéricas é objeto de intensas pesquisas em diversas áreas de engenharia, biomedicina, geofísica e outras. O Método de Momentos permite esses tratamentos com robustez e baixo custo computacional. As formulações numéricas são detalhadamente desenvolvidas e aplicadas a estruturas dielétricas e condutoras. As singularidades são devidamente extraídas. Os resultados obtidos são validados mediante comparação com a solução analítica. A análise de erro mostra que os resultados são bastante precisos. 4

5 Abstract The Moment Method is applied for solving electromagnetic scattering problems. The solution of these problems by numerical techniques is required in several areas of engineering, biomedicine, geophysics and others. The Moment Method provides reliable and accurate results with low computational effort. The numerical formulations are thoroughly developed and applied to conductive and dielectric structures. The extractions of the singularities are properly made. The results are validated by comparison with the analytical solution. The error analysis shows that the results are very accurate. 5

6 Sumário LISTA DE FIGURAS LISTA DE SÍMBOLOS CAPÍTULO INTRODUÇÃO... CAPÍTULO ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO...3. Introdução...3. Fenômenos de Espalhamento Eletromagnético Equações de Maxwell Relações Constitutivas e Características do Meio Equações de Onda Escalar Equação de Onda para o Campo Elétrico Equação de Onda para o Campo Magnético Condições de Interface Interface entre Dois Meios Quaisquer Interface com Um Condutor Elétrico Perfeito Interface entre Dois Dielétricos....6 Técnicas Numéricas para Solução de Problemas de Espalhamento Eletromagnético Técnicas Numéricas Diferenciais Técnicas Numéricas Integrais Sumário...6 CAPÍTULO 3 FORMULAÇÃO MÉTODO DE MOMENTOS Introdução Formulação para o Método de Momentos Formulação Integral para a Equação de Helmholtz Discretização Nodal da Fronteira Sumário...4 6

7 CAPÍTULO 4 RESULTADOS Introdução Espalhamento Eletromagnético D Análise do Espalhador Condutor Elétrico Perfeito Análise do Espalhador Dielétrico Sumário...53 CAPÍTULO 5 CONCLUSÃO...55 Referências Bibliográficas...56 APÊNDICE A...6 APÊNDICE B...68 APÊNDICE C...7 APÊNDICE D

8 LISTA DE FIGURAS. Espalhamento Eletromagnético: (a) Fontes (b) Espalhador...4. Interface de separação entre dois meios Geometria de estudo para o problema de espalhamento Simplificação do domínio (a) em três dimensões para o domínio (b) em duas dimensões Geometria de estudo para um espalhador bidimensional Representação dos elementos de primeira ordem: linear, quadrático e cúbico Discretização da fronteira Γ (a) em N elementos (b) Transformação geométrica de coordenadas Geometria do espalhador bidimensional Espalhador bidimensional condutor elétrico perfeito iluminado por uma onda plana e uniforme TM z Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito Erro médio e Erro Médio Absoluto Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito Erro médio e Erro Médio Absoluto Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito Erro médio e Erro Médio Absoluto Largura de Espalhamento Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador Erro Absoluto e Erro Médio Absoluto Largura de Espalhamento...53 A. Simplificação do domínio (a) em três dimensões para o domínio (b) em duas dimensões...6 8

9 LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos Alfanuméricos B= densidade de fluxo magnético (Wb/m²) D = densidade de fluxo elétrico (C/m²) E = intensidade de campo elétrico (V/m) E z = componente na direção z do vetor E i E = intensidade de campo elétrico incidente (V/m) s E = intensidade de campo elétrico espalhado (V/m) G 0 = função escalar de Green H = intensidade de campo magnético (A/m) H z = componente na direção z do vetor H i H = intensidade de campo magnético incidente(a/m) s H = intensidade de campo magnético espalhado (A/m) J = densidade de corrente elétrica de condução (A/m²) J z = componente na direção z do vetor J J = determinante da matriz Jacobiana J i = densidade de corrente elétrica impressa (A/m²) J s = densidade de corrente elétrica linear (A/m) K= densidade de corrente magnética (A/m²) K z = componente na direção z do vetor K K i = densidade de corrente magnética impressa (A/m²) K s = densidade de corrente magnética linear (A/m) N i = função de forma escalar n= vetor normal ˆ n= vetor unitário normal r= vetor de coordenadas no plano cartesiano S = superfície para o domínio Ω em 3D u = função escalar arbitrária 9

10 Símbolos Gregos β = número de onda para o espaço livre ( m ) Γ = fronteira para o domínio Ω em D ε = permissividade elétrica (F/m) i θ = ângulo de incidência λ = comprimento de onda (m) μ = permeabilidade magnética (H/m) μ 0 = permeabilidade magnética no espaço livre (H/m) ρ = raio no sistema de coordenadas cilíndricas ρ e = densidade volumétrica de carga elétrica (C/m³) ρ es = densidade superficial de carga elétrica (C/m²) σ = condutividade elétrica (S/m) φ = ângulo no sistema de coordenadas cilíndricas ω = frequência angular (rad/s) Ω = domínio finito Ω 0 = domínio infinito = valor infinito Operações Matemáticas = produto escalar = produto vetorial Abreviações BEM = Método de equações integrais de fronteira FDM = Método de diferenças finitas FTDT = Método de diferenças finitas no domínio do tempo FEM = Método de elementos finitos MoM = Método de Momentos RCS = Radar Cross Section 0

