Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

Transcrição

1 Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

2 Aula 17: O Problema da Medida 30/04/2015 2

3 Contagem e medida A Aritmética auxiliou o Homem a fazer calendários, mas também a medir campos. Contar é falar a linguagem dos números inteiros. Medir é comparar duas grandezas da mesma espécie: comprimento com comprimento, área com área, volume com volume, velocidade com velocidade. 30/04/2015 3

4 A Medida Para medir é necessário: 1. Estabelecer um único termo de comparação para todas as medidas da mesma espécie, a unidade. 2. Procurar responder à pergunta: quantas vezes? Afim de obter um número que é a medida da grandeza dada na unidade adotada. 30/04/2015 4

5 O número fracionário Egito (3.000 a.c.) Aparecem as primeiras formas de fração como resultado do sistema de medir com cordas. Fração vem do árabe al kasr, significa quebrar. Unidade de medida: o cúbito 30/04/2015 5

6 O Problema da Medida Medir CD com a unidade de medida u. Como AB não cabe um número inteiro de vezes em CD, deve-se subdividir a unidade em partes menores. 30/04/2015 6

7 O Problema da Medida Não é inteiro Os Egípcios concluem que nem sempre é possível expressar o resultado de uma medição! Os números até então conhecidos são insuficientes e foi necessário completar e aperfeiçoar. 30/04/2015 7

8 O Problema da Medida: um exemplo Para repartir dois pedaços de terras para cinco pessoas, os antigos egípcios faziam a distribuição de terra em forma de fração unitária. 1 5 de /04/2015 8

9 Extensão para os Números Racionais Cada grandeza é identificada ao número inteiro de unidades de mediada que a compõem. Torna possível a correspondência entre qualquer grandeza e um número natural ou a uma relação entre eles. Tais relações entre números inteiros chamamos atualmente de racionais, por estarem associados a uma razão como comparações de grandezas do mesmo tipo. 30/04/2015 9

10 Problema da Incomensurabilidade Comparação entre o lado e o diâmetro de um quadrado. Autores como Platão e Aristóteles citam: Teodoro de Cirene (425 a.c.) Teeteto de Atenas ( a.c.) 30/04/

11 Aristóteles Ano de 384 a.c. em Estagira na Macedônia. Aos 17 anos foi estudar medicina na Academia de Platão em Atenas. Foi tutor de Alexandre, o grande. Funda uma escola em Atenas, o Liceu em homenagem ao Deus Apolo. Seus escritos abrangem diversos assuntos: lógica, retórica, governo, ética, poesia, drama, música, biologia e física. 30/04/

12 A Escola de Aristóteles Platão via o mundo ao nosso redor como mera aparência sob a ótica religiosa, enquanto a visão científica de Aristóteles não rejeitava o mundo ao nosso redor como irreal. Inverteu a filosofia de Platão, apresentando argumentos que devastaram as ideias do antigo mestre. 30/04/

13 Antifairese Toda grandeza pode ser expressa por um número natural ou pela relação entre números naturais. Subtrações recíprocas para encontrar uma medida comum, sem necessidade do conceito de número racional ou de fração. Exemplo: Ant(60,26)=[2,3,4] 30/04/

14 Antifairese Exemplo: Ant(60,26)=[2,3,4] 30/04/

15 Reação Crítica século V a.c. Origina-se com os pitagóricos com a irracionalidade de 2. Investigações lógicas iniciadas por Parmênides e expressas por Zenão de Eléia, em seus paradoxos famosos. 30/04/

16 Os Incomensuráveis Hipasus 30/04/

17 Um esboço da demonstração clássica da irracionalidade de 2 encontra-se em trabalhos de Aristóteles O problema é mostrar que não há fração a b cujo quadrado seja 2, é uma demonstração é indireta 30/04/

18 Demonstração em linguagem atual 30/04/

19 Os babilônios ficaram satisfeitos com as aproximações sexagesimais excelentes que encontraram para 2. Enquanto os gregos levaram o assunto até seu ponto lógico final amargo e aparentemente sem interesse prático. 30/04/

20 A descoberta das grandezas incomensuráveis mostra que nossa intuição pode nos enganar quando admitimos que sempre haverá uma grandeza suficientemente pequena que caiba um número inteiro de vezes em outra grandeza. 30/04/

21 Estágios de Desenvolvimento das Teorias Matemáticas Desenvol vimento Rápido Inspirado Acrítico Críticas e Dúvidas Trabalho meticuloso sobre os fundamentos Forma Final Apresentação, disposição e polimento cuidadoso das partes da teoria 30/04/

22 O grande feito de Euclides Os Elementos de Euclides representam um esforço bem sucedido da última fase de desenvolvimento da matemática grega antiga. 30/04/

23 Bibliografia ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. Rio de Janeiro: SBM, /04/