MECÂNICA. 1. Força e Movimento

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1 MECÂNICA A Meânia é a área da Físia que estuda o movimento dos objetos. Por razões de organização do onheimento, a Meânia é separada em duas sub-áreas: a Cinemátia e a Dinâmia. Na Cinemátia, analisamos os oneitos utilizados para desrever o movimento: veloidade, aeleração e trajetória. Na Dinâmia, estudamos as leis do movimento, isto é, as leis que determinam que tipo de movimento terá um objeto, onheidas as forças que atuam sobre ele. Partiremos do estudo da Dinâmia. 1. Força e Movimento Vimos que parte da Físia é um estudo do movimento, inluindo aelerações, que são variações em veloidades. A Físia é também um estudo do que pode ausar a aeleração de objetos. Esta ausa é uma força, que é, vagamente falando, um empurrão ou um puxão no objeto. Dizemos que a força age sobre o objeto para mudar sua veloidade. Por exemplo, quando um arro de Fórmula 1 aelera na largada de um grande prêmio, uma força da pista atua nos pneus traseiros provoando a aeleração do veíulo. Quando um jogador de defesa segura um ataante do time adversário, uma força do primeiro atua sobre o segundo para provoar a desaeleração deste. Quando um arro olide om um poste, uma força do poste sobre o arro provoa sua parada. A dinâmia é a parte da meânia que trata o estudo do movimento e suas ausas. A relação entre uma força e a aeleração que ela provoa foi primeiramente entendida por Isaa Newton ( ), e é o assunto que trataremos aqui. O estudo desta relação, omo Newton a apresentou, é hamado de meânia newtoniana. Estaremos foalizados aqui em suas três leis mais básias do movimento. 1.1 Coneitos iniiais Forças são grandezas vetoriais. Seus módulos são definidos em termos da aeleração que elas provoariam no quilograma padrão. Uma força que aelera o quilograma padrão a exatamente 1m/s 2 tem módulo definido omo de 1N. O sentido de uma força é o sentido da aeleração que ela provoa. Forças são ombinadas de aordo om as regras da álgebra vetorial. A força resultante sobre um orpo é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o orpo. Inéria é uma propriedade dos orpos. Todo orpo que não tem motivo para alterar seu estado de movimento, não vai alterá-lo. Sabemos que os orpos mais pesados têm maior inéria do que os mais leves. Assim, é mais difíil movimentar um orpo pesado do que um orpo leve, porque o mais pesado exige muito mais força. Podemos dizer que peso de um orpo é a resultante da atração da gravidade sobre esse orpo (força), enquanto massa de um orpo é a quantidade de matéria desse orpo. Na verdade, definir massa omo quantidade de matéria não é adequado. "Quantidade de Matéria" é uma grandeza distinta, uja unidade SI é o mol. Massa é uma grandeza relaionada à inéria, uja unidade SI é o quilograma. Porém, omo a inéria está intimamente relaionada om a matéria, e para simplifiar as oisas, podemos na prátia aeitar aquela definição omo válida. A definição formal de massa dá-se omo segue: a massa de um orpo é a araterístia desse orpo que relaiona sua aeleração om a força resultante que a provoa. Massas são grandezas esalares. 1.2 PRIMEIRA LEI DE NEWTON (Lei da Inéria) Considerando o oneito de força, podemos enuniar a primeira lei de Newton: Se não há força resultante sobre um orpo, o mesmo permanee em repouso se ele estiver iniialmente em repouso, ou em movimento retilíneo om veloidade onstante se ele estiver iniialmente em movimento. Podem existir múltiplas forças sobre o orpo, mas se a resultante dessas forças for nula, o orpo não pode aelerar. 1