11 Introdução O fenômeno de espalhamento eletromagnético é, há mais de um século, objeto de estudo com intensas pesquisas. Embora esse seja um domínio da ciência relativamente amadurecido, existem muitos estudos desse tema em diversos ramos do conhecimento, tais como: telecomunicações, indústria militar, engenharia, biomedicina, navegação, aviação, geofísica etc. Dentre as aplicações do estudo de espalhamento eletromagnético, pode-se citar: influências de campos eletromagnéticos no corpo humano [], []; detecção e tratamento de câncer [3]; identificação e reconstrução de geometria de objetos [4]; problemas de compatibilidade eletromagnética [5], [6]; mineração [7] etc. A solução para os problemas práticos de espalhamento eletromagnético pode ser obtida por meio da solução numérica computacional de modelos matemáticos construídos a partir das equações de Maxwell. Antes do desenvolvimento das técnicas computacionais, as soluções propostas para os problemas de espalhamento baseavam-se em técnicas analíticas, as quais permitem apenas a solução de problemas relativamente simples. Entre as décadas de 930 e 940 predominavam as técnicas analíticas, bem representadas pelos métodos clássicos de separação de variáveis. Entretanto, para os problemas práticos, as soluções alcançadas com essas técnicas não eram satisfatórias por exigirem modificações drásticas dos problemas propostos [8]. Entre as décadas de 940 e 950 os problemas práticos em eletromagnetismo puderam ser mais bem tratados a partir de técnicas variacionais, as quais foram aplicadas, primeiramente, a guias de onda e, posteriormente, a problemas de radiação [9]. As restrições em geometria puderam ser parcialmente removidas, entretanto a solução de alguns problemas eram inviáveis devido às múltiplas integrais envolvidas [8]. Entre as décadas de 960 e 970 surgiu um novo método numérico denominado Método de Momentos (MoM). Esse método foi proposto por R. F. Harrington em 968 e desde então tem sido utilizado como referência para solucionar equações integrais []. O Método de Momentos fornece soluções precisas e é capaz de tratar

12 diversos tipos de problemas. Além do espalhamento eletromagnético, o Método de Momentos é utilizado na solução de outros problemas de eletromagnetismo, tais como: irradiação de antenas, descontinuidades em guias de onda, microondas e armazenamento de energia em corpos biológicos [0]. Existem na literatura outras técnicas, iterativas ou diretas, também identificadas por Método de Momentos [], [3]. Entretanto, neste trabalho, a metodologia utilizada pelo MoM na solução dos problemas de espalhamento são originadas dos trabalhos de Harrington [4], [5]. A possibilidade de se tratar problemas de espalhamento mediante técnicas numéricas computacionais foi um avanço muito significativo para os problemas de eletromagnetismo. Uma das vantagens da solução computacional é a eliminação da construção de protótipos para testar novos dispositivos e consequente redução no tempo e custos de projeto. Portanto, o estudo, o desenvolvimento e o aperfeiçoamento de técnicas numéricas capazes de solucionar problemas de espalhamento são fundamentais para o avanço científico e tecnológico. O objetivo geral desta dissertação é a compreensão e aplicação do Método de Momentos na solução de problemas de espalhamento eletromagnético. Neste trabalho é desenvolvida uma ferramenta computacional para análise desse fenômeno em duas dimensões. Há uma apresentação detalhada da formulação para o problema de espalhamento devido a condutores elétricos perfeitos e também para dielétricos. A solução apresentada pelo Método de Momentos (MoM) é validada e discutida. As características e peculiaridades desse fenômeno são analisadas a fim de se obter a formulação mais adequada para o problema proposto. O trabalho está organizado da seguinte forma: No Capítulo encontram-se uma apresentação do problema de espalhamento abordado e as leis físicas que regem o fenômeno de espalhamento eletromagnético. No Capítulo 3 encontra-se o desenvolvimento da formulação do Método de Momentos. O Capítulo 4 apresenta os resultados, os quais são criteriosamente discutidos e validados. No Capítulo 5 encontram-se as conclusões acerca desse trabalho, bem como as propostas de continuidade de trabalhos. Nos apêndices se apresentam as principais formulações utilizadas no desenvolvimento do Método de Momentos.

13 Espalhamento Eletromagnético. Introdução Neste capítulo, são apresentados os conceitos da Física e da Matemática necessários à modelagem e análise dos problemas de espalhamento eletromagnético. Para uma completa descrição de um problema de espalhamento eletromagnético, são necessárias informações das equações diferenciais que regem o comportamento dos campos no domínio, das condições de interface que modelam o comportamento dos campos nas interfaces e das condições de contorno [6]. Introduz-se, assim, o conceito de espalhamento eletromagnético, a partir das equações de Maxwell e, em seguida, são apresentadas as relações físicas fundamentais utilizadas no estudo desse fenômeno. Por fim, há uma discussão sobre as técnicas utilizadas para solução dos problemas aludidos.. Fenômeno de Espalhamento Eletromagnético O fenômeno de espalhamento eletromagnético pode ser entendido como o campo gerado a partir da interação entre uma onda eletromagnética viajante e um obstáculo que a intercepta []. Caracteriza-se pela influência dos campos elétrico e magnético i i incidentes ( E, H ) em um corpo, designado objeto espalhador ou, simplesmente, espalhador, nele induzindo correntes em sua superfície ou volume. As correntes no espalhador variam no tempo e o faz, por sua vez, exercer o papel de uma antena s s que irradia campos eletromagnéticos espalhados ( E, H ). Dessa forma, o campo t t eletromagnético total ( E, H ) se torna uma composição de campos espalhados e campos incidentes, conforme mostrado a seguir: t i s E = E + E (.) t i s H = H + H (.) 3

14 A equação (.) mostra que o campo elétrico total é dado pela soma do campo elétrico incidente com o campo elétrico espalhado. Da mesma forma, por meio da equação (.), tem-se que o campo magnético total é a soma dos campos magnéticos incidente e espalhado. Em uma situação em que o espaço é destituído de corpos, tem-se que toda medida de campo realizada, em qualquer que seja o ponto desse espaço, indica um valor de campo igual ao campo original produzido pela antena [5]. Entretanto, em situações em que um espalhador esteja presente, como no caso da figura., o objeto é iluminado pelos campos eletromagnéticos incidentes e há interação entre estes campos e os campos espalhados, caracterizando assim, o fenômeno do espalhamento eletromagnético [5], [6]. Assim, tem-se que duas entidades distintas estão envolvidas neste fenômeno: os campos eletromagnéticos e o espalhador. A figura. auxilia a compreensão do problema de espalhamento eletromagnético. Figura.: Espalhamento eletromagnético. (a) Fontes (b) Espalhador A região (a) da figura., representada pela antena, é designada região de fontes de campo eletromagnético e na região (b) situa-se um objeto espalhador. O fenômeno de espalhamento ocorre na região (b) e, neste trabalho, admite-se que os campos incidentes que interceptam o espalhador sejam ondas planas e uniformes conhecidas. As influências destes campos sobre o espalhador são computadas por 4

