Experimento. Guia do professor. Quantos peixes há no lago? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

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1 Análise de dados e probabilidade Guia do professor Experimento Quantos peixes há no lago? Objetivos da unidade Introduzir um método que permite estimar o tamanho de uma deter minada população. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Quantos peixes há no lago? Guia do professor Sinopse Neste experimento, seus alunos aprenderão um procedimento simples que permite estimar o tamanho de populações como, por exemplo, a de peixes em um lago. Esta é uma ótima oportunidade para dar início ao estudo de Estatística, assunto normalmente pouco visto nos Ensinos Fundamental e Médio. Conteúdos Estatística, Estimação; Razão e Proporção, Proporcionalidade Direta. Objetivos Introduzir um método que permite estimar o tamanho de uma determinada população. Duração Uma aula simples.

3 A pesquisa científica é um processo de aprendizagem. Neste contexto, os métodos estatísticos empregam ferramentas matemáticas que permitem otimizar este processo. Basicamente, podemos identificar os seguintes estágios: 1. Formulação de uma hipótese, que acarretará certas consequências; 2. Amostragem de dados; 3. Comparação dos dados obtidos com o que era esperado, de acordo com a hipótese estabelecida; 4. Aceitação ou rejeição da hipótese. No caso de rejeição, formulação de uma nova hipótese; no caso de aceitação, conservação da hipótese até que novas amostras determinem sua rejeição. fig. 1 As etapas acima formam um ciclo iterativo entre o avanço teórico (hipótese), que está relacionado ao levantamento de possíveis respostas para um problema específico, e os procedimentos de obtenção de dados. Ao coletar dados, estamos interessados em obter informações que permitam manter a validade de uma hipótese ou que mostrem evidências suficientes para rejeitá-la, e então formular novas hipóteses, que serão testadas com uma nova coleta de dados, e assim por diante.

4 Uma técnica comumente utilizada em estatística para estudar uma população é através de amostragem: escolhemos alguns indivíduos da população a fim de mensurar as características de interesse e, com isso, podemos tirar conclusões para a população inteira. Uma pergunta que pode surgir quando pensamos nesse processo é se realmente conseguimos, a partir de uma determinada amostra, informação suficiente sobre a população, ou seja, se os resultados observados na amostra podem ser generalizados para a população inteira. Neste experimento, o aluno realizará um processo de amostragem e se deparará justamente com essa questão. O intuito será estimar o tamanho de uma população,. O processo se baseia em sucessivas amostragens de tamanho préfixado, de modo que em cada uma delas é obtida uma estimativa de. À medida que são coletadas mais amostras, mais precisa fica a estimativa. As perguntas que motivam este experimento são: 1. Como estimar o tamanho de uma população? 2. Como se comporta a estimativa proposta à medida que obtemos mais amostras? 3. Por que a estimativa proposta apresenta tal comportamento? 4. Em que sentido a estimativa proposta é uma boa estimativa?

5 Este experimento requer a construção prévia de quadrados de 2 cm² de área, que representarão os peixes, e uma caixa de sapatos, que representará o lago. Coleta de dados Na primeira amostragem, serão capturados 20 peixes, ou seja, serão selecionados ao acaso 20 quadrados da caixa. Esses quadrados serão marcados em ambos os lados para indicar que o peixe já foi capturado uma vez. A seguir, os quadrados são devolvidos à caixa, embaralhados, e outros 20 quadrados são selecionados. Esta é a segunda amostragem. Nela, pode haver peixes marcados que foram pescados na primeira amostra. O aluno deve marcar os peixes não marcados da amostra e devolvê-los à caixa. Deve ficar registrado na Tabela 1 o número total de peixes marcados, após a segunda amostragem. As amostragens seguintes são realizadas da mesma maneira, registrando os valores observados na Tabela 1, como no exemplo abaixo: Captura Total de pintados no lago Amostra Pintados na amostra = = = = = = tabela 1

6 Cálculos O aluno deve preencher as colunas 1 e 2 da Tabela 2 com as proporções encontradas nas diversas amostras, como no exemplo abaixo, onde o verdadeiro valor de é 420. Captura Proporção de pintados na amostra Estimativa (N) Proporção de pintados no lago , ,05 3 0, ,09 4 0, ,13 5 0, ,18 6 0, ,22 7 0, ,25 tabela 2 A terceira coluna é obtida a partir da seguinte estimativa, proposta no experimento: Total de peixes pintados no lago Proporção de pintados na amostra obtida a partir da aproximação entre a proporção de peixes no lago e a proporção de peixes na amostra. Nesta etapa, os alunos devem responder às questões propostas na Folha do Aluno a fim de entender a estimativa acima. A quarta coluna da Tabela 2 é preenchida com a informação sobre a quantidade real de quadrados na caixa, que deve ser entregue pelo grupo que a construiu.

7 Como dito acima, a motivação para o uso da estimativa é a aproximação entre a proporção de peixes no lago e a proporção de peixes na amostra. Graficamente, podemos observar que isso é válido no gráfico de evolução para as duas proporções à medida em que as amostras são coletadas, como na figura 2, a seguir: fig. 3 Gráfico Os conceitos envolvidos nesta aproximação são basicamente o de convergência de variáveis aleatórias e o de Lei dos Grandes Números. Daremos a seguir uma breve explicação sobre esses conceitos relacionados ao experimento. Denotemos por o total de quadrados pintados observados na i-ésima amostra e por o total de quadrados pintados no lago antes da i-ésima amostra. No exemplo anterior, esses valores estão nas colunas 2 e 4 da Tabela 1 respectivamente, ou seja:

8 Observemos que, quando, é uma variável aleatória que representa o total de quadrados pintados em 20 extrações sem reposição em uma caixa que contém uma proporção de quadrados pintados. Assim, o valor esperado de, que denotaremos por, é. Como, é uma variável aleatória que representa o total de quadrados pintados em 20 extrações sem reposição em uma caixa com proporção de quadrados pintados. Assim, o valor esperado de é. Em geral, se, é uma variável aleatória que representa o total de quadrados pintados em 20 extrações sem reposição de uma caixa com proporção de quadrados pintados. Assim, o valor esperado de é. Para cada valor possível de, a proporção esperada de quadrados pintados na i-ésima extração é. Isso justifica que utilizemos a proporção da amostra para estimar a proporção de peixes no lago até o momento,. Para obter uma estimativa de, basta resolver a equação obtida com esta aproximação:.

9 O foco deste experimento é o uso de tabelas e gráficos para tratar as informações coletadas. Discuta com os alunos a utilidade dessas ferramentas e socialize as soluções obtidas pelos grupos. É possível que surjam outras perguntas suscitadas pelo experimento como as sugeridas no Fechamento do Experimento. Motive os alunos a tentar responder a essas questões e, se for necessário, planejar sua própria amostragem.

10 Costa Neto, P. L. de O. Estatística. Editora Edgard Blücher, Meyer, P. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora, 2003.

11 Ficha técnica Autora Laura Letícia Ramos Rifo Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Língua Portuguesa Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação