Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade II DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar as operações de desconto simples bancário e, conhecendo a nomenclatura das suas grandezas, fazer os cálculos pelas fórmulas montadas a partir das definições. Definição: segundo o critério bancário, o desconto é calculado como o desconto simples comercial, acrescido de um percentual do valor nominal como taxa administrativa. Essa taxa representa para as instituições que praticam esse tipo de desconto uma remuneração ou um custeio da estrutura colocada a serviço das operações de desconto. Essa cobrança aparece sob as mais diversas roupagens, sendo uma delas atualmente denominada por algumas instituições Taxa de Abertura de Crédito (TAC). A taxa administrativa é um percentual bruto, e não uma taxa de juros; ao montarmos a fórmula de cálculo na qual ela será representada por h, devemos dividi-la por 0, para trabalharmos com sua forma unitária. Esse procedimento facilita os cálculos. Fórmulas 1. Desconto simples bancário De acordo com o conceito, teremos: db = d + h.n db = N.i.n + h.n, portanto db = N.(i.n + h) 2

2 Unidade II 2. Valor descontado bancário (valor líquido bancário) De acordo com o conceito, temos: Vdb = N db, e portanto: Vdb = N N.(i.n + h) ou Vdb = N.[1 (i.n + h)] Em síntese, vimos que o desconto bancário é consequência da aplicação da taxa administrativa ao desconto comercial, como o custeio da operação de desconto praticada pelas financeiras. Exercícios propostos Qual será o desconto bancário em uma operação onde o valor nominal é de R$ 7.000,00 e o prazo de antecipação é de dias? Considerar juros correntes de 23,% a.a. e taxa administrativa de 2%. (R$ 619,79) 2. João, desejando comprar um carro, pediu um empréstimo de R$ ,00, pelo prazo de três meses. Sabendo-se que o Banco Alfa cobra 2% de despesas administrativas e que a taxa de juros de mercado é de 28,4% a.a., perguntase o preço do carro (o valor recebido é o preço do carro). (R$.43,00) 3. Se uma empresa necessitar de R$.740,00 para saldar uma duplicata, que compromisso deverá assumir por 90 dias se a taxa corrente for de 36% a.a. e o banco cobrar 1,% de taxa de serviço? (R$ ,00) 4. Por um empréstimo de R$.000,00 em quatro meses, João recebeu líquido R$ 4.291,67. Tendo perguntado ao gerente qual fora a taxa de juros empregada, este lhe garantiu que era de 24,% a.a. Qual foi a taxa de serviço cobrada? (6%). Um empréstimo de R$ 4.000,00 foi retirado de um banco cuja taxa administrativa é de 2,%. Se o desconto bancário fosse de R$ 64,00 e a taxa de juros 27,84% a.a., qual seria o prazo contratado para tal empréstimo? ( meses) 26

3 MATEMÁTICA FINANCEIRA 6 TAXA EFETIVA NA OPERAÇÃO DE DESCONTO 6.1 Taxa efetiva nos descontos simples comercial e bancário Ao final deste capítulo, o aluno terá condições de identificar e calcular as taxas de juros às quais os capitais estão efetivamente aplicados, nas operações de desconto comercial ou bancário. Definição: denomina-se efetiva a taxa de juros à qual devemos aplicar os valores descontados (líquidos) comercial ou bancário, para obtermos, de montante, o valor nominal da dívida no prazo de antecipação. Essa taxa indica a remuneração do valor aplicado efetivamente na operação de desconto. É a taxa que o banco ou a financeira ganha na operação de desconto que praticam junto às empresas em geral. Representaremos essa taxa por if. A fórmula dessa taxa efetiva pode ser construída a partir da própria definição: N = Vd. (1 + if. n) A partir dessa definição, podemos concluir as seguintes fórmulas: if = N 1 Vd n ou if = d Vdn. As fórmulas correspondentes para o desconto bancário poderão ser obtidas pela troca dos parâmetros das duas fórmulas anteriores: if = N 1 Vdb ou if = n db Vdbn. 27

4 Unidade II Observação: Substituindo na fórmula da taxa efetiva comercial cada parâmetro por sua fórmula, conseguimos chegar a uma fórmula para a taxa efetiva baseada apenas na taxa de desconto e no prazo de antecipação: if = i 1 in Fazendo o mesmo para o desconto bancário, teremos que transformar a taxa administrativa em uma taxa de juros correspondente, na mesma unidade de tempo que a taxa de desconto, e adicionar as duas, dando origem a uma nova taxa de desconto bancário que engloba a administrativa e a de desconto, representada por I. Dessa forma, a fórmula da taxa efetiva para o desconto bancário, baseada apenas nas suas duas taxas e no prazo, será: if = I 1 In Aplicações: a. Calcule a taxa efetiva e o desconto simples comercial de um título de valor nominal R$ 1.000,00 em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. Trabalhando a partir das fórmulas, temos: d = Nin d = 00. if = d = Vdn. ao mês ( 00 1). 3.3 = R$ 1,00 = 0,044 ao mês 4,% 28