15 meio de expressões analíticas para os campos incidentes originais. Dessa maneira, para o cálculo do campo eletromagnético total, é necessário somente encontrar a parcela do campo espalhado. Tem-se, também, que as ondas eletromagnéticas geradas pela fonte propagam-se pelo espaço livre Ω 0 e que a geometria do espalhador e seu material podem ser considerados arbitrários [4]. O espalhamento eletromagnético pode ser modelado matematicamente através das equações de campo eletromagnético e das condições de contornos inerentes ao problema tratado. As equações de campo, elétrico e magnético, são obtidas através das equações de Maxwell [5],[6]..3 Equações de Maxwell O fenômeno de espalhamento é regido, fundamentalmente, pelas equações de Maxwell [6]. Estas equações evidenciam as relações entre os campos elétricos e magnéticos com suas fontes. Os campos elétricos e magnéticos são quantidades vetoriais que possuem magnitude e direção [7],[8]. As equações de Maxwell são apresentadas a seguir na forma diferencial e em regime harmônico: E = K jωb (Lei de Faraday); (.3) i H = J + J + jωd (Lei de Ampère); (.4) i D = (Lei de Gauss elétrica); (.5) ρ e B = (Lei de Gauss magnética); (.6) ρ m Onde: E é o vetor intensidade de campo elétrico (V/m); H é o vetor intensidade de campo magnético (A/m); 5

16 D é o vetor densidade de fluxo elétrico (C/m²); B é o vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m²); J é o vetor densidade de corrente elétrica de condução (A/m²); J i é o vetor densidade de corrente elétrica impressa (A/m²); K i ρ e é o vetor densidade de corrente magnética impressa (V/m²); é a densidade de carga elétrica (C/m³); ρ m é a densidade de carga magnética (Wb/m³). Estas equações são utilizadas para descrever e relacionar os campos vetoriais com suas fontes. A escolha da representação das equações de Maxwell na forma fasorial diferencial é feita pela facilidade de manipulação em problemas típicos de espalhamento [6]. As entidades vetoriais são descritas em negrito e ω caracteriza a frequência angular. As grandezas ρ m e K i não são definidas fisicamente, porém são normalmente introduzidas para tornar as equações simétricas [6], [8]. Tomando-se o divergente da equação (.4) obtém-se a equação da continuidade, fundamental na análise do eletromagnetismo por descrever a conservação da carga elétrica [4]: J = jωρ e (.7) Todos os campos e fontes envolvidos no problema proposto são funções das coordenadas espaciais. Para que estas expressões sejam válidas, é necessário assumir que os campos vetoriais sejam funções contínuas da posição e do tempo e que também tenham derivadas contínuas. Algumas descontinuidades podem ocorrer nas interfaces entre meios onde existem mudanças discretas nos parâmetros físicos dos meios materiais []. Dessa maneira, a completa descrição dos campos vetoriais em qualquer ponto no tempo requer não somente as equações de Maxwell na forma 6

17 diferencial, mas também um estudo das condições de interface associadas ao material do espalhador e das condições de fronteira [6],[0]..3. Relações Constitutivas e Característica do Meio Os materiais contêm partículas carregadas e, quando estão sujeitas a um campo eletromagnético, essas partículas interagem com os mesmos, produzindo correntes e modificando a propagação da onda eletromagnética nesse meio. Portanto o conhecimento das relações entre os campos e o meio físico torna-se essencial. Numa escala macroscópica, considerando-se a presença e comportamento dessas partículas carregadas, tem-se um conjunto de três expressões que relacionam os vetores do campo com as características constitutivas dos materiais. Neste trabalho, os meios são considerados isotrópicos, homogêneos, lineares e não-dispersivos e, assim, essas relações são escalares: D = ε E (.8) B = μ H (.9) J = σ E (.0) onde: ε μ σ é a permissividade elétrica do meio (F/m); é a permeabilidade magnética do meio (H/m); é a condutividade elétrica do meio (S/m); Os parâmetros constitutivos são usados para caracterizar as propriedades elétricas e magnéticas dos materiais de acordo com o fenômeno predominante: polarização, magnetização ou condução [6],[5]. Em relação às características constitutivas dos materiais, estes podem ser classificados como lineares se as características do meio não dependerem da intensidade do campo eletromagnético aplicado; são homogêneos se as 7

18 características do meio não variam com a posição; e são isotrópicos se as características do meio não dependerem da polarização do campo. Além disso, um material é considerado não-dispersivo quando as características do meio não variam com a frequência de operação. Em casos em que essas características sejam dependentes da frequência, a parcela complexa é então relacionada à dissipação de potência de forma similar às perdas por efeito Joule [4],[3]. Na prática os materiais utilizados nas composições de espalhamentos eletromagnéticos possuem algum grau de dispersão [5]. As características do meio e do material do espalhador, assim como as leis de Maxwell descritas anteriormente, são necessárias para a derivação das equações de onda que, para o problema proposto, são escalares..4 Equação de Onda Escalar Assume-se que a onda que intercepta o espalhador é uma onda plana e uniforme TM Z (Transverso Magnético a z), ou seja, o seu campo elétrico só tem componente na direção z e o campo magnético é nulo nesta direção []. Dessa forma, os campos têm o mesmo comportamento em qualquer seção transversal ao eixo z. Esta consideração é importante, pois simplifica a geometria do espalhador e reduz o problema de três dimensões para apenas duas. Por se tratar de duas dimensões, as equações de onda são escalares e não vetoriais, como seria no caso em três dimensões. Considera-se também, para este trabalho, um meio linear, homogêneo e isotrópico. Para se obter as equações de onda escalar, é necessário manipularem-se as equações de Maxwell convenientemente. As duas primeiras equações de Maxwell, (.3) e (.4), são classificadas como equações diferenciais acopladas de primeira ordem. Ou seja, os campos E e H aparecem em ambas equações [6]. Algumas vezes, porém, é desejável encontrar a solução apenas para um dos dois campos, o que requer o desacoplamento dessas equações. Entretanto, ao se desacoplarem as equações de Maxwell, tem-se, como conseqüente desvantagem, o aumento no grau 8

