Estimação da Esperança de Vida ao Nascer dos Estados Brasileiros no Ano 2008 via Modelos Aditivos Generalizados para Posição, Escala e Forma

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1 Estimação da Esperança de Vida ao Nascer dos Estados Brasileiros no Ano 2008 via Modelos Aditivos Generalizados para Posição, Escala e Forma Alisson de Oliveira Silva 1 Luana Cecília Meireles da Silva 1 Wanessa Weridiana da Luz Freitas 1 Antônio Guedes Corrêa Gondim Filho 1 1 Introdução A esperança de vida ao nascer é um indicador demográfico e é definida como sendo o tempo médio que se espera que um recém nascido viva, se mantidas as taxas de mortalidade no período de tempo considerado. Este indicador é considerado um dos mais importantes, por permitir verificar de forma geral as condições de saúde e desenvolvimento de uma determinada região. Além disso, a expectativa de vida é utilizada pela Organização das Nações Unidas (ONU) como base para cálculo do IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) e também no cálculo previdenciário. No Brasil, é possível verificar uma tendência crescente da esperança de vida ao nascer ao longo das últimas décadas. Diversos fatores são destacados na literatura para o aumento da esperança de vida ao nascer como renda, educação, cobertura dos serviços de saúde e de saneamento básico e redução da mortalidade, principalmente a mortalidade infantil [5]. No Brasil, a esperança de vida ao nascer que era, em 1940, de apenas 44,9 anos passa para 68,6 anos no ano de Em 2008, o país alcançou o patamar de 72,86 anos, distante ainda dos países desenvolvidos como Japão, Suécia, etc. Apesar dos avanços ocorridos, a esperança de vida não é homogênea em todo país, visto que o nível de desenvolvimento dos estados ocorrem de maneira diferenciada, principalmente os estados das regiões Norte-Nordeste quando comparados aos do Centro-Sul, considerados como mais desenvolvidos. Com base nisso, o presente trabalho, objetiva realizar uma modelagem da esperança de vida ao nascer através de variáveis socioeconômicas e demográfica, destacando os principais fatores que explicam a esperança de vida no Brasil. Para isso foi utilizado a classe de Modelos Aditivos Generalizados para Posição, Escala e Forma [4], que consiste numa ferramenta de modelagem mais flexível que os modelos clássicos como modelo linear e Modelos Lineares Generalizados [3], visto que a distribuição da variável resposta pertence a uma classe mais ampla que a família exponencial, e além da média da variável resposta, os demais parâmetros da distribuição da variável resposta podem ser modelados como função paramétrica e/ou nãoparamétrica das variáveis explicativas e/ou efeitos aleatórios. 2 Materiais e Métodos Os dados utilizados para modelagem da esperança de vida ao nascer dos estados brasileiros no ano 2008, foram coletados das fontes oficiais de dados contínuos do DATASUS do 1 UFPB. allysson jlr@yahoo.com.br 1

