Secretaria Municipal de Educação

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1 ESCOLA MUNICIPAL: Turma: NOME: 2011 Secretaria Municipal

2 PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO EDUARDO PAES SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO CLAUDIA COSTIN SUBSECRETARIA DE ENSINO REGINA HELENA DINIZ BOMENY COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA TÉCNICA MARIA SOCORRO RAMOS DE SOUZA MARIA DE FÁTIMA CUNHA CONSULTORIA LILIAN NASSER ELABORAÇÃO TERESINHA VALENTE SOARES REVISÃO SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA DESIGN GRÁFICO MARIA DE FÁTIMA CUNHA BEATRIZ ALVES DOS SANTOS

3 Prezado(a) Estudante, Os Cadernos de Apoio Pedagógico já fazem parte do seu cotidiano escolar,desde o ano passado. Você recebeu cadernos relacionados aos conteúdos dos bimestres e outros de temas específicos. Todos foram produzidos, especialmente para você, que está conectado com o mundo ao seu redor. Este novo material pedagógico traz assuntos pertinentes ao 8º ano e convidam você a ampliar seus conhecimentos numéricos, algébricos e geométricos. No decorrer das páginas, você terá a oportunidade de experimentar a matemática por meio de reflexões, resoluções de problemas e desafios, na troca de ideias com os colegas, na observação do mundo a sua volta. Empenhe-se para realizar as atividades propostas de forma organizada,participando, efetivamente, de todas elas. Seu envolvimento trará um lucro precioso: o prazer de aprender. Prof.ª Teresinha Valente Equipe de Matemática

4 Os números precisam ser estudados sempre... O valor de uma corrida de táxi. R$ 21,50 como valor da corrida de táxi. Lemos esta quantia assim: vinte e um reais e cinquenta centavos. R$ 21,50 Cinquenta centavos é a metade de um real. Pode ser representado pelo número decimal R$ 0,50. A parte do livro que o menino leu. como quantidade de páginas lidas. 1 das páginas do livro Esse número, uma fração, é lido como um meio e significa metade. Quando dividimos um inteiro em duas partes iguais, cada uma dessas partes é a metade do inteiro. Então, podemos registrar que 1 = 0,5 porque essas duas representações simbolizam metade. 2 1

5 Vamos verificar com outros valores: Dez centavos é um décimo de um real. Isto é, são necessárias moedas de dez centavos para formar um real. Pode ser representado pelo número decimal. 1 A fração que representa um décimo é. 10 Portanto, podemos registrar que = porque essas duas representações simbolizam um décimo. Vinte e cinco centavos é um quarto de real. Isto é, são necessárias moedas de vinte e cinco centavos para completar um real. Pode ser representado pelo decimal. A fração que representa um quarto de real é. Portanto, podemos registrar que = porque essas duas representações simbolizam um quarto. 2

6 Retomando: = 0,50 = 0,5 = 0,10 = = 0,25 A fração é uma parte do todo, portanto o todo foi dividido em partes iguais. Nos casos que estamos estudando, o real foi dividido em partes iguais. Eu entendi que representam a mesma quantidade Então, um real é o mesmo que 2 x 0,50. + = Podemos ainda efetuar a divisão: , 0 0,5 3

7 Vamos verificar com outras frações: Um real é o mesmo que 10 x. Efetuando a divisão: , Um real é o mesmo que 4 x. Dividindo: 1 4 0, = = 4

8 O mesmo vai acontecer com outras frações Se um quarto do real é o mesmo que R$ 0,25, então três quartos são. Um quarto Três quartos Dividindo: , 0,7 0 0,75 0,25 + 0,25 + 0,25 = O par de moedas ao lado corresponde a centavos. Representamos essa quantia usando números decimais 5

9 As três moedas abaixo representam trinta centavos. O número decimal que simboliza essa quantia é 0, A fração correspondente a essa quantia é. Mas se uma dessas moedas equivale a um décimo do real, então usando três dessas moedas, temos três décimos. Podemos registrar que as duas frações obtidas com trinta centavos são equivalentes. Logo: = 3 10 A partir de números decimais podemos obter frações. A palavra centavos está relacionada a centésimos, que na fração determina o denominador cem. Para escrever um número decimal que simboliza uma quantia, precisamos destacar que, já que são centavos, temos centésimos, portanto é um número com duas casas decimais. 6

10 1) Complete: a) A moeda ao lado representa centavos. A fração correspondente a cinco centésimos é. b) A moeda ao lado representa centavo. O número decimal que simboliza essa quantia é. A fração correspondente a essa quantia é. 2) No termômetro usado para medir a temperatura do corpo, é possível medir temperaturas que variam de 34 graus Celsius a 42 graus Celsius. Escreva, por extenso e com algarismos, as temperaturas marcadas em cada termômetro. (Apostila do Curso Projeto Fundão/ 2010) a) Os números decimais estão no nosso cotidiano, como, por exemplo, nas representações monetárias e em medições. b)

11 Até a página 7, todas as frações com que trabalhamos podem ser escritas como decimais exatos. Mas nem sempre isso acontece. Vamos verificar, efetuando as divisões associadas às seguintes frações: 5 1) ) , Então = 0, ou 0, Observe que o decimal que aparece no quociente é infinito com repetição de um algarismo, portanto é uma dízima periódica. Complete a divisão: 7 9 0, Ao invés de usar reticências e repetir o período, podemos usar uma barra em cima do algarismo que se repete. Então 7 9 = 0, ou A fração que dá origem a uma dízima periódica é chamada de fração geratriz. 8

12 Num prédio com apenas três apartamentos, a conta de água é dividida igualmente entre os proprietários. Se o valor da conta é R$ 110,00, quanto cada um deve pagar? Para saber quanto cada proprietário deve pagar precisamos identificar: o valor da conta: a quantidade de proprietários:. 2) Efetuando: O resultado encontrado foi um decimal infinito com algarismo repetido nas casas decimais, logo é uma. Podemos observar que nesse decimal infinito,o algarismo repetido nas casas decimais é o. Para responder o problema precisamos levar em conta que as casas decimais da nossa moeda só permitem os centavos, portanto somente duas casas decimais. Com isso, arredondando, cada proprietário vai pagar R$. O artilheiro do campeonato estadual de futebol fez 20 gols em 9 jogos. Qual a média de gols por partida desse jogador? A média de gols feitos por esse jogador é obtida através da divisão do número de gols feitos pelo número de partidas jogadas. Para isso identificamos: quantidade de gols feitos: quantidade de partidas: Efetuando: 9

13 No exercício 2 da página 9, o valor encontrado é uma dízima periódica, porque o decimal encontrado no quociente tem casas decimais com algarismos. E a fração geratriz desse decimal é. Para responder ao problema, precisamos pensar que não existe um quase gol que tenha sido contado como gol feito. Portanto, o artilheiro fez em média pouco mais de gols por partida. Retomando os registros de frações geratrizes que fizemos até agora: ; e Observe que o denominador delas não é dez, nem cem, nem mil. Portanto, não são frações decimais. Nestes casos, o nove no denominador caracteriza as periódicas. Uma outra fração foi registrada: Determinando a fração equivalente a ela teremos: 9 Confirmamos então a mesma característica X 3 = X Existem outras frações geratrizes, tais como,, 27, todas com denominador que inclui 990 o como algarismo inicial, podendo variar de acordo com a característica da dízima periódica. 10

14 Mas como é que se encontra a fração geratriz de uma dízima periódica? Acompanhe os procedimentos nos exemplos com os números 0, e 1, Chamamos o número 0, de x, escrevendo a igualdade: x = 0, Multiplicando os dois membros por 10, obtemos uma nova igualdade: 10x = 7, Subtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos: 10x x = 7, , x = 7 Dividindo os dois membros por 9: 9 x = 9 x = Entendi. Nestes casos, se o período for formado por um algarismo, multiplico por 10. Se for formado por dois algarismos multiplico por 100. Escrevemos a igualdade: x = 1, Multiplicamos os dois membros por 100: 100x = 123, Subtraindo a primeira igualdade da segunda, temos: 100x x = 123, , x = x 122 = x =

15 1) Efetue a divisão: Então = ou 9 2) Quatro amigos resolveram estudar juntos na casa de um deles. Para a hora do lanche, foram preparados 10 sanduíches para as quatro crianças. Essa quantidade foi repartida igualmente entre os quatro meninos e não sobrou nenhum sanduíche. Quantos sanduíches cada um comeu? Para saber quantos sanduíches cada um comeu, precisamos identificar: Quantidade de sanduíches: Quantidade de crianças: A divisão deve ser de sanduíches por crianças. Então teremos. Efetuando: O valor encontrado é um decimal. Podemos observar que esse decimal é, portanto ele uma dízima periódica. Considerando que se pode comer uma parte de um sanduíche, para responder o problema, escrevemos que cada um comeu sanduíches inteiros mais. 3) Determine a fração geratriz de 0,

16 Na antiguidade, começaram os estudos sobre as raízes. A radiciação é a operação matemática que determina uma raiz. Ué?!? Em matemática tem planta? Que história é essa de raiz? Calma... Vamos ver as situações a seguir... 13

17 1) O piso de uma sala quadrada mede 16 m 2. Esta informação é da medida de uma superfície, é o resultado do cálculo de área. E a área de um quadrado é o produto de suas dimensões: lado x lado. Algumas das possibilidades, para que o resultado seja 16, são: 1 x = 16 8 x = x = 16 4 x = 16 2 x = 16 Mas somente uma das possibilidades servirá para o cálculo da área de um quadrado com medidas inteiras. Ela é x = 16. Então, cada lado dessa sala mede m. 2) Se o piso de uma outra sala medir 18 m 2, ela pode ter o formato de um quadrado com medidas inteiras? Tente formar um quadrado, pintando 18 quadradinhos no papel quadriculado ao lado. 14

18 As possibilidades, para que o produto seja 18, são: 1 x = 18 2 x = x =18 9 x = 18 3 x = 18 6 x = 18 Para ser um quadrado, é necessário que as medidas dos lados sejam iguais. Portanto, o piso desta outra sala, como aconteceu com o papel quadriculado, (tem/não tem) o formato de um quadrado. 3) Vamos considerar o piso de um quarto quadrado de 9 m 2. a)escreva algumas possibilidades em que o produto seja 9. b)escreva a única possibilidade que pode representar a área de um quadrado com medidas inteiras. c)então, se o piso medir 9 m 2, o lado medirá m porque x = 9. Para a sala do piso que mede 9 m 2 teremos: x = = 9 Quando os fatores são iguais podemos escrever uma potenciação. 4 x 4 = = 16 Mas eu quero saber sobre as raízes... Mas já estamos falando das raízes quadradas... A raiz quadrada é a operação inversa da potenciação, em que sabemos o resultado, e desejamos encontrar a base da potência. 2 = 9 9 = 15

19 Quando tentamos descobrir qual o número que, multiplicado por ele mesmo, resulta em 9, estamos fazendo a raiz quadrada de 9. x = 9 9 = Para determinar o valor da raiz, podemos procurar pelos fatores repetidos: x = 16 Ou podemos procurar a base da potenciação: 2 = 16 Então =. Vamos aplicar esses procedimentos em outras raízes: 25 = porque x = 25 ou 2 = = porque x = 100 ou 2 = 100. Então será que existe? 0,25 O número decimal 0,25 pode ser representado pela fração Então 0,25 =. E podemos efetuar Consultando os valores das raízes acima, complete = =

20 5 Legal! Se 0,25 = = 0,5, então tem 10 raiz quadrada de todos os números!!! Devagar!!! Nem todas as raízes quadradas resultam em números exatos: inteiros ou decimais. Algumas podem gerar dízimas ou outros números decimais infinitos. 49 Um exemplo é =. A fração encontrada gera uma dízima periódica. Esta dízima é 0, ou na forma abreviada. A fração que dá origem a uma dízima periódica é chamada de fração geratriz. Temos também as que não geram dízimas periódicas como 2 e 3entre outras. 2 = 1, = 1, Estes números decimais não apresentam período, isto é, não têm algarismos repetidos em sequência, na parte decimal. 17

21 1) Usando uma das maneiras apresentadas nas fichas anteriores, determine as seguintes raízes: 1 = = = 25 = 36 = = = = = 100 = 2) Registre o que se pode observar quanto aos resultados obtidos acima: 3) Determine: a) O número compreendido entre 110 e 130 cuja raiz quadrada é um número inteiro. b) O número compreendido entre 240 e 260 cuja raiz quadrada é um número inteiro. 4) Dê o valor da raiz quadrada de cada número da lista a seguir: a) = b) = c) = d) 0,36 = e) 0,04 = 18

22 Podemos organizar os resultados de raízes em dois conjuntos: o dos números racionais e dos irracionais. Para ser elemento do conjunto dos números racionais, um número tem que ser ou ter a possibilidade de ser escrito na forma de fração. Fácil! É o decimal e a própria fração. 0,5 e 9 7 Em parte você acertou. O decimal e a fração são mesmo números racionais. Mas os inteiros também são. Isto eu entendi. O decimal 0,5 pode ser 5 representado pela fração e 7 já 10 9 é uma fração. Mas e os inteiros? Usando frações equivalentes, podemos observar como os inteiros são escritos como frações = = = = = = = = = = = = = = = = = = Frações equivalentes representam a mesma quantidade. 6 = = = =

23 Mas tem 2 e 3... O resultado delas não dá para escrever como fração porque não apresentam um período que se repete na parte decimal. Isso mesmo! E como não pode ser escrito na forma de fração, eles serão elementos do conjunto dos números irracionais. Entendi! Estudando as raízes quadradas podemos entender a diferença entre os números racionais e irracionais. Alguns exemplos que usamos nas páginas anteriores: ,25 Complete o quadro com estas raízes quadradas exemplificadas acima: Números racionais Números irracionais Existem outros números irracionais que não têm origem em raízes quadradas. O exemplo mais famoso é o do número π (lê-se: pi ) cujo valor é 3,

24 1) Complete as igualdades : 8 27 a) 4 = = = =... b) = = = = ) A condição para que um número seja racional é que ele possa ser escrito na forma de. 3) Responda: a) O número 4 pode ser escrito na forma de fração? b) O número 9 pode ser escrito na forma de fração? c) O número 3 pode ser escrito na forma de fração? d) Podemos afirmar que os números 4, 9 e 3 são números racionais? Por quê? 4) Pensando nas sequências de igualdades como as do exercício 1, dê três exemplos de números racionais não fracionários. 5) Troque ideias com seus colegas e responda: a) Qual o papel do traço de fração na escrita de números racionais na forma fracionária? b) Qual o papel da vírgula na escrita de números racionais na forma decimal? 21

25 Na nossa vida temos contato com vários símbolos. Escreva embaixo de cada símbolo o seu significado. Existem outros que, além de desenhos, têm letras. Os conjuntos numéricos também têm símbolos próprios. Em anos anteriores, você já conheceu: Neste ano, estamos estudando: N Conjunto dos Números Q Conjunto dos Números Racionais Z Conjunto dos Números I Conjunto dos Números Irracionais Com isso, podemos escrever: 16 Q 3 Q N Q Q 2 0,09 I 9 Z I I I Existem outros símbolos matemáticos que relacionam: elementos com conjuntos conjunto com conjunto ou ou 22