19 de diferenciação [], ou seja, a equação diferencial desacoplada possui, nesse caso, diferenciação de ordem dois. A equação diferencial desacoplada para o campo elétrico pode ser obtida da equação (.3) eliminando-se o campo magnético desta. Analogamente, a equação para o campo magnético pode ser obtida de (.4) eliminando-se o campo elétrico dessa equação..4. Equação de Onda para o Campo Elétrico Para se obter a equação de onda para o campo elétrico do problema proposto devese, primeiramente, tomar o rotacional da equação (.3) e logo após aplicar uma identidade vetorial ao resultado [Apêndice B]. Tem-se, assim, a equação de onda para o campo elétrico: E + β E = K + jωμj (.) z z i z Onde o número de onda β é definido por / β ωμε ( ) π/ λ = = e λ é o comprimento de onda. A equação (.) é obtida por meio das aplicações das condições de contorno para a incidência de uma onda Ω 0. TM Z e é válida somente para propagação no espaço livre.4. Equação de Onda para o Campo Magnético Similarmente ao tratamento anterior para campo elétrico, obtém-se a equação de onda escalar para o campo magnético: H + β H = J + jωε μk (.) z z i 0 z Os detalhes completos da obtenção dessas equações se encontram no Apêndice B. 9

20 .5 Condições de interface As equações diferenciais de Maxwell descrevem corretamente o comportamento dos campos nos pontos ordinários do domínio [],[5]. Entretanto, pode haver variação abrupta dos campos nas interfaces de separação entre dois meios. Nessas interfaces as derivadas dos campos não fornecem informações válidas por descrever variações discretas de seus valores na mudança entre os meios. Assim, o comportamento dos campos deve ser modelado pelos próprios campos, e não por suas derivadas []. A figura. mostra a seção transversal entre dois meios distintos para o estudo do comportamento dos campos nas interfaces de separação entre eles. Figura.: Interface de separação de dois meios Na figura., o vetor unitário ˆn está direcionado do meio para o meio. As configurações possíveis para as condições de interface são: interface entre dois meios quaisquer; interface com um condutor perfeito; e interface entre dois meios dielétricos..5. Interface entre Dois Meios Quaisquer Na interface entre dois meios quaisquer e, os campos no meio relacionam-se com os campos no meio mediante as seguintes condições de interface [],[6],[0]: ˆ ( E E ) = ; (.3) n K s ˆ ( H H ) ; (.4) n = J s ˆ ( D D ) ; (.5) n = ρ es 0

21 Onde: nˆ ( ) ρms B B =. (.6) K s J s é a densidade de corrente magnética linear (V/m) é a densidade de corrente elétrica linear (A/m); ρ es é a densidade superficial de carga elétrica (C/m²); ρ ms é a densidade superficial de carga magnética (Wb/m²)..5. Interface com Um Condutor Elétrico Perfeito Um caso especial na análise das condições de interface ocorre quando um dos meios é um condutor elétrico perfeito. Considerando o meio da figura como condutor elétrico perfeito e considerando-se que não existem campos no interior de tal condutor, as condições de interface dadas pelas equações (.3)-(.6) reduzemse a [6]: ˆ E ; (.7) n = K s ˆ H ; (.8) n = J s ˆ D ; (.9) n = ρ es ˆ B ; (.0) n = ρ ms Para σ =, as equações (.7) e (.9) mostram que o campo elétrico possui apenas o componente na direção normal e que todos os componentes nas direções tangenciais são nulos. As equações (.8) e (.0) mostram que haverá circulação de corrente na superfície dada pelo componente tangencial do campo magnético e que o campo magnético normal à superfície é nulo.

22 .5.3 Interface entre dois dielétricos Para as interfaces em que os dois meios não são condutores perfeitos e que não há fontes de corrente ou carga em suas interfaces, as condições de interface são estabelecidas pelas seguintes equações [6]: nˆ E = nˆ E ; (.) nˆ H = nˆ H ; (.) nˆ D = nˆ D ; (.3) nˆ B = nˆ B. (.4) Nesta última situação, as equações (.)-(.4) mostram que os componentes tangenciais dos campos elétrico e magnético, bem como os componentes normais das densidades de fluxo elétrico e magnético são contínuos através da interface de separação entre os dois meios. Dessa maneira, após o conhecimento das equações diferenciais que regem o comportamento dos campos no domínio, das condições de interface que modelam o comportamento dos campos nas interfaces e das condições de contorno, devem-se conhecer as possíveis técnicas de solução do problema..6 Técnicas Numéricas para Solução de Problemas de Espalhamento Eletromagnético Para o problema de espalhamento, a região de fontes é retirada da análise do problema. Feitas estas observações, conclui-se que o novo domínio de estudo dos problemas de espalhamento pode ser simplificado, como mostrado pela figura.3. Assim obtém-se uma nova configuração para o problema, no qual o novo domínio restringe-se ao domínio do objeto espalhador Ω e ao espaço livre Ω 0.

