RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula 3 Problemas de Associação... 2 Verdades e Mentiras Problemas Gerais de Raciocínio Lógico Relação das questões comentadas Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Problemas de Associação São questões envolvendo um grupo de pessoas ou objetos, cada um com uma determinada característica. Nosso papel será determinar quem tem qual característica. Por essa razão, apelidaremos tais questões de Dá a César o que é de César. Veremos as principais técnicas durante a resolução das questões. 01. (TRT-24ª Região 2006/FCC) Alice, Bruna e Carla, cujas profissões são advogada, dentista e professora, não necessariamente nesta ordem, tiveram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas foi aprovada em um concurso público; outra recebeu uma ótima oferta de emprego e a terceira, uma proposta para fazer um curso de especialização no exterior. Considerando que: - Carla é professora. - Alice recebeu proposta para fazer o curso de especialização no exterior. - A advogada foi aprovada em um concurso público. É correto afirmar que: a) Alice é advogada. b) Bruna é advogada. c) Carla foi aprovada no concurso público. d) Bruna recebeu a oferta de emprego. e) Bruna é dentista. Resolução Construiremos uma tabela para associar cada mulher à sua profissão e à sua oportunidade para progredir na carreira. Alice Profissão Oportunidade Bruna Carla Com as duas primeiras informações, podemos preencher a profissão de Carla e a oportunidade de Alice. Prof. Guilherme Neves 2

3 Alice Profissão Oportunidade Curso de especialização Bruna Carla Professora A terceira frase nos diz que a advogada foi aprovada em concurso público. Sabemos que Alice não foi aprovada em concurso público e que Carla não é advogada. Portanto, a terceira frase se refere a Bruna. Alice Profissão Oportunidade Curso de especialização Bruna Advogada Concurso público Carla Professora Por exclusão, temos que Alice é dentista e Carla recebeu uma ótima oferta de emprego. Profissão Oportunidade Alice Dentista Curso de especialização Bruna Advogada Carla Professora Concurso público Oferta de emprego Letra B Bruna é advogada. 02. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Três Agentes Administrativos Almir, Noronha e Creuza trabalham no Departamento Nacional de Obras Contra as Secas: um, no setor de atendimento ao público, outro no setor de compras e o terceiro no almoxarifado. Sabe-se que: esses Agentes estão lotados no Ceará, em Pernambuco e na Bahia; Prof. Guilherme Neves 3

4 Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras; Creuza trabalha no almoxarifado; o Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente, (A) Almir e Noronha. (B) Creuza e Noronha. (C) Noronha e Creuza. (D) Creuza e Almir. (E) Noronha e Almir. Resolução Construiremos uma tabela para associar cada agente administrativo com o seu setor e o seu estado de lotação. Almir Noronha Setor Estado C reuza Almir Creuza trabalha no Noronha almoxarifado; Estado Creuza almoxarifado Setor Almir não trabalha no setor de compras. Por exclusão, quem trabalha no setor de c ompras é Noronha e Almir trabalha no setor de atendimento ao público. Prof. Guilherme Neves 4

5 Setor Almir Atendimento Estado Noronha Compras Creuza Almoxarifado Sabemos que o Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Como Noronha trabalha no setor de compras, então ele está lotado no Ceará. Sabemos que Almir não está lotado na Bahia, portanto, é Creuza quem está lotada na Bahia. Por exclusão, Almir está lotado em Pernambuco. Setor Estado Almir Atendimento Pernambuco Noronha Compras Ceará Creuza Almoxarifado Bahia Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente, Noronha e Almir. Letra E 03. (Agente de Estação Metro SP 2007/FCC) Um pequeno restaurante oferece a seus clientes três opções de escolha do prato principal carne assada, salada de batatas ou frango frito e três opções de escolha da sobremesa fruta da época, pudim de leite ou goiabada com queijo. Três amigos Aluísio, Júnior e Rogério foram a esse restaurante e constatou-se que: cada um deles se serviu de um único prato principal e uma única sobremesa; Rogério comeu carne assada; um deles, que é vegetariano, comeu uma fruta da época como sobremesa; Aluísio escolheu goiabada com queijo como sobremesa. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Aluísio comeu salada de batatas. (B) Aluísio é vegetariano. (C) Rogério comeu pudim de leite. (D) Júnior comeu frango frito. (E) Júnior comeu pudim de leite. Resolução Prof. Guilherme Neves 5

6 Construiremos uma tabela para associar cada cliente com o seu prato escolhido e a sua sobremesa. Aluísio Prato Sobremesa Júnior Rogério Rogério comeu carne assada; Aluísio escolheu goiabada com queijo como sobremesa. Aluísio Júnior Rogério Prato Carne Assada Sobremesa Goiabada com queijo As opções são: prato principal carne assada, salada de batatas ou frango frito e três opções de escolha da sobremesa fruta da época, pudim de leite ou goiabada com queijo. Um deles, que é vegetariano, comeu uma fruta da época como sobremesa. Ora, não estamos falando de Rogério, porque ele comeu carne assada. Também não estamos falando de Aluísio, porque sua sobremesa foi goiabada com queijo. A frase acima se refere a Júnior. Concluímos que Júnior come uma fruta de época como sobremesa e a salada de batatas. Prof. Guilherme Neves 6

7 Aluísio Júnior Rogério Prato Salada de batatas Carne Assada Sobremesa Goiabada com queijo Fruta de época Para completar a tabela, Aluísio comeu frango frito e Rogério comeu pudim de leite. Prato Sobremesa Aluísio Frango frito Goiabada com queijo Júnior Rogério Salada de batatas Carne Assada Fruta de época Pudim de leite (C) Rogério comeu pudim de leite. 04. (Enap 2006/ESAF) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cláudio, Délcio, Eduardo, Fábio e Gelson, estudam no mesmo colégio e na mesma turma de aula. A direção da escola acredita que se esses meninos forem distribuídos em duas diferentes turmas de aula haverá um aumento em suas respectivas notas. A direção propõe, então, a formação de duas diferentes turmas: a turma T1 com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as características dos alunos, na formação das novas turmas, Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma. Armando não pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cláudio. Sabe-se que, na formação das turmas, Armando e Fábio foram colocados na turma T1. Então, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos: a) Cláudio, Délcio e Gelson. b) Bernardo, Cláudio e Gelson. c) Cláudio, Délcio e Eduardo. d) Bernardo, Cláudio e Délcio. e) Bernardo, Cláudio e Eduardo. Prof. Guilherme Neves 7

8 Resolução Informações: 1) a turma T1 tem 4 alunos 2) a turma T2 tem 3 alunos 3) Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma 4) Armando não pode estar junto com Bernardo nem com Cláudio 5) Armando e Fábio estão na T1 Da informação 5, temos: T1: Armando, Fábio Da informação 4, temos que Bernardo e Cláudio devem estar na T2, para ficarem separados de Armando. T2: Bernardo, Cláudio Da informação 3, temos que Délcio está na T2, para ficar junto com Bernardo. T2: Bernardo, Cláudio, Délcio E fechamos a turma T2, que deveria ter 3 alunos. Logo, os alunos restantes (Eduardo e Gelson) devem estar na T1. T1: Armando, Fábio, Eduardo, Gelson A pergunta do exercício foi sobre a T2. Na T2 temos Bernardo, Cláudio e Délcio. Gabarito: D Vamos continuar resolvendo questões neste estilo... Mas vamos agora aumentar um pouco o nível... Preparado? Prof. Guilherme Neves 8

9 05. (SEFAZ-SP 2009/FCC) O setor de fiscalização da secretaria de meio ambiente de um município é composto por seis fiscais, sendo três biólogos e três agrônomos. Para cada fiscalização, é designada uma equipe de quatro fiscais, sendo dois biólogos e dois agrônomos. São dadas a seguir as equipes para as três próximas fiscalizações que serão realizadas. Sabendo que Pedro é biólogo, é correto afirmar que, necessariamente, (A) Valéria é agrônoma. (B) Tânia é bióloga. (C) Rafael é agrônomo. (D) Celina é bióloga. (E) Murilo é agrônomo. Resolução Vamos observar o segundo grupo de fiscalização. Sabemos que neste grupo deve haver dois biólogos e dois agrônomos. Como Pedro é biólogo, apenas um dentre Tânia, Valéria e Murilo é biólogo. Vamos testar cada uma das possibilidades: i) Tânia é bióloga? Se Tânia for bióloga, então Valéria e Murilo são agrônomos. Contradição, pois no primeiro grupo de fiscalização em que Valéria e Murilo figuram (eles são agrônomos) devemos ter dois biólogos: Celina e Rafael. Temos, portanto, 4 biólogos, a saber: Celina, Rafael, Tânia e Pedro. Devemos descartar esta possibilidade de Tânia ser bióloga. ii) Valéria é bióloga? Se Valéria for bióloga, então Tânia e Murilo são agrônomos. Contradição, pois no terceiro grupo de fiscalização em que Tânia e Murilo figuram (eles são agrônomos) devemos ter dois biólogos: Celina e Rafael. Temos, portanto, 4 biólogos, a saber: Celina, Rafael, Valéria e Pedro. Devemos descartar esta possibilidade de Valéria ser bióloga. Prof. Guilherme Neves 9

10 iii) Por exclusão, concluímos que Murilo é biólogo. Murilo sendo o biólogo, Tânia e Valéria são agrônomas. Letra A 06. (MPU 2004/ESAF) Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo, a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que Luís. b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho do que o matemático. c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o agrônomo. d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do que o matemático. e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o economista. Resolução: Observem que a questão traz muitas informações inúteis, que estão aí só para encher o enunciado e deixar o candidato confuso. A questão fala sobre quem gosta de ir ao cinema, ou sobre quem torce para o Flamengo. Tudo isso é inútil. Olhando para as alternativas, temos que só o que a questão quer saber é a profissão de cada irmão. Além disso, temos que identificar a ordem de idade. Muito bem. Precisamos associar cada pessoa à sua profissão. A tabela abaixo representa todas as possibilidades: Prof. Guilherme Neves 10

11 Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Oscar Nédio No início do problema, todas as células estão em branco. Isto porque não Pedro chegamos a nenhuma conclusão sobre nenhuma delas. Vamos começar a ler as informações. 1. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar Leiam com atenção a frase acima. Luís é paulista como o agrônomo. Ora, então Luís não é o agrônomo. E mais: Luís é mais moço que o engenheiro. Só podemos concluir que Luís também não é o engenheiro. Por fim: se Luís é mais moço que o engenheiro e mais velho que Oscar, então Oscar também não é o engenheiro. Assim, desta primeira informação podemos tirar várias conclusões: Luís não é agrônomo Luís não é engenheiro Oscar não é engenheiro Agora nos dirigimos à nossa tabela e anotamos todas estas informações. Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Prof. Guilherme Neves 11 Mário