26 9 pode pertencer ao conjunto dos números racionais e irracionais, ao mesmo tempo? O resultado de 9 é 3. Eu lembro da sequência de frações da página Refaça a sequência de frações geradas pelo número = = = 1 Como o número 3 pode ser escrito na forma de fração, ele é um número (racional/irracional). Eu pesquisei que o resultado de é 2, O valor encontrado para 5 é um decimal com infinitas casas decimais que (apresenta/não apresenta) período. Logo, ele é um número (racional/irracional). Como o valor de 5 não pode ser escrito na forma de fração, ele não é um número (racional/irracional). 23

27 Assim: Entendi! O elemento que pertence ao Conjunto dos Números Racionais não pertence ao Conjunto dos Números Irracionais. O elemento que pertence ao Conjunto dos Números Irracionais não pertence ao Conjunto dos Números Racionais. Neste caso, não há elementos em comum entre estes dois conjuntos. Eles são chamados de conjuntos disjuntos. Eu sei representar conjuntos que não tem interseção. É só separar os círculos! Q I ou Q I 24

28 Unindo o Conjunto dos Números Racionais com o Conjunto dos Números Irracionais, obtemos um novo conjunto: o Conjunto dos Números Reais. O Conjunto dos Números Reais também tem um símbolo: R. Sua representação é toda a região interior da figura que representa a união dos conjuntos Q e I. R Q I Nossa! Então aquelas raízes quadradas que estudamos também são números reais? Isso mesmo! Vamos revê-las! Organize as raízes quadradas a seguir, colocando-as nos locais indicados: 64 5 Q I 0, , R 25

29 1) Organize as raízes quadradas a seguir, colocando-as nos locais indicados: ,36 0, Q R I 2) Quais das frases a seguir estão corretas? a) Todo número natural é um número inteiro. b) Todo número inteiro é um número racional. c) Todo número racional é um número real. d) Todo número irracional é um número real. e) Todo número racional é um número irracional. f) Todo número inteiro é um número natural. 3) Reescreva as frases do exercício anterior que não estão corretas, corrigindo-as. 26

30 Os números estão na nossa cabeça sempre... Mas a Matemática não é feita só de números... 1) Patrícia trabalha num escritório, fazendo serviços gerais e recebe um salário mensal de 600 reais para isso. Nos fins de semana, ela também trabalha como passadeira e cobra uma diária de 80 reais. Se ela não trabalhar em nenhum fim de semana, ela receberá no fim do mês reais. Se ela trabalhar num sábado, passando roupa, no fim do mês ela terá recebido o seu salário de 600 reais, mais reais, num total de reais. Se ela trabalhar em dois sábados, passando roupa, no fim do mês ela terá recebido o seu salário de 600 reais, mais reais, num total de reais. Se ela trabalhar em três sábados, passando roupa, no fim do mês ela terá recebido o seu salário de 600 reais, mais reais, num total de. Num mês com quatro finais de semana, contando o sábado e o domingo, ela poderá receber, por todos esses dias, reais. Então no fim do mês, ela terá recebido o seu salário de 600 reais, mais reais, num total de. Podemos generalizar essa situação usando d para a quantidade de dias trabalhados nos fins de semana e t para o valor total recebido no mês: t = d x 80 Com essa situação, podemos perceber que as letras também são usadas na Matemática. Essas letras são chamadas de variáveis. Estas variáveis representam números. A sentença matemática que escrevemos para generalizar a situação de Patrícia foi. Essa sentença caracteriza um ramo da Matemática chamado de Álgebra. 27

31 2) Uma papelaria comprou, de um fornecedor, apontadores e borrachas para revender. O fornecedor cobra R$1,00 por uma borracha e R$ 2,00 por um apontador. Se forem compradas apenas três borrachas, o valor pago por elas será reais. Se forem compradas apenas cinco borrachas, o valor pago por elas será reais. Se forem comprados apenas dois apontadores, o valor pago por eles será reais. Se forem comprados apenas quatro apontadores, o valor pago por eles será reais. Se forem compradas três borrachas e dois apontadores, o valor pago por eles será +, num total de reais. Se forem compradas cinco borrachas e quatro apontadores, o valor pago por eles será +, num total de reais. Podemos generalizar essa situação, usando b para a quantidade de borrachas compradas, a para quantidade de apontadores comprados e t para o valor total da compra: t = 1 x + 2 x ou t = + 2 já que um é elemento neutro da multiplicação. As sentenças matemáticas que foram escritas para generalizar as situações acima e na página 27 são: Situação da Patrícia que trabalha como passadeira nos fins de semana. Situação da papelaria que comprou borrachas e apontadores. Essas sentenças são chamadas de expressões algébricas. 28

32 3) Bia vai calcular o perímetro de um retângulo, como a figura a seguir: Se cada um dos lados menores mede 2 cm e cada um dos maiores mede 5 cm, efetuaremos: que totalizam cm. Ao invés de repetirmos as parcelas iguais, podemos escrever: 2 x + 2 x = Então, o perímetro vale cm. Se cada um dos lados menores mede 3 cm e cada um dos maiores, 7 cm, efetuaremos que totalizam cm. Podemos escrever também: 2 x + 2 x = Então, o perímetro vale cm. Para calcular o perímetro de um polígono, devemos somar todas as medidas de seus lados. Em qualquer retângulo os lados opostos e paralelos têm a mesma medida. Podemos generalizar essa situação, usando a para o valor da medida do lado menor, b para o valor da medida do lado maior e v para o valor do perímetro: v = 2 x + 2 x Portanto, a expressão algébrica que representa essa situação é: 29