2 Ministério da Saúde (Esperança de Vida ao Nascer) e do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) (Cobertura de Esgotamento Sanitário, Proporção de Pessoas de Baixa Renda, Renda Média Domiciliar Per Capita, Taxa de Analfabetismo, Cobertura de Água Encanada). As observações consideradas foram as 26 Unidades Federativas do País e o Distrito Federal. O Software utilizado para ajuste dos modelos foi o R versão , com auxilio do pacote gamlss. 2.1 Modelos Aditivos Generalizados para Posição, Escala e Forma (Gamlss) Na estrutura de regressão GAMLSS os p parâmetros θ T = (θ 1,...,θ p ) de uma função densidade de probabilidade f (y θ) são modelados utilizando termos aditivos. Aqui, presume-se que para i = 1,2,...,n as observações y i são independentes e condicionais a θ i, com função densidade f (y θ i ), onde θ it = (θ i1,...,θ ip ) é um vetor de p parâmetros relacionado às variáveis explanatórias e efeitos aleatórios. Destaca-se que quando os valores assumidos pelas covariáveis são estocásticos ou as observações y i dependem de seus valores passados, então f (y θ i ) é interpretada como sendo condicional a estes valores. Seja y T = (y 1,...,y p ) o vetor de observações da variável resposta. Considere ainda, para k = 1,2,..., p, uma função de ligação monótona g k ( ) relacionando o k-ésimo parâmetro θ k às variáveis explanatórias e efeitos aleatórios por meio de um modelo aditivo dado por: g k (θ k ) = η k = X k β k + J k Z jk γ jk (1) j=1 em que θ k e η k são vetores n x 1, por exemplo θ T k = (θ 1k,...,θ nk ),β T k = (β 1k,...,β J kk) é um vetor de parâmetros de tamanho J k e X k e Z jk são matrizes de planejamento (covariáveis) fixas, conhecidas e de ordens n x J k e n x q jk, respectivamente. Já γ jk é uma variável aleatória q jk - dimensional. O Modelo (4.1) é denominado de GAMLSS [4]. Neste trabalho vamos abordar o modelo Gamlss semiparamétrico em que Z jk = I n, onde I n é uma matriz identidade de ordem n x n, γ jk = h jk = h jk (x jk ) e para todas as combinações de j e k no Modelo (1), onde temos: g k (θ k ) = η k = X k β k + J k h jk (x jk ), (2) j=1 em que x jk, para j = 1,..., j k, k = 1,..., p são vetores de tamanho n, h jk é uma função desconhecida da variável explanatória X jk e h jk = h jk (x jk ) é um vetor que avalia a função h jk em x jk. Neste caso, assume-se que os vetores x jk são conhecidos e o modelo apresentado na Equação (2) é denominado de GAMLSS aditivo semiparamétrico linear. O modelo resultante em (2) é um caso especial do modelo (1) e pode conter termos paramétricos, não-paramétricos e de efeitos aleatórios [4]. A estimação dos parâmetros do modelo de regressão foram obtidos através da maximização da função de verossimilhança penalizada, l p,dada por l p = l 1 2 p k=1 J k γ T jk G jkγ jk (3) j=1 em que l = n i=1 = log{ f (y i θ i )} é a função de log-verossimilhança dos dados condicionais a θ i, para i = 1,...,n. 2

3 Para seleção do modelo mais adequado, utilizou-se os critérios de AIC, SBC e o desvio global. A análise de diagnóstico foi realizada através de aspectos gráficos dos resíduos do modelo. 3 Resultados e Discussões Para modelagem da variável resposta (Esperança de Vida ao Nascer), alguns aspectos inerentes aos dados foram verificados através de estatística descritiva, a fim de identificar distribuições plausíveis para a esperança de vida ao nascer dos estados brasileiros. Tabela 1: Estatísticas Descritivas Estatística Estimativa Média Mediana Desvio Padrão Assimetria Curtose Através dos resultados podemos observar algumas características importantes para definir a distribuição adequada, como assimetria negativa dos dados, variação positiva e natureza contínua dos dados. Portanto foram definidas como distribuições para a variável resposta : Box- Cox Cole and Green, Gama Generalizada e Gaussiana Inversa Generalizada, todas constantes no Pacote Gamlss do Software R. Para seleção das variáveis utilizou-se o método Stepwise, onde apenas a variável proporção de pessoas de baixa renda foi significativa ao nível de 5%. Vários modelos foram ajustados, ou seja, várias combinações de distribuição de probabilidade, funções de ligação e termos de suavização foram considerados. Através dos critérios de AIC, SBC, Desvio Global e Pseudo-R2, o modelo selecionado para predição da esperança de vida ao nascer foi o modelo com Distribuição Box-Cox Cole and Green, função de ligação identidade e um termo de suavização Spline Cúbico na variável proporção de pessoas de baixa renda com três graus de liberdade. Para estimação dos graus de liberdade ótimo para ajuste dos Splines a variável em questão foi utilizado o comando find.hyper do pacote gamlss, que consiste em determinar o parâmetro que minimiza o critério AIC. Os graus de liberdade ótimo estimado foi 6, cujo modelo selecionado foi reajustado. Os resultados constam nas tabelas a seguir. Tabela 2: Critérios AIC, SBC, Desvio Global e Pseudo-R 2 do modelo inicial AIC SBC Desvio Global Pseudo-R Tabela 3: Critérios AIC, SBC, Desvio Global e Pseudo-R 2 do modelo final AIC SBC Desvio Global Pseudo-R Verifica-se que não houveram modificações importantes no ajuste em relação aos critérios utilizados com exceção do Desvio Global e Pseudo-R2. Para validação do modelo foram utilizadas técnicas gráficas, como os gráficos de resíduos do modelo. Verifica-se que o modelo 3