12 Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Oscar O tracejado em cada célula significa que a possibilidade nela indicada está descartada. Assim, a título de exemplo, descartamos a hipótese de Luís ser engenheiro. Por isso, preenchemos a célula correspondente com o símbolo Vamos continuar lendo o enunciado. 2. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro Desta segunda informação, podemos tirar as seguintes conclusões: Mário não é economista Mário não é agrônomo Atualizando nossa tabela, temos: Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Voltemos ao enunciado: 3. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. Concluímos que: Luís não é economista Luís não é matemático Prof. Guilherme Neves 12

13 Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Observe que, para Luís, só restou uma opção. Luís só pode ser Arquiteto. Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Na célula correspondente à combinação Luís/arquiteto, colocamos o símbolo para indicar que esta associação está correta. Como já descobrimos que Luís é o arquiteto, então nenhum outro irmão é arquiteto. Devemos atualizar nossa tabela: Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Voltemos ao enunciado: 4. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio Prof. Guilherme Neves 13

14 Conclusão: Mário não é matemático Nédio não é matemático. Nossa tabela fica assim: Arquiteto EngenheiroEconomistaAgrônomoMatemáticoLuís Mário Nédio Pedro Oscar Observem que, para Mário, só sobrou uma opção. Mário só pode ser engenheiro Arquiteto EngenheiroEconomistaAgrônomoMatemáticoLuís Mário Nédio Pedro Oscar Já sabemos que Mário é engenheiro. Deste modo, podemos excluir as possibilidades que associam a profissão de engenheiro aos demais irmãos. Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Prof. Guilherme Neves 14 Nédio

15 Continuemos com a leitura do enunciado: 5. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Conclusões: Nédio não é economista Pedro não é economista Atualizando nossa tabela: Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Reparem que, para o economista, só há uma opção. O economista só pode ser o Oscar. Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Podemos descartar todas as células que associam Oscar a qualquer outra profissão diferente de economista. Prof. Guilherme Neves 15

16 Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Para o matemático só sobrou uma opção. O matemático só pode ser Pedro. Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Podemos descartar as células que associam Pedro a qualquer outra profissão diferente de matemático. Arquiteto Engenheiro Economista Agrônomo Matemático Luís Mário Nédio Pedro Oscar Finalmente, Nédio só pode ser agrônomo. Prof. Guilherme Neves 16

17 RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Arquiteto EngenheiroEconomistaAgrônomoMatemáticoLuís Mário Nédio Pedro Oscar Pronto. Sabemos que: Luís é arquiteto Mário é engenheiro N édio é agrônomo Pedro é matemático Oscar é economista Falta-nos, agora, apenas ver a ordem de idades entre os irmãos. Já sabendo a profissão de cada um, isto fica bem fácil. Vamos reler novamente o enunciado, trazendo todas as informações que fazem menção às idades. 1. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. Conclusão: O engenheiro (=Mário) é mais velho que Luís, que é mais velho que Oscar. Vamos representar esta relação da seguinte forma: Mário > Luís > Oscar 5. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Concluímos que o arquiteto (=Luís) é mais velho que Pedro; Pedro é mais velho que o economista (=Oscar), que por sua vez é mais velho que Nédio. Luis > Pedro > Oscar > Nédio Além disso, já tínhamos concluído que Mário é mais velho que Luís. Ou seja, a relação dos irmãos fica: Prof. Guilherme Neves 17

18 Mario (engenheiro) > Luís (arquiteto) > Pedro (matemático) > Oscar (economista) > Nédio (agrônomo). Gabarito: A 07. MPU 2004 [ESAF] Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente, a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís. b) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula. c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga. d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara. e) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair. Resolução: Prof. Guilherme Neves 18

19 Agora temos que relacionar cada homem ao nome de seu barco e ao nome de sua filha. Laís Caio Décio Éder Felipe Gil Nomes das filhas Laís Nomes dos barcos Mara Nair N air Paula P aul a Olga Prof. Guilherme Neves 19

20 O barco de Éder se chama Mara Já conseguimos preencher diversas células: Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Laís Nomes dos barcos Mara Nair Nair Paula Como já sabemos que o Olga barco de Décio se chama Laís, então podemos descartar todas as células que associam Décio a qualquer outro barco. Também podemos descartar todas as células que associam o barco Laís a qualquer outro Paulahomem. Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Olga Mara Nomes dos Laís Nair Mara Prof. Guilherme Neves Paula 20

21 barcos N air Paula Olga Décio Éder Felipe Gil Laís Como já sabemos que o barco de Éder se chama Mara, ntão podemos descartar Nomes todas as células que associam o nome do Éder a qualquer outro barco. das E podemos descartar todas as células que associam o barco Mara a qualquer filhas outro homem. Mara Caio Laís Nomes dos barcos Nair Mara Nair Paula Paula Olga Olga Continuemos com a leitura do enunciado. 2. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Conclusões: Gil não é pai de Olga O pai de Olga pôs o nome de Paula em seu barco (VOLTAR N ESTA CONCLUSÃO) O barco de Gil não se chama Paula (pois Paula é o barco do pai de Olga) Prof. Guilherme Neves 21

22 Quanto à segunda conclusão, ela ainda não é suficiente pra gente preencher nenhuma célula, pois não sabemos quem é o pai de Olga nem quem é o dono do barco Paula. Por isto, deixei marcado, em verde, pra voltarmos nela posteriormente, quando já soubermos quem é o pai de Olga (ou quem é o dono do barco Paula). Quanto à primeira conclusão (Gil não é pai de Olga), já podemos descartar a célula correspondente. O mesmo se aplica à terceira conclusão (o barco de Gil não se chama Paula) Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Continuemos com o enunciado. 3. Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. Conclusões: O barco de Caio se chama Nair Caio não é pai de Nair (ele não pode dar ao seu barco o nome de sua filha) O barco do pai de Nair se chama Olga Prof. Guilherme Neves 22

23 Como Caio não é pai de Nair, podemos descartar a célula correspondente. Devemos, ainda, marcar a célula que indica que o barco de Caio se chama Nair: Laís Caio Décio Éder Felipe Gil Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Podemos descartar as células que associam o nome de Caio a qualquer outro barco. Devemos ainda descartar as células que associam o barco Nair a qualquer outra pessoa. Laís Caio Décio Éder Felipe Gil Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Nomes dos barcos Laís Mara Nair Prof. Guilherme Neves 23

24 Paula Olga Notem que, para Gil, só sobrou uma opção de barco. O barco de Gil só pode se chamar Olga. Vamos marcar a célula correspondente. Laís Caio Décio Éder Felipe Gil Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Podemos descartar as células que associam o barco Olga a qualquer outro homem. Prof. Guilherme Neves 24

25 Laís Caio Décio Éder Felipe Gil Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Notem que, para Felipe, só sobrou uma opção de barco. O barco de Felipe só pode ser Paula. Consequentemente, a filha de Felipe não se chama Paula. Vamos marcar as células correspondentes. Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Prof. Guilherme Neves 25 Nair

26 A última conclusão a que chegamos foi que o barco Olga pertence ao pai de Nair. Como sabemos que o barco Olga pertence a Gil, concluímos que Gil é pai de Nair. Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Podemos descartar as células que associam Gil a qualquer outra filha. Também vamos descartar as células que associam Nair a qualquer outro pai. Prof. Guilherme Neves 26

27 Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Acabou-se o enunciado e não conseguimos terminar a tabela. E agora? Erramos em alguma coisa? Não, não foi isso. Lembram-se que pulamos uma conclusão? Foi aquela que marcamos em verde. Vamos voltar nela: O pai de Olga pôs o nome de Paula em seu barco Sabemos que o barco Paula pertence a Felipe. Conclusão: Felipe é o pai de Olga. Vamos marcar a célula correspondente. Prof. Guilherme Neves 27

28 Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Vamos descartar as células que associam Felipe a qualquer outra filha. Vamos também descartar as células que associam Olga a qualquer outro pai. Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Prof. Guilherme Nair Neves

29 Observem que, para Laís, só sobrou uma opção de pai. O pai de Laís só pode ser Caio. Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Vamos descartar as células que associam Caio a qualquer outra filha. Prof. Guilherme Neves 29

30 Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Reparem que, para Mara, só sobrou uma opção de pai. O pai de Mara só pode ser Décio. Prof. Guilherme Neves 30

31 Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Podemos descartar as células que associam Décio a qualquer outra filha. Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Finalmente, Éder só pode ser o pai de Paula. Prof. Guilherme Neves 31

32 Caio Décio Éder Felipe Gil Laís Nomes das filhas Mara Nair Paula Olga Laís Nomes dos barcos Mara Nair Paula Olga Pronto. Preenchemos toda a tabela. Gabarito: E 08. (MTE 2003/ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente: a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos c) Júlia e Gustavo d) Ana e Alberto e) Celina e Gustavo Resolução: Prof. Guilherme Neves 32

33 Precisamos relacionar cada marido à sua esposa. Nossa tabela fica: Alberto Celina Ana Júlia Helena C arlos G Ana Júlia Helena ustav Alberto o Carlos Tiago G ustavo Ana Júlia Helena Alberto Tiago Iniciemos a leitura do enunciado. Prof. Guilherme Neves Na primeira partida, Celina joga contra Alberto

34 Gustavo Tiago Na seqüência do enunciado, temos: 3. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Lembrem-se de que uma pessoa não joga duas partidas seguidas. Como Ana jogou a segunda partida, então Ana não é esposa de Alberto. Alberto Celina Ana Júlia Helena Carlos Gustavo Tiago Ana Júlia Helena Observem que, para Alberto, só sobrou uma opção de esposa. A esposa de Alberto só pode ser Helena Celina Carlos Gustavo Tiago Podemos descartar as células que associam Helena a qualquer outro marido. Prof. Guilherme Neves 34

35 Alberto Carlos Gustavo Tiago Celina Ana Júlia Helena Voltando ao enunciado: 4. Na quarta, Celina joga contra Carlos. Como a partida anterior foi entre a esposa de Alberto e o marido de Ana, então: Celina não é esposa de Alberto (pois Celina não pode ter jogado duas partidas seguidas) O marido de Ana não é o Carlos (pois Carlos não pode ter jogado duas partidas seguidas) Celina não é esposa de Carlos (marido e esposa não jogam entre si) Celina Ana Júlia Helena Alberto Carlos Gustavo Tiago Continuando com o enunciado: 5. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. Como a partida anterior foi disputada entre Celina e Carlos, então: Celina não é esposa de Gustavo Prof. Guilherme Neves 35

36 Celina Ana Júlia Helena Alberto Carlos Gustavo Tiago Notem que, para Carlos, só sobrou uma opção de esposa. A esposa de Carlos só pode ser Júlia. Celina Ana Júlia Helena Alberto Carlos Gustavo Tiago Podemos descartar as células que associam Júlia a qualquer outro marido. Celina Ana Júlia Helena Alberto Carlos Gustavo Tiago Para Celina só sobrou uma opção de marido. O marido de Celina só pode ser Tiago. Conseqüentemente, o marido de Ana só pode ser Gustavo. Alberto Celina Ana Júlia Helena Prof. Guilherme Neves 36 Carlos