33 1) Carlos precisou pegar um táxi na sua cidade e, quando entrou no veículo, o taxímetro marcava R$ 3,00. Esse valor de três reais é relativo ao valor da bandeirada, que é o valor fixo a ser pago pelo passageiro. Além disso, o passageiro deve pagar R$ 2,00 por quilômetro percorrido pelo táxi. Se ele percorrer 5 quilômetros, o valor a ser pago será de + 2 x, num total de reais. Se ele percorrer 8 quilômetros, o valor a ser pago será de + 2 x, num total de reais. Se ele percorrer 12 quilômetros, o valor a ser pago será de + 2 x, num total de reais. Podemos generalizar essa situação, usando q para a quantidade de quilômetros rodados e t para o valor total a ser pago: t = + 2 x Portanto, a expressão algébrica que representa essa situação é: 2) Paulo pegou um táxi na mesma cidade em que Carlos mora. Ao chegar ao seu destino, ele pagou 21 reais. Quantos quilômetros o carro percorreu? As expressões algébricas auxiliam na generalização de vários tipos de situações. Retomando... Bandeirada: R$ Valor de cada quilômetro percorrido: R$ A expressão algébrica é Usando quilômetro percorrido como x Portanto, o táxi que Paulo pegou, percorreu km. 30

34 1) Marcio quer comprar rosas para presentear sua mãe no Dia das Mães. Na floricultura próxima à casa dele, cada rosa custa R$ 2,00. Se ele comprar quatro rosas, ele pagará: 2 x =, logo serão reais. Se ele comprar seis rosas, ele pagará 2 x =, logo serão reais. Se ele comprar uma dúzia de rosas, ele pagará 2 x =, logo serão reais. A expressão algébrica que pode ser associada a essa situação é 2 x r ou 2r, sendo r a quantidade de rosas compradas. Nos exemplos acima, os valores encontrados para os possíveis pagamentos que Marcio fará são reais, reais e reais. Esses valores foram escritos com números, são os valores numéricos da expressão algébrica. 2) Joana comprou três cadernos e um livro. A expressão algébrica V = 3C + L representa essa situação. Observe que V é o valor total a ser pago, C o preço do caderno e L o preço do livro. Se o preço de cada caderno for 12 reais e o do livro for 60 reais, qual o valor que Joana pagará? Para responder a essa pergunta, precisamos identificar as informações na próxima página. 31

35 Para responder à pergunta sobre a compra de Joana, precisamos identificar: A expressão algébrica:. A quantidade de cadernos comprados:. A quantidade de livros comprados:. O preço de cada caderno: reais. O preço do livro reais. Depois de identificarmos as informações, precisamos substituir os valores, retirando as letras e colocando os números que representam os preços: Expressão algébrica: V = 3C + L V = 3 x V = Respondendo: Joana pagará reais. V = 96 O valor numérico dessa expressão é. O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor expresso por números. Ele é obtido através da substituição das variáveis por números dados e do cálculo das operações indicadas. Joana pagou e saiu da loja, encaminhando- se para o ponto de ônibus. Nessa caminhada, ela viu um anúncio de uma outra loja, oferecendo o mesmo tipo de caderno, que ela comprou por R$ 10,00 e o mesmo livro por R$ 72,00. Com isso, ela se perguntou se tinha feito uma boa compra. Vamos ajudá-la? A expressão algébrica é a mesma? A expressão algébrica é 32

36 Substitua pelos preços oferecidos pela segunda loja. Baseado nos preços da segunda loja, o valor numérico dessa expressão é. Respondendo: Joana (fez/ não fez) uma boa compra. 3) Vamos ver uma aplicação de valor numérico em Geometria. Recorte um triângulo e marque na frente e no verso os ângulos internos que medem x, y e z. Depois, siga a numeração para verificar o que acontece. 2) Após dobrar, você terá uma figura assim: x x z z y 1) Dobre a ponta superior como mostra a figura ao lado, de modo que a z dobra fique paralela ao y x y lado oposto do triângulo. 3) Dobre a ponta da lateral esquerda como mostra a seguinte figura. x z y 4) Após dobrar a lateral esquerda, você terá uma figura assim: x z y 5) Faça o mesmo com a lateral direita. E, depois deste último passo, você obterá uma figura assim: x z y Observe que x, y e z formam um ângulo raso, que mede 180. Então x + y + z = 180 Logo, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a. 33

37 Vamos pensar na soma dos ângulos internos em outros polígonos. O pentágono possui lados. O hexágono possui lados. O heptágono possui lados. Partindo de um dos vértices do pentágono, podemos desenhar triângulos. Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é, então a soma dos ângulos de um pentágono é três vezes este valor. 3 x = 540 Partindo de um dos vértices do hexágono, podemos desenhar triângulos. Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, então a soma dos ângulos de um hexágono é vezes este valor. 4 x = 720 Partindo de um dos vértices do heptágono, podemos desenhar triângulos. Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, então a soma dos ângulos de um heptágono é vezes este valor. 5 x = 34