2 Referenial inerial é o sistema de referênia no qual vale a meânia de Newton. Para a grande parte dos problemas da Dinâmia, envolvendo movimentos de urta duração na superfíie terrestre, podemos onsiderar um sistema de referênia fixo na superfíie da Terra omo inerial. Muito embora, a Terra não seja um perfeito referenial inerial por ausa da sua rotação e translação urvilínea. 1.3 SEGUNDA LEI DE NEWTON Quando uma força resultante está presente em uma partíula, esta adquire uma aeleração na mesma direção e sentido da força, segundo um referenial inerial. A relação, nesse aso, entre a ausa (força resultante) e o efeito (aeleração adquirida) onstitui o objetivo prinipal da segunda lei de Newton, ujo enuniado pode ser simplifiado assim: A força resultante sobre um orpo é igual ao produto da massa do orpo pela sua aeleração. Na forma de equação, temos: A segunda lei india que em unidades do SI F res ma (01) 1N = 1kg. m/s 2. Para resolver problemas om a segunda lei de Newton, freqüentemente desenhamos um diagrama de orpo livre no qual o únio orpo mostrado é aquele para o qual estamos somando as forças. Tal orpo é representado por um ponto ou um esboço. As forças externas sobre o orpo são desenhadas, em um sistema de oordenadas superposto, orientado de forma onveniente para simplifiar a solução. Exemplo: Nas figuras abaixo (a a ), uma ou duas forças atuam sobre um diso que se move sobre o gelo sem atrito ao longo do eixo x, em um movimento unidimensional. A massa do diso é m = 0,20kg. As forças F 1 e F 2 são dirigidas ao longo do eixo e tem módulo F 1 = 4,0N e F 2 = 2,0N. A força F 3 está dirigida segundo um ângulo = 30 0 e tem módulo F 3 = 1,0N. Em ada situação, qual é a aeleração do diso? Exemplo: Duas forças horizontais, perpendiulares entre si e de intensidades 6 N e 8 N, agem sobre um orpo de 2 kg que se enontra sobre uma superfíie plana e horizontal. Desprezando os atritos, alule o módulo da aeleração adquirida por esse orpo. Exemplo: Um orpo de 8 kg desloa-se em uma trajetória retilínea om veloidade de 3 m/s quando, sobre ele, passa a agir uma força de intensidade 24 N na direção e sentido de seu movimento. Após 5s da ação dessa força, qual será a veloidade do orpo? 2

3 1.3.1 Algumas forças partiulares (a) A força gravitaional: uma força gravitaional F g sobre um orpo é uma força atrativa exerida por um outro orpo. Em muitas situações, onsideramos o outro orpo omo sendo a Terra. Para a Terra a força é dirigida para baixo em direção ao solo, o qual é onsiderado um referenial inerial. Com esta aproximação, o módulo de F é g em que m é a massa do orpo e g é o módulo da aeleração de queda livre. F g mg (02) (b) A força peso: o peso P de um orpo é o módulo da força para ima neessária para equilibrar a força gravitaional sobre o orpo. O peso de um orpo está relaionado om sua massa por: () A força normal: uma força normal a qual o orpo pressiona. A força normal é sempre perpendiular à superfíie. F P mg. (03) N é a força sobre um orpo exerida pela superfíie sobre (d) A força de atrito: uma força de atrito f é a força sobre um orpo exerida por uma superfíie através da qual o orpo desliza ou tenta deslizar. Esta força é sempre paralela à superfíie e dirigida de modo a se opor ao deslizamento do orpo. Sobre uma superfíie sem atrito, a força de atrito é desprezível. (e) A força de tensão: quando uma orda está presa a um orpo e estiada, ela puxa o orpo om uma força T ujo sentido está ao longo da orda e se afasta do orpo, om sua origem no ponto de apliação. Esta força é freqüentemente hamada de força de tensão porque a orda está em um estado de tensão (ou sob tensão), o que signifia que ela está sendo estiada. A tensão na orda é o módulo T da força sobre o orpo. Para uma orda sem massa (uma orda de massa desprezível), os puxões em suas extremidades têm o mesmo módulo T, mesmo que a orda passe por uma polia sem massa e sem atrito (uma polia de massa e atrito desprezíveis em seu eixo). 3

4 Exemplo: A figura abaixo mostra um bloo D (o bloo que desliza) om massa M = 3,3kg. O bloo está livre para se mover ao longo de uma superfíie horizontal sem atrito e está onetado, por uma orda que passa por uma polia sem atrito, a um segundo bloo P (o bloo pendurado), de massa m = 2,1kg. A orda e a polia têm massas desprezíveis omparadas às dos bloos (elas não têm massa). O bloo pendurado P ai e o bloo que desliza D aelera para a direita. Enontre: (a) a aeleração do bloo D; (b) a aeleração do bloo P; () a tensão na orda. Exemplo: Na figura abaixo, um bloo B de massa M = 15,0kg está pendurado por uma orda a partir de um nó N de massa m N, o qual está pendurado em um teto por intermédio de duas outras ordas. As ordas têm massas desprezíveis, e o módulo da força gravitaional sobre o nó é desprezível omparado om a força gravitaional sobre o bloo. Quais são as tensões sobre as três ordas? Exemplo: Na figura abaixo, uma orda prende um bloo de 15kg, mantendo-o estaionário sobre um plano sem atrito, inlinado e um ângulo = (a) Quais são os módulos das forças T da orda sobre o bloo e da normal F N do plano sobre o bloo? (b) Agora ortamos a orda. O bloo aelera ao esorregar para baixo ao longo do plano? Caso sim, om que aeleração? 4