37 A esposa de Tiago é Celina. O marido de Helena é Alberto. Gabarito: A 09. CGU 2006 [ESAF] Cinco irmãs nasceram, cada uma, em um estado diferente do Brasil. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. A cearense, a paulista e Helena gostam de teatro tanto quanto Norma. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas, psicólogas. A mineira costuma ir ao cinema com Helena e Paula. A paulista é mais moça do que a goiana, mas é mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula. Logo: a) Norma é gaúcha, a goiana é mais velha do que a mineira, e Helena é mais moça do que a paulista. b) Paula é gaúcha, Lúcia é mais velha do que Helena, e a mineira é mais velha do que Maria. c) Norma é mineira, a goiana é mais velha do que a gaúcha, e Maria é mais moça do que a cearense. d) Lúcia é goiana, a gaúcha é mais moça do que a cearense, e Norma é mais velha do que a mineira. e) Paula é cearense, Lúcia é mais velha do que a paulista, e Norma é mais moça do que a gaúcha. Resolução: Precisamos relacionar cada irmã ao seu Estado de origem. Lúcia SP MG CE RS GO M Prof. Guilherme Neves 37 aria

38 1. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. Conclusões: Lúcia não é cearense Lúcia não é gaúcha Maria não é gaúcha. Podemos preencher as células correspondentes. MG CE RS GO Lúcia SP Maria Helena Norma Paula Continuando coma leitura do enunciado: 2. A cearense, a paulista e Helena gostam de teatro tanto quanto Norma. Conclusões: Helena não é cearense Helena não é paulista N orma não é cearense N orma não é paulista Prof. Guilherme Neves 38 Atualizando nossa tabela:

39 SP MG CE RS GO Lúcia Maria Helena Norma Paula Voltando ao enunciado: MG CE RS GO 3. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas, Lúcia psicólogas. Conclusões: Lúcia não é paulista Maria Lúcia não é mineira Nossa tabela fica: Helena SP Norma Paula Reparem que, para Lucia, só sobrou uma opção de Estado. Lúcia só pode ser goiana. Vamos marcar a opção correspondente. Prof. Guilherme Neves 39

40 Lúcia Maria SP MG CE RS GO Helena Norma MG CE RS GO Paula Lúcia Maria Helena Como Lúcia é goiana, podemos descartar as células que associam o estado de Norma Goiás a todas as outras Paula moças SP Continuemos com o enunciado: 4. A mineira costuma ir ao cinema com Helena e Paula. Conclusões: Helena não é mineira Paula não é mineira Atualizando nossa tabela, temos: Prof. Guilherme Neves 40

41 SP MG CE RS GO Lúcia Maria Helena Norma Paula Reparem que só sobrou para Helena o estado de RS. Portanto, Helena é a gaúcha e as outras não são gaúchas. Dessa forma, vamos marcar Helena como gaúcha e descartar o estado de RS para as outras. Vamos colocar esta informação na tabela: SP MG CE RS GO Lúcia Maria Helena Norma Paula Neste momento percebemos que Norma só pode ser a mineira. As outras não podem ser mineiras. Vamos marcar o estado de MG para Norma e descartar este estado para as outras: Prof. Guilherme Neves 41

42 Lúcia Maria SP MG CE RS GO Helena Norma Paula Ainda falta descobrir os estados de Maria e Paula. Precisamos de mais informação. Na seqüência do enunciado, temos: 5. A paulista é mais moça do que a goiana, mas é mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula. Conclusões: Paula não é mineira Paula não é goiana Paula não é paulista A tabela fica assim: SP MG CE RS GO Lúcia Maria Helena Norma Paula Notem que para São Paulo só sobrou uma opção de moça. A paulista só pode ser a Maria. Prof. Guilherme Neves 42

43 SP MG CE RS GO Lúcia Maria Helena Norma Paula Podemos descartar as células que associam Maria a qualquer outro Estado. SP MG CE RS GO Lúcia Maria Helena Norma Paula Por último, a cearense só pode ser Paula. SP MG CE RS GO Lúcia Maria Helena Norma Paula Pronto. Preenchemos a tabela inteira. Concluímos que: Lúcia é goiana Prof. Guilherme Neves 43

44 Maria é paulista Helena é gaúcha N orma é mineira Paula é cearense Agora falta apenas ver a relação entre as idades. São apenas duas frases do enunciado que fazem referência às idades. 1. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. Temos que a gaúcha (=Helena) é mais velha que Lúcia, que é mais velha que Maria. A outra informação sobre as idades é: Helena > Lúcia > Maria 5. A paulista é mais moça do que a goiana, mas é mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula. A goiana (=Lúcia) é mais velha que a paulista (=Maria), que é mais velha que mineira (=Norma). Norma, por sua vez, é mais velha que Paula. Lúcia > Maria > Norma > Paula Já sabíamos que Helena é mais velha que Lúcia. Conclusão: Gabarito: Helena (gaúcha)> E Lúcia (goiana) > Maria (paulista) > Norma (mineira)> 010. Paula (Analista Judiciário TRT 1ª Região 2011/FCC) Há dois casais (marido e mulher) dentre Carolina, Débora, (cearense) Gabriel e Marcos. A respeito do estado brasileiro (E) e da região do Brasil (R) que cada uma dessas quatro pessoas nasceu, sabe-se que: Carolina nasceu na mesma R que seu marido, mas em E diferente; Gabriel nasceu no Rio de Janeiro, e sua esposa na Região Nordeste do Brasil; os pais de Marcos nasceram no Rio Grande do Sul, mas ele nasceu em outra R; Prof. Guilherme Neves 44

45 Débora nasceu no mesmo E que Marcos. É correto afirmar que (A) Marcos nasceu na mesma R que Gabriel. (B) Carolina e Débora nasceram na mesma R. (C) Gabriel é marido de Carolina. (D) Carolina pode ser gaúcha. (E) Marcos não é baiano. Resolução As duas primeiras informações são importantes para determinar quais são os casais. Carolina nasceu na mesma R que seu marido, mas em E diferente; Gabriel nasceu no Rio de Janeiro, e sua esposa na Região Nordeste do Brasil; Como Gabriel e sua esposa nasceram em regiões diferentes (Gabriel no Sudeste e sua esposa no Nordeste), então Gabriel e Carolina não são casados (porque Carolina nasceu na mesma região do seu marido). Assim, concluímos que Carolina é casada com Marcos e Débora é casada com Gabriel. Podemos construir uma tabela para nos auxiliar na organização dos dados. Carolina Região Estado r a a M cos é D bora Gabriel nasceu no Rio de Janeiro (região Sudeste), e sua esposa na Região Nordeste G do Brasil; briel Região Estado Carolina Marcos Débora Nordeste Gabriel Sudeste Rio de Janeiro Débora nasceu no mesmo E que Marcos. Como Débora nasceu no mesmo estado que Marcos, então Marcos também nasceu na região Nordeste. Como os estados são iguais, colocarei uma letra A em ambos para que possamos nos lembrar deste fato. Prof. Guilherme Neves 45

46 Região Estado Carolina Marcos Nordeste A Débora Nordeste A Gabriel Sudeste Rio de Janeiro Carolina nasceu na mesma R que seu marido, mas em E diferente; Concluímos que Carolina também nasceu no Nordeste, porém seu estado é diferente do estado A. Região Estado Carolina Nordeste B Marcos Nordeste A Débora Nordeste A Gabriel Sudeste Rio de Janeiro Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. (A) Marcos nasceu na mesma R que Gabriel. Falso. Gabriel nasceu na região sudeste e Marcos na região Nordeste. (B) Carolina e Débora nasceram na mesma R. Verdadeiro. As duas nasceram na região Nordeste. (C) Gabriel é marido de Carolina. Falso. Gabriel é marido de Débora. (D) Carolina pode ser gaúcha. Falso. Carolina é nordestina. (E) Marcos não é baiano. Falso. Como Marcos nasceu na região Nordeste, ele pode ser baiano. Gabarito: B Quando você tiver um tempinho, tente resolver o desafio que está no seguinte link: &idpag=6 Prof. Guilherme Neves 46

47 A solução está no seguinte link: _D.pdf Verdades e Mentiras Neste tipo de exercício temos o seguinte: Um tipo de pessoa que sempre diz a verdade Um tipo de pessoa que sempre mente Um tipo de pessoa que pode tanto mentir quanto falar a verdade (este terceiro tipo de pessoa não está presente em todos os problemas) Geralmente pretende-se descobrir informações como: Quem está mentindo e quem está dizendo a verdade; Quantas pessoas estão mentindo e quantas estão dizendo a verdade; Outras informações, independentemente de quem esteja mentindo e de quem esteja dizendo a verdade. As bancas costumam colocar dois tipos de problema de mentira e verdade. No primeiro tipo de problema, cada uma das pessoas que mente/fala a verdade faz uma declaração sobre sua própria natureza ou sobre a natureza de outra pessoa. Geralmente a resolução do problema passa por uma consideração inicial sobre uma das pessoas (ou seja: damos um chute, para termos um ponto de partida). No segundo tipo de problema, é possível detectarmos as chamadas respostaschave. São respostas que, de imediato, nos permitem tirar conclusões úteis. Verdade e mentira: exercícios do primeiro tipo 011. (CGU 2004/ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: Eu sou o ladrão. Prof. O segundo Guilherme diz: É Neves verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. 47

48 O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo Resolução: Este exercício acima é o padrão deste tipo de problema. A resolução é sempre da mesma forma. Precisamos fazer uma consideração sobre uma das pessoas. Um chute. Isto mesmo, vamos chutar. Dados do enunciado: O marceneiro sempre diz a verdade. O pedreiro sempre mente. O ladrão pode tanto mentir quanto dizer a verdade. Vamos criar uma lista das conclusões a que conseguirmos chegar. Estas conclusões serão a base para avaliarmos cada informação do enunciado, permitindo que tiremos novas conclusões. Inicialmente, nossa lista está em branco: Conclusões Vamos fazer uma consideração sobre a primeira pessoa. Vamos supor que ela seja mentirosa. Hipótese: o primeiro homem é mentiroso. Prof. Guilherme Neves 48

