As Leis Fundamentais da Mecânica 1

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1 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA As Leis Fundaentais da Mecânica Ua vez estabelecidas as leis de Kepler sobre o oviento dos planetas, perante a Ciência colocou-se, logicaente, a necessidade de conhecer a causa desses ovientos. A resolução desse problea exigia o estudo prévio das leis gerais que rege o oviento de quaisquer corpos, quer dizer, era preciso desenvolver a Mecânica. Depois das obras de Galileu (564-64), Huyghens (69-695) e de outros cientistas que dera orige à arguentação experiental da Mecânica, Newton forulou as três seguintes leis do oviento dos corpos: ª. Lei Todo o corpo peranece e estado de repouso ou co oviento retilíneo e unifore, enquanto sobre ele não atuar força qualquer (a lei da inércia). Se for a assa do corpo e v a sua velocidade, a lei da inércia pode expriir-se ateaticaente através da seguinte fórula: v = constante AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA ª. Lei A variação da quantidade de oviento é proporcional à intensidade da força otriz aplicada, sendo a sua direção igual àquela e que atua a força. A segunda lei toa a seguinte fora ateática: d ( v ) = F dt ou F =. a isto é, o produto da assa do corpo pela sua aceleração a é igual ao valor de força otriz F. A equação denoina-se lei fundaental da dinâica do ponto aterial. No caso de v = 0, o corpo peranece e repouso; se v = cons 0, o corpo está aniado de oviento retilíneo e unifore. O produto v denoina-se quantidade de oviento do corpo. A alteração da quantidade de oviento do corpo só se pode dar e conseqüência da sua interação co outros corpos, isto é, sob a ação de ua força. Texto adaptado de Curso de Astronoia, escrito por Pavel Bakulin, Eduard Kononovitch e Vassili Moroz O estudante de ensino édio está acostuado a usar ( v) = F t v = F t que é ua aproxiação da derivada. (se =constante),

2 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 3 3ª. Lei A qualquer ação opõe-se ua reação de intensidade igual e de sentido oposto. Por outras palavras, as interações útuas de dois corpos são sepre iguais e de sentidos contrários. Se u dado corpo de assa entre e interação co u outro corpo de assa, o prieiro corpo altera a quantidade de oviento do segundo corpo v, o qual por sua vez causa ua alteração da quantidade de oviento v, igual as no sentido oposto, isto é, d d ( v) = ( v) dt dt AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 4 Lei da Atração (Gravitação) Universal de Newton As leis fundaentais do oviento dos corpos peritira a Newton anunciar e deonstrar ateaticaente o seguinte teorea: «As forças que faze co que os planetas fundaentais se desvie constanteente do seu oviento retilíneo e se antenha nas suas órbitas, estão dirigidas para o Sol e são inversaente proporcionais aos quadrados das distâncias ao centro deste». Logo, depois de deonstrar que a força responsável por anter os planetas nas suas órbitas é idêntica à força de gravidade que atua na superfície da Terra, Newton generalizou este teorea e expriiu-o, dando-lhe a fora da lei da atração universal: «Duas partículas ateriais quaisquer atraese ou gravita reciprocaente co ua força diretaente proporcional às suas assas e inversaente proporcional ao quadrado da distância que as separa». A lei da atração universal de Newton pode expriir-se ateaticaente através da fórula seguinte: F G r =, onde e são as assas das partículas, r é a distância entre elas, G é o coeficiente de proporcionalidade que é igual à intensidade da força co que se atrae reciprocaente duas partículas de

3 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 5 assas unitárias e separadas por ua distância igual à unidade. O coeficiente G denoina-se a constante da gravitação universal. No sistea SI - - G = 6,670 N..kg. Na Astronoia, as distâncias entre o Sol e os planetas exprie-se, freqüenteente, e unidades astronôicas (AU), as assas dos corpos celestes e assas solares e o tepo, e dias solares édios. Neste sistea de unidades proposto por Gauss, a constante da gravitação universal G = k = 0,000959, e a grandeza k igual a 0,070, denoina-se 58 constante de Gauss. AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 6 Variação da Força de Atração e Função das Massas e das Configurações dos Corpos que se Atrae Mutuaente Da segunda lei fundaental da Mecânica e da lei da atração universal deduz-se que:. Duas partículas ateriais, ou assas puntifores (isto é, corpos ateriais cujas diensões são infinitaente pequenas e coparação co a distância que os separa) atrae-se co a esa força F, as adquire, nestas condições, acelerações diferentes que são inversaente proporcionais às suas assas. Co efeito, a força F iprie ao corpo de assa ua aceleração a = G, dirigida para r, enquanto que o corpo de assa adquire a aceleração a = G r dirigida para. Daí que a a = Por exeplo, a aceleração de Terra resultante de ser atraída pela Lua, é inferior à aceleração da Lua, provocada pela atração da Terra tantas vezes, quantas a assa da Lua é inferior à assa da Terra.. A aceleração relativa de duas assas puntifores a rel é igual à diferença dos vetores a a = a rel, e, ua vez que a e a estão dirigidos e sentidos opostos, tereos:

4 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 7 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA a = G, r rel quer dizer, puntifores. arel é proporcional à soa das assas Por conseguinte, a aceleração, durante o oviento relativo, te o eso valor que esta teria no caso de a assa de abas as partículas ( + ) estar concentrada nua delas. Portanto, ao resolveros o problea relativo ao oviento de duas assas puntifores que se atrae utuaente, podeos convencionar que a força prové de u centro ióvel e analisar apenas o oviento de u ponto. 3. Duas assas puntifores e que se encontra à esa distância de ua terceira assa, são atraídas por este co forças diferentes F G r F = G, r = e poré, as suas acelerações tê valores iguais: entre eles seja uito superiores às suas diensões. No entanto, coo deonstrou Newton, os corpos e que a distribuição das assas é dotada de sietria esférica pode considerar-se coo assas puntifores. U corpo que tenha a assa distribuída co sietria esférica atrai qualquer aostra (assa de prova) da esa fora que u ponto aterial, colocado no centro deste e possuindo ua assa igual à que possui a esfera que passa através da aostra considerada. E particular, por exeplo, u ponto aterial colocado na superfície terrestre é atraído pela Terra coo se toda a assa do planeta se encontrasse no centro do eso. Contudo, u corpo colocado no fundo de u poço profundo é atraído apenas pelas caadas ais profundas da Terra, enquanto que a ação total de todas as caadas terrestres suprajacentes nula. Recoendaos ao leitor que procure deonstrar a veracidade desta afiração, a título de exercício, considerando, para siplificar o problea, ua fina caada de sietria esférica e ua aostra de ua dada assa colocada, prieira, dentro da caada esférica e, depois, fora dela. a = a = G. r Por exeplo, o Sol atrai a Terra co ua força aior do que a Lua, as a Terra e a Lua, quando se encontra à esa distância do Sol, tê acelerações iguais. A lei de Newton é aplicável às assas puntifores. Os corpos reais pode, co ua certa aproxiação ser considerado pontos ateriais, desde que as distâncias

5 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 9 Identidade entre a Força de Atração e a da Gravidade A força da gravidade counica a todos os corpos na superfície terrestre, quando e queda livre, ua aceleração g que é aproxiadaente igual a 9,8 / s. Convencioneos que a força da gravidade é inversaente proporcional ao quadrado da distância entre o corpo e o centro da Terra. Então, por exeplo, a Lua que dista do centro da Terra 60 raios terrestres (aproxiadaente) está sujeita a ua aceleração g, 60 inferior à que se verifica na superfície da Terra, isto é, AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 0 O fato de se obtere valores iguais para g' e para a significa que a força responsável por anter a Lua na sua órbita (força de atração), não é nada ais do que a força da gravidade da Terra, cuja intensidade está diinuída segundo a razão entre o quadrado da distância entre a Lua e o centro da Terra e da distância entre a superfície terrestre e o centro da Terra. Newton, baseando-se neste resultado, concluiu que a força da gravidade é idêntica à força de atração útua entre todos os corpos do Universo, o que lhe peritiu forular Lei da Atração Universal. g 9,8 g / s 0,0075 / s = = =. Da Mecânica sabeos que u ponto que se ova ao longo de ua circunferência co oviento unifore te a aceleração centrípeta igual a v π a= = ω r = r, onde ω é a velocidade angular do r T ponto, r é o raio da circunferência e T é o período. Suponhaos que a órbita da Lua é ua circunferência co raio aproxiado r = k e que o período de revolução da Lua e torno da Terra é aproxiadaente igual a 7,3 dias édios (ês sideral); neste caso a aceleração centrípeta do oviento orbital da Lua será igual a: π a= / s = 0,0075 / s 7,

6 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA Variação da Força da Gravidade na Superfície Terrestre A força da gravidade na superfície terrestre é a resultante da cobinação de duas forças: a força de atração dirigida para o centro de assa da Terra e a força centrífuga perpendicular ao eixo de rotação da Terra. Ua vez que a Terra é leveente achatada segundo o eixo de rotação, a força de atração nos pólos é aior do que e qualquer outro lugar da superfície terrestre, diinuindo à edida que se aproxie do equador. Alé disto, a força centrífuga atua contra a força de atração. Portanto, a força da gravidade na superfície terrestre diinui dos pólos para o equador. AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA terrestre ser heterogênea tanto no que se refere aos aciços ontanhosos na superfície da Terra (cordilheiras, etc.), coo tabé e relação às densidades das rochas que faze parte da crosta terrestre. A estrutura heterogênea das caadas superiores da crosta terrestre da orige a anoalias locais da força da gravidade e regiões de extensão reduzida. As anoalias locais torna evidente a presença nessas regiões de rochas co ua densidade quer uito grande (por exeplo, inérios) quer uito pequena (por exeplo, jazigos de petróleo, sal-gea). A diferença entre os valores da força da gravidade nos pólos e no equador é igual a g - g 9,83-9,780 0,05 / s pólos equador = =. Aproxiadaente /3 deste valor deve-se à aceleração centrífuga no equador terrestre e /3, ao achataento da Terra. O valor édio da aceleração de força da gravidade terrestre convencionou-se ser igual a g = 9,8 / s. Os resultados das avaliações da aceleração da força da gravidade e diferentes pontos da superfície terrestre deonstrara certas alterações (perturbações) da força da gravidade e coparação co a sua dinâica noral, correspondente ao elipsóide. Estas alterações denoina-se anoalias da força da gravidade e deve-se ao fato da estrutura da crosta