23 Figura.3: Geometria de estudo para o problema de espalhamento Alguns problemas de espalhamento eletromagnético possuem soluções analíticas. Entretanto, estas soluções são limitadas pela geometria ou pelos materiais constituintes do problema. A alternativa para preenchimento de tais lacunas está nos métodos numéricos [6]. O objetivo deste trabalho é apresentar soluções de problemas de espalhamento eletromagnético em duas dimensões por meio de um método numérico. Dessa maneira, algumas informações pertinentes a tais problemas devem ser cautelosamente analisadas para facilitar a compreensão. A solução de um problema de espalhamento eletromagnético consiste em determinar a solução para a equação., sujeita às condições de interface e contorno. Uma vez conhecida a incógnita do problema, outros parâmetros de interesse, tal como a seção transversal de radar (RCS), podem ser facilmente determinados []. É sempre desejável conhecer a solução analítica de um problema de contorno. Isso, no entanto, não é sempre possível, pois a solução analítica pode ser obtida apenas para um número muito reduzido de problemas. Em geral, os problemas que tem solução analítica envolvem apenas objetos com geometria simples e preenchidos por materiais homogêneos, lineares e isotrópicos [5]. Os problemas reais envolvem, 3

24 geralmente, geometrias e materiais complexos; logo, para solucioná-los, é necessário recorrer às técnicas numéricas disponíveis [4]. Existem, na literatura, diversas técnicas numéricas capazes de solucionar os problemas de espalhamento []. Considerando-se que a dimensão do espalhador é da ordem do comprimento de onda, podem-se aplicar tanto técnicas integrais quanto diferenciais. A seguir, são apresentados alguns métodos numéricos diferenciais e integrais..6. Técnicas Numéricas Diferenciais As técnicas numéricas diferenciais, também conhecidas como métodos de domínio, são eficazes na solução de problemas de contorno em domínios fechados, preenchidos por materiais heterogêneos, não-lineares ou anisotrópicos. Os métodos de diferenças finitas e elementos finitos constituem os maiores representantes desta classe [34]. Método de Diferenças Finitas O método de diferenças finitas (FDM) é mais comumente representado pelo eficiente método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD). O FDTD é uma das técnicas computacionais que se destacam na solução de problemas de espalhamento por calcular dinamicamente campos eletromagnéticos, distribuições de temperatura ou outros fenômenos descritos por equações diferenciais parciais [35]. Este método tem sido aplicado a vários problemas de contorno no eletromagnetismo, incluindo os de irradiação e espalhamento eletromagnético. Baseia-se tal método na substituição da operação de diferenciação por uma simples operação de subtração nos pontos de interesse, seguida de uma divisão pelo intervalo entre os pontos considerados [36]. Dessa forma, é possível substituir uma equação contínua, com infinitos graus de liberdade, por uma equação discretizada, com número finito e regular de nós. Por meio desse processo, a equação diferencial parcial original é transformada em um conjunto de equações algébricas, e a solução simultânea desse sistema de equações fornece a solução aproximada da equação original do problema de contorno [37]. 4

25 O método de diferenças finitas é de simples implementação computacional. Além disso, é capaz de tratar problemas não-lineares e anisotrópicos. Entretanto, este método possui algumas limitações: (i) a obrigatoriedade de uma malha regular, o que não permite uma boa modelagem dos campos cujos gradientes são intensos ou a modelagem correta de problemas que possuem superfícies curvas; (ii) dificuldade em representar campos na interface entre meios diferentes [34]. Método de Elementos Finitos O método de elementos finitos (FEM) é uma técnica numérica de solução aproximada para equações diferenciais [36]. Este método começou a ser utilizado para solucionar problemas de mecânica de estruturas e expandiu-se rapidamente para outras áreas. No domínio do eletromagnetismo, o FEM começou a ser utilizado na década de 70 e, a partir de então, tornou-se referência [34]. O princípio do método de elementos finitos consiste em dividir o domínio do problema em pequenos subdomínios, com forma e comprimentos arbitrários, designados por elementos [34]. Este procedimento permite que o FEM modele, precisamente, objetos cuja geometria seja complexa [38]. Além disso, a densidade de elementos pode ser ajustada de acordo com a necessidade de cada problema. No interior de cada elemento, a incógnita é aproximada por uma função de interpolação e, utilizando-se o método dos erros ponderados ou o método variacional, a equação diferencial parcial é transformada em um sistema algébrico de equações, em que a matriz de coeficientes é esparsa e, em alguns casos, também simétrica [38]. A grande vantagem do FEM reside na sua flexibilidade. Em particular, destacam-se sua capacidade de modelar problemas com geometrias complexas e cujos domínios estejam preenchidos por diferentes materiais [34]..6. Técnicas Numéricas Integrais As técnicas numéricas integrais são utilizadas para solucionar problemas físicos a partir de sua modelagem em termos de equações integrais []. Por causa da complexidade de manipulação das equações integrais, estas são mais indicadas para solucionar problemas cujo domínio seja composto por material linear, homogêneo e isotrópico. As vantagens obtidas da formulação de um problema de 5

26 eletromagnetismo em termos de equações integrais estão no fato de que essa formulação incorpora naturalmente a condição de radiação de Sommerfeld e reduz em uma dimensão a geometria do problema [38]. Entre as técnicas aplicadas na solução das equações integrais destacam-se o método de integrais de fronteira e o método de momentos, este último escolhido na análise deste problema. Método de Momentos O Método de Momentos, proposto por Harrington, transforma uma equação diferencial em um sistema de equações algébricas mediante a aproximação de uma incógnita por funções de base ponderadas, escalarmente, por funções de teste [4]. Este método é bastante utilizado para solucionar problemas de antenas e de espalhamento eletromagnético [5]. O Método de Momentos baseia-se em formulações integrais e é capaz de fornecer soluções precisas, além de permitir o tratamento de problemas abertos. Entretanto apresenta alguns inconvenientes, tais como elevado esforço computacional em formulações complexas e singularidades numéricas. Apesar de todos estes obstáculos, esta técnica integral é amplamente empregada na solução de problemas de espalhamento com excelentes resultados..7 Sumário Neste capítulo, foi visto que uma onda eletromagnética viajante, ao ser interceptada por um objeto, produz correntes sobre a superfície do mesmo. O objeto passa, então, a funcionar como uma antena ao irradiar campos eletromagnéticos espalhados. O campo total é modificado pela presença dos campos espalhados. Os conceitos fundamentais à análise desses campos foram apresentados. A equação de onda apresentada descreve o comportamento dos campos em meio homogêneo, linear e isotrópico. Nas fronteiras desse meio, o comportamento dos campos é descrito pelas condições de interface. Conhecidas a equação de onda que 6