49 Tudo que fizermos daqui pra frente será com base nessa consideração. É como se já soubéssemos que o primeiro homem mentiu. Podemos atualizar a listagem de conclusões. Conclusões Premissa O primeiro homem é mentiroso Na verdade, não é bem correto dizer que esta é nossa primeira conclusão. Não sabemos se, de fato, o primeiro homem é mentiroso. É apenas uma hipótese. Simplesmente decidimos tomar isso como verdade. Vamos começar a ler as informações da questão. A primeira informação do enunciado é: 1. O primeiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que o primeiro homem é mentiroso (esta é nossa premissa). Conclusão: o primeiro homem não é o ladrão. Conclusões Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão Voltemos ao enunciado. A segunda informação é: 2. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. Análise: Sabemos que o primeiro homem não é o ladrão (ver 1ª conclusão). Portanto, o segundo homem está mentindo. Conclusões Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está mentindo Se os dois primeiros mentiram, então nenhum deles é o marceneiro (que sempre diz a verdade). O marceneiro só pode ser a terceira pessoa. Prof. Guilherme Neves 49

50 Conclusões: o terceiro homem fala a verdade e é o marceneiro Conclusões Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está mentindo 3ª conclusão O terceiro homem fala a verdade 4ª conclusão O terceiro homem é o marceneiro A terceira informação dada é: 3. O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que o terceiro homem diz a verdade (com base na 3ª conclusão). Portanto, o terceiro homem é o ladrão. Conclusões Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está mentindo 3ª conclusão O terceiro homem fala a verdade 4ª conclusão O terceiro homem é o marceneiro 5ª conclusão O terceiro homem é o ladrão Disto, chegamos a uma contradição. Nossa quarta conclusão foi que o terceiro homem é o marceneiro. E nossa quinta conclusão foi que o terceiro homem é o ladrão. Isto é um absurdo. O terceiro homem não pode ser marceneiro e ladrão ao mesmo tempo. Só chegamos a um absurdo porque a suposição inicial não foi correta. Vamos mudar a hipótese inicial? Prof. Guilherme Neves 50

51 Bom, se o primeiro homem não mentiu, só temos uma opção: ele disse a verdade. Agora nossa hipótese é: o primeiro homem disse a verdade. Conclusões Hipótese O primeiro homem é verdadeiro Vamos reler as informações do enunciado. 1. O primeiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que o primeiro homem é verdadeiro (esta é nossa nova premissa). Conclusão: o primeiro homem é o ladrão. Conclusões Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão Segunda informação: 2. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. Análise: Sabemos que primeiro homem é o ladrão (ver primeira conclusão). Portanto, o segundo homem está falando a verdade. Conclusões Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está falando a verdade Se os dois primeiros disseram a verdade, então nenhum deles é o pedreiro (que sempre mente). O pedreiro só pode ser a terceira pessoa. Conclusão: o terceiro homem é mentiroso e é o pedreiro. Prof. Guilherme Neves 51

52 Conclusões Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está falando a verdade 3ª conclusão O terceiro homem é mentiroso 4ª conclusão O terceiro homem é o pedreiro Por exclusão, o segundo homem é o marceneiro. Conclusões Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está falando a verdade 3ª conclusão O terceiro homem é mentiroso 4ª conclusão O terceiro homem é o pedreiro 5ª conclusão O segundo homem é o marceneiro Terceira informação: O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que esta afirmação é falsa, pois o ladrão é o primeiro (ver 1ª conclusão). E realmente era para ser algo falso, pois o terceiro homem é mentiroso, conforme a 3ª conclusão. Nesta segunda hipótese não chegamos a nenhum absurdo. Ela representa a resposta correta: O ladrão é o primeiro O marceneiro é o segundo O pedreiro é o terceiro Letra B Prof. Guilherme Neves 52

53 012. (AFC CGU 2006/ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber: Caixa 1: O livro está na caixa 3. Caixa 2: A caneta está na caixa 1. Caixa 3: O livro está aqui. Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente, a) a caneta, o diamante, o livro. b) o livro, o diamante, a caneta. c) o diamante, a caneta, o livro. d) o diamante, o livro, a caneta. e) o livro, a caneta, o diamante. Resolução Aqui não temos exatamente pessoas que mentem/falam a verdade. Temos inscrições que podem ser verdadeiras ou falsas. Mas a idéia de resolução é a mesma. Dados do exercício: A caixa com o diamante tem inscrição verdadeira A caixa com a caneta tem inscrição falsa A caixa com o livro tem uma inscrição que pode ser verdadeira ou falsa Nossa lista de conclusões, inicialmente, está em branco. Conclusões Prof. Guilherme Neves 53

54 E vamos ao nosso chute inicial. Vamos supor que a inscrição da caixa 1 seja verdadeira. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. A primeira informação dada foi: 1. Inscrição da caixa 1: O livro está na caixa 3. Análise: Sabemos que a caixa 1 é verdadeira (essa é nossa premissa). Conclusão: o livro está na caixa 3. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 Segunda informação: 2. Inscrição da caixa 2: A caneta está na caixa 1. Até daria para, já agora, tirarmos uma conclusão sobre esta informação acima. Mas vamos deixá-la para depois. Vocês verão que, com isso, nossa análise ficará bem fácil. Terceira informação: 3. Inscrição da caixa 3: O livro está aqui. Análise: sabemos que, realmente, o livro está na caixa 3 (ver 1ª conclusão). Portanto, a inscrição da caixa 3 é verdadeira. Observem que foi mais fácil passar direto para a informação 3, pois ela, a exemplo da informação 1, já analisada, também se refere à caixa 3. E para a caixa 3 nós já temos uma conclusão. Prof. Guilherme Neves 54

55 Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira Como as inscrições das caixas 1 e 3 são verdadeiras, nenhuma delas contém a caneta (pois a caixa com a caneta tem inscrição falsa). A caixa com a caneta só pode ser a caixa 2. Conclusão: a caixa 2 contém a caneta e tem uma inscrição falsa. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira 3ª conclusão A caneta está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa. Por exclusão, a caixa 1 contém o diamante. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira 3ª conclusão A caneta está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa. 5ª conclusão O diamante está na caixa 1 Prof. Guilherme Neves 55

56 Agora sim, vamos voltar à segunda informação. 2. Inscrição da caixa 2: A caneta está na caixa 1. Análise: agora que já descobrimos o que tem em cada caixa, fica fácil dizer que esta afirmação acima é falsa (pois, de acordo com a 5ª conclusão, na caixa 1 está o diamante). E, realmente, era para ser uma informação falsa, pois a inscrição da caixa 2 é falsa (ver 3ª conclusão). Reparem que não chegamos a nenhum absurdo. O conteúdo de cada caixa é: Caixa 3: livro Caixa 2: caneta Caixa 1: diamante. Letra: C Aí vem a pergunta: mas Professor, e se a gente tivesse chutado que a inscrição da caixa 1 é falsa? Bom, aí chegaríamos a um absurdo. Caso esta fosse nossa hipótese, teríamos: Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa Primeira informação: 1. Inscrição da caixa 1: O livro está na caixa 3. Análise: Sabemos que a inscrição da caixa 1 é falsa. Conclusão: o livro não está na caixa 3. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 Novamente, vamos pular a segunda informação. Prof. Guilherme Neves 56

57 Terceira informação: RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB 3. Inscrição da caixa 3: O livro está aqui. Análise: Sabemos que o livro não está na caixa 3. Portanto, a inscrição da caixa 3 também é falsa. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa Como as caixas 1 e 3 são falsas, nenhuma delas pode ser a caixa que contém o diamante (pois a caixa com o diamante tem uma inscrição verdadeira). Logo, o diamante só pode estar na caixa 2. Conclusão: o diamante está na caixa 2 e a caixa 2 tem uma inscrição verdadeira. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira Segunda informação: 2. Inscrição da caixa 2: A caneta está na caixa 1. Análise: sabemos que a caixa 2 é verdadeira. Então, de fato, a caneta está na caixa 1. Prof. Guilherme Neves 57

58 Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira 5ª conclusão A caneta está na caixa 1 Por exclusão, a caixa 3 só pode conter o livro. Conclusões Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira 5ª conclusão A caneta está na caixa 1 6ª conclusão O livro está na caixa 3 E chegamos a uma contradição. Nossa primeira conclusão foi de que o livro não está na caixa 3. E nossa última conclusão foi que o livro está na caixa 3. Esta situação é absurda. E só chegamos a uma situação absurda quando a hipótese inicial é errada! 013. (CVM 2001/ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. Prof. Guilherme Neves 58

59 O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria Resolução: Somente uma pessoa mentiu. Observem que a afirmação de Manuel é a mais simples de ser analisada. Ele se refere apenas à Mara. Ele diz que Mara foi quem entrou sem pagar. Por este motivo, vamos fazer nossas hipóteses sobre Manuel. Hipótese: Manuel está mentindo e os demais estão dizendo a verdade. Hipótese Manuel é o único mentiroso Conclusões Como só sabemos algo a respeito de Manuel, vamos analisar sua declaração. Manuel afirma que Mara entrou sem pagar. Sabemos que Manuel é mentiroso. Logo, Mara pagou para entrar. Conclusões Hipótese Manuel é o único mentiroso 1ª conclusão Mara pagou para entrar Mara afirma que Mário está mentindo. Sabemos que Mara é verdadeira (pois Manuel é o único mentiroso). Logo, Mário está mentindo. Prof. Guilherme Neves 59

60 Conclusões Hipótese Manuel é o único mentiroso 1ª conclusão Mara pagou para entrar 2ª conclusão Mário está mentindo E chegamos a uma contradição. Segundo nossa hipótese, o único mentiroso é o Manuel. E nossa segunda conclusão foi que Mário está mentindo. Isto é absurdo. Portanto, nossa hipótese está errada. Na verdade, Manuel está dizendo a verdade. Ora, se Manuel está dizendo a verdade, então Mara entrou sem pagar. Letra: C Interessante observar que, nesta segunda hipótese, não chegamos a nenhuma contradição. Para não deixar dúvidas, seguem as demais conclusões: Marcos diz que não foi ele nem o Manuel que entraram sem pagar. Sabemos que Mara entrou sem pagar. Marcos está dizendo a verdade. Mário diz que foi o Manuel ou a Maria que entrou sem pagar. Sabemos que quem entrou sem pagar foi Mara. Conclusão: Mário está mentindo. Mara diz que Mário está mentindo. Sabemos que realmente ele é mentiroso. Conclusão: Mara diz a verdade. Maria diz que foi o Marcos ou a Mara. Sabemos que foi a Mara quem entrou sem pagar. Conclusão: Maria diz a verdade. Notem que apenas Mário mentiu, o que está de acordo com o enunciado (há apenas 1 mentiroso). Outra forma de resolução, um pouco mais demorada, seria a seguinte. Poderíamos chutar quem entrou sem pagar e ver quantas pessoas estariam mentindo. Primeiro, chutaríamos que Marcos entrou sem pagar. Concluiríamos que haveria mais de 1 mentiroso (absurdo). Depois, chutaríamos que Mário entrou sem pagar. Concluiríamos que haveria mais de 1 mentiroso (absurdo). E assim por diante. Prof. Guilherme Neves 60

