O CAMPO DOS NÚMEROS REAIS. Capítulos IV, V e VI do livro Conceitos fundamentais da Matemática Bento de Jesus Caraça

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1 O CAMPO DOS NÚMEROS REAIS Capítulos IV, V e VI do livro Conceitos fundamentais da Matemática Bento de Jesus Caraça

2 Aula passada... Números Naturais: 1, 2, 3, Números Inteiros: 0, 1, 2, 3, Relações Biunívocas Conjuntos

3 Conjunto de pontos de uma reta é um conjunto infinito. Conjunto de pontos de uma reta tem a mesma quantidade que o conjunto dos números naturais? Quantidade de números pares = Quantidade de números naturais

4 Operações com números inteiros Números: medir e contar O problema da medida (unidade) Criação de um novo campo numérico Números: fracionários ou racionais

5 Números inteiros são englobados neste novo campo numérico Uma generalização passa sempre por um ponto fraco de uma construção. Crítica do problema da medida Segmentos Incomensuráveis

6 Conservar tudo e criar novos números, um novo campo numérico, mais geral que o campo dos racionais, que possa resolver a equação: x2=2 Números racionais: necessidade prática. Números irracionais: compatibilidade lógica. Insuficiência do campo numérico racional para traduzir relações geométricas.

7 Estudar as propriedades do campo racional e os da reta, comparando-as Campo numérico racional R Conjunto dos pontos de uma reta P Existe uma correspondência biunívoca entre eles?

8 Entender qual é o fato que nega a biunivocidade Características do conjunto P, da reta 1) infinidade 2) ordenação 3) densidade (entre dois pontos de uma reta existem infinitos pontos na mesma reta). 4) continuidade

9 Características do conjunto R, dos racionais 1) infinidade - ok 2) ordenação - ok 3) continuidade -?? 4) densidade ok Observe que o conjunto dos números naturais ou inteiros não é denso.

10 O problema da continuidade é o dos mais importantes da ciência e dos que mais têm sido estudados e debatidos em todos os tempos. Continuidade: variação que se faz por gradações insensíveis. Exemplo: movimento de um automóvel sobre uma estrada

11 Linha reta: imagem ideal da continuidade 1872, Richard Dedekind, Continuidade e números irracionais. O conceito de corte na reta P. Axioma ou Postulado de Dedekind-Cantor: Todo corte da reta é produzido por um (e só um) ponto da reta

12 Um corte em R: A: todos os números racionais menores ou iguais a 5. No outro, B, todos os números racionais maiores ou iguais a 5. 1) 5 é um número racional que separa as duas classes; 2) qualquer número racional estará em alguma das partes; 3) todo número racional em A é menor que todo número racional em B

13 Todo corte em R provém de um número racional? A = todo número racional x tal que x2<2 B = todo número racional x tal que x2 2 Há um corte, mas não há elemento de separação! R não é contínuo

14 O conjunto R não satisfaz o axioma da continuidade de Dedekind-Cantor. Chamamos de número real ao elemento de separação de duas classes num corte qualquer na reta. Se existe um número racional a separar as duas classes, tal número real coincidirá com o racional. Se não existe tal número, o número real será chamado de irracional.

15 Número racional: impossibilidade de divisão. Número irracional: segmentos incomensuráveis Número real: não-existência geral de um elemento de separação de duas classes Para se definir um número real, são necessárias duas infinidades de números: racionais e irracionais.

16 Há mais racionais que naturais? Não: a mesma quantidade. Números naturais: tipo do enumerável Números reais: tipo do contínuo. Números racionais: tipo do enumerável Números irracionais: tipo do contínuo

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18 Hipótese do Contínuo A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte: Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

19 Nem verdadeira nem falsa! Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto: Esse problema foi provado ser independente de ZFC (isto é, não pode ser provado nem refutado utilizando os axiomas usuais de teoria dos conjuntos). A consistência da hipótese do contínuo só foi mostrada em 1940 por Kurt Gödel, e a consistência da negação da hipótese do contínuo foi provada em 1964 por Paul Cohen. ZFC: E. Zermelo e A. Fraenkel foram os responsáveis pela formalização axiomática dos conjuntos, que, em sua homenagem, ficou conhecida como sistema ZFC. A letra C vem do inglês choice, uma referência ao Axioma da Escolha.

