Superfícies Mínimas de Riemann. Autor: Ms. Alexsandra Oliveira Andrade. Instituição: Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia UESB

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1 Superfícies Mínimas de Riemann Autor: Ms Alexsandra Oliveira Andrade Instituição: Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia UESB 11 Como tudo começou Georg Friedrich Bernhard Riemann, mais conhecido como Bernhard Riemann, nascido em 17 de setembro de 186 na cidade de Breselen, Hanover atual Alemanha, cujos pais chamavam-se Friedrich Bernhard Riemann e Charlotte Ebell Era o segundo de seis filhos, dois meninos e quatro meninas que eram educados pelo próprio pai Aos vinte anos, Riemann matriculou-se na Universidade de Göttingen no curso de teologia, contudo, no ano seguinte mudou para o curso de filosofia filosofia, com a intenção de estudar matemática, sua grande paixão Em meados de 187, mudou-se para Berlim, onde estudou com Steiner, Jacobi, Dirichlet e Eisenstein Em 189, retornou para Göttingen e em 1851, obteve o grau de hd, supervisionado por Gauss Em sua tese, Riemann estudou a teoria de variáveis complexas, introduindo métodos topológicos no estudo das funções complexas e as superfícies que conhecemos como as superfícies de Riemann ara obter a chamada habilitação, um tipo de certificado de pós-doutorado necessário para se tornar professor universitário na Alemanha, Riemann escreveu uma dissertação que se intitulava Sobre as hipóteses nas quais se fundamenta a geometria, onde apresentou um conjunto de conceitos e postulados que é conhecido atualmente como geometria Riemanniana Após a morte de Dirichlet, em 1859, Riemann foi designado professor de matemática na Universidade de Göttingen Alguns dias depois foi eleito para a Academia de Berlim de Ciências Os trabalhos de Riemann foram baseados no raciocínio intuitivo e suas idéias brilhantes eram muito claras devido ao pouco uso de cálculos longos Em junho de 186, Riemann casou-se com Elise Koch, com a qual teve uma filha Devido à sua saúde sensível, pouco tempo depois ele contraiu tuberculose ara tentar melhorar o seu estado de saúde, Riemann mudou-se para a Itália, onde passou o inverno de 186 e somente retornou para Göttingen em junho de 186 Contudo sua saúde continuava se deteriorando e por isso voltou para Itália, onde morreu no dia 16 de junho do ano de 1866 na cidade de Selasca Após sua morte prematura, uma grande quantidade de manuscritos não publicados foram encontrados em seu gabinete, muitos deles incompletos Isso levou alguns de seus alunos e colegas a redigir, completar e publicá-los nas Memórias da Real Sociedade de Ciências de Göttingen, em sucessivos artigos a partir de 1867 Um deles, escritos por K Hattendorf e M H Weber, a partir das notas de Riemann que datam dos anos de 1860 e 1861, estão dedicadas às superfícies mínimas do R, mais especificamente, às superfícies mínimas limitadas por duas circunferências em planos

2 paralelos Riemann provou que as únicas superfícies mínimas que atendem a característica acima (salvo movimentos rígidos e homotetia) são o catenóide e os seus exemplos, que posteriormente passaram a ser conhecidos como as superfícies mínimas de Riemann ou os exemplos de Riemann 1 As Superfícies Mínimas de Riemann As superfícies mínimas de Riemann superfícies mínimas de Riemann M : R constituem uma família a 1-parâmetro de superfícies geometricamente distintas, que não devem ser confundidas com a superfície de Riemann que é uma superfície onde as aplicações mudança de coordenada são bi-holomorfas ara construir as superfícies mínimas de Riemann, consideraremos um toro retangular, T = C L, onde L é o reticulado gerado por {,i}, para algum 1, ω1 =, ω i, + i = ω = e uma função elíptica com um duplo pólo no ero, um duplo ero em ω + i = e sem outros eros ou pólos Definiremos a função de Weierstrass- como = c Ρ Ρ( ϖ )) ( tendo a propriedade que Ρ Ρ( ϖ ) tem exatamente os mesmos pólos e eros da função elíptica Ao analisar a função elíptica para c = 1 temos que Ρ ϖ = i Estendendo a análise para c real, temos que é real nas retas Re( ) = 0, Re( ) =, Im( ) = 0, Im( ) = 1 As superfícies mínimas de Riemann podem ser descritas em termos dos dados da representação de Weierstrass g = Ρ e η = id Ρ em T { 0, + i } Ao observar que g é uma função meromorfa,η é uma 1-forma holomorfa, as igualdades acima e a construção da função elíptica, temo que Ρ tem apenas um ero em = + i e um pólo em = 0, e daí concluímos que g é uma função holomorfa e η é uma 1-forma holomorfa T 0, + i dão origem à Os dados da representação de Weierstrass em { } imersão mínima X (), cujas componentes são: x ( ) = Re 1 x ( ) = Re id (1 g ) fd = Re (1 Ρ ) = Re i( ω1 ω1 id ω1 ) d i(1 + g ) fd = Re i(1 Ρ ) = Re ( ω1 ω1 fgd = Re id = Re id = x ( ) = Re Im( ) ω1 ω1 ω1 ) d