61 014. (MTE 2003/ESAF) Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações: Beta a 5 km e Gama a 7 km. Depois, já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: Alfa a 4 km e Gama a 6 km. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: Alfa a 7 km e Beta a 3 km. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: a) 5 e 3 b) 5 e 6 c) 4 e 6 d) 4 e 3 e) 5 e 2 Resolução: As indicações de placa são: Alfa: beta a 5 km e gama a 7 km Beta: alfa a 4 km e gama a 6 km Gama: alfa a 7 km e beta a 3 km Hipótese: as placas de alfa são verdadeiras. Conclusões Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras Como as placas de alfa são verdadeiras, então: a distância entre alfa a beta é de 5 km; a distância entre alfa e gama é de 7 km; por diferença, a distância entre beta é gama é de 2 km. Prof. Guilherme Neves 61

62 Conclusões Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras 1ª conclusão Distância de alfa a beta: x = 5 km 2ª conclusão Distância de alfa a gama: x+y = 7 km 3ª conclusão Distância de beta a gama: y = 2 km A primeira placa de beta afirma que a distância entre alfa e beta é de 4 km, o que é falso. A segunda placa de beta afirma que a distância entre beta e gama é de 6 km, o que é falso. Conclusão: as duas placas de beta são falsas Conclusões Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras 1ª conclusão Distância de alfa a beta: x = 5 km 2ª conclusão Distância de alfa a gama: x+y = 7 km 3ª conclusão Distância de beta a gama: y = 2 km 4ª conclusão As duas placas de Beta são falsas A primeira placa de gama afirma que a distância entre alfa e gama é de 7 km, o que é verdadeiro. A segunda placa de gama afirma que a distância entre beta e gama é de 3 km, o que é falso. Conclusão: gama tem uma placa verdadeira e uma falsa Prof. Guilherme Neves 62

63 Conclusões Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras 1ª conclusão Distância de alfa a beta: x = 5 km 2ª conclusão Distância de alfa a gama: x+y = 7 km 3ª conclusão Distância de beta a gama: y = 2 km 4ª conclusão As duas placas de Beta são falsas 5ª conclusão Gama tem uma placa verdadeira e uma falsa Não chegamos a nenhuma contradição. Obtivemos 1 cidade com duas placas verdadeiras (alfa), 1 cidade com duas placas falsas (beta) e 1 cidade com uma placa falsa e outra verdadeira (gama). Foi exatamente a condição imposta no enunciado. Qualquer outra hipótese feita quanto às placas de alfa resultaria em contradição. Letra: E 015. (MPU 2004/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: Neste set, o escore está 13 a 12. Berenice: O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set. Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Denise: O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que Prof. Guilherme Neves 63

64 a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. Resolução: Chute: Amanda é mentirosa. Conclusões Hipótese Amanda é mentirosa Vamos avaliar a frase de Amanda. Ela diz que o escore está 13 a 12. Como Amanda mente, então o escore não está 13 a 12. Conclusões Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 Vamos agora para a frase de Camila. Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Sabemos que o escore não está 13 a 12. Portanto, Camila está mentindo, pois afirma justamente o contrário. Prof. Guilherme Neves 64

65 Conclusões Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo Pronto. Já achamos as duas amigas mentirosas. Concluímos que as demais falam a verdade. Conclusões Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo 3ª Conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade Vejamos a frase de Berenice: Berenice: O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set. Como Berenice fala a verdade (ver 3ª conclusão), então tudo que ela disse acima é correto. Ou seja, o escore não está 13 a 12 (o que já sabíamos) e Ulbra ganhou o primeiro set. Conclusões Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo 3ª Conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade 4ª Conclusão Ulbra ganhou o primeiro set Agora vamos para Denise. Prof. Guilherme Neves 65

66 Denise: O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. Denise também fala a verdade. Logo, tudo que ela disse acima é correto. Conclusões Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo 3ª Conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade 4ª Conclusão Ulbra ganhou o primeiro set 5ª Conclusão Ulbra está perdendo este set 6ª Conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante Por fim, a frase de Eunice. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Eunice também fala a verdade. Logo, tudo o que ela disse acima está correto. Prof. Guilherme Neves 66

67 Conclusões Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª conclusão Camila está mentindo 3ª conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade 4ª conclusão Ulbra ganhou o primeiro set 5ª conclusão Ulbra está perdendo este set 6ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 7ª conclusão Ulbra está ganhando este set E chegamos a uma contradição! A 5ª conclusão foi que Ulbra está perdendo este set. A última conclusão foi que Ulbra está ganhando este set. Só chegamos a uma conclusão porque a hipótese inicial foi errada. Devemos alterar nosso chute. Nova hipótese: Amanda é verdadeira. Hipótese Amanda é verdadeira Conclusões Vamos avaliar a frase de Amanda. Ela diz que o escore está 13 a 12. Como Amanda diz a verdade, então o escore realmente está 13 a 12. Conclusões Hipótese Amanda é verdadeira 1ª conclusão O escore está 13 a 12 Berenice e Denise dizem que o escore não está 13 a 12. Mas sabemos que é justamente o contrário. Logo, Berenice e Denise mentem. Prof. Guilherme Neves 67

68 Conclusões Hipótese Amanda é verdadeira 1ª conclusão O escore está 13 a 12 2ª conclusão Berenice mente 3ª conclusão Denise mente Pronto, achamos as duas mentirosas. As demais amigas são todas verdadeiras. E o que é que as demais amigas falam? Elas falam o seguinte: Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Como elas são verdadeiras, tudo o que está dito acima é correto. Hipótese Amanda é verdadeira 1ª conclusão O escore está 13 a 12 2ª conclusão Berenice mente 3ª conclusão Denise mente 4ª conclusão Ulbra está ganhando este set 5ª conclusão A equipe visitante vai sacar. Não chegamos a nenhuma contradição. O quadro acima representa a resposta correta. Letra: B Resoluções Alternativas Uma das maiores dificuldades que os alunos encontram ao estudar Raciocínio Lógico é a falta de sistematização das resoluções. Talvez por isso muita gente ache que, dentre as matérias de exatas que caem em concursos, RL é a mais difícil. Em matemática financeira, por exemplo, temos exercícios cujas resoluções são mais padronizadas. Grosso modo, se a questão é de juros compostos, aplicamos a fórmula de juros compostos. Se a questão é de juros simples, Prof. Guilherme Neves 68

69 aplicamos a fórmula de juros simples. E assim por diante. Cada tipo de questão tem sua fórmula associada. Em RL isso nem sempre acontece. Há questões que apresentam diversas formas de resolução. Por isso, nas questões acima, tentamos mostrar resoluções que seguem certos padrões. Qual a vantagem disso? A vantagem é dar ao aluno um pouco mais de segurança para resolver a questão. Qual a desvantagem? Muitas vezes, a solução padronizada não é a mais rápida. Nas questões de verdade/mentira isso acontece muito. É meio demorado ficar testando hipóteses. Assim, para aqueles com um pouco mais de facilidade na matéria, vamos agora apresentar algumas soluções alternativas, mais rápidas, que dispensam o chute inicial. Solução alternativa para o exercício 11 Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: Eu sou o ladrão. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. Prof. Guilherme Neves 69

70 e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo Observem que o primeiro e o segundo homens fazem declarações iguais. Portanto, ou ambos mentem, ou ambos dizem a verdade. Já o terceiro homem faz uma declaração oposta às dos demais. Sua natureza é diferente da natureza dos dois primeiros. Ou o terceiro homem é o único verdadeiro ou é o único mentiroso. Se tivéssemos um único verdadeiro, este seria o marceneiro, que diria eu sou o marceneiro. O marceneiro nunca diria eu sou o ladrão. Como o terceiro homem disse eu sou o ladrão, então o terceiro homem é o único mentiroso. Por conseqüência, os dois primeiros são verdadeiros. Se só há um mentiroso, ele é o pedreiro. Portanto, o terceiro homem é o pedreiro. Como o primeiro homem disse a verdade, então ele é o ladrão. Por exclusão, o segundo homem é o marceneiro. Notem que, se o candidato visualizasse logo de início que, necessariamente, o primeiro e o segundo homens têm a mesma natureza, a resolução ficaria bem mais rápida. Solução alternativa para o exercício 13 Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos Prof. Guilherme Neves 70

71 c) Mara d) Manuel e) Maria Note que Mara acusa Mário de estar mentindo. Como só há um mentiroso, então um dos dois deve ser o mentiroso. Ou Mara mente ou Mário mente. E aqui está o detalhe: mesmo sem sabermos quem dos dois é o mentiroso, já podemos concluir que é um deles. Logo, todos os demais estão dizendo a verdade. Portanto, concluímos que Manuel diz a verdade. Manuel afirma que a Mara entrou sem pagar. Como Manuel diz a verdade, concluímos que Mara entrou sem pagar. Solução alternativa para o exercício 14 Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações: Beta a 5 km e Gama a 7 km. Depois, já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: Alfa a 4 km e Gama a 6 km. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: Alfa a 7 km e Beta a 3 km. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: a) 5 e 3 b) 5 e 6 c) 4 e 6 d) 4 e 3 e) 5 e 2 Prof. Guilherme Neves 71

72 Aqui ainda vamos usar a técnica do chute inicial. Só vamos direcionar um pouco o chute. Podemos montar a seguinte tabela: Cidade Alfa Beta Beta Gama Alfa Gama Alfa Beta Gama Os números em azul representam as indicações das placas. Os números em vermelho representam distâncias deduzidas a partir das demais placas da cidade. Observem que a placa com a indicação de 7 km, referente ao trecho Alfa- Gama, repete. Ela aparece tanto na cidade Alfa quanto na cidade Gama. Então vamos centrar nossa análise justamente nesta placa. Vamos supor que esta placa é falsa (chute inicial!) Se ela for falsa, então a cidade Beta é quem apresenta duas placas verdadeiras. Como conseqüência, as cidades Alfa e Gama só apresentam placas falsas, o que vai contra ao disposto no comando da questão. A vantagem desse procedimento é que rapidamente concluímos que nosso chute inicial foi errado. Ou seja, não perdemos muito tempo com uma hipótese errada. Continuando a resolução. Concluímos que a distância entre Alfa e Gama é de 7 km. Com isso, Alfa e Gama apresentam placas verdadeiras. Portanto, as duas placas de Beta são falsas. Se as duas placas de Beta são falsas, então a distância entre Alfa e Beta não é de 4 km. Logo, a distância entre Beta e Gama não é de 3 km. Portanto, a segunda placa de Gama é falsa. Prof. Guilherme Neves 72

73 Como uma das cidades apresenta duas placas verdadeiras, por exclusão, concluímos que a segunda placa de Alfa é verdadeira. Solução alternativa para o exercício 15. Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizemlhe: Amanda: Neste set, o escore está 13 a 12. Berenice: O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set. Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Denise: O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. Quase todas as amigas se pronunciam sobre o escore deste set. Amanda e Camila dizem que o escore está 13 a 12. Berenice e Denise afirmam que o escore não está 13 a 12. Prof. Guilherme Neves 73