5 MATEMÁTICA FINANCEIRA b. Um título de valor nominal R$ 24,00 foi descontado em uma antecipação de quatro meses, sendo beneficiado com um desconto simples comercial de R$ 3,00. Determine a taxa de desconto utilizada nessa operação e a taxa efetiva. 2 Começaremos pela fórmula do desconto comercial: d = Nin 3 = 24.i.4 i = 3 = 0,0371 ao mês 3,7% ao mês if = i / (1 in) = 3,7 / (1 3, 7. 4) = 4,16% ao mês 0 c. Determine o desconto simples bancário de um título de valor nominal R$ 1.000,00 em uma antecipação de cinco meses, à taxa de desconto de 2% ao mês, com uma taxa administrativa de 1%. Nesse caso, devemos aplicar diretamente a fórmula do desconto solicitado: 2 db = N.(in + h) db = 00.(. + 0,01) = R$ 1,00 0 d. Calcule o valor descontado bancário de um título de R$ 2.000,00, à taxa de desconto de 3% ao mês, em uma antecipação de quatro meses, com a taxa administrativa de 2%. A aplicação direta da fórmula nos levará à resposta: 3 Vdb = N. [1 (in + h)] = 00. [1 (.4 + 0,02)] = R$ 1.7,00 0 Nesse módulo, você aprendeu a identificar parâmetros eventualmente disfarçados nas operações financeiras e a leválos em consideração em suas análises e conclusões. 29

6 Unidade II Exercícios propostos 1. Um título a vencer em 90 dias, no valor de R$.000,00, foi descontado por R$ 9.37,00 (valor atual comercial). Qual é a taxa do desconto comercial e qual a taxa efetiva? (2% a.a.) 2. Uma duplicata de valor nominal R$ 8.000,00 foi descontada 90 dias antes do seu vencimento, a 23,% a.a. Qual foi o desconto comercial? Qual a taxa efetiva envolvida nessa operação? (R$ 470,00; 24,97% a.a.) Um fornecedor oferece três meses de prazo em suas vendas. O cliente que optar pelo pagamento à vista receberá um desconto de % sobre o valor nominal. Que taxa de juros efetiva anual está sendo cobrada? (44,44% a.a.) 4. Se uma instituição deseja ganhar 36% a.a. de taxa efetiva, que taxa de desconto deverá aplicar em operações de: a. um mês? (34,9% a.a.) b. três meses? (33,03% a.a.) c. seis meses? (30,1% a.a.). O Banco Alfa cobra 2% de taxa de serviço, e emprega 26% a.a. como taxa de juros. Qual é o desconto bancário de um título com valor nominal de R$ 3.000,00 e vencimento a quatro meses? Qual é a taxa efetiva? (R$ 3,00; 3,82% a.a.) 6. Uma empresa vai ao banco para descontar uma duplicata de R$ 7.0,00, com vencimento em cinco meses. Se a taxa de juros for de 2% aa e a taxa de serviço de 2,%, qual será o valor líquido recebido e qual a taxa efetiva paga? (R$ 6.270,00; 3,60% a.a.) 7. Se o banco exigir 2% como taxa administrativa, qual será sua taxa efetiva se cobrar juros de 27% a.a. e os prazos de desconto forem 30

7 MATEMÁTICA FINANCEIRA a. um mês? (3,26% a.a.) b. três meses? (38,36% a.a.) c. seis meses? (36,69% a.a.) 7 JUROS COMPOSTOS Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar as aplicações de juros segundo o critério composto e efetuar os cálculos básicos utilizando as fórmulas da definição. Conceito: segundo o critério de cálculo denominado composto, ao final de cada período, o juro do período é adicionado ao principal do período, e o montante assim formado é reaplicado como principal no período seguinte. Consequências da definição do critério composto As denominações desse critério seguem as ideias passadas pela definição: juro sobre juro; juro capitalizado; juro exponencial. Nesse caso, o juro não é diretamente proporcional à taxa e ao número de períodos, e os cálculos serão feitos sempre utilizando o divisor 0 para a taxa de juros. Fórmulas 1. Montante Relembrando seu conceito, faremos sua aplicação período a período, construindo a fórmula. Vamos indexar o montante ao final de cada período com o número do período. 2 Primeiro período: M1 = P + Pi = P.(1 + i) 31

8 Unidade II Segundo período: M2 = M1 + M1.i = P.(1 + i) + P.(1 + i).i = P.(1 + i) 2 Terceiro período: M3 = M2 + M2.i = P.(1 + i) 2 + P.(1 + i) 2.i = P.(1 + i) 3 Seguindo essa linha de raciocínio, concluímos que, para n períodos, teremos: M = P.(1 + i) n Para o cálculo do juro composto, podemos aplicar a própria definição de montante: M = P + J J = M P = P.(1 + i) n P 2 Colocando o fator comum P em evidência, teremos: J = P.[(1 + i) n 1] 7.1 Valor atual (A) e valor nominal (N) Existe uma forte segmentação na sociedade em muitos aspectos. Essa característica se acentua quando analisamos a linguagem, em função do tipo de trabalho que a pessoa realiza. Depois de algum tempo na área financeira, conseguimos caracterizar o trabalho dos profissionais através do seu vocabulário. Profissionais que atuam na área de investimentos utilizam as expressões montante e principal ou capital. Profissionais de áreas de pagamento preferem os vocábulos atual e nominal. Repetindo os conceitos, definimos o atual como um valor da dívida antes da data de vencimento e o nominal como seu valor na própria data de vencimento. O nominal está associado a uma idéia de valor futuro, de montante do valor atual. Operacionalmente podemos escrever: N = A. (1 + i) n ou A = N/(1 + i) n 32

9 MATEMÁTICA FINANCEIRA Aplicações: a. Calcule o montante de um principal de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos de % ao mês, durante dez meses. A solução será encontrada pela aplicação direta da fórmula do montante: M = P.(1 + i) n = 00. (1 + /0 ) = R$ 1.628,89 R.: O montante será de R$ 1.628,89. b. Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros compostos de % ao mês? Pela fórmula de montante, temos: M = P.(1 + i) n 2 = 1. (1 + /0) n 2 = 1,0 n n = log2 = 14,21 meses log 1, 0 R.: O capital dobrará em 14,21 meses ou, de outra forma, em 1 ano, 2 meses e 6 dias. c. A que taxa mensal de juros compostos um capital qualquer rende de juros % do seu valor em cinco meses? Como o cálculo será válido para qualquer capital, podemos arbitrar um capital de R$ 0,00, que renderá R$,00 (% do seu valor), passando a um montante de R$1,00. Podemos iniciar com a fórmula do montante composto: M = P.(1 + i) n 1 = 0.(1 + i) 1/0 = (1 + i) 1 + i = 12, 33

10 Unidade II Concluindo: i = 12, - 1 = 0,03714 ao mês ou (x 0): 3,71% ao mês R.: A taxa será de 3,71% ao mês. d. Que principal devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 4% ao mês para ter R$.000,00 de montante daqui a dez meses? Podemos trabalhar diretamente com a fórmula do montante: M = P.(1 + i) n 000 = P.(1 + 4/0) P = 000 = R$ 3.377,82 (1 + 4/0) R.: Devo aplicar um principal de R$ 3.377,82. Exercícios propostos 1. Calcule o montante composto gerado por um capital de R$ 1.000,00, aplicado pelos prazos e taxas abaixo: a. 1% a.m. em 12 meses (R$ 1.126,83) b. 1,% a.m. em 3 anos (R$ 1.709,14) c. 3% a.t. em 18 meses (R$ 1.194,0) d. % a.a. em meses (R$ 1.082,67) e. % a.s. em anos (R$ 1.628,90) f. 1% a.a. em 2 anos (R$ 1.0,) g. 0% a.d. em 1 semana (R$ ,00) h. % a.quin. em 2 meses (R$ 0.062,0) 34

11 MATEMÁTICA FINANCEIRA 2. Que juro composto receberá uma pessoa que aplica R$ 1.000,00, conforme as hipóteses abaixo: a. 2% a.m. 1 ano (R$ 268,24) b. 1,% a.t. dois anos (R$ 126,49) c. 7% a.s. 36 meses (R$ 00,73) d. 00% a. quinz. 4 dias (R$ ,00) e. 0% a. semana 21 dias (R$ 1462,00) f. % a.a. 3 anos (R$ 331,00) 3. Certa pessoa pretende comprar uma casa por R$ ,00 daqui a seis anos. Quanto deve aplicar hoje, a juros compostos, para que possa comprar a casa no valor e prazo estipulados se a taxa de juros for: a. 3% a.t. (R$ ,87) b. % a.m. (R$ 21,32) c. % a.a. (R$ ,80) d. 0% a.s. (R$ 3.83,67) 4. Para ter R$ 0.000,00 de montante composto, quanto devo aplicar hoje se as taxas e os prazos são os seguintes: 2 a. 2,% a.m. um semestre (R$ ,69) b. % a.quadr. quatro anos (R$ ,72) c. 0% a.d. dez dias (R$ 1.734,) d. 0% a.a. dois anos (R$ 0.000,00). O preço de um carro é R$ ,62, podendo ser pago em 6 meses. Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 11,2%. Qual é a taxa anual composta de juros cobrada nessa operação? (26,82% a.a.) 3