38 O pentágono tem lados. Simbolizamos o número de lados pela letra n. n = 5 O pentágono ficou dividido em triângulos. A soma dos ângulos internos do pentágono é o triplo da soma dos ângulos internos do triângulo. Podemos registrar que a soma dos ângulos internos do pentágono é 3 x 180. O hexágono tem lados. n= No hexágono foram desenhados triângulos. A soma dos ângulos internos do hexágono é vezes a soma dos ângulos internos do triângulo. Podemos registrar que a soma dos ângulos internos do hexágono é x 180. O heptágono tem lados. n= No heptágono foram desenhados triângulos. A soma dos ângulos internos do heptágono é vezes a soma dos ângulos internos do. Podemos registrar que a soma dos ângulos internos do heptágono é x 180. Observe que a quantidade de triângulos desenhados em cada polígono é sempre n 2. Podemos generalizar este procedimento para todos os polígonos, escrevendo S i = ( n 2) S i representa a soma dos ângulos internos e n representa o número de lados do polígono. Esta fórmula pode ser considerada uma expressão algébrica? Por quê? 35

39 Retomando... S i = ( n 2) Em que S i representa a soma dos ângulos internos e n representa o número de lados do polígono. Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono regular, determinamos um valor numérico. Se o polígono for um quadrilátero, isto é, um polígono de quatro lados, calculamos o valor da soma dos ângulos internos assim: S i S i S i S i = ( n 2) 180 = ( 2) 180 = 180 = 0 para n = 4 (quatro lados) O valor numérico de S i para n = 4 é. Se o polígono for um dodecágono, isto é, um polígono de doze lados, o valor da soma será: S i S i S i S i = ( n 2) 180 = ( 2) 180 = 180 = 0 para n = A soma dos ângulos internos de um dodecágono é. 36

40 1) Júlia comprou 3 anéis e 3 pulseiras. Usando x para representar o preço de cada anel, ela gastou 3.x Usando y para representar o preço de cada pulseira, ela gastou 3.y 3.x é uma expressão algébrica em que há apenas multiplicação entre números e letras. Por ter essa característica, ela é chamada de monômio. O monômio 3.x pode ser escrito de forma mais simples, sem o uso do sinal de multiplicação: 3x. O monômio que representa o gasto de Júlia ao comprar 3 pulseiras é, que pode ser escrito na forma mais simples:. 2) Sabendo que, no pentágono ao lado, todos os lados têm a mesma medida: a, podemos escrever seu perímetro assim: a + a + a + a + a, que resultam em 5.a ou 5a. No monômio 5a podemos identificar duas partes: 5 e a. O 5 é chamado de coeficiente, é a parte numérica. O a é chamado de parte literal, é a parte das variáveis e seus expoentes. a 3) Sabendo que no hexágono ao lado, todos os lados têm mesma medida: m, podemos escrever seu perímetro assim: que resultam ou. O coeficiente é e a parte literal é. m 37

41 4) Observe as figuras: x x A figura da esquerda é um polígono com cinco lados com a mesma medida: x. O monômio que representa o perímetro desse polígono é. A figura da direita é um polígono com quatro lados com a mesma medida: x. O monômio que representa o perímetro desse polígono é. Os monômios encontrados para representar os perímetros dessas figuras têm a mesma parte literal? Se tiverem, qual é essa parte literal? 5) Ana resolveu fazer uma campanha para doação de brinquedos no condomínio onde mora. Na primeira semana, conseguiu arrecadar x brinquedos. A cada semana, o número de doações dobrou em relação à semana anterior. A campanha durou três semanas. Na primeira semana, foram arrecadados brinquedos. Na segunda semana, foi arrecadado o dobro da primeira semana, logo foram arrecadados + ou. Os monômios que têm a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes. Na terceira semana, foi arrecadado o dobro da segunda semana, logo foram arrecadados. Então: na 1ª semana:, 2ª semana: e 3ª semana: Os monômios que representam a arrecadação em cada semana semelhantes, porque possuem a mesma. 38

42 1) Vamos retomar a situação da doação de brinquedos da página anterior. Nas três semanas para doação de brinquedos que Ana promoveu no seu condomínio, qual o total arrecadado? Foram arrecadados, na 1ª semana, brinquedos; na 2ª semana, brinquedos e na 3ª semana, brinquedos. Podemos escrever: + + = Então, no total, foram arrecadados brinquedos. Adição algébrica de monômios Como fazer? A parte literal é repetida e os coeficientes são somados. Só podemos efetuar uma adição algébrica, se os monômios forem semelhantes. 2) Determine a área mais escura da seguinte figura: 2x x x Observe que são dois quadrados. O cálculo de área de quadrados você já trabalhou na página 14. A área do quadrado cujo lado mede 2x é. = A área do quadrado cujo lado mede x é. = 2x Podemos representar essa situação por = Então, a área da figura mais escura é. 39

43 3) José foi para a casa de sua avó a pé. No caminho passou pela igreja e pelo posto médico. O esquema abaixo descreve o trajeto: Casa Igreja x da avó Casa de José Posto Médico Sabendo que cada parte assinalada mede x metros e que a distância entre: a casa de José e a Igreja é 3x ; a igreja e o posto médico é 5x ; o posto médico e a casa da avó também é 5x, - qual a distância total percorrida por José? Representando: + + = Respondendo: José percorreu no total. 4) Denise revende camisetas. Cada camiseta é comprada por x reais e vendida por 2x reais. Na segunda feira, ela vendeu uma camiseta. Seu lucro, neste dia, pode ser representado por = Na terça feira, ela vendeu três camisetas. Seu lucro, neste outro dia, pode ser representado por = Na quarta feira, ela vendeu seis camisetas. Seu lucro, neste terceiro dia, pode ser representado por = Após estes três dias, o lucro total foi + + = 40