74 Se o escore estiver realmente 13 a 12, então Berenice e Denise são as duas mentirosas. Se o escore não estiver 13 a 12, então Amanda e Camila são as duas mentirosas. Seja qual for o escore, portanto, as mentirosas serão duas destas quatro amigas acima mencionadas (ou Amanda e Camila; ou Berenice e Denise). Conclusão: Eunice, que não se manifestou sobre o escore, diz a verdade. 1ª conclusão Eunice diz a verdade Conclusões Se Eunice diz a verdade, então, a partir de sua afirmação, temos as seguintes conclusões: Quem vai sacar é a equipe visitante Ulbra está ganhando este set. Conclusões 1ª conclusão Eunice diz a verdade 2ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 3ª conclusão Ulbra está ganhando este set Agora, reparem que Denise afirma que a Ulbra está perdendo este set. Sabemos que isto é falso. Denise está mentindo. Conclusão: as mentirosas são Denise e Berenice. 1ª conclusão Eunice diz a verdade Conclusões 2ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 3ª conclusão Ulbra está ganhando este set 4ª conclusão As duas mentirosas são Denise e Berenice Prof. Guilherme Neves 74

75 Descobertas as mentirosas, temos que Amanda e Camila também dizem a verdade. Com base nas suas afirmações, concluímos que o escore está 13 a 12 neste set 1ª conclusão Eunice diz a verdade Conclusões 2ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 3ª conclusão Ulbra está ganhando este set 4ª conclusão As duas mentirosas são Denise e Berenice 5ª conclusão O escore está 13 a 12 neste set. 1 Verdade e mentira: exercícios do segundo tipo Ainda vamos trabalhar com exercícios de mentira e verdade. Eles poderiam muito bem ser resolvidos a partir de chutes. Mas uma forma de encurtar a resolução é identificar as respostas-chave. São respostas que nos darão conclusões imediatas (MPU 2004/ESAF) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que Milango e Nabungo são as palavras no idioma local que significam sim e não, mas não sabe qual delas significa sim e nem, conseqüentemente, qual significa não. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta: Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? Milango, responde o jovem. E a tua aldeia é maior do que a desse homem?, voltou Sócrates a perguntar. Milango, tornou o jovem a responder. E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? perguntou Sócrates. Nabungo, disse o jovem. Prof. Guilherme Neves 75

76 Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena. c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. Resolução: Observe atentamente a terceira pergunta. Sócrates pergunta ao jovem se ele é da aldeia maior. Acontece que os habitantes da aldeia maior sempre mentem. Portanto, perguntar ao jovem se ele é da aldeia maior é o mesmo que perguntar: Você é mentiroso? Neste exercício, a resposta a esta pergunta é uma resposta chave. Por quê? Porque ela vai permitir que tiremos uma conclusão imediata, como veremos a seguir. A pergunta é: jovem, você é mentiroso? Se o jovem só disser a verdade, ele responderá que não, ele não é mentiroso. Ele estará sendo sincero ao responder negativamente. Se o jovem for mentiroso, ele também responderá não. Ele estará mentindo. Ele dirá que não é mentiroso, embora o seja. Deste modo, não importa se o jovem é verdadeiro ou mentiroso. Ele, com certeza, responderá que não. ATENÇÃO: Perguntas do tipo: você é mentiroso? Não importa se a pessoa é verdadeira ou mentirosa. Ela sempre responderá: NÃO Continuando com o problema. Sabemos que a resposta à terceira pergunta é: não. Disto, tiramos duas conclusões imediatas: Prof. Guilherme Neves 76

77 N abungo = não Milango = sim Com estas informações, podemos analisar as demais respostas do jovem. Ele faz as seguintes afirmações: O homem é de uma aldeia maior que a da mulher (ver primeira resposta) A aldeia do jovem é maior que a do homem (ver segunda resposta) O jovem é da aldeia menor (ver terceira resposta) O enunciado deixa bem claro que só existem duas aldeias: a maior e a menor (ou ainda: a grande e a pequena). Portanto, fica evidente que o jovem está mentindo. Não é possível que ele seja da aldeia pequena e, ao mesmo tempo, sua aldeia seja maior que a do homem. Conclusão: o jovem mente e, consequentemente, é da aldeia grande. Já sabendo que o jovem é da aldeia grande, vamos analisar a segunda resposta. Na segunda resposta, o jovem afirma que sua aldeia é maior que a aldeia do homem. Ou seja, ele afirma que o homem é da aldeia pequena. Como o jovem é mentiroso, então, na verdade, o homem é da aldeia grande. Já sabendo que o homem e o jovem são da aldeia grande, vamos analisar a primeira resposta. Na primeira resposta, o jovem afirma que a aldeia do homem é maior que a aldeia da mulher. Ou seja, ele afirma que a mulher é da aldeia pequena. Como o jovem é mentiroso, então a mulher é da aldeia grande. Letra E 017. (CGU 2006 /ESAF) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: Beta é mentimano Prof. Guilherme Neves 77

78 Beta: Gama é mentimano Gama: Delta é verdamano Delta: Épsilon é verdamano Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é: a) Delta b) Alfa c) Gama d) Beta e) Épsilon Resolução: Observe a resposta de Gama. Ela é uma resposta chave. Só existe 1 verdamano. Este verdamano, quando for se referir a qualquer outro habitante, vai, corretamente, informar que se trata de um mentimano. Conclusão: um verdamano nunca vai apontar para um outro habitante e dizer que se trata de um verdamano (já que só ele é verdamano, de acordo com o enunciado). Portanto, a partir da resposta de Gama, concluímos que ele é mentiroso. Ora, se Gama é mentiroso, então Beta diz a verdade, uma vez que Beta afirma que Gama é mentimano. Logo, o verdamano é Beta. Letra D 018. (MPU /ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Você é do tipo M? Alfa responde, mas Dr. Turing, Prof. Guilherme Neves 78

79 distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: Alfa respondeu que sim. Gama: Beta está mentindo. Delta: Gama está mentindo. Épsilon: Alfa é do tipo M. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Resolução: Dr. Turing perguntou a Alfa se ele é mentiroso. A resposta a esta pergunta é uma resposta chave. Mesmo sem que ele tenha ouvido o que o andróide disse, pôde concluir que a resposta foi não. A resposta para este tipo de pergunta é sempre não (não importa se o indivíduo sempre mente ou sempre diz a verdade). Disto, temos: Beta diz que Alfa respondeu sim. Sabemos que Alfa respondeu não. Conclusão: Beta está mentindo. Gama diz que Beta está mentindo. Sabemos que Beta realmente está mentindo. Conclusão: Gama diz a verdade. Delta diz que Gama está mentindo. Sabemos que Gama diz a verdade. Conclusão: Delta está mentindo Épsilon diz que Alfa é mentiroso. Não temos como concluir nada. Agora vem o grande detalhe desta questão! Não se pediu para identificar quem mente e quem diz a verdade. A pergunta foi: quantos são os andróides do tipo V. Apenas isto. Não precisamos descobrir quais são eles. Entre os andróides Beta, Gama e Delta, apenas Gama diz a verdade. Faltam ainda os andróides Alfa e Épsilon pra gente analisar. Se Alfa for do tipo V, então Épsilon mentiu. Conclusão: Épsilon é do tipo M. Prof. Guilherme Neves 79

80 Caso contrário, se Alfa for do tipo M, então Épsilon disse a verdade. Conclusão: Épsilon é do tipo V. Tanto em um caso como no outro, Alfa e Épsilon são de tipos diferentes. Um deles é V e o outro é M. Não sabemos quem é quem. Portanto, são dois andróides do tipo V. Um deles é Gama. O outro é Alfa ou Épsilon. Letra B Problemas Gerais de Raciocínio Lógico 019. (IBGE 2010/CESGRANRIO) Um fabricante de leite estabelece a seguinte promoção: 3 caixas vazias do leite podem ser trocadas por uma caixa cheia desse mesmo produto. Cada caixa contém 1 litro. Comprando-se 11 caixas desse leite, a quantidade máxima, em litros, que pode ser consumida é (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17 Resolução Inicialmente o cliente consome os 11 litros de leite que ele comprou. Assim, ele possui 11 caixas vazias. Como 3 caixas vazias podem ser trocadas por uma caixa cheia, então podemos trocar 9 caixas vazias por 3 caixas cheias. Temos em mão, agora, 3 caixas cheias e 2 vazias. O cliente consome as 3 caixas cheias. Tem, portanto, 5 caixas vazias. Das 5 caixas vazias, 3 podem ser trocadas por uma caixa cheia. O cliente agora possui 1 caixa cheia e duas vazias. Ele consome 1 caixa cheia, ficando com 3 caixas vazias. Finalmente, estas 3 caixas vazias são trocadas por uma caixa cheia, que é consumida no final. O total de caixas consumidas é igual a = 16. Como cada caixa tem 1 litro, a resposta é a alternativa D (PROMINP Nível Superior/CESGRANRIO 2010) Na noite de segundafeira, Júlia comprou certa quantidade de morangos e colocou todos em um pote. Na manhã de terça, Júlia comeu dois morangos e levou para o trabalho a metade do que restou no pote. Na manhã de quarta, Júlia comeu três morangos e levou para o trabalho a metade do que restou no pote. Ao voltar para casa, Júlia comeu o único morango que havia no pote. Sabendo que Prof. Guilherme Neves 80

81 somente Júlia retirou morangos do pote, a quantidade de morangos que ela comprou na segunda-feira é um divisor de (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E) 70 Resolução Vamos considerar que havia morangos no pote. Júlia comeu dois morangos. Em seguida, Júlia levou metade do que restou no pote. Em seguida, Júlia comeu três morangos. Júlia levou metade para o trabalho, restando apenas um morango no pote. 1 Vamos inverter o sentido das setas. Se na ida subtraímos 2, na volta devemos somar 2. Se na ida dividimos por 2, na volta devemos multiplicar por 2. Se na ida subtraímos 3, na volta devemos somar Como 12 é divisor de 60, o gabarito é a letra C (Administrador Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/CESGRANRIO) Um feirante utiliza uma balança de dois pratos para fazer as suas vendas. Entretanto, ele possui apenas um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 5 kg. O feirante pode usar um ou mais pesos em cada pesagem. Neste último Prof. Guilherme Neves 81