27 rege o comportamento dos campos no interior do domínio, as condições de interface e as condições de contorno sobre a fronteira, o problema está bem definido e possui solução única [5]. A fim de determinar a solução numérica para esta equação de onda no próximo capítulo há um desenvolvimento com as formulações definidas em duas dimensões. Neste trabalho o método escolhido para a solução do problema descrito é o Método de Momentos devido à sua capacidade de tratar tal problema com robustez e com possibilidade de baixo custo computacional. Seus resultados mostram que a solução encontrada é bastante precisa. 7

28 3 Formulação Método de Momentos 3. Introdução Neste capítulo são desenvolvidas as formulações necessárias à modelagem do problema de espalhamento eletromagnético em duas dimensões pelo Método de Momentos (MoM). O problema de espalhamento em duas dimensões é uma aproximação para o problema de espalhamento em três dimensões. Para realização dessa aproximação, considera-se que os campos e as propriedades dos materiais que preenchem o domínio têm um mesmo comportamento em qualquer seção transversal tomada ao longo da direção z. Considera-se também que o domínio Ω, apresentado na figura 3.(a), seja um espalhador de seção transversal arbitrária e comprimento infinito ao longo da mesma direção z, imerso no espaço livre Ω 0. Portanto, ao interceptar esse espalhador, esses campos têm variação apenas nas direções x e y, ou seja, a avaliação dos campos no domínio pode ser simplificada para uma avaliação em uma seção transversal qualquer do mesmo. Figura 3.: Simplificação do domínio (a) em três dimensões para o domínio (b) em duas dimensões. 8

29 A figura 3. mostra o domínio original (a) em três dimensões e sua respectiva seção transversal (b), em duas dimensões. Dessa maneira, tem-se um novo domínio de estudo a ser considerado na análise do problema de espalhamento em duas dimensões, mostrado na figura 3.. Figura 3.: Geometria de estudo para um espalhador bidimensional. A figura 3. ilustra a geometria bidimensional do problema. O domínio Ω é uma seção transversal do espalhador original, interceptada pelos campos incidentes elétrico e magnético. Essas considerações são essenciais no desenvolvimento da formulação para o Método de Momentos. 3. Formulação para o Método de Momentos Na figura 3., o domínio Ω 0 representa o espaço livre em duas dimensões. Nesse domínio os campos elétrico e magnético são regidos pelas equações escalares de Helmholtz (.) e (.). Para obtenção da formulação para o Método de Momentos, essas equações diferenciais devem ser transformadas em equações integrais. 9

30 3.. Formulação Integral para a Equação de Helmholtz No espaço livre, os campos são regidos pela equação de Helmholtz [38]: u() r + β ²() u r = f() r r Ω0 (3.) A solução do problema de espalhamento é alcançada ao se determinar a solução u na equação (3.), onde u representa o campo elétrico ou magnético. No espaço livre, os parâmetros μ r e ε r são ambos iguais a,0. Para a formulação integral dos campos no espaço livre é necessário introduzir a função de Green G 0 que satisfaz a equação (3.), definida para o espaço livre [33]: ( rr, ') ² ( rr, ') δ( rr, ') r ' Ω (3.) G0 + β G0 = Nas equações (3.) e (3.), r e r ' representam, respectivamente, os vetores posição do observador e posição da fonte. O símbolo δ representa a função delta de Dirac [6]. A função de Green que satisfaz a equação (3.) e sua correspondente derivada normal são dadas pelas seguintes expressões []: G0(, rr') = H0( β R ) (3.3) 4 j G0(, rr') k = 0 H ˆ ˆ ( β R ) R n (3.4) n' 4j Nas equações (3.3) e (3.4), H 0 e H representam, respectivamente, as funções de Hankel de segundo tipo e ordem zero e de segundo tipo e ordem um []. O vetor R 30

31 representa a distância entre o ponto de observação e o ponto de integração. O vetor R, o seu módulo R e seu unitário ˆR são definidos através das expressões: R = r r' = ( x x' ) xˆ + ( y y' ) y ˆ ; (3.5) R = = ( x x ) + ( y y ) R ' ' ; (3.6) R ˆ = R. (3.7) R Para obter a equação integral no espaço livre, multiplica-se a equação (3.) por G 0 e a equação (3.) por u. Em seguida, subtraem-se os resultados. Integra-se o resultado dessa subtração no domínio e aplica-se o segundo teorema escalar de Green (detalhes no Apêndice B), juntamente com as propriedades do delta de Dirac [39]. Por meio deste processo, obtém-se a seguinte equação integral sobre a superfície Γ : G (, rr') r r r r r r (3.8) n ' 0 u () = ui () G ' 0 (, ') ψ () dγ ' u () d ' Γ Γ Γ' Na equação (3.8), ψ () r representa a derivada normal do campo u() r. De acordo com essa equação, o campo em qualquer ponto do domínio é dado pela contribuição do campo incidente somada às contribuições referentes a todos os outros pontos da superfície [4]. O campo eletromagnético incidente u i em Γ é representado pela seguinte integral, avaliada sobre a região de fontes Ω S : u () r = G (, r r') f() r dω (3.9) i ΩS 0 S Entretanto, por se tratar de um problema de espalhamento, assume-se que a região de fontes está localizada distante do espalhador e que, na região de campo distante, a onda eletromagnética é uma onda plana e uniforme dada pela expressão [6]: 3

32 ui 0 ( i i jk xcosθ + ysenθ ) () r = e (3.0) i Onde θ representa o ângulo de incidência da onda sobre o espalhador. A partir da equação (3.8), com as devidas considerações para u() r e ψ () r, encontram-se as equações de onda para os campos elétrico e magnético, conforme mostram as expressões a seguir. Equação de onda para o campo elétrico De acordo com as equações (.) e (3.8), obtém-se para E z : i Ez (, r r') G0 (, rr') Ez() r = Ez() r G ' 0(, ') d ' (') ' r r Γ ' ' z dγ Γ n E r (3.) Γ n' Equação de onda para o campo magnético De forma análoga ao item anterior, com as equações (.3) e (3.8), obtém-se para H : z i Hz (, r r') G0 (, rr') Hz() r = Hz() r G ' 0(, ') d ' (') ' r r Γ ' ' z dγ Γ n H r (3.) Γ n' As equações (3.) e (3.) estão na forma analítica. Entretanto, para a solução numérica faz-se necessária a discretização de suas grandezas geométricas e físicas. 3.. Discretização Nodal da Fronteira Para obter a solução numérica do problema é necessário, inicialmente, discretizar a fronteira do espalhador em vários subdomínios denominados elementos [0]. Um elemento é caracterizado por seu número de nós e sua dimensão []. Eles não precisam ser necessariamente iguais em tamanho ou tipo, mas é necessário que representem da melhor maneira possível a geometria do domínio analisado. Nas regiões onde se tenha um maior interesse ou se espera uma maior variação da grandeza analisada, deve-se concentrar um maior número de elementos. O tipo de 3