12 Unidade II O Banco X anuncia que sua taxa de empréstimo pessoal é de 2,% am, no critério juro composto. Um cliente retirou R$.000,00, e quando foi saldar a dívida, o gerente lhe disse que a mesma importava em R$ ,17. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo? (18 meses) 7. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 30% do valor da mercadoria à vista como entrada e o restante a ser liquidado em três meses. Nesse caso, o valor da mercadoria sofre um acréscimo de %, a título de despesa administrativa. Qual é a taxa de juros composta anual utilizada por essa loja? (70,60% a.a.) 8. Um sítio é posto a venda por R$ 0.000,00 de entrada e R$ 0.000,00 a um ano. Como opção, o vendedor pede R$ ,00 à vista. Se a taxa de juros compostos de mercado é de 2,% am, qual é a melhor alternativa para o comprador? (À vista, taxa de mercado é menor.) 09. Um investidor troca um título de R$.000,00 para três meses por outro de R$ 13.00,00 vencível em um ano. Sabendo-se que a taxa composta de mercado é de 3% am, pergunta-se: a. Esse investidor fez bom negócio? (Sim.) b. Se fez bom negócio, que taxa composta mensal ganhou? (3,2% am). Um terreno é vendido por R$ 0.000,00 à vista. A prazo, o vendedor oferece dois planos: a. R$ 0.000,00 de entrada. b. R$ ,00 de entrada; R$.181,96 em 6 meses; R$2.480,77 em 6 meses; R$ ,18 em 12 meses; R$ ,09 em 12 meses. 36

13 MATEMÁTICA FINANCEIRA Se a taxa composta de juros corrente for de 2% a.m., qual será a melhor alternativa para o comprador? (Letra a, que corresponde ao menor valor à vista.) 7.2 Calculadoras financeiras Existe uma correspondência entre os parâmetros financeiros e as funções presentes nas teclas de uma calculadora financeira. De maneira geral, introduzidos os valores de três desses parâmetros, a calculadora fornecerá o valor do quarto parâmetro. Essa correspondência é a seguinte: Montante (M) FV Principal (P) PV Taxa de juros (i) i Número de períodos (n) n Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou ). Existem algumas pequenas diferenças de um modelo de calculadora para outro, mas, em linhas gerais, suas estruturas de cálculo e entrada/saída de dados são muito parecidas. Caso tenha acesso a uma calculadora financeira, refaça os cálculos relativos a juros compostos utilizando as funções financeiras da calculadora. Essa habilidade pode não ser muito valorizada dentro de um curso teórico, mas ajuda muito no mercado de trabalho. Concluindo, o capítulo juro composto nos mostrou outro critério de cálculo, em que as variações não são lineares e os cálculos não podem ser efetuados por meio dos recursos simples das regras de três e das proporções, mas por fórmulas exponenciais e logarítmicas. Esse critério é importante, pois, apesar de uma histórica proibição da sua aplicação, é o mais 37

14 Unidade II utilizado no dia a dia financeiro das empresas e dos cidadãos brasileiros em geral. 8 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS Ao final deste capítulo, o aluno será capaz de calcular as taxas de juros equivalentes referentes a períodos de tempo diferentes, sob o critério composto de cálculo dos juros. Conceito: duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diferentes, são equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Fórmula Determine as taxas anual e mensal equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro composto. ia = taxa unitária anual im = taxa unitária mensal Número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal. Aplicando a fórmula do montante composto, teremos: M = P.(1 + im) 12, para a taxa mensal M = P.(1 + ia), para a taxa anual Se, como especifica o conceito, os montantes e os principais são iguais, teremos: (1 + im) 12 = (1 + ia) 38

15 MATEMÁTICA FINANCEIRA Essa fórmula indica que a taxa anual possui doze capitalizações da mensal equivalente. Equivalências em outros períodos poderão ser calculadas alterando-se, na fórmula, os números de capitalizações correspondentes. Aplicações: a. Calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m. Solução por aplicação direta da fórmula: (1 + 2/0) 12 = (1 + ia) 1 + ia = 1,26824 ia = 0,26824 ao ano R.: A taxa será 26,82% a.a. b. Calcule a taxa composta semestral equivalente a 3% ao bimestre. Solução por aplicação direta da fórmula: (1 + 3/0) 3 = 1 + is 1,09273 = 1 + is is = 0,09273 ao semestre R.: A taxa será 9,27% a.s. c. Calcule a taxa composta mensal equivalente a 30% a.a. Solução por aplicação direta da fórmula: (1 + 30/0) = (1 + im) im = 12 13, im = 0,0221 ao mês R.: A taxa será 2,21% a.m. 39

16 Unidade II d. Calcule a taxa composta quadrimestral equivalente a 0% aa. Solução por aplicação direta da fórmula: (1 + 0/0) = (1 + iq) 3 iq = 3, - 1 iq = 0,14471 ao quadrimestre R.: A taxa será 14,47% a.q. Neste capítulo, você aprendeu a adequar a taxa de juros compostos à unidade de contagem de tempo da aplicação. É um aspecto importante das finanças, pois sua aplicação pode gerar discrepâncias danosas nas finanças dos desinformados. Exercícios propostos 2 1. Calcule a taxa composta anual equivalente a cada uma das taxas abaixo: a. 1% a.m. (12,68% a.a.) b. 2% a.b. (12,62% a.a.) c. % a.t. (21,% a.a.) d. 2,% a.q. (7,6% a.a.) e. 8% a.s. (16,64% a.a.) 2. Que taxas são equivalentes a 2% a.a. se os prazos respectivos forem: a. 6 meses (11,80%) b. 4 meses (7,72%) c. 3 meses (,74%) d. 2 meses (3,79%) e. 1 mês (1,88%) 40