44 5) Caio quer determinar o perímetro do quadrilátero abaixo, chamado de trapézio. 3x y 4x Para isso, ele vai escrever: y Monômios semelhantes que têm a parte literal com a letra x: e. A soma dos monômios que têm parte literal x é. Monômios semelhantes que têm a parte literal com a letra y: e. A soma dos monômios que têm parte literal y é. O perímetro será representado pela adição de dois monômios que não são semelhantes: +. Quando uma expressão algébrica é representada por dois monômios ou dois termos que não são semelhantes, ela pode ser chamada de binômio. Com três termos, será um trinômio e com quatro ou mais termos, será um polinômio. Então, a expressão algébrica que representa o perímetro do trapézio acima é um. Dependendo da quantidade de termos de uma expressão algébrica, ela receberá um nome especial. 41

45 1) Vânia comprou mochilas para seus três filhos. Se cada mochila custou 2x reais, quanto ela gastou nessa compra? Para encontrar o total gasto, podemos escrever: + + = Mas, como as parcelas são iguais, podemos representar essa situação por 3. que resulta também em. Para essa multiplicação, basta encontrar o produto entre a quantidade comprada e o coeficiente. 2) Letícia está fazendo uma tarefa de casa em que precisa calcular a área de quadriláteros. O primeiro é o seguinte: Para calcular a área deste retângulo escrevemos 3x 3. 2x 2 Vamos pensar primeiro na parte literal: 3x 3 2x 2 x 3 pode ser escrito por x. x. x x 2 por x. x Logo x 3. x 2 será x. x. x. x. x ou x 5. { { x 3 x 2 Para calcular a área de um retângulo, devemos multiplicar suas dimensões. 42

46 Continuando a ajudar Letícia a fazer sua tarefa... Escrevemos 3x 3. 2x 2 e para efetuar devemos: multiplicar os coeficientes:. = multiplicar as partes literais:. = Compondo o resultado de coeficiente e parte literal, temos o monômio que representa a área do retângulo:. 3) Letícia continuou sua tarefa determinando a área de outro retângulo. 3x multiplicando os coeficientes. = repetindo a variável e somando seus expoentes Compondo o resultado de coeficiente e parte literal, temos.. Calculando. =. Logo a área é. 4) Ela agora tem o terceiro retângulo para calcular a área. 4x 3y multiplicando os coeficientes:. = indicando a multiplicação das variáveis e, teremos xy. Compondo o resultado de coeficiente e parte literal, temos. Calculando:. =. Logo, a área é. x 2 A multiplicação de monômios é feita em duas partes: Coeficientes: multiplicam-se os números normalmente. Parte literal: mesma variável: repetem-se as variáveis e somam-se os expoentes. variáveis diferentes: não podem ser multiplicadas, a operação de multiplicação fica indicada. 43

47 5) Letícia tem o quarto retângulo para calcular a área. A área é obtida por. ( ) Na multiplicação de monômio por binômio a propriedade distributiva é usada, o monômio é multiplicado por cada parcela do binômio. x 2 2x + 3 x 2. ( 2x + 3) = = ( x 2. 2x ) + ( x 2. 3) = = 2x 3 + 3x 2 A área é +, representada por um. 6) O quinto quadrilátero de que Letícia vai determinar a área é um quadrado. Lembre-se de que no quadrado os quatro lados têm mesma medida. A área é obtida por ( ). ( ) O mesmo procedimento pode ser usado para situações representadas por trinômios ou polinômios. Ao aplicar a propriedade distributiva, estaremos calculando vários produtos de monômios. 3x 2 Distribuindo: ( ). ( ) = 3x. 3x + 3x. + ( 2). 3x + ( 2). = = 9x 2 + 6x = Reduzindo a monômios semelhantes, encontraremos o trinômio + A área do quadrado acima é + 44

48 1) Uma empresa comprou 18x metros de tela usada nas redes de vôlei. Será feita a manutenção de quadras e 6 delas terão as redes trocadas. Quanto desse material pode ser usado para cada rede? Para responder à pergunta, teremos que repartir a metragem total de tela pelas 6 redes que serão trocadas. Portanto, a operação que deve ser usada é a. Representando: 18x 6 Para efetuar: dividimos os coeficientes; repetimos as variáveis subtraindo seus expoentes. Respondendo: Em cada rede, poderão ser usados metros. Calculando: = 2) Este grupo de alunos está tentando encontrar a expressão algébrica que representa uma dimensão do retângulo abaixo: O binômio dentro do retângulo representa a área desse quadrilátero. Cálculo de área: dimensão procurada. 2x 2 = 8x 5 + 6x 3 8x 5 + 6x 3 2x 2 O monômio 2x 2 representa uma das dimensões. Que tal tentar fazer este cálculo? Arrisque. Na próxima página você verá a resolução e poderá comparar com a sua. 45

