PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA

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1 ROBLEMAS RESOLVIDOS DE ÍSICA rof. Anderson Coser Gaudio Departaento de ísia Centro de Ciênias Eatas Universidade ederal do Espírito Santo Últia atualização: 3/7/5 9:48 H RESNICK, HALLIDAY, KRANE, ÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 996. ÍSICA Capítulo 7 - Trabalho e Energia robleas

2 robleas Resolvidos. U bloo de 5, kg se ove e linha reta sobre ua superfíie horizontal se atrito sob influênia de ua força que varia o a posição, oo ostra a ig. 5. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloo se ove desde a orige até = 8,? O trabalho de ua força unidiensional é dado por: W = d ( ) (ág. 36) Isso signifia que nu gráfio de () o trabalho é a área entre a urva e a oordenada zero do eio da força, sendo que as áreas aia da oordenada zero (A superior ) são positivas e as que fia abaio (A inferior )são negativas. O álulo da área deve ser feito utilizando-se as esalas da ordenada e da absissa. Vale notar que ada élula da alha do gráfio orresponde a u trabalho equivalente a J. ortanto: W = Asuperior Ainferior = 3 J 5 J W = 5 J 7. U objeto de assa,675 kg está e ua esa se atrito e ligado a u fio que passa através de u burao da esa, no entro de u írulo horizontal no qual o objeto se ove o veloidade onstante. (a) Se o raio do írulo for,5 e a veloidade da assa for, /s, alule a tensão no fio. (b) Verifia-se que se puaros o fio para baio ais,, reduzindo assi o raio do írulo para,3 obté-se o eso efeito que se ultipliaros a tração do fio original por 4,63. Calule o trabalho total realizado pelo fio sobre o objeto girante durante a redução do raio. (ág. 37) Considere o seguinte esquea da situação: v R T v T R (a) A força entrípeta do oviento irular do objeto vale:

3 v = r Coo = T : (b) T v = () R T = 35 N v T = 4,63T = () R Dividindo-se () por (): R v 4,63 = Rv v = 4,63 Rv (3) R Apliando-se o teorea do trabalho-energia inétia: W =Δ K = K K ( = v v o ) (4) Substituindo-se (3) e (4): R W = v 4, 63 = 6, 7 J R W 6, J 8. U projétil de,55 kg é lançado da beira de u penhaso o energia inétia iniial de.55 J e e seu ponto ais alto está a 4 aia do ponto de arreesso. (a) Qual é a oponente horizontal de sua veloidade? (b) Qual era a oponente vertial de sua veloidade logo após o lançaento? () E u instante durante o seu vôo enontra-se o valor de 65, /s para a oponente vertial de sua veloidade. Neste instante, qual é a distânia a que ele está aia ou abaio do seu ponto de lançaento? (ág. 38) Considere o seguinte esquea: 3

4 K h g (a) Vaos partir da definição da energia inétia iniial do projétil: K = vo = ( vo vo ) () K vo = v o () Na Eq. () foi usada a igualdade que representa o ódulo da veloidade iniial do projétil: v = v v o o o Multipliando-se (3) por /, e que é a assa do projétil: vo = vo vo K = K + K Coo o oviento do projétil pode ser estudado independenteente nas oordenadas e, é de se esperar que a energia eânia do projétil, que depende de sua posição e veloidade, tabé possa ser analisada independenteente e e e. ortanto, vaos analisar a onservação da energia eânia e : E K v v = E = U = gh = gh Substituindo-se () e (4): K vo g = h v K = gh = 53, 7546 /s v 53,8 /s o ode-se deonstrar a validade do proediento aia. Apliando-se a equação de oviento de Torrielli do ponto de lançaento até o ponto ais elevado da trajetória do projétil: v = v + a( ) o vo = gh (3) (4) 4

5 v o = gh () Substituindo-se () e (): K vo = gh= 53,7546 /s v 53,8 /s o (b) Da Eq. (4): v o o = gh= 5, 499 /s v 5,4 /s () A posição do orpo pode ser enontrada da seguinte fora: v = v + a( ) o v = v g o vo v = = 75,3357 g = 75,3 De aordo o o referenial adotado, nessa posição a veloidade do projétil será negativa. O instante de tepo e que essa posição é atingida é dado por: v = v + at v = v gt v v t = =,968 s g t, s 3. Ua bola de borraha deiada air de ua altura de,8 é rebatida várias vezes pelo hão, perdendo % de sua energia inétia de ada vez. Depois de quantas olisões a bola não onseguirá se elevar aia de,9? (ág. 38) Considere o seguinte esquea: h h h K K K 5

6 Seja K a energia inétia iniial, K a energia inétia após a prieira rebatida, K a energia inétia após a segunda rebatida, et., e K N a energia inétia da bola após a N-ésia rebatida. Teos que: Logo: K =,9K,9,9 K = K = K 3 3 =,9 =,9 K K K K,9,9 N N = KN = K Tabé pode-se usar o trabalho da força gravitaional na subida da bola após ada rebatida para fazer o álulo de K, K, et., K N. W =ΔK Logo: gh = K K = K K K = gh = gh ortanto, após a N-ésia rebatida: KN = gh N Quereos saber N tal que h N,9. Igualando-se () e ():,9 N K = ghn,9 N gh = ghn N hn,9,9 = = =,5 h,8 ln,5 N = = 6,57 ln,9 A altura h =,9 só deia de ser atingida após N = 6,57 rebatidas. Logo: N = 7 () () 33. U bloo de 63 g é deiado air sobre ua ola vertial de onstante elástia k =,5 N/ (ig. ). O bloo adere-se à ola, que ele oprie,8 antes de parar oentaneaente. Enquanto a ola está sendo opriida, qual é o trabalho realizado (a) pela força da gravidade e (b) pela ola? () Qual era a veloidade do bloo eataente antes de se hoar o a ola? (d) Se esta veloidade iniial do bloo for dupliada, qual será a opressão áia da ola? Ignore o atrito. 6

7 Considere o seguinte esquea: v = (ág. 38) v v = k (a) Wg = r r ( r) d r (b) W = d = g d = g ( ) =,3444 J g Wg,34 J k ( ) W = d = ( k) d = k = ( ) =,7544 J e W,75J e () Apliando-se o teorea do trabalho-energia inétia: W =ΔK W W K K v g + e = = 7

8 v = ( Wg + We) =± 3,358 /s v ( 3,3 /s) j (d) v = v W =ΔK W W K K K ' ' g + e = = ' k ' ' g( ) + ( ) = v ' k ' ( ) g = v k ' ' + g v = A equação do segundo grau orrespondente é: +,476,463 = ' ' As possíveis soluções são: Coo < : ' =, 455 ' =, 5 ',5 47. U bloo de granito de.38 kg é arrastado para ia de u plano inlinado por u guinho, à veloidade onstante de,34 /s (ig. 3). O oefiiente de atrito inétio entre o bloo e o plano inlinado é,4. Qual é a potênia que deve ser forneida pelo guinho? Considere o seguinte esquea das forças que age sobre o bloo: (ág. 39) 8

9 N T f θ A potênia forneida pelo guinho é dada pela Eq. (), onde v é a veloidade de elevação do bloo, é força responsável pela elevação do bloo e φ é o ângulo entre e v. Essa força, que na verdade é ua tensão (T), é gerada pelo otor do guinho e transitida ao bloo por eio da orda ostrada na figura. = v. = vosφ = v = Tv () Vaos apliar a prieira lei de Newton ao bloo, onsiderando-se apenas as forças e : = N osθ = N = gosθ () Agora e : = T f senθ = T = μ N + gsenθ (3) Substituindo-se () e (3): T = μ gosθ + gsen θ = g( μ osθ sen θ ) (4) Substituindo-se (4) e (): = g( μ osθ sen θ) v= 6.66,38 W 6,6 kw 5. Mostre que a veloidade v alançada por u arro de assa dirigido o potênia onstante é dada por / 3 3 v =, onde é a distânia perorrida a partir do repouso. (ág. 39) Sabe-se que: dw. d =. dt = dt =v A epressão =.v dá a potênia instantânea gerada pelo otor do arro, onde é a força instantânea de propulsão do otor e v é a veloidade instantânea do arro. Coo é onstante e v 9