3 11 ropriedades 1 : ara cada m Ζ, M { x = m} é uma reta paralela ao eixo x Essas retas correspondem às retas em T dadas por Im( ) = 0 e 1 Im( ) = Inicialmente faremos algumas considerações sobre o período não nulo de uma curva de domínio T Existem três possibilidades para o período rimeiro nos furos, os pontos = 0 e = + i Em segundo lugar, o período poderia ser definido em curvas do tipo, γ c ( t) = ci + t,0 t 1, que são círculos, ou seja, curvas fechadas, que não têm período real E por último, as curvas do tipo µ = + ti,0 t 1, que é justamente onde o período está definido De acordo com a expressão da coordenada x em o período tem a terceira coordenada igual a e o vetor período é T 0 = ( α, β, ) A métrica conforme em T induida pela imersão X () é dada por η (1 + g ) = ( Ρ + Ρ ) d De acordo com a definição de, a reflexão em torno da reta Re( ) = 0, (respectivamente, Re( ) = ) ou da reta Im( ) = 0 (respectivamente, Im( ) = 1 ) indu uma isometria na superfície Estas quatro retas permanecem fixas em T por uma destas reflexões e elas são geodésicas pelo fato de serem invariantes por reflexão no reticulado e invariantes por isometria na superfície Sabemos que, ao longo das quatro retas geodésicas Re( ) = 0, Re( ) =, Im( ) = 0 e Im( ) = 1, a função e d são reais por definição e que a segunda ' ' forma fundamental da imersão X () é dada por Re{ fg d } = Re i d ' u v Consideremos ( ) = u( x, y) + iv( x, y) e ( ) = + i Analisando o x y comportamento da retas Im( ) = 0 e 1 ' Im( ) = na expressão de ( ) temos que ' u ( ) = com v = 0 e para as retas Re( ) = 0 e Re( ) ' v = x, temos que ( ) = i y ' com u = 0 Concluímos que ( ) é real ao longo do par de retas horiontais Im( ) = 0 e Im( ) = 1 e puramente imaginário ao longo do par de retas verticais Re( ) = 0 e Re( ) = ' odemos concluir, com base nessas considerações, que Re{ fg d } é imaginário ao longo das retas Im( ) = 0 e Im( ) = 1 e real ao longo das retas Re( ) = 0 e Re( ) =

4 E para concluir nosso raciocínio, as retas Re( ) = 0 e Re( ) = são aplicadas por X em linhas de curvatura que são geodésicas planas, enquanto Im( ) = 0 e Im( ) = 1 são aplicadas em retas : M é fibrada por círculos em planos horiontais correspondem às curvas fechadas em T dadas por Im( ) = c 0 e x = c m, m Z Im( ) = c 1 Usando o rincípio de Reflexão de Schwar, M é invariante por rotação em torno das retas Im( ) = 0 e Im( ) = 1 Lembremos que, dado um ponto e um vetor velocidade, existe uma única geodésica passando por este ponto com a velocidade inicial dada Se refletirmos esta geodésica, obteremos uma reta cujo vetor velocidade é ortogonal ao plano tangente da superfície e está contido no plano da geodésica, e para estas condições serem satisfeitas, este vetor tem de ser nulo Com isso concluímos que M é invariante por reflexão em relação aos planos das geodésicas É evidente, a partir de x ( ) na parametriação X, que a reta horiontal Im( ) = c é aplicada no plano horiontal x = c ara visualiarmos melhor necessitamos do resultado que as curvas de nível na superfície mínima de Riemann são círculos x = c m