49 Continuando a resolver a situação em que o grupo precisa determinar uma das medidas do retângulo apresentado... Para que o grupo encontre o valor desconhecido, é necessário efetuar a operação inversa. ( 8x 5 + 6x 3 ) 2x 2 = + Cada termo do binômio deve ser dividido pelo monômio. A dimensão procurada é +. 3) Para encontrar o quociente de (9x 4 4x 3 y) por (2x 2 y), Valéria fez assim: 9x 4 : 2x 2 y = 9x 4 : 2x 2 y 9 2 x 2y e 4x 3 y : 2x 2 y = 2x O quociente que ela encontrou é Vamos rever os procedimentos usados na primeira parte: Os coeficientes são e. Efetuando a divisão entre 9 eles, encontraremos a fração 2 ou o decimal. A divisão de monômios é feita em duas partes: Coeficientes: dividem-se os números normalmente. Parte literal: mesma variável: repetemse as variáveis e subtraem-se os expoentes. variáveis diferentes: as do divisor ficam no denominador. Na parte literal, temos dois tipos de variável: e. Para x 4 e x 2 podemos efetuar a divisão, subtraindo os expoentes e obtendo. A variável y precisa ser repetida, porque não há outra igual a ela. E, neste caso, ela aparecerá no, porque ela pertence ao divisor. No seu caderno, faça o registro dos procedimentos da segunda parte. 46

50 4) Arthur está pensando num exercício que foi questão de uma prova bimestral de Ajude Júlia a descobrir o polinômio que foi apagado na divisão expressa na tela do computador e assinale a opção que corresponde a ele. Nossa! O dividendo sumiu!!!!! 5x 3 3 2x + 1 (a) 10x² x (b) 10x² 11x 3 (c) 10x² x 6 (d) 10x ² x 3 Para resolvê-lo, precisamos rever a propriedade fundamental da divisão. Por exemplo: Então, retomando a questão da prova, devemos efetuar: Efetuando 8 x 4 temos 32 e com mais 3 encontramos 35. Esta é a propriedade fundamental da divisão: quociente x divisor + resto = dividendo. (2x + 1). ( 5x 3) + ( 3) = = + ( 3) = = use a propriedade distributiva e reduza a termos semelhantes. Logo, a opção correta é a letra. 47

51 Os gráficos têm como principal função representar informações de maneira simples e rápida. Neste bimestre, vamos trabalhar os gráficos de colunas e barras. 1) Observe o seguinte gráfico de colunas. 30% Times de Futebol Preferidos Pelos Brasileiros 25% 20% 15% 10% 5% 0% Dados obtidos em Através do título, podemos observar que as colunas deste gráfico simbolizam a porcentagem de preferência dos brasileiros quanto aos. Podemos observar que as colunas têm a mesma largura, mas a altura de cada uma delas depende da de torcedores. Com isso, concluímos que o time de maior preferência entre os brasileiros é o. 48

52 2) O gráfico abaixo mostra a quantidade de alunos matriculados numa turma de 8º ano de uma escola municipal, organizados por sexo e idade anos 14 anos 15 anos 16 anos Rapazes Moças Neste gráfico, as colunas mais claras representam a quantidade de e as colunas mais escuras representam a quantidade de. Pinte a linha que representa o eixo horizontal de azul e a linha que representa o eixo vertical de verde. O eixo horizontal se refere às dos alunos, que variam entre 13 e 16 anos. O eixo vertical se refere à de alunos, rapazes ou moças, com determinada idade. 49

53 3) Quando os retângulos são apresentados horizontalmente, o gráfico é chamado de Gráfico de Barras. 4 3 Sobre o gráfico da página anterior, temos moças com 14 anos e rapaz com 13 anos. Podemos afirmar, também, que cinco moças e cinco rapazes têm a mesma, anos. Nesta turma, temos moças e rapazes, num total de alunos. 2 1 Perfil de todo o lixo produzido na cidade X Vidro Outros resíduos 21% Metais ferrosos 18% Papel e papelão 45% Nem sempre os gráficos apresentam as informações em percentuais. 0% 10% 20% 30% 40% 50% Este gráfico mostra o perfil de todo o lixo produzido na cidade X. Então, podemos afirmar que ele mostra o perfil de % do lixo produzido nesta cidade. Portanto, o resíduo vidro tem a porcentagem de %. Na cidade X, o resíduo mais encontrado no lixo é. 50

54 Espaço Pesquisa 1) Nas páginas 14 e 15, estudamos sobre os números elevados ao quadrado e, nas páginas seguintes, teremos, como consequência, as raízes quadradas. O termo quadrado está relacionado à figura geométrica. Usamos a relação entre o quadrado (figura geométrica) e a potência de expoente 2, no cálculo da área de um quadrado com medidas inteiras. Este termo está sendo usado também pela mídia. Veja como, seguindo os passos abaixo: - Com a internet conectada, digite na barra de endereços - Quando esta página abrir, aparecerão ícones do lado esquerdo dela, numa coluna lilás. Clique em Cultura e História. - Ao se abrir a nova página, outros ícones surgirão como fichas, horizontalmente. Clique em Na Mídia. - Na lista que é disponibilizada, clique em Melancias Quadradas. Leia o texto e veja a foto. Será que o termo quadrada em Melancias Quadradas foi empregado corretamente? Observe a forma abaixo. É de um cubo. A caixa organizadora a seguir é um prisma de base retangular. O cubo é um prisma especial em que todas as seis faces são quadrados congruentes. 51

55 RASCUNHO

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