17 MATEMÁTICA FINANCEIRA f. 8 meses (16,04%) g. 9 meses (18,22%) h. 11 meses (22,70%) 3. Em 197, a rentabilidade da caderneta de poupança foi de 31,66% a.a. Qual sua taxa de rentabilidade trimestral? (7,12%) 4. O Produto Nacional Bruto de um país cresceu 0% em dez anos. Qual foi a taxa de crescimento anual? (11,61%). Em quanto tempo dobra uma população que cresce 2,82% a.a.? (24,93 anos) 9 CÁLCULO DO MONTANTE EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS Temos dois critérios de cálculo de montantes em números fracionários de períodos. Segundo um critério denominado exponencial, capitalizamos a taxa diretamente ao número de períodos, mesmo fracionário. Outro critério de cálculo é denominado linear, segundo o qual devemos calcular a parte inteira do número de períodos a juros compostos, e o montante assim obtido deverá ser aplicado a juros simples na parte fracionária dos períodos. Aplicação: a. Calcule o montante composto de um principal de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, por cento e quinze dias, pelos critérios linear e exponencial. Exponencial: ( ) M = P.(1 + i) n M = = R$ 1.162,

18 Unidade II R.: Segundo o critério exponencial, o montante será: R$ 1.162,24. Linear: M = 00. ( )3.(1 + 4 / 30.2) = R$ 1.162,36 0 R.: Segundo o critério linear, o montante será de R$ 1.162,36. Exercícios propostos 1. Um investidor aplicou cinco mil reais durante trinta meses, à taxa composta de % ao ano. Qual será o montante por ele recebido? (linear/exponencial) (lin: R$ 6.32,0; exp: R$ 6.34,29) 2. Com a finalidade de comprar um carro no valor de R$ 7.00,00, um rapaz aplica R$ 6.000,00 a juros compostos de 3% ao mês. Quanto tempo levou para obter o valor do carro? (lin. e expo.) (exp: 7 meses e 16,47 dias; lin: 7 meses e 16,47 dias) 3. Qual é o montante recebido em um investimento de R$.000,00, por quatro anos e nove meses, à taxa composta de % a.a.? (convenções linear e exponencial) (lin: R$.739,08; exp: R$.72,89) 4. Uma aplicação em caderneta de poupança rendeu R$ 00,00 sobre um capital de R$ 800,00 em um ano e três meses. Que taxa composta anual recebeu? (expon.) (47,46% aa) 2. A rentabilidade de uma aplicação é de 2% a.a. Sabendo-se que uma pessoa lucrou R$ 980,00 sobre um capital de R$ 2.00,00, pergunta-se quanto tempo ficou o dinheiro aplicado. (convenções linear e exponencial) (lin: 1 ano, meses e 14 dias; exp: 1 ano, meses e 24 dias) 42

19 MATEMÁTICA FINANCEIRA 6. Qual é a taxa de juros para treze meses nas hipóteses abaixo (linear e exponencial): a) 27% a.a. (lin.:29,86%; exp.: 29,%) b) 6% a.s. (lin.: 13,48%; exp.: 13,46%) c) % a.q. (lin.: 17,21%; exp.: 17,18%) d) % a.t. (lin.:1,29%; exp.: 1,14%) Observação: Não podemos esquecer que as unidades de tempo da taxa e do prazo devem ser as mesmas. Outro fator importante é a diferença entre os resultados obtidos pelos dois critérios. Devido às estruturas de cálculo, o linear apresentará sempre valores maiores que o exponencial. Outro fator importante é a aplicação desses critérios apenas aos casos em que o número de períodos for fracionário em relação à unidade de tempo da taxa de juros. 9.1 Período de capitalização diferente do período da taxa Geralmente, a capitalização de uma taxa composta coincide com seu período. Taxas anuais possuem capitalizações anuais, taxas mensais têm capitalizações mensais, e assim por diante. Alguns casos, principalmente aqueles cujo recolhimento do juro não coincide com a unidade de tempo da taxa, pressupõem outros períodos de capitalização. Podemos ter taxa anual com capitalização mensal, como é o caso da Tabela Price, modelo de cálculo muito utilizado em financiamentos imobiliários. 2 Esses casos de disparidade da capitalização poderão ser calculados por uma associação entre a proporcionalidade e a recapitalização dentro do período utilizado. O cálculo é muito simples: dividimos a taxa pelo número de períodos de capitalização e capitalizamos o resultado 43