82 caso, ele pode colocar os pesos em um único prato ou distribuí-los pelos dois pratos. Quantos valores inteiros positivos pode ter a massa de uma mercadoria a ser pesada, para que o feirante consiga determiná-la com uma única pesagem? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 9 Resolução Obviamente a menor massa possível que a mercadoria pode ter é 1 kg e a maior possível é 9 kg (=1+3+5). Também podemos pesar mercadorias de 3 kg e 5 kg. Já temos 4 possibilidades. Se do lado esquerdo colocarmos o peso de 1 kg e no lado direito colocarmos o peso de 3 kg, então devemos colocar uma mercadoria de 2kg no lado esquerdo para equilibrar. Se no lado direito colocarmos os pesos de 1kg e de 3kg, então devemos colocar uma mercadoria de 4 kg no lado esquerdo. Já descobrimos como pesar mercadorias de 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg e 9kg. Se colocarmos no prato do lado esquerdo os pesos de 1kg e 5 kg, então poderemos pesar uma mercadoria de 6 kg no outro prato. Como poderemos pesar uma mercadoria de 7 kg? Simples! Basta colocar a mercadoria de 7 kg junto com o peso de 1 kg em um dos pratos. No outro prato ficarão os pesos de 3 kg e 7 kg. Se colocarmos no prato do lado esquerdo os pesos de 3kg e 5 kg, então poderemos pesar uma mercadoria de 8 kg no outro prato. Descobrimos como pesar mercadorias de 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg e 9kg. Há, portanto, 9 valores inteiros positivos possíveis para a massa da mercadoria. Letra E Prof. Guilherme Neves 82

83 022. (Administrador Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/CESGRANRIO) Como o ano de 2009 não é bissexto, ou seja, tem 365 dias, houve um dia que caiu exatamente no meio do ano. Assim, as quantidades de dias do ano de 2009 antes e depois dessa data são iguais. Esse data foi (A) 30 de junho. (B) 1 de julho. (C) 2 de julho. (D) 3 de julho. (E) 4 de julho. Resolução A primeira vez que vi esta questão foi na Olimpíada Estadual de Matemática do Rio de Janeiro no ano de Podemos fazer uma analogia com o calculo da mediana de um rol. O termo do meio (mediana), quando o número n de termos é ímpar, é aquele de ordem (n+1)/2. Assim, o dia do meio do ano é o (365+1)/2 = 183º dia. Como janeiro tem 31 dias; fevereiro, 28; março, 31; abril, 30; maio, 31; e junho, 30, de 1º de janeiro até 30 de junho são 181 dias (basta somar). O 182º dia é 1º de julho e o 183º dia é 2 de julho. Letra C 023. (Administrador Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/CESGRANRIO) Dulce é mãe de Paulo e Dirce é filha única e é mãe de Pedro. Pedro é filho de José e primo de Paulo. João é pai de Pauloe é filho único. Conclui-se que (A) Dulce é irmã de José. (B) Dirce é irmã de José. (C) José é primo de Paulo. (D) Paulo não tem irmãos. (E) Pedro é filho de Dulce. Resolução Dirce é a mãe de Pedro e Pedro é filho de José. Dulce é a mãe de Paulo e João é o pai de Paulo. Prof. Guilherme Neves 83

84 Dirce é filha única e João também é filho único. Para que Pedro e Paulo sejam primos, temos necessariamente os irmãos José e Dulce. (A) Dulce é irmã de José (Administrador Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/CESGRANRIO) Ana, Bruna, Cecília, Dora e Elisa são cinco meninas. Na tabela acima, os sinais de +, e = significam que a menina indicada na linha é, respectivamente, maior, menor ou da mesma altura que a menina indicada na coluna. Ao analisar a tabela, conclui-se que (A) Bruna é a mais alta. Prof. Guilherme Neves 84

85 (B) Elisa é a mais alta. (C) Dora é a mais baixa. (D) Cecília é a mais baixa. RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB (E) Ana tem a mesma altura de Dora. Resolução Bruna e Cecília são mais baixas que Ana. Ana e Elisa têm a mesma altura. Dora é mais alta que Ana. Bruna é mais alta que Cecília. Vejamos o desenho abaixo. Letra D 025. (Administrador Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/CESGRANRIO) Três dados comuns são lançados sobre uma mesa fornecendo três resultados diferentes. O maior dentre os números obtidos é, respectivamente, igual à soma e menor do que o produto dos outros dois. A partir dessas informações, é possível concluir que o (A) maior dos três números é 6. (B) maior dos três números é 5. (C) menor dos três números é 3. (D) menor dos três números é 2. (E) menor dos três números é 1. Resolução Tenha sempre em mente que os três resultados são diferentes. Se o maior número for 3, então os outros números serão 1 e 2. 3 = (satisfez a primeira condição). 3 > 2 1 (não satisfez a segunda condição). Prof. Guilherme Neves 85

86 Se o maior número for 4, temos três possibilidades para o resultado dos outros dados. i) 1 e 2 ii) 1 e 3 iii) 2 e 3 Como o maior número deve ser a soma dos menores, então ficamos com a segunda possibilidade. Como 4 > 3 1, então não conseguimos satisfazer a segunda condição (O maior dentre os números obtidos é menor do que o produto dos outros dois). Se o maior dos números for 5, então temos duas possibilidades (já estou restringindo utilizando o fato de que o maior número é a soma dos menores). i) 1 e 4 ii) 2 e 3 Como 5 > 1 4 e 5 2 3, então os números podem ser 2, 3 e 5. Por enquanto, estamos em dúvida: alternativa B ou alternativa D. Observe que há ainda outra possibilidade: os números podem ser 2,4 e 6, já que 6 = e Assim, temos certeza que o menor número é 2. Letra D 026. (Administrador Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/CESGRANRIO) Para participar de um jogo, nove pessoas formam uma roda em que cada uma delas é numerada, como ilustrado abaixo. A partir de uma delas, excluindo-a da contagem, contam-se 5 pessoas no sentido horário. Essa 5ª pessoa continua na roda, mas é eliminada do jogo, não participando das próximas contagens. A partir dessa 5 a pessoa, excluindo- Prof. Guilherme Neves 86

87 a da contagem, contam-se, no sentido horário, 5 pessoas que ainda estão no jogo. Essa 5 a pessoa continua na roda, mas é eliminada do jogo, não participando das próximas contagens e assim por diante, até que reste apenas uma pessoa, que será declarada a vencedora. Abaixo estão ilustradas as etapas do jogo, no caso de este ser iniciado pela pessoa de número 1. Note que a pessoa de número 9 é a vencedora. Se o jogo começar pela pessoa de número 3, a vencedora será aquela de número (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 9 Resolução Observe que não precisamos efetuar todo o processo novamente. Em um círculo, o que interessa é a posição relativa entre os elementos. Observe que o vencedor é vizinho da pessoa iniciante. No processo descrito, começamos com o número 1. O vencedor é o seu vizinho no sentido anti-horário. Assim, começando pelo número 3, o vencedor será o seu vizinho no sentido anti-horário número 2. Letra A 027. (Técnico de Administração e Controle Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/ CESGRANRIO) Prof. Guilherme Neves 87

88 Um feirante utiliza uma balança de dois pratos para fazer as suas vendas. Entretanto, ele possui apenas um peso de 1 kg e um peso de 5 kg. Em cada pesagem, o feirante pode usar um peso ou ambos ao mesmo tempo. Neste último caso, ele pode colocar um peso em cada prato ou os dois no mesmo prato. Dessa forma, com uma única pesagem, ele consegue determinar massas somente de (A) 1 kg e 5 kg (B) 1 kg, 4 kg e 5 kg (C) 1 kg, 5 kg e 6 kg (D) 1 kg, 4 kg, 5 kg e 6 kg (E) 1 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg e 6 kg Resolução Se ele coloca o peso de 1 kg em um dos pratos, então ele consegue determinar a massa de um objeto com 1 kg. Se ele coloca o peso de 5 kg em um dos pratos, então ele consegue determinar a massa de um objeto com 5 kg. Se ele coloca os dois pesos (de 1kg e de 5 kg) no mesmo prato, ele consegue determinar a massa de um objeto com 6 kg. Já podemos descartar as alternativas A e B. Colocando um peso em cada prato, podemos determinar a massa de um objeto de 4 kg. É impossível detectar massas de 3 kg. Gabarito: D Prof. Guilherme Neves 88

89 028. (Técnico de Administração e Controle Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/ CESGRANRIO) O ano de 2009 começou em uma quinta-feira. Se durante este ano não existissem domingos, as semanas teriam apenas 6 dias. Nesse caso, se janeiro continuasse a ter 31 dias, o dia 1 o de fevereiro de 2009 não teria caído em um domingo e sim em uma (A) segunda-feira. (B) terça-feira. (C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira. Resolução A semana agora só possui 6 dias. Se dia 1 de janeiro foi uma quinta-feira, então os seguintes dias também são quintas: 7 de janeiro, 13 de janeiro, 19 de janeiro, 25 de janeiro, 31 de janeiro (basta ir somando de 6 em 6). Como 31 de janeiro é uma quinta-feira, então 1º de fevereiro foi uma sexta-feira Qui Sex Sab Seg Ter Qua Qui Sex Sab Seg Ter Qua Qui Sex Sab Seg Ter Qua Qui Sex Sab Seg Ter Qua Qui Sex Sab Seg Ter Qua Qui Letra E 029. (Técnico de Administração e Controle Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/ CESGRANRIO) Maria é mãe de Júlio e irmã de Márcia que, por sua vez, é mãe de Jorge. Conclui-se que (A) Jorge é irmão de Júlio. (B) Júlio é primo de Jorge. (C) Márcia é irmã de Júlio. (D) Maria é prima de Jorge. (E) Maria é irmã de Jorge. Prof. Guilherme Neves 89

90 Resolução Vamos fazer um desenho representando a situação. Letra B 030. (Técnico de Administração e Controle Júnior/FAFEN Energia S.A. 2009/ CESGRANRIO) Paula, Renata e Tânia são três amigas. A tabela acima informa o número de visitas que a pessoa cujo nome está na linha fez à amiga que está indicada na coluna. É correto afirmar que, entre as três, (A) Paula foi a que mais recebeu visitas. (B) Paula recebeu mais visitas do que Renata. (C) Tânia recebeu mais visitas do que Paula. (D) Renata recebeu mais visitas do que Tânia. (E) Renata foi a que mais fez visitas. Resolução Paula fez = 4 visitas Renata fez = 2 visitas. Tânia fez apenas uma visita. Descartamos a alternativa E. Prof. Guilherme Neves 90