5 1.4 TERCEIRA LEI DE NEWTON (Lei da ação e reação) A tereira lei de Newton afirma que: Quando dois orpos interagem, as forças exeridas por um sobre o outro são sempre iguais em módulo e têm sentidos opostos. Dizemos que dois orpos interagem quando eles empurram ou puxam um ao outro, ou seja, quando uma força atua em ada orpo devido ao outro orpo. Podemos hamar as forças entre dois orpos interagentes omo um par de forças da tereira lei. Podemos enuniar a tereira lei de Newton da seguinte maneira: se uma força F BC atua sobre um orpo B devido a um orpo C, então existe uma força F CB sobre o orpo C devido ao orpo B. Essas forças são iguais em módulo e têm sentidos opostos, assim: F BC F CB. (04) Exemplo: Na figura abaixo, uma força horizontal onstante F apl de módulo 20N é apliada ao bloo A de massa m A = 4,0kg, que empurra o bloo B de massa m B = 6,0kg. Os bloos deslizam sobre uma superfíie sem atrito, ao longo de um eixo-x. (a) Qual é a aeleração dos bloos? (b) Qual é a força (horizontal) F AB que o bloo A exere sobre o bloo B? 1.4 Mais sobre Forças Atrito Quando uma força F apliada a um orpo tende a deslizá-lo ao longo de uma superfíie, uma força de atrito é exerida pela superfíie sobre o orpo. Se o orpo não deslizar, a força de atrito é a força de atrito estátio f. Se o orpo deslizar, a força de atrito é a força de atrito inétio f. e Podemos destaar três propriedades do atrito: (a) Se o orpo não se move, a força de atrito estátio f e e a omponente da força F paralela à superfíie são iguais em intensidade, e f e possui sentido oposto ao dessa omponente. Se essa omponente da força aumenta, (b) A intensidade da força em que f e também aumenta. f e tem um valor máximo f f e max dado por: F e é o oefiiente de atrito estátio e Se a omponente da força F paralela à superfíie exeder a superfíie. e max e N (05) F N é a intensidade da força normal. f e max, o orpo deslizará sobre a () Se o orpo omeça a deslizar sobre a superfíie, a intensidade da força de atrito rapidamente derese para um valor onstante f dado por: em que é o oefiiente de atrito inétio. f F (06) N 5

6 Exemplo: O reorde de omprimento de derrapagem em uma via públia foi estabeleido em 1960 por um Jaguar na rodovia M1 na Inglaterra, as maras tinham 290m de omprimento. Supondo 0, 60 e que a aeleração do arro foi onstante durante a frenagem, a que veloidade estava o arro quando as rodas travaram? Exemplo: Na figura abaixo, uma mulher puxa um trenó arregado de massa m = 75kg ao longo de uma superfíie horizontal om veloidade onstante. O oefiiente de atrito inétio entre os patins do trenó a neve é igual a 0,10, e o ângulo vale (a) Qual é a intensidade da força T que a orda exere sobre o trenó? (b) Se a mulher aumentar a força om que puxa o trenó, de maneira que T seja maior do que 91N, o módulo da força de atrito f será maior, menor ou igual ao valor obtido em (a)? Força de arrasto e Veloidade Terminal Quando há movimento relativo entre o ar (ou algum outro fluido) e um orpo, o orpo sofre a ação de uma força de arrasto F R que se opõe ao movimento relativo e aponta na direção em que o fluido esoa em o fluido esoa em relação ao orpo. A intensidade de F está relaionada om a veloidade relativa v através de um oefiiente de arrasto C determinado experimentalmente de aordo om a expressão F R R 1 2 C Av (07) 2 em que é a densidade do fluido (massa por unidade de volume) e A é a área da seção transversal efetiva do orpo (a área de uma seção reta tomada perpendiularmente à veloidade relativa v ). Veloidade Terminal: Após um objeto rombudo (sem ponta) ter aído por uma distânia sufiiente através do ar, as intensidade da força de arrasto F e da força gravitaional F g que atuam sobre o orpo tornam-se iguais. O orpo então passa a air om uma veloidade terminal v t onstante, dada por: R 2Fg vt. (08) C A 6