5 : M é completa, simplesmente periódica e invariante por uma translação T Já sabemos que M é fibrada por círculos em planos horiontais x = c, podemos concluir que a superfície não tem período, exceto nos furos 0 e 1 ( + ) i Mas por cada um destes furos passa uma reta e um plano ortogonal à geodésica O período de X é ortogonal ao plano e à reta, o que torna o período nulo, isto é, a superfície não tem período no furo or esta raão, M é simplesmente periódica Observamos que o vetor período T 0 pode ser refletido sobre si mesmo em torno do plano x 0, isto é, T = ( α,0, ) Concluímos que M é completa já que + comprimento da curva divergente nos pontos 0 e = 0 $ tem um duplo pólo em cada furo e o + i é infinito : M é Mergulhada Notemos que, de acordo com as propriedades, a interseção de M com qualquer plano horiontal é uma reta ou um círculo, ou seja, curvas mergulhadas Logo, M é mergulhada 5 : M tem um número infinito de fins planos, cada um deles assintótico a um plano de altura x = m, m Z A superfície M foi construída utiliando uma função elíptica, cujo domínio consideramos o reticulado gerado por {,i}, excluindo os pontos dados por 0 e + i, os quais estamos chamando de furos Lembremos que o fim é definido num disco

6 perfurado No nosso caso, temos duas possibilidades de fim, nos furos 0 e + i Como os pontos do reticulado podem ser identificados pela relação de equivalência, ~ w w = m, m Z, faremos o quociente de C ~ e com isso, o domínio herda a topologia do cilindro menos um número infinito de pontos Com base nesta equivalência podemos identificar os furo com outros pontos do domínio, ou seja, podemos identificar os fins, com isso temos que o fim correspondente ao ponto 0 são identificados com { mi, m C} e ao correspondente ao ponto + i são identificados com { + i + mi, m Z } Com isso concluímos que a superfície possui infinitos fins Estes fins são mergulhados pelo fato da superfície ser mergulhada e livres de período decorrente dos furos não terem período Além disso, cada fim contém uma reta e a aplicação normal de Gauss tem ordem elo fato de terem todas estas características citadas podemos dier que os fins são planos Como g = π N onde π : S C, é a projeção estereográfica, verificamos que g (0) = e com isso obtemos que N = (0,0,1 ) Analogamente, verificamos que g ( 1 ( + i) ) 0 = e obtemos N = ( 0,0, ), o que nos fa concluir que a aplicação normal de Gauss é vertical em cada fim e este contém uma reta horiontal de altura x = m 6 : M é invariante por reflexão em torno do plano x x 1 A interseção deste plano com M consiste em geodésicas planas, que correspondem às retas em T dadas por Re( ) = 0 e Re( ) = elo fato das curvas planas X ( γ C ( t)), γ C ( t) = ci + t,0 t 1 serem círculos fechados, o plano que contém as imagens de µ ~ ( t ) = + ti e µ ˆ( t) coincidem Visto que g = é real em µ = + ti o plano de simetria de M é vertical e paralelo ao plano { x = 0 } Escolhendo ϖ µ(0) 1 = como ponto inicial da integração, o plano vertical x de simetria é exatamente o plano coordenado { } = 0

7 lano 7 : M é invariante por rotação em torno de retas horiontais que são paralelas à reta M { x = m} a uma altura x ( 1 = m + ) e encontram a superfície ortogonalmente Consideremos Q ( ) = ( I( )), onde I é a inversão no ponto 1 ( + ) i e possui as seguintes propriedades: Q ( 0) = 0, Q( ϖ ) = e Q ( + i ) = i Verificamos que Q = 1 resolve um problema de aplicação conforme num retângulo com os vértices 0, ϖ 1, ϖ, ϖ or esta raão ( + ) I = + Visto que I d = d $ temos que I é uma isometria na métrica induida em T De fato, I é induido por uma simetria de R consistindo de uma rotação de π $ sobre uma reta horiontal ortogonal ao plano x x 1 e bissecta o segmento entre X ( ϖ ) ( e X ϖ 1) Esta i i reta horiontal encontra M ortogonalmente nos pontos X ( + ) ( ) e X + ara verificar esse fato, simplesmente observe que I d = d e Segue que φ 1 i( φ = φ = i( + φ id ) d ) d φ 1 I φ = φ φ e observamos que I atua no integrandoφ pela rotação sobre o eixo x Visto que I + i i fixa e + segue que I é induido pela rotação sobre a reta paralela ao eixo x, ϖ + i que passa por X ( ) = X ( ) ϖ i e X ( + ) = X ( + ) ϖ

8 1 Caracteriação Teorema: Uma superfície mínima que é folheada por arcos de círculo é um subconjunto do catenóide ou de uma superfície mínima de Riemann Catenóide Superfície Mínima de Riemann