20 Unidade II novamente, período a período de capitalização, totalizando o prazo da operação financeira. Aplicação: a. Determine a taxa efetiva anual correspondente à nominal de 0% ao ano, com capitalização mensal. Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula: [( / 12 ) 12 1]. 0 = 63,21% a.a. 0 R.: A taxa efetiva será 63,21% a.a. b. Calcule a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 30% ao ano, com capitalização trimestral. Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula: [( / 4 ) 4 1]. 0 = 33,% a.a. 0 R.: A taxa efetiva será 33,% a.a. Exercícios propostos 1. Calcule a taxa efetiva anual nas hipóteses abaixo: a. 24% a.a., com capitalização mensal (26,82% a.a.) b. 28% a.a., com capitalização trimestral (31,08% a.a.) c. 21% a.a., com capitalização quadrimestral (22,0% a.a.) d. 40% a.a., com capitalização semestral (44,00% a.a.) e. 30% a.a., com capitalização anual (30,00% a.a.) 44

21 MATEMÁTICA FINANCEIRA 2. Se o banco deseja ganhar 30% a.a. como taxa efetiva, que taxa nominal anual deverá pedir em cada hipótese de capitalização abaixo: a. mensal (26,3% a.a.) b. trimestral (27,12% a.a.) c. quadrimestral (27,42% a.a.) d. semestral (28,04% a.a.) 3. O Banco Alfa propõe a um cliente a taxa de juros de 40% a.a., sendo a capitalização anual. O cliente, entretanto, opta pelo financiamento de outro banco, pois sua taxa é de 36,% a.a., com capitalização diária. Qual a melhor opção para o cliente? (Banco Alfa: 40% a.a.; outro banco: 44,03% a.a.) 6. Uma empresa toma emprestado R$ 0.000,00 pelo prazo de dois anos. Se a taxa do banco for de 28% a.a., com capitalização trimestral, qual será o montante devolvido ao banco? (R$ ,60) 7. Em quanto tempo duplica um capital qualquer aplicado a juros compostos de 0% a.a., com capitalização mensal? (1 ano, 4 meses e 29 dias) 2 SÉRIES DE CAPITAIS Ao final deste capítulo, o aluno será capaz de identificar uma série de capitais, destacando suas características, e calcular seus parâmetros por meio das fórmulas de definição ou das funções apropriadas de uma calculadora financeira. Este capítulo se reveste de extrema importância, pois desenvolve o estudo dos principais critérios de financiamento e de remuneração na aplicação de um conjunto de valores financeiros. 4

22 Unidade II Conceito de série: qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada característica pode ser considerada uma série, também denominada anuidade. Esses capitais podem ser valores que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma série de pagamentos, que tem como objetivo a quitação de uma dívida ou uma série de aplicações, denominada série de rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro. Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data zero, também denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores (termos) da série na data zero, valor esse que depende do número e do valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no financiamento. Já a série de rendas tem como parâmetro importante o montante, ou valor futuro, que é a soma de todas as aplicações na data do último depósito. Esse valor dependerá do número e do valor dos depósitos, bem como da taxa utilizada para corrigi-los De acordo com suas características, as séries podem ser classificadas em dois grandes grupos, as certas ou determinísticas e as probabilísticas ou aleatórias. Uma série é denominada certa quando as datas e os valores dos seus termos são conhecidos. Como exemplo, temos os financiamentos com taxas predeterminadas: mensalidades escolares, aluguel, prêmio de seguro, poupança programada. A série aleatória não tem datas nem valores determinados. Como exemplo, podemos citar os fluxos de caixa das seguradoras. Nenhuma companhia de seguros sabe quando vai ter que indenizar um sinistro, e a quanto monta essa saída de caixa. Esses cálculos são feitos pela estatística, com modelos probabilísticos complexos, por uma área da matemática denominada atuária. Devido à complexidade dos cálculos matemáticos exigidos, não estudaremos as séries probabilísticas. 46

23 MATEMÁTICA FINANCEIRA O estudo completo das séries envolveria um prazo muito longo, e não é esse o objetivo do nosso curso. Para atendermos aos nossos objetivos, escolheremos um modelo de série mais restrito, elegendo algumas de suas características: série periódica: seus termos ocorrem em períodos iguais; temporária: a série tem uma duração determinada; constante: todos os termos da série têm o mesmo valor; imediata: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo; postecipada: cada termo localiza-se no final do período de vencimento. Fórmulas: 1. Valor presente ou à vista (A): teoricamente, o valor à vista da série de pagamentos poderia ser calculado por meio da sua definição, termo a termo. Na prática, isso seria complicado, pois podemos ter séries com um grande número de termos. Para evitar esse transtorno, estabeleceremos uma fórmula que fará isso por nós. Adotando R para representar as prestações, n para o número de prestações e i para a taxa de juros, e aplicando a definição de valor atual na data zero, teremos: 2 A = R/(1 + i) + R/(1 + i) 2 + R/(1 + i) R/(1 + i) n Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos: n A = R. ( 1+ i ) 1 n i.( 1+ i) 47