10 auenta o o tepo, então tabé é variável. Ou seja, o oviento do arro oorre o aeleração variável. dv = v. = vosθ = v= av= v () dt Na Eq. (), θ é o ângulo entre e v que, neste aso, é zero. Apliando-se a regra da adeia a (): dv d dv = v = v d dt d d = v dv v d = v dv 3 v = 3 3 v = /3 54. Qual é a potênia desenvolvida por ua áquina de afiar uja roda te raio de,7 e gira a,53 rev/s quando a ferraenta a ser afiada é antida ontra a roda por ua força de 8 N? O oefiiente de atrito entre a roda e a ferraenta é,3. (ág. 39) Considere o seguinte esquea: ω f r N E prieiro lugar vaos onverter ω (rps) para ω (rad/s): ω = πω ' A veloidade tangenial da roda vale: v= ωr = πω ' r () As forças no eio são, a força que a ferraenta que é afiada eere sobre a roda, e N a força de reação a que aparee no eio da roda. Logo: = N = N = () Cálulo da potênia dissipada pela força de atrito (f): = fv. = fvosφ = fvosπ = fv = μ Nv (3)

11 Substituindo-se () e () e (3): = πμω' r = 89,5366 W, 9 W 57. A resistênia ao oviento de u autoóvel depende do atrito da estrada, que é quase independente da sua veloidade v, e do arrasto aerodinâio, que é proporional a v. ara u dado arro de. N, a força total de resistênia é dada por = 3 +,8 v, onde está e newtons e v e /s. Calule a potênia neessária para que o otor aelere o arro a,9 /s quando a veloidade for 8 k/h. (ág. 4) orças que age no arro: N A potênia do otor de u autoóvel é dada pelo produto esalar da força gerada pelo otor e a veloidade do autoóvel v. Na Eq. (), φ é o ângulo entre e v. =. v = vosφ = vos= v () A força do otor pode ser deterinada a partir da segunda lei de Newton, onde é a força de resistênia ao oviento do arro: = a = a 3,8 g = + v + a () Substituindo-se () e (): = + v + a v= = g 3,8 5.48, 4 W 68,965 hp 69 hp 58. U regulador entrífugo onsiste e duas esferas de g presas ediante hastes leves e rígidas de a u eio de rotação vertial. As hastes são artiuladas de odo que as esferas se afasta para longe do eio enquanto gira o ele. Entretanto, quando o ângulo θ é 45 o, as esferas enontra a parede do ilindro dentro do qual o regulador está girando; veja a ig. 4. (a) Qual é a veloidade ínia de rotação, e revoluções por inuto, neessárias para as esferas toare na parede? (b) Se o oefiiente de atrito inétio entre as esferas e a parede é,35, que potênia é dissipada oo resultado do atrito das esferas ontra a parede quando o

12 eaniso gira a 3 rev/in? (a) orças sobre ua das esferas: T θ (ág. 4) A veloidade ínia de rotação é obtida quando as esferas estão na iinênia de toar nas paredes do ilindro (N =, onde N é a força noral de ontato das esferas o a parede.). orças e : = T osθ g = g T = () osθ orças e : = a v Tsenθ = a = () r Substituindo-se () e (): g v senθ = osθ r v= lgsenθ tanθ (3) Cálulo da veloidade angular ω, e rp: v v ω = = r lsenθ odeos trabalhar diretaente o RM fazendo a seguinte transforação:

13 ω rp v rad s rot = 6 l senθ s in π rad 3v ω = rp πl senθ (4) Substituindo-se (3) e (4): ω rp rp = 3 g tanθ, 4769 rp π l senθ = ω, rp (b) orças sobre ua das esferas: T v θ N A equação () ainda é válida para esta situação. orças e : = a v v Tsenθ + N = a = = r lsenθ v N = Tsenθ (5) l senθ Substituindo-se () e (5): v N = gtanθ (6) l senθ A força de atrito inétia vale:: f = μ N A potênia total dissipada pelo atrito, onsiderando-se duas esferas, é: = f. v= μ Nv (7) Substituindo-se (6) e (7): De (4) teos: v = μv gtanθ l senθ (8) πω senθ v = (9) 3 rp l π ω l sen rp θ v = () 9 Substituindo-se (9) e () e (8): πωrplsenθ π ωrpl sen θ = μ gtanθ 3 l senθ 9 3

14 πμω rplsenθ π ωrplsenθ = gtanθ = 8,6534 W () W De aordo o (), a potênia dissipada será igual a zero se: πω l rp senθ = g tanθ 9 ω rp = 3 g, 476 rp π l senθ = Que é a resposta do ite (a). 4