33 elemento depende da geometria da região e do número de coordenadas espaciais independentes, necessárias para descrever o sistema. Nesse problema de espalhamento, a geometria simples permite que os elementos sejam de primeira ordem [40]. Os elementos de primeira ordem podem ser lineares, quadráticos ou cúbicos, conforme mostra a figura 3.3. Figura 3.3: Representação dos elementos de primeira ordem: linear, quadrático e cúbico. Para a solução desse problema, os elementos utilizados na discretização do espalhador são do tipo linear. Essa escolha é feita porque todas as análises numéricas acontecem na fronteira Γ, a qual possui geometria relativamente simples. Para se solucionar numericamente a equação (3.8), a fronteira Γ mostrada na figura 3., é dividida em N elementos lineares e obtém-se um conjunto desses, conforme mostrados na figura 3.4. Figura 3.4: Discretizacão da fronteira Γ (a) em N elementos (b). O conjunto de elementos mostrados na figura 3.4 (b) pode ser expresso pela equação

34 N e (3.3) e= Γ= Γ Na equação (3.3), N é o número total de elementos em que se divide a superfície Γ e Γ e é o N-ésimo elemento dessa fronteira. Após a discretização da fronteira dada pela equação (3.3), a equação (3.8) pode ser reescrita como: N G0 (, rr') u () r = ui () r G0 (, ') ψ () d e u () d e r r r Γ + Γ Γ r (3.4) e Γe e= n As quantidades isoparamétricas são aproximadas por meio de seus valores nodais por funções de interpolação definidas no interior de cada elemento. Para avaliação das funções geométricas, é necessária uma aproximação das coordenadas do ponto de integração mediante as seguintes expressões []: p x '( ζ) = N ( ζ) x ' (3.5) i= i i p y '( ζ) = N ( ζ) y ' (3.6) i= i i Nas equações (3.5) e (3.6), N i é a função de aproximação definida sobre cada nó do elemento, p representa o número de nós do elemento e ζ é a coordenada curvilínea local [0]. A transformação de coordenadas reais em coordenadas locais é mostrada pela figura

35 Figura 3.5 Transformação geométrica de coordenadas A figura 3.5 mostra um elemento real (a), no plano (x,y), sendo mapeado em um elemento linear padrão no plano ζ (b). O elemento padrão está associado a variável ζ que varia de - a. A função de aproximação geométricas. Para o elemento linear, N i é utilizada para interpolação das variáveis físicas e N i é definida por: ζ N = (3.7) N + ζ = (3.8) Para que a transformação de coordenadas mostrada na figura 3.5 seja possível, é necessário calcular-se o Jacobiano dessa transformação [40]. Para o elemento linear escolhido, o Jacobiano é dado por: J ( ζ ) = ( x x ) + ( y y ) Δζ (3.9) Onde Δ ζ é o comprimento do elemento padrão em ζ. 35

36 Além disso, considera-se que em cada elemento Γ e o elemento de integração seja substituído por Jdζ, onde J é o Jacobiano para transformação das variáveis globais em locais. Dessa forma, a equação (3.4) é reescrita como: dγ e N { 0 e= r r r r r ur ( ) = ui ( ) G ( rr, ') ψ ( ) Jd ( ζ ) + r r r G (, ') n 0 + ur ( ) Jd( ζ ) (3.0) Além da discretização da fronteira Γ, para se obter a solução numérica, faz-se necessário também a discretização das grandezas físicas. Discretização das Grandezas Físicas As grandezas físicas são aproximadas por meio de uma função de base, conforme mostrado a seguir: N u = gt( ζ ) ut (3.) t= N ψ = gt( ζ) ψt (3.) t= Nas equações (3.) e (3.), u e ψ correspondem, respectivamente, ao valor do campo e de sua derivada normal sobre o nó t do elemento e g t é a função de base local. As funções de base devem ter a habilidade de representar precisamente as grandezas físicas. Além disso, a escolha dessas funções deve ser feita de maneira a minimizar o esforço computacional [6],[9]. Existem vários conjuntos de funções de base possíveis. Esses conjuntos podem ser divididos em duas classes gerais; as funções de base locais e as funções de base globais [5]. 36

37 Em problemas de espalhamento, utilizam-se geralmente as funções de base locais, as quais são diferentes de zero em apenas uma parte do domínio. Essa escolha favorece os domínios segmentados por elementos [6]. Dentre as funções de base locais, destacam-se a funções de pulso e a triangular. Por representar precisamente as grandezas físicas e favorecer a viabilidade computacional, a função de base utilizada neste trabalho é o pulso, assim definido: g t, para ( N ) < t < N = 0, para todos os outros casos (3.3) Para a solução MoM, os elementos são todos analisados, porém um a cada momento. Essa coordenação é feita pela função de base, o pulso. No primeiro elemento, fixa-se um ponto de observação no ponto médio do elemento e nesse calcula-se o valor de campo. Todos os outros elementos são considerados como fontes de campo para esse elemento e, dessa maneira, ao valor de campo calculado nesse primeiro elemento, são adicionados os valores de campo das contribuições de todos os outros elementos. Mediante a discretização das grandezas físicas dada pelas equações (3.) e (3.), obtém-se a equação discretizada para um elemento padrão no espaço ζ : { N N u () r ui () r G 0 (, ') gt Jdζ ut e= t= r r = + G (, r r') n ' 0 + gjd t ζ ψ t (3.4) Na equação (3.4) a integração numérica em cada elemento é realizada utilizandose a quadratura de Gauss [30]. Para obtenção de todos os valores do campo, o ponto de observação, que se encontra no primeiro elemento, move-se para o segundo elemento e calcula-se o campo nesse, juntamente com as contribuições de campo de todos os outros 37