24 Unidade II Aplicação: a. Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais iguais a R$,00, sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 3% ao mês. Solução por aplicação direta da fórmula: A =. 13 ( 1+ 3 / 0) 1 3.( / ) = R$ 2.68,74 R.: O valor à vista será de R$ 2.68,74. b. Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida de valor à vista R$.000,00, a juros compostos de % ao mês, em quinze pagamentos mensais iguais, sem entrada? Solução por aplicação direta da fórmula: ( 1+ / 0) = R. R =.000/.( / ) ( 1+ / 0) 1.( / ) R = R$ 481,71 R.: O valor da prestação será R$ 481,71. Exercícios propostos 1. Calcular o valor atual (à vista) de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00 nas hipóteses a seguir: 48

25 MATEMÁTICA FINANCEIRA 2 a. 2% a.m. em 24 meses (R$ ) b. 3% a.m. em 12 meses (R$ 9.94,00) c. 2,% a.m. em 36 meses (R$ 23.6,2) d. % a.t. em 8 trimestres (R$.334,93) e. % a.s. em semestres (R$ 3.32,16) 2. Um terreno é vendido por R$.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais iguais de R$ 00,00. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento foi de 2,% a.m., qual foi o valor à vista do imóvel? (R$ ,13) 3. Numa seção de classificados, anuncia-se uma casa por R$.000,00 à vista ou em quatro prestações trimestrais de R$ ,00. Qual é a melhor opção de compra, uma vez que a taxa de juros corrente é de % a.t.? (Melhor financiar, pois o valor à vista do financiamento é menor que o real.) 4. Um magazine tem como política de vendas oferecer um desconto de % nas compras à vista. Nas vendas a prazo, os clientes deverão pagar 12 prestações mensais iguais a % do valor à vista. Supondo-se que a taxa de juros corrente seja 2,% a.m., qual é a melhor alternativa para o comprador? (Melhor à vista, pois o valor à vista do financiamento é maior que 90%.). Calcular o valor da prestação referente a uma mercadoria cujo preço à vista é de R$.000,00, caso ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e respectivos prazos: a. 2,% a.m. em 12 meses (R$ 974,87) b. 2,% a.m. em 24 meses (R$ 9,13) 49

26 Unidade II c. 3,0% a.m. em 12 meses (R$ 1.004,62) d. 3,0% a.m. em 36 meses (R$ 488,04) e.,0% a.t. em trimestres (R$ 1.627,4) f.,0% a.a. em 2 anos (R$.761,90) 2 6. Um sítio é posto a venda por R$ ,00 à vista, ou a prazo nas seguintes condições: % de entrada e o restante em cinquenta pagamentos mensais iguais, com juros de 3% am. Qual é o valor das prestações? (R$.493,68) 7. O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que vende a prazo deseja estabelecer fatores que serão aplicados ao preço à vista, para o cálculo da prestação mensal. A taxa de juros da empresa é de 2% a.m.; calcule esses fatores, por unidade de capital, nos prazos abaixo: a. 6 meses (0,17828) b. 12 meses (0,09496) c. 18 meses (0, ) d. 24 meses (0,028711) e. 30 meses (0, ) 8. Uma revendedora de automóveis usados oferece os seguintes planos na venda de um carro modelo 192: a. entrada de R$ 1.000,00 mais 6 prestações mensais de R$ 181,. b. entrada de R$ 00,00 mais 12 prestações mensais de R$ 148,01. Sendo de 2% a.m. a taxa de mercado, qual o melhor para o comprador? (A melhor opção é a A, que apresenta menor taxa de juros) 0

27 MATEMÁTICA FINANCEIRA Sugestão: calcular os valores à vista, na taxa de mercado, e compará-los. 9. O preço de uma motocicleta é de R$.000,00 à vista ou, caso o cliente desejar as facilidades do crediário, poderá pagá-la a prazo. No segundo caso, exigem-se 24 prestações mensais iguais de R$ 1.24,46, sem entrada. Que taxa mensal de juros está sendo cobrada? (3,% ao mês). Um barco é vendido por R$ 0.000,00 à vista ou por R$ ,00 de entrada mais oito prestações quadrimestrais iguais de R$ ,01. Que taxa quadrimestral está sendo considerada? (%) 11. Certa agência de viagens diz financiar a juros de 1,2% a.m. Sua sistemática de financiamento de R$.000,00, em doze meses, é a seguinte: 1,2% x 12 meses = 14,4% a.a..000 x 1,144 = R$ ,00 R$ ,00 12 = R$ 93,33. Portanto, o cliente irá pagar 12 prestações de R$ 93,33. A taxa de juros é realmente de 1,2% a.m.? Justifique a resposta com cálculos! (Não.) Sugestão: calcular o valor da prestação e comparar com o fornecido pelo enunciado Uma financeira publica em um jornal seus coeficientes para cada unidade de capital emprestado, de acordo com os prazos: a. 6 meses 0,18707 (3,4%) b. 12 meses 0,086 (3,07%) 1