20 Números relativos ou negativos As grandezas podem ser tomadas em dois sentidos. Calendário, escala do tempo: onde tudo começa? Nascimento de Cristo. Sócrates morreu em 399 a.c. Galileu nasceu em 1564 d.c.

21 Um carro parte de Campinas com velocidade de 100km/h. Após 30 minutos, onde ele está? Depende do sentido! Orientação. Impõe-se a criação de um novo campo numérico!

22 Reta orientada com origem. Valor absoluto de um número: sua distância à origem a<b: se a está a direita de b na reta real. Operações com números negativos.

23 Soma; Subtração; Multiplicação; Divisão; Potenciação; Radiciação?

24 2 não pertence aos racionais, mas pertence aos reais Solução da equação x2=2-1 pertence a qual conjunto? Solução da equação x2=-1

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26 Criação de um novo campo numérico... Campo ou conjunto dos números complexos...

27 Um pouco de história... Teoria da Ciência. Não é qualquer local e sob quaisquer condições que pode esperar-se o aparecimento de esboços científicos. Luta diária pelo sustento, abrigo, proteção.

28 S. Taylor: Civilização deve permitir a todos viver a alguns pensar Condições: colônias gregas do litoral da Ásia Menor, VII a VI a.c. Comércio: florescimento econômico.

29 As preocupações fundamentais: Qual é a estrutura do universo? Como ele foi criado? Como se movem os astros e por quê?

30 As respostas jônicas. Colônias jônicas da Ásia Menor Mileto Thales de Mileto (624 a 548 a.c.) A água é a resposta para tudo. Tudo é água.

31 Anaxímenes de Mileto O ar é a resposta para tudo. Cidade de Éfeso: 530 a.c. Heráclito: Existência de uma substância primordial de transformação: fogo. Quatro elementos: terra, água, ar, fogo

32 A resposta Pitagórica Pitágoras de Samos: 580 a 504 a.c. Exerceu larga influência na Grécia através de uma seita com objetivos místicos e científicos. A Escola Pitagórica.

33 Explicação para tudo: número. Todas as coisas têm um número; e nada se pode compreender sem o número. A compreensão do universo consiste no estabelecimento de relações entre números e leis matemáticas. Ordenação matemática do Cosmo.

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35 Contribuições da Escola Pitagórica Teorema de Pitágoras: a mais brilhante aquisição da Escola Pitagórica. Relações entre a matemática e a música. Harmonia musical. O erro: tudo é número. Mônadas

36 Segmentos Incomensuráveis: a morte da Escola Pitagórica. Tentativa de esconder o caso. O próprio Teorema de Pitágoras destruiu a Escola Pitagórica.

37 Nova escola filosófica: escola de Elea Velia: cidade da costa ocidental. Sul da Itália. 6 a.c. Parmênides Separou-se da Escola Pitagórica.

38 Razão e Experiência; Teoria e Prática; Idealismo e Materialismo. O que aconteceu depois?

39 Século V a.c. Intensa atividade política e militar Atenas: grande metrópole da arte, filosofia, ciência. Imperialismo ateniense.

40 Desejos de hegemonia sobre a península Preocupações com o homem, indivíduo. Razão do Estado. O clima de Atenas foi mortal para o desenvolvimento da ciência clássica. Degradação do número com relação à geometria.

41 Exclusão do conceito quantitativo do infinito. Matemática grega torna-se cada vez mais finitista. Hibernação 20 séculos depois... Renascimento.

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