91 Paula recebeu uma visita. RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Renata recebeu = 3 visitas. Tânia recebeu = 3 visitas. Letra C 031. (Senado Federal/2008/FGV) Uma lesma está no fundo de um poço com 12 m de profundidade. Durante o dia ela sobe 5 m e, à noite, escorrega 3 m. O número de dias necessários para ela sair do poço: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 Resolução O leitor apressado poderia ter o seguinte raciocínio: A lesma durante o dia sobe 5 m e, à noite, escorrega 3 m. Logo, ela sobe 2 m por dia. Em 6 dias ela consegue sair do poço. Cuidado! Perceba que no último dia, ao subir os 5 m, ela consegue sair do poço e não precisa mais escorregar. Vejamos passo a passo: 1º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 2 m. 2º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 4 m. 3º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 6 m. 4º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 8 m. Chegando a 8 m do fundo do poço, durante o 5º dia ela sobe mais 5 m e, portanto consegue sair do poço. Resposta: 5 dias. Letra A Desconfie de questões que, a priori, parecem ser fáceis demais. Leia novamente! Preste um pouquinho mais de atenção (Senado Federal/2008/FGV) Em um saco há 100 moedas idênticas em tamanho e forma. Uma delas, porém, é falsa, sendo mais leve que uma moeda verdadeira. As moedas verdadeiras têm todas o mesmo peso. Com uma balança de pratos, o número mínimo de pesagens que permite descobrir com certeza a moeda falsa é: a) 5 b) 6 Prof. Guilherme Neves 91

92 c) 8 d) 10 e) 12 Resolução O raciocínio imediato é dividir as 100 moedas em dois grupos de 50 moedas. A moeda falsa estará no prato que subir, pois a moeda falsa é mais leve. RACIOCÍNIO PRECIPITADO! Raciocinando assim, na primeira pesagem eliminamos apenas 50 moedas. E qual o melhor raciocínio? Dividir as moedas em 3 grupos. Colocamos dois grupos de igual quantidade nos pratos e deixamos moedas fora da balança. Dessa forma, dividindo as 100 moedas em 3 grupos temos dois grupos com 33 moedas e um grupo com 34 moedas. Colocamos então 33 moedas no primeiro prato, 33 moedas no segundo prato e deixamos 34 moedas do lado de fora. Se a balança desequilibrar, a moeda falsa estará no prato que subir. Eliminaremos então = 67 moedas. Se a balança equilibrar, concluímos que a moeda falsa está fora da balança. Eliminaremos então = 66 moedas. Na pior das hipóteses, eliminaremos 66 moedas. Um rendimento bem melhor do que no primeiro raciocínio, que eliminamos apenas 50 moedas. Então, na pior das hipóteses, temos 34 moedas. Raciocinando da mesma forma, dividimos 34 em três grupos. Dois grupos com 11 moedas e um grupo com 12 moedas. Se a balança equilibrar, a moeda falsa estará fora da balança; se a balança desequilibrar, a moeda estará no prato que subir. Na pior das hipóteses, os pratos se equilibram e então eliminamos = 22 moedas. Ficamos então com 12 moedas, que dividimos em três grupos de 4 moedas. Não temos pior das hipóteses agora: tanto faz os pratos se equilibrarem ou não. Eliminaremos 8 moedas. Ficamos então com 4 moedas. Colocamos 1 moeda em cada prato e deixamos 2 fora da balança. Se tivermos sorte, a balança desequilibra e achamos a moeda falsa. Caso contrário, faremos mais uma pesagem com as duas moedas que sobraram. Total: 5 pesagens. Letra A Prof. Guilherme Neves 92

93 033. (FNDE/2007/FGV) Uma aldeia tem índios, todos vestidos da mesma forma, mas numerados de 1 a Todos só falam a verdade, mas, para qualquer pergunta, só podem responder sim ou não. Uma pessoa chega à aldeia e, para saber quem é o chefe, deve fazer perguntas a qualquer índio, já sabendo quais são as duas únicas respostas possíveis. O número mínimo de perguntas que devem ser feitas para que se tenha a certeza de conhecer o chefe da aldeia é: a) 10 b) 20 c) 500 d) 100 e) 50 Resolução Não podemos usar o raciocínio da questão anterior, pois os índios só respondem sim ou não. Não temos outra saída: dividiremos os índios em dois grupos de 500 índios. Perguntamos então a um índio qualquer: O chefe pertence ao seu grupo? Se ele responder que sim, eliminamos o outro grupo. Caso contrário, se ele disser que não, eliminamos o grupo desse índio. Restam-nos 500 índios. Procedemos da mesma maneira. Dividimos em dois grupos de 250 índios. Indagamos a um índio qualquer se o chefe pertence ao seu grupo e, então, eliminamos 250 índios. Os 250 índios restantes, dividimos em dois grupos de 125 índios e eliminamos, analogamente, 125 índios. Dividimos os 125 índios restantes em dois grupos: um com 63 índios e outro com 62 índios. Na pior das hipóteses, o chefe está no grupo com 63 índios. Dividimos os 63 índios em dois grupos: um com 32 índios e outro com 31 índios. Na pior das hipóteses, o chefe estará no grupo com 32 índios. Novamente, dividimos os 32 índios em dois grupos de 16; os 16 que restarem dividimos em dois grupos de 8; os 8 índios restantes dividimos em dois grupos de 4 índios; os 4 índios dividimos em dois grupos de 2 índios, e finalmente ficamos com dois índios. Escolhemos um deles e perguntamos: Você é o chefe? Conseguimos descobrir o chefe fazendo 10 perguntas. Letra A 034. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro? a) 327 b) 339 c) 342 d) 345 e) 350 Prof. Guilherme Neves 93

94 Resolução Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos. Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos. Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos? Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51 páginas! Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos. Total: = 342 algarismos. Letra C Questões envolvendo páginas de livros e quantidades de algarismos para escrever as páginas são muito frequentes em provas da FCC. Existe uma fórmula para resolver instantaneamente questões deste tipo. Esta fórmula dá certo se o número de páginas do livro for maior que 99 e menor que Ou seja, se o número de páginas tiver 3 algarismos (o número total de algarismos deve ser maior que 189). Considerando que são páginas e algarismos para escrever estas páginas, a relação é a seguinte: Ou, isolando o A: = = Vamos resolver novamente esta questão, substituindo o valor de por 150. Muito fácil, não? = = = (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Um livro tem N páginas numeradas de 1 a N. Se na numeração das páginas desse livro foram usados 657 algarismos, então N é igual a (A) 235 (B) 244 (C) 245 (D) 254 Prof. Guilherme Neves 94

95 (E) 255 Resolução Utilizando a relação que eu mostrei na questão anterior (observe que o número de páginas P foi chamado de N). Letra E = = = 255 á! 036. (Agente de Estação METRO-SP 2007/FCC) Considere que na numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222 algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então (A) X < 95 (B) 94 < X < 110 (C) 109 < X < 125 (D) 124 < X < 130 (E) X > 129 Resolução Questão idêntica!! Letra C = = = 110 á! 037. (TRF 1ª Região 2007/FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é (A) 97 (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) 126 Resolução Mais uma!! Prof. Guilherme Neves 95

96 = = = 111 á! Letra C 038. (Delegado de Polícia - Pol. Civil FCC 2006) Uma pessoa fez uma compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então: a) sobraram 7 moedas. b) sobraram 8 moedas. c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. Resolução As moedas totalizam R$ 23,00. Já que o pagamento é de R$ 19,55, o troco será de R$ 23,00 R$ 19,55 = R$ 3,45. Se o pagamento deverá ser feito utilizando a maior quantidade possível de moedas, o troco deverá ser devolvido com a menor quantidade possível de moedas. Para devolver R$ 3,45 (troco) com a menor quantidade possível de moedas devemos utilizar 3 moedas de R$ 1,00, 1 moeda de R$ 0,25 e 2 moedas de R$ 0,10. Letra C 039. (BAHIA GAS 2010/FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação tal que x y é igual a x y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (x y) (y x) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x y) (D) 2(x y) (E) 2x Resolução Podemos simplesmente substituir o símbolo pelo sinal da subtração. (x y) (y x)=" #$ "# $ = # # + = 2 2# Colocando o número 2 em evidência, temos: Letra C 2 2# = 2" #$ Prof. Guilherme Neves 96

97 040. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Seja Δ a operação definida por & ' = 3 5&, qualquer que seja o inteiro &. Calculando " 2$ ' + "2 ' $ ' obtém-se um número compreendido entre: (A) 20 e 10 (B) 10 e 20 (C) 20 e 50 (D) 50 e 70 (E) 70 e 100 Resolução Para calcular o valor de " 2$ ' devemos substituir o valor de & por 2. " 2$ ' = 3 5 " 2$ = = 13 Para calcular o valor de 2 ' devemos substituir o valor de & por 2. Portanto, "2 ' $ ' = " 7$ '. 2 ' = = 3 10 = 7 Para calcular o valor de " 7$ ' devemos substituir o valor de & por 7. Desta forma: Letra D " 7$ ' = 3 5 " 7$ = = 38 " 2$ ' + "2 ' $ ' = " 2$ ' + " 7$ ' = = (Agente de Estação METRO-SP 2007/FCC) Considere que ' é um número racional definido pela sentença ' = () ). Calculando-se "11' $ ' obtémse um número (A) negativo. (B) compreendido entre 0 e 1. (C) compreendido entre 1 e 2. (D) compreendido entre 2 e 3. (E) maior do que 3. Resolução Para calcular 11 ' devemos substituir por 11. Portanto: 11 ' = = 25 8 Prof. Guilherme Neves 97

98 "11 ' $ ' = * ' Para calcular, - ).' devemos substituir por 25/8. * ' = = =9,375 8 = 1, Ao dividir um número positivo e menor que 8 por 8 obtemos um número que está compreendido entre 0 e 1. De fato: Letra B 1,375 8 = 0, (Técnico Administrativo TRT 24ª Região 2011/FCC) Certo escritório anunciou uma vaga para escriturários e uma das formas de seleção dos candidatos era testar sua habilidade em digitar textos, em que cada um recebia uma lista com uma sucessão de códigos, que deveria ser copiada. Embora não fosse um bom digitador, Salomão concorreu a essa vaga e o resultado do seu teste é mostrado abaixo. O número de erros cometidos por Salomão foi igual a (A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 8 (E) 7 Resolução Vamos circular os erros cometidos por Salomão. Prof. Guilherme Neves 98

99 O número de erros é igual a 9. Letra C 043. (Técnico Administrativo TRT 24ª Região 2011/FCC) São dados cinco conjuntos, cada qual com quatro palavras, três das quais têm uma relação entre si e uma única que nada tem a ver com as outras: 1 = {3ã4, 54, 64, } 9 = {:;5, <46í7, <:!6, = >á}? = 3, 6Aã4, 3h4346 5;, A4: 4} C = {7464, D6 &5, h :, &5 :: } E = {6;, F :, 6D:;>4, G;!;} Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as demais são, respectivamente: (A) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria. (B) galo, Canadá, chocolate, flauta, e Alfredo. (C) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo. (D) cão, Canadá, morango, flauta e Denise. (E) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline. Resolução No conjunto X, o galo é o único animal que não possui 4 patas e que não é mamífero. No conjunto Y, Canadá é o único país que não está na América do Sul. No conjunto Z, chocolate é o único elemento que não é fruta. No conjunto T, flauta é o único instrumento que não tem corda. Prof. Guilherme Neves 99