7 Exemplo: Se um gato em queda alança uma primeira veloidade terminal de 97km/h enquanto ele está enolhido, e então estira-se dobrando a área A, quão rápido estará aindo quando ele atingir a nova veloidade terminal? Exemplo: Uma gota de huva om raio R = 1,5mm ai de uma nuvem que está a uma altura h = 1200m aima do solo. O oefiiente de arrasto C para a gota é igual a 0,60. Suponha que a gota permanee esféria durante toda sua queda. A densidade da água é igual a 1000kg/m 3 e a densidade do ar é igual a 1,2kg/m 3. (a) Qual é a veloidade terminal da gota? (b) Qual seria a veloidade da gota imediatamente antes do impato om o hão se não existisse a força de arrasto? a ar Força Centrípeta Se uma partíula se move em um írulo ou um aro irular de raio R om uma veloidade esalar onstante v, dizemos que a partíula está em movimento irular uniforme. Ela possui então uma aeleração entrípeta a om módulo dado por 2 v a. (09) R Esta aeleração é devida a uma força entrípeta resultante que atua sobre a partíula om intensidade dada por mv F, (10) R em que m é a massa da partíula. As quantidades vetoriais a e F estão dirigidas para o entro da urvatura da trajetória da partíula. Uma força entrípeta aelera um orpo modifiando a direção de sua veloidade, sem no entanto alterar o módulo da veloidade do orpo. Observação: A força entrípeta não é um novo tipo de força. O nome simplesmente india a direção e o sentido da força. 2 Exemplo: Suponha um loop em írulo om raio de R = 2,7m. Ao realizar uma arobaia de dirigir uma biileta dando uma volta ompleta em um loop vertial, qual é a menor veloidade que o ilista deve ter no topo do loop para permaneer em ontato om o mesmo nesta parte? 7

8 Exeríios 1. Na figura abaixo, um bloo de massa m = 5,0kg é puxado ao longo de um piso horizontal sem atrito por uma orda que exere uma força de módulo F = 12N em um ângulo = Qual é o módulo da aeleração do bloo? 2. Um foguete de 500kg pode ser aelerado onstantemente do repouso até 1600km/h em 1,8s. Qual é o módulo da força média neessária para isso? 3. Sobre um plano horizontal perfeitamente polido está apoiado, em repouso, um orpo de massa m=2 kg. Uma força horizontal de 20N, passa a agir sobre o orpo. Considerando a aeleração onstante, qual a veloidade desse orpo após 10 s? 4. Um orpo de massa 2 kg passa da veloidade de 7 m/s à veloidade de 13 m/s num perurso de 52 m. Calule a força que foi apliada sobre o orpo nesse perurso, onsiderando a aeleração onstante. 5. A figura abaixo mostra um sistema em que quatro disos estão suspensos por ordas. A mais omprida no topo passa por uma polia sem atrito e exere uma força de 98N sobre a parede à qual está presa. As tensões nas ordas menores são T 1 = 58,8N, T 2 = 49,0N e T 3 = 9,8N. Quais são as massas: (a) do diso A; (b) do diso B; () do diso C; e (d) do diso D? 6. Os orpos A e B enontram-se apoiados sobre uma superfíie horizontal plana perfeitamente lisa. Uma força F de 40 N é apliada em A onforme india a figura. Dados: m A = 2kg e m B = 8kg. Determine: (a) aeleração dos orpos A e B; (b) a força que A exere em B. F A B 7. Dois orpos A e B, de massas m A = 6 kg e m B = 4 kg estão interligados por um fio ideal. A superfíie de apoio é horizontal e perfeitamente lisa. Aplia-se em B uma força horizontal de 20 N, onforme india a figura abaixo. Determine: (a) a aeleração do onjunto; (b) a tensão no fio. A T B F 8

9 8. Dois orpos A e B de massas respetivamente iguais à 5 kg e 3 kg, interligados por um fio de massa desprezível, são puxadas sobre um plano horizontal liso por uma força horizontal F, no mesmo esquema da ilustração do exeríio anterior. A aeleração do onjunto é de 6 m/s 2. Determine: (a) a força F; (b) a tensão no fio. 9. Na figura abaixo, três bloos onetados são puxados para a direita sobre uma mesa horizontal sem atrito por uma força de módulo T 3 = 65N. Se m 1 = 12kg, m 2 = 24kg e m 3 = 31kg, alule: (a) o módulo da aeleração do sistema; (b) as tensões T 1 e T 2. m1 m3 T1 m2 T2 T3 10. Um bloo de massa 8 kg é puxado por uma força horizontal de 20N. Sabendo que a força de atrito entre o bloo e a superfíie é de 2N, alule a aeleração a que fia sujeito o bloo 11. Um sólido de massa 5kg é puxado sobre um plano horizontal por uma força horizontal de 25N. O oefiiente de atrito inétio entre o sólido e o plano é 0,2. (a) Qual a força de atrito? (b) Qual é a aeleração do orpo? 12. Um pequeno bloo de massa 20kg, em movimento om a veloidade de 20m/s, atinge uma superfíie áspera onde a força de atrito vale 8N. Determine a distânia perorrida pelo bloo até parar. 13. O bloo na figura abaixo pesa 711N. O oefiiente de atrito estátio entre o bloo e a mesa é 0,25; o ângulo é de 30 0 ; suponha que o ordão entre o bloo e o nó é horizontal. Enontre o peso máximo do bloo A para o qual o sistema permanee estaionário. 14. O bloo A na figura abaixo possui massa m A = 4,0kg e o bloo B possui massa m B = 2,0kg. O oefiiente de atrito inétio entre o bloo B e o plano horizontal é 0, 50. O plano é inlinado de um ângulo = 30 0 e não possui atrito. A polia serve apenas para mudar a direção do fio que oneta os bloos. O fio possui massa desprezível. Enontre: (a) a tensão no fio; (b) o módulo da aeleração dos bloos. 9