38 elementos. Esse procedimento é feito até o N-ésimo elemento do domínio, finalizando uma análise completa da fronteira do espalhador. A equação (3.4), escrita para todos os nós da fronteira, é dada pela seguinte expressão matricial: [ ] { } [ ] { ψ } { } A u + B = u i (3.5) De acordo com a equação (3.4), os argumentos para as matrizes A e B são dados pelas contribuições elementares: Go aij = g t J dζ (3.6) n ' b = gg J dζ (3.7) ij t o A equação matricial (3.5) ilustra uma análise feita na fronteira do espalhador com o espaço livre Ω 0. O sistema matricial representado pela equação (3.5) possui apenas uma equação, mas possui duas incógnitas, o que impossibilita sua solução direta. Uma alternativa para a solução desse problema é aplicar outras condições de contorno para a dada superfície, mas desta vez pela fronteira da superfície Γ com o domínio Ω. Faz-se, assim, uma segunda análise da superfície do espalhador. Dessa forma, têm-se duas equações para as duas incógnitas existentes, sendo possível então a obtenção dos campos e suas derivadas. A análise dos campos no interior do espalhador é feita de forma semelhante à obtida pela fronteira externa, exceto pelo fato de não existir a parcela do campo incidente u i no interior do espalhador. A obtenção dos campos no interior do espalhador é realizada por meio dos mesmos procedimentos adotados na obtenção da equação (3.4). Assim, tem-se que: 38

39 N N r ( ) r r (, ') e= t= { u r = G r r gt Jdζ ut + r r G (, ') n ' + gjd t ζ ψ t (3.8) Onde: rr r ur G( r, r') = H0( β r r') ; 4 j rr (, ') r ur ( ') R ˆ n ˆ ; n' 4j G r r k = H 0 β r r β = ω ε μ. Por meio do mesmo processo desenvolvido para obter a equação (3.5), obtém-se uma segunda equação matricial: [ D] { u} [ C] { ψ } { 0} + = (3.9) De acordo com a equação (3.8), os argumentos para as matrizes C e D são dados pelas contribuições elementares: G dij = g t J dζ (3.30) n ' c ij = gg J dζ (3.3) t O acoplamento entre as formulações MoM para as fronteiras interna e externa do domínio é possível devido à aplicação das condições de interface na fronteira Γ. No problema de espalhamento em duas dimensões, essas condições são de continuidade do campo e de sua derivada. As incógnitas que aparecem na equação (3.5), originada da aplicação do método do MoM na fronteira externa do domínio, são as mesmas que aparecem na equação (3.9), gerada pela formulação MoM da fronteira interna do domínio. Assim, as equações (3.5) e (3.9) podem ser agrupadas para dar origem ao sistema matricial a seguir: 39

40 A B {} u { ψ } D + = C 0 u i (3.3) Este sistema matricial pode ser reescrito, agrupando-se as matrizes de coeficientes e também as matrizes de termos independentes: u i AB u DC = ψ 0 (3.33) A equação (3.33) pode ser solucionada, pelo Método de Momentos, por meio de métodos iterativos ou métodos diretos [33]. Nesse trabalho, o método utilizado para obtenção dos resultados, é dito direto, proposto por Harrington [4]. Na equação (3.33), tem-se que a matriz A, de dimensão nxn, é obtida por meio da formulação numérica MoM para a fronteira externa do domínio e contribui com os coeficientes do campo u. A matriz B, de dimensão nxn, é obtida por meio da formulação MoM para a fronteira externa do domínio e contribui com os coeficientes para a derivada do campo ψ. A formulação para a fronteira externa ao domínio contribui também com o vetor u i, o qual possui n posições em que estão armazenados os valores de campo incidente sobre os n elementos da fronteira. A matriz C, de dimensão nxn, é obtida por meio da formulação numérica MoM para a fronteira interna do domínio e contribui com os coeficientes para a derivada do campo ψ. A matriz D, de dimensão nxn, é obtida por meio da formulação MoM para a fronteira interna do domínio e contribui com os coeficientes para o campo u. O vetor nulo de n posições, pertencente à matriz do segundo membro, é devido à ausência de campos incidentes no interior do domínio. Os detalhes da obtenção do sistema matricial expandido em termos de todos os seus elementos encontram-se no Apêndice C. Na avaliação numérica das equações (3.4) e (3.8), o ponto de observação pode pertencer ao elemento que está sendo integrado. Nesse caso, a distância entre o ponto de integração e o ponto de observação torna-se muito pequena e a função de 40

41 Green e sua derivada apresentam singularidade. A conseqüência da presença de singularidade é a impossibilidade de avaliação direta das equações (3.4) e (3.8). Para que se tenha uma integração correta faz-se necessário extrair a singularidade dessas equações [],[8]. A extração dessa singularidade é feita, nas situações em que o observador está no elemento analisado, por meio da substituição da solução numérica pela solução analítica. Essa solução analítica está descrita no apêndice A. 3.3 Sumário Nesse capítulo foram apresentadas as formulações para o Método de Momentos em duas dimensões. Mostrou-se que o problema de espalhamento eletromagnético em duas dimensões é um caso particular para o problema tridimensional em que se considera que os materiais e a seção transversal do domínio de estudo não variam ao longo de uma determinada direção. Foram derivadas as formulações para o Método de Momentos nas fronteiras interna e externa ao domínio. Mostrou-se que existem incógnitas comuns nessas formulações e que, devido à continuidade dos campos e suas derivadas na fronteira do domínio, essas formulações podem ser acopladas. A solução do sistema de equações fornece os valores de campos na fronteira do domínio. Finalmente, foi mostrado e discutido o sistema matricial originado. 4