7 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 3 Essência da Gravidade e Sua Iportância para a Astronoia Antes da elaboração da teoria da estrutura do átoo era conhecidos dois tipos de interação entre os corpos acroscópicos: a gravitacional explicada pela lei da atração universal e a eletroagnética expressa pelas equações de Maxwell. Nestes dois casos a intensidade das forças dessas interações é inversaente proporcional ao quadrado da distância e diretaente proporcional a certas características específicas dos corpos: à sua assa quando se trata da atração e à carga elétrica no caso da interação eletroagnética. Ua vez que na Natureza há dois tipos de carga elétrica cujas ações e reações, dentro dos corpos ordinários, fica, regra geral, copensados reciprocaente, então para o oviento das assas copactadas, coo o são as estrelas, os planetas, as galáxias, etc., torna-se decisivas as forças gravitacionais. Portanto, a lei da atração universal resulta ser ua das leis ais iportantes da Natureza aplicadas na Astronoia. Esta lei, e cobinação co as outras leis da Mecânica, perite esclarecer os ovientos dos planetas e dos corpos artificiais no Sistea Solar, das estrelas nos agloerados estelares e na Galáxia, assi coo estudar a dinâica de outros sisteas estelares. É noeadaente a atração que deterina a fora cia aior parte dos corpos celestes, e especial, a esfericidade das estrelas e dos planetas. A lei da atração universal, cobinada co as leis da teoria cinética dos gases, perite tornar evidentes a estrutura interna das estrelas e a sua evolução. As forças gravitacionais deterina a aior parte das características específicas das atosferas das estrelas dos planetas e as peculiaridades dos fenôenos que se desenvolve nelas. AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 4 A lei da atração universal, na sua forulação clássica dada por Newton, pode aplicar-se apenas e relação aos capos gravitacionais co ua intensidade relativaente pequena, criados por corpos nor ais co densidades não uito elevadas. No que diz respeito aos capos gravitacionais de grande intensidade, assi coo aos ovientos co elevadas velocidades (coparáveis co a velocidade da luz), u esclareciento ais exato do oviento pode ser dado através de teoria geral da relatividade que, na sua essência é a teoria da atração que considera a influência exercida pela distribuição das assas sobre as propriedades do espaço e do tepo. A Teoria Geral da Relatividade perite explicar alguas peculiaridades do oviento de Mercúrio, o planeta ais próxio do Sol. É grande a iportância desta teoria para a copreensão da natureza dos corpos extreaente densos (estrelas de nêutrons e buracos negros). A Teoria Geral da Relatividade constitui a base fundaental e que assenta toda a cosologia oderna, isto é, a teoria da estrutura e da evolução do Universo coo u todo. A grande iportância da atração na Astronoia não significa que outros tipos de interações deixe de desepenhar o seu papel no Espaço. Por exeplo, as interações eletroagnéticas torna-se de grande iportância, especialente no caso de se tratar do oviento de u gás ionizado (plasa) no seio de u capo agnético. As interações eletroagnéticas reveste-se de iportância áxia na aior parte dos processos icroscópicos (atôicos), e resultado dos quais se origina a radiação observada dos corpos celestes.

8 AS LEIS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 5 Dentro dos liites dos átoos isolados isto é, no undo icroscópico, as interações gravitacionais conserva-se, as a sua iportância relativa diinui. As interações eletroagnéticas, por exeplo, entre o próton e o elétron, são de intensidade uito superior às interações gravitacionais que, na aioria dos casos, se pode desprezar. No núcleo atôico, onde as partículas se aproxia uas das outros uito ais do que dentro do átoo, verifica-se dois tipos novos de interações cujos porenores são enos conhecidos do que nos dois prieiros tipos. Evidenteente, a sua intensidade diinui co a distância uito ais rapidaente do que no caso das leis de Newton e de Coulob. A intensidade de ua destas interações, dentro dos liites do núcleo atôico, resulta ser aior do que a de todas as outras conhecidas, a interação forte. É noeadaente a estas interações fortes que se deve o desenvolviento das reações nucleares de síntese nas estrelas. Outra interação, quanto a certas características específicas, torna-se ais forte do que as interações gravitacionais, ebora, no entanto, ais fraca do que as elétricas, a interação fraca; u exeplo elucidativo dela é a desintegração beta do próton, processo este a partir do qual coeça a aior parte das reações nucleares dentro das estrelas. Deste odo, veos que na Astronoia oderna são considerados todos os tipos de interações conhecidos na Natureza, sendo as ais iportantes as interações gravitacionais.