10 15. A figura abaixo mostra uma moeda de massa m em repouso sobre um livro que está inlinado de um ângulo em relação à horizontal. Experimentando, voê verifia que quando é aumentado até 13 0, a moeda fia na iminênia de deslizar sobre o livro, o que signifia que mesmo um ligeiro arésimo do ângulo além de 13 0 produz deslizamento. Qual é o oefiiente de atrito estátio e entre a moeda e o livro? 16. Calule a razão entre a força de arrasto sobre um avião a jato voando a 1000km/h em uma altitude de 10km e a força de arrasto sobre um avião de transporte voando om metade da veloidade e om metade da altitude. A densidade do ar é igual a 0,38kg/m 3 a 10km e igual a 0,67kg/m 3 a 5,0km. Suponha que os aviões possuem a mesma área de seção transversal efetiva e o mesmo oefiiente de arrasto. 17. A veloidade terminal de um sky diver (pára-quedista durante o salto livre no ar sem pára-quedas) é de 160km/h na posição de vôo de águia e de 310km/h na posição de mergulho de abeça. Supondo que o oefiiente de arrasto C deste mergulhador do ar não se modifique de uma posição para outra, enontre a razão entre a área da seção transversal efetiva A na posição de menor veloidade e a área orrespondente à posição mais rápida. 18. Considere um rotor, que onsiste essenialmente em um ilindro grande e oo que gira rapidamente em torno do seu eixo entral, onforme a figura dada. Antes de omeçar um passeio a pessoa entra no ilindro por uma porta lateral e fia em pé sobre o poso enostada numa parede reoberta om lona. A porta é fehada, e quando o ilindro omeça a girar, a pessoa, a parede e o piso se movem juntos. Quando a veloidade da pessoa atinge um valor predeterminado, o piso é removido repentina e alarmantemente. A pessoa, em vez de air, fia presa à parede enquanto o ilindro gira, omo se um agente invisível estivesse pressionando seu orpo ontra a parede. Algum tempo depois, o piso retorna à posição de ontato om os pés da pessoa, o ilindro reduz a sua veloidade e a pessoa ai alguns entímetros até voltar a pisar firmemente sobre o piso. Suponha que o oefiiente de atrito estátio e entre a roupa da pessoa e a lona vale 0,40 e que o raio do ilindro R é igual a 2,1m. (a) Qual a menor veloidade v que o ilindro e a pessoa devem ter para que ela não aia quando o piso for removido? (b) Se a massa da pessoa é 49kg, qual é a intensidade da força entrípeta que age sobre ela? 10

11 19. Os trehos urvos de uma rodovia são sempre elevados (inlinados) para evitar que os arros derrapem para fora da pista. Quando a pista está sea, a força de atrito entre os pneus e a superfíie da pista pode ser sufiiente para evitar o deslizamento. Entretanto, quando a pista está molhada, a força de atrito pode ser desprezível e a elevação torna-se então essenial. A figura abaixo representa um arro de massa m que se move om veloidade esalar onstante v de 20m/s em torno de uma elevação irular da pista de raio R = 190m. Se a força de atrito exerida pela pista for desprezível, que ângulo de elevação evitará o deslizamento? Respostas 1. 2,17m/s ,2x10 5 N m/s 4. 2,3N 5. (a) 4,0kg (b) 1,0kg () 4,0kg (d) 1,0kg 6. (a) 4m/s 2 (b) 32N 7. (a) 2m/s 2 (b) 12N 8. (a) 48N (b) 30N 9. (a) 0,97m/s 2 (b) T1=34,92N e T2=11,64N 10. 2,25m/s (a) 9,8N (b) 3,04m/s m N 14. (a) 13N (b) 1,6m/s , , , (a) 7,2m/s (b) 1200N