28 Unidade II c. 18 meses 0,07230 (2,93%) d. 24 meses 0,0819 (2,86%) e. 30 meses 0,04992 (2,83%) f. 36 meses 0,044 (2,82%) Então, o financiamento de R$ 1.000,00 por doze meses resultará em doze prestações de x 0,086 = R$ 0,86. Qual é a taxa de juros mensal de cada coeficiente? Sugestão: calculadora financeira. 13. Se uma financeira apresentar o coeficiente de 0,09749 para doze prestações mensais e, além disso, cobrar 2% sobre o valor financiado, a título de despesas administrativas (desconto que será feito no ato), qual será a taxa de juros mensal efetiva? Sugestão: estabelecer um valor qualquer arbitrário para o valor a ser financiado. (2,84% ao mês) 14. Em quantas prestações mensais de R$ 1.004,62 será pago um título de um clube de campo se seu valor à vista for de R$.000,00 e a taxa contratada for de 3,0% a.m.? Sugestão: calculadora financeira. (12 prestações) 2 2. Valor futuro ou montante (S) O valor futuro ou montante de uma série de rendas poderia ser calculado por meio da definição, corrigindo-se os valores dos depósitos para a data do último depósito e somando-os nessa data. Esse procedimento seria, no entanto, impraticável para uma série com um número grande de termos. Vamos então estabelecer uma fórmula que efetue todo esse cálculo para nós. Adotando S para denominar o montante da série, poderíamos escrever, de acordo com a definição: 2

29 MATEMÁTICA FINANCEIRA n 1 n 2 2 S = R.( 1+ i) + R.( 1+ i) R.( 1+ i) + R.( 1+ i) + R Fatorando e simplificando a expressão, teremos: Aplicação: n + i S = R. ( 1 ) 1 i a. Quanto terei de montante ao fim de cinquenta depósitos mensais iguais a R$ 300,00, em uma instituição que remunera as aplicações a juros compostos de 3% ao mês, se não fizer nenhuma retirada? Solução pela fórmula do montante da série: n + i S = R. ( 1 ) 1 + S = 300. ( 1 0, 03) 1 i 0, ,06 0 = R$ R.: Ao final dos cinquenta meses, terei R$ ,06. b. Quanto deverei depositar mensalmente durante trinta meses em uma instituição que remunera as aplicações a juros compostos de 2% ao mês se desejo ter de montante R$ 0.000,00? Solução pela aplicação da fórmula do montante da série: ( +, ) = R R = 0.000/ ( 1+ 0, 02 ) 1 0, 02 0, 02 = R$ 1.232,0 30 R.: Terei que depositar R$ 1.232,0 por mês. 3

30 Unidade II Exercícios propostos 2 1. Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de cinco anos, não se processando nenhuma retirada, tenha-se R$ 0.000,00? Considerar que a instituição paga 2,% a.m. sobre o saldo credor. (R$ 367,67) 2. Uma pessoa pretende comprar um apartamento no valor de R$ ,00 ao fim de dois anos. Sabendo que hoje ela possui R$ 0.000,00 em dinheiro, a que taxa mensal deve aplicar essa poupança e os 24 depósitos mensais de R$ 2.809,48 que pretende fazer para que seu objetivo seja alcançado? A sugestão é que se utilize a calculadora financeira. (3% ao mês) 3. Certo executivo, pretendendo viajar durante doze meses, resolve fazer seis depósitos mensais em uma financeira, para que sua esposa possa efetuar doze retiradas mensais de R$.000,00 durante o período de sua viagem. A primeira retirada ocorrerá um mês após o último depósito. Se a financeira paga juros de 3% a.m., de quanto devem ser os depósitos? (R$ ,28) CONCLUSÃO Chegando ao final do curso de Matemática Financeira, deveremos ter cumprido seus objetivos, tomando contato com os conceitos básicos e estando capacitados para analisar resultados e identificar perspectivas. Não podemos esquecer que esse curso não esgota o conteúdo da disciplina. Você deverá continuar estudando, lendo muito e acompanhando, por meio das publicações especializadas, a dança dos números sob a regência dos conceitos da matemática financeira. 30 Como professor da UNIP, coloco-me a sua disposição para esclarecer as dúvidas. Aproveite bem tudo aquilo que você aprendeu! 4

31 MATEMÁTICA FINANCEIRA Referências bibliográficas BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática das finanças. 3. ed. São Paulo: Atlas, 08. HAZZAN, Samue; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 07. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira.. ed. São Paulo: Atlas, 08. MERCHEDE, Alberto. HP-12C: cálculos e aplicações financeiras. 1. ed. São Paulo: Atlas, 09.

32 6 Unidade II