4 ajustou-se adequadamente aos dados, uma vez que os resíduos encontram-se constantes e o gráfico de probabilidade mostra os pontos em torno da reta, indicando assim que a distribuição proposta ao dados foi adequada. Para verificar de forma mais eficiente o ajuste do modelo, foi construído o Worm-plot, que é uma ferramenta que permite identificar em quais intervalos da variável explicativa o modelo não se ajuste de forma satisfatória aos dados. Porém quando nenhuma variável explicativa é especificada, temos um gráfico de resíduos versus os quantis de uma distribuição normal com um envelope simulado. Podemos então verificar que os pontos encontram-se dentro do envelope, indicando assim o bom ajuste do modelo. Figura 1: Gráficos de Resíduos Tabela 4: Estimativas dos Parâmetros do Modelo Estimativa Erro-padrão P-valor Intercepto e-35 cs(x4, df = 6) e-14 Temos então que o modelo pode ser escrito da seguinte forma: y t = β 0 + cs(x 4t,d f = 6), (4) onde t = 1,...,27. Através do modelo podemos então tirar algumas conclusões sobre o problema em questão, mas especificamente através das estimativas dos parâmetros do modelo, que indicam a relação existente entre as variáveis em estudo. Como um termo de suavização foi utilizado, não é possível interpretar esses parâmetros de forma direta, porém seu sinal pode indicar a relação entre a esperança de vida ao nascer e a proporção de pessoas de baixa renda. Verificarmos então que o sinal negativo da variável proporção de pessoas de baixa renda, indica que quanto maior o nível de pobreza de um determinado lugar menor será a esperança de vida ao nascer, o que é esperado, uma vez que o Brasil possui ainda taxas expressivas de desigualdade principalmente nas regiões Norte e Nordeste, que são consideradas regiões menos desenvolvidas. Para permitir verificar a contribuição parcial do termo não-paramétrico em termos dos possíveis valores da variável explicativa foi construído o gráfico abaixo. Podemos então verificar através da curva suavizada o que foi identificado com o valor do parâmetro estimado, ou seja, uma redução da esperança de vida ao nascer a medida que há um aumento dos níveis de 4

5 pobreza dos estados. Nota-se que a contribuição torna-se negativa a partir de uma proporção de pessoas de baixa renda de 35%, ou seja, quando há uma passagem para os estados do Norte e Nordeste, que possuem os maiores índices de pobreza do país. Figura 2: Curva Suavizada da Variável Proporção de Pessoas de Baixa Renda 4 Conclusões O modelo Gamlss ajustado à esperança de vida ao nascer dos estados brasileiros para o ano 2008 configurou-se como uma ferramenta de modelagem mais flexível que os modelos clássicos uma vez que suposições sobre a variável resposta são relaxadas. Além disso termos não-paramétricos foram utilizados, como os splines cúbicos, permitindo que os dados expressem de forma mais fidedigna a relação existente entre as variáveis do que os modelos paramétricos, que fazem restrições sobre a relação funcional entre regressando e regressores. Verifica-se que o modelo ajustou-se adequadamente aos dados, o que mostra os critérios de seleção e os métodos gráficos utilizados para validação do modelo. O pseudo-r2 foi de 0,91, sendo mais um indicativo do ajuste satisfatório do modelo. Portanto temos que a classe de modelos Gamlss configuram-se como alternativa mais flexíveis aos modelos comumente utilizados em modelagem estatística como os modelos lineares e modelos lineares generalizados, tornando os modelos mais próximos da realidade, reduzindo-se assim possíveis erros na tomada de decisões a partir desses modelos. Referências [1] IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Síntese dos Indicadores Sociais. Disponível em: Acesso em 10 Jan [2] MINISTÉRIO DA SAÚDE - DATASUS, Indicadores de Saúde. Disponível em: Acesso em 10 Jan [3] NELDER, J. A., WEDDERBURN, R. W. M. Generalized linear models.journal of the Royal Statistical Society, A, 135 (1972) [4] Rigby, R.A. Stasinopoulos D.M. (2005). Generalized additive models for location, scale and shape (with discussion), Applied Statistics 54,

6 [5] Simões, C. C. S. Perfis de saúde e de mortalidade no Brasil: uma análise de seus condicionantes em grupos populacionais específicos. Brasília: Organização Pan-Americana da Saúde;