Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Câmpus Caxias do Sul. Comensuráveis e incomensuráveis

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1 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Câmpus Caxias do Sul Disciplina: História da Matemática Docente: Rodrigo Silva Semestre: 2014/2 Integrantes: Danieli Pereira Lucas Farenzena Rhamonytta Costa Andreatta Comensuráveis e incomensuráveis Apresentação e justificativa da escolha do assunto: A escolha do tema baseou-se na demonstração do infinito de uma forma oculta. Partindo do princípio que o aluno ainda tem domínio da abstração e das dízimas periódicas, se acredita que através de atividades práticas como a que se propõem durante a aula e não apenas demonstrações é muito mais fácil para o aluno, realizar o entendimento da incomensurabilidade. Objetivos gerais e objetivos específicos com a proposta: O objetivo dessa proposta é mostrar aos alunos a origem da incomensurabilidade, apresentar aos mesmos uma demonstração através de um slide e posteriormente proporcionar atividades sobre o tema. Captar as concepções de alunos sobre números irracionais, incomensurabilidade representação decimal infinita, continuidade.

2 Metodologia do trabalho: A aula se iniciará com a leitura do texto, após iremos mostrar uma slide com a demonstração da incomensurabilidade de um quadrado. O material utilizado será: quadro branco, canetões, retro projetor, folhas fotocopiadas. Tempo de aplicação para a proposta: 1 período de aula (50 min) 8º ano do Ensino Fundamental. Um Pouco da História... Por muito tempo se pensou que dois segmentos quaisquer eram sempre comensuráveis. A ilusão da comensurabilidade durou até o quarto século antes de Cristo. Naquela época, em Crotona, sul da Itália, havia uma seita filosófico-religiosa, liderada por Pitágoras. Um dos pontos fundamentais de sua doutrina era o lema "Os números governam o mundo", sendo que, para eles, números eram números naturais sobre os quais se podia estabelecer relações, tomar razões e, conseqüentemente, formar as frações. Estudando geometria, Pitágoras conseguiu demonstrar que, para qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos dois catetos. A partir deste resultado, surgiu um número que corresponde à medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, isósceles, com catetos unitários, ou seja, a medida da diagonal do quadrado de lado: 2. Na época, a crença na comensurabilidade de qualquer par de segmentos, fez pensar que o lado AB e a diagonal CD de um quadrado qualquer também seriam segmentos comensuráveis. Porém, buscando a razão entre estes segmentos, um dos próprios discípulos de Pitágoras, observou que eles não são comensuráveis. Este foi um momento de ruptura, de crise entre os estudiosos da época. Aparecia pela primeira vez na história da Matemática, a possibilidade da existência de segmentos incomensuráveis e, conseqüentemente, segmentos

3 cuja razão entre as medidas não resulta em números racionais, abrindo-se também a possibilidade da existência de números irracionais. Demonstração Lembrando que: A incomensurabilidade entre duas grandezas refere-se ao fato de a sua razão não poder ser expressa por um número racional e, consequentemente, ao fato de os números racionais serem insuficientes para descrever a realidade. Por exemplo, sabe-se que a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro é um número irracional que se convencionou designar por pi. As primeiras demonstrações matemáticas da existência de grandezas incomensuráveis remontam à Grécia Antiga, nomeadamente as demonstrações da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado e do pentágono regular.

4 Atividade:

5 Exercícios Bibliografia GIOVANI, Júnior, José Ruy. A conquista da Matemática, 8º ano, Ed. Renovada. São Paulo: FTD, ROQUE, Tatiana. História da Matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. 1 ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.